misure con il manometro e determinazione di densita` relative

MISURE CON IL MANOMETRO E DETERMINAZIONE DI
DENSITA’ RELATIVE
Materiali
-Manometro: tubo a U fissato verticalmente ad un sostegno, con un
braccio libero e l’altro collegato ad un tubo flessibile di plastica
trasparente con un imbutino all’estremità.
-Vaschetta d’acqua o bicchiere da 500 o 220 cc
-Carta millimetrata
-Nastro adesivo da lucido
-Liquidi diversi (detersivo per piatti, miele)
Principio della misura
Il tubo a U può essere visto come il caso più semplice di vasi (i due bracci del tubo) comunicanti, in
cui il liquido si dispone allo stesso livello. La pressione esercitata sul liquido dei due bracci è quella
atmosferica. Quando si aumenta la pressione dell’aria contenuta in un
braccio (quello con il tubo flessibile) e quindi anche quella sul liquido che
gli è a contatto, dato che tale aumento si propaga inalterato (Principio di
Pascal), si ha che la differenza di pressione creatasi nei due bracci
determina lo spostamento del liquido verso l’altro braccio. All’equilibrio
la pressione esercitata sul liquido a contatto con l’aria contenuta nel
braccio col tubo flessibile è pari a quella sulla superficie di liquido alla
stessa altezza nel braccio libero (Legge di Stevino), e dunque la misura del
dislivello tra i due bracci è una misura della differenza tra la pressione
atmosferica e quella dell’aria nel tubo flessibile. Se quest’ultimo si trova
immerso in un liquido, tale pressione corrisponde a quella esercitata dal
liquido.
Descrizione della misura (procedura)
Si mette acqua nel tubo a U del manometro fin poco sopra la curva (se si
vuole colorare, si può farlo o con dello zafferano, per cui si ha un colore
persistente e intenso, molto visibile, o con dei coloranti per alimenti) e si
segna il livello dell’acqua (corrispondente alla pressione atmosferica) su una striscia di nastro da
lucido attaccato sul tubo di uno dei due bracci: se è quello libero, si misurerà poi la risalita del
liquido, se è quello con il tubo flessibile, la discesa. Si immerge l’imbuto del manometro in un
recipiente (vaschetta o bicchiere da 500 cc o bicchiere da 220 cc) con acqua, a diverse quote
(misurate sulla carta millimetrata attaccata al fianco del bicchiere con il nastro adesivo da lucido);
ad ogni quota si segna il corrispondente livello dell’acqua nel tubo a U prescelto.
Si può quindi registrare la variazione di altezza nel tubo a U al variare della profondità del liquido
nel recipiente.
Si ripete con altri liquidi: miele, detersivo per piatti…
Osservazioni
Il livello dell’acqua nel braccio libero si alza man mano che affonda l’imbuto, mentre nell’altro
scende. La variazione di altezza nel tubo a U è sempre uguale se si scende nel liquido di uguali
quote; l’entità di tale variazione dipende dal tipo di liquido.
Misura
Dapprima in aria e quindi dopo aver immerso, arrestandosi ad intervalli di 1 cm di profondità, il
braccio flessibile del manometro in un liquido, si segna il livello della superficie dell’acqua dentro il
tubo a U sul nastro da lucido attaccato su di esso. A conclusione della discesa si stacca il nastro e si
attacca su carta millimetrata, avendo cura di far coincidere la tacca dello 0 con una riga sulla carta:
in questo modo si leggono sulla carta millimetrata le distanze tra ciascuna tacca e quella dello zero,
ovvero i dislivelli che misurano le pressioni secondo la legge di Stevino, P(h) = P0 + dgh, ove P(h) è
la pressione a quota h rispetto alla superficie libera del liquido, P0 la pressione atmosferica, d la
densità del liquido g l’accelerazione di gravità. La misura è di P(h) – P0. Si possono mettere i dati di
dislivello in funzione della profondità di immersione in un grafico, ottenendone una retta che indica
la dipendenza lineare tra profondità e pressione nel liquido. Poiché lo strumento non è tarato, quel
che si misura è Kdgh, con K costante che dipende dall’apparato. Dopo aver notato la stessa
dipendenza lineare anche in liquidi diversi si può osservare come ciascun liquido determini una
retta di pendenza diversa, che individua la natura del liquido. Rapportando le misure in un liquido e
quelle in acqua a parità di altezza, oppure le pendenze delle rette rispettive, si ottiene una stima
della densità del liquido in questione rispetto all’acqua.
Elaborazione dati
E’ possibile esprimere valutazioni utilizzando o meno i grafici, a seconda del livello scolare, in
particolare se si lavora nella primaria o nella secondaria di primo grado (o biennio). L’errore da
associare ai dati è pari a quello di lettura, per cui si usa la carta millimetrata: ciò permette di stimare
lunghezze con un errore, Δl, pari a 0,5 mm. Le misure con il detersivo sono state ripetute per
controllo sull’affidabilità della procedura, e non verranno utilizzate nel seguito.
Dati
Acqua
miele
discesa
nel tubo
profondità man
(cm) ± 0,05 (mm) ± 0,5/disces
cm
0,5 mm a =err.rel.
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
0,0
5,0
9,5
14,0
18,5
22,5
27,5
32,0
0,10
0,053
0,036
0,027
0,022
0,018
0,016
detersivo
Profondità
(cm) ± 0,05
cm
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
discesa
nel tubo
man
(mm) ±
0,5 mm
0,0
7,5
15,0
22,5
30,0
36,0
0,5/disce
sa
=err.rel.
0,067
0,033
0,022
0,017
0,014
profondità
(cm) ± 0,05
cm
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
discesa
discesa 2
nel tubo
nel tubo 0,5/disce
man (mm) 0,5/disces man (mm) sa
± 0,5 mm a =err.rel. ± 0,5 mm =err.rel.
0,0
5,5
9,5
14,0
18,5
24,0
28,5
33,5
0,091
0,053
0,036
0,027
0,021
0,018
0,015
0,0
4,0
10,0
14,0
19,0
25,0
29,5
34,5
0,13
0,050
0,036
0,026
0,020
0,017
0,014
Un’analisi che non fa uso dei grafici ricava la proporzionalità di profondità e discesa nel tubo dagli
incrementi costanti di pressione (misurata dalla discesa nel tubo manometrico) per incrementi
costanti di profondità nel liquido, così da ricavare che al raddoppiare, triplicare, ecc della profondità
raddoppia, triplica ecc. anche la discesa del liquido manometrico. Tali incrementi variano al variare
del liquido: poiché corrispondono ad aumenti di profondità pari a 1 cm sono numericamente uguali
alla discesa del liquido manometrico per cm di quota, ovvero a Kdg. Il rapporto tra Kdg per un
liquido (miele, detersivo) e quello per l’acqua fornisce il rapporto delle densità, ossia la densità
relativa del liquido in questione.
Acqua
ΔD = Discesa
discesa
(pi) - Discesa
profondità nel tubo
(cm) ±
man (mm) (pi-1) (mm) ±
0,05 cm
± 0,5 mm 1,0 mm
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
media
Kdg
(mm
/cm)
0,0
5,0
9,5
14,0
18,5
22,5
27,5
32,0
36,0
40,5
miele
detersivo
discesa nel ΔD = Discesa
(pi) - Discesa
tubo man
(mm) ± 0,5 (pi-1) (mm) ±
mm
1,0 mm
discesa
2 nel
discesa nel ΔD = Discesa tubo
(pi) - Discesa man
tubo man
(mm) ± 0,5 (pi-1) (mm) ±
(mm) ±
mm
1,0 mm
0,5 mm
0,0
7,5
15,0
22,5
30,0
36,0
5,0
4,5
4,5
4,5
4,0
5,0
4,5
4,0
4,5
semispersi
one
massima
0,0
5,5
9,5
14,0
18,5
24,0
28,5
33,5
7,5
7,5
7,5
7,5
6,0
5,5
4,0
4,5
4,5
5,5
4,5
5,0
ΔD =
Discesa (pi)Discesa (pi1) (mm) ±
1,0 mm
0,0
4,0
10,0
14,0
19,0
25,0
29,5
34,5
4,0
6,0
4,0
5,0
6,0
4,5
5,0
4,5
7,2
4,8
4,9
0,50
0,8
0,5
1,0
Si ha quindi: d(miele)/ d (acqua) = 7,2/4,5= 1,6; ε= 1,6(0,5/4,5+0,8/7,2)=0,4
d (detersivo)/ d (acqua) = 4,8/4,5= 1,1; ε= 1,1(0,5/4,5+0,5/4,8)=0,2
Dunque, densità relativa miele = 1,6 ± 0,4; densità relativa detersivo = 1,1 ± 0,2
Se invece si decide di utilizzare i grafici, Kdg sarà dato dalla pendenza di ciascuno dei grafici
ottenuto per interpolazione lineare dai dati.
Stevino
45
y = 4,7321x + 0,125
R2 = 0,999
discesa della colonna d'acqua (mm)
40
y = 4,9881x - 0,4583
R2 = 0,9986
35
y = 4,4758x + 0,4091
R2 = 0,9997
y = 7,2857x + 0,2857
R2 = 0,9988
30
25
pressione nel miele
20
acqua
detersivo
15
detersivo 1
10
Lineare (pressione nel miele)
Lineare (detersivo)
5
Lineare (acqua)
Lineare (detersivo 1)
0
0
-5
1
2
3
4
5
profondità (cm)
Per quanto riguarda l’acqua, si ha: (4,48±0,06) mm/cm;
Per quanto riguarda il miele, si ha: (7,29±0,12) mm/cm;
6
7
8
9
10
Per quanto riguarda il detersivo, si ha: (4,73±0,08) mm/cm;
Si ha quindi: d(miele)/ d (acqua) = 7,29/4,48= 1,63; ε= 1,63(0,06/4,48+0,12/7,29)=0,05
D (detersivo)/ d (acqua) = 4,73/4,48= 1,06; ε= 1,06(0,06/4,48+0,08/4,73)=0,03
Dunque, densità relativa miele = 1,63 ± 0,05; densità relativa detersivo = 1,06 ± 0,03.
Conclusioni
La misura della pressione relativa permette di valutare la differenza di pressione al variare della
profondità: ad uguali variazioni di profondità nel liquido corrispondono uguali variazioni di altezza
nel tubo a U, cioè di pressione; la pressione ad una data profondità non dipende dall’orientazione,
ma cambia nei diversi liquidi: l’ampiezza delle variazioni di altezza nel tubo a U (e quindi la
differenza di pressione) è maggiore nei liquidi più densi. Questa caratteristica consente di valutare
la densità relativa tra un liquido e l’acqua, scelto come liquido di riferimento.
Metodo alternativo di valutazione della densità relativa
Una misura analoga si può fare anche basando la misura sul principio di Archimede.
ARCHIMEDE: PESO IN ARIA E IN ACQUA E DENSITA’ RELATIVE
Materiali
-Dinamometro (molla entro un tubo cilindrico trasparente) con sostegno a cui
sospenderlo.
-Recipiente cilindrico da sospendere al dinamometro
-Sferette tipo cuscinetti a sfera
-Foglio di carta millimetrata
-Nastro da lucido e matite o penne di colore diverso
-Bicchiere di plastica trasparente da 500 cc
-Bicchiere di plastica trasparente da 220 cc circa (alternativo)
-Caraffa con acqua
-Liquido diverso dall’acqua: miele
-Bilancia
Principio della misura
Il principio di Archimede descrive l’effetto da parte di un fluido su di un
corpo in esso immerso: un corpo immerso in un fluido riceve una spinta (la spinta di Archimede)
verso l’alto pari al peso del volume di fluido spostato. Poiché nella spinta di Archimede entra in
gioco il fluido in cui si ha l’immersione, un’esperienza che riguardi il principio di Archimede può
essere utilizzata per caratterizzare il fluido stesso. Su un corpo sospeso a un dinamometro, che è
costituito da una molla, soggetta alla trazione determinata dal corpo e tarata per misurare forze (e
dunque pure il peso), agiscono la forza peso, diretta verso il basso, la forza esercitata dalla molla e
la spinta di Archimede, dirette verso l’alto. In aria tale spinta è usualmente trascurata, e dunque
l’allungamento prodotto nella molla è attribuito al peso dell’oggetto e ne fornisce una misura, ma in
un liquido essa determina una diminuzione “apparente” del peso, misurato dall’allungamento della
molla, che risulta inferiore al caso precedente. Per il corpo immerso all’equilibrio si ha dunque:
P + Fmolla + SA = 0,
ove P = peso del corpo (in aria), Fmolla = forza esercitata dalla molla sul corpo ad essa sospeso, SA =
Spinta di Archimede,
dunque,
P = Fmolla+ SA e quindi
P = kΔl + SA, con Δl = allungamento della molla e k = costante elastica della molla.
In aria si ha P = kΔl’ e dunque
kΔl’- kΔl = SA da cui Δl’- Δl = SA/k.
Se si effettuano misure in aria e in un altro liquido si ha
(Δl’- Δl)liquido/(Δl’- Δl)acqua = SA(liquido)/ SA(acqua) = dliquidogV/dacquagV = dliquido/dacqua,
(ove d = densità, g = accelerazione di gravità e V = volume di liquido spostato),
ovvero la densità relativa all’acqua del liquido in questione (nel caso specifico, miele).
Descrizione della misura (procedura)
Dopo aver sospeso verticalmente il dinamometro per mezzo del suo gancio esterno, un cilindro
cavo viene sospeso ad esso (appendendolo al gancio che esce dal fondo del tubo ed è collegato alla
molla al suo interno) prima in aria e poi immerso completamente in acqua. Si registrano i livelli
raggiunti dalla molla del dinamometro (segnando il livello dell’indice collegato alla molla su nastro
da lucido attaccato al corpo del tubo) prima e dopo l’immersione, con due colori diversi. Si ripete
con un numero crescente di sferette di massa nota collocate nel cilindro. Si valutano gli
allungamenti subiti dalla molla accostando, ad esempio, della carta millimetrata al nastro e
riportando su di essa le misure o attaccando il nastro sulla carta stessa. Si ripete immergendo in
miele.
Osservazioni
La molla si allunga quando ad essa è sospeso il cilindro. All’aumentare del numero di oggetti uguali
sospesi si nota (con una procedura analoga a quella usata col manometro) che la molla si allunga in
modo direttamente proporzionale al peso di ciò che gli viene sospeso.
L’allungamento della molla in aria è maggiore di quello della molla quando l’oggetto sospeso è
immerso in acqua. La differenza tra peso in aria e in acqua dell’oggetto sospeso non cambia al
variare del peso in aria dell’oggetto (registrato dalla lunghezza della molla), mentre varia al variare
del volume della parte di cilindro immersa, che dovrà quindi essere sempre uguale quando si varia il
liquido di immersione. Nel miele l’allungamento della molla (e dunque il peso che esso indica)
diminuisce più che in acqua.
Misura
Dopo aver segnato la posizione dell’indice del dinamometro sospeso e scarico sul nastro adesivo da
lucido fissato su di esso, gli viene sospeso un cilindro di massa pari a 22 g e viene segnata sul nastro
da lucido la nuova posizione del suo indice; la misura viene ripetuta dopo aver immerso il cilindro
del tutto in acqua e con un numero via via crescente di sferette di massa pari a 9 g (valutata dalla
bilancia) al suo interno, lasciandone quindi invariato il volume ma variando il peso immerso. Una
seconda serie di misure come la precedente viene effettuata immergendo il cilindro nel miele. Dopo
aver staccato il nastro da lucido e averlo fissato su carta millimetrata, in modo che una riga della
carta corrisponda alla tacca dello zero, si possono leggere su di essa le distanze tra ciascuna tacca e
la tacca dello zero, ovvero gli allungamenti della molla in corrispondenza a ciascun peso sospeso
per ciascuno dei liquidi. Si possono mettere i dati ottenuti in un grafico, così da avere rette che
indicano la proporzionalità diretta tra peso e allungamento, ed eventualmente tarare il dinamometro,
ricavando la pendenza, k, della retta in aria. Lo spostamento delle rette nei liquidi rispetto a quella
in aria corrisponde alla “diminuzione di peso” costante determinata dalla spinta di Archimede
(indicata dunque da differenze di lunghezze). Poiché la distanza tra la retta in aria e quella in un
liquido è caratteristica del liquido può essere presa come indicazione della sua natura (intesa come
capacità di spinta verso l’alto). Rapportando tali distanze per un liquido (nel caso specifico, miele)
ed acqua si ottiene una stima della densità del liquido stesso rispetto all’acqua. La stessa procedura
può essere effettuata anche senza considerare i grafici, solo con i dati, dopo aver osservato che le
differenze tra gli allungamenti nei liquidi e in aria per pesi corrispondenti non dipendono dal peso
immerso (sono sempre uguali al suo variare) ma dal liquido.
Elaborazione dati
E’ possibile esprimere valutazioni utilizzando o meno i grafici, a seconda del livello scolare, in
particolare se si lavora nella primaria o nella secondaria di primo grado (o biennio). L’errore da
associare ai dati di lunghezza è pari a quello di lettura, per cui si usa la carta millimetrata: ciò
permette di stimare lunghezze con un errore, Δl, pari a 0,5 mm. L’errore sulle misure di massa è di
1g, pari alla sensibilità della bilancia usata. I dati singoli della spinta di Archimede hanno un errore
dato dalla formula di propagazione, mentre alla media è stata associata la semidispersione massima.
Dati
peso
sospeso
(g) ±1g
22
31
40
49
58
67
76
85
Δl in aria
(cm)
±0,05
Δl in acqua (cm)
cm
±0,05 cm
1,65
2,25
0,55
2,85
1,10
3,50
1,75
4,10
2,45
4,75
2,95
5,40
3,60
6,05
4,25
Media
Semidispersione
massima
ε Relativo
Δl in aria Δl in acqua
(cm) ± 0,10
cm
Δl in
miele
(cm)
±0,05
cm
1,70
1,75
1,75
1,65
1,80
1,80
1,80
1,75
Δl in aria Δl in miele
(cm) ±0,10
cm
0,45
1,05
1,75
2,30
2,75
3,25
0,075
0,043
ε (d
d miele miele/d
/d acqua acqua)
2,40
2,45
2,35
2,45
2,65
2,80
2,52
1,37
1,40
1,42
1,36
1,47
1,56
1,43
0,23
0,091
0,10
0,14
0,14
0,15
0,13
0,14
0,14
Si ha quindi: d(miele)/ d (acqua) = 2,52/1,75= 1,44; ε= 1,44(0,075/1,75+0,23/2,52)=0,19
Dunque, densità relativa miele = 1,44 ± 0,19.
Tale misura risulta compatibile con quella determinata attraverso le misure con il manometro.
La misura della spinta di Archimede nel miele presenta anche due dati non compatibili con gli altri;
ciò riflette difficoltà nell’immersione stabile del cilindro in tale liquido.
allungamento vs peso
7
aria
allungamenti (cm)
6
5
acqua
y = 0,0699x + 0,0787
miele
R2 = 0,9998
Lineare (miele)
Lineare (acqua)
4
Lineare (aria)
3
2
1
y = 0,0687x - 1,6032
y = 0,0624x - 1,9738
R2 = 0,999
R2 = 0,9941
0
0
Conclusioni
10
20
30
40peso (g)50
60
70
80
90
La spinta verso l’alto che un corpo immerso riceve è indipendente dal peso dell’oggetto immerso;
dipende dal volume immerso del solido e dal tipo di liquido: la natura del liquido può essere
caratterizzata con misure di densità (relative) ottenute da quelle sulla spinta di Archimede.