I seminari del giovedì - Dipartimento di Matematica

Transcript

Università di Pavia
Dipartimento di Matematica “F. Casorati”
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http://www-dimat.unipv.it
I seminari del giovedı̀
Transizione di fase in cristalli liquidi
I: Fondamenti e teoria di Maier-Saupe
Fulvio Bisi
mailto:[email protected]
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Introduzione
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• Che cos’è un “cristallo liquido”?
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Introduzione
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• Fase intermedia tra quella di un cristallo e quella di un liquido: più propriamente,
dovremmo chiamarla fase mesomorfica o mesofase.
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Introduzione
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• Cristallo: uno schema (“base”) in un punto x0 si ritrova con probabilità finita in
x = x0 + n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 anche per |x − x0 | → ∞ (ni interi, i ∈ {1, 2, 3},
e {ai } vettori della base).
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Introduzione
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• Cristallo: uno schema (“base”) in un punto x0 si ritrova con probabilità finita in
x = x0 + n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 anche per |x − x0 | → ∞ (ni interi, i ∈ {1, 2, 3},
e {ai } vettori della base).
• In altre parole, la diffrazione a raggi X presenta picchi di Bragg caratteristici del
reticolo, ossia:
lim
< ρ(x)ρ(x0 ) >= F (x − x0 )
|x−x0 |→∞
con < ρ(x)ρ(x0 ) > funzione di correlazione densità-densità e F (x − x0 ) f.
periodica secondo i vettori ai .
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Introduzione
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• Liquido isotropo: se si trova uno schema o una particella in un punto x0 , la
probabilità di trovare uno schema simile in x lontano da x0 dipende solo dalla
densità media di particelle ρ̄:
lim
< ρ(x)ρ(x0 ) >' ρ̄2 .
|x−x0 |→∞
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Introduzione
• Liquido isotropo: se si trova uno schema o una particella in un punto x0 , la
probabilità di trovare uno schema simile in x lontano da x0 dipende solo dalla
densità media di particelle ρ̄:
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lim
< ρ(x)ρ(x0 ) >' ρ̄2 .
|x−x0 |→∞
• Esiste una lunghezza ξ caratteristica che indica la distanza alla quale si perde la
correlazione. La figura di diffrazione a raggi X mostra picchi diffusi di larghezza
ξ −1 .
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Le mesofasi si possono ottenere in maniere differenti:
1. Non imponendo ordine posizionale, o imponendo ordine in una o due dimensioni,
anziché in tre.
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– Il primo caso è chiaramente quello di un liquido: se la funzione di correlazione
è anisotropa, si tratta di una mesofase nematica: ci sono due lunghezze
caratteristiche ξk e ξ⊥ .
– Il secondo caso può essere descritto come strati di liquido bidimensionale
impilati uno sull’altro: mesofase smettica.
– Il terzo caso corrisponde a sistemi ordinati secondo due dimensioni in tre
dimensioni: mesofasi colonnari.
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Le mesofasi si possono ottenere in maniere differenti:
1. Non imponendo ordine posizionale, o imponendo ordine in una o due dimensioni,
anziché in tre.
4/35
– Il primo caso è chiaramente quello di un liquido: se la funzione di correlazione
è anisotropa, si tratta di una mesofase nematica: ci sono due lunghezze
caratteristiche ξk e ξ⊥ .
– Il secondo caso può essere descritto come strati di liquido bidimensionale
impilati uno sull’altro: mesofase smettica.
– Il terzo caso corrisponde a sistemi ordinati secondo due dimensioni in tre
dimensioni: mesofasi colonnari.
2. Introducendo gradi di libertà distinti dalla posizione dei centri di massa delle
molecole: per le molecole a simmetria non sferica, il principale candidato è il
loro orientamento. Transizioni orientazionali si verificano in cristalli, in cristalli
liquidi o in liquidi isotropi (in quest’ultimo caso, si genera anisotropia: questo
produce una mesofase nematica).
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Introduzione
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I mattoni fondamentali: molecole allungate (nematici, smettici) e molecole discoidali
(fasi colonnari e alcuni nematici)
2 nm
CH3 O
N N
O CH3 0.5 nm
O
Figura 1: PAA: p-azossianisolo, la “drosofila” dei cristalli liquidi.
Nel PAA la fase nematica si trova a temperature relativamente alte (fra 116◦ C e
135◦ C a pressione atmosferica); altri composti risultano più facili da studiare: per
esempio, la N − (p−metossibenzilidene)−p−butilanilina (MBAA) è nematica fra
20◦ C e 47◦ C.
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Nematici uniassici
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1. I centri di gravità delle molecole non presentano ordine a lungo raggio: i raggi
X danno solo scattering diffuso. Anisotropia ξk 6= ξ⊥ ; i nematici scorrono come
liquidi: p.es., per PAA la viscosità è di circa 0.1 poise (acqua: a T ambiente:
10−2 poise).
2. C’è un ordine nella direzione delle molecole: tendono a disporsi parallele a una
direzione, identificata tramite un direttore n . I nematici presentano proprietà
ottiche tipiche di un mezzo uniassico, con asse ottico diretto come n (la differenza tra i due indici di rifrazione misurati con polarizzazione parallela e ortogonale
è di circa 0.2 per il PAA). Simmetria rotazionale.
3. La direzione di n è arbitraria, in assenza di altre rotture di simmetria (esempio:
l’effetto di “guida” delle pareti del contenitore.
4. Gli stati caratterizzati da n e da −n sono indistinguibili. Per esempio, se le molecole possiedono un dipolo elettrico intrinseco, tanti dipoli “up” quanti “down”:
il sistema non mostra ferroelettricità.
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Nematici uniassici
5. Le fasi nematiche si osservano solo in materiali “achirali”, o in miscele racemiche
di materiali chirali nelle l− e r−specie.
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Gli spettri N M R dei nematici mostrano caratteristiche peculiari: la simmetria uniassica causa la separazione di alcune linee, assenti nei liquidi isotropi. D’altro canto,
le linee sono strette, la qual cosa è connessa ad un’elevata agitazione molecolare,
tipica degli stati fluidi.
Figura 2: Disposizione delle molecole in una mesofase nematica (a: molecole tipo
‘asta’; b: molecole tipo ‘disco’)*.
*Da P.G. de Gennes and J. Prost - The Physics of Liquid Crystals (1993) OSP.
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Nematici a differente simmetria
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1. Nematici con molecole polari, con i dipoli allineati sono instabili per la asimmetria
testa-coda (sarebbero nematici ferroelettrici).
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2. In linea di principio, possono esistere nematici con momento magnetico: non
necessariamente asimmetriche; gli accoppiamenti fra momenti magnetici però
sarebbero deboli (liquidi ferromagnetici).
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3. Nematici biassici: sono formati da mattoni fondamentali con forma di lunghi
rettangoli. Fase biassica (dibattuta). NB: sono possibili fasi uniassiche con
molecole biassiche, e fasi biassiche con molecole uniassiche.
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3. Nematici biassici: sono formati da mattoni fondamentali con forma di lunghi
rettangoli. Fase biassica (dibattuta). NB: sono possibili fasi uniassiche con
molecole biassiche, e fasi biassiche con molecole uniassiche.
4. Nematici “esotici”: formati da molecole che presentano simmetrie maggiori
(esagonale, cubica, icosaedrica).
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Figura 3: Rappresentazione qualitativa di nematici biassici.*
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Altre mesofasi
Esistono anche altre forme di cristalli liquidi: fra esse, citiamo:
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• le mesofasi colesteriche, legate a soluzioni di specie chimiche chirali (come il
colesterolo estere) in liquidi nematici, che presentano una distorsione elicoidale;
Figura 4: Rappresentazione qualitativa di una mesofase colesterica.*
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Altre mesofasi
• le mesofasi smettiche, caratterizzate da una struttura a strati, con strati spaziati
regolarmente.
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– smettici A, la cui struttura è formata da molecole che tendono ad allinearsi
ortogonalmente agli strati (comportamento ottico uniassico).
– smettici C, con molecole inclinate rispetto alla direzione ortogonale alle piastre; in presenza di un agente chirale, il tilt “precede” passando da uno strato
al successivo.
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Nematici a differente simmetria e altre mesofasi
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Figura 5: Rappresentazione qualitativa di una mesofase smettica di tipo A.*
Figura 6: Rappresentazione qualitativa di una mesofase smettica di tipo C.*
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Potenziali termodinamici
• Energia interna (utile per trasformazioni con V , S, {Nj } costanti)
X
U = TS + PV +
µ0j Nj
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Nj è il numero di particelle della j-esima specie, nj il numero di moli; µ0j il potenziale chimico
per particella e µ̃j quello molare corrispondenti.
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X
U = TS + PV +
µ0j Nj
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• Entalpia (P , S, {Nj } costanti)
H = U − PV = TS +
X
µ0j Nj
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X
U = TS + PV +
µ0j Nj
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H = U − PV = TS +
X
µ0j Nj
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• Energia libera di Helmoltz (V , T , {Nj } costanti)
X
F = U − TS = PV +
µ0j Nj
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X
U = TS + PV +
µ0j Nj
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H = U − PV = TS +
X
µ0j Nj
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• Energia libera di Helmoltz (V , T , {Nj } costanti)
X
F = U − TS = PV +
µ0j Nj
j
• Energia libera di Gibbs (P , T , {Nj } costanti)
X
X
0
G = U − PV − TS =
µj Nj =
µ̃j nj
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Transizioni di fase
In un processo che avviene a P e T costanti, si ha
X
(dG)P T =
µ̃j dnj ,
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ossia, la G e le derivate
µ̃j =
∂G
∂nj
P,T,{ni6=j }
hanno lo stesso valore nelle due fasi, rispettivamente. Nessun vincolo, invece, su
∂G
∂G
V =
S=
(1)
∂P T,{nj }
∂T S,{nj }
Il comportamento di queste derivate parziali viene usato per classificare le transizioni
di fase
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Transizioni di fase
• Transizioni di fase del primo ordine:
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Transizioni di fase
• Transizioni di fase del primo ordine: sono quelle in cui le (1) presentano una
discontinuità.
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Transizioni di fase
discontinuità.
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• Transizioni di fase continue:
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Transizioni di fase
discontinuità.
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• Transizioni di fase continue: sono quelle in cui le (1) NON presentano una
discontinuità, che si ritrova in una derivata di ordine superiore (transizioni di
n-esimo ordine).
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Transizioni di fase
discontinuità.
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n-esimo ordine).
A molte transizioni di fase viene associato un punto critico, ma non sempre (per
esempio, la transizione solido-liquido ordinario non ricade in tale casistica). In altre
parole, spesso al di sopra di una determinata Temperatura critica Tc una fase non
risulta visibile; per T < Tc questa nuova fase appare, spesso in corrispondenza a
differenti proprietà di simmetria; in tale caso, una nuova variabile, detta parametro
d’ordine viene introdotta per descrivere la fase neonata.
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Transizioni di fase
discontinuità.
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n-esimo ordine).
A molte transizioni di fase viene associato un punto critico, ma non sempre (per
esempio, la transizione solido-liquido ordinario non ricade in tale casistica). In altre
parole, spesso al di sopra di una determinata Temperatura critica Tc una fase non
risulta visibile; per T < Tc questa nuova fase appare, spesso in corrispondenza a
differenti proprietà di simmetria; in tale caso, una nuova variabile, detta parametro
d’ordine viene introdotta per descrivere la fase neonata.
• Per le transizioni di primo ordine non sono presenti necessariamente connessioni
fra le simmetrie delle due fasi (cfr.: solido-vapore, solido-liquido, liquido-vapore).
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Distribuzione statistica
Sia B una regione di spazio occuppata da un CL; in ogni punto p ∈ B si trovano N
molecole, con i centri di massa distribuiti casualmente, e con un orientazione descritta
da un vettore della sfera unitaria S2 con una densità di probabilità f : S2 → R+
integrabile. Se S ⊂ S2 , la probabilità di trovare una molecola orientata in S è:
16/35
Z
p[S] :=
f da ,
(2)
S
a è una opportuna misura su S2 . Il numero atteso di molecole orientate in S è:
n[S] := N p[S] .
(3)
In base alle caratteristiche descritte in precedenza
f (l) = f (−l)
∀l ∈ S2
(4)
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Distribuzione statistica
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S − := {l ∈ S2 | − l ∈ S}
p[S − ] = p[S] ∀S ⊂ S2 .
Il vettore m (momento di ordine 1 della densità di probabilità)
Z
m :=
lf (l) da = 0
(5)
(6)
S2
non dà informazioni: ricorriamo al momento di ordine 2 (tensore del secondo ordine):
Z
l ⊗ lf (l) da .
M :=
(7)
S2
Si ha, poiché l ∈ S2 :
Z
tr(l ⊗ l)f (l) da =
trM =
S2
e, ovviamente M T = M .
Z
f (l) da = 1
S2
(8)
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Medie
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Consideriamo un versore e; la quantità
< (l · e)2 >:= e · M e =
Z
(l · e)2 f (l) da
(9)
S2
è la media di (l · e)2 . Se ϑ è l’angolo fra la direzione e e quella di una molecola, si
ha
e · M e =< cos2 ϑ > ,
(10)
con le limitazioni conseguenti:
0 ≤ e · Me ≤ 1 .
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Distribuzione isotropa
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Supponiamo che f sia costante. Chiaramente,
1
f = f0 =
;
4π
chiamiamo M 0 il tensore associato, che risulta proporzionale a I. Se R è una
rotazione attorno al centro di S2 , il cambio di variabile l 7→ Rl lascia inalterato M 0
(f0 costante):
Z
M0 =
Rl ⊗ Rlf0 da ,
(11)
S2
per cui, poiché Rl ⊗ Rl = R(l ⊗ l)RT :
M 0 = RM 0 RT .
(12)
L’arbitrarietà su R porta a concludere che M 0 commuta con ogni rotazione:
M 0 R = RM 0
∀R ,
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Distribuzione isotropa
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e, quindi, M 0 = αI; essendo trM 0 = 1:
1
M0 = I ,
3
(13)
ossia < cos2 ϑ >= 1/3.
Risulta naturale definire un tensore d’ordine Q:
Q := M − M 0 ,
(14)
che misura di quanto il momento del secondo ordine della densità di probabilità si
discosta dal caso isotropo.
Lemma: Un tensore L ∈ L(V) commuta con tutti i tensori antisimmetrici di L(V) se e solo
se L = αI, α ∈ R. Teorema: Un tensore L ∈ L(V) è isotropo (ossia, QLQT = L ∀Q ∈
SO(V)) se commuta con tutti i tensori antisimmetrici di L(V).
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Tensore d’ordine
Osservazione: Q può essere nullo anche se f 6= f0 : ad esempio, se la f possiede un
asse di simmetria cilindrica, cioè se esiste e tale che, ∀R rotazione attorno ad e
21/35
f (Rl) = f (l),
si mostra che prendendo f in modo che le molecole siano distribuite su un cono
attorno ad e di semiapertura ϑ = arccos( √13 ) si ha ancora Q = 0.
Assumiamo, per semplicità, che se una distribuzione è caratterizzata da M = M 0 ,
allora è isotropa.
Si ha, comunque:
trQ = 0 ,
(15)
e, in virtù del Teorema Spettrale, Q può essere cosı̀ rappresentato:
Q = λ1 e1 ⊗ e1 + λ2 e2 ⊗ e2 + λ3 e3 ⊗ e3
(16)
i
con λi autovalori e {e1 , e2 , e3 } autovettori corrispondenti.
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Tensore d’ordine
Il caso isotropo corrisponde ad autovalori tutti nulli. Il tensore d’ordine Q descrive
un cristallo liquido uniassico se due autovalori sono coincidenti, ad esempio, λ1 =
λ2 6= λ3 .
22/35
In tale caso, possiamo scrivere
1
Q = s(n ⊗ n − I) ,
3
(17)
con s = −3λ1 e n = e3 .
Altrimenti, per un cristallo liquido biassico (λ1 6= λ2 ), possiamo porre
1
Q = −(s1 n1 ⊗ n1 + s2 n2 ⊗ n2 ) + (s1 + s2 )I ,
3
(18)
con n1 = e1 , n2 = e2 , e s1 = −(2λ1 + λ2 ), s2 = −(λ1 + 2λ2 ).
Osservazione: Q = Q(p): lo stato può variare da punto a punto.
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Parametro d’ordine
Lo scalare s viene detto parametro d’ordine per un cristallo liquido uniassico. Ricordando la definizione di M :
1
M = sn ⊗ n + (1 − s)I
3
abbiamo
1
< (l · n)2 >= n · M n = (2s + 1)
(19)
3
ossia
1
3
1
s = (3 < (l · n)2 > −1) = < cos2 ϑ − >
2
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23/35
(20)
che porta alle limitazione − 12 ≤ s ≤ 1: quella inferiore corrisponde a molecole disposte ortogonalmente a n, quella superiore corrisponde a molecole disposte
parallelamente a n.
Gli autovalori di Q risultano essere − 31 s, − 31 s e 23 s; da cui la grandezza di Q
2
2
|Q| = tr(Q Q) = s2 ≤ .
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T
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Teoria di Maier-Saupe
24/35
Potenziale intermolecolare:
V = −U0 q 1 · q 2
con U0 > 0, q 1 = m1 ⊗ m1 − 31 I, q 2 = m2 ⊗ m2 − 31 I.
Osservazioni: V favorisce la disposizione con m1 k m2 .
Il tensore d’ordine risulta essere Q =< q >, con la consueta media d’insieme.
Introduciamo lo pseudopotenziale U :
U := −U0 q · Q .
(21)
U è il potenziale avvertito da una molecola nel campo medio creato dalle altre. Si
ottiene formalmente da V , ponendo q = q 1 (la molecola 1 è quella ”esploratrice”)
e mediando l’interazione tra tutte le altre.
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25/35
La funzione di distribuzione risulta essere
1 − U (q )
f (m) = e kT ,
Z
(22)
R
dove Z := S2 f (m) da è la funzione di partizione (k: costante di Boltzmann, T :
temperatura assoluta).
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1 − U (q )
f (m) = e kT ,
Z
(22)
R
Pertanto:
1
Q=
Z
Z
qf (m) da .
(23)
S2
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1 − U (q )
f (m) = e kT ,
Z
(22)
R
Pertanto:
1
Q=
Z
Z
qf (m) da .
(23)
S2
(Osservazione: poiché U dipende da Q, l’equazione (23) è una condizione di
compatibilità per i valori medi ammissibili; Q = 0 è sempre ammissibile.)
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Rappresentazione:
1
Q = s(ez ⊗ ez − I) + t(ex ⊗ ex − ey ⊗ ey ) ,
3
(24)
avendo disposto la terna secondo gli autovettori di Q; t viene detto parametro
d’ordine biassico (biassicità di fase gernerabile anche da molecole uniassiche).
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Rappresentazione:
1
Q = s(ez ⊗ ez − I) + t(ex ⊗ ex − ey ⊗ ey ) ,
3
(24)
avendo disposto la terna secondo gli autovettori di Q; t viene detto parametro
d’ordine biassico (biassicità di fase gernerabile anche da molecole uniassiche).
Osservazione:
• s=0
⇒ Q biassico nel piano {ex , ey };
• t=0
⇒ Q uniassico attorno al direttore ez ;
• s=t=0
⇒ Q = 0 (stato isotropo).
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27/35
Limitazioni: Coordinate sferiche :
m = cos ϕ sin ϑex + sin ϕ sin ϑey + cos ϑez
(25)
con ϑ ∈ [0, π] e ϕ ∈ [0, 2π[. Si ottiene:
3
< ez · qez >
2
1
t = (< ex · qex − ey · qey >
2
s=
3
1
< cos2 ϑ − >
2
3
(26)
1
< sin2 ϑ cos 2ϕ >
2
(27)
=
=
1
1
− (1 − s) ≤ t ≤ (1 − s)
3
3
β[s(cos2
f (ϑ, ϕ) = e
ϑ− 13 )+t sin2
ϑ cos 2ϕ]
Z
Z=
2π
(28)
Z
dϕ
0
π
sin ϑ f (ϑ, ϕ) dϑ , (29)
0
i
con β :=
U0
kT .
P
2
3
L2
3M
3
3
2
2
?
28/35
Equazioni integrali:
3
s=
2
Z
1
t=
2
Z
2π
Z
π
dϕ
0
0
2π
Z
(30)
sin2 ϑ f (ϑ, ϕ) dϑ
(31)
π
dϕ
0
1
cos ϑ f (ϑ, ϕ) dϑ −
2
2
0
Osservazione: s = t = 0 è soluzione di questa coppia di equazioni integrali: cfr.
(23).
Cambiamento di variabile u := cos ϑ;
β[s(u2 − 31 )+t(1−u2 ) cos 2ϕ]
f˜(u, ϕ) = e
Z
Z=
2π
Z
1
dϕ
0
f (u, ϕ) du .
(32)
−1
i
P
2
3
L2
3M
3
3
2
2
?
29/35
Energia libera di Helmoltz per molecola:
Fm = −kT ln Z
(33)
1
1
Fc = U0 Q · Q = U0 |Q|2
2
2
(34)
Energia del campo:
Da cui:
∂Fc
= U0 Q
∂Q
⇒U =−
∂Fc
·q
∂Q
(35)
c
( ∂∂F
Q è la forza generalizzata coniugata a q).
Osservazione: L’energia di interazione di una molecola con il campo medio è la stessa
per tutte le molecole; l’energia libera e gli altri potenziali termodinamici si riferiscono
unicamente agli stati orientazionali.
i
P
2
3
L2
3M
3
3
2
2
?
30/35
Energia libera totale per molecola, per unità di U0 :
1
1
F (Q) := |Q|2 − ln(Z/4π)
2
β
Z
Z = Z(Q) =
eβ q (m)·Q ,
(36)
S2
avendo normalizzato in modo da avere F = 0 nella fase isotropa. In termini di s e t
si ha:
Z 2π
Z 1
1
1 2
1
1
2
2
F̃ (s, t) = s + t2 − ln
dϕ
du eβ[s(u − 3 )+t(1−u ) cos 2ϕ]
(37)
3
β
4π 0
−1
i
P
2
3
L2
3M
3
3
2
2
?
30/35
Energia libera totale per molecola, per unità di U0 :
1
1
F (Q) := |Q|2 − ln(Z/4π)
2
β
Z
Z = Z(Q) =
eβ q (m)·Q ,
(36)
S2
avendo normalizzato in modo da avere F = 0 nella fase isotropa. In termini di s e t
si ha:
Z 2π
Z 1
1
1
1
2
2 1
F̃ (s, t) = s2 + t2 − ln
dϕ
du eβ[s(u − 3 )+t(1−u ) cos 2ϕ]
(37)
3
β
4π 0
−1
Osservazione: I punti stazionari di F sono anche le soluzioni dell’equazione di
compatibilità (23).
Z
∂Fc
1
=Q−
βq(m)eβ q (m)·Q da = Q− < q >
(38)
∂Q
βZ S2
i
P
2
3
L2
3M
3
3
2
2
?
31/35
Ipotesi: t viene assunto piccolo in valore assoluto: parametro perturbativo.
Risulta utile usare la Funzione di Dawson:
Z x
2
2
d(x) := e−x
et dt
(39)
0
d0 (x) = 1 − 2x d(x)
(40)
d00 (x) = 4x2 d(x) − 2d(x) − 2x
(41)
d000 (x) = 4x2 − 4 + 10x d(x) − 8x3 d(x)
(42)
Andamenti asintotici:
d(x) ≈
1
2x
per
2
d(x) ≈ x − x3
3
x→∞
per
x→0
(43)
(44)
i
P
2
3
L2
3M
3
3
2
2
?
32/35
Fasi calamitiche (s > 0).
√
p
1 2 2
1
d( βs)
2
√
F̃ (s, t) = s − s − ln
+ t (1 + βg( βs)) + O(t4 )
3
3
β
βs
1
1
3
1
1
1
3
√
√
√
√
g(x) := − −
−
+
+
2
4 4x 16x
8 x d( x) 16 x x d( x)
(45)
(46)
Con
lim g(x) = −
x→0+
2
15
lim g(x) = 0 ;
x→∞
√
(osservazione: per β < 15/2 si ha 1 + βg( βs) > 0 per ogni valore di s. Ponendo
t = 0 si ottengono risultati confrontabili con la teoria classica di Maier-Saupe, che
partivano da stati uniassici puri.
i
P
2
3
L2
3M
3
3
2
2
?
33/35
∂ F̃
2 y2 1
1
1
(s, 0) =
+ + 2−
=0
∂s
3β
3 2y
2yd
avendo posto y :=
radici di
√
(47)
βs, ossia x = βs = y 2 . Tutto si riconduce alla ricerca delle
3
3
1
1
√ = x.
+ √
G(x) := − −
2 4x 4 x d( x)
β
(48)
Qualitativamente, l’analisi grafica riprende la struttura già introdotta nella teoria
classica, sapendo che
lim G(x) = 0
x→0+
lim G(x) = 1
x→∞
G0 (x) > 0
lim G0 (x) =
x→0+
2
15
i
P
2
3
L2
3M
3
3
2
2
?
Sotto una Tc la fase nematica (punto M ) è quella termodinamicamente stabile.
kTc
= 4.55
U (Tc )
Figura 7: Soluzione grafica per l’equazione di compatibilità; (cfr. 48).*
34/35
(49)
i
P
2
3
L2
3M
3
3
2
2
?
Il parametro d’ordine a T appena sotto Tc risulta essere
Sc := S(Tc ) = 0.44
35/35
(50)
in accordo soddisfacente con i dati sperimentali
Figura 8: Misure del parametro d’ordine s rilevate con tecniche differenti a confronto con la previsione ricavabile dalla teoria di Maier-Saupe (linea
continua).*
i
P
2
3
L2
3M
3
3
2
2
?

I seminari del giovedì - Dipartimento di Matematica

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