Calcolo Collettore BlowDown

Blow Down
CALCOLO ADIABATICO PERDITE DI CARICO IN FASE GASSOSA
1- Premessa sul dimensionamento di una tubazione per un flusso di gas
Nel loro libro :“CHEMICAL PROCESS PRINCIPLES” Part II: THERMODYNAMICS Hougen
e Watson affermano che in generale il flusso del gas in un tubo risente oltre che dalle perdite per
attrito anche dallo scambio di calore con l’esterno, perciò il moto non è né adiabatico né isotermo.
Ma in molti casi lo scambio di calore con l’esterno, specialmente quando il tubo è coibentato, è
trascurabile rispetto alla resistenza per attrito e al carico cinetico del flusso, pertanto il metodo
adiabatico si avvicina di più alla realtà.
Ai nostri fini è necessario individuare un metodo preciso che ci consenta un dimensionamento
cautelativo della tubazione, ma anche un calcolo short cut, che consenta una esecuzione più rapida.
Per questo nei successivi paragrafi abbiamo illustrato il metodo di calcolo adiabatico e un metodo
short cut al fine di precisare quale errore si possa commettere usando quest’ultimo rispetto
all’adiabatico.
2- Teoria del dimensionamento per un flusso adiabatico
Il flusso di gas, che segue la legge adiabatica (cioè senza scambio di calore con l’esterno) secondo
Hougen – Watson è regolato dalla seguente equazione :
4fL/D = (1/2k)*((2+(k-1)*Ma1^2)/Ma1^2)*(1- (ρ2/ρ1)^2) + ((k+1)/k)*ln((ρ2/ρ1)^2) (1)
L’equazione fornisce le condizioni operative del flusso tra due punti del condotto: il punto 1 a
monte e il punto 2 a valle. In particolare essa dà la relazione fra le densità ρ1 e ρ2 e quindi la
relazione fra i valori di temperatura di pressione e il numero di Mach nei due punti del condotto in
base al fattore di attrito, alle grandezze geometriche del collettore e alle proprietà del gas (fattore k
= Cp/Cv, peso molecolare).
Quindi noti o fissati tentativamente o calcolati per altra via i valori di tre delle quattro grandezze:
pressioni e temperatura nei due punti P1, P2, T1, T2 si può trovare il quarto L’equazione è
un’uguaglianza tra due termini adimensionali, quindi può essere usata con le unità di qualsiasi
sistema, purché ogni grandezza sia espressa nella stessa unità ( ad esempio se L è espresso in metri
anche D deve essere in metri). La numerazione dei punti 1 e 2 è generica, perché è riferibile ai due
punti estremi di un qualsiasi tratto di tubazione. Se ad esempio prendiamo in esame un tratto di
tubazione , il punto 1 è quello d’inizio, il punto 2 è quello finale.
I simboli riportati nell’equazione sono:
f = fattore d’attrito di Fanning
k = coefficiente adiabatico = Cp/Cv
M = peso molecolare del gas
D= Diametro collettore
L= lunghezza equivalente del tratto di collettore considerato.
Ma1 = numero di Mach nel punto a monte del tratto di collettore ( rapporto tra la velocità del gas e
la velocità del suono nel punto del condotto preso in considerazione).
ρ1 = densità del gas nel punto a monte
ρ2 = densità nel punto a valle
T1 e P1 = temperature e pressione assolute all’inizio del tratto generico considerato
T2 e P2= temperature e pressione assolute alla fine del tratto generico considerato
Ci sono poi le seguenti equazioni complementari usate per trovare le temperature assolute nei due
punti:
• T2/T1 = 1+ ((k-1)/2)*Ma1^2)*(1-(ρ1/ρ2)^2) (2)
Questa equazione rappresenta il rapporto tra le temperature assolute a valle e a monte per un flusso
adiabatico gassoso in un condotto.
Si usa insieme alla (1) per determinare la temperatura nel punto 2.
• Ts/T1s = (Ps/P1s)^((k-1)/k) (3)
Questa equazione rappresenta il rapporto tra le temperature assolute nel passaggio di un gas
attraverso un ugello in espansione adiabatica. Essendo:
Ts = temperatura a monte dell’ugello
T1s = temperatura a valle dell’ugello
Ps = pressione a monte dell’ugello
P1s = pressione a valle dell’ugello
• Uso = radq(kRZT/M) equazione della velocità del suono.
Dove R è la costante dei gas = 8314 joule/kmoli°K.
T è espressa in °K, k =Cp/Cv , M è il peso molecolare del gas, Uso è la velocità sonica in m/sec.
La (2) viene usata per trovare il rapporto T2/T1 tra le temperature assolute nel punto 2 e nel punto 1
e la (3) per trovare il rapporto Ts/T1s ; Ts e Ps sono di solito conosciute.
Se l’ugello viene identificato con una valvola di sicurezza, il diametro della tubazione si trova di
solito partendo dalla pressione Pd nel recipiente di blow down a valle che è conosciuta , poi
risalendo a monte del tratto in modo da trovare la pressione P1s. cioè la contropressione della
valvola. Il procedimento avviene per tentativi fissando prima un valore della P1s, calcolando poi ρ1
e ρ2 e verificando che questi valori di densità siano congruenti coi valori di pressione e di
temperatura nei due punti. Invece nel caso di una tubazione che collega due recipienti a pressioni
differenti si calcola il diametro in base alla portata che si ha e al numero di Mach a bassa
pressione, il quale deve essere al più 0,5.
3.0- Un metodo short cut
Per determinare le perdite di carico di una tubazione esiste un metodo short cut, il quale utilizza
espressioni molto più semplici.
Infatti parte dall’equazione di Fanning, valida per trovare le perdite di carico per un flusso liquido.
Tale equazione è:
∆P = 4fL/D*(U^2/2g)*γ/10200 (4) NB:il ∆P è dato in bar
Tutte le grandezze sono espresse in unità metriche. E γ è il peso specifico del fluido in kg/m3, che
nel caso dei gas dipende sia dalla pressione che dalla temperatura. Allora è evidente che la (4)
può essere applicata solo per tratti brevi, quando la variazione della temperatura e della pressione è
molto piccola; quindi per utilizzarla occorre procedere alla perdita di carico per brevi tratti, cosa
che può essere laboriosa.
Si può ovviare a questo introducendo un metodo short cut, che utilizza la media logaritmica della
pressione e della temperatura.
Il procedimento si attua per tentativi analogamente a quanto applicato per il calcolo adiabatico,
precedentemente descritto nel caso sai necessario calcolare la contropressione di una PSV.
Cioè:
T1 è dato, P1 viene fissato per tentativi.
P2 è noto, T2 viene calcolato adoperando la solita espressione: T2/T1= (P2/P1)^((k-1)/k), cosa
possibile essendo P1 fissato per tentativi.
Di seguito viene determinata la pressione media logaritmica Pm con l’espressione: ∆P/ln(P1/P2) e
poi la media logaritmica della temperatura Tm con un’analoga espressione: ∆T/ln(T1/T2).
3
Il peso specifico medio γm in kg/m viene dato dall’espressione:
γm = (PM/22,414)*(273/Tm)*(Pm/1,013) (5)
essendo PM il peso molecolare e 1,013 la pressione atmosferica in barabs
Calcolato poi il ∆P con la (4) , lo si addiziona alla P2 per avere il nuovo P1, se questo è molto
vicino al P1 fissato, il calcolo è finito, altrimenti si reimposta il calcolo, partendo da un nuovo P1.Si
procede così fino a quando il valore calcolato è molto vicino al prefissato.
4.0 – Esempi di calcolo
4.1 – Determinazione della contropressione di una valvola di sicurezza
In un impianto le valvole di sicurezza scaricano in un collettore generale (una tubazione) che
raccoglie gli scarichi di emergenza e che va dimensionato in modo che la portata prevista dal
calcolo delle varie emergenze possa fluire nella tubazione senza generare eccessive
contropressioni a monte e scorrere con velocità del gas accettabili per evitare erosioni del metallo
e rumorosità eccessiva. In questo calcolo presentiamo il dimensionamento di un collettore nel caso
che non si disponga di un simulatore adatto con un programma inserito ad hoc e si debba quindi
procedere con un calcolo manuale anche supportato da un semplice foglio elettronico (come
Excel)..
Lo sketch indicato in figura 1 rappresenta una tubazione che raccoglie gli scarichi di n valvole di
sicurezza, Le valvole sono numerate in crescendo partendo da quella con scarico più vicino al
separatore gas-liquido D101.
Il flusso dal collettore attraversa il separatore, avente la funzione di separare il liquido prodotto nel
collettore per trascinamenti o per eventuali condensazioni. In tal modo si evita che il liquido
eventualmente presente raggiunga al torcia creando la cosiddetta pioggia di fuoco. Via via che si
accumula il liquido il livello cresce e allora scatta un allarme e si apre automaticamente la valvola
sulla linea a slop azionata da un LSH, in tal modo il recipiente viene svuotato; a questo punto
interviene un LSL che chiude la valvola a slop. Allo scopo di illustrare il procedimento di calcolo
con esempi numerici prendiamo in esame un caso semplice: la valvola critica, cioè quella con il
minimo rapporto tra pressione di scatto e contropressione (almeno 2 in unità relative per evitare
l’installazione di una valvola pilotata) sia la PSV-1, il cui stacco sbocca proprio nel punto 1 del
collettore più vicino al recipiente BD. Per dimensionare il collettore bisogna rifarsi a una
emergenza generale durante la quale tutte le PSV scaricano contemporaneamente ad esempio
incendio o mancanza di E.E. che sono i due classici casi di dimensionamento di un collettore di
B.D. Ovviamente l’assunzione della valvola PSV-1 come quella più critica dovrà essere supportata
dalla verifica che tutte le valvole a monte abbiano il rapporto pressione di scatto/contropressione
maggiore di quello della PSV-1. Si deve procedere tratto per tratto fino ad arrivare nel punto
immediatamente a valle delle PSV per verificare che lì la pressione sia inferiore al 50% della Ps
nel caso di valvole bilanciate solitamente adoperate in un sistema chiuso di B.D. I tratti da
percorrere sono tutti quelli del collettore compresi tra il recipiente di blow down e lo sbocco dello
stacco della valvola sul collettore stesso più lo stacco stesso.
Di ogni tratto sarà conosciuta la portata e la temperatura del flusso, che potranno essere diverse da
un tratto all’altro, inoltre saranno conosciute tutte le lunghezze equivalenti. Ad esempio
riferendoci alla Fig.1, i tratti distinguibili per arrivare dal recipiente di blow down alla valvola
ennesima PSV-n sono: il tratto dal recipiente BD al punto 1 del collettore, il tratto dal punto 1 al
punto 2 e così via fino ad arrivare all’ultimo tratto da (n-1) a (n), infine vi è lo stacco della valvola
dal punto (n) fino alla flangia di uscita della PSV-n. Nel caso in cui le valvole di sicurezza
scarichino in sub collettori prima del collettore principale si intende che i vari punti del collettore
1,2…n rappresentano i punti sbocco dei vari sub collettori e per essi va effettuato un calcolo ad
hoc sempre con i metodi sopra enunciati.
Il dimensionamento del collettore si fa per tentativi, fissando il diametro del collettore, essendo
note le lunghezze equivalenti, la temperatura, la pressione e tutte le grandezze chimico-fisiche
degli scarichi. Si comincia a cercare il diametro limite, cioè quello che determina la velocità del
suono allo sbocco ( con Ma2=1) nel recipiente BD, in tal caso la P2 coincide con la Pd; per diametri
inferiori avremo a monte dello sbocco una pressione maggiore della Pd e quindi tutto il collettore
sarà in pressione e lo scarico allo sbocco violento con velocità uguale a quella del suono,
situazione non certo accettabile perché il collettore inoltre non riesce a scaricare tutta la portata
desiderata; quindi si deve proseguire il calcolo aumentando progressivamente il diametro finché si
trova un Ma2 < 0,50, che è la velocità massima che conviene adottare nei collettori di B.D.
Il calcolo qui spiegato risulta molto laborioso se le valvole sono molte, per cui è preferibile
disporre di un elaboratore elettronico munito di un apposito programma reti di B.D.
4.1.1-Esecuzione del calcolo col metodo adiabatico
L’obiettivo del calcolo è trovare il diametro del tratto di collettore, supponendo conosciuto il
diametro dello stacco valvola posto uguale a quello della flangia di uscita aumentato di un size.
Per semplificare il calcolo si trascura la perdita di carico nel subcollettore della PSV-1, essendo
esso corto e di diametro superiore di un size al bocchello di uscita della PSV-1; si assume in tal
modo che la contropressione della valvola sia quella del collettore nel punto 1.
Siano disponibili i seguenti dati per la PSV-1:
Ts = temperatura allo scatto della valvola di sicurezza =250°C= 523°K
T1s = temperatura a valle della valvola calcolata con l’equazione (3) del par.2
T2s = temperatura allo sbocco del subcollettore di scarico = T1s valvola nel collettore BD.
T1 = temperatura all’inizio del tratto finale nel collettore BD, si pone = T1s
Ps = pressione allo scatto della valvola di sicurezza = 5 barg o 6 barabs (normalmente relativa
ma assoluta in alcune relazioni seguenti).
Si devono calcolare le seguenti grandezze:
P1s = pressione assoluta a valle della valvola di sicurezza( è detta anche contropressione e in
questo caso è espressa in valori relativi).
P2s = la pressione assoluta allo sbocco del subcollettore della valvola si pone = P1s
P2 = pressione assoluta allo sbocco del collettore BD nel recipiente BD
T2 = temperatura assoluta allo sbocco nel recipiente BD.
La portata di scarico della PSV-1 sia 20000 Kg/h
Sia inoltre data la portata complessiva di scarico contemporaneo delle valvole a valle del punto
Calcoliamo con la (3) del par. 2 la temperatura alla flangia di uscita della valvola, cioè la T1s nel
tratto dello stacco. Dobbiamo assumere come primo tentativo il valore di P1s =2,5 bar abs
Si trova T1s = 409°K = 136°C. Inoltre sia nota la portata di scarico delle altre PSV pari a 130000
kg/h con una T=210°C
Pertanto nel punto 1 del collettore si avrà, mediando, uno scarico con le seguenti caratteristiche:
Fluido: Azoto
Portata = 150000 kg/h
Peso molecolare =28 Kg/Kmole
k= 1,39; Z=1 nota (a)
T= 473 °K = 197°C (considerando che a monte del punto 1 il flusso sia adiabatico)
Calore specifico = 0,6 kcal/kg°C
Pressione nel recipiente BD Pd = 0,3 barg.
Nota (a) - Assumendo Z=1 si assume che il gas sia ideale come detto nella premessa; diversamente
occorrerà introdurre un valore correttivo nel calcolo delle densità.
Se ci riferiamo all’ultimo tratto del collettore compreso tra il punto 1 e il recipiente di Blow down,
il calcolo della P1 si può fare per tentativi, assumendo il fattore di attrito f=0,003.
Assumendo una P1 di tentativo, con la T1 =197°C, è possibile calcolare l’Ma1 , e anche ρ1. In
seguito si adopera la (1) del par.2 per determinare il rapporto ρ1/ρ2 e quindi ρ2 e Ma2.
Il calcolo è stato effettuato adoperando il foglio elettronico e dà il seguente risultato:
-il diametro limite per cui si ha l’Ma2 = 1 è 14,5 inches
-il diametro ottimale che dà l’Ma2 =0,47 è 22 inches
-la P1 è 1,15 barg
-la T2 è 187°C
-velocità allo sbocco nel recipiente BD = 178 m/sec
-la velocità sonica allo sbocco del BD è Uso = 436 m/sec
-numero di Mach Ma2 = 0,41
Avendo posto P1s = P1 = 1,15 barg si ha : P1s = 1,15 barg , tale valore della contropressione della
valvola, quindi è accettabile poiché la contropressione massima è 2,5 barg. Essendo P1s = 2,15
barbs in realtà la T1s è uguale a 120°C non a 136°C come prima assunto; poiché lo scarico della
PSV-1 è piccolo rispetto a quello delle altre valvole possiamo accettare l’approssimazione
nell’avere assunto come tentativi T1s = 136°C. Con l’ausilio del foglio elettronico i calcoli arrivano
rapidamente a convergenza. Naturalmente il procedimento può essere esteso a tutta la rete di blow
down, assumendo come nota la pressione al termine di ogni tratto.
4.1.2-Esecuzione del calcolo col metodo short cut
I risultati del metodo short cut trovati sono:
∆P = 0,865 bar; P1= 1,167 barg.
La T1 viene assunta uguale a 197°C, come nel calcolo adiabatico, ma la T2 viene calcolata
mediante l’espressione (3) e non con la (2), come vuole il testo Hougen-Watson. Perciò la T2
calcolata è 134°C.
4.1.3-Tabella riassuntiva dei risultati e conclusione
Nella seguente tabella sono riportati i risultati
considerati.
Metodi
adiabatico
0,85 bar
∆P perdita carico collettore
P1s press a monte collettore
1,15 barg
T1 temp. a monte collettore
197°C
T2 temp. a valle collettore
187°C
Ma2 nr di Mach al punto 2
0,41
effettuati nei precedenti paragrafi coi due metodi
Short cut
0,865 bar
1,167 barg
197°C
134°C
0,36
Dai dati su riportati risulta che:
- Il valore di P1 è più alto dell’1,5 % circa nel metodo short cut;
- Le perdite di carico ∆P sono più alte nel metodo schort cut del 2%.
Lo scostamento maggiore nei due metodi riguarda la temperatura T2, per le ragioni sopraddette e
quindi il nr di Mach allo sbocco del collettore, inferiore nel calcolo short cut. Questo fatto
potrebbe comportare un grande errore nella determinazione del diametro limite, necessario per
evitare di raggiungere la velocità del suono a monte dello sbocco.
4.2 – Determinazione della portata in una tubazione che collega due recipienti a pressione
controllata.
Siano dati due recipienti D1 e D2 entrambi a pressione controllata, il primo a 40 barabs e il
secondo a 31 barabs. Sono uniti da una tubazione di 6” con una lunghezza equivalente di 300
metri. Si vuole conoscere la portata in kg/h che si ha nella tubazione quando i due recipienti
restano alle pressioni suddette e la portata massima quando il secondo recipiente viene sfiatato a
blowdown e la sua pressione scende a 2 barabs.
Le caratteristiche del fluido sono quelle dell’esempio di calcolo precedente.
Nel primo caso si ottengono i valori dati nella seguente tabella.
CONFRONTO RISULTATI METODI ADIABATICO e SHORT CUT: ∆P DATO
Valori delle grandezze
Metodo adiabatico
Metodo Short cut
P1 pressione a monte barabs
40
40
19
19
∆P assegnato bar
T1 temperatura a monte °C
450
450
T2 temperatura a valle °C
448
400
Portata trovata in kg/h
90100
82870
Mach2
0,16
0,17
Nota: La divergenza dei due metodi si rileva nei valori della portata e della temperatura T2; tali
divergenze si traducono in un errore di cica l’8% per la portata e dell’11% per la temperatura a
valle.Passando alla seconda parte del calcolo, occorre rilevare che è stato condotto imponendo che
a valle il nr di Mach sia uguale a 1, ciò significa imporre la velocità del suono in quel punto.
Inoltre si trova che tale velocità non si trova allo sbocco del secondo recipiente, dove la pressione
è 2 barabs, ma in un punto della tubazione dove la pressione è maggiore ( vedi tabella seguente).
E’ evidente che tale punto non può essere che all’imbocco del 2° recipiente.
CONFRONTO RISULTATI METODI ADIABATICO e SHORT CUT: MACH2 = 1
Valori delle grandezze
Metodo adiabatico
Metodo Short cut
P1 pressione a monte barabs
40
40
P2 all’imbocco 2° rec. barabs
7,17
6.04
32,83
33,96
∆P trovato bar
T1 temperatura a monte °C
450
450
T2 temperatura a valle °C
336
287
Portata trovata in kg/h
129700
134500
Mach2
1,00
1,00
Nota: La divergenza dei due metodi si rileva nei valori della portata, della pressione P2 e della
temperatura T2; tali divergenze si traducono in un errore di circa il 3,7% per la portata,
dell’15,7% per la pressione a valle e del 14,6% per la temperatura a valle.