Navigazione da satellite - Laboratorio di Geomatica

Laboratorio di Navigazione
Laurea Specialistica in Ingegneria Informatica,
Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio
Politecnico di Milano – Campus Como
NAVIGAZIONE DA
SATELLITE
1
La navigazione da satellite
Per navigazione satellitare (in inglese satellite navigation), o meglio navigazione da satellite, si
intende la navigazione assistita da segnali trasmessi da satelliti artificiali. Il termine può essere
talvolta mal interpretato, intendendo erroneamente la navigazione dei satelliti stessi, cioè il calcolo
e l’eventuale correzione della loro orbita.
Cenni storici
L’inizio della navigazione satellitare può essere fatto risalire al lancio del satellite russo Sputnik nel
1957. Disponendo di tale satellite nello spazio, fu possibile sviluppare studi sulla determinazione
della sua orbita attraverso l’effetto Doppler. Il ragionamento inverso consente in principio di
sfruttare l’informazione del satellite per il posizionamento/navigazione terrestre: se una singola
stazione a terra è sufficiente per determinare l’orbita dello Sputnik tramite l’effetto Doppler, allora
la posizione incognita di un ricevitore a terra può essere derivata dallo stesso tipo di osservazioni
Doppler se l’orbita del satellite è già nota. Si ricorda che l’effetto Doppler produce una variazione
(shift) apparente della frequenza del segnale emesso, percepita da un ricevitore in moto relativo
rispetto alla sorgente. In particolare detta v la loro velocità relativa (lungo la direzione di vista),
l’effetto Doppler in prima approssimazione è pari a
∆f = f r − f e = −
fe
v
c
dove fe e fr sono rispettivamente la frequenza del segnale emesso e ricevuto. In altri termini l’effetto
Doppler fornisce una misura della velocità con cui si muove per esempio la sorgente emittente e,
dopo integrazione nel tempo, la distanza fra sorgente e ricevitore.
Lancio dello Sputnik da Baikonur
Sputnik
Sputnik (dettagli)
Sulla base di questa esperienza, negli anni Sessanta la marina militare americana sviluppò un
sistema chiamato Transit. Nel 1964 questo sistema era operativo per scopi militare; dal 1967 fu
operativo anche per scopi civili. Fu dismesso nel 1996. L’idea del sistema Transit fu alla base del
successivo sistema GPS. I satelliti del sistema Transit volavano su orbite circolari, polari a una
quota di 1075 km (LEO=low earth orbit); tipicamente sette satelliti erano attivi e ciascuno di essi
trasmetteva segnali su due portanti (a 150 e 400 MHz). Ogni volta che un satellite era a vista di una
stazione di controllo, questa riceveva i due segnali emessi e sfruttando l’effetto Doppler calcolava
l’orbita del satellite e trasmetteva al satellite stesso l’orbita predetta per le successive 12 ore. Nota
l’orbita, era possibile per un ricevitore calcolare la sua posizione quando il satellite era a vista, con
accuratezze dell’ordine della decina di metri in modalità navigazionale.
2
Satellite Transit
Satellite Tsikada
Occorre ricordare nel 1974 i sovietici inviarono nello spazio il sistema Tsikada che sfruttava gli
stessi principi del Transit. Nominalmente il sistema è ancora operativo.
Tuttavia la vera rivoluzione nella navigazione dallo spazio si deve alla seconda generazione di
sistemi satellitari, lanciati intorno agli anni Ottanta, ovvero il sistema americano GPS (Global
Positioning System) e la controparte russa GLONASS (GLObal Navigation Satellite System). A
breve verranno affiancati da un sistema europeo denominato Galileo e da un sistema cinese
denominato Compass.
Satellite GPS
Satellite GLONASS
Global Positioning System (GPS)
Il sistema di posizionamento GPS è basato sulla ricezioni di segnali radio emessi da una
costellazione di satelliti artificiali in orbita attorno alla Terra. E’ progettato in maniera tale da
permettere in ogni luogo e istante il posizionamento tridimensionale di oggetti anche in movimento.
L’architettura del sistema è costituita da 3 parti:
- Segmento spaziale, ovvero la costellazione di satelliti;
- Segmento di controllo, ovvero l’insieme di stazioni a terra che gestiscono il sistema;
- Segmento di utilizzo, ovvero gli utenti civili e militari che utilizzano appositi ricevitori con
antenna.
3
Segmento spaziale
E’ costituito nominalmente da 24 satelliti, in orbita quasi circolare attorno alla Terra ad un’altezza
di circa 20200 km (MEO=mean earth orbit). Il periodo orbitale è di 12 ore. Ogni satellite ha una
vita media di 7.5 anni.
I 24 satelliti sono disposti su 6 piani orbitali equamente spaziati tra loro, con un inclinazione di 55°
rispetto al piano equatoriale. Ci sono nominalmente quattro satelliti per piano.
Costellazione GPS
Una copertura globale con almeno quattro satelliti è garantita; si raggiungono fino a otto satelliti
con un’elevazione minima di 15° sull’orizzonte, fino a 10 satelliti con un’elevazione superiore a 10°
e fino a 12 satelliti con un’elevazione superiore a 5° (si definisce elevazione del satellite l’angolo
fra la direzione del segnale ed il piano tangente all’ellissoide nel punto occupato dal ricevitore, vedi
Figura).
Elevazione del satellite η
I satelliti, aventi massa dell’ordine di 800 kg e dotati di pannelli solari con una superficie di circa
7.2 m2, sono stati lanciati in varie epoche e appartengono a diversi blocchi:
- Blocco I: sperimentali e lanciati dal 1978 al 1985 (ormai tutti fuori uso);
- Blocco II, SVN 13-21: lanciati dal 1989 al 1990;
- Blocco IIA, SVN 22-40: lanciati dal 1990 al 1997;
- Blocco IIR, SVN 41-62: lanciati dal 1997 a oggi.
- Blocco IIF: in fase di sviluppo.
I satelliti dei Blocchi II e IIA dispongono di 4 oscillatori, di cui 2 al cesio e 2 al rubidio; quelli del
Blocco IIR dispongono di 3 oscillatori al rubidio.
4
Segmento di controllo
E’ costituito dalle stazioni di controllo a Terra. Sono cinque, disposte in zone equatoriali (Hawaii e
Colorado Springs (USA), Ascension nel sud dell’Oceano Atlantico, Diego Garcia nell’Oceano
Indiano e Kwajalein nel nord dell’Oceano Pacifico) con il compito di “tracciare” e correggere
l’orbita dei satelliti, controllare e sincronizzare gli orologi dei satelliti, inviare ai satelliti le
effemeridi (cioè le posizioni dei satelliti) previste per le successive 12/24 ore, che verranno a loro
volta trasmesse dai satelliti agli utenti. La stazione di Colorado Spring costituisce la stazione
master, raccoglie i dati dalle altre stazioni e svolge i principali calcoli computazionali.
Stazione di Diego Garcia
Segmento di controllo
Segmento di utilizzo
E’ costituito dall’utenza dotata di ricevitori con antenna. Questi sono strumenti di tipo passivo
ovvero non emettono segnali ma sono in grado di acquisire dati. La posizione che verrà determinata
è quella del centro di fase dell’antenna, che può essere messa in stazione su treppiede/caposaldo o
essere in movimento. I ricevitori possono essere indifferentemente a Terra, su un aereo, sullo
Shuttle (a 150 km da Terra) e così via.
Ricevitore e antenna GPS
5
La precisione del sistema è garantita dal fatto che i segnali emessi dai satelliti sono controllati da
orologi atomici, in grado di “oscillare” alla frequenza fondamentale di 10.23 MHz (corrispondente
ad una lunghezza d’onda dell’ordine di 30 m). A partire da questa frequenza si generano le tre parti
principali del messaggio GPS:
- Portanti: 2 onde sinusoidali chiamate L1 e L2
- Codici: 2 sequenze binarie dette C/A (Coarse Acquisition Code) e P (Precise Code)
- Messaggio navigazionale: codice D
Portanti
Sono generate moltiplicando la frequenza fondamentale per 154 (portante L1) e per 120 (portante
L2), ottenendo
- Portante L1: f1=1575.42 MHz,
λ1≈19 cm
λ2≈24 cm
- Portante L2: f2=1227.60 MHz,
L’utilizzo della doppia frequenza è fondamentale per eliminare diverse cause di errore, come per
esempio il ritardo dovuto alla rifrazione ionosferica.
Esempio di portante oscillante
Codici
I codici sono sequenze di valori binari (+1 oppure –1), generati da un algoritmo che si ripete
periodicamente nel tempo (per tale motivo sono detti “pseudo-casuali”) e utilizzati per modulare in
ampiezza le portanti. Due codici sono disponibili; definendo il periodo T del codice come il tempo
necessario per la trasmissione dell’intero codice, si ha
- Codice C/A: f1=0.1 * 10.23 MHz, λ1≈300 m,
1023 impulsi (chip)→ T = 1 ms
λ2≈30 m,
T = 37 settimane
- Codice P:
f2=10.23 MHz,
6
Il codice C/A è disponibile per uso civile e modula solo la portante L1; serve da identificativo del
satellite (ogni sequenza è diversa da satellite a satellite). Il codice P è comune a tutti i satelliti, viene
modulato su entrambe le portanti e garantisce accuratezze superiori; il sistema GPS include la
possibilità da parte del gestore del sistema (Department of Defence) di rendere visibile o
“mascherare” il codice P, in maniera da renderlo accessibile rispettivamente a tutti gli utenti o solo
a quelli autorizzati (tipicamente militari). Questa procedura è detta Anti-Spoofing (A/S) e consiste
nel criptare il codice P in codice Y (encrYpted).
Modulazione della portante con codice
Messaggio navigazionale
Il messaggio navigazionale è un altro codice binario, modulato sulle portanti e costituito da 25
blocchi di 30 secondi ciascuno. Contiene informazioni sullo stato del satellite, sull’orologio di
bordo e soprattutto sulle effemeridi del satellite, ovvero sui parametri per il calcolo della posizione
dei satelliti stessi.
7
Occorre sottolineare che i satelliti del blocco IIF (modernized GPS) metteranno a disposizione una
terza frequenza (denominata L5, pari a 115 volte la frequenza fondamentale) ad uso civile. La
notazione L5 è stata scelta perchè attualmente i satelliti trasmettono segnali aggiuntivi chiamati L3
e L4 ad uso esclusivamente militare. E’ anche prevista la separazione tra codici per utenza civile e
per utenza militare.
Esistono sostanzialmente due tipi diversi di osservazioni GPS:
- Osservazioni di pseudo-range (pseudo distanza)
- Osservazioni di fase
Osservazioni di pseudo-range
Il principio si basa sulla misura del “tempo di volo”, ovvero l’intervallo di tempo tra la trasmissione
del segnale da parte del satellite e la ricezione dello stesso da parte del ricevitore. La misura avviene
tramite un procedimento di correlazione di due segnali. Il ricevitore, dopo aver identificato il
satellite (mediante il codice C/A), è in grado di generare una replica del codice e di confrontare
questa replica con il segnale ricevuto. Lo sfasamento tra i due segnali non è altro che il tempo di
volo. Questo procedimento può essere effettuato indifferentemente sul codice C/A o P.
Principio di misura delle osservazioni di codice
Detta Prs (t ) la distanza misurata tra satellite s e ricevitore r (osservazione di pseudo-range), in linea
teorica vale la relazione
Prs (t ) = c∆t rs (t )
dove c è la velocità della luce nel vuoto e ∆t rs (t ) il tempo di volo osservato. Occorre tener presente
diverse scale temporali, ovvero
1. scala di tempo di riferimento anche detto tempo GPS.
2. scala di tempo del satellite, che non essendo perfettamente allineato con il tempo GPS,
presenterà un offset dt s (t )
3. scala di tempo del ricevitore, con un offset dt r (t )
Si noti come gli offset (anche detti errori d’orologio) varino nel tempo, per esempio a causa di
fenomeni di deriva degli orologi del satellite e del ricevitore.
Il tempo di volo osservato sarà quindi uguale a
∆t rs (t ) = [t r + dt r (t )] − [t s + dt s (t )] = ∆t + dt r (t ) − dt s (t )
8
dove tr e ts sono rispettivamente il tempo di emissione del codice e di ricezione del segnale rispetto
alla scala temporale di riferimento (tempo GPS). ∆t è il tempo di volo effettivo perché riferito alla
stessa scala temporale (tempo GPS) ed è dell’ordine di 66 ms, tenendo conto la quota dell’orbita del
satellite. L’osservazione di pseudo-range, trascurando gli effetti atmosferici che tratteremo in
seguito, può essere quindi scritta come
[
Prs (t ) = ρ rs + c dt r (t ) − dt s (t )
]
Gli orologi atomici dei satelliti possono essere considerati tutti sincronizzati tra loro e il
corrispondente errore d’orologio modellato con un polinomio di secondo grado. Questo introduce
errori che vanno dalla decina di centimetri al metro. Lo stesso ragionamento non può essere ripetuto
per gli errori d’orologio dei ricevitori, essendo questi orologi generalmente al quarzo e quindi
caratterizzati da una stabilità molto minore. Una loro modellizzazione porterebbe ad errori di
posizionamento dell’ordine di qualche centinaia di chilometri, assolutamente inaccettabili. Per tale
motivo l’errore d’orologio del ricevitore è considerato come un’incognita insieme alla distanza ρ rs
tra il satellite e il ricevitore. Tale distanza può essere scritta come
ρ rs =
(X
r
−Xs
) + (Y
2
r
−Y s
) + (Z
2
r
−Zs
)
2
dove ( X r Yr Z r ) sono le coordinate incognite del ricevitore, mentre ( X s Y s Z s ) sono le coordinate
del satellite derivate dall’orbita dei satelliti. Queste possono essere note con precisione diversa, a
seconda che si tratti di
1. effemeridi predette dal segmento di controllo e trasmesse nel segnale inviato dai satelliti a
terra (quindi in tempo reale). Hanno una precisione di qualche metro.
2. effemeridi “rapide”, calcolate a posteriori (entro mezza giornata) dall’International GNSS
Service (IGS). Hanno una precisione di circa 10 centimetri.
3. effemeridi “precise”, calcolate a posteriori (entro 12 giorni) sempre dall’IGS con una
precisione di circa 5 centimetri.
Detto ns il numero di satelliti visibili, nt il numero di epoche acquisite da ogni satellite, si ha
1. nel posizionamento statico (cioè ricevitore fermo nello stesso punto), ns* nt osservazioni e
3+ nt incognite (ovvero tre coordinate più l’errore d’orologio del ricevitore per ogni epoca),
quindi
3
ns − 1
cioè sono richiesti solo due satelliti per un minimo di 3 epoche per ottenere una soluzione.
Questa soluzione è comunque mal condizionata e si preferisce avere a disposizione almeno 4
satelliti che garantisce una soluzione anche con un’unica epoca di osservazione.
2. nel posizionamento cinematico il numero di incognite diventa 4nt perché le coordinate del
punto cambiano da osservazione a osservazione, quindi
n s nt ≥ 3 + nt
nt ≥
n s nt ≥ 4 nt
ns ≥ 4
cioè sono richiesti sempre almeno 4 satelliti per tracciare la traiettoria del veicolo.
Osservazioni di fase
Il range satellite-ricevitore può essere ottenuto anche con misure di fase sulle portanti L1 e L2. Si
supponga di seguire un satellite lungo la sua orbita considerando un’epoca iniziale t0 e una generica
epoca t.
9
Principio di misura delle osservazioni di fase
All’istante t0 il range R osservato dal ricevitore può essere espresso come
Rrs (t 0 ) = λ φ rs (t 0 ) + λ N rs (t 0 )
dove φ rs (t 0 ) è lo sfasamento osservato tra il segnale ricevuto dal satellite e la replica generata dal
ricevitore, N rs (t 0 ) il numero intero di cicli compiuti dall’onda nel percorso satellite-ricevitore e
infine λ la lunghezza d’onda della portante. In realtà il ricevitore misura solo φ rs (t 0 ) , mentre il
termine N rs (t 0 ) costituisce una nuova incognita del problema, detta “ambiguità iniziale di fase”.
All’epoca t il satellite ha percorso un tratto di orbita e la nuova misura può essere espressa ancora
come
Rrs (t ) = λ φ rs (t ) + λ N rs (t )
dove
N rs (t ) = N rs (t 0 ) + C (t 0 , t )
Questa volta il ricevitore è in grado di contare il numero di cicli (in più o in meno) C(t0,t) compiuti
dal segnale dall’epoca t0 del primo aggancio all’epoca t considerata. L’unica incognita aggiuntiva
resta quindi l’ambiguità di fase iniziale all’istante t0. Ovviamente questo presuppone che durante
tutto il periodo di osservazione sia mantenuto da parte del ricevitore il contatto con il satellite. La
perdita di tale contatto, dovuta per esempio ad un ostacolo lungo il cammino ottico oppure a
problemi circuitali del ricevitore, è detta cycle-slip e comporta la perdita del conteggio del numero
di cicli interi e quindi l’introduzione di una nuova ambiguità di fase incognita.
Tenendo nuovamente conto degli errori d’orologio
[
Rrs (t ) = ρ rs + c dt r (t ) − dt s (t )
]
e esprimendo l’equazione di fase in termine della vera osservabile φ rs (t ) (in cicli) si ottiene
ρ rs
φ (t ) =
− N rs (t ) + f [dt r (t ) − dt s (t )]
λ
s
r
dove la frequenza f =c /λ.
10
Per quanto riguarda la configurazione base per arrivare ad una soluzione, si ha
1. nel posizionamento statico, ns nt osservazioni e 3+nt+ns incognite (cioè vanno aggiunte le
ambiguità iniziali, una per ogni satellite), quindi
n s nt ≥ 3 + nt + n s
nt ≥
ns + 3
ns − 1
cioè sono richiesti solo due satelliti per un minimo di 5 epoche per ottenere una soluzione.
Come nel caso delle osservazioni di codice, questa soluzione è mal condizionata e si
preferisce avere a disposizione almeno 4 satelliti che permette di ottenere una soluzione
anche con tre epoche di osservazione.
2. nel posizionamento cinematico il numero di incognite diventa 4nt+ns perché le coordinate
del punto cambiano da osservazione a osservazione, quindi
n s nt ≥ 4 nt + n s
nt ≥
ns
ns − 4
cioè sono richiesti almeno 5 satelliti per ottenere poi una soluzione con 5 epoche di misura.
Nel caso di 6 satelliti servono 3 epoche e nel caso di 8 satelliti 2 epoche. La soluzione
cinematica con un’unica osservazione non è possibile a causa dell’ambiguità di fase.
Occorre quindi definire una procedura di “inizializzazione”, per esempio stando inizialmente
fermi fino a quando non viene stimata l’ambiguità iniziale. Sono state sviluppate anche
tecniche di determinazione dell’ambiguità iniziale in movimento, dette On The Fly (OTF).
La precisione delle misure GPS dipende anche dal disturbo (o ritardo) atmosferico, legato al fatto
che il segnale emesso dal satellite deve attraverso l’atmosfera prima di giungere al ricevitore. La
velocità di propagazione del segnale subisce variazioni dovute allo stato fisico del mezzo. Tale
ritardo deve essere considerato poiché il conseguente errore di posizionamento ha un’entità
superiore a 5 metri e può arrivare anche a 200 metri.
Si possono individuare sostanzialmente tre tipi di disturbo atmosferico:
- optical path curvature
- tropospheric refraction
- ionospheric refraction
Curvatura del percorso
Qualunque segnale elettromagnetico, nell’attraversare un mezzo, segue il percorso di minimo tempo
(legge di Fermat) che non necessariamente coincide con la minima distanza geometrica. Può essere
modellato secondo il seguente modello empirico
R (η ) =
1.92
η + 0.6
2
dove R è l’effetto della curvatura sulla lunghezza del percorso in metri, mentre η è l’angolo di
elevazione in gradi. Nel seguito si trascurerà il termine di curvatura.
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Curvatura del percorso del segnale elettromagnetico
Rifrazione troposferica
La troposfera rappresenta la parte “bassa” dell’atmosfera, compresa tra la superficie della Terra e
un’altezza approssimativamente di 40 km. Può essere divisa in due parti:
- parte “idrostatica”: dalla superficie ad un’altezza di circa 11 km
- parte “secca”: compresa fra le altezze di 11 e 40 km
La rifrazione troposferica provoca sempre un ritardo del segnale per cui la misura del range risulta
sistematicamente più lunga. Il ritardo troposferico è indipendente dalle frequenze ed è quindi
identico per la portante L1 e L2. Dipende da parametri atmosferici (come la pressione, il vapor
acqueo, la temperatura) e dall’angolo zenitale z del satellite. L’errore troposferico aumenta
notevolmente superato l’angolo zenitale di 75° (ovvero 15° di elevazione). Tra i vari modelli usati
per descrivere il disturbo troposferico ricordiamo quello di Saastamoinen e quello di Hopfield.
Nella seguente tabella vengono riportati alcuni valori tipici, in funzione dell’elevazione del satellite.
Elevazione (°)
Basso (m)
Medio (m)
Alto (m)
15
8.9
9.2
10.4
30
4.6
4.8
5.4
45
3.3
3.4
3.8
90
2.3
2.4
2.7
Basso: clima secco e freddo. Medio: clima normale. Alto: clima caldo e umido
Rifrazione ionosferica
La ionosfera rappresenta la parte alta dell’atmosfera, compresa tra un’altezza di 40-50 km fino a
1000 km approssimativamente. Il disturbo ionosferico (positivo per i codici e negativo per le
portanti) dipende dalla frequenza del segnale ed è dunque diverso per le portanti L1 e L2. Tale
disturbo è legato sostanzialmente alla densità di elettroni liberi, che a sua volta varia in funzione
dell’intensità dell’attività solare e dall’intensità di radiazione solare incidente sull’atmosfera
(periodo diurno o notturno). Tra i vari modelli usati per descrivere il disturbo ionosferico
ricordiamo quello di Klobuchar. Nella seguente tabella vengono riportati alcuni valori tipici, in
funzione dell’elevazione del satellite.
Elevazione (°)
Basso (m)
Medio (m)
Alto (m)
15
3.9
18
180
30
2.0
10
100
45
1.4
7
70
90
1
5
50
Basso: periodo notturno. Medio: periodo diurno, normale attività solare.
Alto: periodo diurno, intensa attività solare.
12
Detto J il ritardo ionosferico e T quello troposferico, l’equazione di osservazione di pseudo-range
da misure di codice può essere scritta come
[
]
Prs (t ) = ρ rs + c dt r (t ) − dt s (t ) + J rs (t ) + Trs (t )
mentre nel caso dell’equazione di fase si ha
ρ rs
J rs (t ) Trs (t )
s
s
φ (t ) =
− N r (t ) + f [dt r (t ) − dt (t )] −
+
λ
λ
λ
s
r
Si noti che l’effetto ionosferico sulle due portanti L1 e L2 è legato dalla seguente relazione
J rs, L 2 =
λ2L 2 s
J r , L1
λ2L1
Oltre ai disturbi atmosferici, sono presenti altre fonti di errore come quelle legate agli effetti
relativistici, alle variazioni del centro di fase dell’antenna, al multipath (che si presenta quando
parte del segnale arriva all’antenna in maniera indiretta, riflesso da altre superfici), all’elettronica
del ricevitore, ecc.
Vi sono poi gli errori accidentali che, approssimativamente, sono dell’ordine di 3 m per il codice
C/A, 30 cm per il codice P, 2 mm per le portanti.
Consideriamo ora tre diverse tecniche di posizionamento/navigazione:
- posizionamento assoluto (point positioning)
- posizionamento relativo
- GPS differenziale (DGPS o in generale DGNSS)
Point positioning
Per posizionamento assoluto di un ricevitore si intende la stima delle coordinate del ricevitore e del
suo offset di orologio (tipicamente da osservazioni di codice). Può essere effettuato in modalità
statica stazionando più tempo sullo stesso punto, oppure in modalità cinematica quando il ricevitore
è in movimento. In quest’ultimo caso occorre stimare la posizione assoluta del ricevitore istante per
istante disponendo di almeno 4 satelliti a vista.
La stima delle incognite si basa su una soluzione ai Minimi Quadrati (MQ), dopo aver linearizzato
le equazioni di osservazione (a partire da un valore approssimato delle coordinate).
Essendo interessati alla soluzione navigazionale, consideriamo il problema MQ in singola epoca,
~ ~ ~
supponendo disponibili i valori approssimati delle coordinate del ricevitore ( X R , YR , Z R ); inoltre si
suppongono noti i disturbi ionosferici J e troposferici T (da modelli), posizione e offset d’orologio
dei satelliti (dalle effemeridi trasmesse o precise).
Tenendo conto del noise di misura ν P si ha
[
]
) + (Z
Prs (t ) = ρ rs (t ) + c dt r (t ) − dt s (t ) + J rs (t ) + Trs (t ) + ν P =
=
(X
r
−Xs
) + (Y
2
r
−Y s
2
r
−Zs
)
2
[
]
+ cdt r (t ) + − cdt s (t ) + J rs (t ) + Trs (t ) + ν P
13
Linearizzando ρ rs rispetto alle coordinate del ricevitore si ha
∂ρ s
∂ρ s
∂ρ rs
~
~
~
( X r − X r ) + r (Yr − Yr ) + r ( Z r − Z r ) =
∂Z r
∂Yr
∂X r
~
s
Xr − X
~
= ρ~rs +
(X r − X r ) +
2
2
2
~
~
~
X r − X s + Yr − Y s + Z r − Z s
~
Yr − Y s
~
(Yr − Yr ) +
+
2
2
2
~
~
~
X r − X s + Yr − Y s + Z r − Z s
~
Zr − Z s
~
(Z r − Z r ) =
+
2
2
2
~
~
~
X r − X s + Yr − Y s + Z r − Z s
ρ rs ≅ ρ~rs +
(
(
)
) (
)
) (
)
) (
) (
(
) (
(
) (
(
(
(
)
)
)
)
(
)
(
)
~
~
~
X −Xs
Y −Y s
Z −Zs
~
~
~
( X r − X r ) + r ~ s (Yr − Yr ) + r ~ s
= ρ~rs + r ~ s
(Z r − Z r )
ρ
ρ
ρ
r
r
r
In questo modo l’equazione di pseudo-range linearizzata diventa
s
r
P
~
(
X
=
r
)
(
)
(
r
r
[
r
]
+ cdt r (t ) + ρ~rs − cdt s + J rs + Trs + ν P =
~
X
(
=
)
~
~
−Xs
Yr − Y s
Zr − Z s
~
~
~
(Z r − Z r ) +
( X r − X r ) + ~ s (Yr − Yr ) +
s
s
~
~
ρ
ρ
ρ
r
)
(
)
(
)
~
~
−Xs
Yr − Y s
Zr − Z s
δX r + ~ s δYr +
δZ r + cdt r + brs + ν P
s
s
~
~
ρ
ρ
ρ
r
dove
r
~
δX r = X r − X r ;
r
~
δYr = Yr − Yr ;
~
δZ r = Z r − Z r
brs = ρ~rs − cdt s + J rs + Trs
L’equazione ottenuta può essere scritta per ognuno dei n satelliti in vista all’epoca fissata t. Il
modello dei Minimi Quadrati risulta
Y0 = Ax + b + ν
dove
δX r 
 δY 
x= r
 δZ r 


cdt r 
14




A=





(X~
(X~
r
− X1
ρ~ 1
r
2
r − X
ρ~ 2
) (Y~ − Y ) (Z~
1
r
(
ρ~ 1
) (Y~ − Y ) (Z~
r
r
2
r −Z
ρ~ 2
M
~
Yr − Y n
ρ~ n
M
~
Zr − Z n
ρ~ n
r
ρ~
2
r
) (
r
− Z1
ρ~ 1
2
r
M
~
Xr − X n
ρ~ n
r
r
 Pr1 
 2
P
Y0 =  r 
 M 
 n
 Pr 
)
)
r
) (
r
)

1


1

M

1

 br1 
 2
b
b=  r
M
 n
br 
dove il noise ν è caratterizzato dalla seguente matrice di covarianza
Cνν = σ 02 Q = σ 02 I
cioè le osservazioni dai vari satelliti sono considerate incorrelate e di ugual precisione.
La stima MQ dei parametri x risulta
δXˆ r 
 ˆ 
δY
xˆ =  r  = A + A
 δZˆ 
 r
cdˆt r 
(
)
−1
A + (Y 0 − b )
e, di conseguenza, le coordinate stimate del ricevitore sono
~
 X r   X r  δXˆ r 
 Y  =  Y~  +  δYˆ 
 r   ~r   r 
 Z r   Z r  δZˆ r 


Vi sono alcuni indici grezzi, che però non tutti i ricevitori di bassa fascia rendono disponibili agli
utenti, che permettono di dare un primo giudizio sulla qualità del rilevamento, sia statico che
cinematico. Questi sono:
- il numero dei satelliti in vista; più è alto migliore è il rilevamento,
- il rapporto S/N, segnale/rumore, che è cruciale per mantenere agganciato il segnale del satellite
- il PDOP (positioning dilution of precision); questo non è altro che
PDOP =
Tr N −1
dove N-1 = (A+A)-1 è l’inversa della matrice normale dei minimi quadrati; il PDOP, moltiplicato per
σ0 rappresenta la precisione complessiva della pura determinazione geometrica del punto. Si noti
che la matrice N, oltre che dal numero dei satelliti tracciati, dipende anche dalla loro posizione nel
cielo visibile da Rr (sky plot). Di norma i ricevitori scartano le osservazioni per cui PDOP supera
una certa soglia.
15
Oltre a PDOP talvolta si prendono in considerazione indici che rappresentano la diluizione di
precisione nelle coordinate di altezza o nelle coordinate orizzontali (VDOP, HDOP); occorre tenere
a mente che per motivi intrinseci si ha normalmente VDOP pari a 1.5 o 2 volte HDOP.
Un point positioning in modalità navigazionale permette di ricostruire il moto con un errore
dell’ordine di 1 – 3 metri (non peggiore dei 10 metri). Un notevole salto di qualità può essere
ottenuto con un posizionamento/navigazione di tipo relativo.
Posizionamento relativo
Consideriamo due ricevitori che abbiano effettuato osservazioni da un satellite k alla medesima
epoca t. I due ricevitori sono denominati master m (tipicamente fermo) e rover r (tipicamente in
movimento). Consideriamo inizialmente il caso dei codici.
Date le due equazioni di osservazione
[
]
[
]
Pmk = ρ mk + c dt m − dt k + J mk + Tmk + ν mk
Prk = ρ rk + c dt r − dt k + J rk + Trk + ν rk
16
la cosiddetta differenza singola è la differenza dei codici osservati dai due ricevitori
(
)
(
) (
) (
Prmk = Prk − Pmk = ρ rk − ρ mk + c(dt r − dt m ) + J rk − J mk + Trk − Tmk + ν rk − ν mk
)
dove è sparita la dipendenza rispetto agli errori di orologio del satellite. Si noti inoltre che le
correzioni di ionosfera e troposfera sono così correlate spazialmente che se rover e master distano
meno di 10 km, le loro differenze possono essere trascurate.
Se ora si considerano due satelliti k e h, tracciati allo stesso istante t dai ricevitori r e m, e si effettua
un’ulteriore differenziazione si ottengono le cosiddette differenze doppie, ovvero
(
) [(
+ [(T
) (
) (
) − (T
)] [(
)] + [(ν
) (
) − (ν
)]
Prmkh = Prk − Pmk − Prh − Pmh = ρ rk − ρ mk − ρ rh − ρ mh + J rk − J mk − J rh − J mh +
k
r
− Tmk
h
r
− Tmh
k
r
− ν mk
h
r
)]
− ν mh =
kh
kh
kh
= ρ rm
+ J rm
+ Trmkh + ν rm
dove è sparita la dipendenza rispetto agli errori di orologio del ricevitore. Nel caso di più di 2
satelliti, uno di questi viene scelto come riferimento (pivot) e vengono effettuate le differenze
doppie rispetto a lui per non creare combinazioni linearmente dipendenti.
Poiché il ricevitore master sosta fermo mentre il rover si muove da punto a punto, è logico ritenere
che le coordinate del master siano note con una precisione superiore e la linearizzazione viene fatta
rispetto alle coordinate del ricevitore rover.
La linearizzazione delle differenze doppie è equivalente a linearizzare le singole osservazioni di
pseudo-range e poi calcolare le differenze doppie delle quantità linearizzate, cioè
kh
rm
P
(
)
(
)
(
)
~
~
~
 ~k

Xr − X k
Yr − Y k
Zr − Z k
= P − P − P − P ≅ ρ r +
δX r + ~ k δYr +
δZ r − ρ mk  +
k
k
~
~
ρr
ρr
ρr


~
~
~


X −Xh
Y −Y h
Z −Zh
kh
kh
−  ρ~rh + r ~ h
δX r + r ~ h δYr + r ~ h δZ r − ρ mh  + J rm
+ Trmkh + ν rm
ρ
ρ
ρ
r
r
r


(
k
r
k
m
(
) (
h
r
h
m
)
)
(
)
(
)
ovvero
17
kh
rm
P
(
) (
~
~
 Xr − X k
Xr − X h
≅
−
ρ~rk
ρ~rh

kh
kh
+ brm
+ ν rm
dove
~
δX r = X r − X r ;
(
) (
)δX


(
r
) (
~
~
 Yr − Y k
Yr − Y h
+  ~k
−
ρ~rh
 ρr
~
)δY


r
(
) (
~
~
 Zr − Z k
Zr − Z h
+  ~k
−
ρ~rh
 ρr
)δZ


r
+
~
δYr = Yr − Yr ;
δZ r = Z r − Z r
)
kh
kh
brm
= ρ~rk − ρ mk − ρ~rh − ρ mh + J rm
+ Trmkh
L’equazione ottenuta può essere scritta per ognuna delle n-1 doppie differenze (dove n è il numero
di satelliti in vista) calcolate all’epoca t. Il modello dei Minimi Quadrati risulta
Y0 = Ax + b + ν
dove
δX r 
x =  δYr 
δZ r 

M
~
 X~ − X k
X −Xh
− r ~h
A =  r ~k
ρr
ρr


M
(
) (
 M 
Y0 =  Prmkh 
 M 
)
M
(Y~ − Y ) − (Y~ − Y )
k
r
ρ~
h
r
k
r
M
ρ~
h
r

M
~
k
h 
−
−
Z
Z
Z
r
− r ~h 
k
~
ρr
ρr


M
(Z~
) (
)
 M 
kh 
b = brm

 M 
kh
Occorre tener presente che il noise ν rm
delle diverse osservazioni di differenze doppie è correlato.
Consideriamo per esempio tre satelliti k, h, l , dove k è il pivot; le due differenze doppie che si
possono scrivere saranno caratterizzate dal seguente noise
kh
ν rm
= (ν rk − ν mk ) − (ν rh − ν mh )
kl
ν rm
= (ν rk − ν mk ) − (ν rl − ν ml )
Assumendo che le singole osservazioni di fase abbiano noise con varianza σ 02 e siano incorrelate
tra loro, cioè
(
)
E ν rk ,ν mh = σ 02 δ khδ rm
si ha
18
(
E ν ,ν
kh
rm
kl
rm
)
4σ 02
= 2
2σ 0
per h = l
per h ≠ l
In generale la matrice dei cofattori Q può essere scritta come
4
2
Q=
2

2
2 2 2
4 2 2
2 O M

2 K 4
cosicché la matrice di covarianza del noise risulta
Cνν = σ 02 Q
Con una stima ai minimi quadrati utilizzando le differenze doppie delle osservazioni di codice si
può stimare la base rispetto alla posizione del master, ricostruendo il moto con un errore dell’ordine
del decimetro.
Passiamo ora alle misure di fase:
ρ mk
Jk Tk
− N mk (t ) + f [dt m − dt k (t )] − m + m + ν mk
λ
λ
λ
φ mk (t ) =
ρ rk
J rk Trk
k
k
φ (t ) =
− N r (t ) + f [dt r (t ) − dt (t )] −
+
+ ν rk
λ
λ
λ
k
r
Le differenze singole sono date da:
φ
k
rm
 ρ rk ρ mk 
 J rk J mk   Trk Tmk 
k
k


+
 + ν rk − ν mk
= φ −φ = 
−
− N r − N m + c(dt r − dt m ) − 
−
−



λ 
λ   λ
λ 
 λ
 λ
k
r
(
k
m
)
(
)
mentre le differenze doppie:
φ
kh
rm
(
= φ −φ
k
r
k
m
) − (φ
h
r
−φ
h
m
)
 ρ rk ρ mk   ρ rh ρ mh 
−
 − N rk − N mk − N rh − N mh +
= 
−
−


λ   λ
λ 
 λ
[(
)]
) (
 J k J k   J h J h   T k T k   T h T h 
−  r − m  −  r − m  +  r − m  −  r − m  + ν rk − ν mk − ν rh − ν mh =
λ   λ
λ   λ
λ   λ
λ 
 λ
ρ kh
J kh T kh
kh
kh
= rm − N rm
− rm + rm + ν rm
[(
λ
λ
) (
)]
λ
Poiché le osservazioni di fase sono affette da un noise di almeno un ordine di grandezza più piccolo
rispetto allo pseudorange, è auspicabile che la stima del moto utilizzando le differenze doppie di
fase sia significativamente migliore. Tuttavia queste equazioni contengono un’incognita aggiuntiva
(l’ambiguità iniziale) che si sa dover essere intera. Come visto in precedenza, la soluzione
19
navigazionale, epoca per epoca, non è possibile con le misure di fase senza una stima preliminare
dell’ambiguità di fase. Una prima soluzione consiste nell’utilizzare una cosiddetta stima “float”
(non intera), ovvero la seguente media nel tempo
kh
=
Nˆ rm
1
tn − t0
 Prmkh (t )

kh
(t )
− φ rm
∑

λ
t =t0 

tn
supponendo che nell’intervallo di tempo considerato non ci siano cycle-slip. Si noti che la
combinazione codice-fase utilizzata non dipende dalla distanza satellite-ricevitore (geometry-free),
kh
può essere trascurata se master e rover non sono troppo
mentre la dipendenza dalla ionosfera J rm
distanti. Tuttavia la deviazione standard di tale combinazione è elevata, approssimativamente pari
all’errore del codice espresso in cicli, ovvero
P

− φ  ≅ 3 cicli
λ

σ
Pertanto se utilizzassimo una sola epoca per stimare N, il valore trovato non solo non sarebbe intero,
ma in un ragionevolmente intervallo di confidenza, diciamo 4σ , sarebbero contenuti molti valori
interi accettabili come stime di N. Utilizzando invece lo stimatore prima citato, il suo scarto
quadratico medio risulta
( )
σ Nˆ =
P

−φ 
λ

tn − t0
σ
Supponendo di avere un’osservazione al secondo, con circa 4 minuti (240 secondi) di dati senza
cycle-slip, si ha
( )
σ Nˆ ≅
3
= 0.2 cicli
15
che in un intervallo di 4σ, contiene al più un unico valore intero, ovvero la stima intera di N.
Fissato N è possibile linearizzare le equazioni di fase in maniera analoga a quelle di codice e
ricavare una stima delle coordinate del punto nel tempo con una precisione dell’ordine del
centimetro.
Si noti che per evitare cycle-slip dovuti per esempio a ostruzione del segnale, si preferisce in un
rilevamento cinematico mantenere il rover fermo una decina di minuti prima di iniziare le misure,
per fissare in questo modo l’ambiguità iniziale riducendo la probabilità di interferenza o cycle-slip.
Talvolta per incrementare l’accuratezza della traiettoria calcolata si utilizza un approccio stop-andgo, in cui ci si ferma periodicamente, così sfruttando il maggior numero di osservazioni disponibili
per il punto di stazionamento.
Si ricorda infine che la distanza di 10 km tra master e rover, fissata come soglia per trascurare gli
errori atmosferici, può essere significativamente incrementata con l’uso di una rete di stazioni
permanenti.
GPS differenziale
Analogamente al caso del posizionamento relativo, anche il GPS differenziale si basa sull’uso di
(almeno) due ricevitori: un master situato in un punto di coordinate note e un rover in movimento.
20
In questo caso però non vengono differenziate direttamente le osservazioni dei due ricevitori, ma la
posizione nota del master viene utilizzata per calcolare le correzioni da applicare poi alle misure del
rover.
La tecnica del GPS differenziale si è sviluppata come contromisura alla cosiddetta Selective
Availability (SA). Infatti, originariamente, il sistema GPS era stato progettato per offrire agli utenti
civili un’accuratezza nella navigazione dell’ordine di 400 metri. I primi test sui satelliti del blocco I
rivelarono la possibilità di ottenere accuratezze di un ordine di grandezza migliori. Per tale motivo il
Dipartimento della Difesa statunitense introdusse a partire dal Marzo 1990 sui satelliti del blocco II
un deterioramento del segnale (denominato Selective Availabity). Il deterioramento fu mantenuto
fino al Maggio 2000.
La Selective Availability consisteva di due componenti: il primo, detto δ-process, agiva sulla
stabilità dell’orologio di bordo, mentre il secondo, detto ε-process, deteriorava le effemeridi
trasmesse dai satelliti, ovvero l’informazione sull’orbita dei satelliti. Il disturbo risultante era
dell’ordine di 50-150 metri in termini di posizionamento a terra. L’utilizzo del GPS differenziale
permetteva di ovviare all’effetto della Selective Availability, ottenendo accuratezze (almeno nel
posizionamento orizzontale) dell’ordine di 1-10 metri.
Oggi che la Selective Availability non è più attiva, il posizionamento differenziale permette di
ottenere accuratezze abbastanza elevate (dell’ordine dei decimetri) anche con ricevitori di basso
costo.
Il GPS differenziale consiste nell’applicare correzioni ai dati del rover sfruttando la posizione nota
del master. Queste correzioni possono essere riferite o alle posizioni o alle misure.
Nel primo caso, la posizione del master è prima calcolata utilizzando le osservazioni satellitari e poi
confrontata con la posizione nominale (assunta nota). Sulla base di questo confronto viene calcolata
la correzione (traslazione) da applicare direttamente alla posizione stimata dal rover. Questo
concetto è molto semplice ma richiede che sia master che rover stiano osservando la stessa
configurazione di satelliti. Questo può risultare difficoltoso specialmente nel caso di grande
distanza fra master e rover oppure nel caso di ostruzioni locali per il rover.
Nel secondo approccio (quello basato sulle misure), le singole misure di distanza satellite-master
sono confrontate con i valori attesi per quelle distanze ricavate dalle coordinate note del master e
dalle effemeridi trasmesse dal satellite. Questo confronto dà luogo a delle correzioni specifiche per
ogni satellite. Tali correzioni vengono applicate direttamente alle misure del rover che poi usa i dati
corretti per calcolare la sua posizione. Il vantaggio di questo approccio è che non è necessario che il
rover e il master vedano la stessa configurazione di satelliti, in quanto la correzione è specifica per
il singolo satellite. D’altro canto il calcolo di una correzione individuale per il singolo satellite
richiede un più elevato carico computazionale da parte del master.
In generale le correzioni sono trasmesse dal master al rover attraverso un opportuno collegamento
telemetrico (per es. via internet o via rete telefonia cellulare).
Ci concentriamo ora sulle correzioni alle misure (secondo approccio) nel caso di osservazioni di
codice. Ovviamente il GPS differenziale può essere applicato anche alle osservazioni di fase (si
parla in tal caso di “precise DGPS”), ma trova applicazione solo nei casi in cui è richiesta
un’accuratezza molto elevata (per es. nel controllo di aerei). Nella maggior parte delle applicazioni
comuni di navigazione, l’uso del codice (o eventualmente di un codice lisciato con la fase) è più che
sufficiente.
L’osservazione di pseudo-range del ricevitore master m può essere scritta come
[
]
Pms (t ) = ρ ms (t ) + c dt m (t ) − dt s (t ) + J ms (t ) + Tms (t ) + ν ms (t )
dove ρ ms (t ) è la distanza satellite-ricevitore rispetto alle effemeridi trasmesse dal satellite (eventuali
errori orbitali sono inclusi nel termine ν ms (t ) ). Comunque si tenga presente che gli errori orbitali e i
21
ritardi d’orologio del satellite sono molto diminuiti dopo la dismissione della Selective Availabity,
cosicché oggi la principale fonte di errore è la rifrazione ionosferica.
Il primo passo per ricavare le correzioni differenziali consiste nel confrontare il pseudo-range
osservato con la distanza satellite-ricevitore derivata dalla conoscenza delle coordinate del master e
delle effemeridi trasmesse del satellite, ovvero all’istante t si ha
[
]
PRC ms (t ) = ρ ms (t ) − Pms (t ) = −c dt m (t ) − dt s (t ) − J ms (t ) − Tms (t ) − ν ms (t )
dove l’acronimo PRC sta per Pseudo-Range Correction. Poiché il calcolo e la trasmissione delle
PRC richiedono del tempo, le correzioni differenziali arrivano al rover con un leggero ritardo.
L’effetto di questo ritardo può essere ridotto estrapolando il valore del PRC all’istante t di misura
del rover. Al fine di ottenere una estrapolazione lineare (di primo grado) occorre stimare la velocità
di variazione del PRC, ovvero il Range Rate Correction (RRC), attraverso differenziazione
numerica:
dPRC ms (t )
RRC (t ) =
dt
s
m
Il valore estrapolato del PRC all’epoca t risulta quindi
PRC ms (t ) = PRC ms (t ) + RRC ms (t )(t − t )
dove (t − t ) è il tempo di latenza delle correzioni differenziali. Il ricevitore rover applica poi queste
correzioni alle proprie osservazioni di pseudo-range, ovvero
Prs (t ) corr = Prs (t ) + PRC ms (t )
Supponendo che la correzione estrapolata al tempo t possa essere descritta con una espressione
analoga a quella della correzione calcolata al tempo t , si ha
[
]
[
]
Prs (t ) corr = ρ rs (t ) + c dt r (t ) − dt s (t ) + J rs (t ) + Trs (t ) + ν rs (t ) − c dt m (t ) − dt s (t ) − J ms (t ) − Tms (t ) − ν ms (t ) =
s
s
= ρ rs (t ) + c dt rm (t ) + J rm
(t ) + Trms (t ) + ν rm
(t )
Si noti come sia importante che master e rover utilizzino le stesse effemeridi trasmesse, altrimenti i
termini comuni di errore non si elidono. Si noti anche che i disturbi atmosferici tra satellite-master e
tra satellite-rover sono molto correlati per basi fino a centinaia di km, quindi la loro differenziazione
ne riduce significativamente l’effetto. Complessivamente la precedente relazione può essere
semplificata come
s
Prs (t ) corr = ρ rs (t ) + c dt rm (t ) + ν rm
(t )
dove dt rm (t ) è la combinazione degli errori d’orologio del master e del rover. L’equazione ottenuta
ha una struttura del tutto identica a quella utilizzata nel point-positioning, con il vantaggio che i bias
atmosferici sono ridotti per via della differenziazione. Nuovamente la combinazione degli errori
d’orologio del master e del rover è da trattare come un’incognita aggiuntiva nella soluzione ai
minimi quadrati, che richiede quindi la simultanea osservazione di almeno quattro satelliti comuni
fra master e rover.
22
Occorre chiarire bene la differenza tra posizionamento differenziale e relativo. Mentre nel primo
caso vengono applicate al tempo t delle correzioni al fine di determinare la posizione assoluta del
rover, nel secondo caso vengono utilizzate misure simultanee compiute da due ricevitori al fine di
determinare il vettore di base (cioè la differenza tra le due posizioni assolute). Tipicamente questa
seconda procedura veniva effettuata in post-processing, dopo il rilievo. Con il Real-Time Kinematic
(RTK) le misure del master (tipicamente misure di fase) sono trasmesse direttamente al rover.
Contrariamente al DGPS, nessuna correzione o estrapolazione viene effettuata, ma la differenza
delle due osservazioni al tempo t viene elaborata per trovare la posizione relativa del rover. Di
conseguenza la traiettoria è restituita con un certo ritardo (t − t ) , ma con un’accuratezza nel
posizionamento circa un ordine di grandezza meglio che nel caso del DGPS. Si noti infine che dal
punto di vista teorico posizionamento differenziale e relativo coincidono se i tempi di latenza
diventa nulla.
Il GPS differenziale può essere basato sul concetto di singola o multipla stazione di riferimento.
L’architettura con una stazione di riferimento è quella considerata fino ad ora, è molto semplice ma
ha lo svantaggio che l’accuratezza nel posizionamento decresce all’aumentare della distanza fra i
ricevitori, essendo gli errori meno correlati spazialmente.
Nell’approccio multi-stazione, molti ricevitori di riferimento (master) sono utilizzati per generare le
correzioni. Il principale vantaggio di questa soluzione è che l’area coperta dal servizio è più estesa
con un’accuratezza nel posizionamento abbastanza omogenea. Lo svantaggio è rappresentato
dall’aumento dei costi per l’installazione e la manutenzione e i tempi di latenza aggiuntivi nella
produzione delle correzioni differenziali legati alla comunicazione fra i vari master della rete.
All’interno dell’approccio multi-stazione, esistono a sua volta due tecniche per l’applicazione delle
correzioni differenziali. La prima (denominata local-area differential GNSS, LAD GNSS) consiste
nell’applicare al rover le correzioni del master più vicino oppure una media pesata delle correzioni
di tutte le stazioni. Ovviamente questo approccio richiede un’alta densità di master nell’area servita
ed è per questo motivo che è applicato soprattutto a problemi locali. La seconda tecnica
(denominata wide-area differential GNSS, WAD GNSS) consiste nel calcolare una griglia di
correzioni ionosferiche sull’area di interesse. Le correzioni specifiche per ogni coppia satellite-rover
sono derivate tramite opportuna interpolazione dei valori sulla griglia. Sono richiesti ricevitori a
doppia frequenza come master, anche se la densità delle stazioni può essere meno elevata che nel
caso della LAD.
Bibliografia
A. Cina (2000). “GPS. Principi, modalità e tecniche di posizionamento”. Celid.
B. Hofmann-Wellenhof, H. Lichtenegger, J. Collins (2001). “GPS. Theory and Practice”. Fifth,
revised edition. Springer-Verlag.
B. Hofmann-Wellenhof, K. Legat, M. Wieser (2003). “Navigation. Principles of positioning and
guidance”. Springer-Verlag.
L. Biagi (2003). Appunti del corso di Misure Geodetiche.
http://geomatica.como.polimi.it/corsi/misure_geodetiche/
F. Sansò (2006). “Navigazione geodetica e rilevamento cinematico”. Polipress.
23