Corpi in caduta…

Corpi in caduta…
La legge h(t)= -gt2 /2 + h0 descrive come varia la distanza
dal suolo di un corpo pesante che nel vuoto cade da
un’altezza h0 con una velocità iniziale nulla.
a) Qual è il dominio della funzione h(t)?
Risposta: poiché h(t) rappresenta una distanza, si deve
imporre h(t)≥0, dunque gt2 /2 ≤ h0 da cui t2 ≤ 2 h0 /g, e
quindi 0≤ t ≤ sqr(2 h0 /g)
b) Quanto tempo impiega il corpo a toccare terra?
Risposta:il corpo tocca terra se h(t)=0, dunque per t =
sqr(2 h0 /g)
Corpi in caduta…
c) Il tempo che impiega il corpo per toccare terra è una
funzione dell’altezza da cui viene lasciato cadere?
Risposta: Sì, è in funzione di h0
d) Se il corpo impiega esattamente T secondi per cadere,
quale deve essere l’altezza iniziale?
Risposta: in tal caso h0 = gT2 /2
Corpi in caduta…
La legge h(t)= -gt2 /2 + v0t + h0 descrive come varia la
distanza dal suolo di un corpo pesante che nel vuoto
cade da un’altezza h0 con una velocità iniziale v0 .
(moto uniformemente accellerato)
(g=9.8 ms-2 accellerazione di gravità)
Se il corpo è lanciato verso l’alto con velocità iniziale di
20m/sec da una altezza di 30 m, determina:
• A che altezza si troverà il corpo dopo un secondo?
Risposta: h(t) = -9.8t2 /2 + 20t + 30 , dunque h(1)= -4.9
+50 = 45.1 m
Corpi in caduta…
• Quale sarà la massima altezza raggiunta dal corpo?
Risposta: Le coordinate del vertice della parabola grafico
di h(t) sono circa (2, 50.4); poiché la parabola ha la
concavità rivolta verso il basso, la quota 50.4 è la
massima altezza che il corpo raggiunge.
• Dopo quanto tempo il corpo toccherà terra?
Risposta:Si pone h(t) = -9.8t2 /2 + 20t + 30 =0 , risolvendo
questa equazione di II grado, si sceglie la radice
positiva, ottenendo t =(10 + sqrt(247))/4.9≈5.25 s
Corpi in caduta…
Siete affacciati alla finestra nell’istante in cui, da un piano
superiore, viene lanciato un vaso di gerani verso il
basso con velocità di 1m/s
Supponendo che il punto da cui comincia a cadere il vaso
sia 4 m al di sopra delle vostre spalle e che le vostre
braccia siano lunghe un metro, quanto tempo avete a
disposizione per afferrare il vaso, ipotizzando che
potete prenderlo solo nell’intervallo di tempo in cui si
trova tra un metro al di sopra e un metro al di sotto
delle spalle?
Corpi in caduta…
Risposta: La distanza tra le spalle e il vaso cambia con la
legge d(t)= -gt2 /2 + v0t + h0 che, in questo caso, è
d(t)= -4.9t2 - t + 4 , dove d è positiva se il vaso è più in
alto delle spalle, negativa se è più in basso. Gli istanti
di tempo in cui è possibile afferrare il vaso sono quelli
per cui sono soddisfatte le disequazioni
-1 ≤ d(t) ≤ 1
La prima disequazione -4.9t2 - t + 4 ≥ -1, è equivalente a
4.9t2 + t - 5 ≤ 0, che ha soluzioni
(-1-sqr(1 +98))/9.8 < t <(-1 + sqr(1+98))/9.8. Poiché t deve
essere positivo la soluzione è 0<t <(-1 +3sqr(11))/9.8
Corpi in caduta…
L’altra disequazione -4.9t2 - t + 4 ≤ 1 è equivalente a
4.9t2 + t -3 ≥ 0, che ha soluzioni t<-(1+sqr(1+58.8))/9.8 e
t>(-1 + sqr(1+58.8))/9.8. Poiché t deve essere positivo,
solo t>(-1 + sqr(1+58.8))/9.8 va bene.
Tenendo conto di entrambe le disequazioni, si ha che
l’intervallo di tempo in cui possiamo afferrare il vaso è
[(-1 + sqr(1+58.8))/9.8, (-1 +3sqr(11))/9.8 ]≈[0.69, 0.91]
Il tempo a disposizione è quindi circa 2.2 decimi di
secondo
Indice di massa corporea
IMC è un indice biometrico usato per determinare se un
individuo ha peso vicino alla norma
Indichiamo con p il peso in kg di un individuo e con h la
sua altezza misurata in m, si ha
IMC =p/h2
L’Organizzazione Mondiale della Sanità considera obesi
gli individui con IMC>30, sottopeso gli individui con
IMC <18.5 e gravemente magri quelli con IMC<16.
Indice di massa corporea
Per un individuo di altezza 1.70 m, per quali valori di p è
da ritenersi obeso? Per quali valori di p è da ritenersi
gravemente magro
Risposta:obeso se p/(1.7)2 > 30, dunque p>86.7 kg
Gravemente magro se p/(1.7)2 < 16, da cui p< 46.24 kg
Per un individuo che pesa 90 kg, per quali valori della sua
altezza sarà ritenuto obeso?
Risposta: 90/h2 >30, da cui 0<h<1.73 m
Indice di massa corporea
Per un individuo che pesa 40 kg, per quali valori della sua
altezza sarà da ritenersi gravemente magro?
Risposta: h >1.58
Disegna il grafico di IMC in funzione di p, noto h
(…unzione lineare di p)
Disegna il grafico di IMC in funzione di h, noto p
(…unzione tipo f(x)=k/x2 )
Disegna il grafico di h in funzione di p, noto IMC
(funzione radice quadrata…)
Disegna il grafico di h in funzione di IMC, noto p
Alberi che crescono…(Comp.12/4/07 Prof.Abate)
Misuri l'altezza di un albero in funzione del tempo.Quando
hai iniziato l'esperimento (t = 0), l'altezza dell'albero era
di 1.00 m. Dopo una settimana (t = 1) l'altezza
dell'albero era di 1.04 m. Dopo due settimana (t = 2), di
1.10 m. Supponendo che l'altezza dipenda in modo
quadratico dal tempo, trova la funzione che esprime la
crescita dell'albero.
Risposta: Ponendo l’altezza dell’albero h(t) =at2 + bt +c, i
dati assegnati impongono le condizioni
c=1
a+b+1=1.04
4a + 2b +1=1.10, da cui a=0.01, b= 0.03
Alberi che crescono…
Dunque la funzione che esprime la crescita dell’albero è
h(t) =0.01t2 + 0.03t +1
La funzione che hai trovato può rappresentare la crescita
dell'albero anche per tempi precedenti all'inizio della
tua misurazione? A partire da quando? Perchè?
Risposta: Si osserva che 0.01t2 + 0.03t +1 ≥ 0 per ogni t; il
vertice della parabola, grafico di h(t), ha coordinate
(-1.5, 0.9775), la parabola ha la comcavità rivolta verso
l’alto. Poiché il fenomeno descritto riguarda la crescita
dell’albero, la funzione h(t) deve essere crescente,
quindi la funzione ha senso anche per t negativi purchè
t ≥ -1.5.
Umidità nell’aria….
Studiando la percentuale di umidità nell'aria in funzione
dei millimetri di pioggia nella stagione dei monsoni,
giungi alla conclusione che la percentuale U di umidità
dipende dai millimetri di pioggia secondo la funzione
U(x) = 50 + 50(x2 - 1)/(x2 + 1)
Studia la funzione U (anche per millimetri negativi, utile
nei deserti). (Comp 6/6/07 Prof. Abate)
SOLUZIONE: La funzione è definita su R, si osserva che
è pari, quindi il grafico ha come asse di simmetria
l’asse delle ordinate. Inoltre limx→±∞ U(x)=100, si ha
U(0) =0
Umidità dell’aria…