Analisi delle serie storiche

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11
Analisi delle serie
storiche
Introduzione
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
58
L’importanza della previsione a livello aziendale 58
Il modello moltiplicativo classico delle serie storiche 59
Livellamento di una serie storica annuale 61
Il metodo dei minimi quadrati e la previsione 71
Modelli autoregressivi per la determinazione del trend e per la previsione
Scelta del modello di previsione 93
Analisi di serie storiche a cadenza mensile o trimestrale 97
Validità e limiti dei metodi di analisi delle serie storiche 106
Riepilogo del capitolo
A11.1
84
107
L’uso di Microsoft Excel per l’analisi delle serie storiche
114
◆
57
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OBIETTIVI DEL CAPITOLO
✓
✓
✓
Presentare un modello classico per l’analisi delle serie storiche
Introdurre una varietà di modelli per la previsione con dati a cadenza annuale
Sviluppare modelli previsivi per dati trimestrali o mensili
Intr oduzione
Nei precedenti capitoli sono stati introdotti e discussi modelli di regressione lineare
assai utili a scopi previsivi. Abbiamo visto come l’analisi basata sulla regressione
possa costituire un valido supporto nel processo decisionale aziendale. In questo
capitolo introdurremo e approfondiremo il concetto di serie storica, molto importante nell’ambito della pianificazione e controllo.
Inizieremo presentando serie storiche a cadenza annuale e introducendo due tecniche di livellamento (“smussamento”) per serie siffatte: medie mobili e livellamento (o smorzamento) esponenziale (paragrafo 11.3). Il discorso toccherà poi
alcune importanti tecniche di interpolazione e previsione per serie annuali, dal
metodo dei minimi quadrati (paragrafo 11.4) a metodologie più avanzate (paragrafo
11.5). Gli stessi metodi saranno poi estesi e adattati all’analisi di serie storiche a
cadenza mensile e trimestrale e in particolare al problema della valutazione della
componente stagionale (paragrafo 11.7).
◆ APPLICAZIONE:
Previsione delle entrate lorde annuali presso
la società Eastman Kodak
La Eastman Kodak è una delle più importanti società nel campo dell’immagine a livello
mondiale. I suoi principi sono: la produzione su vasta scala a basso costo, la distribuzione
internazionale dei prodotti, l’uso massiccio della pubblicità e l’attenzione nei confronti del
consumatore. I livelli direttivi della Eastman Kodak hanno capito l’importanza della ricerca
e della continua e accurata analisi dei risultati in termini di performance della società, fondamentali quando si ha come obiettivo quello di diventare leader nel settore. Nei paragrafi
11.4 e 11.5 di questo capitolo saranno presentati i dati relativi alle entrate lorde annuali della
società nel periodo compreso fra il 1975 e il 1998, che verranno utilizzati per fare delle previsioni. Un’analisi di questo tipo può essere di grande aiuto al management della società per
comprendere l’evoluzione storica e gli eventuali cambiamenti nei livelli di performance conseguiti, per individuare concretamente la posizione ricoperta dalla Eastman Kodak all’interno del settore e per valutare gli effetti futuri di alcune strategie che la società può decidere di adottare. ◆
◆
11.1
58
L’IMPORTANZA
CAPITOLO 11
DELLA PREVISIONE A LIVELLO AZIENDALE
Poiché le condizioni economiche e del mercato cambiano continuamente nel corso del
tempo, gli operatori aziendali devono essere in grado di valutare e prevedere gli effetti di
tali cambiamenti sulla salute dell’azienda. È quindi necessario sviluppare delle tecniche di
previsione in grado di supportare le scelte e le strategie dell’azienda.
L’esigenza di fare previsioni caratterizza in un certo senso le società moderne. I governi
devono essere in grado di prevedere l’andamento di fenomeni quali la disoccupazione, l’inflazione, la produzione industriale, il gettito fiscale per poter adottare politiche sociali e
fiscali corrette; i responsabili del marketing all’interno di una società devono riuscire a
ANALISI
DELLE SERIE STORICHE
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prevedere la domanda del prodotto, il volume delle vendite, l’evoluzione dei gusti del consumatore per poter adottare corrette decisioni di politica aziendale; l’amministrazione di
un’università deve essere in grado di prevedere l’ammontare delle iscrizioni sulla base delle
proiezioni della popolazione e di altri elementi a sua disposizione per poter progettare gli
spazi, le strutture (mensa, pensionato).
Tipi di metodi di previsione
Gli approcci alla previsione sono essenzialmente due: un approccio qualitativo e un approccio quantitativo. I metodi di previsione qualitativi devono essere adottati quando non si
dispone di dati storici, per esempio se si vogliono prevedere le entrate di una nuova società.
Si tratta naturalmente di metodi altamente soggettivi. Tra le più importanti tecniche di previsione qualitative devono essere ricordate il factor listing method, l’expert opinion, e la
Delphi technique (riferimento bibliografico 4).
Le tecniche di previsione quantitative al contrario si basano proprio sull’uso di dati
storici, dai quali l’analista cerca di comprendere la struttura sottostante del fenomeno per
poi utilizzarla a scopi previsivi.
A loro volta i metodi di previsione quantitativi possono rientrare in due macro-categorie: metodi basati sulle serie storiche e metodi aleatori. I primi consistono nell’effettuare
previsioni sull’andamento futuro di una variabile sulla base delle realizzazioni passate e presenti della variabile in questione.
Serie Storica
Una serie storica è un insieme di dati numerici registrati ad intervalli regolari di
tempo.
◆
11.2
Esempi di serie storica possono essere rappresentati dai prezzi di chiusura giornalieri di
un’azione, dalle pubblicazioni mensili dell’indice dei prezzi al consumo, dai valori trimestrali del prodotto interno lordo oppure dai volumi di vendite annuali realizzati da una certa
società.
I metodi di previsione aleatori consistono nella determinazione di fattori legati alla
variabile di cui si vuole effettuare la previsione. Tali metodi includono la regressione multipla con variabili ritardate, i modelli econometrici, gli indici di diffusione e altri metodi
che vanno oltre gli scopi di questo testo (riferimenti bibliografici 5 e 8). Ci concentriamo
quindi sull’analisi delle serie storiche.
IL
MODELLO MOLTIPLICATIVO CLASSICO DELLE SERIE STORICHE
Alla base dell’analisi delle serie storiche vi è l’assunzione secondo cui i fattori che hanno
influenzato l’andamento della serie nel passato e nel presente continuino a esercitare effetti
analoghi anche nel futuro. Di conseguenza l’analista non deve fare altro se non individuare
e isolare tali fattori per effettuare previsioni e quindi indirizzare l’attività di pianificazione
e controllo aziendali. A tale scopo gli statistici hanno elaborato diversi modelli per disaggregare la serie nelle sue componenti; in questo testo verrà approfondito il modello classico moltiplicativo, che sarà utilizzato a scopi previsivi.
Consideriamo a titolo di esempio la serie storica delle entrate lorde realizzate dalla
società Eastman Kodak nel periodo di tempo compreso fra il 1975 e il 1998 (Figura 11.1).
Volendo dare una prima caratterizzazione dei dati, osserviamo che i valori in questione
hanno manifestato una tendenza all’aumento nei 24 anni considerati: questa tendenza di
lungo termine all’incremento o al decremento dei valori della serie prende il nome di trend.
Chiaramente il trend non esaurisce le informazioni rilevanti sulla serie in questione (o
qualsivoglia serie storica) a meno che i dati non si trovino esattamente su una linea retta.
Altre due componenti (o fattori) di estrema importanza sono la componente ciclica e quella
IL
MODELLO MOLTIPLICATIVO CLASSICO DELLE SERIE STORICHE
59
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FIGURA 11.1
Andamento
delle entrate lorde
(in milioni di dollari)
realizzate dalla società
Eastman Kodak
nel periodo compreso
fra il 1975 e il 1998.
Grafico ottenuto
in Microsoft Excel.
irregolare. La componente ciclica spiega gli scostamenti verso l’alto o verso il basso dei
dati rispetto al trend; tali scostamenti possono avere diverse durate, ma solitamente coinvolgono un periodo di tempo compreso fra due e dieci anni. I movimenti ciclici differiscono anche nell’intensità oltre che nella durata e sono spesso strettamente legati ai cicli
economici. In via residuale rispetto alle componenti cicliche e di trend è possibile individuare l’ultima componente della serie, la componente irregolare o casuale. Infine, quando
i dati non hanno una cadenza annuale e ci troviamo di fronte ad esempio a dati mensili o
trimestrali, è necessario tenere conto di un quarto fattore: la stagionalità (equazione (11.2)).
Nella Tabella 11.1 sono riassunte le quattro componenti.
Nel modello moltiplicativo classico ciascun punto della serie storica è visto come prodotto
di queste quattro componenti, come sintetizzato nelle equazioni (11.1) e (11.2) rispettivamente per serie storiche annuali e infra-annuali.
Modello moltiplicativo classico per serie storiche annuali
Yi Ti Ci Ii
(11.1)
Dove, nell’anno i
Ti valore della componente di trend
Ci valore della componente ciclica
Ii valore della componente irregolare
Modello moltiplicativo classico per serie storiche infra-annuali
Yi Ti Si Ci Ii
Dove, con riferimento al periodo i (mese o trimestre)
Ti valore della componente di trend
Ci valore della componente ciclica
Ii valore della componente irregolare
Si valore della componente stagionale
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CAPITOLO 11
ANALISI
(11.2)
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Tabella 11.1 Componenti di una serie storica
CLASSIFICAZIONE
COMPONENTE
DELLA COMPONENTE
MOTIVI
DEFINIZIONE
DI INFLUENZA
Trend
Sistematica
tendenza di lungo termine
all’incremento o al decremento
dei valori della serie
Stagionale
Sistematica
Ciclica
Sistematica
Irregolare
Non
sistematica
Fluttuazioni periodiche regolari
che si ripetono annualmente
Scostamenti verso l’alto o
verso il basso dei dati rispetto
al trend, secondo le fasi
di prosperità (picchi positivi),
contrazione (dal picco verso
il basso), depressione
(in discesa verso un picco
negativo), ripresa (dal picco
negativo verso l’alto)
Fluttuazione “residua”
di una serie una volta
depurata dalle componenti
sistematiche
DURATA
Cambiamenti
nella tecnologia,
nella popolazione,
nella ricchezza o nel valore
Condizioni climatiche, usi e
costumi sociali e religiosi
Interazione di diversi fattori
economici
diversi anni
variazioni nei dati dovute
al caso oppure ad eventi
straordinari quali scioperi,
uragani, alluvioni,
assassini politici e così via
breve durata
12 mesi (solo per
dati infra-annuali)
Solitamente da 2
a 10 anni
Il primo passo nell’analisi di una serie storica consiste nella rappresentazione grafica dei
valori, dalla quale si possono trarre le prime considerazioni di carattere qualitativo sulla
serie. Osservando un grafico, infatti, è possibile intuire se i valori della serie manifestino
un trend di lungo periodo oppure oscillino intorno a un’immaginaria linea orizzontale, parallela all’asse dei tempi. Nel paragrafo 11.3 saranno presentate alcune tecniche di livellamento adatte a cogliere le tendenze di lungo periodo in serie storiche che non presentano
un andamento di trend. In particolare saranno discusse le tecniche di livellamento esponenziale e il metodo basato sulla costruzione di medie mobili. Nei paragrafi successivi
vedremo invece alcuni modi per affrontare l’analisi delle serie storiche che seguono un
trend, in particolare allo scopo di effettuare previsioni. Nei Paragrafi 11.4 e 11.5 ci occuperemo di serie storiche annuali, mentre nel paragrafo 11.7 ci concentreremo sui metodi di
previsione per dati mensili e trimestrali.
◆
11.3
LIVELLAMENTO
DI UNA SERIE STORICA ANNUALE
Nella Tabella 11.2 e nella Figura 11.2 sono rappresentate le vendite annuali della General
Motors Corporation (GM) nei 24 anni compresi tra il 1975 e il 1998. Esaminando il grafico è difficile stabilire se i valori della serie seguano un trend di lungo periodo, poiché le
forti oscillazioni di breve periodo complicano l’impressione d’insieme. In situazioni di questo tipo si rivelano di particolare utilità le tecniche di livellamento a cui si è accennato
prima, in grado di favorire una corretta visione delle tendenze di lungo periodo.
Le medie mobili
Il metodo di livellamento basato sulle medie mobili rappresenta una tecnica altamente soggettiva, in quanto dipende dalla lunghezza del periodo scelto per la costruzione delle medie.
Volendo eliminare le fluttuazioni cicliche della serie, l’analista deve in qualche modo stimare la durata media dei cicli all’interno della serie e sulla base di questa stima procedere
al calcolo delle medie mobili. Ma vediamo in dettaglio in cosa consiste una media mobile.
LIVELLAMENTO
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Tabella 11.2 Vendite (in milioni di unità) realizzate
dalla General Motors Corporation (1975-1998)
ANNO
VENDITE
ANNO
VENDITE
ANNO
VENDITE
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
6.6
8.6
9.1
9.5
9.0
7.1
6.8
6.2
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
7.8
8.3
9.3
8.6
7.8
8.1
7.9
7.5
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
7.4
7.7
7.8
8.4
8.3
8.4
8.8
8.1
Nota: Le vendite sono quelle derivanti da qualunque fonte: macchina, camion, autobus e stabilimento
d’oltremare.
Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993 and annual reports. Reprinted by
permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc.
Una media mobile di periodo L consiste in una serie di medie aritmetiche calcolate
su sequenze di valori osservati di lunghezza L. Indichiamo con MA(L) una media
mobile di periodo pari a L.
Supponiamo ad esempio di voler calcolare una media mobile con un periodo di 5 anni su
una serie di 11 anni. Essendo L = 5 anni, le medie mobili corrispondenti consisteranno in
una serie di medie che coinvolgono sequenze consecutive di 5 osservazioni. La prima di
tali medie si ottiene quindi sommando i primi 5 valori della serie e dividendo per 5:
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5
5
La seconda media coinvolge i valori della serie dal secondo al sesto:
Y2 Y3 Y4 Y5 Y6
MA(5) 5
MA(5) FIGURA 11.2
Rappresentazione
grafica delle vendite
(in milioni di unità)
realizzate dalla General
Motors Corporation
(1975-1998).
Fonte: dati
della Tabella 11.2.
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CAPITOLO 11
ANALISI
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Questo processo continua fino al calcolo dell’ultima media che sarà data da:
Y7 Y8 Y9 Y10 Y11
MA(5) 5
Quando si ha a che fare con dati annuali, è conveniente che L (lunghezza del periodo di
riferimento per il calcolo delle medie mobili) sia un numero dispari.
Tracciando il grafico delle medie, ciascun valore ottenuto come media deve essere inserito nel punto centrale della sequenza di tempi coinvolti nella media. Nel nostro caso per
esempio, la prima media mobile sarà centrata nel terzo anno, la seconda nel quarto e così
via fino all’ultima che si troverà in corrispondenza del nono anno della serie. In questo
modo è evidente che la serie delle medie non coinvolgerà i primi due e gli ultimi due anni
coperti dai dati (in generale si perdono i primi (L–1)/2 e gli ultimi (L–1)/2 periodi).
Esempio 11.1
Calcolo di una media mobile con un periodo
di 5 anni
I seguenti dati rappresentano le entrate realizzate da una società negli 11 anni compresi fra
il 1987 e il 1997.
4.0
5.0
7.0
6.0
8.0
9.0
5.0
2.0
3.5
5.5
6.5
Si calcolino le medie mobili di periodo 5 per questa serie.
S OLUZIONE
Le 7 medie si ottengono nel modo seguente:
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 4.0 5.0 7.0 6.0 8.0 30.0
6.0
5
5
5
Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 5.0 7.0 6.0 8.0 9.0 35.0
MA(5) 7.0
5
5
5
Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 7.0 6.0 8.0 9.0 5.0 35.0
MA(5) 7.0
5
5
5
Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 6.0 8.0 9.0 5.0 2.0 30.0
MA(5) 6.0
5
5
5
Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 8.0 9.0 5.0 2.0 3.5 27.5
5.5
MA(5) 5
5
5
Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 9.0 5.0 2.0 3.5 5.5 25.0
MA(5) 5.0
5
5
5
Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 5.0 2.0 3.5 5.5 6.5 22.5
4.5
MA(5) 5
5
5
MA(5) e devono essere centrate negli anni dal terzo al nono.
Nella pratica, le medie mobili di una serie di dati vengono determinate ricorrendo all’ausilio di software (ad esempio, Microsoft Excel) per evitare di perdersi in noiosi calcoli.
Nella Tabella 11.3 sono rappresentate le vendite annuali della General Motors nei 24 anni
compresi fra il 1975 e il 1998 insieme con le corrispondenti medie mobili di ampiezza 3 e
7. Le stesse sono state anche rappresentate nella Figura 11.3. Osserviamo che nella serie
rappresentata nella colonna C (media mobile di ordine 3) mancano il primo e l’ultimo
valore, mentre in quella in colonna D (media mobile di ordine 7) i valori mancanti sono i
primi tre e gli ultimi tre.
LIVELLAMENTO
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Tabella 11.3 Medie mobili
di ordine 3 e di ordine 7
calcolate sulla serie
delle vendite della General
Motors (1975-1998)
Si nota immediatamente dal grafico che la media mobile di ampiezza 7 smussa in misura
notevolmente maggiore la serie originaria rispetto a quella di ordine 3. D’altra parte porta
a una perdita di valori più consistente (sei contro due). In generale si può dire che c’è un
trade-off tra la bontà del livellamento e la completezza della serie “smussata”.
Livellamento esponenziale
Il livellamento (o smorzamento) esponenziale è un’altra tecnica utilizzata per smussare una
serie storica di dati al fine di fornire all’analista un’impressione dei movimenti di lungo terFIGURA 11.3
Rappresentazione
grafica in Microsoft
Excel delle medie mobili
di ordine 3 e di ordine
7 calcolate sulla serie
delle vendite
della General Motors.
Fonte: dati
della Tabella 11.2.
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CAPITOLO 11
ANALISI
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mine della serie stessa. Il metodo del livellamento esponenziale è di particolare interesse
poiché consente di effettuare previsioni di breve termine (ad un periodo) anche su dati che
non presentano un evidente andamento di trend, come quelli relativi alle vendite della General Motors presentati nella Tabella e nella Figura 11.3. In questo senso la tecnica di livellamento rappresenta un metodo di analisi più vantaggioso rispetto alla tecnica basata sulle
medie mobili.
Il metodo del livellamento esponenziale consiste nell’applicazione alla serie dei dati di
una media mobile ponderata esponenzialmente. In questo modo, come vedremo, ciascun
valore della serie smussata dipende da tutti i valori osservati precedenti, cosa che non accade
quando si adotta il metodo basato sulle medie mobili. Inoltre, nel calcolo dei valori della
serie livellata, i pesi assegnati a ciascun valore osservato in precedenza non sono costanti,
ma decrescono passando dai più recenti a quelli più lontani nel tempo. Così ad esempio nel
calcolo del livellamento esponenziale per il periodo i verrà assegnato il peso maggiore al
valore osservato nel periodo i – 1, un peso inferiore al valore osservato nel periodo i – 2,
e pesi via via decrescenti fino ad arrivare al primo valore osservato della serie, al quale è
assegnato il peso minore. Come per le medie mobili, anche il calcolo del livellamento esponenziale può essere facilmente effettuato con l’ausilio di Microsoft Excel o analoghi programmi di calcolo.
Concentrandoci per ora sullo smussamento della serie storica osservata (anziché sugli
aspetti previsivi), osserviamo che le formule per il livellamento esponenziale di una serie
storica si basano su tre soli termini: il valore corrente della serie Yi, il valore della serie
smussata calcolato per il periodo precedente, Ei – 1, e un peso, o fattore di smorzamento
assegnato soggettivamente, W. Per ogni periodo i si ha quindi la seguente formula per la
determinazione della serie smussata:
Come ottenere il valore smussato esponenzialmente
per il periodo i
Ei WYi (1 W)Ei1
(11.3)
dove
Ei valore della serie smussata esponenzialmente relativo al periodo i
Ei1 valore della serie smussata esponenzialmente relativo al periodo i – 1
Yi valore osservato della serie storica nel periodo i
W peso o fattore di smorzamento assegnato soggettivamente
(0 < W < 1)
E1 Y1
La scelta del fattore di smorzamento W è critica in quanto influisce enormemente sui
risultati. Si tratta di una scelta soggettiva, tuttavia è possibile seguire la seguente regola pratica: se il nostro scopo è unicamente quello di smussare la serie eliminando le variazioni
cicliche e irregolari, conviene adottare un valore basso (prossimo a zero) di W; se invece
l’analista vuole anche effettuare una previsione di breve periodo, si rivela più conveniente
la scelta di valori elevati (prossimi a uno) di W. Con valori bassi di W infatti vengono
meglio evidenziate le tendenze di lungo periodo della serie, mentre valori elevati consentono più precise previsioni di breve periodo.
◆ Livellamento Nella Tabella 11.4 sono presentati i valori della serie relativa alle vendite della General Motors dal 1975 al 1998, smussati esponenzialmente con pesi pari a 0.5
e 0.25 (i valori sono stati ottenuti in Microsoft Excel). Nella Figura 11.4 le due serie livellate sono state rappresentate graficamente insieme con la serie originaria.
LIVELLAMENTO
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Tabella 11.4 Livellamento
esponenziale della serie
relativa alle vendite
realizzate dalla GM
nel periodo 1975-1998
Vediamo come è stata determinata la serie smussata con un fattore di smorzamento pari
a 0.25. Come punto di partenza consideriamo il primo valore osservato Y1975 = 6.6, che
coincide con il primo valore della serie smussata E1975. Quindi, utilizzando il valore osservato della serie nell’anno 1976, è possibile ottenere anche il secondo valore della serie smussata, con l’applicazione della semplice formula:
E 1976 WY1976 (1 W)E1975
(0.25)(8.6) (0.75)(6.6) 7.1 milioni
Negli anni successivi si procede iterativamente:
E 1977 WY1977 (1 W)E1976
(0.25)(9.1) (0.75)(7.1) 7.6 milioni
In questo modo si calcolano tutti i valori della serie smussata (ultima colonna della
Tabella 11.4).
E 1978 WY1978 (1 W)E1977
(0.25)(9.5) (0.75)(7.6) 8.075 milioni
◆ Previsione Se l’analista è interessato a effettuare una previsione di breve periodo, il
livellamento esponenziale può essere utilizzato nel seguente modo: il valore smussato relativo al periodo i è adottato come previsione al periodo i + 1.
Previsione al periodo i 1
Ŷi1 Ei
(11.4)
Ad esempio, per prevedere il numero di unità vendute dalla GM nel 1999, possiamo uti-
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CAPITOLO 11
ANALISI
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FIGURA 11.4 Grafico delle serie smussate con fattori di smorzamento pari a 0.5
e 0.25 calcolate sulle vendite della GM nel periodo 1975-1998.
Fonte: dati della Tabella 11.4.
lizzare il valore smussato ottenuto per il 1998 (con un fattore di smorzamento pari a 0.5,
avremo Ŷ1999 = 8.32 milioni di unità).
Una volta che i dati relativi al 1999 diventano disponibili, l’equazione (11.3) può essere
utilizzata per fare una previsione al 2000:
E1999 WY1999 (1 W)E1998
Valore corrente smussato (W) (valore corrente osservato)
(1 – W) (precedente valore smussato)
In termini di previsione si ha:
Ŷ 2000 WY1999 (1 W)Ŷ1999
Nuova previsione (W)(valore corrente osservato) (1 W)(previsione corrente)
Esercizi del Paragrafo 11.3
11.1
• 11.2
11.3
DATASET
OILSUPP
• 11.4
Applicando il metodo del livellamento esponenziale alla serie storica delle entrate di una
società, supponete di aver ottenuto un valore “smussato” per l’ultimo anno dell’indagine di
32.4 milioni di dollari. Qual è la vostra previsione per l’anno successivo?
Considerate una serie storica di valori registrati a partire dal 1955. Applicando una media
mobile di ampiezza pari a 9 anni:
(a) In quale anno risulterà centrata la prima media mobile?
(b) Quanti anni vengono persi nella serie delle medie mobili?
Supponete ora di applicare alla stessa serie il livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.2. Supponete inoltre che il valore smussato della serie per l’anno 1996 sia
dato da: E1996 (0.20)(12.1) (0.80)(9.4). Calcolate il valore successivo della serie smussata (E1997) supponendo che il valore osservato nell’anno in questione sia pari a 11.5 milioni
di dollari.
I seguenti dati rappresentano il numero annuale di impiegati (in migliaia) presso una società
che produce olio.
LIVELLAMENTO
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Numero di impiegati (in migliaia)
DATASET
11.5
FOODTIME
ANNO
NUMERO
ANNO
NUMERO
ANNO
NUMERO
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1.45
1.55
1.61
1.60
1.74
1.92
1.95
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
2.04
2.06
1.80
1.73
1.77
1.90
1.82
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1.65
1.73
1.88
2.00
2.08
1.88
(a) Rappresentate i dati in un opportuno grafico.
(b) Calcolate le medie mobili di ampiezza pari a 3 anni e rappresentatene la serie sullo
stesso grafico.
(c) Applicate il livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente.
(d) Sulla base di quanto ottenuto al punto (c), fate una previsione per il 1998.
(e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.25 e
aggiungete la serie smussata al grafico precedente.
(f ) Sulla base di quanto ottenuto al punto (e), fate una previsione per il 1998.
(g) Confrontate i risultati ottenuti ai punti (d) e (f).
Nella seguente tabella sono rappresentate le vendite (in milioni di dollari) realizzate da una
società operante nel ramo alimentare negli anni compresi fra il 1972 e il 1997.
Vendite annuali (in milioni di dollari)
DATASET
MEDFAMIN
68
CAPITOLO 11
11.6
ANNO
VENDITE
ANNO
VENDITE
ANNO
VENDITE
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
41.6
48.0
51.7
55.9
51.8
57.0
64.4
60.8
56.3
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
53.2
53.3
51.6
49.0
38.6
37.3
43.8
41.7
38.3
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
36.4
38.4
42.6
34.8
28.4
23.9
27.8
42.1
stesso grafico.
(c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.25 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente.
I seguenti dati rappresentano per gli anni 1980-1996 il reddito mediano delle famiglie statunitensi con riferimento alla popolazione considerata nel suo complesso e separatamente
rispetto alle 3 razze più diffuse negli Stati Uniti: bianchi, neri e ispanici.
ANALISI
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Pagina 69
Reddito familiare mediano (in dollari)
negli Stati Uniti
ANNO
COMPLESSIVO
BIANCHI
NERI
ISPANICI
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
33 763
33 215
33 105
32 900
33 849
34 439
35 642
35 994
36 108
36 575
35 945
34 705
34 261
33 922
34 158
35 082
35 492
35 620
35 094
34 657
34 502
35 709
36 320
37 471
37 924
38 172
38 473
37 492
36 367
36 020
35 788
36 026
36 822
37 161
20 521
19 693
19 642
19 579
20 343
21 609
21 588
21 646
21 760
22 881
22 420
21 665
20 974
21 209
22 261
23 054
23 482
26 025
26 643
24 910
25 057
25 660
25 467
26 272
26 706
27 002
27 737
26 806
26 140
25 271
24 850
24 796
23 535
24 906
Fonte: Statistical Abstract of the United States, 118th ed., 1996, U.S.
Department of Commerce, Bureau of the Census, 468.
DATASET
11.7
UNEMPLOY
stesso grafico.
(c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente
(h) Quali conclusioni potete trarre in relazione all’andamento del reddito mediano statunitense, sia complessivo che disaggregato rispetto ai tre gruppi dominanti?
I seguenti dati rappresentano il tasso di disoccupazione in sette paesi europei negli anni
compresi fra il 1985 e il 1996.
Tasso di disoccupazione (1985-1997)
ANNO
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
GRAN
BELGIO DENIMARCA FRANCIA ITALIA NETHERLANDS PORTOGALLO BRETAGNA
10.3
10.3
10.0
8.9
7.5
6.7
6.6
7.1
5.4
5.4
6.1
7.4
7.7
8.4
10.2
10.3
10.4
9.9
9.4
9.0
9.5
8.5
9.2
9.9
10.0
10.0
9.1
8.8
8.3
8.3
8.0
7.5
6.9
6.2
5.8
8.7
8.4
6.9
5.5
4.9
4.6
4.0
11.5
11.5
10.6
8.7
7.3
7.0
8.8
(Continua)
LIVELLAMENTO
69
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Pagina 70
Tasso di disoccupazione (1985-1997) (seguito)
ANNO
GRAN
BELGIO DENIMARCA FRANCIA ITALIA NETHERLANDS PORTOGALLO BRETAGNA
1992
1993
1994
1995a
1996a
1997a
7.3
8.9
10.0
9.9
10.1
9.8
9.2
10.1
8.2
6.8
6.1
5.8
10.4
11.7
12.3
11.5
11.7
11.7
9.0
10.3
11.4
11.8
11.8
11.7
5.6
6.6
7.2
7.3
7.2
7.0
4.2
5.7
7.0
7.2
7.4
7.2
10.1
10.4
9.6
8.8
8.4
8.0
a
Initial, unrevised estimates.
Fonte: Extracted from Table 3 of European Commission’s Panorama of EU Industry 97 1 (1997): 22.
DATASET
BALPAY
11.8
stesso grafico.
(c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W = 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente.
(e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W = 0.25 e
(h) Cosa potete dire sull’andamento del tasso di disoccupazione in questi sette paesi?
I seguenti dati riguardano il New Mexico e rappresentano il valore della bilancia dei pagamenti
(differenza fra le spese federali pro capite e le tasse federali pro capite) negli ani compresi fra
il 1981 e il 1995.
Bilancia dei pagamenti pro capite nel New Mexico (1981-1995)
BILANCIA
SPESE
TASSE
DEI PAGAMENTI
FEDERALI
FEDERALI
ANNO FISCALE
PRO CAPITE
PRO CAPITE
PRO CAPITE
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
2961
2913
2426
2881
2919
3218
3322
4336
3496
3545
3462
3632
3709
3343
3300
6212
5983
5853
6309
6414
6670
6635
7461
6578
6653
6739
7079
7272
6915
6935
3251
3069
3427
3428
3495
3452
3313
3125
3083
3108
3277
3447
3563
3572
3635
Fonte: D.P. Moynihan, M.E. Friar, H.B. Leonard, and J.H. Walder, The Federal Budget and the
States: Fiscal Year 1995, jointly published by the John F. Kennedy School of Government, Harvard
University, and the Office of Senator Daniel Patrick Moynihan, September 30, 1996, 73.
70
CAPITOLO 11
ANALISI
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8:27
Pagina 71
stesso grafico.
(c) Applicate un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W 0.5 e aggiungete la serie smussata al grafico precedente
(e) Applicate ora un livellamento esponenziale con fattore di smorzamento W = 0.25 e
(h) Cosa potete dire sull’andamento delle spese federali, delle entrate federali e della bilancia dei pagamenti in questo stato americano?
◆
11.4
IL
METODO DEI MINIMI QUADRATI E LA PREVISIONE
In una serie storica il trend è sicuramente la componente oggetto di maggiore attenzione da
parte degli analisti. Lo studio del trend ci consente di effettuare previsioni sull’andamento
della serie nel medio e nel lungo periodo; ma anche, una volta eliminata la sua influenza
sulla serie, di fare previsioni di breve periodo sull’andamento ciclico generale del mercato.
Come si è già accennato in precedenza, è estremamente importante, prima di effettuare
l’analisi vera e propria della serie storica, farsi un’idea generale dell’andamento della serie
con l’ausilio di rappresentazioni grafiche come quelle già presentate nelle pagine precedenti
(Figura 11.1). In ogni caso, se la serie manifesta tendenze di lungo periodo, siano esse di
tipo lineare piuttosto che non lineare, ha senso valutare un trend attraverso il noto metodo
dei minimi quadrati (paragrafi 9.2 e 10.6).
Il trend lineare
Si è già visto nel paragrafo 9.2 come il metodo dei minimi quadrati possa essere adottato
per individuare una retta del tipo:
Ŷi b0 b1Xi
(11.5)
dove Y rappresenta la variabile dipendente del modello e X la variabile indipendente
in modo che i due coefficienti b0 e b1 siano tali da minimizzare la somma delle differenze
al quadrato fra il valore osservato della serie e il valore dell’interpolante stessa:
n
(Y Ŷ )
2
i
i
minimo
i1
Si è inoltre osservato che l’equazione (11.5) può essere utilizzata per effettuare una previsione dei valori della variabile dipendente Y in corrispondenza di valori della X non osservati, semplicemente sostituendo a X il valore in corrispondenza del quale si vuole prevedere la Y.
Quando applichiamo il metodo dei minimi quadrati al problema di determinazione del
trend di una serie storica, la variabile indipendente è il tempo, con la convenzione di far
partire l’asse delle ascisse (l’asse dei tempi in questo caso) dal primo periodo per il quale
sono disponibili i dati e quindi di considerare il primo anno o il primo trimestre o il primo
mese come il periodo zero (X = 0). Se ad esempio stiamo lavorando con una serie di 24
anni, al primo verrà assegnato il valore 0, al secondo il valore 1 e così via fino al ventiquattresimo anno a cui sarà assegnato il valore 23.
Come esempio riprendiamo la serie storica rappresentata nella Tabella 11.5 e nella
IL
71
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Pagina 72
Figura 11.1 e relativa alle entrate lorde (in milioni di dollari correnti) della società Eastman Kodak nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998. Prima di effettuare l’analisi si
presenta il problema, tipico delle serie storiche di prezzi, di trasformare i prezzi correnti in
prezzi reali (costanti). Ciascun valore corrente è stato quindi rapportato all’indice dei prezzi
al consumo (CPI) e moltiplicato per 100. I risultati sono stati riportati nella Tabella 11.6 e
nella Figura 11.5.
Una volta codificati i valori della variabile X da 0 a 23 è possibile ottenere facilmente
l’espressione della retta interpolante (trend) utilizzando il software Excel:
Ŷi 10.8654 0.02506Xi
dove l’origine è rappresentata dall’anno 1975 e le unità della variabile X sono di un anno.
Nella Figura 11.6 è riportato l’output Excel della regressione.
DATASET
EASTMANK
Tabella 11.5 Entrate lorde (in milioni di dollari correnti)
della società Eastman Kodak (1975-1998)
ANNO
VENDITE
ANNO
VENDITE
ANNO
VENDITE
ANNO
VENDITE
1975
1976
1977
1978
1979
1980
5.0
5.4
6.0
7.0
8.0
9.7
1981
1982
1983
1984
1985
1986
10.3
10.8
10.2
10.6
10.6
11.5
1987
1988
1989
1990
1991
1992
13.3
17.0
18.4
18.9
19.4
20.2
1993
1994
1995
1996
1997
1998
16.3
13.7
15.3
16.2
14.5
13.4
Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1996, 1998. Reprinted by permission of
Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc.
Tabella 11.6 Dalle entrate a prezzi
correnti alle entrate a prezzi costanti
(riferimento biennio 1982-1984)
Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department of
Labor, and Moody’s Handbook of Common Stocks,
1980, 1989, 1993, 1996, 1998. Reprinted by permission
of Financial Information Services, a division of Financial
Communications Company, Inc.
72
CAPITOLO 11
ANALISI
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Pagina 73
Vediamo ora l’interpretazione dei coefficienti della retta di regressione stimata:
•
•
L’intercetta b0 10.8654 rappresenta il valore del trend nell’anno base, vale a dire
le entrate lorde (a prezzi costanti 1982-84) della società Eastman Kodak nell’anno
1975.
L’inclinazione b1 0.02506 rappresenta l’aumento annuo previsto (in milioni di dollari) nelle entrate lorde della società.
Una volta individuato il trend, se vogliamo effettuare una previsione delle entrate per il
1999, è sufficiente sostituire nell’equazione della retta a minimi quadrati al posto della X il
valore corrispondente all’anno 1999 (X25 24). Di conseguenza la nostra previsione sarà:
1999: Ŷ25 10.8654 (0.02506)(24) 11.47 milioni di dollari costanti 1982-1984
Nonostante il trend riveli un notevole incremento di lungo periodo della serie considerata, esaminando la Figura 11.7 notiamo che i dati tendono ad allontanarsi in misura molto
significativa dal trend. Nasce quindi il sospetto che l’andamento generale della serie possa
essere colto meglio con un trend di tipo non lineare. Vediamo ora a confronto due modelli:
il primo adatta alla serie un trend quadratico, il secondo un trend esponenziale.
FIGURA 11.5
Rappresentazione
in un grafico
a dispersione
sovrapposto delle due
serie relative alle entrate
della Eastman Kodak
a prezzi reali e a prezzi
costanti. Grafico
realizzato in Microsoft
Excel.
FIGURA 11.6
Output di Excel
del modello
di regressione lineare
per la determinazione
del trend.
Fonte: dati
della Tabella 11.6.
b0
b1
IL
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Pagina 74
FIGURA 11.7
Interpolazione
della serie delle entrate
della Eastman Kodak
con un trend lineare.
Fonte: dati
della Tabella 11.6.
Il trend quadratico
Il modello quadratico (basato su un polinomio di secondo grado) è il più semplice fra i
modelli non lineari. Il trend quadratico si ottiene applicando il metodo dei minimi quadrati
introdotto nel paragrafo 10.6:
Il trend quadratico
Ŷi b0 b1Xi b2X2i
(11.6)
Dove:
b0 intercetta stimata di Y
b1 effetto lineare stimato della variabile X sulla variabile Y
b2 effetto non lineare stimato della variabile X
sulla variabile Y
Ancora una volta possiamo utilizzare Microsoft Excel per i calcoli necessari alla determinazione del trend quadratico. Nella Figura 11.8 è riportato l’output Excel della regressione quadratica relativa alle entrate lorde annuali (a prezzi costanti) della Eastman Kodak.
Come possiamo leggere dalla tabella Excel, si ottiene:
Ŷi 8.5284 0.6624Xi 0.0277X2i
dove l’origine è rappresentata dal 1975 e l’unità di misura della variabile X è l’anno.
L’equazione del trend quadratico può essere utilizzata a scopi previsivi, semplicemente
sostituendo il valore di X assegnato all’anno per il quale interessa una previsione della serie
e calcolando il corrispondente valore di Ŷ . Per esempio, se vogliamo prevedere le entrate
della Eastman Kodak per il 1999 (X25 24), abbiamo:
1999: Ŷ25 8.5284 0.6624(24) 0.0277(24)2
8.47 milioni di dollari
Nella Figura 11.9 sono rappresentati la serie delle entrate della società insieme con il
trend quadratico. Il modello quadratico sembra in grado di interpolare la serie meglio di
quanto non faccia quello lineare.
74
CAPITOLO 11
ANALISI
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Pagina 75
FIGURA 11.8
Output Excel del modello
di regressione
quadratica
del trend.
Fonte: dati
della Tabella 11.6.
b0
b1
b2
FIGURA 11.9
Interpolazione
della Eastman Kodak
con un trend quadratico.
Il trend esponenziale
Nel caso in cui i valori di una serie sembrano aumentare a un tasso crescente, in modo
tale che la differenza percentuale fra le osservazioni sia costante nel tempo, si rivela utile
applicare un modello esponenziale come quello presentato nell’equazione (11.7).
Il modello esponenziale
Ŷi b0bX1 i
(11.7)
dove
b0 intercetta stimata di Y
(b1 1) 100% stima del tasso di crescita annuale composto
L’equazione (11.7) con una semplice trasformazione logaritmica assume la forma analitica data
dall’equazione (11.8):
Il modello esponenziale
logŶi log b0 Xi log b1
IL
(11.8)
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Osserviamo che l’equazione (11.8) è in forma lineare. Di conseguenza è possibile applicare
il metodo dei minimi quadrati alla variabile log Yi e quindi ottenere la stima dell’inclinazione (log b1) e dell’intercetta (log b0). I calcoli saranno effettuati ancora una volta con
l’ausilio del software Excel.
Nella Figura 11.10 è rappresentato l’output del modello esponenziale relativo alle entrate
della Eastman Kodak. Si è quindi ottenuto il seguente risultato:
log Ŷi 1.03508 0.0005565Xi
Dove l’anno iniziale è il 1975 e l’unità di misura dell’asse delle ascisse è l’anno.
I valori di b0 e b1 si ottengono calcolando l’antilogaritmo dei coefficienti stimati della
regressione:
b0 antilog 1.03508 10.8413
b1 antilog 0.0005565 1.00128
Quindi il trend esponenziale stimato è dato da:
Ŷi (10.8413)(1.00128) Xi
Dove l’anno iniziale è sempre il 1975 e l’unità dell’asse delle ascisse è l’anno.
L’intercetta b0 10.8413 rappresenta il valore stimato del trend nell’anno iniziale
(1975); mentre il valore (b1 – 1)*100% = 0.128% rappresenta la stima del tasso di crescita
annuale composto nella serie delle entrate della Eastman Kodak.
Analogamente a quanto visto nell’applicazione dei modelli precedenti, anche nel caso
del modello esponenziale per ottenere la previsione della serie in un istante futuro è sufficiente sostituire il valore di X assegnato all’anno in una delle equazioni (11.7) o (11.8) e
calcolare il corrispondente valore della serie stimata Ŷ . Per esempio, se vogliamo prevedere
le entrate per il 1999 (X25 = 24) dobbiamo effettuare i seguenti passaggi algebrici:
1999: log Ŷ25 1.03508 (0.0005565)(24) 1.0484
Ŷ25 antilog (1.0484) 11.18 milioni di dollari
o
1999: Ŷ25 (10.8413)(1.00128)24 11.18 milioni di dollari
Il trend esponenziale stimato è stato rappresentato nella Figura 11.11 insieme con la serie
originaria. Possiamo osservare che fra i tre modelli considerati il modello esponenziale si
rivela il meno adeguato a rappresentare l’andamento della serie.
FIGURA 11.10
Output Excel del modello
di regressione
esponenziale
del trend.
Fonte: dati
della Tabella 11.6.
b0
b1
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CAPITOLO 11
ANALISI
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Pagina 77
FIGURA 11.11
Interpolazione
della Eastman Kodak
con un trend
esponenziale.
Scelta del modello attraverso lo strumento delle differenze
prime, delle differenze seconde e delle differenze percentuali
Nelle pagine precedenti abbiamo cercato di interpolare una serie storica (la serie delle
entrate della Eastman Kodak) con tre tipi di trend: lineare, quadratico ed esponenziale. Se
vogliamo individuare il modello migliore per i nostri dati possiamo considerare il grafico
dal quale scaturisce un’idea d’insieme della capacità del modello di “spiegare” i dati. Esistono anche tecniche più rigorose, basate sul calcolo e sull’analisi delle differenze prime,
seconde e percentuali fra i valori della serie. Per comprendere il significato di questo metodo
di indagine, è utile riassumere alcune proprietà dei trend analizzati.
Riquadro 11.1 Scelta del modello attraverso
le differenze prime, seconde
e percentuali
•
Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend lineare, le differenze prime fra i valori della serie sono costanti. Cioè:
(Y2 Y1) (Y3 Y2) (Yn Yn1)
•
Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend quadratico, le
differenze seconde fra i valori della serie sono costanti. Cioè:
[(Y3 Y2) (Y2 Y1)] [(Y4 Y3) (Y3 Y2)]
[(Yn Yn1) (Yn1 Yn2)]
•
Quando le osservazioni sono interpolate perfettamente da un trend esponenziale, le
differenze percentuali fra i valori della serie sono costanti. Cioè:
Y Y Y 100% Y Y Y 100% Y Y Y 100%
2
1
1
3
2
2
n
n1
n1
Anche se non dobbiamo attenderci che uno dei trend analizzati si adatti perfettamente
alla serie, le differenze prime, seconde e percentuali possono rivelarsi un utile strumento
IL
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Pagina 78
per scegliere il modello appropriato a un insieme di dati. Negli esempi 11.2, 11.3 e 11.4
saranno illustrati dei casi in cui uno dei trend proposto nelle pagine precedenti si adatta perfettamente alle osservazioni.
Esempio 11.2
Un modello lineare con perfetto adattamento
I seguenti dati rappresentano il numero di passeggeri (in milioni) che annualmente si servono di una compagnia aerea.
ANNO
Passeggeri
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
30.0
33.0
36.0
39.0
42.0
45.0
48.0
51.0
54.0
57.0
Mostrate, con il metodo delle differenze prime, che il trend lineare fornisce una perfetta
interpolazione della serie.
S OLUZIONE
ANNO
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
30.0
33.0
3.0
36.0
3.0
39.0
3.0
42.0
3.0
45.0
3.0
48.0
3.0
51.0
3.0
54.0
3.0
57.0
3.0
Passeggeri
Differenze prime
Osserviamo che le differenze fra valori consecutivi della serie sono costanti.
Esempio 11.3
Un modello quadratico con perfetto adattamento
ANNO
Passeggeri
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
30.0
31.0
33.5
37.5
43.0
50.0
58.5
68.5
80.0
93.0
Mostrate, con il metodo delle differenze seconde, che il trend quadratico fornisce una perfetta
interpolazione della serie.
S OLUZIONE
ANNO
Passeggeri
Differenze prime
Differenze seconde
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
30.0
31.0
1.0
33.5
2.5
1.5
37.5
4.0
1.5
43.0
5.5
1.5
50.0
7.0
1.5
58.5
8.5
1.5
68.5
10.0
1.5
80.0
11.5
1.5
93.0
13.0
1.5
Osserviamo che le differenze seconde fra i valori della serie sono costanti.
78
CAPITOLO 11
ANALISI
levine11_57-116
3-04-2002
8:27
Pagina 79
Esempio 11.4
Un modello esponenziale con perfetto
adattamento
ANNO
Passeggeri
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
30.0
31.5
33.1
34.8
36.5
38.3
40.2
42.2
44.3
46.5
Mostrate, con il metodo delle differenze percentuali, che il trend esponenziali fornisce una
perfetta interpolazione della serie.
S OLUZIONE
ANNO
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
Passeggeri
30.0
Differenze prime
Differenze percentuali
31.5
1.5
5.0
33.1
1.6
5.0
34.8
1.7
5.0
36.5
1.7
5.0
38.3
1.8
5.0
40.2
1.9
5.0
42.2
2.0
5.0
44.3
2.1
5.0
46.5
2.2
5.0
Osserviamo che le differenze percentuali fra valori consecutivi della serie sono costanti.
Nella Tabella 11.7 sono rappresentate le differenze prime, seconde e percentuali relative
alla serie delle entrate lorde della società Eastman Kodak.
Osservando la tabella possiamo notare che nessuno dei tre modelli confrontati fornisce
una perfetta interpolazione delle osservazioni. Tuttavia il trend quadratico sembra da preferire in quanto la serie delle differenze seconde manifesta un andamento più erratico e
Tabella 11.7 Confronto fra le differenze prime, seconde e percentuali relative alle entrate lorde
(in miliardi di dollari a prezzi costanti 1982-84) della Eastman Kodak
ANNO
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
ENTRATE
(IN MILIARDI DIFFERENZE DIFFERENZE DIFFERENZE
DI DOLLARI)
PRIME
SECONDE PERCENTUALI
9.3
9.5
9.9
10.7
11.0
11.8
11.3
11.2
10.2
10.2
9.9
10.5
—
0.2
0.4
0.8
0.3
0.8
0.5
0.1
1.0
0.0
0.3
0.6
—
—
0.2
0.4
0.5
0.5
1.3
0.4
0.9
1.0
0.3
0.9
ANNO
—
2.2
4.2
8.1
2.8
7.3
4.2
0.9
8.9
0.0
2.9
6.1
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
ENTRATE
(IN MILIARDI DIFFERENZE DIFFERENZEDIFFERENZE
DI DOLLARI)
PRIME
SECONDE PERCENTUALI
11.7
14.4
14.8
14.5
14.2
14.4
11.3
9.2
10.0
10.3
9.0
8.2
1.2
2.7
0.4
0.3
0.3
0.2
3.1
2.1
0.8
0.3
1.3
0.8
0.6
1.5
2.3
0.7
0.0
0.5
3.3
1.0
2.9
0.5
1.6
0.5
11.4
23.1
2.8
2.0
2.1
1.4
21.5
18.6
8.7
3.0
12.6
8.9
Fonte: Tabella 11.6 di pagina 72.
IL
79
levine11_57-116
3-04-2002
8:27
Pagina 80
sembra fluttuare più casualmente al di sotto e al di sopra dell’origine rispetto alle serie delle
differenze prime e percentuali.
Esercizi del paragrafo 11.4
11.9
DATASET
CPI-2
Supponete di applicare il metodo dei minimi quadrati per individuare il trend di una serie
annuale contenente 25 osservazioni.
(a) Quale valore deve essere assegnato a X in corrispondenza del primo anno della serie?
(b) Quale valore deve essere assegnato a X in corrispondenza del quinto anno della serie?
(c) Quale valore deve essere assegnato a X in corrispondenza dell’ultimo anno della serie?
(d) Quale valore deve essere assegnato a X per effettuare una previsione a 5 anni della serie?
• 11.10 Supponete che una serie contenente 20 osservazioni (dal 1980 al 1999): sia caratterizzata
dal trend lineare Ŷi 4.0 1.5Xi.
(a) Interpretate il significato dell’intercetta b0.
(b) Interpretate il significato dell’inclinazione b1.
(c) Calcolate il valore del trend corrispondente al quinto anno di osservazione dei dati.
(d) Calcolate il valore del trend corrispondente all’ultimo anno di osservazione dei dati.
(e) Sulla base del modello proposto, qual è la previsione per i tre anni successivi al periodo
di osservazione dei dati?
• 11.11 I seguenti dati rappresentano i valori di un indice dei prezzi al consumo (CPI) registrati
negli Stati Uniti nei 34 anni compresi tra il 1965 e il 1998 (il periodo base è il 1982-84).
L’indice misura la variazione media dei prezzi di un paniere di beni e servizi acquistati da
una vasta gamma di consumatori.
Indice dei prezzi al consumo
ANNO
CPI
ANNO
CPI
ANNO
CPI
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
31.5
32.4
33.4
34.8
36.7
38.8
40.5
41.8
44.4
49.3
53.8
56.9
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
60.6
65.2
72.6
82.4
90.9
96.5
99.6
103.9
107.6
109.6
113.6
118.3
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
124.0
130.7
136.2
140.3
144.5
148.2
152.4
156.9
160.5
163.0
Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department of Labor.
DATASET
GDP
80
CAPITOLO 11
(b) Descrivete i movimenti della serie nei 34 anni considerati.
11.12 Il prodotto interno lordo (GDP) costituisce uno dei più importanti indicatori del benessere
economico di un Paese e riassume le spese per il consumo individuale, gli investimenti privati, le esportazioni nette di beni e di servizi e le spese di governo. Nella seguente tabella
sono rappresentati i valori del prodotto interno lordo americano registrati nel periodo di 17
anni fra il 1982 e il 1998.
ANALISI
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Pagina 81
Prodotto interno lordo (GDP) in dollari costanti. Periodo 1982-1998
ANNO
GDP REALE
ANNO
GDP REALE
ANNO
GDP REALE
1982
1983
1984
1985
1986
1987
4620.3
4803.7
5140.1
5323.5
5487.7
5649.5
1988
1989
1990
1991
1992
1993
5865,2
6062.0
6136.3
6079.4
6244.4
6386.1
1994
1995
1996
1997
1998
6608.4
6742.2
6906.8
6928.4
7188.4
Fonte: U.S. Bureau of Economic Analysis—see Statistical Abstract of the United States,
118th ed., 1999, Bureau of the Census, U.S. Department of Commerce, 715.
DATASET
FEDRECPT
(b) Adattate alla serie un trend lineare e riportatelo sul grafico.
(c) Quali sono le vostre previsioni del GDP americano per gli anni 1999 e 2000?
(d) Cosa potete dire in generale sull’andamento della serie analizzata?
• 11.13 Nella seguente tabella sono riportate le entrate federali americane (tasse sul reddito, tasse
sulle successioni e donazioni, imposte sul consumo, …) a prezzi correnti, registrate nel
periodo compreso fra il 1978 e il 1998.
Entrate federali americane a prezzi correnti. Periodo 1982-1998
ANNO
ENTRATE
ANNO
ENTRATE
ANNO
ENTRATE
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
399.6
463.3
517.1
599.3
617.8
600.6
666.5
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
734.2
769.3
854.4
909.3
991.2
1032.0
1055.0
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998a
1091.3
1154.4
1258.6
1351.8
1453.1
1579.3
1657.9
a
Stima preliminare.
Fonte: U.S. Office of Management and Budget—see Statistical Abstract of the United
States, 118th ed., 1998, Bureau of the Census, U.S. Department of Commerce, 339.
DATASET
JPMORGAN
(a) Costruite la serie delle entrate a prezzi costanti dividendo ciascun valore della tabella
per il corrispondente valore dell’indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e moltiplicando il risultato per 100.
(b) Rappresentate la serie delle entrate a prezzi correnti in un opportuno grafico.
(c) Adattate alla serie un trend lineare e riportatelo sul grafico.
(d) Quali sono le vostre previsioni per gli anni 1999 e 2000?
(e) Ripetete i punti (a)-(d) sulla serie delle entrate a prezzi costanti e confrontate i risultati.
11.14 Nella seguente tabella sono riportati i depositi totali (in milioni di dollari) di una delle più
grandi banche americane, la J. P. Morgan, nei 19 anni compresi fra il 1979 e il 1997.
Depositi totali (in milioni di dollari)
della J. P. Morgan. Periodo 1979-1997
ANNO
DEPOSITI
ANNO
DEPOSITI
1979
1980
1981
30 279
35 594
36 024
1989
1990
1991
39 158
37 557
36 976
(Continua)
IL
81
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3-04-2002
8:27
Pagina 82
Depositi totali (in milioni di dollari)
della J. P. Morgan. Periodo 1979-1997
(seguito)
ANNO
DEPOSITI
ANNO
DEPOSITI
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
37 910
38 070
38 760
39 845
42 960
43 987
42 469
1992
1993
1994
1995
1996
1997
32 519
40 402
43 085
46 438
52 724
58 879
Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1989,
1998.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
DATASET
COCACOLA
Rappresentate i dati in un opportuno grafico.
Adattate alla serie un trend lineare e riportatelo sul grafico.
Adattate alla serie un trend quadratico e riportatelo sul grafico.
Adattate alla serie un trend esponenziale e riportatelo sul grafico.
Quale fra i modelli applicati vi sembra il più appropriato a rappresentare l’andamento
dei dati?
(f) Usando il modello che ritenete più appropriato, prevedete il valore dei depositi della
banca per il 1998.
11.15 Nella seguente tabella sono riportate le entrate a prezzi correnti della società Coca-Cola nei
24 anni compresi fra il 1975 e il 1998.
Entrate a prezzi costanti della società Coca-Cola. Periodo 1975-1998
ANNO
ENTRATE
ANNO
ENTRATE
ANNO
ENTRATE
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
2.9
3.1
3.6
4.3
4.5
5.3
5.5
5.9
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
6.6
7.2
7.9
7.0
7.7
8.3
9.0
10.2
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
11.6
13.0
14.0
16.2
18.0
18.5
18.9
18.8
Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1997. Reprinted by
permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications
Company, Inc. and Standard and Poor’s Corp., New York: McGraw-Hill, Inc., April, 1999.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
(g)
(h)
82
CAPITOLO 11
ANALISI
Quali sono le vostre previsioni per il 1999 e il 2000?
Costruite la serie delle entrate a prezzi costanti dividendo ciascun valore della tabella
per il corrispondente valore dell’indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e moltiplicando il risultato per 100.
Rappresentate in un grafico la nuova serie.
Adattate alla serie delle entrate a prezzi costanti un trend lineare e riportatelo sul grafico.
levine11_57-116
3-04-2002
DATASET
DJIA
8:27
Pagina 83
(i) Usando il modello che ritenete più appropriato, prevedete il valore delle entrate a prezzi
costanti per gli anni 1999-2000.
(j) Confrontate tale previsione con quella ottenuta nel punto (c).
(k) Cosa potete concludere circa l’andamento delle due serie analizzate?
11.16 I dati della seguente tabella rappresentano i valori di chiusura dell’indice Dow Jones Industrial Average (DJIA) nei 20 anni compresi fra il 1979 e il 1998.
Valori di chiusura dell’indice DJIA
(Dow Jones Industrial Average).
Periodo 1979-1998
ANNO
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
DJIA
ANNO
DJIA
0838.7
0,0964.0
0,0875.0
1046.5
1258.6
1211.6
1546.7
01896.0
1938.8
2168.6
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
2753.2
2633.7
3168.8
3301.1
3754.1
3834.4
5117.1
6448.3
7908.3
9181.4
Fonte: Yahoo.com, June 16, 1999. Reprinted by
permission of TIBCO Software.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
DATASET
TSMODEL1
Adattate alla serie un trend lineare e riportatelo sul grafico.
Quale fra i modelli applicati vi sembra il più appropriato a rappresentare l’andamento
dei dati?
(f) Usando il modello che ritenete più appropriato, prevedete il valore dell’indice per il 1999.
11.17 Applicando a ciascuna delle serie riportate nella tabella il metodo di scelta del modello
basato sulle differenze prime, seconde e percentuali,
Serie storica I
Serie storica II
Serie storica III
(a)
(b)
(c)
11.18 Per
1988
1989
1990
1991
ANNO
1992 1993
1994
1995
1996
1997
10.0
30.0
60.0
15.1
33.1
67.9
24.0
36.4
76.1
36.7
39.9
84.0
53.8
43.9
92.2
100.0
53.2
108.0
129.2
58.2
115.8
162.4
64.5
124.1
199.0
70.7
132.0
74.8
48.2
100.0
Determinate il modello più appropriato a rappresentare l’andamento dei dati
Calcolate i coefficienti della corrispondente equazione.
Prevedete il valore della serie per l’anno 2000.
ciascuna delle tre serie riportate nella tabella,
1988
1989
1990
1991
ANNO
1992
1993
1994
1995
1996
1997
Serie storica I 100.0
Serie storica II 100.0
115.2
115.2
130.1
131.7
144.9
150.8
160.0
174.1
189.8
230.8
204.9
266.1
219.8
305.5
235.0
351.8
175.0
200.0
(a) Rappresentate in due differenti grafici la serie dei dati e il suo logaritmo e confrontate,
sulla base del risultato grafico, la bontà dei modelli lineare ed esponenziale.
IL
83
levine11_57-116
3-04-2002
8:27
DATASET
GROSSREV
Pagina 84
(b) Determinate l’equazione del trend che avete scelto per rappresentare i dati.
(c) Prevedete il valore della serie per l’anno 2000.
11.19 Nella seguente tabella sono rappresentati i dati relativi alle entrate lorde (a prezzi costanti
del 1995) di una società, nel periodo compreso fra il 1984 e il 1987.
Entrate annuali lorde a prezzi costanti
ANNO
ENTRATE
ANNO
ENTRATE
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
13.0
14.1
15.7
17.0
18.4
20.9
23.5
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
26.2
29.0
32.8
36.5
41.0
45.4
50.8
(a) Scegliete il modello che secondo voi rappresenta le osservazioni in modo ottimale,
basandovi sul metodo delle differenze prime, seconde e percentuali.
(b) Fornite l’equazione del trend corrispondente.
(c) Prevedete il valore del trend per l’anno 2000.
◆
11.5
MODELLI
AUTOREGRESSIVI PER LA DETERMINAZIONE
DEL TREND E PER LA PREVISIONE
1
Occorre osservare
che il livellamento
esponenziale (paragrafo
11.3) e i modelli
autoregressivi sono dei casi
particolari dei modelli ARIMA
(modelli autoregressivi
integrati a media mobile)
sviluppati da Box and Jenkins
(op. cit. 3).
I modelli autoregressivi1 rappresentano uno strumento molto utile per affrontare il problema della previsione in relazione a una serie storica annuale. Spesso si osserva una forte
correlazione fra valori consecutivi di una serie; si parla in questo caso di autocorrelazione,
del primo ordine quando si considerano valori adiacenti, del secondo ordine se ci si riferisce alla relazione che intercorre tra i valori della serie a distanza di due periodi e, in generale, del p-esimo ordine se i valori considerati “distano” fra loro p periodi. I modelli autoregressivi consentono appunto di sfruttare questi legami di dipendenza per ottenere utili
previsioni del comportamento futuro della serie.
Nelle equazioni (11.9), (11.10) e (11.11) sono rappresentati tre importanti modelli autoregressivi:
Modello autoregressivo del primo ordine
Yi A0 A1Yi1 i
(11.9)
Modello autoregressivo del secondo ordine
Yi A0 A1Yi1 A2Yi2 i
(11.10)
Modello autoregressivo del p-esimo ordine
Yi A0 A1Yi1 A2Yi2 ApYip i
dove
Yi valore osservato della serie al tempo i
84
CAPITOLO 11
ANALISI
(11.11)
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Yi1 valore osservato della serie al tempo i 1
Yi2 valore osservato della serie al tempo i 2
Yip valore osservato della serie al tempo i p
A0 costante da stimare con il metodo dei minimi quadrati
A1, A2, . . . , Ap parametri autoregressivi da stimare con il metodo dei minimi
quadrati
i componente di errore non autocorrelata, di media nulla
e con varianza costante
Osserviamo che la forma del modello autoregressivo del primo ordine (equazione 11.9)
è del tutto simile a quella del modello di regressione lineare semplice (equazione 9.1), così
come il modello auto regressivo del p-esimo ordine (equazione 11.11) può essere visto come
un modello di regressione multipla (equazione 10.1). In questo contesto i parametri sono
stati chiamati A0, A1, …., Ap e le relative stime saranno indicate con le corrispondenti lettere minuscole a0, a1, …, ap.
Scegliere fra modelli autoregressivi di diverso ordine significa stabilire l’ampiezza delle
relazioni fra osservazioni ritardate con cui si intende lavorare. Il modello autoregressivo del
primo ordine coinvolge solo le relazioni fra variabili consecutive della serie storica, nel
modello autoregressivo del secondo ordine oltre alle relazioni fra osservazioni consecutive
si tiene conto anche dei legami fra osservazioni ritardate di due periodi, e così via fino al
modello autoregressivo del p-esimo ordine che coinvolge tutte le relazioni fra variabili che
distano 1, 2,.., p periodi. La scelta non è quindi facile; esiste inoltre un trade-off fra la semplicità dei modelli di ordine più basso e l’eventuale maggior capacità esplicativa di quelli
di ordine superiore. Occorre inoltre tenere conto della lunghezza della serie (n) rispetto alla
quale p, l’ordine del modello, non deve essere eccessivamente elevato. Con l’aiuto dei
seguenti esempi sarà infatti chiaro che nella stima di Ap, il coefficiente della p-esima variabile autoregressiva, il numero di osservazioni che entrano in gioco è n – p.
Esempio 11.5
Schema dei confronti in un modello
autoregressivo del primo ordine
Data la seguente serie composta da n = 7 valori annuali consecutivi:
Serie
1
2
3
ANNO
4
5
6
7
31
34
37
35
36
43
40
Mostrate i confronti fra osservazioni che entrano in gioco in un modello autoregressivo del
primo ordine.
S OLUZIONE
ANNO,
i
1
2
3
4
5
6
7
MODELLI
MODELLO AUTOREGRESSIVO
(Yi RISPETTO A Yi1)
DEL SECONDO ORDINE
31
34
37
35
36
43
40
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
…
31
34
37
35
36
43
AUTOREGRESSIVI PER LA DETERMINAZIONE DEL TREND E PER LA PREVISIONE
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Poiché Y1 = 31 è il primo valore della serie, si osserva che nell’analisi della regressione si
perde uno dei confronti. Quindi in questo caso (n = 7) il modello autoregressivo del primo
ordine viene a basarsi su n – 1 = 6 coppie di osservazioni.
Esempio 11.6
Schema dei confronti in un modello
autoregressivo del secondo ordine
Data la seguente serie composta da n = 7 valori annuali consecutivi:
Serie
1
2
3
ANNO
4
5
6
7
31
34
37
35
36
43
40
Mostrate i confronti fra osservazioni che entrano in gioco in un modello autoregressivo del
secondo ordine.
S OLUZIONE
ANNO, MODELLO AUTOREGRESSIVO DEL SECONDO ORDINE
i
(Yi RISPETTO Yi1 E Yi RISPETTO Yi2)
1
2
3
4
5
6
7
31
34
37
35
36
43
40
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
… e 31
31 e 34
34 e 37
37 e 35
35 e 36
36 e 43
43 e 40
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
…
…
31
34
37
35
36
Poiché Y1 = 31 è il primo valore della serie, si osserva che nell’analisi della regressione si
perdono due dei confronti. Quindi in questo caso (n = 7) il modello autoregressivo del
secondo ordine viene a basarsi su n – 2 = 5 coppie di osservazioni.
Una volta scelto il modello e applicato il metodo dei minimi quadrati per stimare i parametri, occorre definire criteri che consentano di valutare la capacità di adattamento del
modello scelto. Una possibilità consiste nello stimare un modello con un numero abbastanza
elevato di parametri, per poi stabilire se sia il caso di eliminarne alcuni. Si tratta in pratica
di risolvere un problema di verifica di ipotesi sulla significatività dei parametri che via via
si vengono a trovare in corrispondenza dell’ultimo ordine del modello. In un modello autoregressivo di ordine p faremo quindi le seguenti ipotesi sul parametro Ap (parametro autoregressivo di ordine massimo):
H0: Ap 0 (il parametro di massimo ordine è uguale a zero)
H1: Ap 0 (il parametro di massimo ordine è diverso da zero)
Il test statistico per la verifica delle due ipotesi è dato dall’equazione (11.2)
Test t per la significatività del parametro autoregressivo
di ordine massimo
t
86
CAPITOLO 11
ANALISI
ap Ap
Sap
(11.12)
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dove
ap stima del parametro autoregressivo di ordine massimo Ap
Sap deviazione standard di ap
2
Per ottenere i gradi
di libertà dobbiamo sottrarre
a n il numero di parametri
del modello (p parametri
di inclinazione
+ 1 intercetta) e il numero
di confronti fra
le osservazioni che vengono
“persi” (p nel nostro caso).
Si può dimostrare che questo test segue una distribuzione t di Student con n 2p 1 gradi di libertà2. Quindi, fissato il livello di significatività , l’ipotesi nulla deve essere
rifiutata se il valore osservato della statistica test è maggiore in modulo del valore critico
tn2p1 della distribuzione t di Student corrispondente. Si arriva quindi alla seguente
regola decisionale:
Rifiutare H0 se t tn2p1 oppure t tn2p1;
accettare H0 altrimenti
Nella Figura 11.12 sono riportate le regioni di rifiuto e di accettazione del test descritto.
Se il valore osservato della statistica test ci porta a non rifiutare l’ipotesi nulla Ap = 0, dobbiamo concludere che il modello analizzato contiene un numero eccessivamente elevato di
parametri. La componente autoregressiva di ordine massimo viene quindi scartata e, una volta
determinato il nuovo modello, il procedimento deve essere ripetuto sul parametro Ap – 1, che
rappresenta il nuovo parametro autoregressivo di massimo ordine.
La procedura continua fino a quando l’ipotesi nulla non viene rifiutata. Quando ciò
accade, l’analista può essere sicuro della significatività dell’ultimo parametro autoregressivo e può quindi utilizzare il modello selezionato a scopi previsivi.
Una volta individuato il numero ottimo di componenti autoregressive con il metodo sopra
descritto, è possibile procedere alla stima dei parametri.
Il modello autoregressivo del p-esimo ordine stimato
Ŷi a0 a1Yi1 a2Yi2 apYip
(11.13)
dove
Ŷi Yi1 Yi2 Yip a0, a1, a2, . . . , ap valore stimato della serie al tempo i
valore osservato della serie al tempo i 1
valore osservato della serie al tempo i 2
valore osservato della serie al tempo i p
parametri stimati
FIGURA 11.12
Regioni di rifiuto
e di accettazione di un test
di significatività a due code
sul parametro autoregressivo
di ordine massimo Ap.
tn2p1
Regione
di rifiuto
Valore
critico
MODELLI
0
Regione di
accettazione
Ap 0
tn2p1
t
Regione
di rifiuto
Valore
critico
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Supponiamo ora di trovarci nell’istante n: in che modo il modello può essere utilizzato
per effettuare delle stime a j istanti futuri?
Utilizzo del modello autoregressivo a scopi previsivi
Ŷnj a0 a1Ŷnj1 a2Ŷnj2 apŶnjp
(11.14)
dove
a0, a1, a2, . . . , ap parametri stimati
j numero di anni nel futuro
Ŷnjp previsione effettuata all’istante n per l’istante Ynjp
se j p 0
Ŷnjp valore osservato di Ynjp se j p 0
Osserviamo che, quando applichiamo a scopi previsivi un modello autoregressivo del pesimo ordine, il numero di osservazioni che entrano in gioco della previsione è sempre pari
a p, a prescindere dalla distanza j nel futuro del valore che vogliamo prevedere. Quindi se
p = 3, una previsione a j periodi successivi all’istante n si baserà unicamente sui valori
osservati negli anni n, n – 1, n – 2.
Applicando l’equazione (11.14) otteniamo la seguente previsione a un anno:
Ŷn1 a0 a1Yn a2Yn1 a3Yn2
La previsione a un anno entra in gioco nella determinazione della previsione a due anni:
Ŷn2 a0 a1Ŷn1 a2Yn a3Yn1
Procedendo iterativamente si ottengono le previsioni agli anni successivi:
Ŷn3 a0 a1Ŷn2 a2Ŷn1 a3Yn
Ŷn4 a0 a1Ŷn3 a2Ŷn2 a3Ŷn1
E così via.
Nel Riquadro 11.2 sono sintetizzati i principali passaggi richiesti per l’applicazione del
modello autoregressivo:
Riquadro 11.2 Analisi di una serie storica annuale
attraverso i modelli autoregressivi
88
CAPITOLO 11
✓
✓
1. Scegliete l’ordine p del modello iniziale.
✓
3. Stimate un modello di regressione multipla con i predittori rappresentati dalle
variabili Y ritardate.
✓
4. Effettuate un test per la significatività del parametro autoregressivo di ordine massimo Ap.
(a) Se il test porta a rifiutare l’ipotesi nulla, il modello con p predittori deve
essere scelto per rappresentare la serie e per effettuare previsioni (equazioni
11.3 e 11.4).
2. Rappresentate in un foglio di lavoro Microsoft Excel le variabili Yn – 1, Yn – 2,
…,Yn – p (predittori) ritardate rispettivamente di 1, 2, …,p periodi (Tabella 11.8).
ANALISI
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(b) Se il test porta ad accettare l’ipotesi nulla, l’ultimo predittore deve essere scartato. Considerate ora il modello con un regressore in meno. Verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine massimo del nuovo modello.
La procedura continua fino ad individuare un modello il cui parametro autoregressivo di ordine massimo risulta significativo.
✓
5. Il modello così selezionato può essere utilizzato per interpolare le osservazioni
(equazione 11.3) e per prevedere valori futuri della serie (equazione 11.4).
Riprendiamo l’esempio relativo alle entrate lorde a prezzi costanti 1982-84 della società
Eastman Kodak per il periodo compreso fra il 1975 e il 1998 (Tabella 11.6). Nella Tabella
11.8 sono riportati, insieme alle osservazioni, i predittori per modelli autoregressivi fino al
terzo ordine. Notiamo che nelle variabili ritardate a 1, 2 e 3 periodi vengono persi rispettivamente 1, 2 e 3 valori rispetto alle 24 osservazioni della serie originaria.
Esempio 11.7
Scelta del modello autoregressivo appropriato
Scegliete il modello autoregressivo più appropriato fra quelli di ordine compreso tra 1 e 3
per interpolare la serie delle entrate lorde della società Eastman Kodak.
S OLUZIONE
La Tabella 11.8 serve come punto di partenza per la determinazione di un modello autoregressivo del terzo ordine.
Il modello stimato, ottenuto con l’ausilio di Microsoft Excel, è:
Ŷi 2.7673 1.285Yi1 .5957Yi2 0.0634Yi3
Tabella 11.8 Predittori di modelli
autoregressivi del primo, secondo
e terzo ordine sulla serie delle entrate
lorde della società Eastman Kodak
(1975-1998)
MODELLI
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dove l’origine è rappresentata dal 1978 e l’unità è l’anno.
A questo punto conviene applicare il test per la verifica della significatività di A3, il parametro autoregressivo di ordine massimo. Sulla base del modello autoregressivo di ordine 3,
il valore della stima di A3 è pari a a3 = 0.0634, con un errore standard Sa3 0.2509.
Si vuole quindi verificare l’ipotesi nulla
H0: A3 0
contro l’alternativa
H1: A3 0
Applicando l’equazione (11.12) otteniamo il valore osservato della statistica test:
t
a3
0.0634
0.253
Sa3 0.25089
Con = 0.05, il valore critico della distribuzione t di Student con n – 2p –1 =17 gradi di
libertà è pari a t17 = 2.1098. Poiché |t|= 0.253 < t17 = 2.1098 (e anche p-value = 0.803 >
= 0.05) l’ipotesi nulla, secondo cui il parametro A3 sarebbe uguale a zero, non può essere
rifiutata. La componente autoregressiva di terzo ordine deve essere eliminata.
A questo punto determiniamo un nuovo modello autoregressivo di ordine 2, ottenendo i
seguenti risultati:
Ŷi 2.900 1.256Yi1 0.516Yi2
dove l’origine è rappresentata dal 1977 e l’unità è sempre l’anno.
Dobbiamo ora verificare che il parametro autoregressivo di secondo ordine sia significativo. Si vuole quindi verificare l’ipotesi nulla
H0: A2 0
contro l’alternativa
H1: A2 0
Applicando ancora una volta l’equazione (11.12) otteniamo il valore osservato della statistica test:
t
0.516
a2
2.51
Sa2
0.206
RIQUADRO A Output Excel del modello autoregressivo del terzo ordine
implementato sulle entrate lorde della Eastman Kodak.
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CAPITOLO 11
ANALISI
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RIQUADRO B Output Excel del modello autoregressivo del secondo
ordine implementato sulle entrate lorde della Eastman Kodak.
Con 0.05, il valore critico della distribuzione t di Student con n – 2p – 1 19 gradi di
libertà è pari a t19 2.093. Poiché |t| 2.51 > t19 2.093 (e anche: p-value 0.021 < 0.05) l’ipotesi nulla, secondo cui il parametro A2 sarebbe uguale a zero, deve essere rifiutata. La componente autoregressiva di secondo ordine deve essere considerata significativa e
non può essere eliminata dal modello. Siamo quindi giunti alla conclusione che il modello
autoregressivo di secondo ordine è il più appropriato per rappresentare le osservazioni.
Avendo scelto il modello autoregressivo del secondo ordine, qualsiasi previsione per il
futuro si baserà esclusivamente sui tre parametri stimati a0 2.90, a1 1.256 e a2 – 0.516
e sugli ultimi due valori osservati della serie (Y23 9,034 e Y24 8.22). In particolare le
previsioni per gli anni 1999 e 2000 si ottengono nel modo seguente:
Ŷnj 2.900 1.256Ŷnj1 0.516Ŷnj2
1999: 1 anno prima Ŷ25 2.900 1.256(8.22) 0.516(9.034) 8.56 milioni di dollari
2000: 2 anni prima Ŷ26 2.900 1.256(8.56) 0.516(8.22) 9.41 milioni di dollari
Nella Figura 11.13 sono riportati i valori della serie delle entrate lorde della Eastman
Kodak insieme con i valori previsti sulla base del modello autoregressivo del secondo
ordine.
• 11.20
Considerate una serie storica di 40 osservazioni e supponete di voler stimare un modello
autoregressivo del quinto ordine sui valori della serie.
(a) Quanti valori vengono persi nello sviluppo del modello?
(b) Quanti parametri devono essere stimati?
(c) Quali dei valori originari entrano in gioco nelle previsioni?
(d) Esprimete analiticamente il modello.
(e) Rappresentate in un’equazione la previsione a j periodi futuri.
11.21 Considerate una serie storica di 17 osservazioni. Supponete di aver stimato un modello autoregressivo del terzo ordine, ottenendo le seguenti stime dei parametri, con i corrispondenti errori
standard:
a0 4.50
a1 1.80 a2 0.80 a3 0.24
Sa 0.50 Sa 0.30 Sa 0.10
1
2
3
(a) Adottando un livello di significatività = 0.05, valutate la bontà del modello.
MODELLI
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FIGURA 11.13
Modello autoregressivo
del secondo ordine
sulla serie delle entrate
lorde della Eastman
Kodak.
(b) Supponendo che le tre osservazioni più recenti siano:
Y15 23
Y16 28
Y17 34
Prevedete il valore della serie per i periodi 18 e 19.
(b) Supponendo che le tre osservazioni più recenti siano:
Sa1 0.45
Sa2 0.35
Sa3 0.15
Come cambierebbero le vostre considerazioni sul modello?
11.22 Fate riferimento ai dati dell’Esercizio 11.14 (depositi totali della J.P. Morgan nei 19 anni
compresi fra il 1979 e il 1997).
(a) Stimate un modello autoregressivo del terzo ordine, verificando al livello 0.05 la
significatività del parametro di ordine maggiore.
(b) Stimate un modello autoregressivo del secondo ordine, verificando al livello 0.05
la significatività del parametro di ordine maggiore.
(c) Stimate un modello autoregressivo del primo ordine, verificando al livello 0.05 la
(d) Scelto il modello che considerate più appropriato, prevedete il valore della serie per gli
anni compresi tra il 1998 e il 2001.
11.23 Fate riferimento ai dati dell’Esercizio 11.15 (entrate a prezzi correnti della società CocaCola nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998).
(b) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del secondo ordine, verificando al
livello 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore.
(c) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del primo ordine, verificando al livello
0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore.
anni 1999 e 2000.
11.24 Fate riferimento ai dati dell’Esercizio 11.16 (valori di chiusura dell’indice Dow Jones Industrial Average (DJIA) nei 20 anni compresi fra il 1979 e il 1998).
(b) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del secondo ordine, verificando al
livello 0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore.
(c) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del primo ordine, verificando al livello
0.05 la significatività del parametro di ordine maggiore.
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CAPITOLO 11
ANALISI
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anni compresi tra il 1999 e 2001.
◆
11.6
SCELTA
DEL MODELLO DI PREVISIONE
Nei paragrafi 11.4 e 11.5 sono stati presentati sei metodi alternativi per effettuare previsioni
su una serie storica: il modello basato sul trend lineare, il modello quadratico, il modello
esponenziale (paragrafo 11.4) e i modelli autoregressivi del primo, secondo e terzo ordine
(paragrafo 11.5).
A questo punto viene spontaneo domandarsi se esista effettivamente un modello ottimo
fra quelli di cui disponiamo per effettuare previsioni su una serie storica. Vediamo ora alcuni
strumenti estremamente utili per la scelta del modello.
Riquadro 11.3 Linee guida per la scelta
di un modello per l’analisi
di una serie storica e la previsione
del suo comportamento futuro
✓
✓
1. Analisi dei residui.
✓
3. Misura della grandezza dell’errore residuo attraverso il metodo delle differenze
in valore assoluto.
✓
4. Applicazione del principio di parsimonia.
2. Misura della grandezza dell’errore residuo attraverso il metodo delle differenze
al quadrato.
Vediamo ora nei dettagli questi strumenti di valutazione del modello e di scelta fra modelli
alternativi.
Analisi dei residui
Analogamente a quanto visto per l’analisi della regressione (paragrafi 9.5 e 10.2), i residui
del modello si ottengono come differenza fra i valori osservati e i valori ottenuti con il
modello stesso (“interpolati”): (Yi Ŷi) ei . Dal grafico dei residui (Figura 11.14) è possibile valutare la capacità del modello di cogliere le diverse componenti della serie storica.
Quando il modello interpola adeguatamente le osservazioni, i residui assumono il tipico
andamento casuale esemplificato nel riquadro A della figura; nei riquadri da B a D sono
invece riportati residui che seguono andamenti sistematici, segnalando l’inadeguatezza dei
rispettivi modelli a cogliere le componenti di trend (riquadro B), ciclica (riquadro C) o stagionale (riquadro D) della serie.
Misura della grandezza dell’errore residuo attraverso
il metodo delle differenze al quadrato e delle differenze
in valore assoluto
Supponiamo di dover scegliere fra due modelli che, dal punto di vista dell’andamento dei
residui, sembrano spiegare altrettanto bene la nostra serie storica. In questo caso abbiamo
bisogno di un altro metodo che ci aiuti nella scelta del modello. Gli analisti hanno proposto diverse misure di sintesi per la valutazione dell’errore residuo del modello (op. cit. 1,
2, 10, 11) alcune delle quali sono state già presentate con riferimento all’analisi della regressione. Ci riferiamo in particolare al metodo, basato sul principio dei minimi quadrati, dell’errore standard della stima SYX (paragrafo 9.3, equazione 9.8), il quale può essere calcolato
SCELTA
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ei Yi Yi
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ei Yi Yi
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0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Residui con andamento sistematico
(B) Modello incapace di cogliere il trend
ei Yi Yi
ei Yi Yi
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Residui con andamento casuale
(A) Modello adeguato
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(C) Modello incapace di cogliere
la componente ciclica
FIGURA 11.14
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(D) Modello incapace di cogliere
la componente stagionale (dati mensili)
Analisi dei residui per valutare i modelli.
come somma delle differenze al quadrato fra i valori osservati e quelli interpolati utilizzando il modello. Naturalmente se il modello interpola perfettamente le osservazioni, il
valore di questo indicatore sarà zero; il valore dell’indice tende ad aumentare considerando
modelli sempre meno adatti alla rappresentazione della serie. Alcuni autori reputano questo indice inadeguato in quanto, basandosi sugli scostamenti quadratici, porta a una eccessiva
penalizzazione di modelli in cui si abbiano singoli errori di previsione particolarmente elevati. Viene quindi reputato più affidabile un indice che coinvolge le differenze in valore assoluto fra valori osservati e valori previsti, il MAD (deviazione media assoluta):
Deviazione media assoluta
Y Ŷ n
i
MAD i
i1
n
(11.15)
Il MAD rappresenta quindi una misura della bontà del modello. A valori più bassi dell’indice corrispondono modelli che interpolano meglio le osservazioni. Abbiamo così a disposizione un altro criterio che ci consente di vagliare modelli alternativi per la stessa serie
storica: sceglieremo il modello con MAD minimo.
Il principio di parsimonia
Quando diversi modelli sembrano essere equivalenti sulla base dei criteri descritti in precedenza, nella scelta dobbiamo tenere presente un’ultima considerazione intuitiva: a parità
di performance, deve essere preferito il modello più semplice (principio di parsimonia). Fra
i modelli descritti, i più parsimoniosi sono naturalmente quelli basati sul trend lineare e quadratico, seguiti dal modello autoregressivo di ordine 1. Fra i modelli più complessi invece
vanno menzionati i modelli autoregressivi di ordine superiore al primo e il modello esponenziale.
Confronto fra quattro metodi di previsione
Riprendiamo l’esempio relativo alle entrate della società Eastman Kodak nel periodo di 24
anni compreso fra il 1975 e il 1998. Con riferimento a questa serie siamo interessati a con94
CAPITOLO 11
ANALISI
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frontare i modelli lineare, quadratico, esponenziale e autoregressivo del secondo ordine (il
modello autoregressivo del terzo ordine è già stato scartato con l’analisi della significatività del parametro di ordine 3 – Esempio 11.7). Nella Figura 11.15 sono stati riportati i
residui dei quattro modelli concorrenti. Osserviamo innanzitutto che i tre modelli basati sul
metodo dei minimi quadrati hanno residui che seguono un andamento strutturato ciclicamente (riquadri A, B e C): i tre modelli non sono in grado di cogliere la componente ciclica
della serie. Di questi tre modelli il migliore sembra comunque essere quello quadratico che,
almeno nei primi anni dell’analisi, sembra fluttuare in modo più casuale intorno all’origine.
Nessuno dei tre modelli si rivela in ogni caso adeguato a rappresentare le grosse fluttuazioni cicliche che la serie ha fatto registrare in anni più recenti (la ciclicità nei residui
diventa più marcata negli ultimi anni in tutti e tre i casi). I residui del modello autoregressivo del secondo ordine hanno un andamento completamente diverso rispetto a quelli dei
modelli precedenti (riquadro D) manifestando il minor ammontare di componente strutturata. Questo primo criterio ci porta quindi ad individuare nel modello autoregressivo il
modello più adatto a rappresentare la serie, mentre i due modelli peggiori sembrano essere
quelli basati sul trend lineare ed esponenziale.
Per avere una conferma di questa intuizione iniziale, è utile in ogni caso riferirsi agli
indicatori sintetici presentati in precedenza: l’errore standard della stima (SXY) e la deviazione media assoluta (MAD), in grado di misurare la grandezza complessiva dell’errore
residuo. I conti sono stati realizzati con Excel (Tabella 11.9) e ci portano alle stesse conclusioni cui eravamo giunti con la semplice analisi qualitativa dei residui: secondo entrambi
gli indici il modello migliore è quello autoregressivo, seguito dal modello quadratico, lineare
ed esponenziale.
Una volta scelto il modello (riferimento bibliografico 4 per una modellistica più completa sulle serie storiche) è molto importante valutare la sua capacità previsiva ex post. Via
RIQUADRO A
Modello lineare.
RIQUADRO B
RIQUADRO C
Modello esponenziale.
RIQUADRO D Modello autoregressivo
del secondo ordine.
FIGURA 11.15
Modello quadratico.
Grafici dei residui di quattro modelli per la rappresentazione di una serie storica.
SCELTA
95
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Tabella 11.9 Confronto fra quattro metodi di previsione utilizzando
gli indici SXY e MAD
via che nuovi valori si rendono disponibili questi vanno confrontati con quelli che erano stati
previsti dal modello. Se le differenze sono eccessive, il modello deve essere adeguato opportunamente, ricorrendo a delle procedure di controllo adattivo (riferimento bibliografico 2).
Esercizi del paragrafo 11.6
• 11.25
Supponete di avere stimato il trend con un modello lineare su una serie di 12 osservazioni
e di aver ottenuto i seguenti residui:
2.0 0.5 1.5 1.0 0.0 1.0 3.0 1.5 4.5 2.0 0.0 1.0
DATASET
FEDSPEND
(a) Calcolate l’indice SXY e interpretate i risultati.
(b) Calcolate l’indice MAD e interpretate i risultati.
• 11.26 Con riferimento ai dati dell’Esercizio 11.25, supponete che il primo e l’ultimo residuo siano
in realtà 12.0 (anziché 2.0) e –11.0 (anziché –1.0).
(a) Calcolate l’indice SXY e interpretate i risultati.
(b) Calcolate l’indice MAD e interpretate i risultati.
11.27 I seguenti dati rappresentano le spese federali pro capite effettuate in tre stati americani
(Alabama, Arizona, Louisiana) nei 15 anni compresi fra il 1981 e il 1995.
Real federal spending per capita
(in constant 1995 dollars), 1981-1995
FISCAL YEAR
1981
1982
1983
1984
96
CAPITOLO 11
ANALISI
REAL FEDERAL SPENDING PER CAPITA
(IN CONSTANT 1995 DOLLARS)
ALABAMA
ARIZONA
LOUISIANA
4091
4046
4212
4284
3996
4036
4084
4242
4142
3599
3582
3552
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1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
4497
4620
4719
4629
4664
5139
5277
5559
5599
5631
5534
4289
4654
4784
4367
4439
4590
4526
4520
4765
4633
4686
3864
3895
3636
3783
4136
4268
4537
4975
5261
5442
5353
Fonte: D.P. Moynihan, M.E. Friar, H.B. Leonard, and J.H.
Walder, The Federal Budget and the States: Fiscal Year 1995,
jointly published by the John F. Kennedy School of Government,
Harvard University, and the Office of Senator Daniel Patrick
Moynihan, September 30, 1996, 43, 45, 60.
Per
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
◆
11.7
ciascuna delle tre serie:
Rappresentate i dati in un grafico.
Determinate l’equazione del trend lineare.
Prevedete il valore del trend per gli anni 1996 –1999.
Effettuate un’analisi dei residui.
Calcolate l’errore standard della stima (SYX).
Calcolate il MAD.
Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (d), (e) e (f), siete soddisfatti della previsione
fatta al punto (c)? Commentate.
11.28 Sulla base dei risultati ottenuti negli Esercizi 11.14 e 11.22 riguardo ai depositi della J.P.
Morgan:
(a) Effettuate un’analisi dei residui per ciascun modello considerato.
(b) Calcolate l’errore standard della stima (SXY) per ciascun modello considerato.
(c) Calcolate il MAD per ciascun modello considerato.
(d) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (a), (b) e (c) e ricordando anche il criterio della
parsimonia, quale fra i modelli analizzati vi sembra il più idoneo a prevedere i valori
futuri della serie? Commentate.
11.29 Sulla base dei risultati ottenuti negli Esercizi 11.15 e 11.23 riguardo alle entrate annuali
della società Coca Cola:
11.30 Sulla base dei risultati ottenuti negli Esercizi 11.16 e 11.24 riguardo ai valori di chiusura
dell’indice Dow Jones Industrial Average:
ANALISI
DI SERIE STORICHE A CADENZA MENSILE O TRIMESTRALE
Finora ci siamo concentrati sull’analisi di serie storiche a cadenza annuale. Tuttavia, numerose serie storiche di carattere economico sono registrate con una cadenza trimestrale o
ANALISI
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mensile, ma anche settimanale, giornaliera o oraria. Si è già accennato (Tabella 11.1) al
fatto che, quando i dati sono disponibili ad intervalli infra-annuali, è necessario considerare
un’ulteriore componente della serie: la componente stagionale. In questo paragrafo presenteremo un approccio all’analisi di serie storiche mensili o trimestrali, basato sui metodi di
regressione discussi nel Capitolo 10.
Nella Tabella 11.10 e nella Figura 11.16 sono rappresentate le spese private mensili per
abitazioni (a prezzi costanti 1995) in una piccola città americana dal gennaio 1992 fino a
dicembre 1997.
DATASET
PRIRECON
Tabella 11.10 Spese private mensili per abitazioni (a prezzi costanti 1995)
in una piccola città americana (gennaio 1992-dicembre 1997)
MESE
1992
1993
1994
ANNO
1995
1996
1997
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agosto
Settembre
Ottobre
Novembre
Dicembre
10.2
9.7
11.3
12.4
13.6
14.5
14.8
15.3
15.0
15.0
14.2
12.4
11.2
11.0
12.7
14.3
16.2
17.7
18.4
18.6
18.1
18.0
16.7
14.2
12.5
12.0
13.9
15.4
17.0
18.2
18.6
18.8
18.4
18.2
17.1
14.5
12.6
12.0
14.2
15.6
17.1
18.3
18.9
19.3
18.7
18.7
17.7
15.0
13.2
12.5
14.4
15.8
17.1
18.1
18.7
18.9
18.1
17.8
16.7
14.0
13.0
12.7
14.8
15.9
17.1
17.7
17.9
18.0
16.8
16.3
14.7
12.2
FIGURA 11.16
Spese private mensili
per abitazioni (a prezzi
costanti 1995)
in una piccola città
americana (gennaio
1992-dicembre 1997).
Fonte: dati
della Tabella 11.10.
Per l’analisi di serie storiche mensili come quella descritta, riprendiamo il classico
modello moltiplicativo, aggiungendo alle componenti di trend, ciclica e irregolare (equazione 11.4) un nuovo fattore rappresentato dalla componente stagionale.
Yi Ti Si Ci Ii
98
CAPITOLO 11
ANALISI
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Pagina 99
Previsione per serie storiche mensili o trimestrali
con il metodo dei minimi quadrati
Cercheremo ora di introdurre nel modello di regressione la componente stagionale, combinando le tecniche basate sui minimi quadrati presentate nel paragrafo 11.4 con la modellistica per regressori di tipo categorico di cui si è discusso nel paragrafo 10.7.
Il trend esponenziale ad esempio può essere adattato ad osservazioni a cadenza mensile
nel seguente modo:
Il modello esponenziale con dati mensili
1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11
Ŷi b0bX1 ibM
2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12
(11.16a)
dove
b0
(b1 1) 100%
Xi
b2
b3
b4
b12
M1
M2
M3
M11 intercetta stimata di Y
stima del tasso di crescita mensile composto
valore assegnato al mese
moltiplicatore di gennaio (rif. dicembre)
moltiplicatore di febbraio (rif. dicembre)
moltiplicatore di marzo (rif. dicembre)
...
.
moltiplicatore dicembre-novembre
1 se gennaio, 0 altrimenti
1 se febbraio, 0 altrimenti
1 se marzo, 0 altrimenti
..
.
1 se novembre, 0 altrimenti
Il modello esponenziale con dati trimestrali
1 Q2 Q3
Ŷi b0bX1 ibQ
2 b3 b4
(11.17a)
dove
b0
(b1 1) 100%
Xi
b2
b3
b4
Q1
Q2
Q3
ANALISI
intercetta stimata di Y
stima del tasso di crescita trimestrale composto
valore assegnato al trimestre
moltiplicatore del primo trimestre (rif. quarto trimestre)
moltiplicatore del secondo trimestre (rif. quarto trimestre)
moltiplicatore del terzo trimestre (rif. quarto trimestre)
1 se primo trimestre, 0 altrimenti
1 se secondo trimestre, 0 altrimenti
1 se terzo trimestre, 0 altrimenti
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Osserviamo che le variabili Mi (i 1, …, 11) e Qi (i = 1, 2, 3) sono delle variabili dummy
necessarie per introdurre le componenti mensile e trimestrale. Passando al logaritmo naturale (logaritmo in base e) in entrambi i membri delle equazioni (11.16a) e (11.17a) otteniamo le equazioni (11.16b) e (11.17b).
Il modello esponenziale con dati mensili
ln Ŷi ln b0 Xi ln b1 M1 ln b2 M2 ln b3 M3 ln b4 M11 ln b12 (11.16b)
Il modello esponenziale con dati trimestrali
ln Ŷi ln b0 Xi ln b1 Q1 ln b2 Q2 ln b3 Q3 ln b4
(11.17b)
Osserviamo che le equazioni (11.16b) e (11.17b) sono in forma lineare. Di conseguenza è
possibile applicare il metodo dei minimi quadrati alla variabile log Yi e quindi ottenere le
stime delle inclinazioni (log bi i = 1, ..., 12) e dell’intercetta (log b0). I coefficienti b0, b1,
…, b12 stimati si ricaveranno poi con una semplice trasformazione antilogaritmica.
Il modello presentato può sembrare molto complesso, tuttavia occorre osservare che, in
ciascun periodo, mese o trimestre che sia, solo una delle variabili dummy del modello è
diversa da zero. Questo porta ad una drastica semplificazione dell’equazione.
Per dati mensili ad esempio, le equazioni (11.6b) e (11.6a) si riducono nel modo seguente:
In gennaio:
Ŷi ln b0 Xi ln b1 M1 ln b2 quindi passando agli antilogaritmi
1
Ŷi b0bX1 ibM
2
In febbraio:
2
Ŷi b0bX1 ibM
3
In marzo:
3
Ŷi b0bX1 ibM
4
..
.
In novembre:
11
Ŷi b0bX1 ibM
12
In dicembre:
Ŷi ln b0 Xi ln b1 quindi passando agli antilogaritmi Ŷi b0bX1 i
Notiamo che il modello per il mese di dicembre, mese che rappresenta il periodo base del
modello, si ottiene ponendo pari a zero tutte le variabili dummy.
Per dati trimestrali invece, le equazioni (11.7b) e (11.7a) si riducono nel modo seguente:
Nel primo trimestre:
Ŷi ln b0 Xi ln b1 Q1 ln b2 quindi passando agli antilogaritmi
1
Ŷi b0bX1 ibQ
2
Nel secondo trimestre: Ŷi ln b0 Xi ln b1 Q2 ln b3 quindi passando agli antilogaritmi
2
Ŷi b0bX1 ibQ
3
100
CAPITOLO 11
Nel terzo trimestre:
Ŷi ln b0 Xi ln b1 Q3 ln b4 quindi passando agli antilogaritmi
3
Ŷi b0bX1 ibQ
4
Nel quarto trimestre:
Ŷi ln b0 Xi ln b1 quindi passando agli antilogaritmi Ŷi b0bX1 i
ANALISI
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Pagina 101
FIGURA 11.17
Output Excel del modello su dati mensili.
In questo caso, il periodo di base del modello è quello relativo al quarto trimestre, che si
ottiene assumendo nulle tutte le variabili dummy del modello stesso.
Per mostrare un’applicazione del modello descritto, riprendiamo l’esempio relativo alle
spese private mensili per abitazioni (a prezzi costanti 1995) in una città americana nel
periodo compreso fra il gennaio 1992 e il dicembre 1997 (Tabella 11.10). Nella Figura
11.17 è riportato l’output Excel del modello nei logaritmi.
Notiamo che il modello sembra interpretare correttamente le osservazioni: i valori dei
coefficienti di determinazione R2 aggiustato e non aggiustato sono molto elevati (84.5% e
81.3% rispettivamente); il test statistico F segnala un’ottima significatività congiunta dei
coefficienti del modello (p-value = 0.000); quasi tutti i coefficienti sono singolarmente significativi, eccetto quello relativo al mese di marzo che segnala una variazione solo casuale
della componente stagionale in quel mese rispetto al mese di riferimento (dicembre). Passando agli antilogaritmi otteniamo le seguenti stime dei coefficienti:
COEFFICIENTI DELLA REGRESSIONE
ln bi
b0: Y intercetta
2.51683
0.00241
b1: Inclinazione del codice di mese
0.09862
b2: Gennaio
0.14032
b3: Febbraio
0.00831
b4: Marzo
0.10132
b5: Aprile
0.19218
b6: Maggio
0.25310
b7: Giugno
0.27688
b8: Luglio
0.28978
b9: Agosto
0.25198
b10: Settembre
0.23900
b11: Ottobre
b12: Novembre
0.16756
ANALISI
bi elnbi
12.3893
1.0024
0.9061
0.8691
1.0083
1.1066
1.2119
1.2880
1.3190
1.3361
1.2866
1.2700
1.1824
101
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Pagina 102
Interpretazione delle stime:
•
•
•
•
•
L’intercetta b0 12.3893 rappresenta il valore del trend all’inizio del periodo (gennaio 1992).
Il valore (b1 – 1) 100% 0.24% è la stima del tasso di crescita mensile composto della serie analizzata.
b2 0.9061 è il moltiplicatore stagionale per il mese di gennaio con riferimento al
mese base di dicembre. Rispetto al mese di dicembre, in gennaio si spende il 9.4% in
meno in abitazioni.
b3 0.8691 è il moltiplicatore stagionale per il mese di febbraio con riferimento al
mese base di dicembre. Rispetto al mese di dicembre, in febbraio si spende il 13.1%
in meno in abitazioni.
b4 1.0083 è il moltiplicatore stagionale per il mese di marzo con riferimento al
mese base di dicembre. Rispetto al mese di dicembre, in marzo si spende lo 0.8% in
meno in abitazioni.
..
.
•
b12 1.1824 è il moltiplicatore stagionale per il mese di novembre con riferimento
al mese base di dicembre. Rispetto al mese di dicembre, in novembre si spende il
18.2% in più in abitazioni.
Vediamo ora in che modo il modello proposto può essere utilizzato per interpolare la
serie ed effettuare delle previsioni. A titolo di esempio, supponiamo di voler stimare la spesa
per abitazioni relativa ai mesi di novembre e dicembre 1997. Ci affideremo alle seguenti
equazioni:
Per novembre 1997:
Ŷ71 2.51683 70(0.00241) 0.16756
2.85309 quindi passando agli antilogaritmi
Ŷ71 17.341
Per dicembre 1997:
Ŷ72 2.51683 71(0.00241)
Ŷ72 14.701
In modo del tutto analogo a quanto descritto nei paragrafi precedenti, anche in questo
caso la bontà del modello può essere valutata attraverso il calcolo degli indici SYX e MAD.
Volendo poi utilizzare il modello per effettuare previsioni a ciascun mese dell’anno 2000,
si hanno le seguenti relazioni:
Gennaio 2000:
Febbraio 2000:
Marzo 2000:
102
CAPITOLO 11
ANALISI
Ŷ97 2.51683
2.64957
Ŷ97 14.148
Ŷ98 2.51683
2.61028
Ŷ98 13.603
Ŷ99 2.51683
2.76132
Ŷ99 15.821
96(0.00241) 0.09862
quindi passando agli antilogaritmi
97(0.00241) 0.14032
98(0.00241) 0.00831
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Pagina 103
Novembre 2000:
Ŷ107
Dicembre 2000:
Ŷ107
Ŷ108
Ŷ108
..
.
2.51683 106(0.00241) 0.16756
18.913
2.51683 107(0.00241)
16.034
• 11.31
Supponete di aver stimato (col metodo dei minimi quadrati) il seguente modello esponenziale su una serie storica mensile, con riferimento in particolare al mese di gennaio:
Ŷi 2.0 0.01 Xi 0.10 Gennaio
Calcolate l’antilogaritmo dei coefficienti e interpretate:
(a) il valore dell’intercetta b0 ;
(b) il tasso di crescita mensile;
(c) il moltiplicatore del mese di gennaio.
11.32 Se vogliamo costruire un modello per l’interpolazione e la previsione di una serie storica
settimanale, di quante variabili dummy abbiamo bisogno per tenere conto della componente
stagionale?
11.33
Supponete di aver stimato (col metodo dei minimi quadrati) il seguente modello esponen•
ziale su una serie storica trimestrale (I trimestre 1995 – IV trimestre 1998):
Ŷi 3.0 0.10Xi 0.25Q1 0.20Q2 0.15Q3
DATASET
S&PSTKIN
Calcolate l’antilogaritmo dei coefficienti e interpretate:
(a) il valore dell’intercetta b0 ;
(b) il tasso di crescita trimestrale;
(c) il moltiplicatore relativo al secondo trimestre.
11.34
Fate riferimento al modello esponenziale presentato nell’Esercizio 11.33.
•
(a) Calcolate il valore interpolato per il quarto trimestre 1996.
(b) Calcolate il valore interpolato per il primo trimestre 1997.
(c) Prevedete il valore della serie per il quarto trimestre 1999.
(d) Prevedete il valore della serie per il primo trimestre 2000.
• 11.35 Nella seguente tabella sono riportati i valori di un indice dei prezzi (Standard & Poor) dal
primo trimestre 1994 fino al quarto trimestre 1998.
Valori trimestrali dell’indice dei prezzi Standard & Poor
TRIMESTRE
1
2
3
4
1994
1995
ANNO
1996
1997
1998
445.77
444.27
462.69
459.27
500.71
544.75
584.41
615.93
645.50
670.63
687.31
740.74
757.12
885.14
947.28
970.43
1101.75
1133.84
1017.01
1229.23
Fonte: Standard & Poor’s Current Statistics, January 1998, 29. Reprinted by permission of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc., and Yahoo.com,
June 24, 1999.
(a) Fornite un’opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni.
(b) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale trimestrale.
ANALISI
103
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Pagina 104
(1) Qual è il valore interpolato per il terzo trimestre del 1998?
(2) Qual è il valore interpolato per il quarto trimestre del 1998?
(3) Prevedete, in base al modello, i valori della serie relativi a tutti i trimestri degli
anni 1999 e 2000.
(4) Interpretate il tasso di crescita trimestrale.
(5) Interpretate il valore del moltiplicatore relativo al secondo trimestre.
11.36 Nella seguente tabella sono riportati i valori dell’indicatore economico GNP (Gross National Product) registrati a partire dal primo trimestre 1990 fino al quarto trimestre 1997.
DATASET
REALGNP
Valori trimestrali del GNP (a prezzi costanti 1992)
TRIMESTRE
1
2
3
4
1990
1991
1992
6152.6
6171.6
6142.1
6079.0
6047.5
6074.7
6090.1
6105.3
6175.7
6214.2
6260.7
6327.1
ANNO
1993
1994
6327.9
6359.9
6393.5
6436.9
6524.5
6600.3
6629.5
6688.6
1995
1996
1997
6703.7
6708.8
6759.2
6796.5
6826.4
6926.0
6943.8
7017.4
7101.6
7159.6
7217.6
7250.0a
a
Stima.
Fonte: Survey of Current Business, December 1997.
DATASET
UNLDREG
(a) Fornite un’opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni.
(b) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale trimestrale.
(1) Qual è il valore “interpolato” per il terzo trimestre del 1997?
(2) Qual è il valore “interpolato” per il quarto trimestre del 1997?
(3) Prevedete, in base al modello, i valori della serie relativi a tutti i trimestri degli
anni 1998 e 1999.
(4) Interpretate il tasso di crescita trimestrale.
(5) Interpretate il valore del moltiplicatore relativo al primo trimestre.
11.37 Nella seguente tabella sono riportati i prezzi medi della benzina (per gallone) registrati in
diverse città americane nel periodo compreso tra gennaio 1990 e dicembre 1997.
Prezzi medi della benzina per gallone (prezzi correnti)
ANNO
MESE
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agosto
Settembre
Ottobre
Novembre
Dicembre
1.042
1.037
1.023
1.044
1.061
1.088
1.084
1.190
1.294
1.378
1.377
1.354
1.247
1.143
1.082
1.104
1.156
1.160
1.127
1.140
1.143
1.122
1.134
1.123
1.073
1.054
1.058
1.079
1.136
1.179
1.174
1.158
1.158
1.154
1.159
1.136
1.117
1.108
1.098
1.112
1.129
1.130
1.109
1.097
1.085
1.127
1.113
1.070
1.043
1.051
1.045
1.064
1.080
1.106
1.136
1.182
1.177
1.152
1.163
1.143
1.129
1.120
1.115
1.140
1.200
1.226
1.195
1.164
1.148
1.127
1.101
1.101
1.129
1.124
1.162
1.251
1.323
1.299
1.272
1.240
1.234
1.227
1.250
1.260
1.261
1.255
1.235
1.231
1.226
1.229
1.205
1.253
1.277
1.242
1.213
1.177
Fonte: Bureau of Labor Statistics, U.S. Department of Labor, ser. ID: APU000074714, extracted February 2, 1998.
(a) Con l’applicazione dell’indice dei prezzi al consumo presentato nell’Esercizio 11.11,
costruite la serie dei valori a prezzi costanti 1982-84 (dividete per CPI e moltiplicate
il risultato per 100).
(b) Fornite un’opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni.
(c) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale mensile.
104
CAPITOLO 11
ANALISI
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3-04-2002
DATASET
CREDIT
8:28
Pagina 105
(1) Qual è il valore “interpolato” per il mese di novembre 1997?
(2) Qual è il valore “interpolato” per il mese di dicembre 1997?
(3) Prevedete, in base al modello, i valori della serie per tutti i 12 mesi del 1998.
(4) Interpretate il tasso di crescita mensile.
(5) Interpretate il valore del moltiplicatore relativo al mese di luglio.
11.38 Nella seguente tabella sono riportate le spese mensili associate ad una nota carta di credito.
Spese associate a una carta
di credito
MESE
1997
ANNO
1998
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agosto
Settembre
Ottobre
Novembre
Dicembre
31.9
27.0
31.3
31.0
39.4
40.7
42.3
49.5
45.0
50.0
50.9
58.5
39.4
36.2
40.5
44.6
46.8
44.7
52.2
54.0
48.8
55.8
58.7
63.4
1999
45.0
39.6
Fonte: Dati reali raccolti da uno degli autori.
DATASET
TOYS-REV
(a) Rappresentate graficamente le osservazioni.
(b) Fornite una prima descrizione intuitiva dell’andamento mensile della serie.
(c) In generale l’ammontare di spese associate alla carta di credito vi sembra in aumento
o in diminuzione?
(d) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale mensile.
(e) Interpretate il tasso di crescita mensile.
(f) Interpretate il valore del moltiplicatore relativo al mese di gennaio.
(g) Quale valore prevedete, in base al modello, per il mese di marzo 1999?
(h) Quale valore prevedete, in base al modello, per il mese di aprile 1999?
11.39 Nella seguente tabella sono riportate le entrate trimestrali della società Toys, fatte registrare
a partire dal primo trimestre 1992 fino al terzo trimestre 1998.
Entrate trimestrali della società Toys (1992-98)
TRIMESTRE
1992
1993
1994
ANNO
1995
1996
1997
1998
1
2
3
4
1026
1056
1182
2861
1172
1249
1346
3402
1286
1317
1449
3893
1462
1452
1631
4200
1493
1614
1715
4605
1646
1736
1883
4668
1924
1989
2142
Fonte: Standard & Poor’s Stock Reports, November 1995, November 1998. New York: McGrawHill, Inc.
(a) Pensate che le entrate della società siano soggette a variazioni stagionali?
(b) Fornite un’opportuna rappresentazione grafica delle osservazioni. Il vostro grafico supporta l’ipotesi che avete fatto al punto (a)?
(c) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente stagionale trimestrale.
(1) Interpretate il valore del tasso di crescita trimestrale.
(2) Commentate i quattro moltiplicatori trimestrali.
ANALISI
105
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8:28
DATASET
FORD-REV
Pagina 106
(3) Qual è la vostra previsione per il quarto trimestre del 1998?
(4) Quali valori prevedete per i quattro trimestri del 1999?
11.40 Nella seguente tabella sono riportate le entrate trimestrali della società Ford Motor Company, fatte registrare a partire dal primo trimestre 1992 fino al terzo trimestre 1998.
Entrate trimestrali della società Ford Motor Company (1992-98)
TRIMESTRE
1
2
3
4
1992
1993
1994
ANNO
1995
1996
1997
1998
24 560
26 840
23 330
25 410
26 760
29 420
24 500
27 840
30 400
33 770
30 660
33 643
34 783
36 389
31 418
34 547
36 261
37 937
33 960
38 833
36 202
40 265
36 096
39 952
36 584
37 289
32 640
Fonte: Standard & Poor’s Stock Reports, November 1995, November 1998. New York:
McGraw-Hill, Inc.
DATASET
VUL-REV
(3) Qual è la vostra previsione per il quarto trimestre 1998?
11.41 Nella seguente tabella sono riportate le entrate trimestrali della società Vulcan Materials, fatte
registrare a partire dal primo trimestre 1992 fino al terzo trimestre 1998.
Entrate trimestrali della società Vulcan Materials (1992-98)
TRIMESTRE
1992
1993
1994
ANNO
1995
1996
1997
1998
1
2
3
4
211
284
312
271
214
306
336
282
217
327
360
350
294
383
422
362
309
419
444
398
341
445
478
414
359
466
510
McGraw-Hill, Inc.
(3) Qual è la vostra previsione per il quarto trimestre 1998?
◆
11.8
106
VALIDITÀ
CAPITOLO 11
E LIMITI DEI METODI DI ANALISI DELLE SERIE STORICHE
La validità dei metodi, come quelli descritti in questo capitolo, che si basano sulla conoscenza del passato e del presente per prevedere l’evolversi futuro di un fenomeno è accettata da sempre.
Se effettivamente non si verificasse nessun cambiamento nei fattori che, nel passato,
hanno influenzato l’attività economica, i metodi descritti rappresenterebbero uno strumento
validissimo per la previsione degli andamenti futuri dell’economia e quindi per la valuta-
ANALISI
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Pagina 107
zione delle migliori strategie aziendali. Naturalmente una simile stabilità non è realistica e
di fronte al cambiamento le tecniche presentate non possono non sembrarci ingenue e meccaniche. Proprio per superare alcuni dei limiti dell’analisi classica delle serie storiche sono
stati elaborati in anni recenti modelli più complessi (modelli econometrici) in grado di considerare l’incidenza di fattori quali il giudizio personale dell’analista, l’esperienza manageriale, il progresso tecnologico, l’evoluzione dei gusti e dei bisogni. Tale modellistica (riferimenti bibliografici 2, 3, 6 e 10) va oltre gli scopi di questo libro, in cui si è voluto dare
un quadro delle tecniche classiche di analisi delle serie storiche e di previsione degli andamenti futuri, le quali rappresentano pur sempre un valido punto di partenza per l’analista e
per il manager e un utile strumento di supporto decisionale aziendale.
◆R
IEPILOGO DEL CAPITOLO
In questo capitolo, come potete osservare nel diagramma di riepilogo, sono stati presentati
diversi metodi per l’analisi di serie storiche annuali: le medie mobili, il livellamento esponenziale, i modelli lineari, quadratici ed esponenziali, i modelli autoregressivi. Si è inoltre
discusso un metodo di regressione con l’aggiunta di variabili dummy, utile per cogliere la
componente stagionale e tentare un approccio previsivo su serie rilevate con cadenza mensile o trimestrale.
◆P
AROLE CHIAVE
componente casuale 60
componente ciclica 59
componente irregolare 60
componente stagionale 60
deviazione media assoluta (MAD) 94
livello esponenziale 75
media mobile 62
metodi di previsione aleatori 59
metodi di previsione basati
sulle serie storiche 59
modello moltiplicativo classico 60
modello quadratico 74
previsione 84
principio di parsimonia 94
serie storica 59
tecniche di previsione quantitative 59
trend lineare 71
trend 59
metodo di previsione qualitativo 59
modelli autoregressivi 84
modello autoregressivo
del p-esimo ordine 84
del primo ordine 84
del secondo ordine 84
modello moltiplicativo classico
per serie storiche 60
Previsione
di una serie storica
Rappresentazione
grafica dei valori
Sì
Trend
lineare
Trend
quadratico
Trend
esponenziale
Trend
?
Modelli
autoregressivi
No
Smoothing
esponenziale
Medie
mobili
Tabella riassuntiva del capitolo 11.
RIEPILOGO
DEL CAPITOLO
107
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3-04-2002
8:28
Pagina 108
Verifica della comprensione
11.42
11.43
11.44
11.45
11.46
11.47
11.48
11.49
11.50
11.51
Perché sono importanti le tecniche di previsione?
Cosa si intende esattamente per serie storica?
Descrivete le componenti del modello moltiplicativo classico per l’analisi di una serie storica.
Qual è la differenza fra le medie mobili e il livellamento esponenziale?
Sotto quali circostanze il modello basato su un trend esponenziale deve essere ritenuto il
più appropriato?
In cosa consiste la particolarità dei modelli di regressione discussi in questo capitolo?
In cosa differiscono i modelli autoregressivi rispetto agli altri approcci per la previsione di una
serie storica?
Quali sono i criteri per la scelta del modello appropriato in un caso concreto?
Commentate il significato degli indici SYX e MAD nella scelta del modello.
In che modo le tecniche di previsione su dati mensili o trimestrali differiscono da quelle
discusse in relazione a serie con cadenza annuale?
Esercizi di riepilogo del Capitolo
DATASET
11.52 I seguenti dati rappresentano l’incidenza della poliomielite (numero di casi su 100.000 per-
POLIO
sone) registrata a cadenza quinquennale nel periodo compreso fra il 1915 e il 1955.
Tassi di incidenza della poliomielite
ANNO
1915
1920
1925
1930
1935
1940
1945
1950
1955
Tasso
3.1
2.2
5.3
7.5
8.5
7.4
10.3
22.1
17.6
Fonte: Data are taken from B. Wattenberg, ed., The Statistical History of the United States: From
Colonial Times to the Present, ser. B303 (New York: Basic Books, 1976).
DATASET
GAPAC
(b) Adattate alla serie un trend lineare e disegnatelo sul precedente grafico.
(c) Prevedete l’incidenza della malattia per gli anni 1960, 1965 e 1970.
11.53
Nella seguente tabella sono riportate le entrate lorde (a prezzi correnti) della società Geor•
gia-Pacific Corporation nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998.
Entrate lorde (a prezzi correnti) della società
Georgia-Pacific Corporation
ANNO
ENTRATE
ANNO
ENTRATE
ANNO
ENTRATE
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
2.4
3.0
3.7
4.4
5.2
5.0
5.4
5.4
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
6.5
6.7
6.7
7.2
8.6
9.5
10.1
12.7
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
11.5
11.8
12.3
12.7
14.3
13.0
13.1
13.3
Fonte: Moody’s Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1997. Reprinted by permission
of Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc., and
Standard and Poor’s Corp., New York: McGraw-Hill, Inc., April 1999.
(a) Calcolate le entrate la prezzi costanti 1982-84, dividendo ciascun valore della tabella
per l’indice dei prezzi al consumo (Esercizio 11.11) e moltiplicando il risultato per 100.
(b) Rappresentate la nuova serie di dati in un grafico.
(c) Individuate il trend lineare.
(d) Individuate il trend quadratico.
(e) Individuate il trend esponenziale.
108
CAPITOLO 11
ANALISI
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DATASET
PMORRIS
8:28
Pagina 109
(f) Stimate un modello autoregressivo del terzo ordine e verificate la significatività del
parametro autoregressivo di ordine tre ( = 0.05).
(g) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del secondo ordine e verificate la
significatività del parametro autoregressivo di ordine due ( = 0.05).
(h) Se necessario, stimate un modello autoregressivo del primo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine uno ( = 0.05).
(i) Analizzate i residui dei tre modelli considerati ai punti (c) – (e) e del modello autoregressivo più appropriato fra quelli stimati ai punti (f) – (h).
(j) Calcolate l’indice SYX per tutti i modelli considerati al punto (i).
(k) Calcolate l’indice MAD per tutti i modelli considerati al punto (i).
(l) Sulla base dei risultati ottenuti ai punti (i) – (k), e tenendo conto anche del principio
di parsimonia, quale fra i modelli confrontati vi sembra il più idoneo a prevedere l’andamento futuro della serie?
(m) Utilizzate il modello scelto al punto (l) per effettuare una previsione per gli anni 19992000.
11.54 Nella seguente tabella sono riportate le entrate lorde (a prezzi correnti) della società Philip
Morris nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998.
Entrate lorde (a prezzi correnti) della società Philip Morris
ANNO
ENTRATE
ANNO
ENTRATE
ANNO
ENTRATE
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
3.6
4.3
5.2
6.6
8.1
9.6
10.7
11.6
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
13.0
13.8
16.0
25.9
28.2
31.7
44.8
51.3
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
56.5
59.1
60.9
65.1
66.1
69.2
72.0
74.4
Company, Inc., and Standard and Poor’s Corp., New York: McGraw-Hill, April 1999.
(f ) Adattate alla serie un modello autoregressivo del terzo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine tre ( = 0.05).
(g) Se necessario, adattate alla serie un modello autoregressivo del secondo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine due ( = 0.05).
(h) Se necessario, adattate alla serie un modello autoregressivo del primo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine uno ( = 0.05).
(j) Calcolate l’indice SXY per tutti i modelli considerati al punto (i).
ESERCIZI
DI RIEPILOGO DEL CAPITOLO
109
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DATASET
MCDONALD
Pagina 110
11.55 Nella seguente tabella sono riportate le entrate lorde (a prezzi correnti) della società Mc
Donald’s Corporation nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998.
Entrate lorde (a prezzi correnti) della società McDonald’s Corporation
ANNO
ENTRATE
ANNO
ENTRATE
ANNO
ENTRATE
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1.0
1.2
1.4
1.7
1.9
2.2
2.5
2.8
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
3.1
3.4
3.8
4.2
4.9
5.6
6.1
6.8
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
6.7
7.1
7.4
8.3
9.8
10.7
11.4
12.4
DATASET
SEARS
(h) Se necessario, adattate alla serie un modello autoregressivo del primo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine uno ( = 0.05).
(j) Calcolate l’indice SXY per tutti i modelli considerati al punto (i).
11.56 Nella seguente tabella sono riportate le entrate lorde (a prezzi correnti) della società Sears,
Roebuck & Company nei 24 anni compresi fra il 1975 e il 1998.
Entrate lorde (a prezzi correnti) della società Sears,
Roebuck & Company
110
CAPITOLO 11
ANALISI
ANNO
ENTRATE
ANNO
ENTRATE
ANNO
ENTRATE
1975
1976
1977
1978
1979
13.1
17.7
19.6
22.9
24.5
1983
1984
1985
1986
1987
35.9
38.8
40.7
42.3
48.4
1991
1992
1993
1994
1995
57.2
52.3
50.8
54.6
34.9
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Pagina 111
1980
1981
1982
25.2
27.4
30.0
1988
1989
1990
50.3
53.8
56.0
1996
1997
1998
38.2
41.3
41.3
DATASET
WALMART
(a) Calcolate le entrate prezzi a costanti 1982-84, dividendo ciascun valore della tabella
(h) Se necessario, adattate ala serie un modello autoregressivo del primo ordine e verificate la significatività del parametro autoregressivo di ordine uno ( = 0.05).
(j) Calcolate l’indice SXY per tutti i modelli considerati al punto (i)
(k) Calcolate l’indice MAD per tutti i modelli considerati al punto (i)
11.57 Nella seguente tabella sono riportate le entrate trimestrali fatte registrare dalla società WalMart Stores nel periodo di 7 anni compreso fra il 1992 e il 1998.
Entrate trimestrali della società Wal-Mart Stores (1992-1998)
TRIMESTRE
1
2
3
4
1992
1993
1994
ANNO
1995
1996
1997
1998
9280
10 340
10 630
13 640
11 650
13 030
13 680
17 122
13 920
16 237
16 827
20 361
17 690
19 942
20 418
24 448
20 440
22 723
22 913
27 550
22 772
25 587
25 644
30 856
25 409
28 366
28 777
35 386
McGraw-Hill, Inc.
DATASET
WORKWEEK
(a) Quali fra le componenti che in generale compongono una serie storica riuscite ad individuare nei dati riportati nella tabella?
(b) Rappresentate i valori in un grafico.
(c) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente trimestrale.
(d) Interpretate i valori dei “moltiplicatori” trimestrali.
(e) Effettuate una previsione a tutti i trimestri degli anni 1999 e 2000.
11.58 Nella seguente tabella è riportato il numero medio di ore di lavoro settimanali per addetti
alla produzione nel ramo manifatturiero, calcolato mensilmente a partire dal gennaio 1992
fino a dicembre 1997.
ESERCIZI
DI RIEPILOGO DEL CAPITOLO
111
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3-04-2002
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Pagina 112
Numero medio di ore di lavoro settimanali nel ramo manifatturiero
MESE
1992
1993
1994
ANNO
1995
1996
1997
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agosto
Settembre
Ottobre
Novembre
Dicembre
40.8
41.0
41.0
41.0
41.1
41.1
41.1
41.1
41.0
41.1
41.2
41.2
41.3
41.5
41.1
41.6
41.3
41.2
41.4
41.4
41.6
41.5
41.6
41.7
41.7
41.2
42.0
41.9
42.0
42.0
42.0
42.0
41.9
42.1
42.1
42.1
42.2
41.9
41.8
41.5
41.4
41.4
41.3
41.5
41.5
41.5
41.5
41.2
40.1
41.4
41.3
41.5
41.6
41.7
41.6
41.7
41.7
41.7
41.7
42.0
41.8
41.9
42.1
42.1
42.0
41.8
41.8
41.8
41.9
42.0
42.1
42.1a
a
Stima.
Fonte: Standard & Poor’s Current Statistics, January 1998, 7. Reprinted by permission of
Financial Information Services, a division of Financial Communications Company, Inc.
(a) Rappresentate i valori in un grafico.
(b) Adattate alla serie un modello esponenziale con componente mensile e utilizzatelo per
effettuare una previsione della serie a tutti i mesi del 1998.
◆I
L CASO
ANALISI
DI UNA SERIE STORICA DI TASSI DI CAMBIO
Supponete di essere membro di una società finanziaria che investe a livello internazionale. I vostri
soci, per stabilire la politica degli investimenti,
hanno bisogno di una previsione dei valori futuri
dei tassi di cambio rispetto al dollaro americano di
diverse valute quali il dollaro canadese, il franco
francese, il marco tedesco, lo yen giapponese e la
DATASET
sterlina inglese. Nella tabella sono riportati i cambi
(rispetto al dollaro americano) registrati negli anni
dal 1967 al 1997. Analizzate opportunamente le
cinque serie storiche proposte, utilizzando gli strumenti appresi in questo capitolo, e prevedete i tassi
di cambio delle cinque valute rispetto al dollaro
americano per gli anni 1998-1999 e 2000.
Tassi di cambio di cinque valute rispetto al dollaro americano
CURRENCY
112
CAPITOLO 11
DOLLARO
FRANCO
MARCO
YEN
STERLINA
ANNO
CANADESE
FRANCESE
TEDESCO
GIAPPONESE
INGLESE
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1.0789
1.0776
1.0769
1.0444
1.0099
0.9907
1.0002
0.9780
1.0175
0.9863
1.0633
4.921
4.953
5.200
5.529
5.510
5.044
4.454
4.811
4.288
4.783
4.916
3.9865
3.9920
3.9251
3.6465
3.4830
3.1886
2.6715
2.5868
2.4614
2.5185
2.3236
362.13
360.55
358.36
358.16
347.79
303.13
271.31
291.84
296.78
296.45
268.62
ANALISI
a
275.04
239.35
239.01
239.15
244.42
250.34
245.25
234.03
222.17
180.48
174.49
levine11_57-116
3-04-2002
8:28
Pagina 113
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1.1405
1.1713
1.1693
1.1990
1.2344
1.2325
1.2952
1.3659
1.3896
1.3259
1.2306
1.1842
1.1668
1.1460
1.2085
1.2901
1.3656
1.3027
1.3704
1.4296
4.509
4.257
4.225
5.440
6.579
7.620
8.736
8.980
6.926
6.012
5.960
6.380
5.447
5.647
5.294
5.663
5.552
4.853
5.184
6.024
2.0097
1.8343
1.8175
2.2632
2.4281
2.5539
2.8455
2.9420
2.1705
1.7981
1.7570
1.8808
1.6166
1.6610
1.5618
1.6533
1.6228
1.5014
1.5415
1.7986
210.39
219.02
226.63
220.63
249.06
237.55
237.46
238.47
168.35
144.60
128.17
138.07
145.00
134.59
126.78
111.20
102.21
103.35
115.87
130.38
191.84
212.24
232.46
202.43
174.80
151.59
133.68
129.74
146.77
163.98
178.13
163.82
178.41
176.74
176.63
150.20
153.16
152.84
171.26
165.18
a
In cents per pound.
Fonte: Board of Governors of the Federal Reserve System, Table B-107.
◆I
L CASO
IL
CASO
SPRINGVILLE HERALD
Si è discusso dell’importanza che riveste per il giornale il ramo delle consegne a domicilio, per incrementare le quali i responsabili di marketing del
quotidiano hanno messo a punto una serie di strategie di cui si è parlato nei precedenti capitoli. Ora il
DATASET
SH11
giornale vuole verificare se effettivamente l’impegno ha prodotto i risultati sperati. A tal fine i responsabili hanno raccolto informazioni dettagliate
sul numero di abbonamenti per consegna a domicilio in un periodo di due anni (Tabella SH11.1).
Tabella SH11.1 Numero di abbonamenti per consegna a domicilio
in un periodo di 24 mesi
MESE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ABBONAMENTI
MESE
ABBONAMENTI
75 327
77 116
79 341
80 983
82 326
82 879
84 006
85 119
86 182
87 418
88 063
89 444
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
90 507
91 927
93 878
94 784
96 109
97 189
97 899
99 208
100 537
102 028
103 977
106 375
IL
CASO
SPRINGVILLE HERALD
113
levine11_57-116
3-04-2002
8:28
Pagina 114
(a) Analizzate opportunamente i valori della serie e individuate un modello che vi consenta di
effettuare previsioni.
(b) Prevedete il numero di abbonamenti per i 4 mesi successivi.
(c) Siete in grado di utilizzare il vostro modello per previsioni a oltre un anno nel futuro?
◆B
IBLIOGRAFIA
1. Bails, D.G., e L.C. Peppers, Business Fluctuations: Forecasting Techniques and Applications (Englewood Cliffs, NJ:
Prentice Hall, 1982).
2. Bowerman, B.L., e R.T. O’Connell, Forecasting and Time
Series, 3d ed. (North Scituate, MA: Duxbury Press, 1993).
3. Box, G.E.P., G.M. Jenkins, e G.C. Reinsel, Time Series
Analysis: Forecasting and Control, 3d ed. (Englewood
Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994).
4. Brown, R.G., Smoothing, Forecasting, and Prediction (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1963).
5. Chambers, J.C., S.K. Mullick, e D.D. Smith, “How to
Choose the Right Forecasting Technique,” Harvard Business Review 49, no. 4 (July–August 1971): 45–74.
6. Frees, E.W., Data Analysis Using Regression Models: The
◆
A11.1
DI MICROSOFT
L’USO
7.
8.
9.
10.
11.
Business Perspective (Upper Saddle River, NJ: Prentice
Hall, 1996).
Hanke, J.E., e A.G. Reitsch, Business Forecasting, 6th ed.
(Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1998).
Mahmoud, E., “Accuracy in Forecasting: A Survey,” Journal of Forecasting 3 (1984): 139–159.
Microsoft Excel 2000 (Redmond, WA: Microsoft Corp.,
1999).
Newbold, P., Statistics for Business and Economics, 4th ed.
(Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994).
Wilson, J.H., e B. Keating, Business Forecasting (Homewood, IL: Irwin, 1990).
EXCEL
PER L’ANALISI
L’uso di Excel per il calcolo delle medie mobili
Per mostrare l’applicazione del calcolo di una media mobile con l’uso di Excel, aprite il file GM.XLS
e considerate il foglio di lavoro Data. Selezionate Strumenti | Analisi dei dati e scegliete l’opzione
media mobile. Inserite C1 : C25 nel campo Intervallo di input, selezionate l’opzione Etichette nella
prima riga, inserite l’ordine della media mobile (in questo caso 3) nel campo Intervallo e scegliete
un opportuno Intervallo di output (ad esempio D2:D25). Fate clic sul tasto OK e otterrete nella
colonna D la media mobile di ordine 3 calcolata sulle osservazioni.
Ripetete il procedimento richiedendo di calcolare la media mobile di ordine 7. Si osserva che in
entrambi i casi Excel non posiziona correttamente l’output in corrispondenza della parte centrale della
serie, ma lo sposta di qualche cella verso il basso. Potete correggere l’errore con un semplice tagliaincolla che sposti la serie delle medie mobili di ordine tre a partire dalla terza cella e quella delle
medie di ordine 7 a partire dalla quinta cella, in modo da centrare correttamente le medie.
L’uso di Excel per il livellamento (o smorzamento) esponenziale
Scegliete ora, all’interno del percorso Strumenti|Analisi dei dati l’opzione Smorzamento esponenziale. Inserite C1:C25 nel campo Intervallo di input, selezionate l’opzione Etichette nella prima
riga. Se volete ottenere valori smussati con un W = 0.25, inserite il valore 1 – W = 0.75 nel campo
Fattore di smorzamento e scegliete un opportuno Intervallo di output (ad esempio F2:F25).
Ripetete il procedimento scegliendo un fattore di smorzamento pari a 0.5. Anche in questo caso
dovete incollare le formule una riga più in alto rispetto a quella automaticamente scelta da Excel.
A questo punto potete utilizzare Autocomposizione grafico per rappresentare i valori, le medie
mobili e i valori smorzati, seguendo le indicazioni fornite nell’Appendice 2.1.
114
CAPITOLO 11
ANALISI
levine11_57-116
3-04-2002
8:28
Pagina 115
L’uso di Excel per la determinazione del trend col metodo
dei minimi quadrati
La determinazione di un trend col metodo dei minimi quadrati con riferimento a una serie storica si
traduce nell’applicazione di un modello di regressione. Si rimanda pertanto a quanto detto nelle
Appendici 9.1 (per la stima di un trend lineare), 10.1 (per la stima di un trend non lineare). In particolare se vogliamo adattate alla serie un modello esponenziale dobbiamo semplicemente effettuare la
trasformazione logaritmica delle osservazioni e considerare la nuova variabile come variabile dipendente in un modello di regressione lineare.
L’uso di Excel per la determinazione di modelli autoregressivi
Anche i modelli autoregressivi si riducono a modelli di regressione multipla: in questo caso i regressori (variabili indipendenti) sono le variabili ritardate. A titolo di esempio aprite il file EASTMANK.XLS e posizionatevi sul foglio di lavoro Data. Copiate per comodità le colonne relative al
valore assegnato all’anno e alla variabile dipendente (entrate lorde) in un nuovo foglio di lavoro
(colonne A e B). Per creare la variabile ritardata di un periodo inserite la formula =B2 nella cella C3
e copiatela nella stessa colonna fino alla riga 25. Ricordate di inserire il simbolo #N/A nella cella
rimasta vuota (C2) in modo tale che il contenuto della cella sia considerato come un valore mancante
ai fini della regressione. In modo del tutto analogo create nelle colonne D e D le variabili ritardate
di 2 e 3 periodi. A questo punto potete utilizzare l’opzione Strumenti | Analisi dei dati | Regressione per stimare i parametri del modello (vedi anche Appendice 9.1).
L’uso di Excel per calcolare l’indice MAD
(deviazione media assoluta)
Excel non prevede il calcolo automatico dell’indice MAD per i modelli descritti. Tuttavia il MAD può
essere agevolmente calcolato applicando ai residui del modello le formule di Excel. Si è visto che
tutti i modelli presentati possono essere visti come casi particolari di modelli di regressione. Uno degli
output Excel del modello di regressione è dato dai residui. Il MAD si ottiene applicando ai valori
assoluti dei residui (=ASS()) la funzione MEDIA.
Il calcolo del MAD diventa un po’ più complesso nel caso di trend esponenziale. In questo caso
infatti il modello restituisce il logaritmo (in base 10) dei valori previsti e quindi, prima di calcolare
i residui del modello, occorre passare all’antilogaritmo e quindi calcolare i residui basandosi su quest’ultimo valore. Si tratta cioè di applicare la funzione:
POTENZA(numero; potenza)
Per esempio POTENZA (10; 2) = 100 = 102.
APPENDICE
115

Analisi delle serie storiche

Transcript

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