NOTE INTORNO AL TEOREMA DI SHANNON SILVIO DE

NOTE
INTORNO
AL
TEOREMA
DI
SHANNON
SILVIO D E FRANCESCO
Paragrafo
1°
Lo c o n s i d e r a z i o n i elio f a r e m o ci c o n s e n t i r a n n o di m e t t e r e i n evidenza
i fondamenti
del T e o r e m a
S h a n n o n , le c o n d i z i o n i
per la
v a l i d i t à , la n a t u r a d e l l a c o n v e r g e n z a d e l l a f o r m u l a di S h a n n o n ,
r o r e ad essa
sua
l'er-
relativo.
Non è s u p e r f l u o a v v e r t i r e c h e e s s e n d o
le s e g u e n t i
note
redatte
da un t e c n i c o d e l l e T e l e c o m u n i c a z i o n i , esse n o n h a n n o q u e l l i n g u a g g i o
o r t o d o s s o elio si r i c h i e d e dai m a t e m a t i c i p u r i :
perciò l'autore
chiede
lin da q u e s t o m o m e n t o v e n i a e c o m p r e n s i o n e . A v v e r t i a m o i n o l t r e c h e
v e r r à spesso u s a t o il s i m b o l o F ) ( / ( f ) { p e r e s p r i m e r e la t r a s f o r m a t a di
F o u r i e r della f u n z i o n e del t e m p o e n t r o parentesi a graffa
ili v a r i a b i l e r e a l e ) , n o n c h é il s i m b o l o F
)F(co)j
1
| funzione
per indicare'la
tra-
s f o r m a t a i n v e r s a o a n t i t r a s f o r m a t a di F o u r i e r d e l l a f u n z i o n e Fi co) d i
co, in cui Fico) è la t r a s f o r m a t a di F o u r i e r d e l l a f u n z i o n e /11 ).
Paragrafo
2°
R i a s s u m i a m o b r e v e m e n t e l a d i m o s t r a z i o n e d e l t e o r e m a in d i s c o r so, d a t a d a l l o S h a n n o n stosso n e l : Proceedings
nications
in
the
presence
of
noise
- gennaio
of the
IRE
-
Commu-
1 9 4 9 , v o l u m e 3 7 , n.
pag. IO. È s u n t e g g i a t o c i ò c h e i n t e r e s s a l e p r e s e n t i
1,
note.
E c c o l ' e n u n c i a t o o r i g i n a r i o del t e o r e m a : se u n a f u n z i o n e /(t) n o n
c o n t i e n e f r e q u e n z e p i ù a l t e di w , essa è c o m p l e t a m e n t e
>e si c o n o s c o n o
di —
2 w
i valori
determinata
c h e essa a s s u m e in istanti s p a z i a t i
fra
loro
o .
l ' i C i ò v a l e q u a n t o a s s e r i r e c h e se u n a f u n z i o n e d e l l a v a r i a b i l e I, f i t ) , è t a l e
che
(—2-
la
sua
trasformata
A-, 2TX. io), d o v e
di
Fourier
(0 = 2 - U ,
F( «> I r i s u l t i
la
funzione
è
limitata
all'intervallo
completamente
c o n o s c o n o i v a l o r i c h e essa p r e n d e in p u n t i spaziati tra l o r o di
d'esistenza
determinata
se
si
196
SILVIO
DE FRANCESCO
Partendo dalle f o r m u l e :
f(t)=
j
F(co)eit0tdco,
F(co)=~
—re
f f ( t ) e - ' " ' dt
[1]
—x
si s u p p o n g a c h e la t r a s f o r m a t a di F o u r i e r di f(tI,
tata a l l ' i n t e r v a l l o
(— 2 n io ,
ossia la F(to') sia limi-
2 n tv).
S i possono a l l o r a s o s t i t u i r e ai l i m i t i del p r i m o i n t e g r a l e d e l l e
le p u l s a z i o n i — 2 ~ w , 2
(re i n t e r o ) o t t e n e n d o
si e f f e t t u i i n o l t r e la s o s t i t u z i o n e f
TZIV:
così la
seguente
n w
[ F
IV
—2
= —
2 ir
espressione:
2jiic
j ( z - \ =
[1]
friend
<o
[2]
mv
Si o s s e r v i c h e q u e s t a r e l a z i o n e h a il 2" m e m b r o u g u a l e , a m e n o
del l a t t o r e 1/4 ti jo al coefficiente e n n e s i m o d e l l o s v i l u p p o i n s e r i e di
Fourier della :
27110
11 (1)
F (to) = S „ C n e
J 2
, ossia c„ = — I
47t w /
F(co)e)^dco
[3]-[4]
Possiamo dunque scrivere:
2 m
j l j ^ l =
"
n co
I F(o>)el2w
do) = 4nwCn
= xu
[5]
— 27110
cioè x„ è u g u a l e a l v a l o r e di f ( t ) n e l l ' i s t a n t e
-" .
2 tv
U n a v o l t a c o n o s c i u t i i coefficienti d e l l a s e r i e di F o u r i e r d e l l a F (w),
questa resta d e t e r m i n a t a e c o n essa l a fu).
sono e g u a l i ai v a l o r i c h e f{t)
Ma poiché detti coefficienti
assume nell'istante generico
— . la j(t)
2w
è c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a t a q u a l o r a si c o n o s c a n o i v a l o r i c h e essa
p r e n d e i n istanti s p a z i a t i tra l o r o di — . Essa p u ò e s s e r e r i c o s t r u i t a
2w
. „
p e r m e z z o di questi v a l o r i u s a n d o f u n z i o n i del t i p o
[6]
2 ~w t
NOTK
INTORNO
AI.
TEOREMA
di s p e t t r o c o s t a n t e n e l l a b a n d a
f u n z i o n e del
DI
SHANNON
197
iv e n u l l o a l l ' i n f u o r i ( 2 ). I n f a t t i u n a
tipo:
sin
2?
7T ( 2
71(2
- R E
tv I — n)
[6'1
wt — n)
L
ha la p r o p r i e t à d ' a s s u m e r e v a l o r i u g u a l i ad / ( — - | negli istanti t =
\2tv)
J
-'—
2 li-
ed ha la stessa a m p i e z z a di s p e t t r o (ossia i n t e r v a l l o di esistenza) di /(/).
Di t a l i f u n z i o n i v e n'è u n a ed u n a sola ( 3 ). Nel caso c h e la f u n zione f(t) sia n u l l a a l l ' e s t e r n o d e l l ' i n t e r v a l l o ( o , 2 ) cioè se essa r a p p r e senta u n s e g n a l e di d u r a t a l i m i t a t a si a v r à :
sin — (2 iti / — n)
L
/(t) = £ „ * „ 1
Ti (2 tv t—
n)
Paragrafo
3°
R i c e r c h i a m o le c o n d i z i o n i n e c e s s a r i e e sufficienti a f f i n c h é la f o r mula di S h a n n o n s ' i d e n t i f i c h i con u n o s v i l u p p o in s e r i e di f u n z i o n i
o r t o g o n a l i ("') c o n v e r g e n t e c o m p l e t a m e n t e in ni. q. ( m e d i a q u a d r a t i c a )
verso /(f). T a l e a s s u n t o p o t r e b b e s e m b r a r e a r b i t r a r i o ; m a se si pensa
clic sono gli s v i l u p p i o r t o g o n a l i q u e l l i c h e a s s i c u r a n o la m i g l i o r e app r o s s i m a z i o n e in ni. q. (e c h e si t r a t t i di ciò r i s u l t a c h i a r a m e n t e dal
citato a r t i c o l o di S h a n n o n ) t a l e r i c e r c a a p p a r e p i e n a m e n t e giustificata.
P e r s e m p l i f i c a r e la s c r i t t u r a
j n \
sin - (2 iv I — n)
J — = ./„ ,
=
\2w)
- ( 2 tvi — n)
(salvo d i v e r s a m e n t e
Ossia
poniamo
sin
te [ l —
\
2 w)
— - = e>„ ,
2 — tv t
—
2 TU
_„ ptr
_„
s]iecificato)
la t r a s f o r m a t a
di
Fourier
della
s u i 2 TI i r t
funzione —
2 TL iv t
, e una t u n z i o n e
ad a n d a m e n t o r e t t a n g o l a r e , l i m i t a t a a l l ' i n t e r v a l l o d'esistenza ( — 2 - io. 2 TI IO).
( : ! ) Nel s e n s o : il cui s p e t t r o sia l i m i t a t o a l l a b a n d a io e
dati dai
« samples » (punti
di
prelievo)
separati
di 1 2 »
che passi p e r i v a l o r i
secondi.
( 4 I Q u e s t a i d e a f u s u g g e r i t a a l l ' a u t o r e d e l l e p r e s e n t i n o t e dal C o m a n d a n t e
cardo
Bignamini
per
mettere
in
luce
la
ragione
dell'intervallo
V: io di
Ric-
prelievo
(lei v a l o r i di /il). R i n g r a z i o II B i g n a m i n i che s p e r o v o g l i a p o r t a r e a t e r m i n e u n interessante s t u d i o sul
significato n u m e r i c o
del T e o r e m a
di S h a n n o n
e
connessi.
57 S I L V I O
198
DE
FRANCESCO
e, c o n s e r v a n d o le ipotesi di cui al p a r . p r e c e d e n t e , c o m i n c i a m o
l'osservare, insieme a l l o S h a n n o n , c h e il sistema
n o r m a l e in ( — o c ,
) | 2 tv
0",, .
con
è orto-
>0. Lo s v i l u p p o in discorso, c h e p r e n d e a l l o r a la
f o r m a X„y„ cr„ e che p u ò a n c h e scriversi
° ([/ 2 w cr„) , sarà orto|/ 2 io
OC
le se
U
y 2 tv
=
/
I f (t) V 2 io a„dl,
ossia se
«
sin 2 7T io f
,/n =
2 io
I f ( t ) a„ dt =
I f(t)
—i
f ^ - d /
(l
n \1
J
I
L
210 )
1
^
R i s e r v a n d o c i di d i m o s t r a r e , al p r o s s i m o p a r a g r a f o , c o m e
del T e o r e m a
nell'ipotesi
(e con a l t r e p r e c i s a z i o n i ) l ' u l t i m a c o n d i z i o n e r i s u l t i ef-
f e t t i v a m e n t e v e r i f i c a t a , n o t i a m o che, se f\t) è a q u a d r a t o s o m m a b i l e in
( — ct> 5
re ) v a l e la l i m i t a z i o n e di Bessel
H à h i
l u n d
'
( c o m e p u ò d e d u r s i dal contesto d e l l a d i m o s t r a z i o n e d a t a da E. W .
Hohson a p r o p o s i t o del T e o r e m a di P a r s e v a l esteso a d u n i n t e r v a l l o
i n f i n i t o ; i n f a t t i n o n essendo p r o v a t o c h e il sistema
c o m p l e t o nel t r a t t o ( — ^ ,
re)
no
( )/ 2 w
a„ \
glianza. P e r il c i t a l o T e o r e m a , c f r . E. W . H o h s o n . T h e T h e o r y
f u n c t i o n s of a real v a r i a b l e . V o i . II,
6 0 - 6 1
x
2a
of
ed. 1 9 2 6 p a r -192, pag. 759-
(«).
D o p o d i c h é , visto c h e il sistema
(—
sia
n v a r r à in g e n e r e il segno di ugua-
,
x
) la serie
Z„ f
n
a„
j \> 2 io
cr,, j
è ortonormale
in
c o n v e r g e r à in ni. q. v e r s o u n a f u n z i o n e
/ ( f i a q u a d r a t o s o m m a b i l e in
( — re ,
x | c h e h a p e r coefficienti di
re
F o u r i e r gli
7 ^ = = ) / (/) | 2 tr a„ al
( p e r il T e o r e m a
y2w
I
— re
R i e s z - F i s c h e r esteso ad i n t e r v a l l o i n f i n i t o ; c f r . il c i t a t o H o b s o n pag.
7 6 1 , 2 p a r 4931.
|/2tc
(®l C f r . a n c h e
ossia
G . VITALI. Geometri,,
3t „„ «
nello
spazio
hilbertiano.
i
NOTK
INTORNO
AI.
TEOREMA
DI
SHANNON
P o i c h é p e r ò n o n è d i m o s t r a t o che il sistema
199
j / 2 w a„ ( è com-
pleto (o chiiisol in ( — "v , se), non può dirsi che f ( t ) sia unica ( c f r .
il citato Hohson pag. 762).
Si noti t u t t a v i a c h e se
j
\
ad Fico), q u a l e
| f (t) | di
è c o n v e r g e n t e (°), a l l o r a
t r a s f o r m a t a di F o u r i e r di f(t),
corrisponde unicamente
la /(ti; se poi v a l e l'ipotesi c h e la F ) f ( t ) \ = /' (co)
tervallo d'esistenza
finito
i — 2 — tv, 2niv),
supposta assoluta i n t e g r a b i l i t à di f(t)
/' ,
./(') =
sia l i m i t a t a all'in-
a l l o r a a causa «li ciò e d e l l a
in ( — - v ) v a l e la
relazione
2 7i i r i ' — -r) ,
sin
./ ( T )
D I
/
7U ( T
[ 1 ]
T)
Icfr. p a r . successivo p e r la dimostrazione).
Ora il secondo m e m b r o di [ 1 ] è la F
di )R{ co; + 2 7 t u ) • F ( co) (
in cui
( 1 per co i n t e r n o a (— 2 — ti', 2 — t i )
A ( co) = !
( 0
»
» esterno »
»
ed
F~L)R(co)'
-
S'"
; segue di qui, p e r l'unicità di /(£) ri-
71
I
spetto ad Fico), che la [ 1 ] v a l e soltanto se sotto il segno d ' i n t e g r a l e
a p p a r e la / e n o n u n ' a l t r a f u n z i o n e c o m e ad esempio /. Ma gli /„ si
ottengono d a l l a I 11 p o n e n d o l = —
: infatti
2 ti'
x
C
' n \
sin 2 - ir | "
U
t |
"
/
-
^
r
.
(z)
sin 2tzu> (
\
2
;-
tv
|
d~
2 IR
(."l O v v e r o
essére
Cfr.
G.
finita
a
variazione
e regolare per t
VITALI
e
G.
limitata
finito
p u r c h é /ini/ U) = o;
f(t)
lieve
ed a n c h e s o m m a b i l e i n q u a l u n q u e t r a t t o
finito.
SANSONE. Moderna
3" ediz. 1 9 5 2 , P a r t e l i , pag.
1634.
teoria
delle
naturalmente
funzioni
di
variabile
reale.
20(1
Sil vio
DE
FRANCESCO
e c a m b i a n d o T in f,
sin 2
TU
n
io 11
2 io
- ' \2w
(F.)=
di
n
( t ®
2w
si c o n c l u d e c h e / ( f ) = /|f| e clic q u i n d i la r i c e r c a t a c o n v e r g e n z a
in
m . q. è c o m p l e t a .
R i a s s u m e n d o , l e c o n d i z i o n i n e c e s s a r i e al n o s t r o a s s u n t o
«I / ( f i a q u a d r a t o s o m m a b i l e in
(—x,
x)
bì F i col l i m i t a t a a l l ' i n t e r v a l l o f i n i t o d ' e s i s t e n z a
c) / ( f i a s s o l u t a m e n t e
integrabile
in
sono:
(— ^ ,
(
-2 — ic, 2 — ir)
x. | o
equivalente
( c f r . n o t a p r e c e d e n t e I.
A l l a b i può sostituirsi la
x
bl ' |I / i f i =
fI ij (~) S—
" ' 2 TI (t
/
—
T)
(17,
, l'on le
considerazioni
che
TI (T — T)
— OC
s a r a n n o f a t t e al p a r a g r a f o successivo. C h e
poi
tali
condizioni
siano
s u f f i c i e n t i s'è già v i s t o dal c o n t e s t o .
Paragrafo
4°
D i m o s t r i a m o o r a q u a n t o p r e a n n u n c i a t o n e l p a r . 3.
X
S e / ( f i è tale che
j
\f(l)\.di
( 7 | c o n v e r g a e c h e F )f(t)
{ = F (co)
X
r i s u l t i l i m i t a t a a l l ' i n t e r v a l l o ( — 2 - io,
2nw)
c o n io
finito
e p o s i t i v o ( 8 ),
a l l o r a v a l e la r e l a z i o n e :
,
r ,
/(») = / /(*)
J
'
sin In w (f — T)
7T(L —
,
T)
( 1 1 V e d i n o t e al p a r . p r e c e d e n t e .
(8)
porsi
la
w
r a p p r e s e n t a la f r e q u e n z a d e l l e o s c i l l a z i o n i
f(t),
perciò
la
condizione
m e n t e a d e r e n t e alla r e a l t à
fisica,
w
non
è
una
sinusoidali
i n cui p u ò
limitazione,
ni a
è
scom-
perfetta-
in cui n o n si c o n c e p i s c o n o f r e q u e n z e n e g a t i v e .
NOTE
INTORNO
AL
TEOREMA
III
201
SHANNON
Dalle f o r m u l e
2xtv
/(t)= J
F (co) e j , u t d co ,
F (co)
con m e t o d o di i t e r a z i o n e si o t t i e n e l ' e q u a z i o n e
un'equazione
(che f o r m a l m e n t e è
integrale)
[I]
—2izw
Osservando
2kw
—ce
che:
ce
(f) e
/ n - j '
UOL ,
1
c/co=
dt
J
lr%
1
R{0ì)t'
II»1
—2r.tr
rJ
t(i>
—jcilt
dt
c/co
se
K (co ) =
1 p e r co i n t e r n o a ( — 2 —
0
»
» esterno »
w,2izw)
»
la [ 1 ] p o t r à p o r s i e g u a l e a
ce
x.
ri R (w) f_L f
J (
—x
[
f
2
—re
x
dl\l
( l )
I
=
F
- i
'
\
R
( w )
[
J_
- 7t '
Ma
«(<o)
7—
2k
/
J
i ( t ) e - ^ d t
F 2 7T
t
( p e r il t e o r e m a d e l p r o d o t t o i n t e g r a l e ) essendo
2 sin 2 7z tv t
f
T
1 { t )
e-'"
1
dt
202
SILVIO
l ' a n t i t r a s f o r m a t a di R(a>)
cosicché:
F
| R (co) J _ f
1
DE
FRANCESCO
J
n t )
F
j f
™ { , - ' \ M d 4
n(t — T)
s i n 2
=
sin 2 7T ir ( ' — T)
—
=
~
V
,
' ^ T
- ( t — T)
c h e è q u a n t o ci p r o p o n e v a m o di d i m o s t r a r e .
O s s e r v a n d o il m e t o d o t e n u t o nel d i m o s t r a r e la [ ] ] , si v e d e che.
essendo
F(co I l i m i t a t a
all'intervallo
d'esistenza
( — 2 7r tv , 2—io)
(e
n u l l a al di f u o r i ) , v a r r à p u r e la r e l a z i o n e
2-tv
^ F(co) e j e "dco =
I" R' (co) F (co)
Ju)' die
—2!tto
dove
,,,
( 1 per co i n t e r n a a ( — 2 ti io'
R (co) = '
(0
» » esterno »
2 7: ir')
con w' > tv, in q u a n t o c o m p a r e s e m p r e sotto il segno di i n t e g r a l e la
funzione
F(co).
Ciò p o r t e r e b b e a c o n c l u d e r e c h e la /(i), n e l l e ipotesi d e l t e o r e m a ,
è s v i l u p p a b i l e in serie c o n v e r g e n t e m e d i a n t e ogni s i s t e m a o r t o n o r m a l e
J
(
]
/ T
u
?
s
TI
^ ( 2 w ' t - n ì l ,
(Lw't — n) )
p u r c h é w'
w. Il sistema c a r a t t e r i z z a t o da w' = w è p e r ò q u e l l o ci•he
p e r m e t t e il p r e l i e v o m e n o f r e q u e n t e di v a l o r i d e l l a f(t), ina p e r con-
verso è quello che offre coincidenze meno f r e q u e n t i tra lo
sviluppo
e la f u n z i o n e s v i l u p p a t a ( c f r . nota ( ') al p a r . 2).
Paragrafo
5°
oc
Partendo dalla formula / ( t ) =
/ f (-)
~ '* " ^
d x e con le
J
n(t — T )
— OO
stesse ipotesi di cui al p a r a g r a f o 4" si p u ò m o s t r a r e c o m e la f o r m u l a
NOTK
INTORNO
AL. T E O R E M A
DI
SHANNON
203
di S h a n n o n < sviluj»i»o di S h a n n o n ) u g u a g l i e f f e t t i v a m e n t e u n a f u n z i o n e
(p (t) t a l e
che:
1
2w
2«>
f<p(T
— t)dT=J(t)
.
Infatti
oc
(
/
sin 2 TI w (t — T) ,
T)
'd
V
( a + l)X
e sin2nw(t
„
T = S „
/
71(1—1)
J
vX
con n i n t e r o , X f i n i t o e c o s t a n t e ;
(n + l)X
sin 2 TI w (t — T) ..
runZTCwQ—c)
J
IIÀ
,R
J
o
71 (t — T)
,
7C(Ì — T)
ma
X
rrsin
=
— T) ,
— ^
2 n w(t — T — n X)
7T(t-T-nX)
per c u i
X
__
/ s i n 2 TI w (I -— T — n X) ,
/(0=s„ /
J
7Z(1 — - —
.
+
nK)
o
O s s e r v i a m o clic p e r X = 1/2 te, l a
s i n 2~. w (t — - n X)
~ (f
7
« X)
/(T+reX)
per il t e o r e m a di S h a n n o n , è c e r t a m e n t e c o n v e r g e n t e in ni. q. c o m p l e tamente verso 2 i c f ( t — - J
e q u i n d i , a m m e s s a la p e r m u t a b i l i t à
o p e r a t o r i £ e n e l n o s t r o caso, c i o è c h e
.'
j =
j - 2 p o t r e m o ssec r i v e r e
— ( / — t — nX)
7c w (t
[t
t
T
n\)
J (T — 71 X) d T
71 X)
e quindi
r
A
» '
/(t-T)d
T
degli
S I L V I O DE
2(11
A p p a r e o v v i o che q u e s t ' u l t i m a
nota f o r m u l a del v a l o r
FRANCESCO
è una
formulazione
asintotica
della
medio.
È c h i a r o c h e la s o m m a t o r i a in discorso e g u a g l i a a l l o r a l ' a l t r a funzione
X 9 (T — t) t a l e c h e
X
—
X
I
f
(' — T) </T
9
c o n X = 1/2M> :
= / ( I )
da ciò possiamo d e d u r r e c h e l o s v i l u p p o
di S h a n n o n
eguaglia
una
f u n z i o n e 9 |/i tale c h e
1
2 iv
2,v
j <p(t — ~)dParagrafo
= /(/)
6°
i.
Cerchiamo ora d'invertire l'integrale
-—•À
Jo
d o v e con X si indica 1/2 w.
I
<p ( j — T ) d T = /'
C>
C o n u n c a m b i a m e n t o di o r i g i n e , si p u ò p a s s a r e a l l a :
A
2
/(t)= JL
I
+
X
~~ Y
e ponendo
X = 2 a si o t t i e n e :
a
/ ( ' ) = —
/ * ? ( » —
ia
-
+
2 a,/
—a
=
—
F
CP(< — T ) D
t
2tc,/
o
Da q u e s t ' u l t i m e c e r c h e r e m o di o p e r a r e l ' i n v e r s i o n e d e l l o i n t e g r a l e
per due vie :
x
l ) / ( t ) = - L I r(-;
2 a /
-00
— oc, a) 9 ( / — T + a ) ( Ì T
NOTK
INTORNO
AI. TEOREMA
DI
SHANNON
205
«love
( 1 p e r t i n t e r n o a (—oc, a)
r ( t ; — a, a ) = ]
(0
» » esterno «
_ . ,
1
e quindi F ) f ( t ) [ = —
2 y.
2 sin to a
. . . icoa
<I> (co) e J
oj
sin co a
=
co a
.
j(„a
(D (co) e J
,
dove. <J) (co) = /'' } 9 (f) j (;'). I n d i c a n d o con F(co) la F ) J ( t ) j si o t t i e n e :
(D (tó) = F (co) — — —
s i n co a
e
«la c u i F " 1 j <I> (co) j = 9 (t) =
><0a
2r.w
-2tz!
/
w a
v . \
f (fa)) —7
f
si'i fa) a
—jtua j(0t
,
e
tJ
a co
a causa d e l l a n a t u r a F(co) ( l i m i t a t a cioè a l l ' i n t e r v a l l o -—2 —»>,
• ricordando che 2 a = —
2 tv
1
9(0 = —
2
TZ
2tciv)
si h a in d e f i n i t i v a :
n 2a
/ r,
fa)
a
/ meo) —
—iua
e
fe
jo)t ,
a CO
[j]
sin co a
'
—ti '2a
co 01
N o t a n d o clic
è finita n e l l ' i n t e r v a l l o ( — 7c/2a . 7r/2a)
s i n co a
si c o n c l u d e c h e l ' i n t e g r a l e a s e c o n d o m e m b r o d e l l a [ 1 ] è p r o p r i o .
2a
I
)
/(0 = i -
/ 9(t_t)dt
2 a /
o
2a
2
OC
/
2a
_/,(») ( . ) =
(9) In
questa
analisi
« (0 = V2 :
si s o n o
—
I
2 a
'
adottate
le
9 , ( M ) (F —
formule
T) D T
generiche
I G (co) eJ W d co ; G (co) = I g(') e
c o m e si usa spesso n e l l e t r a t t a z i o n i sui
filtri
elettrici.
JU>t
.
di
de ,
trasformazione
SILVIO
206
Ma
fintanto
DE
FRANCESCO
che
9,<")(t — - ) =
—cp x <">(<-T)
e q u i n d i a m m e s s o c h e f ( t ) sia s v i l u p p a b i l e i n s e r i e di p o t e n z e
intere
n e l l ' i n t o r n o di t = o, si h a
2a
j/(t)=Sn/(»)(o)-fl=1l
ni
2cc
I ^
2 a /
o
-
^
-
J
-
S . i l
2 a 1 n!
/
o
I
CpT(n)(_X)dT
Tenendo ora conto che
t
«p<»> ( - T ) d T = [<p<"- 1 )(—T)]o a
avremo
2a
2 a /
2 a (
n!
\
e d e r i v a n d o /(f) r i s p e t t o a f o t t e r r e m o :
/ ' ( t ) = — j 9 ( 2 a ) + . . . . + 9 < - ' > ( 2 a ) —'—T
2 a?
(B-1)/
_
J_ L
2 a (
(o)
+ ....
+
9(n-i) ( o )
(«—1) !
[- J
j
+
+ ... j
)
Ossia, a m m e s s o c h e 9 (t) sia s v i l u p p a b i l e in s e r i e di p o t e n z e
in-
t e r e n e g l i i n t o r n i di 0 e di 2 a , r i s u l t e r e b b e
_/'(,) = _ L
2 a
9 ( t
+
2 a ) - — 9 ( t )
2 a
P r e n d e n d o l a t r a s f o r m a t a di F o u r i e r di q u e s t ' u l t i m a r e l a z i o n e si
ottiene :
_
c o n 0>(co)= F j 9 (t) j ,
_
1
$(W) -
=
da c u i : 0> ( c o ) = F (to)
pi u ) a
°°
sin w a
P—jMa
e
-j
.
M a
NOTE INTORNO
AL
TEOREMA
DI S H A N N O N
207
e quindi
n/2a
t ° a
9(/) = —
I F(co)
e - j M B ej M t d co
2 71 J
.sin co e.
—'ti 2 a
A m m e s s o d u n q u e c h e /(t| sia tale da p e r m e t t e r e t u t t i i passaggi
fin qui usati, s a r e m o o r a in g r a d o di d a r e u n a e s p r e s s i o n e
formale
d e l l ' e r r o r e s i n e r e n t e a l l ' u s o d e l l a f o r m u l a di S h a n n o n e c i o è :
:t 2a
c = f ( t ) — 9 ( 0 =•/<') — —
I F ( t ù ) - ^ — e-j»*
2 TI J
sin co a
—;t 2a
=
1
—
' v ^ ^ c o a e - i -
I
F(CO)
2 — '
--TE
( 1
\
E
I«T
D
eÌM,d<o =
W
s i n co a
2A
ovvero, se ci r i f e r i a m o a l l e n o t a z i o n i usate nel t e o r e m a di
— I»
Shannon:
f in co /4
II'
RIASSUNTO
Vengono
dopo aver
inessi
di funzioni
il cui
espressione
formale
dalla
validità
quanto
in evidenza
stabilito
una
spettro
inerente
Tanto
teorema
risulterebbero
del teorema
alla
limitato.
usati.
del
elaborazioni
relativa
risulti
dell'errore
dei passaggi
la dimostrazione
successive
i fondamenti
proprietà
Viene
allo
di
trasformata
pure
sviluppo,
la proprietà
data
Fourier
ricercata
una
limitata
però
esposta
di Shannon
Shannon,
di
al par.
al par.
4,
3 e le
nuove.
SUMMARY
Tlie
ivell-knotcn
case of completi>
formula
convergency
with the aid of a theorem
of the inherent
formulated
eie.
(so far
till
now.
error
therein
as the
of
of
ivhich
is given
are
this
a generaUzed
is proved
in section
accomplislied.
author
theorem
is aieare)
is demonstrated
Fourier's
in section
6, provided
The
arguments
seeni
to have
as
a
expansion,
4. An
expression
that the
hypothesis
of sections
not
been
3, 4
treated