Maratona di Matematica. Alcune riflessioni.

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PROGETTO ALICE 2009 - I • vol. X • n° 28
M. Barra, A. Foschi, L. Regoliosi
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Maratona di Matematica. Alcune riflessioni.
Mario Barra, Alessandro Foschi, Luigi Regoliosi
Riassunto Il 15 maggio 2009 si terrà la XII Edizione della “Maratona Nazionale di Matematica”, diretta agli studenti della scuola secondaria di I grado.
Si racconta la storia di questa competizione "particolare", l’atmosfera di entusiasmo che la pervade, i suoi aspetti peculiari e la sua organizzazione; segue
l’analisi dei problemi e delle soluzioni degli studenti dell'edizione 2008.
L’articolo viene offerto come spunto di riflessione sulla convenienza di una didattica della matematica che lasci maggiore spazio – fin dalla scuola media – al
pensiero creativo, all'intuizione ed all'originalità.
Abstract On 15 May 2009 the 12th edition of the “Maratona Nazionale di
Matematica”, addressed to secondary first grade school students, will take
place. The article is about the story of this particular competition and depicts
its exciting atmosphere, its peculiarities and organization. It follows the analysis of the problems and the students’ solutions in the previous 2008 edition.
It is a way to show the advantage of teaching Maths by giving more space
– from the junior high school – to creative thought, intuition and originality.
Mario Barra [email protected]
Alessandro Foschi Liceo class. “Convitto Naz. V. Emanuele II” (Rm); [email protected]
Gruppo di ricerca in didattica della Matematica, Università di Roma “La Sapienza”.
Luigi Regoliosi Liceo artistico e classico “S.Orsola” (Rm); [email protected]
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1. La Maratona di Matematica
Il 15 maggio 2009 si terrà nell’Istituto Comprensivo “A. Fanelli, F. Marini” e nel Teatro Romano di Ostia Antica (Roma), la XII Edizione della
“Maratona Nazionale di Matematica”.
La Maratona di Matematica è una gara di matematica rivolta agli studenti
italiani dell’ultimo anno della Scuola Media, ai quali viene data
l’opportunità di cimentarsi in una competizione che ha l’obiettivo di premiare prevalentemente l’intuizione e la creatività in matematica.
La Maratona di Matematica si svolge sotto il patrocinio del Ministero
dell’Istruzione, Università e Ricerca e del CARFID (Centro di Ateneo per la
Ricerca sulla Formazione e sull’Innovazione Didattica). In tutta la manifestazione collaborano molti docenti e un buon numero di genitori degli studenti della Scuola “Fanelli”, il Dipartimento di Matematica dell’Università
di Roma “La Sapienza” e alcuni suoi studenti o ex studenti, ora laureati o
insegnanti.
Nelle ultime tre edizioni di questa competizione hanno partecipato annualmente circa cento scuole di tutte le regioni d’Italia. Le scuole sono state
informate attraverso una circolare emanata dal MIUR e via internet e hanno
selezionato i loro rappresentanti, uno per scuola, sulla base dell’andamento
scolastico e delle capacità di risolvere problemi dimostrate nelle loro scuole,
considerando anche alcune indicazioni fornite dall’organizzazione della
manifestazione.
La Maratona di Matematica si svolge in un’unica giornata, in modo da
limitare l’impegno finanziario degli studenti e dei loro accompagnatori, che
partecipano a spese proprie. La Competizione si svolge sempre in un venerdì “centrale” nel mese di Maggio. La scelta del giorno della settimana può
essere utile in particolare a chi vuole approfittare del viaggio per prolungare
la sua permanenza fuori sede.
La prova consiste nella soluzione individuale di un numero di quesiti,
che varia da dieci a quindici, quasi tutti a risposta aperta, riguardanti temi
solitamente diversi da quelli contenuti nei programmi scolastici, da risolvere in tre ore, con la disponibilità di riga, squadra, compasso, calcolatrici tascabili e tavole numeriche. Su ogni quesito è indicato il punteggio, proporzionale alla sua difficoltà, che si ottiene con la risposta totalmente corretta.
Punteggi minori, assegnati a soluzioni parziali, diminuiscono la probabilità
di punteggi totali uguali, che comunque vengono ordinati a fine correzione
considerando il numero totale di risposte date ad ogni quesito.
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Indipendentemente dal numero dei quesiti la valutazione massima raggiungibile è 110 e Lode. I quesiti vengono elaborati dalla Commissione
Scientifica composta da Lucia Ciarrapico, ex Dirigente Tecnico M.P.I, dalla
professoressa Nella Benedetti, insegnante di Ruolo di Matematica presso il
Liceo Classico Sperimentale B. Russel di Roma, e da Mario Barra docente
di Didattica della Matematica alla Sapienza e direttore del CARFID. Le
prove vengono corrette dai componenti della Commissione Scientifica e dagli studenti, o ex studenti già laureati, del Dipartimento di Matematica della
Facoltà di Scienze dell’Università di Roma “La Sapienza”, già menzionati.
Il numero dei premiati e i premi variano in funzione del fondi disponibili.
In totale vengono premiati da 5 a 15 studenti nella fascia dell’oro, da altrettanti studenti nella fascia dell’argento e da 10 a 15 studenti nella fascia
del bronzo. Nel 2008 i migliori 20 classificati hanno ricevuto dei premi costituiti da calcolatrici, orologi, fotocamere, libri e coppe al merito, cui si
sono aggiunti, ai primi due, delle vacanze premio di una settimana in località turistiche d’Italia per quattro persone. Tutti gli studenti ricevono una bella pergamena e una medaglia di partecipazione, un cappelletto con la visiera
e una t-shirt con il logo e altre indicazioni della Maratona di Matematica.
Da questo anno le scuole possono fornire indicazioni e testi riguardanti le
loro migliori sperimentazioni didattiche. Alcune di queste sperimentazioni
verranno pubblicate nella Rivista di matematica e didattica Progetto Alice.
2. La manifestazione
L’intera manifestazione nei dettagli comprende:
− accoglienza degli studenti presso la Scuola Media “ A. Fanelli” e consegna delle pergamene di partecipazione agli accompagnatori.
− Apertura del plico sigillato inviato dal Dipartimento di Matematica
dell’Università di Roma “La Sapienza” e distribuzione delle prove.
− Svolgimento della competizione di cui si è parlato, durante la quale gli
studenti, distribuiti nelle classi della Scuola “Fanelli” e opportunamente distanziati, cercano singolarmente di determinare la soluzione dei quesiti sotto
il controllo degli studenti universitari selezionati dalla Commissione Scientifica. Alla fine della gara vengono distribuite le soluzioni che si possono
poi trovare anche in rete assieme ai testi dei quesiti e ai nomi dei vincitori e
delle loro scuole di provenienza.
− In contemporanea alla competizione si svolge un mini-convegno presso
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la Sala “Riario” di Ostia Antica, composto da tre interventi di un’ora ciascuno di didattica e divulgazione della matematica tenuti dai membri della
Commissione Scientifica. Questo mini-convegno è aperto al pubblico, ma è
rivolto principalmente ai docenti e ai genitori, in percentuale maggiore fra i
presenti, che hanno accompagnato i partecipanti alla Maratona.
Quest’anno verranno tenuti gli interventi che seguono:
− Mario Barra, La scienza come previsione. Importanza sociale dei
software di geometria dinamica.
− Nella Benedetti, Matematica per il cittadino e/o matematica rifugio della mente.
− Lucia Ciarrapico, La crittografia: Alice, Roberto e il ficcanaso.
− Un pranzo offerto gratuitamente a tutti i partecipanti, agli accompagnatori, agli studenti universitari e ai membri delle Commissioni Organizzativa e
Scientifica. Questo pranzo, che attualmente è organizzato in parte dalla
scuola e consiste in circa 350-400 pasti, inizialmente, quando il numero dei
partecipanti era minore, era preparato totalmente dai genitori degli studenti
della Scuola “Fanelli” e dai membri dell’Associazione Genitori Attivi
(AGEA) che ancora oggi aiutano veramente molto in tutte le fasi
dell’organizzazione, servono in tavola e preparano moltissimi dolci.
− Una visita agli scavi archeologici di Ostia Antica da parte di studenti,
genitori e insegnanti, accompagnati da Mini-Guide. Le Mini-Guide sono
studenti della prima media della Scuola Fanelli preparati tutto l’anno in un
corso specifico organizzato dalla Sopraintendenza ai Beni Archeologici di
Ostia Antica e dal Ministero dei Beni Culturali.
− In contemporanea alla visita agli scavi i componenti della Commissione
Scientifica e gli universitari, o ex universitari, correggono le soluzioni degli
studenti e determinano la graduatoria dei premiati.
− Una manifestazione finale che si svolge, in attesa dei risultati, nella stupenda sede dell’antico Teatro Romano, dove si assiste a un concerto della
Banda del Corpo di Polizia Municipale e a musiche e danze interpretate dagli allievi della Scuola Fanelli. Nel 1999 la manifestazione finale della Maratona si è svolta, a causa della pioggia, nel salone della Posta del Cardinale. Anche questo episodio dimostra la grande efficienza dell’organizzazione.
− La manifestazione si conclude con la premiazione dei partecipanti effettuata da maestranze istituzionali e da esponenti della cultura e accompagnata dagli Inni Nazionale ed Europeo suonati dalla Banda del Corpo di Polizia
Municipale. L’Inno alla gioia di Beethoven sembra fare da cornice ad un
sentimento analogo profondamente sentito da una parte dei presenti.
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3. Storia della Maratona di Matematica
L’ideatrice della Maratona di Matematica è la Professoressa Luisa Pelli,
insegnante della Scuola “Fanelli”.
Riprendiamo qualche frase da un suo articolo, indicato in bibliografia:
Giugno 1997, Collegio dei Docenti: bilancio delle attività svolte … è arrivata una Preside stabile [la Professoressa Maria Ruffino Aprile].
Mi lascio sfuggire ad alta voce: “Mi piacerebbe tanto che anche gli allievi che non giocano bene a pallavolo, non scrivono poesie, non dipingono
in modo originale, ma sono molto bravi in Matematica possano essere gratificati con un premio! ...
Settembre 1997, Collegio dei Docenti: Nel silenzio di tutti, la Preside mi
interpella:”Professoressa Pelli, …, potrebbe organizzare un premio di Matematica?”. Brusio generale: “Come ha fatto a ricordarsene?, “Vedi è meglio stare zitti”.
Gli insegnanti, la categoria meno gratificata, la cenerentola
dell’occupazione, come vengono definiti, debbono svolgere la professione
più difficile inventandosi i modi per affrontare tutti i problemi di natura psicologica, pedagogica, sociale e disciplinare che incontrano.
Mi riferisco in particolare all’ideatrice della Maratona, la Professoressa
Luisa Pelli, alla realizzatrice, coordinatrice e attuale Presidente del Premio,
la allora Preside e poi Dirigente Scolastico Professoressa Maria Ruffino Aprile, detta il Caterpillar per la sua grande energia e determinazione,
l’attuale responsabile del Progetto, la Professoressa Cristina Brajon e
l’attuale Dirigente Scolastico, la Professoressa Ornella Bergamini. Onore al
loro merito, alla creatività, alla determinazione e alla costanza.
Fuori dall’orario di lavoro, senza incentivi e con pochi mezzi reperiti
con grande fatica dagli sponsor, che si sono dovuti inventare nella carenza
di quelli istituzionali, hanno capito che la scuola non può essere più quella
stessa che ha svolto fino a pochi anni fa il suo compito in modo più o meno
soddisfacente ma funzionale, preparando i futuri cittadini a svolgere le mansioni di routine, fino allora in gran parte richieste.
Nell’attuale società dove la motivazione allo studio non significa necessariamente promozione sociale, dove la popolazione è quadruplicata in cinquanta anni ampliando esponenzialmente la gravità dei problemi sempre più
interconnessi che richiedono soluzioni poco tradizionali e molto creative, e
dove le mansioni di routine vengono assorbite dai computer e dagli automi,
hanno capito che la scuola deve rispondere alle esigenze della società attra-
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verso motivazioni che nascano direttamente dall’impegno nello studio, anche
se queste sono più difficili da fornire perché poco concrete.
È impossibile dare ricette per la scuola, ma pensiamo che probabilmente
queste motivazioni possano risultare utili e convincenti rendendo disponibile, nei modi da inventare, un maggiore spazio per la creatività.
Onore a questi insegnanti che hanno intuito che la matematica per la scuola media non può esaurirsi negli esercizi di routine, come accade con le lunghe
espressioni e a più piani, da sviluppare applicando sempre le stesse regole.
Forse sono utili per addormentare la mente e risolvere problemi disciplinari,
ma forniscono anche una licenza per non capire.
La grande Emma Castelnuovo, tempo addietro, per trovare un argomento in
cui questo tipo di esercizi potesse assumere un qualche significato, è riuscita
soltanto a costruire una espressione molto breve, utile per il calcolo dell’equo
canone …
Questi insegnanti sanno che da una parte ci sono i programmi tradizionali,
le tecniche e i ritmi di lavoro conosciuti, i consueti criteri di verifica e di valutazione, i metodi comodi che il tempo d’impiego ha reso adatti ad eludere alcune difficoltà pedagogiche e didattiche, e dall’altra parte ci sono i problemi
di una attività militante nella ricerca educativa, la più delicata, la più difficile
perché opera sulle coscienze. Mentre tutti sanno che nella scuola c’è molto
che non va, loro hanno anche capito che non c’è miglioramento senza sperimentazione, che non è vero che è meglio stare zitti.
Ma una cosa è capire e una cosa è superare le incrostazioni preesistenti.
Cerco di concludere con ironia sulla difficoltà di modificare le possibili
incrostazioni e le ingombranti eredità del passato, attraverso alcune riflessioni relative alla ricerca degli sponsor istituzionali, premettendo che su
“undici Maratone”, dal 1998 al 2008, soltanto in tre occasioni si è riusciti ad
avere qualche finanziamento dalla Regione Lazio per questa complessa manifestazione.
4. Urbanistica
Il centro di Roma è situato sotto la statua di Marco Aurelio al Campidoglio.
Da lì inizia la misura delle distanze calcolate nelle strade consolari.
Dove sono state collocate le sedi di alcune importanti Istituzioni?
Le sedi della Regione del Friuli Venezia Giulia e della Regione della
Valle d’Aosta, situate negli estremi nord-est e nord-ovest della penisola ita-
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liana, si trovano in zona centralissima, a Piazza Colonna, dove risiede la
Camera dei Deputati.
La sede della Regione Emilia Romagna è collocata poco più distante, a
Via del Tritone.
Un po’ defilato si trova il palazzo del Ministero della Marina, costruito
forse giustamente a fianco del fiume Tevere.
Invece, l’imponente Ministero dell’Aereonautica è attaccato all’Università “La Sapienza”.
Sebbene appaia quasi deserto a chi gli passa davanti, tutto il complesso del
Ministero dell’Aereonautica è situato dalla parte della stazione Termini dove si trovano praticamente tutti i capolinea degli autobus, mentre
l’università, che brulica di studenti con i suoi 150 000 iscritti, è più lontana
e non è servita dalla metropolitana nelle vicinanze.
Infine, e in qualche modo coerentemente, volendo fare una richiesta al
Consiglio Regionale della Regione Lazio, bisogna andare più volte in mezzo alla campagna, fuori del Raccordo Anulare di Roma, attraversando stranissimi svincoli delle strade, molto probabili da sbagliare, e con la presenza
esclusiva di qualche contadino in lontananza che non può dare informazioni.
Viene in mente che il lavoro nella scuola sui propri allievi può essere paragonato al lavoro di un urbanista sulla città. In entrambi i casi, il lavoro sul
presente dovrebbe essere guidato dall’immagine del futuro.
5. L’atmosfera della Maratona di Matematica
Uno sguardo accattivante, appena imbarazzato; l’espressione viva, attenta, felice di chi ha ottenuto un riconoscimento importante che premia il suo
impegno.
Queste sensazioni fanno seguito a qualche trepidazione celata con imbarazzo in attesa dei risultati; si accompagnano ad una eccitazione difficile da
gestire da chi per la prima volta è stato protagonista di una manifestazione
che gli è piaciuta e che lo ha soddisfatto. Hanno ricevuto un consenso che li
ha gratificati e di cui sono orgogliosi.
Noi sentiamo che questa esperienza inciderà a fondo positivamente nel
loro carattere e che farà associare al proprio impegno il ricordo di esperienze piacevoli, ed allo studio sensazioni da ricercare.
Permettete alcune citazioni che crediamo vengano a proposito.
Forse questi ragazzi possono aver percepito che il giocattolo più grande
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è la mente1 ed è possibile che inconsciamente comincino a intuire che la
creatività si identifica in gran parte con il coraggio di ragionare.
Lo afferma Einstein. Gli fa eco Kant, dicendo: abbi il coraggio di servirti
della tua intelligenza.
Certo ci vuole coraggio a correre volontariamente il rischio di sbagliare,
perchè l’errore può essere confuso con un attestato di inadeguatezza.
È possibile che anche per questo molti loro amici evitino di impegnarsi.
Eludendo questi rischi manifestano una forma di vigliaccheria. Non possono
sapere che è difficile ottenere un proprio miglioramento senza “mettersi in
gioco” e non si accorgono che il loro facile atteggiamento di rinuncia viene
pagato con il prezzo alto di una minore crescita cognitiva e comportamentale. Per non rischiare oggi, poco e gradualmente, rimandano a domani quelli
che possono essere i problemi della vita.
Sebbene facciano tenerezza, i nostri studenti sono stati coraggiosi.
Si tratta di tutti i partecipanti e dei numerosi vincitori della Maratona di
Matematica. Si avvicinano con i loro genitori che li cingono con un braccio
sulle spalle. Anche gli accompagnatori sembrano sprizzare contentezza e
spesso gratitudine. Hanno espressioni che appaiono collegate ai loro pensieri in modo contrastante: hehee, buon sangue non mente; … ma come hai fatto? … amore mio, ti possino …
Vogliono farsi una foto con qualcuno degli organizzatori, per ricordare meglio quello che comunque probabilmente non dimenticheranno con facilità.
Questa è l’atmosfera della Maratona di Matematica. Si può percepire la
sua maggiore intensità rispetto a quella che si respira durante le più imponenti Olimpiadi di Matematica, che si rivolgono agli studenti di età maggiore che hanno già effettuato molte delle loro scelte.
È una atmosfera molto sentita e giocosa, e quindi anche agonistica nella
sua accezione più sana. A volte può risultare commovente. Sempre viene
considerata di grande interesse da tutti coloro che partecipano alla manifestazione.
La gara, il simpatico gran vociare mentre si mangia insieme e si discute
delle proprie soluzioni con i nuovi amici nelle classi trasformate della scuola, la gita negli scavi di Ostia Antica, lo stupendo Teatro Romano, il Concerto della Banda e gli Inni d’Italia e d’Europa fanno da cornice a una festa
dei giovani che pochi penserebbero possa essere associata alla matematica.
1
Si tratta di una frase pronunciata da Charlie Chaplin nel film "Luci della ribalta" che Lucio
Lombardo Radice ha scelto come titolo per un suo libro.
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6. Alcuni aspetti particolari della Maratona di Matematica
Abbiamo detto che le scuole possono scegliere un solo rappresentante.
Questa soluzione è diversa da quella presa per la gara a squadre organizzata
dalla Sezione Romana delle Olimpiadi di Matematica, che si svolge a Roma
al Dipartimento di Matematica della Sapienza. In questa gara le squadre sono
formate da nove rappresentanti per ogni scuola. La scelta è stata dettata dalle
necessità contrastanti di avere una discreta presenza di studenti provenienti da
tutta Italia, dalla difficolta di riunire dei giovani studenti all’interno di ogni
scuola e dalla impossibilità di ospitarne un numero maggiore di cento. Questo
numero a volte si riduce per le defezioni dell’ultimo momento, che sono probabili considerando che spesso uno studente viene accompagnato sia dai genitori, sia dal loro insegnante e che è difficile conciliare le esigenze di tutte
queste persone che possono provenire da tutte le regioni d’Italia. Sebbene le
defezioni siano prevedibili, l’estrema variabilità del loro numero rende difficile cercare di porre rimedio al problema.
Un’altra scelta che è stata adottata in base all’esperienza è quella di prevedere un numero minimo di quesiti a risposta chiusa. Forse per mancanza
d’abitudine, i nostri giovani concorrenti alle gare sembrano essere frastornati da questo tipo di scelta, che non permette per altro di valutare positivamente le soluzioni parziali. Abbiamo l’impressione che questo tipo di selezione risulti obbligata quando è presente l’esigenza di valutare velocemente
i risultati di una gara, esigenza che nel nostro caso è stemperata dalla distribuzione della manifestazione nell’intero arco di una giornata e dalla possibilità di offrire agli studenti alcune attività interessanti mentre vengono valutate le risposte ai quesiti.
Un altro problema consiste nel limitare la variabilità del differente metro
di giudizio dei correttori delle soluzioni dei singoli problemi. A tale proposito nelle ultime manifestazioni si tende a far correggere le risposte di tutti
gli studenti ad uno stesso quesito da un solo correttore, che si rivolge alla
Commissione Scientifica quando sorgono alcune perplessità sulla correttezza delle soluzioni, anche parziali, e sul voto da attribuire.
Un aspetto particolarmente delicato, considerando anche la giovane età
dei partecipanti alla gara, consiste nel punteggio totale raggiungibile nella
competizione.
Inizialmente il punteggio massimo raggiungibile non era 110, ma soltanto 100, considerando tale soglia più usuale per gli studenti. Inoltre i quesiti
erano scelti in modo da rendere probabile il raggiungimento di un punteggio
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elevato. Questa scelta ha causato vari problemi collegati ad esempio alla
difficoltà di creare una graduatoria differenziata per i molti che ottenevano
lo stesso punteggio e in particolare quello massimo. In una occasione è stato
necessario aggiungere due spareggi per stabilire chi fosse il vincitore.
La scelta attuale, il massimo dei punti è 110, è quella di cercare di non
rendere “molto esplicito” tale massimo, che i più considerano essere 100, e
di presentare sempre un quesito molto semplice in modo da rendere più probabile una piccola soddisfazione per la maggioranza dei partecipanti e di
prevedere anche uno o due esercizi particolarmente difficili, sia per non uniformare i risultati, sia in particolare per rendere possibile l’individuazione
dei vincitori particolarmente meritevoli.
7. Quesiti proposti alla Maratona del 2008 e analisi delle soluzioni
La prova, che nel 2008 ha interessato 80 studenti selezionati da istituti di
tutta Italia e frequentanti la classe terza media, ha proposto 12 quesiti:
 7 di carattere geometrico;
 4 di carattere aritmetico;
 1 riguardante il calcolo delle probabilità.
Gli esercizi con il relativo punteggio, segnato a lato, per un totale di 110 punti,
sono stati i seguenti:
1)
7 punti
Individuare il motivo per il quale le bisettrici di due angoli contigui di un
parallelogramma, ABCD, sono perpendicolari.
A
B
D
C
2)
8 punti
c d
(( AB) ) è una potenza la cui base è un numero di due cifre (AB). Se le
quattro lettere A, B, c, d rappresentano quattro numeri naturali tutti diversi
tra loro e inferiori a 4, qual è il valore più piccolo, diverso da 1, che la potenza può assumere?
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3)
13 punti
Dato il quadrangolo non regolare indicato in figura, determinare un triangolo con la stessa area, disegnandolo sulla figura stessa.
4)
10 punti
Qual è la probabilità di ottenere somma 7 con tre dadi simmetrici?
5)
9 punti
Il proprietario di un giardino, che ha la forma di un triangolo rettangolo isoscele il cui cateto misura 10 metri, intende costruire una serra di forma rettangolare avente due lati consecutivi sui due cateti e un vertice
sull’ipotenusa. Egli vuole che i lati misurino un numero intero di metri e che
la sua area sia la massima possibile. Quali devono essere le dimensioni della
serra? Fornire una spiegazione della risposta data.
6)
6 punti
Dato il segmento di misura 1, costruisci il segmento di misura 3 .
7)
10 punti
Tre amiche (A, B, C) vanno a cena fuori e, all’uscita dal ristorante, decidono
di prendere un taxi per tornare a casa. A scende dopo che il taxi ha percorso
1/6 del tragitto totale, B dopo che ha percorso i 2/3, e C, naturalmente, alla
fine del tragitto. Il costo della corsa è di 18 euro e le tre amiche decidono di
pagare in modo proporzionale all’utilizzo del mezzo. Quanto paga ciascuna
delle amiche?
44
8)
9 punti
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
…………………………………….
La piramide rappresentata contiene i successivi numeri dispari, a partire da
1, disposti per righe. La somma dei numeri della riga numero n è 729. Di
quale riga si tratta? Fornire una spiegazione della risposta data.
9)
9 punti
Due fratelli, Luca e Andrea, ereditano un terreno che ha la forma del rettangolo ABCD. Per dividere la proprietà piantano un paletto in un punto P preso a caso all’interno al terreno, ma diverso dal punto d’intersezione delle
diagonali del rettangolo, e tracciano le linee PA, PB, PC e PD. Luca prende
il terreno costituito dai triangoli PAD e PBC e Andrea quello formato dai
triangoli PAB e PCD. L’eredità di Luca è maggiore, uguale o minore di
quella di Andrea? Fornire una spiegazione della risposta data.
D
C
A
B
B
10)
9 punti
C
A
Dimostrare che la superficie grigio chiaro ha la stessa area di quella grigio
scuro, sapendo che A indica il centro del cerchio grande e che l’angolo
BAC è retto.
B
A
C
45
11)
9 punti
A partire dal punto A su una colonna cilindrica, viene teso un filo che fa un
giro intorno alla colonna fino a raggiungere il punto B situato sulla verticale che parte da A.
Sapendo che la circonferenza di base del cilindro ha lunghezza 120 cm e che
la distanza fra A e B è 160 cm, determinare la lunghezza del filo.
B
A
12)
11 punti
Su uno scaffale ci sono in tutto 71 libri tra libri gialli e libri d’avventura.
Alcuni (sia dei gialli che dei libri d’avventura) sono nuovi e altri sono vecchi. I libri d’avventura sono in tutto 50 e i libri nuovi sono in tutto 55. C’è
solo un libro giallo vecchio. Quanti sono i libri gialli nuovi?
3. Analisi delle soluzioni ai quesiti degli studenti
In questo paragrafo cerchiamo di dare un’idea di come gli studenti hanno
affrontato la prova. Abbiamo analizzato le soluzioni provando a interpretare le
risposte, quasi sempre prive di ogni indicazione sui ragionamenti seguiti, e a
fornire ipotesi sulle strategie e sui possibili processi di soluzione che abbiamo
considerato più probabili.
Quesito per quesito riferiamo cosa ci è sembrato significativo, riportando in alcuni casi sia i disegni, sia le eventuali spiegazioni degli studenti (in corsivo) allo stesso modo di come loro stessi li hanno realizzati e scritti, anche se in qualche caso, la qualità delle figure non è ottima.
Il primo classificato ha realizzato un punteggio di 85 punti su 110.
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1) Individuare il motivo per il quale le bisettrici di due angoli contigui di un
parallelogramma, ABCD, sono perpendicolari.
A
B
C
D
Soluzione proposta.
Le misure di due angoli contigui di un parallelogramma hanno per somma
180°, la metà è 90°, quindi l’angolo formato da due bisettrici contigue misura 90°.
A
B
O
D
C
Soluzione degli studenti.
Su 80 candidati solamente 11 hanno dato una risposta completa e corretta.
Tre studenti non hanno risposto. La maggior parte dei candidati, come era
prevedibile, sembra non saper condurre una dimostrazione di geometria, anche molto semplice; di fatto, molti studenti credono che sia sufficiente fare
solo un disegno, come mostrato da un candidato che ha fornito la figura seguente:
In altri casi - ne riportiamo esempi interessanti - al disegno è stato aggiunto una
“verifica” o un breve commento:
• A B̂ C = 126°
B Ĉ D = 54°
47
Nei parallelogrammi due angoli contigui sono
180°
1
1
B̂ + Ĉ = 90°
2
2
• Tale illustrazione dimostra che le bisettrici di due angoli contigui di un parallelogramma possono essere perpendicolari e dare origine a quattro angoli
retti
• AED = 90°. Visto che l’angolo Ê è un angolo giro, diviso in quattro parti
uguali forma quattro angoli retti.
Infine, una risposta non corretta che ha attirato la nostra attenzione è stata la
seguente:
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Le bisettrici degli angoli Â e D̂ incontrandosi formano quattro angoli retti
perché le bisettrici diventano le diagonali di un rombo, un parallelogramma
nel quale le diagonali sono bisettrici e assi di simmetria.
2) (( AB) c ) d è una potenza la cui base è un numero di due cifre (AB). Se le
quattro lettere A, B, c, d, rappresentano quattro numeri naturali tutti diversi
tra loro e inferiori a 4, qual è il valore più piccolo, diverso da 1, che la potenza può assumere?
Soluzione proposta. I quattro numeri naturali minori di 4 e diversi tra loro
sono 0, 1, 2, 3. Gli esponenti c e d sono entrambi diversi da 0, altrimenti la
potenza varrebbe 1. Anche A si intende diversa da 0, dunque la lettera B è 0.
Le possibili combinazioni delle 4 cifre danno luogo alle seguenti potenze di
base 10, 20 e 30: 10 2!3 = 10 6 = 1.000.000 , 20 3 = 2 3 !10 3 = 8.000 ,
30 2 = 32 !10 2 = 900 . La potenza più piccola è quindi: 30 2 = 900 .
Soluzione degli studenti. Le risposte corrette sono state 25. Tutti hanno
provato a rispondere. La specifica richiesta di considerare quattro numeri
naturali diversi tra loro e inferiori a 4 è stata da qualcuno in parte ignorata,
assumendo proprio 4 come una delle cifre. Tra le risposte non corrette segnaliamo ad esempio:
• ((02)1 ) 3 = 08 ;
• la risposta è 8 poiché ((02)1 ) 3 o ((02) 3 )1 sono uguali a 8 e poiché ((03) 2 )1
o ((03)1 ) 2 sono uguali a 9.
Alcuni hanno interpretato la scrittura AB come un prodotto, anziché un
numero di due cifre; per esempio:
• ((1 ⋅ 2)3)4 = 2048
(risposta tra l’altro errata perché 212 = 4096);
• ((0 ! 1) 2 ) 3 = 0 .
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Infine, in rari casi, alcuni hanno considerato tra i numeri naturali anche i
numeri negativi o i numeri decimali [dovevamo essere più precisi ed espliciti]:
• non c’è una risposta perché, siccome può essere un numero negativo, e i
numeri sono infiniti, non si può determinare che numero sia;
• ( ((2,5 ! 3) 3,5 ) 2 ) ).
Forse alcuni problemi sorti con questo quesito sono legati alla difficoltà
di ricordare e tenere sotto controllo tutte le richieste del testo (in neretto):
(( AB) c ) d è una potenza la cui base è un numero di due cifre (AB). Se le
quattro lettere A, B, c, d rappresentano quattro numeri naturali tutti diversi tra loro e inferiori a 4, qual è il valore più piccolo, diverso da 1, che
la potenza può assumere?
3) Dato il quadrangolo non regolare indicato in figura determinare un triangolo con la stessa area, disegnandolo sulla figura stessa.
Soluzione proposta. Ci sono quattro soluzioni ottenute attraverso triangoli
con la stessa base e la stessa altezza:
Soluzione degli studenti. Eravamo coscienti che questo quesito, al quale
avevamo attribuito il punteggio massimo, sarebbe stato il più difficile da risolvere. È chiaro che tutti gli studenti sapevano che i triangoli con uguale
50
base e altezza hanno la stessa area, ma trovare una applicazione di quanto si
conosce è difficile (una volta intuita, la soluzione porta a determinare un
triangolo con la stessa area di un qualsiasi poligono). Tant’è che nessuno ha
risolto correttamente il terzo quesito. Quattro studenti non hanno risposto.
Tutti gli altri hanno tentato di rispondere con costruzioni spesso maggiormente affidate alla fantasia che non a un vero e proprio ragionamento, talvolta rimanendo perfino spiazzati dalla mancanza di misure e arrivando a
proporne delle proprie.
4) Qual è la probabilità di ottenere somma 7 con tre dadi simmetrici?
Soluzione proposta. La probabilità cercata è
15
5
. Infatti, somma u=
216 72
guale a 7 si ottiene in questi 15 modi (casi favorevoli): 1,1,5; 1,5,1; 5,1,1;
1,2,4; 1,4,2; 2,1,4; 2,4,1; 4,1,2; 4,2,1; 1,3,3; 3,1,3; 3,3,1; 2,2,3; 2,3,2;
3,2,2. I casi possibili sono: 6 " 6 " 6 = 216 .
Soluzione degli studenti. In questo problema soltanto 11 studenti sono stati
in grado di rispondere correttamente; 10 candidati non hanno risposto. Con!
sola un poco il fatto che - a eccezione di soli due casi, che hanno risposto 4
l’uno e 20 l’altro - in quasi tutti i tentativi di soluzione la probabilità sia
stata considerata un numero positivo inferiore a 1 (espresso sottoforma di
frazione o addirittura in percentuale). Sono stati 32 gli studenti in grado di
riconoscere il numero dei casi possibili: 63. Dieci candidati sembrano aver
confuso 63 con 6 " 3, avendo risposto 18 invece che 216. L’individuazione
dei casi favorevoli (15) ha destato maggiori problemi; per esempio alcuni
studenti non hanno considerato l’ordine con cui i casi favorevoli potevano
presentarsi, raggruppando come un solo caso favorevole i casi distinti con!
tenuti in ciascuna delle righe seguenti:
1,1,5
1,2,4
1,4,2
1,5,1
2,1,4
5,1,1
2,4,1
4,1,2
1,3,3
3,1,3
3,3,1
2,2,3
2,3,2
3,2,2
Il loro calcolo ha così fornito una probabilità pari a
!
4,2,1
4
.
216
51
5) Il proprietario di un giardino, che ha la forma di un triangolo rettangolo isoscele il cui cateto misura 10 metri, intende costruire una serra di
forma rettangolare avente due lati consecutivi sui due cateti e un vertice
sull’ipotenusa. Egli vuole che i lati misurino un numero intero di metri e
che la sua area sia la massima possibile. Quali devono essere le dimensioni della serra? Fornire una spiegazione della risposta data.
Soluzione proposta. Tra i rettangoli AC′B′A′ occorre trovare quello di area
maggiore rispettando i termini del problema.
I triangoli ABC e A′B′C e C′BB′ sono simili e quindi tutti rettangoli isosceli. Indicata con x la lunghezza del segmento in metri di AA′, risulta
A′B′=A′C=10 – x. L’area S del rettangolo in metri quadri è: S = x(10 – x) =
=10x – x2. Poiché le misure dei lati della serra sono espresse da numeri interi, i valori possibili della x e di S sono:
x = 1, S = 9; x = 2, S =16; x = 3, S = 21; x = 4, S = 24; x = 5, S = 25; x = 6,
S = 24; x = 7, S = 2; x = 8, S = 16; x = 9, S = 9. L’area è massima per x = 5,
quando la serra ha la forma di un quadrato di area 25 m2.
Soluzione degli studenti. Le soluzioni corrette sono state 13, mentre 17
candidati non hanno risposto. Non tutti hanno considerato il quadrato come
un particolare rettangolo e ben 30 studenti hanno affermato che l’area massima è 24 m2, riferendosi a rettangoli con dimensioni 6 m e 4 m, rispondendo ad esempio:
52
Le dimensioni della serra devono essere 6 × 4 m, la cui area è di 24 m2 ,
la più grande dopo quella del quadrato 5 × 5 m. Io non ho però scelto queste misure perché il problema chiede una serra a base rettangolare e non
quadrangolare.
Tra tutte le risposte, le più originali e interessanti sono state due:
• La serra deve essere un quadrato di lato 5 metri. I rettangoli che potrebbero rappresentare una serra, vincolati dall’ipotenusa del triangolo, sono isoperimetrici e il quadrato è la figura che ha area massima tra tutti i rettangoli isoperimetrici.
• I lati dovranno essere di 5 m, in modo che l’area sia di 25
m2. Infatti la figura ricorda un’iperbole, che però riporta al
centro una curvatura per mantenere costante l’area, quindi
posizionando al centro dell’ipotenusa l’angolo A [il vertice]
si otterrà la massima estensione.
A
Entrambe le soluzioni, con qualche confusione, prevedono conoscenze
non comuni per il livello scolastico dei candidati. Il primo studente mostra
di essere a conoscenza del teorema dei rettangoli isoperimetrici: tra tutti i
rettangoli di uguale perimetro fissato, quello di area massima è il quadrato.
Si tratta di un teorema importante che può essere affrontato e dimostrato in
svariati modi elementari e che offre molte possibilità di collegamenti e applicazioni per risolvere ulteriori esercizi e problemi, soprattutto di massimo
e minimo2. Il modo che sembra più veloce per dimostare il teorema nel nostro caso è quello di considerare che spostandosi da una posizione generica
verso la posizione centrale (da A ad A′) si guadagna un rettangolo più grande di quello che si perde.
A
-
A'
+
2
Per esempio si può consultare: Foschi A., 2008, Sui problemi di massimo e minimo a
scuola: alcune considerazioni e proposte, Progetto Alice, II vol. VIII, n. 23, pp. 273 – 322.
53
Nel secondo caso, abbiamo avuto l’impressione che lo studente avesse
qualche conoscenza di geometria analitica e che abbia intutito una possibile
soluzione. Infatti, siano x e y i lati di un rettangolo iscritto nel nostro
triangolo rettangolo isoscele. Indichiamo con 10 ed n, rispettivamente, la
misura del semiperimetro in metri e l’area del rettangolo in metri quadri.
Consideriamo in un piano cartesiano il segmento per x ed y positivi sulla
retta di equazione x + y = 10, insieme con la famiglia di iperboli di equazione xy = n, dove n varia fra gli interi. Il rettangolo che ci interessa deve
avere il vertice, già indicato con A, su tale segmento e su una delle iperboli.
Proprio per la curvatura delle iperboli “conviene” scegliere quella più distante dall’origine, situata più a Nord-Est, relativa al valore più grande
dell’area n, che corrisponde all’iperbole tangente al centro del segmento
considerato, per x =y =
10
, che dà come risultato un intero, come richiesto,
2
perché per fortuna 10 è pari.
6) Dato il segmento di misura 1cm, costruisci il segmento di misura
Due soluzioni proposte:
3
3
2
1
2
1
3 cm.
54
Soluzione degli studenti. Le risposte corrette sono state 10 su 80: cinque hanno fatto riferimento all’altezza di un triangolo equilatero di lato 2 cm (prima figura), quattro si sono basati sulla costruzione dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti rispettivamente di 1 cm e 2 cm, ricorrendo al lato e alla diagonale di un quadrato (seconda figura) e uno ha indicato la costruzione della
diagonale di un cubo di lato 1 cm.
In 4 non hanno risposto; nelle rimanenti 66 risposte alcuni hanno proposto
!
come soluzione due segmenti indicandone
le lunghezze in 1 cm e 1.7 cm e
disegnandoli con il righello.
7) Tre amiche (A, B, C) vanno a cena fuori e, all’uscita dal ristorante, decidono di prendere un taxi per tornare a casa. A scende dopo che il taxi ha
percorso 1/6 del tragitto totale, B dopo che ha percorso i 2/3, e C, naturalmente, alla fine del tragitto. Il costo della corsa è di 18 euro e le tre
amiche decidono di pagare in modo proporzionale all’utilizzo del mezzo.
Quanto paga ciascuna delle amiche?
Soluzione proposta. A, B e C percorrono 1/6 del percorso totale, B e C percorrono anche i (2/3 – 1/6) = 3/6 del percorso e soltanto C percorre quanto
rimane, che corrisponde ad 1/3 = 2/6 del percorso totale. Quindi considerando che:
A:
1 1 1
11 1 23
1 1 & 2 1 # 11
; C:
,
! = ; B:
+ =
+ $ ' !=
3 6 18
36 3 36
18 2 % 3 6 " 36
si conclude che A, B, C, pagano 1, 5.50 e 11.50 euro.
Soluzione degli studenti. Le risposte corrette sono state 9 su 80, 5 sono stati i candidati che non hanno risposto. Abbiamo suddiviso le rimanenti 66 soluzioni sbagliate, in 5 gruppi, in base alla frequenza delle risposte e al presumibile ragionamento messo in atto:
• Gruppo I (5 studenti): A paga 3 €, B paga 12 €, C paga 18 €. Probabilmente questi studenti hanno dedotto che il costo dell’intera corsa dovesse essere attribuito singolarmente a ciascun passeggero: C rimane nel taxi per tutto il tragitto e quindi paga il prezzo intero di 18 €; A percorre solo il primo sesto di
1
strada, insieme a B e C, e perciò paga "18 €; infine B percorre, insieme a
6
!
&2
%3
1
6
55
3#
6"
C, anche i tre sesti successivi al primo $ = + ! e “perciò” paga 3 € per il
3
"18 € = 9 € per il secondo tratto.
6
Alcuni candidati forse hanno paragonato la situazione al caso in cui le tre
amiche fossero tornate a casa su tre taxi diversi; se fosse stato questo il caso il
1
2
6
loro calcolo
risulterebbe corretto: "18 €, "18 €, "18 €.
!
6
3
6
Uno dei candidati, infine, ha avuto dubbi su come interpretare il testo e ha
fornito anche la risposta del gruppo II; lo abbiamo pertanto conteggiato per entrambi i gruppi.
!
!
!
• Gruppo II (3 studenti): A paga 3 €, B paga 10 €, C paga 5 €. L’idea che ci
siamo fatti del ragionamento per questa risposta è stata la seguente: il primo se1
sto di strada viene pagato da A al prezzo di "18 € = 3 €; al ché rimane un
6
tratto di corsa il cui costo viene calcolato con la differenza 18 € – 3 € = 15 €;
2
all’amica B, allora, toccherà pagare "15 € = 10 €; infine C paga il resto [che
3
!
ovviamente è troppo poco].
primo tratto più
• Gruppo III (9 studenti): A paga 3 €, B paga 12 €, C paga 3 €. La risposta
di questo gruppo è forse semplice
da giustificare:
!
1
2
"18 € = 3 €, B paga "18 € = 12 € e C paga il resto [che ovvia6
3
mente, anche in questo caso, è troppo poco].
A paga
• Gruppo IV (20 studenti): A paga 3 €, B paga 9 €, C paga 6 €. A paga il
!primo sesto di strada, B! i successivi tre sesti e C i rimanenti due sesti.
• Gruppo V (12 studenti): A paga 1,64 €, B paga 6,54 €, C paga 9,82 €.
Questo gruppo è stato il più difficile da interpretare. Ci sembra che l’idea di
tragitto totale abbia suggerito ai candidati di calcolare la somma dei singoli
1 4 6 11
tratti percorsi da A, B e C:
+ + = ; il percorso, per gli studenti di que6 6 6 6
sto gruppo, andava così suddiviso in 11 parti uguali e le tre amiche devono pa1
4
6
gare rispettivamente
"18 €,
"18 €,
"18 € . Le rappresentazioni deci11
11
11
!
mali delle frazioni precedenti sono rispettivamente: 1.63, 6.54 , 9.81 che pro!
!
!
!
!
!
56
babilmente sono stati approssimati, in modo corretto, e in modo che la somma
dei valori ottenuti risultasse 18.
Non ci è parso significativo raggruppare e commentare le risposte errate con
frequenza minore o uguale a 2, fornite da un totale di 18 studenti.
8)
1
3
7
5
9
11
13 15 17 19
…………………………………….
La piramide rappresentata contiene la successione dei numeri dispari, a
partire da 1, disposti per righe. La somma dei numeri della riga numero
n è 729. Di quale riga si tratta? Fornire una spiegazione della risposta
data.
Soluzione proposta. Risposta: n = 9. Si osserva che la somma dei numeri
delle righe è data nell’ordine da: 1, 8, 27, 64… che sono i cubi dei numeri
naturali 1, 2, 3, 4, … che indicano la posizione delle righe. Poiché 729 = 93 ,
si può ipotizzare che tale numero sia la somma dei numeri della nona riga.
Si può verificare tale congettura completando la piramide fino alla riga 9 i
cui numeri hanno somma 729, oppure si può sommare soltanto i numeri della riga 9, considerando che i primi numeri delle righe sono 1, 3, 7, 13, 21,
31, 43, 57 e 73 e che a partire da 73 la riga 9 contiene 9 numeri.
1
3
7
5
9
11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39 41
43 45 47 49 51 53 55
57 59 61 63 65 67 69 71
73 75 77 79 81 83 85 87 89
Soluzione degli studenti. Le soluzioni considerate corrette sono state 49,
mentre 18 sono stati i candidati che non hanno risposto. Tra le risposte esat-
57
te abbiamo rilevato che 36 studenti si sono limitati a completare la piramide
fino alla nona riga; solo 12 si sono accorti che la somma dei numeri in ciascuna riga corrisponde al cubo del numero di riga che è anche il numero di
elementi nella riga.
Interessante la soluzione di un candidato che evidenzia una regolarità che
abbiamo chiamato “per salti”:
Si tratta della 9a riga, perché è la 3a riga elevata alla seconda, 32 = 9, come 27
(che è la somma dei numeri della 3a riga) elevato alla seconda dà 729, lo stesso accade fra la 2a e la 4a riga.
Sembra che lo studente abbia ragionato in questo modo: la somma dei numeri dispari sulla terza riga dà 27; il quadrato di 27 è 729; dunque la riga corrispondente alla somma 729 deve essere 32 = 9. Per confermare la sua ipotesi ha
pensato fosse sufficiente controllare che la stessa regolarità si verificasse tra la
2a e la 4a riga: la somma dei numeri dispari della 2a riga è 8 e la somma di quelli della 4a riga è 82 = 64.
9) Due fratelli, Luca e Andrea, ereditano un terreno che ha la forma del
rettangolo ABCD. Per dividere la proprietà piantano un paletto in un
punto P preso a caso all’interno al terreno, ma diverso dal punto
d’intersezione delle diagonali del rettangolo, e tracciano le linee PA, PB,
PC e PD. Luca prende il terreno costituito dai triangoli PAD e PBC e
Andrea quello formato dai triangoli PAB e PCD. L’eredità di Luca è
maggiore, uguale o minore di quella di Andrea? Fornire una spiegazione
della risposta data.
D
C
A
B
Soluzione proposta. Le eredità sono uguali. Si può dimostrare senza parole
(o quasi), osservando la figura che segue:
58
D
C
D
C
1
P
1
2
P
4
4
A
B
3
A
2
3
B
Ogni erede, come mostra la figura, riceve una metà di ciascuno dei quattro
rettangoli in cui il terreno può essere diviso.
Per una soluzione con calcoli, indicati con PE, PF, PG, PH le altezze
dei 4 triangoli, l’area del terreno ereditato da Luca è data da:
1
1
1
1
S = AD ! PH + BC ! PF = AD ! ( PH + PF ) = AD ! AB
2
2
2
2
che è metà dell’area del rettangolo ABCD.
D
H
A
E
P
G
C
F
B
Allo stesso modo è metà di quella del rettangolo l’area ereditata da Andrea.
Soluzione degli studenti. Coloro che hanno capito che le due aree sono uguali sono stati 62; di questi solamente 11 hanno dato una giustificazione
corretta; tre studenti non hanno risposto. Si distinguono per correttezza e
pensiero creativo le due soluzioni seguenti, la prima delle quali coincide con
la prima dimostrazione da noi proposta (e preferita):
59
B
A chiaro ha laCstessa area di quella gri10) Dimostrare che la superficie grigio
gio scuro, sapendo che A indica il centro del cerchio grande e che
l’angolo BAC è retto.
B
A
C
Soluzione proposta. I due cerchi, piccolo, c, e grande, C, hanno rispettivamente raggi r e 2 r. Quindi: area C = 2 area c, e per l’area colorata in grigio chiaro: area C/4 = 1/2 area c, che dunque è uguale all’area della parte
restante, colorata in grigio scuro.
! degli studenti. Solamente due candidati hanno saputo rispondere
Soluzione
a questo problema proponendo una soluzione equivalente a quella proposta.
In 35 non hanno risposto. Insieme al numero 3) si è rivelato per loro un quesito molto difficile; è risultato, però, di gran lunga superiore il numero di
coloro che non hanno tentato di affrontare il quesito numero 10) rispetto a
quello col numero 3).
11) A partire dal punto A su una colonna cilindrica, viene teso un filo che
fa un giro intorno alla colonna fino a raggiungere il punto B situato sulla verticale che parte da A. Sapendo che la circonferenza di base del cilindro ha lunghezza 120 cm e che la distanza fra A e B è 160 cm, determinare la lunghezza del filo.
60
B
A
Soluzione proposta.
“Aprendo” la superficie della colonna si vede che la lunghezza della corda
tesa è data dalla lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha
cateti di 120 cm e 160 cm e ipotenusa lunga 200 cm (3, 4, 5 è una terna
pitagorica). Dunque la risposta è 200 cm.
Hanno saputo rispondere a questo problema in 24; di questi, 5 hanno giustificato il loro calcolo, sebbene non richiesto, così come da noi proposto. In
14 non hanno risposto.
Tra le risposte errate ne sono inoltre presenti:
• 3 con 120 cm (un giro attorno alla colonna da A a B è stato considerato
uguale a un giro attorno alla circonferenza di base);
• 14 hanno detto che il filo misura 280 cm: questo risultato è stato ottenuto
sommando la circonferenza di base del cilindro e la distanza AB.
uguale a 3 metà della circonferenza di base);
uguale a 4 metà della circonferenza di base).
12) Su uno scaffale ci sono in tutto 71 libri tra libri gialli e libri d’avventura.
Alcuni (sia dei libri gialli che dei libri d’avventura) sono nuovi e altri
sono vecchi. I libri d’avventura sono in tutto 50 e i libri nuovi sono in
tutto 55. C’è solo un libro giallo vecchio. Quanti sono i gialli nuovi?
Soluzione proposta.
Libri gialli: 71 – 50 = 21. C’è un solo libro giallo vecchio, perciò i gialli
nuovi sono 21 – 1 = 20. Per questa soluzione il dato sui libri nuovi è del
tutto irrilevante.
61
L’obiettivo di questo esercizio era di dare a tutti la possibilità di risolvere
correttamente almeno un problema. Hanno risposto correttamente 76 candidati; 3 studenti hanno fornito una risposta sbagliata; un solo candidato non
ha risposto. Quasi tutte le soluzioni si sono basate sulla strategia da noi proposta. Quella che segue è stata l’unica che sfrutta il linguaggio degli insiemi:
8. Conclusioni e considerazioni didattiche generali
Alcuni dei quesiti che abbiamo analizzato sono stati presentati a studenti
universitari di matematica e non poche delle loro risposte sono risultate sbagliate. Considerando anche che nella scuola media l’unica dimostrazione, se
pure viene fatta, è relativa al Teorema di Pitagora, si deve concludere che la
maggioranza degli studenti che hanno partecipato alla Maratona di Matematica
hanno dimostrato una notevole capacità di risolvere i problemi proposti, particolarmente differenti da quelli sottoposti frequentemente nella scuola.
Gli studenti che si sono classificati nelle prime posizioni, tenendo presente
la loro età hanno dimostrato delle doti veramente eccezionali di creatività ed
originalità.
Un discorso generale risulta particolarmente complesso, ma forse potrebbe
essere utile una preparazione in grado di lasciare qualche spazio a varie strategie, metodi e algoritmi basilari risolutivi. Stesso discorso per un buon livello di
comprensione di un testo ed una attenta capacità d’individuazione e di controllo dei dati e dei risultati.
Potrebbe essere anche opportuno proporre problemi che presentino dati insufficienti o sovrabbondanti; oppure che ammettano più soluzioni, o anche nessuna, avvertendoli di queste possibilità, e che soprattutto spingano a riflettere
sulle conclusioni trovate.
In molti casi gli studenti che non hanno dato soluzioni corrette si sono fidati
dei passaggi e dei calcoli effettuati senza rendersi conto di aver proposto soluzioni assurde come quelle che non hanno previsto un maggiore pagamento per
62
coloro che in taxi hanno percorso un tragitto più lungo.
L’esito del quesito 3), confrontato anche con quello del quesito 6), può far
pensare all’opportunità dell’uso di alcuni software di geometria dinamica e, in
generale, ad un maggiore rapporto di collaborazione fra l’insegnante di disegno
e quello di matematica.
9. Appendice
Tabella dei risultati
Grafici delle percentuali delle risposte
63
Bibliografia
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American Library.
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scuola: una sfida possibile?, Ed. Pagine, 186 pagine.
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Catastini L., Il pensiero allo specchio, La Nuova Italia, 1990.
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Kanizsa G., Legrenzi P., Sonino M., 1983, Percezione linguaggio pensiero,
Il Mulino.
Pelli L., 2003, L’idea: una “Maratona” di … Matematica, Rivista quindicinnale Scuola e Didattica, Editrice La Scuola, 15 Aprile, Anno
XLVIII, n. 15, pp. 72-74.
Wertheimer M., 1965, Il pensiero produttivo, Giunti-Barbera.
www.icfanelli.it (cercare anche Maratona di Matematica con Google)
64
Dopo-scuola
Italiano:
teatro
Inglese:
conversazione
Ed. fisica:
palla a volo
Informatica: costruiamo un
ipertesto
…
Matematica: --
?
----
m
b
Mario Barra, Alessandro Foschi, Luigi Regoliosi

Maratona di Matematica. Alcune riflessioni.

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