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Didasfera - Ambiente didattico digitale
6.4 Funzioni
6.4.1 Definizione
Siano A e B insiemi. Una funzione è una relazione che associa ad ogni elemento di A esattamente un elemento di B.
6.4.2 Esempio
Al compito di matematica Anna ha preso 4, Bruno ha preso 6, Carla ha preso 6, Dino ha preso 7 ed Eleonora ha preso
9. Sia A={Anna, Bruno, Carla, Dino, Eleonora} e B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. La regola che associa ad ogni allievo il
suo voto in matematica è una funzione.
Se da un elemento del primo insieme partissero due frecce verso due distinti elementi dell'insieme B allora tale
relazione non sarebbe una funzione, in quanto ad OGNI elemento di A se ne deve associare UNO SOLO di B.
Se non partono frecce da qualche elemento di A ci si può ricondurre alla definizione di funzione togliendo da A gli
elementi da cui non partono frecce.
6.4.3 Esempio
Al compito di matematica Anna ha preso 4, Bruno ha preso 6, Carla ha preso 6, Dino ha preso 7, Eleonora ha preso 9
e Filippo era assente. Sia A={Anna, Bruno, Carla, Dino, Eleonora, Filippo} e B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. La regola
che associa ad ogni allievo il suo voto in matematica non è una funzione, in quanto a Filippo non è associato alcun voto.
E' però una funzione quella che associa l'insieme A{Filippo} all'insieme B, ed è la stessa dell'esempio 6.4.2.
Le funzioni da A in B si indicano con f: A → B.
Come si è già detto A è il dominio e B è il codominio.
Nell'esempio precedente 6 è l'immagine di Bruno, ma è anche l'immagine di Carla. L'insieme {Bruno, Carla} è la
controimmagine di 6.
6.4.4 Esempio
Sia A={-1, 0, 1}, B={0, 1} e f:`x→-x^2+1`.
Con semplici calcoli si ottiene f(-1)=0, f(0)=1, f(1)=0.
L'immagine di -1 è 0, l'immagine di 0 è 1, l'immagine di 1 è 0, la controimmagine di 0 è l'insieme {-1,1}, la
controimmagine di 1 è l'insieme {0}.
6.4.5 Definizione
Una funzione f: A → B è detta suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.
Nella rappresentazione con i diagrammi di Venn una funzione è suriettiva se per ogni punto dell'insieme di arrivo c'è
almeno una freccia che lo raggiunge. La funzione mostrata nell'esempio 6.4.2 non è suriettiva perché ci sono punti (l'1,
il 2, il 3, il 5, l'8 e il 10) dell'insieme di arrivo nei quali non giunge alcuna freccia.
6.4.6 Esempio
Sia data la funzione f: A→ B con A={Anna, Bruno, Carla, Dino} e B={4, 5} che associa ad ogni nome la sua lunghezza
in lettere. Si ha: f(Anna)=4, f(Bruno)=5, f(Carla)=5, f(Dino)=4. Ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di
A, e la funzione è suriettiva.
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6.4.7 Esempio
Una funzione f: A → B è detta iniettiva se, dati due elementi distinti `x, y in A`, allora `text(f)(x)!= text(f)(y)`.
Nella rappresentazione con i diagrammi di Venn una funzione è iniettiva se non arriva mai più di una freccia a ogni
elemento dell'insieme di arrivo. La funzione dell'esempio 6.4.6 non è iniettiva perché arrivano due frecce al numero 6.
6.4.8 Esempio
Sia data la funzione f: A→ B con A={0, 1, 4, 9} e B={-1, 0, 1, 2, 3} definita da f:`x→sqrt(x)`.
Si ha f(0)=0, f(1)=1, f(4)=2, f(9)=3. La funzione è iniettiva perché, dati due elementi qualsiasi di A, le loro immagini sono
diverse tra loro.
Si noti che `-1 in A` non ha controimmagine!
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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