Il rapporto fra grandezze - Sito personale di Lorenzo Pantieri

I L R A P P O RTO F R A G R A N D E Z Z E
lorenzo pantieri
Giugno 2007
indice
1 Congruenza fra segmenti
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2 Somma fra lunghezze
1
3 Multiplo e sottomultiplo di una lunghezza
4 Relazione di ordine (stretto) fra lunghezze
5 Commensurabilità fra lunghezze
2
6 Rapporto fra lunghezze incommensurabili
7 Classi di grandezze
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Riferimenti bibliografici
5
2
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Per definire il rapporto fra grandezze, cominceremo con il definire il rapporto
fra segmenti (o, meglio, fra lunghezze); ciò fatto, preciseremo in quale senso un
insieme di grandezze “somiglia” all’insieme dei segmenti (ovvero all’insieme
delle lunghezze).
Per definire il rapporto fra lunghezze occorrono, nell’ordine, i seguenti
concetti:
(i) congruenza fra segmenti;
(ii) somma fra lunghezze;
(iii) multiplo e sottomultiplo di una lunghezza;
(iv) relazione d’ordine (stretto) fra lunghezze;
(v) commensurabilità fra lunghezze.
1
congruenza fra segmenti
Nei testi di Scuola Secondaria leggiamo che «due segmenti sono detti uguali,
ovvero congruenti, se esiste un movimento rigido che muti il primo segmento
nel secondo». Di solito non ci si preoccupa di definire il movimento rigido,
in quanto la definizione assiomatica della congruenza, così come è esposta
per esempio da Hilbert [1899], sarebbe troppo difficile per i ragazzi. In ogni
caso viene notato che la congruenza soddisfa le proprietà riflessiva, simmetrica
e transitiva: quindi la congruenza è una relazione di equivalenza che divide
l’insieme dei segmenti in classi (di equivalenza) ciascuna delle quali, con
termine decisamente infelice, viene chiamata lunghezza.
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somma fra lunghezze
Copiamo due definizioni dal libro di Severi [1942], vecchio e celeberrimo
testo per le Scuole Medie Superiori.
Definizione 1: Dati sopra una retta due segmenti AB e CD, aventi un estremo
in comune, o essi non hanno altri punti in comune e si dicono consecutivi,
oppure ogni punto interno ad uno di essi è interno all’altro.
Definizione 2: Si dice somma di due segmenti AB e CD ogni segmento OF ottenuto riportando sopra una retta due segmenti consecutivi OE ed EF congruenti
rispettivamente ad AB e CD. La somma dei due segmenti AB e CD si indica
con il simbolo AB + CD, sicché OF = AB + CD.
1
Poiché i segmenti OF di cui sopra sono tutti congruenti fra loro, la somma
AB + CD è individuata a meno di congruenze. Però, modernamente, si vuole
che il risultato di una operazione sia univocamente individuato, sicché si preferisce definire la somma nell’insieme Λ delle lunghezze. Dunque, indicando con
il simbolo [AB] la classe di congruenza del segmento AB, cioè l’insieme di tutti
i segmenti congruenti ad AB, se AB, CD ed OF sono i segmenti considerati
nella definizione 2 nella pagina precedente, porremo [OF] = [AB] + [CD].
3
multiplo e sottomultiplo di una lunghezza
Leggiamo ancora nel testo di Severi[1942]: «Si chiama multiplo di un segmento AB secondo il numero naturale n, la somma di n segmenti congruenti
ad AB. Esso si indica con il simbolo nAB. Se il segmento CD è congruente a
nAB, si dice inversamente che AB è sottomultiplo di CD secondo n».
Ovviamente i più precisi fra noi parleranno di «lunghezza multipla di una
lunghezza [AB] secondo un numero naturale n > 0» e la definiranno per
induzione su n, ponendo
1[AB] = [AB];
n[AB] = (n − 1)[AB] + [AB], se n > 1.
Notiamo anche che, data la lunghezza [AB], per ogni n > 0 esiste la lunghezza
n[AB]. Invece, per dimostrare l’esistenza del sottomultiplo secondo n > 0
della lunghezza [AB] si può far uso del teorema di Talete: se h = [AC è una
semiretta formante un angolo acuto con la semiretta [AB, sia AD il segmento
appartenente ad h e multiplo secondo n del segmento AC. La parallela per
C alla retta BD incontri il segmento AB nel punto E. È ovvio allora che
n[AE] = [AB].
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relazione di ordine (stretto) fra lunghezze
Ricordiamo che una relazione si dice di ordine stretto se è antiriflessiva e
transitiva. Ancora sul testo di Severi [1942] troviamo la
Definizione 3: Si dice che un segmento AB è minore di un segmento CD
quando AB è congruente ad una parte di CD. Si dice anche, allora, che CD è
maggiore di AB. Si scrive AB < CD oppure CD > AB.
Notiamo che la definizione 3 può essere anche scritta nella forma
[AB] < [CD] ⇐⇒ ∃[EF] tale che [CD] = [AB] + [EF].
In questo caso porremo anche [EF] = [CD] − [AB] e avremo così definito
la sottrazione fra lunghezze: è chiaro che non si tratta di un’operazione
nell’insieme Λ delle lunghezze in quanto non è definita per ogni coppia [AB],
[CD], ma solo se [AB] < [CD].
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commensurabilità fra lunghezze
Euclide, dopo aver chiamato commensurabili due segmenti AB e CD se esiste
un segmento EF che sia sottomultiplo sia di AB sia di CD (cfr. la definizione 1
del libro X), illustra un metodo (divenuto celebre nei secoli come metodo
euclideo), atto a verificare se due segmenti sono fra loro commensurabili o
no, e, in caso affermativo, a trovarne un sottomultiplo comune. Con questo
metodo, del tutto analogo a quello usato per trovare il MCD fra due numeri
naturali, Euclide dimostra che il lato e la diagonale di uno stesso quadrato
sono incommensurabili. Il metodo euclideo è sostanzialmente basato sul
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Postulato (di Eudosso-Archimede): Date due lunghezze [AB] e [CD] con [AB] >
[CD], esiste un numero naturale n tale che n[CD] > [AB].
Per la precisione ricordiamo che Euclide considera la proprietà espressa dal
precedente postulato come caratterizzante gli insiemi di grandezze nei quali
si può considerare il rapporto (cfr. la definizione 4 del libro V), senza dire
esplicitamente che si tratta di un postulato. A questo punto possiamo dare la
seguente
Definizione 4: Se le lunghezze [AB] e [CD] hanno uno stesso sottomultiplo
[EF] e risulta [AB] = m[EF] e [CD] = n[EF] con m e n numeri naturali, allora il
rapporto fra le lunghezze commensurabili [AB] e [CD] è il numero razionale m/n.
Osserviamo che con l’espressione “numero razionale m/n” intendiamo
indicare il “numero razionale associato alla frazione (m, n)”, ovvero la classe
delle frazioni equivalenti alla frazione (m, n).
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rapporto fra lunghezze incommensurabili
Date le lunghezze incommensurabili [AB] e [CD], poniamo
m
m
m
m
A=
∈ Q+ [CD] < [AB] , B =
∈ Q+ [CD] > [AB] .
n
n
n
n
Si dimostra che la coppia (A, B) è una sezione di Q+ , nel senso che
(i) (A, B) è una partizione di Q+ (cioè A e B sono insiemi non vuoti e
disgiunti la cui unione è Q+ ;
(ii) ∀x ∈ A, ∀y ∈ B risulta x < y.
La coppia (A, B) così costruita sarà chiamata “sezione di Q+ associata alla
coppia di lunghezze incommensurabili [AB] e [CD]”. È ovvio che, per definire
il rapporto fra le lunghezze [AB] e [CD], occorrerebbe un “numero” maggiore
di tutti gli elementi di A e minore di tutti gli elementi di B, ma, purtroppo,
un tale numero non esiste (o, meglio, non esiste finché non lo costruiamo). È
diseducativo, come fa qualche testo, dire agli studenti: «Chiamiamo numero
irrazionale l’elemento di separazione delle classi (A, B)», in quanto tale elemento non esiste e seguita a non esistere anche se gli diamo un nome. I nomi
non hanno potere evocatorio. Se, per esempio, troviamo un bel nome per i
campi finiti di ordine 6, non per questo tali campi cominceranno ad esistere.
Abbiamo quindi tre possibilità da presentare ai ragazzi:
(i) accettiamo il fatto che esistono coppie di lunghezze che non hanno
rapporto (gli studenti troveranno che è una “brutta” conclusione);
(ii) in ricordo del povero Ippaso, il pitagorico che gli dei fecero perire in
mare perché aveva rivelato ai profani che il lato e la diagonale di uno
stesso quadrato sono incommensurabili, affoghiamo chiunque trovi una
coppia di lunghezze incommensurabili (talvolta in classe è lecita una
battuta di spirito!);
(iii) chiamiamo numero irrazionale qualcosa che esiste, per esempio ogni
sezione di Q+ come la (A, B) appena costruita.
Osserviamo che i sottoinsiemi A e B, prima considerati, contengono rispettivamente quei numeri razionali che “intuitivamente” possiamo chiamare “valori
approssimati per difetto” e “valori approssimati per eccesso” del rapporto in
questione. Diciamo “intuitivamente” perché non si può approssimare qualcosa
che non esiste.
3
Osserviamo inoltre che conviene far notare agli studenti che la parola “razionale” viene dal latino ratio ed indica quei numeri che sono ratio, cioè rapporto
ovvero quoziente, di due numeri interi. Questo per non far sorgere il dubbio
che tali numeri siano “ragionevoli”, in contrapposizione con i numeri “matti”
(gli “irrazionali”).
Se dunque chiamiamo “numero irrazionale” ogni sezione (A, B) di Q+
associata alla coppia di lunghezze incommensurabili [AB] e [CD], possiamo
dare la
Definizione 5: Chiamiamo rapporto fra le lunghezze incommensurabili [AB] e
[CD] il numero irrazionale, cioè la sezione (A, B), associato alla coppia di
lunghezze [AB] e [CD].
Osserviamo che, se [AB] e [CD] sono lunghezze commensurabili, analogamente a quanto fatto prima, si possono definire due sottoinsiemi A e B di Q+
tali che
m
m
m
m
∈ Q+ [CD] 6 [AB] , B =
∈ Q+ [CD] > [AB] .
A=
n
n
n
n
In questo caso la coppia (A, B) soddisfa le condizioni:
(i) (A, B) è una partizione di Q+ ;
(ii) ∀x ∈ A, ∀y ∈ B =⇒ x < y;
(iii) la classe A ha massimo q ∈ Q+ .
Si ha che la sezione (A, B) di Q+ associata alla coppia di lunghezze commensurabili [AB] e [CD] possiede un elemento di separazione (il numero
razionale q). È facile vedere che tale elemento di separazione è proprio il
rapporto fra [AB] e [CD], secondo la definizione 4 nella pagina precedente. A
questo punto possiamo dare la seguente
Definizione 6: Una coppia (A, B) di sottoinsiemi di Q+ si chiama numero reale
(positivo) se valgono le tre seguenti proprietà:
(i) (A, B) è una partizione di Q+ ;
(ii) ogni elemento di A precede ogni elemento di B;
(iii) B non ha un elemento minimo.
Se A ha massimo q ∈ Q+ , diciamo che la sezione (A, B) è generata dal
numero razionale q. Si verifica immediatamente che c’è una corrispondenza
biunivoca fra Q+ e l’insieme delle sezioni di Q+ generate dai numeri razionali.
Convenendo di identificare le sezioni generate da numeri razionali con i corrispondenti elementi di separazione, per quanto visto in precedenza possiamo
dire che ogni rapporto fra lunghezze è un numero reale positivo. Possiamo inoltre
dare la seguente
Definizione 7: Fissata ad arbitrio una lunghezza [AB], si chiama misura di una
qualunque lunghezza [PQ] rispetto all’unità di misura [AB] il rapporto fra [PQ]
ed [AB].
È ovvio che una lunghezza [PQ] può avere misura razionale rispetto all’unità
di misura [AB] e misura irrazionale rispetto ad un’altra unità di misura [A 0 B 0 ].
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classi di grandezze
Ora possiamo finalmente precisare in quale senso un insieme di grandezze
“somiglia” all’insieme delle lunghezze.
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Definizione 8: Una classe di grandezze è un insieme non vuoto Ψ in cui sia
definita un’operazione +, che chiameremo somma, e che verifica le proprietà:
(i) ∀A, B ∈ Ψ si ha A + B = B + A;
(ii) ∀A, B, C ∈ Ψ si ha (A + B) + C = A + (B + C);
(iii) ∀A, B ∈ Ψ si ha A + B 6= A;
(iv) posto A < B se esiste C ∈ Ψ tale che B = A + C, e dati A e B distinti,
deve valere A < B oppure B < A;
(v) posto 1A = A e, per ogni numero naturale n > 1, nA = (n − 1)A + A,
deve accadere che ∀A, B ∈ Ψ, con A < B, esiste n naturale tale che
nA > B (postulato di Eudosso-Archimede);
(vi) se n > 0 è naturale e A ∈ Ψ, esiste B ∈ Ψ tale che nB = A;
(vii) se A, B ∈ Ψ con A < B, esiste C ∈ Ψ tale che A < C < B.
Il rapporto fra due grandezze e la misura di una grandezza vengono definiti
in maniera del tutto analoga a quanto fatto per le lunghezze.
Concludiamo fornendo un altro esempio di classe di grandezze. Ricordiamo
che, dato un poligono, Euclide insegna a costruire un quadrato equiesteso
al poligono dato. Perciò Euclide, anche se con terminologia completamente
differente dalla nostra, arriva a dimostrare che l’insieme dei poligoni, rispetto
alla relazione di equiestensione, è diviso in classi ciascuna delle quali contiene
un quadrato. Poiché due quadrati si possono sommare mediante il teorema
di Pitagora, risulta che, indicando con Π l’insieme quoziente dell’insieme dei
poligoni rispetto alla relazione di equiestensione, è possibile definire in Π
un’operazione di somma fra classi di equiestensione di poligoni, sommando i
“corrispondenti” quadrati. Si dimostra che l’insieme Π con la somma appena
introdotta è una classe di grandezze (cfr. Capodaglio [1999]).
Ricordiamo infine che Euclide di fronte alla difficoltà di dare una definizione
diretta di rapporto fra due grandezze, preferì una definizione “per astrazione”,
cioè (cfr. la definizione 5 del libro V) definì che cosa dovesse intendersi con
l’espressione “il rapporto fra le grandezze A e B è eguale al rapporto fra le
grandezze C e D”, ovvero con l’espressione “le grandezze A, B, C, D, prese
nell’ordine, sono proporzionali”; questo si ha se, per definizione, ∀m, n ∈ N
sono verificate le condizioni seguenti:


 mA > nB ⇐⇒ mC > nD,
mA = nB ⇐⇒ mC = nD,


mA < nB ⇐⇒ mC < nD.
Pertanto il rapporto, per Euclide, è una classe di equivalenza di coppie di
grandezze, anche se, ovviamente, Euclide non aveva questa terminologia.
Possiamo anche dire che ogni rapporto è (o individua se già definito) un
numero reale positivo.
riferimenti bibliografici
Amaldi, Ugo
1900 Sulla teoria dell’equivalenza in F. Enriques. Questioni riguardanti le Matematiche Elementari, Zanichelli, Bologna.
Capodaglio, Rita
1999a Considerazioni sulle classi di grandezze, Zanichelli, Bologna.
5
Capodaglio, Rita
1999b Una sintesi di Geometria, Zanichelli, Bologna.
Carruccio, Ettore
1972 Matematiche elementari da un punto di vista superiore, Pitagora, Bologna.
Euclide
1970 Elementi, a cura di Attilio Frajese e Lamberto Maccioni, UTET, Torino.
Frajese, Attilio
1962 Attraverso la storia della matematica, UTET, Roma.
Hilbert, David
1899 Fondamenti di Geometria, Feltrinelli, Bologna.
Kline, Morris
1972 Storia del pensiero matematico, Einaudi, Torino.
Severi, Francesco
1942 Geometria, Vallecchi, Firenze.
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