Esercitazione n. 3 - Calcolo Numerico e Programmazione Corso di

Esercitazione n. 3 - Calcolo Numerico e Programmazione
Corso di laurea in Scienza dei materiali (N.O.)
Mercoledı̀ 10 aprile 2002
Rb
Formule di quadratura per il calcolo di I(f ) = a f (x)dx
Si implementino in linguaggio C i seguenti algoritmi (l’implementazione migliore è quella che costruisce
una procedura (void function)).
Metodo dei trapezi semplice/composito (con raddoppio del numero di sottointervalli):
N/2
I1,N (f ) =
I1,N/2 (f )/2 + hN
X
f (xi ),
xi = a − h + 2ih, hN = (b − a)/N, per N ≥ 2
i=1
I1,1 (f ) =
h1 (f (a) + f (b))/2,
h1 = b − a, per N = 1.
con test di arresto |I1,N − I1,N/2 | < ε. I1,N (f ) denota l’approssimazione di I(f ) con la formula dei trapezi
composita applicata a N sottointervalli.
Input: a, b estremi intervallo di integrazione, IN P U T variabile intera di controllo (=0 formula semplice, =1 formula composita), se IN P U T = 1 allora ε precisione per criterio di arresto dell’incremento,
N IT M AX numero massimo di iterazioni consentite.
Si specifichi in una opportuna function l’espressione analitica della funzione da integrare.
Inizializzazioni
h:=b-a (distanza nodi)
N :=1 (numero di sottointervalli)
N IT :=1 (numero di iterazioni)
IER:=0 (variabile di controllo convergenza)
Calcolo I1,1 (f ) = h ∗ (f (a) + f (b))/2 (formula semplice)
Test valore di IN P U T
Ciclo di iterazioni per N IT = 2, N IT M AX
.
N := 2 ∗ N (numero di sottointervalli)
.
h := h/2 (distanza nodi)
.
Calcolo I1,N (f ) (formula composita)
.
Test |I1,N (f ) − I1,N/2 (f )| < ε
fine ciclo iterazioni
IER:=1 (no convergenza)
Output: V ALIN valore approssimato dell’integrale, N numero di sottointervalli utilizzati, N IT numero di iterazioni effettuate, IER variabile intera di controllo per formula composita(=0 convergenza,
=1 no convergenza).
Metodo di Simpson semplice/composito (con raddoppio del numero di sottointervalli):
I2,N (f )
AN
BN
= AN + BN + CN , per N ≥ 2
= AN/2 /2
= BN/2 /2 + CN/2 /4
CN
= 4hN /3
N
X
f (xi ),
xi = a − hN + 2ihN , hN = (b − a)/(2N ),
i=1
A1
= h1 (f (a) + f (b))/3,
h1 = (b − a)/2
B1
C1
= 0
= 4h1 /3f ((a + b)/2).
con test di arresto |I2,N −I2,N/2 | < ε. I2,N (f ) denota l’approssimazione di I(f ) con la formula di Simpson
composita applicata a N sottointervalli.
Test per le formule di quadratura dei Trapezi e di Simpson
Predisporre output (ad ogni iterazione) del numero di iterazioni, del numero di sottointervalli utilizzati
e del valore approssimato dell’integrale.
1. Calcolare con il metodo dei trapezi semplice e composito (eps = 10−5 ) e con il metodo di Simpson semplice e composito (eps = 10−5 ) il seguente integrale:
Z
1
(x5 + 3x2 )dx = 2.
I=
−1
2. Calcolare con il metodo dei trapezi semplice e composito (eps = 10−6 ) e con il metodo di Simpson
semplice e composito (eps = 10−6 ) il seguente integrale:
Z
1
I=
(x3 + 1)dx = 1.25
0
3. Calcolare con il metodo dei trapezi semplice e composito (eps = 10−6 ) e con il metodo di Simpson
semplice e composito (eps = 10−6 ) i due seguenti integrali, confrontando i due risultati:
Z
I1 =
1
√
Z
1.1
xdx = 2/3 e I2 =
0
√
xdx = 0.74804463759032.
0.1
4. Calcolare con il metodo dei trapezi semplice e composito (eps = 10−6 ) e con il metodo di Simpson
semplice e composito (eps = 10−6 ) il seguente integrale:
Z
1
sin (10 sin (20x))dx = 0.015041762531.
I=
0