Esercizi vari - retroazione

ESERCIZI DI CONTROLLI AUTOMATICI
Prof. Gianluigi Pillonetto
21 NOVEMBRE 2016
Ex 1. Si consideri il sistema di controllo di posizione con retroazione tachimetrica
d(t)
r(t)
e(t)
G(s) =
y(t)
10
s(s+2)
−
H(s) = 1 + αs
Si assuma che il disturbo sia nullo.
• Si determini il valore di α in modo che la risposta a r(t) = δ−1 (t) abbia una sovraelongazione massima
πr
M del 10%. Si ricorda che M = exp(− √1−r
);
2
• Calcolare in corrispondenza a tale valore di α l’errore a regime se r(t) = t.
Ex 2. Si consideri il sistema di controllo
d(t)
r(t)
e(t)
y(t)
KKa
s+α
W (s) =
−
Kb
Si assuma retroazione unitaria, ovvero Kb = 1.
• Assumendo assenza di distrubo e ingresso r(t) = δ−1 (t), si calcoli il valore di Ka per cui ad una
variazione del 10% di K corrisponda una variazione dello 0.1% di y(t) per t → +∞;
• Si assuma K = α = 1, r(t) = δ−1 (t) e d(t) = 0.1δ−1 (t). Si calcoli y(t) ad anello chiuso con Ka = 100 e
ad anello aperto con Ka = 1.
Ex 3. Si consideri il sistema di controllo di un pacemaker elettronico
d(t)
r(t)
e(t)
W (s) =
y(t)
6
s(s+5)
−
Kb
Si assuma retroazione unitaria, ovvero Kb = 1 e disturbo d nullo. Assumendo che r(t) = δ−1 (t) si calcoli
l’energia del segnale di errore e(t), ovvero
Z +∞
e2 (t)dt.
0
1
Ex 4. La funzione di trasferimento a catena chiusa di un sistema in retroazione negativa e unitaria risulta
f (s) =
W
K(s + z)
.
+ 3s + 12
s2
Calcolare valori di K e z tali che l’errore di inseguimento al riferimento r(t) = 0.5t2 δ−1 (t) sia asintoticamente
finito, anche se non nullo.
Ex 5. Si consideri il sistema di controllo
d(t)
r(t)
e(t)
W (s) =
y(t)
K
(s+1)(s+2)(s+3)
−
Kb
Si assuma retroazione unitaria, ovvero Kb = 1, e disturbo d(t) = δ−1 (t). Si determini un valore di K > 0
per cui la componente di e(t) dovuta al disturbo abbia a regime ampiezza minima (se il sistema diventa
instabile tale ampiezza deve considerarsi infinita).
2
Soluzione EX 1. La funzione di trasferimento in catena chiusa risulta
f (s) =
W
G(s)
10
= 2
,
1 + G(s)H(s)
s + (2 + 10α)s + 10
che può essere messa in relazione con il sistema del secondo ordine del tipo
f (s) =
W
s2
ωn2
.
+ 2rωn s + ωn2
Si deduce subito che
ωn =
√
10
(si ricordi che ωn è non negativo per definizione). Per quanto riguarda r, dalle specifiche su M , si ottiene la
relazione
πr
M = exp(− √
) = 0.1,
1 − r2
da cui
r = 0.59.
Infine da
s2 + 2rωn s + ωn2 = s2 + (2 + 10α)s + 10,
si ricava
α = 0.17.
Per calcolare l’errore a regime, si noti che nella configurazione proposta l’errore di inseguimento non
corrisponde all’errore e(t) (questo è dovuto alla presenza del blocco H(s) diverso da 1 che rende la retroazione
non unitaria). Denotiamo quindi con v(t) = r(t) − y(t) l’errore di inseguimento con trasformata di Laplace
indicata con V (s). La funzione di trasferimento che lega R(s) a V (s) chiaramente risulta
f (s),
Wv (s) = 1 − W
poiché
f (s)R(s) = Wv (s)R(s).
V (s) = R(s) − Y (s) = R(s) − W
Dopo semplici conti si ottiene
R(s) =
e
Wv (s) =
1
s2
s2 + (2 + 10α)s
.
s2 + (2 + 10α)s + 10
Applicando il teorema del valore finale l’errore di inseguimento asintotico v∞ si calcola come descritto sotto:
v∞ = lim sV (s)
s→0
= lim s
s→0
s2 + (2 + 10α)s
1
2 + 10α
=
= 0.37.
2
2
s + (2 + 10α)s + 10 s
10
Soluzione EX 2.
Nota preliminare sulla funzione di sensitività.
In una configurazione a retroazione negativa unitaria come quella proposta nell’esercizio, indichiamo con
3
W (s) la funzione di trasferimento a catena aperta, che coincide con il guadagno di anello a volte indicato
f quella a catena chiusa, ovvero
anche con L(s), e con W
f (s) =
W
W (s)
.
1 + W (s)
La relazione che, in funzione di s e della la sensitività a catena aperta data da
∆W (s)
,
W (s)
f (s) a catena chiusa risulta
fornisce lo scostamento ∆W
f (s) =
∆W
1
∆W (s) f
W (s).
1 + W (s) W (s)
Si noti che si potrebbe anche compattare la formula sopra mediante la definizione di funzione di sensitività
S(s) =
1
.
1 + W (s)
Cosa più importante, si noti che la formula permette anche di calcolare la variazione ∆Y (s) dell’uscita del
f (s). Infatti, si ottiene immediatamente che, se
sistema a catena chiusa a fronte della perturbazione ∆W
l’ingresso è R(s), allora
1
∆W (s) f
∆Y (s) =
W (s)R(s).
1 + W (s) W (s)
Se indichiamo con ∆y∞ il valore dello scostamento quando t → +∞ e assumiamo
R(s) =
µ
,
s
possiamo applicare il teorema del valore finale (se il sistema è stabile) ottenendo
∆y∞ = lim s
s→0
da cui
∆y∞ = µ
1
∆W (s) f µ
W (s) ,
1 + W (s) W (s)
s
1
∆W (0) f
W (0).
1 + W (0) W (0)
Infine, se non vi è alcuna perturbazione del sistema, sempre applicando il teorema del valore finale, l’uscita
asintotica y∞ risulta
f (s) µ = µW
f (0).
y∞ = lim sW
s→0
s
Allora, otteniamo anche
∆y∞
1
∆W (0)
=
y∞
1 + W (0) W (0)
(si noti che la dipendenza dall’ampiezza µ dell’ingresso r(t) è sparita).
Il primo punto dell’esercizio è ora un’applicazione immediata di quanto illustrato sopra. Otteniamo
S(s) =
1
s+α
=
,
1 + W (s)
s + α + Ka K
4
e quindi, visto che
∆W (0)
∆K
=
= 0.1
W (0)
K
si ha
1
∆W (0)
∆y∞
α
=
=
0.1.
y∞
1 + W (0) W (0)
α + Ka K
Imponendo la specifica
0.001 =
1
∆W (0)
∆y∞
α
=
=
0.1,
y∞
1 + W (0) W (0)
α + Ka K
otteniamo la relazione richesta:
Ka = 99
α
.
K
Riguardo al secondo punto, in catena chiusa
Y (s) =
W (s)
1
R(s) +
D(s),
1 + W (s)
1 + W (s)
con
W (s) =
100
.
s+1
Si ha quindi
Y (s) =
100
0.1(s + 1)
+
.
s(s + 101) s(s + 101)
Tramite la decomposizione di Heavyside, infine si ottiene
y(t) =
100
0.1
(1 − exp(−101t)) +
(1 + 100 exp(−101t)), t ≥ 0.
101
101
A catena aperta, con ora
W (s) =
1
,
s+1
si ha
Y (s) = W (s)R(s) + D(s) =
1
0.1
+
.
s(s + 1)
s
La soluzione nel tempo risulta
y(t) = 1 − exp(−t) + 0.1, t ≥ 0.
Soluzione EX 3. La funzione di trasferimento che lega R(s) ad E(s) risulta pari a
f (s) = 1 −
1−W
Poichè
W (s)
s(s + 5)
= 2
.
1 + W (s)
s + 5s + 6
1
R(s) = ,
s
otteniamo
s+5
.
+ 5s + 6
Sfruttando la decomposizione di Heavyside, otteniamo anche
E(s) =
E(s) =
s2
3
2
−
,
s+2 s+3
5
da cui
e(t) = 3 exp(−2t) − 2 exp(−3t), t ≥ 0
e
e2 (t) = 9 exp(−4t) + 4 exp(−6t) − 12 exp(−5t), t ≥ 0.
Calcoli integrali elementari ora forniscono
Z +∞
e2 (t)dt =
0
9 2 12
31
+ −
= .
4 3
5
60
Soluzione EX 4. Sfrutteremo il principio del modello interno che, in una configurazione a retroazione
negativa unitaria, lega l’ordine g del polo in zero della funzione di trasferimento W (s) a catena aperta con
l’errore di inseguimento asintotico e(t) = r(t) − y(t). A tale scopo, poiché la funzione di trasferimento a
catena chiusa è
f (s) = W (s) ,
W
1 + W (s)
otteniamo
W (s) =
s2
K(s + z)
.
+ (3 − K)s + (12 − Kz)
Si noti poi che
1
.
s3
Dalla teoria, è noto allora che se W (s) ha un polo di ordine almeno g = 3 in zero, l’errore di inseguimento
e∞ è nullo. Se g = 2, esso risulta invece diverso da zero ma non divergente. L’esercizio richiede proprio di
imporre quest’ultima configurazione. È immediato notare allora che, scegliendo
R(s) =
K = 3,
z = 4,
si ottiene
3(s + 4)
.
s2
Ad ulteriore verifica, si noti che la funzione di trasferimento da R(s) a E(s) con K = 3 e z = 4 risulta
W (s) =
f (s) =
1−W
1
s2
= 2
.
1 + W (s)
s + 3s + 12
Usando il teorema del valore finale, si ottiene
e∞ = lim s
s→0
s2
1
1
= .
2
3
s + 3s + 12 s
12
Soluzione EX 5. La funzione di trasferimento che lega il disturbo D(s) a E(s) risulta
1
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
=
.
1 + W (s)
(s + 1)(s + 2)(s + 3) + K
Se il sistema è stabile, visto che che D(s) = 1/s, l’errore a regime si ottiene come
e∞ = lim s
s→0
1
1
,
1 + W (s) s
6
da cui
e∞ = lim
s→0
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
6
=
.
(s + 1)(s + 2)(s + 3) + K
6+K
La soluzione è quindi il più grande K tale che il sistema risulti stabile. Il polinomio che determina la stabilità
della funzione di trasferimento a catena chiusa (e anche della funzione di trasferimento che lega il disturbo
D(s) a E(s)) è
(s + 1)(s + 2)(s + 3) + K.
Applicando il criterio di Routh otteniamo la tabella
3 |
1
11
2 |
6
60 − K
6
6+K
6+K
1 |
0 |
Si ha stabilità per K < 60. Si noti quindi che non esiste un valore ottimo per K, nel senso che è preferibile
prendere un valore il più prossimo possibile a 60.
Nota: tale misura di ottimalità fa riferimento unicamente a una prestazione statica, ovvero al fatto che se
K tende a 60 l’errore a regime diventerà sempre più piccolo. Comunque, una scelta di K prossimo a 60 può
portare a dinamiche assolutamente insoddisfacenti poiché il sistema tende a diventare instabile: intuitivamente, il riferimento sarà raggiunto sempre più lentamente al crescere di K, favorendo anche l’insorgenza
di oscillazioni.
7