Loga

LOGARITMI
Supponiamo di voler trovare l'esponente y della potenza 3 y per ottenere 9. Questa è un'operazione
inversa della potenza. Anche i radicali sono operazioni inverse della potenza, ma in essi si deve
ricavare la base; ora invece il problema è ricavare l'esponente. La soluzione (y=2) prende il nome di
logaritmo in base 3 di 9.
Def.
Il logaritmo in base b>0 di un numero x>0 è il numero che, dato come esponente a b,
consente di ottenere x.
Il numero x è detto argomento del logaritmo.
Le seguenti relazioni y=logbx e bx=y sono equivalenti. Si osservi che logbb=1 e logb1=0.
La funzione logaritmo è crescente quando la base è maggiore di 1, viceversa è decrescente. I grafici
della funzione logaritmica si ottengono da quelli della funzione esponenziale per simmetria rispetto
alla bisettrice del I e III quadrante
------ PROPRIETÀ DEI LOGARITMI -----Logaritmo del prodotto
Il logaritmo del prodotto di due o più numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori:
Proprietà.
x
loga(bc)=logab+logac
y
Dimostrazione: posto logab=x e logac=y allora a =b e a =c quindi bc=axay=ax+y cioè x+y=loga(bc) ma x+y=logab+logac c.v.d.
Logaritmo della potenza
Il logaritmo della potenza di un numero è uguale all'esponente per il logaritmo della base:
Proprietà.
logabx=xlogab
Dimostrazione: posto logab=y si ha, per la definizione di log, ay=b, e, elevando a x, si ottiene (ay)x=bx . Poiché (ay)x=ayx , si
ottiene che logabx=logaayx=yx . Dunque, avendo posto y= logab , allora logabx=xlogab c.v.d.
Logaritmo del rapporto
Il logaritmo del rapporto di due o più numeri è uguale al logaritmo del numeratore meno il logaritmo
del denominatore:
Proprietà.
loga(b/c)=logab-logac
Dimostrazione:
loga(b/c)=loga(bc-1), ma, per il logaritmo del prodotto è uguale a logab+logac-1. Per il logaritmo della potenza è = logab-logac.
Come basi si utilizzano normalmente il numero 10 (logaritmo decimale, indicato con log o Log) e il numero irrazionale e ≅
2.71828 (logaritmo naturale, indicato con ln). È comunque possibile il passaggio da una base ad un'altra.
Cambiamento di base
Si vuole trovare la relazione che intercorre fra il logaritmo di un numero in una base a e il logaritmo
dello stesso numero in un'altra base c.
Dimostrazione:
logab
posto y=logab e x=logcb
Proprietà.
log
b=————
c
allora ay=b e cx=b quindi cx=ay
logac
calcoliamo il logaritmo in base a di entrambi i membri:
x
y
otteniamo logac =logaa ; quindi, applicando il logaritmo
della potenza otteniamo xlogac=ylogaa cioè xlogac=y. Infine, sostituendo a x ed y le relazioni iniziali si ha logcb·logac=logab, dove
basta dividere per logac
Queste proprietà mettono in luce l'importanza dei logaritmi nella storia del calcolo. Passando al logaritmo viene diminuita la
complessità del calcolo: “oggetti moltiplicativi” vengono trasformati in “oggetti additivi”. Oggi, con l'avvento di calcolatori e
calcolatrici tascabili, l'uso dei logaritmi come strumento di calcolo ha un'importanza minore.
EQUAZIONI ESPONENZIALI
Un'equazione si dice esponenziale quando l'incognita compare all'esponente.
x
L'equazione esponenziale più semplice (elementare) è del tipo a =b . La sua soluzione è x=logab.
Possiamo sintetizzare nei seguenti casi i procedimenti risolutivi di equazioni esponenziali meno
banali:
1. Equazioni con potenze della stessa base. Una volta che si è riusciti ad esprimere i termini a sinistra e a
destra dell'uguale come potenze della stessa base, basta uguagliare gli esponenti.
Si ricorre alla funzione logaritmica, che permette di trattare gli
2. Equazioni con potenze di basi diverse.
esponenti come fattori moltiplicativi.I passaggi sono i seguenti:
f  x ⋅ln a=g  x ⋅ln b
f x
g x
a   =b  
-->
f x
g x
ln a   =ln b  
-->
3. Equazioni esponenziali in cui compaioni addizioni.
Quando nelle due parti di un'equazione esponenziale
compaiono delle addizioni, le cose si fanno più complicate. Infatti, mentre il passaggio ai logaritmi permette
di trasformare una scrittura moltiplicativa in una scrittura additiva, nessuna trasformazione a priori è
possibilese l'equazione esponenziale presenta delle somme. In questi casi l'esperienza può suggerire alcuni
“trucchi”.
Qui
2 2 x −2 2 x⋅2−
è
riportato
2x
2 ⋅1
=−6
2
-->
un
esempio.
 
2 2 x⋅
−3
=−6
2
4 x −2 2 x+ 1=2 2 x−1−6
-->
2 2 x −2 2 x+ 1−2 2 x−1=−6
-->
che, se si moltiplicano ambo i membri per -2/3, diventa
un'equazione esponenziale elementare.
4. Equazioni risolvibili con particolari sostituzioni. Se è possibile ridurle a una di queste forme:
ak x +b= 0 o ak 2 x+bk x +c= 0 , allora, con la sostituzione t=k x ci si riduce a risolvere un'equazione
normale nell'incognita t. Tovata t, con la stessa sostituzione si risale alla x.
EQUAZIONI LOGARITMICHE
Un'equazione si dice logaritmica quando l'incognita compare nell'argomento di uno o più logaritmi.
L'equazione logaritmica più semplice (elementare) è del tipo :
loga x=b,cona> 0 eb∈ℝ ;x> 0 è l'incognita dell'equazione
La sua soluzione è .
Nella risoluzione di un'equazione logaritmica occorre tener presente che, qualunque sia la base,
l'equazione è definita solo per valori positivi dell'argomento. Allora, prima di tutto, bisogna stabilire
le condizione di esistenza. Alla fine occorre verificare che la soluzione sia accettabile.
Per ricercare la soluzione conviene:
1.(quando è possibile) trasformare l'equazione data in una equivalente del tipo. log a A  x  =log a B  x 
applicando le proprietà dei logaritmi;
2.uguagliare gli argomenti dei logaritmi.
In alcuni casi è opportuno ricorrere alla risoluzione grafica disegnando le curve rappresentate dai
vari pezzi dell'equazione e ricercando i punti di intersezione.