Le Scelte Finanziarie - "PARTHENOPE"

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Le Scelte Finanziarie
S. Corsaro – Matematica Finanziaria – a.a. 2007/08
1
Tasso Interno di Rendimento
Consideriamo un’operazione finanziaria (t0=0):
Posto:
0
t1
t2
. . .
tm
x0
x1
x2
. . .
xm
x = {x0 , x1 ,", xm }
si definisce tasso interno di rendimento (TIR) di x il tasso di
interesse della legge esponenziale conformemente alla quale x
risulta un’operazione finanziaria equa.
2
0
t1
t2
. . .
tm
x0
x1
x2
. . .
xm
richiedere che x sia equa ⇔
richiedere che il suo valore attuale sia nullo:
m
∑ x (1 + i )
k
− tk
=0
k =0
3
In generale:
•non tutte le operazioni finanziarie hanno un TIR;
•il TIR, se esiste, può non essere unico.
Si può dimostrare che
se gli importi di un’operazione finanziaria
cambiano segno una sola volta,
allora l’operazione è caratterizzata da uno ed un sol TIR
4
Tasso Annuo Effettivo Globale
Il Tasso Annuo Effettivo Globale (TAEG) è il costo totale del
credito a carico del consumatore espresso in percentuale annua
del credito concesso. Comprende gli interessi e tutti gli oneri da
sostenere per utilizzare il credito (spese di istruttoria o di apertura
pratica, commissioni).
Il TAEG è il tasso annuo per il quale si ha:
somma dei valori attuali degli importi erogati verso il cliente
=
somma dei valori attuali di tutte le rate di rimborso
Il TAEG è il TIR dell’operazione finanziaria di prestito
5
Esempio
Consideriamo il prestito di 1000 euro, erogato in data
01/01/2001, da rimborsare in data 01/07/2002 con una sola rata
di importo 1200 euro:
01/01/2001
01/07/2002
-1000
1200
Supponiamo che il prestito sia gravato da 50 euro di spese di
istruttoria. La durata del prestito in termini di anni, con la
convenzione dell’anno civile è:
546
≅ 1,49589041
365
6
Esempio
01/01/2001
01/07/2002
-1000
1200
Il tasso di interesse applicato è:
(1 + i )
1,49589041
1200
=
⇒ i ≅ 0,12962038 ≅ 12,96%
1000
Il TAEG è la soluzione dell’equazione:
950 − 1200(1 + i )
−1,49589041
=0
TAEG ≅ 16,90%
7
Scelte finanziarie
Alcuni problemi di decisione in ambito finanziario:
•scelta della più conveniente tra varie possibilità di investimento
•scelta della meno onerosa tra più fonti finanziarie
Più in generale:
scelta della migliore combinazione
di investimenti e finanziamenti
Obiettivo finanziario:
massimizzazione della ricchezza
8
Esempio
Valutazione della convenienza dell’operazione finanziaria:
-1000
0
700
800
1 anno
2 anni
Fissato il tasso di interesse i=10%, l’operatore deve scegliere
tra 2 alternative:
1. impiegare il capitale C disponibile in 0 al tasso i;
2. investire il capitale C disponibile in 0 nell’operazione
considerata.
9
Esempio
-1000
0
700
800
1 anno
2 anni
T
1. impiegare il capitale C disponibile in 0 al tasso i: al tempo T
dispone di
C (1,1)T
2. investire il capitale C disponibile in 0 nell’operazione
considerata: al tempo T dispone di
( C − 1000) (1,1)
T
+ 700(1,1)
T −1
+ 800(1,1)
T −2
10
Esempio
-1000
0
700
800
1 anno
2 anni
T
conviene investire nell’operazione se:
T
T −1
T −2
T
C
−
1000
(1,1)
+
700(1,1)
+
800(1,1)
>
C
(1,1)
(
)
C − 1000 + 700(1,1) −1 + 800(1,1) −2 > C
−1000 + 700(1,1) −1 + 800(1,1) −2 > 0
11
Esempio
-1000
0
700
800
1 anno
2 anni
T
L’operazione è conveniente se il suo valore attuale è >0
−1
−2
−1000 + 700(1,1) + 800(1,1) ≅ 297,52
L’operazione è conveniente
12
Valore Attuale Netto (VAN)
Un metodo di valutazione è basato sul calcolo del valore attuale
dell’operazione finanziaria. Un’operazione x:
t1
t2
t0
. . . tm
x0
x1
. . .
x2
xm
è vantaggiosa se il suo valore attuale è >0:
m
xk
∑ (1 + i )
k =0
tk
>0
la somma dei valori attuali delle entrate è maggiore
della somma dei valori attuali delle uscite
13
Discounted Cash Flow
Il valore attuale di un’operazione finanziaria è una funzione del
tasso di interesse. Tale funzione si chiama Discounted Cash
Flow (DCF):
m
G (i ) = ∑
k =0
xk
(1 + i )
tk
In relazione all’esempio precedente, si ha:
G (10%) ≅ 297,52
14
Criterio del VAN
Consideriamo due operazioni x, y sullo stesso scadenzario:
t0
t1
t2
. . .
tm
x0
t0
x1
t1
x2
t2
. . .
. . .
xm
tm
y0
y1
y2
. . .
ym
Fissato un tasso i, x è più conveniente di y se:
G x (i ) > G y (i )
15
Osservazioni
Il criterio del VAN presuppone la scelta di un tasso di interesse:
•soggettività nella scelta;
•una stessa operazione può apparire conveniente ad un
investitore e non conveniente ad un altro: ciò in virtù delle
diverse condizioni di impiego alternativo che si prospettano.
Il tasso “di indifferenza” è il TIR (eventualmente più di uno);
•il tasso è univocamente fissato Î VAN Generalizzato.
16
Valore Attuale Netto Generalizzato
DCF generalizzato:
G ( i1 , i2 ,..., im ) = x0 +
x1
(1 + i1 )
t1
+ ... +
xm
(1 + im )
tm
Se chi esprime la valutazione impiega mezzi finanziari ai tassi
di mercato, i tassi ik sono quelli individuati dalla struttura per
scadenza dei tassi a pronti:
ik = i (0, tk ) k = 1,..., m
17
Esempio
-1000
0
700
800
1 anno
2 anni
Supponiamo che l’investitore si attenda un costo opportunità del
capitale pari al 10% nel primo periodo e del 12% nel secondo.
Il VANG dell’operazione è:
−1000 + 700 (1.1) + 800 (1.1 × 1.12 ) = 285,714
−1
−1
18
Significato del VAN
Consideriamo un’operazione finanziaria con VAN positivo e
supponiamo che sia possibile cederla ad un prezzo p.
Se non cediamo, la nostra ricchezza in 0 è data dal VAN:
m
xk
∑ (1 + i )
k =0
tk
Cedendo al prezzo p, la nostra ricchezza in 0 è p.
Il VAN è l’importo immediato da ricevere (pagare)
che ha lo stesso effetto sulla situazione finanziaria
dell’operazione considerata
19
VAN sul capitale proprio
-1000
0
700
800
1 anno
2 anni
Supponiamo che l’esborso iniziale dell’operazione sia
parzialmente finanziato dall’esterno: 400 euro sono presi in
prestito da una banca per 1 anno al tasso del 15%.
Come calcolare il VAN?
Dal momento che 400x(1,15)=460, l’operazione di prestito è:
400
0
-460
1 anno
20
Sommando le 2 operazioni finanziarie, dal punto di vista
dell’investitore:
-460+700
400-1000
0
-600
0
800
1 anno
2 anni
240
800
1 anno
2 anni
flussi di solo capitale proprio
21
-600
0
240
800
1 anno
2 anni
Dal momento che l’operazione è espressa in termini di capitale
proprio, possiamo calcolare il VAN al 10%:
−600 + 240 (1,1) + 800 (1,1) ≅ 279,34
−1
−2
Van sul capitale proprio
o
Adjusted Present Value (APV)
22
TIR come criterio di valutazione
Secondo tale criterio, si dovrebbero preferire gli investimenti
caratterizzati da un valore del TIR più alto.
Viceversa, i finanziamenti dovrebbero essere selezionati
cercando il TIR più basso.
Il criterio è corretto
solo se si confrontano operazioni aventi
la stessa struttura finanziaria.
23
Esempio
Consideriamo le 2 operazioni finanziarie:
-1000
0
-1000
0
1100
1 anno
1110
1 anno
E’ immediato notare che la seconda è più conveniente.
Il TIR della I è il 10%, il TIR della II è l’11%.
24
Esempio
Supponiamo che, fissati i tassi, la II operazione duri 2 anni; se
assumiamo che il capitale risultante dalla I operazione venga
impiegato al tasso i=10%:
-1000
0
1100
1 anno
2 anni
1000x(1,11)2
-1000
0
1100x(1,1)
1 anno
2 anni
25
Esempio
Supponiamo che, fissati i tassi, la II operazione duri 2 anni; se
assumiamo che il capitale risultante dalla I operazione venga
impiegato al tasso i=10%:
-1000
0
1100
1210
1 anno
2 anni
1232,1
-1000
0
1 anno
2 anni
26
Esempio
NOTA:
abbiamo assunto che il reinvestimento del capitale risultante
dalla I operazione sia effettuato al tasso interno i=10%
Il criterio del TIR implica l’assunzione di un’ipotesi
forte e poco realistica:
invarianza del tasso di reimpiego
27
Esempio
Supponiamo che il capitale risultante dalla I operazione venga
impiegato ad un tasso i:
1100
-1000
0
1 anno
1100x(1+i)
2 anni
1232,1
-1000
0
1 anno
2 anni
La soluzione i* dell’equazione
1100 × (1 + i ) = 1232,1
è il tasso di indifferenza: se si reimpiegasse al di sotto di tale
tasso, converrebbe la II operazione (e viceversa).
28
Esempio
Un investitore vuole costituire un capitale di 10000 euro in 3
anni. Investe 2500 euro subito ed un importo x dopo 1 anno.
Gli impieghi sono effettuati in regime di capitalizzazione
composta al tasso nominale convertibile semestralmente del
10%.
1. Determinare x;
2. scrivere il DCF di questa operazione di investimento;
3. quanto vale il TIR?
29
Esempio
i1
-2500
-x
0
1 anno
2
10000
3 anni
0,1
2
=
= 0,05 ⇒ i = (1 + 0,05) − 1 = 10.25%
2
−2500 (1 + 0,1025) − x (1 + 0,1025) + 10000 = 0 ⇒ x = 5470,8
3
2
5470,8 10000
G (i ) = −2500 −
+
3
1+ i
(1 + i )
30
Esempio
5470,8 10000
G (i ) = −2500 −
+
3
1+ i
(1 + i )
31
Esempio
n
an
bn
cn
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
0
0
0
0.0625
0.09375
0.09375
0.10156
0.10156
0.10156
0.10156
0.10205
0.10229
0.10242
0.10248
1
0.5
0.25
0.125
0.125
0.125
0.10938
0.10938
0.10547
0.10352
0.10254
0.10254
0.10254
0.10254
0.10254
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.09375
0.10938
0.10156
0.10547
0.10352
0.10254
0.10205
0.10229
0.10242
0.10248
0.10251
f(an)
2029.2
2029.2
2029.2
2029.2
688.08
140.81
140.81
14.822
14.822
14.822
14.822
7.0833
3.2196
1.2892
0.32437
f(bn)
-3985.4
-3184.2
-1756.6
-339.61
-339.61
-339.61
-107.15
-107.15
-46.655
-16.04
-0.64021
-0.64021
-0.64021
-0.64021
-0.64021
f(cn)
-3184.2
-1756.6
-339.61
688.08
140.81
-107.15
14.822
-46.655
-16.04
-0.64021
7.0833
3.2196
1.2892
0.32437
-0.15795
i* = 0,1025
32
Esempio
Un’impresa cede a una banca un credito di 1000 euro a
scadenza 1 anno ed un credito di 2000 euro a scadenza due
anni. La banca accredita subito all’impresa il valore scontato A
dei due crediti, calcolato con una legge di sconto commerciale,
con tasso di sconto d=10%.
1. calcolare A;
2. scrivere l’espressione del DCF dell’operazione dal punto di
vista della banca;
3. determinare il tasso di interesse composto dell’operazione.
33
Esempio
Dal punto di vista della banca:
-A
0
1000
2000
1 anno
2 anni
− A + 1000(1 − 0,1) + 2000(1 − 2 × 0,1) = 0 ⇔ A = 2500
G (i ) = −2500 +
1000 2000
+
1 + i (1 + i )2
Il tasso composto dell’operazione è la soluzione dell’equazione G(i)=0:
i = 11,65%
34
Esempio
Un finanziamento di 10000 euro deve essere rimborsato con 3
rate annue posticipate di ammontare R. Il tasso contrattuale è
del 12% annuo (composto).
1. calcolare R;
2. qualora il finanziatore effettuasse una ritenuta di 100 euro
all’erogazione e maggiorasse le rate di rimborso dell’1% per
spese di incasso, il TAEG del finanziamento salirebbe oltre il
12%. Senza calcolare il TAEG, dire se esso è al di sopra del
tasso soglia fissato dalla normativa anti-usura, pari al 15%.
35
Esempio
10000 = Ra3 0,12
⇒ R = 4163,5
1. Il prestito netto è S=10000-100=9900 euro
2. L’importo della rata maggiorata è:
R = 4163,5 × 1,01 = 4205,1
36
Esempio
G (i ) = −9900 +
4205,1 4205,1 4205,1
+
+
2
3
1+ i
1
+
i
1
+
i
( ) ( )
1. G è decrescente;
2. G (0.15) ≅ −298,81 Î la soluzione dell’equazione G(i)=0 è < 0,15
37
Esempio
Un’impresa dispone di tre crediti di 1000, 2000 e 3000 euro,
disponibili rispettivamente tra 1, 2 e 3 mesi. Li cede ad una banca
che le riconosce il loro valore scontato A, calcolato con legge dello
sconto commerciale con tasso annuo d=9%.
1. calcolare A;
2. il tesoriere sostiene che il costo del finanziamento supera il 12%
annuo composto: dire se ciò è vero o falso.
Dal punto di vista della banca:
-A
1000
2000
3000
0
1 mese
2 mesi
3 mesi
1 ⎞
2⎞
3⎞
⎛
⎛
⎛
− A + 1000 ⎜ 1 − 0,09 × ⎟ + 2000 ⎜ 1 − 0,09 × ⎟ + 3000 ⎜ 1 − 0,09 × ⎟ = 0 ⇒ A = 5895
12 ⎠
12 ⎠
12 ⎠
⎝
⎝
⎝
38
Esempio
G (i ) = −5895 +
1000
(1 + i )
1
12
+
2000
(1 + i )
2
12
+
3000
(1 + i )
3
12
Il VAN al tasso del 12% è: G (0,12) = −25,625 < 0
Il costo del finanziamento a interessi composti è la soluzione dell’equazione
G(i)=0 Î il costo non supera la soglia del 12%
39
Esempio
-1000
0
700
800
1 anno
2 anni
Il TIR dell’operazione è la soluzione dell’equazione:
−1000 +
700
800
+
=0
2
(1 + i ) (1 + i )
Tale equazione ha soluzione i*=31,05%
G è strettamente decrescente
i<i* Î l’operazione è conveniente
i>i* Îl’operazione non è conveniente
40

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