La misura deLLe grandezze fisiche

Transcript

La misura deLLe
grandezze fisiche
focal point/Shutterstock
1
prima di cominciare, te lo ricordi?
come fare per
moltiplicare o dividere un numero per
come fare per
risolvere una proporzione.
una potenza di 10.
Se n è un numero intero positivo, si indica con 10n il prodotto
Una proporzione è l’uguaglianza di due rapporti:
10 × 10 × 10 … n volte
medi
Con 10−n si indica invece il reciproco di 10n, cioè
10 -n =
1
10 n
Quando si moltiplica un numero per 10n, la virgola viene
spostata a destra (se n è positivo) o a sinistra (se n è negativo)
di un numero di posti uguale all’esponente del 10.
esempio
a:b=c:d
123,456 × 102 = 12345,6
estremi
Se non conosciamo uno dei valori possiamo sfruttare il fatto che il prodotto dei medi (b × c) è uguale al prodotto degli
estremi (a × d).
esempio
123,456 × 10−2 = 1,234 56
10 : x = 30 : 3
x ∙ 30 = 10 ∙ 3
30x = 30
esercizio
x=1
▶ Risolvi le seguenti operazioni:
1,12 × 102 = ...................................
3
0,634 × 10 = ...................................
−1
esercizio
▶ Risolvi le seguenti proporzioni:
161,4 × 10 = ...................................
x : 15 = 8 : 5
4 : 7 = z : 35
78,39 × 10−2 = ...................................
3 : y = 9 : 21
5 : 11 = 20 : x
1
in teoria
1
La fisica e iL mondo
dalla filosofia naturale alla scienza
Da sempre gli esseri umani osservano l’Universo che li circonda e cercano di
comprenderne i segreti: il moto degli astri, l’alternarsi delle stagioni, la forza del
vento e dell’acqua, le proprietà della materia...
Nell’antichità l’osservazione dei fenomeni naturali era considerata una branca della filosofia, e a occuparsene erano grandi filosofi come Parmenide, Pitagora e Aristotele.
Fino al XIX secolo ciò che oggi chiamiamo scienza prendeva il nome di filosofia naturale [fiGUra 1] e comprendeva le moderne fisica, chimica e biologia.
galileo e il metodo sperimentale
Il padre della moderna scienza è lo scienziato pisano Galileo Galilei (15641642). Prima di lui altri studiosi, come Copernico e Keplero, avevano fatto scoperte importanti, ma fu Galileo il primo ad accompagnare alle scoperte l’enunciazione dei principi del metodo scientifico, detto anche metodo sperimentale.
In base a questo metodo le leggi della natura devono essere indagate per mezzo di esperimenti e verifiche, e non dedotte dalle Sacre Scritture o dai testi dei
grandi filosofi del passato. Se un’affermazione non può essere verificata con un
esperimento, essa non può essere accettata [fiGUra 2].
Il metodo sperimentale prevede quattro fasi:
1. osservazione del fenomeno;
3fiGUra 1
L’opera più importante della storia della
fisica: i Principi matematici della filosofia
naturale di Isaac Newton (1642-1727).
2. formulazione di un’ipotesi;
3. verifica sperimentale dell’ipotesi;
4. conclusioni: se l’ipotesi è confermata dagli esperimenti, diventa una legge.
i limiti della fisica: le grandezze fisiche
Compiere un esperimento vuol dire anzitutto effettuare delle misure.
Se per esempio percorriamo un campo a piedi contando i nostri passi, possiamo misurare quante volte una quantità nota (il passo) rientra in una quantità
ignota (la lunghezza del campo): il passo è la nostra unità di misura.
Misurare significa confrontare l’unità di misura scelta con la grandezza
da misurare e contare quante volte l’unità è contenuta nella grandezza.
Tutto ciò che non può essere misurato in questo modo non è una grandezza fisica: le grandezze fisiche sono grandezze oggettive. Se ci chiedono di misurare
quanto è bello un quadro, quanto è simpatica una persona o quanto è romantico un tramonto, dobbiamo rinunciare perché non possediamo l’unità di misura
del romanticismo, della simpatia o della bellezza.
2
Unità 1 La misura delle grandezze fisiche
3fiGUra 2
Galileo mostra il cannocchiale al doge di
Venezia.
fisica e matematica
Ciò che rende la fisica, e in generale la scienza, così potente, è il fatto che una
volta che abbiamo compiuto abbastanza esperimenti e misure siamo in grado
di enunciare delle leggi; le leggi ci consentono di prevedere come si comportano anche oggetti che non possiamo osservare o non abbiamo ancora osservato.
Possiamo prevedere con che velocità una mela arriverà a terra anche prima che
si stacchi dall’albero, o quando passerà la prossima volta la cometa di Halley anche se al 2061 mancano ancora molti anni [fiGUra 3]. Queste leggi sono espresse con equazioni matematiche: per dirla con le parole di Galileo, il grande libro
dell’Universo è scritto in lingua matematica.
1fiGUra 3
La cometa di Halley fotografata durante il
suo passaggio nel 1986.
fisica e tecnologia
Un fisico studia la natura e un ingegnere costruisce le macchine. Può dunque
sembrare che facciano due lavori profondamente diversi. Eppure molte grandi
invenzioni che hanno trasformato il nostro mondo, come l’elettricità, l’automobile, la radio, sono nate nella mente e nei laboratori dei fisici [fiGUra 4]. La conoscenza profonda delle leggi della fisica fa parte del bagaglio indispensabile di
ogni buon ingegnere e tecnico.
3fiGUra 4
Le pile dei nostri PC e cellulari derivano
da quella ideata dal fisico lombardo
Alessandro Volta (1745-1827).
in pratica
Al volo
1
Vero o falso?
a. Nell’antichità la fisica faceva parte della
filosofia.
b. Il metodo scientifico è basato
sull’esperimento.
c. Galileo basava le proprie affermazioni
sull’autorità delle Sacre Scritture.
d. Le leggi della fisica sono scritte in forma
matematica.
V
F
V
F
V
F
V
F
2
Quale delle seguenti non è una grandezza fisica?
a Massa.
B Velocità.
c Simpatia.
d Altezza.
3
Perché la fisica è importante per la tecnologia?
4
Che cosa siamo in grado di fare quando conosciamo
una legge fisica?
3
in teoria
2
Le unità di misura
e iL sistema internazionaLe
ogni Paese ha le proprie unità di misura
In ogni città c’è un mercato, e al mercato chi compra e chi vende ha bisogno di
almeno tre unità di misura: di massa (per frutta, verdura, farina…), di volume
(per vino, olio…) e di lunghezza (per stoffe, corde…).
Fino al XVIII secolo ogni nazione aveva le proprie unità di misura, spesso basate su parti del corpo umano o oggetti di uso comune: si misurava in braccia,
palmi, pollici, passi, pertiche, barili, carri…
Purtroppo queste unità erano tutte diverse, e il braccio fiorentino, per esempio,
non coincideva con quello veneziano [fiGUra 1]. Questo creava una grande confusione nei commerci e anche nelle comunicazioni tra scienziati di diversi Paesi.
Venezia
68,3
m
6 ,3 ccm
68
Firenze
1fiGUra 1
Fino al XVIII secolo non esistevano unità
di misura internazionali valide in tutto
il mondo: al braccio corrispondevano
lunghezze diverse in città diverse.
5
58
58,3
8,3
3 ccm
m
TaBeLLa 1
Grandezze fisiche fondamentali
del Sistema Internazionale
il sistema internazionale
Al tempo della Rivoluzione francese (fine del XVIII secolo) si decise di superare queste differenze e di creare un sistema di unità di misura che avesse fondamenti razionali, come suggerivano le nuove idee dell’epoca, e che fosse universale. Alla base del sistema vennero poste un’unità di lunghezza, il metro, e una
di massa, il kilogrammo.
Nel tempo questo sistema si è perfezionato e arricchito di nuove unità, in
particolare con l’introduzione del secondo come unità di misura del tempo; nel
1978 è definitivamente entrato in vigore col nome di Sistema Internazionale di
unità di misura (SI). Esso è utilizzato da quasi tutti i Paesi del mondo, e da tutti gli scienziati [TaBeLLa 1].
Nome
Unità di
misura
Simbolo
lunghezza
metro
m
massa
kilogrammo
kg
tempo
secondo
s
temperatura
kelvin
K
intensità
corrente
elettrica
ampere
A
intensità
luminosa
candela
cd
quantità di
sostanza
mole
mol
fai aTTenzione
grandezze fondamentali e derivate
La TaBeLLa 1 contiene le unità di misura delle grandezze fondamentali. Le altre
grandezze fisiche sono dette derivate e sono ricavate da quelle fondamentali. Per
esempio, la velocità di un oggetto è il rapporto fra la distanza percorsa e il tempo impiegato a percorrerla; l’unità di misura della velocità è quindi il rapporto
fra l’unità di misura della distanza e quella del tempo.
4
Tra le grandezze fondamentali, solo due
hanno un’unità di misura che possiede
come simbolo una lettera maiuscola;
sono le iniziali dei nomi di due
scienziati di cui parleremo in seguito,
Ampère e Kelvin.
Come sono definite le unità di misura fondamentali? Il metro (simbolo m) fu
definito inizialmente come la quarantamilionesima parte della lunghezza del
meridiano terrestre. Il campione del metro fu costruito tracciando due incisioni
su una sbarra di platino e iridio [fiGUra 2]; attualmente tale campione è conservato all’Ufficio internazionale dei pesi e delle misure di Sèvres (vicino a Parigi).
Nel 1983 il metro è stato ridefinito come la distanza percorsa dalla luce nel
vuoto in un trecentomilionesimo di secondo; più precisamente in 1/299 792 458
secondi.
Il kilogrammo (simbolo kg) è definito semplicemente come la massa del cilindro campione di platino e iridio conservato anch’esso a Sèvres. Il cilindro ha
un diametro di base di 39 mm e un’altezza di 39 mm [fiGUra 3].
Il secondo (simbolo s) è stato definito nel corso dei secoli in vari modi basati
sulle oscillazioni di un pendolo o come frazione del giorno o dell’anno. Attualmente lo si definisce in modo molto complesso in base alle transizioni dello stato fondamentale dell’atomo di cesio.
4fiGUra 2
Metro campione in uso fino al 1960.
Bureau International des Poids et Mesures, Sèvres
metro, kilogrammo, secondo
4fiGUra 3
Il kilogrammo campione.
Due grandezze fisiche si dicono omogenee se sono dello stesso tipo; per esempio, sono omogenee due distanze, due temperature, due tempi e così via, mentre non sono omogenee tra loro una distanza e una temperatura, un tempo e una
massa. Quali operazioni fra grandezze fisiche possono essere fatte e quali non
hanno senso?
Possiamo confrontare due grandezze omogenee e stabilire se sono uguali o se
una è maggiore dell’altra:
4 kg > 2,2 kg (confronto di due masse, espresse in kilogrammi)
Possiamo sommare o sottrarre due grandezze omogenee; otteniamo una terza grandezza omogenea alle prime due:
8 m + 5 m = 13 m (somma di due lunghezze, espresse in metri)
7,5 s − 4,1 s = 3,4 s (differenza di due tempi, espressi in secondi)
Possiamo anche moltiplicare o dividere due grandezze omogenee; otteniamo
una nuova grandezza non omogenea alle prime due:
3 m × 4 m = 12 m2 (prodotto di due grandezze omogenee)
3 m : 4 m = 0,75 (rapporto tra due grandezze omogenee)
Osserviamo che il prodotto ha come unità di misura il quadrato dell’unità di
misura di ogni singola grandezza, mentre il rapporto non ha unità di misura.
Non ha senso confrontare due grandezze non omogenee. Inoltre, non ha
significato fare la somma o la differenza fra grandezze non omogenee; per
esempio, non hanno senso le seguenti operazioni:
15 m + 5 kg
Bureau International des Poids et Mesures, Sèvres
Le operazioni tra grandezze fisiche
■
■
■
Te Lo ricordi?
Il simbolo > si legge «maggiore di».
■
12 s − 4 m
■
Si possono fare sia la moltiplicazione sia la divisione fra due grandezze non
omogenee; il risultato è una nuova grandezza che non è omogenea a nessuna di quelle di partenza:
60 m
60
m
2,5 s = 2,5 # s = 24 m/s
5
in pratica
TECNoloGIA
L’importanza della conversione
R. Pearson
NASA
La conversione delle unità di misura da un sistema all’altro
può dare luogo a incidenti anche gravi. Nel 1983 un Boeing 767 della Air Canada in volo da Montreal a Edmonton
rimase completamente privo di carburante a un’altezza di
12 500 m. Durante il rifornimento a terra, infatti, il serbatoio era stato riempito con 22 300 libbre di carburante anziché
con i 22 300 kg richiesti per il volo. L’incredibile errore era dovuto al fatto che proprio in quel periodo la compagnia stava
passando dall’uso del sistema anglosassone al SI.
L’incidente tuttavia non ebbe conseguenze tragiche: grazie alla straordinaria abilità dei piloti l’aereo planò a motori
spenti fino a terra e atterrò sulla pista di una base militare dismessa nella città di Gimli (per questo l’episodio viene ricordato negli annali dell’aviazione come «l’aliante di Gimli»).
Nessuno dei passeggeri a bordo fu ferito seriamente.
Il Boeing dopo l’atterraggio.
Nel 1998 la missione spaziale Mars Climate Orbiter si concluse con la disintegrazione della sonda durante la manovra
di inserimento nell’orbita di Marte. Invece di posizionarsi a
un’altezza di 150 km rispetto alla superficie del pianeta, l’Orbiter finì a una quota di soli 57 km, dove gli attriti dovuti
all’atmosfera più densa lo distrussero.
Il Mars Climate Orbiter nei laboratori della NASA.
L’errore di posizionamento fu causato dai diversi sistemi di
unità di misura utilizzati da due parti del software di navigazione: l’impulso prodotto dai razzi di bordo veniva calcolato dai computer in libbre per secondo e fornito a un altro sistema di un diverso produttore che interpretava i dati come
newton per secondo. Fortunatamente la missione non prevedeva un equipaggio a bordo.
Quanti kilogrammi di carburante furono caricati a
bordo del volo Air Canada?
[10 124 kg]
Al volo
1
2
6
Vero o falso?
a. Il barile era un’unità di misura della massa.
b. Nell’antichità ogni Paese aveva le proprie
unità di misura.
c. Il kilogrammo è un’unità di misura derivata.
d. L’unità di misura del tempo nel SI è l’ora.
Quale delle seguenti operazioni non ha senso?
a 3 m/2 s
c 2 m × 3 m
B 4 kg + 6 kg
d 3 s − 4 kg
V
F
V
F
V
F
V
F
3
Le grandezze fisiche fondamentali sono tra di loro
omogenee?
4
Il braccio veneziano è pari a 0,683 m, mentre il braccio
fiorentino è lungo 0,583 m.
▶ Calcola il rapporto tra il braccio veneziano e il braccio
fiorentino.
[1,17]
5
Quanto tempo impiega la luce a percorrere 2 m?
[2/299 792 458 s]
lezione 2 Le unità di misura e il Sistema Internazionale
Problemi
6
ProblEmA svolTo
unità di misura alternative
I Paesi anglosassoni come Regno Unito e Stati Uniti non hanno mai completamente accettato il SI e continuano a utilizzare
unità di misura diverse: piedi, pollici, libbre e once. Per motivi storici queste unità vengono ancora utilizzate anche nel resto
del mondo in alcuni ambiti, per esempio aeronautico, marino e sportivo.
▶ Aiutandoti con la tabella, converti le seguenti misure in unità del SI:
30 000 ft; 5 ft 9 in; 47,5 mi; 3 lb 2 oz
Unità (sigla)
Grandezza
Valore in unità del SI
piede (ft)
lunghezza
0,3048 m
pollice (in)
lunghezza
0,0254 m
miglio terrestre (mi)
lunghezza
1609,344 m
miglio marino (nm)
lunghezza
1852 m
libbra (lb)
massa
0,454 kg
oncia (oz)
massa
0,0283 kg
ComE sI rIsolvE?
Per convertire in unità del SI è sufficiente moltiplicare le
misure anglosassoni per il fattore di conversione.
30 000 ft = (30 000 × 0,3048) m = 9144 m
5 ft 9 in = (5 × 0,3048) m + (9 × 0,0254) m =
= 1,524 m + + 0,2286 m = 1,7526 m
Se ci sono più unità bisogna prima convertirle
singolarmente e poi sommarle.
47,5 mi = (47,5 × 1609,344) m = 76 443,84 m
3 lb 2 oz = (3 × 0,454) kg + (2 × 0,0283) kg =
= 1,362 kg + + 0,0566 kg = 1,4186 kg
FAI ATTENzIoNE
Il sistema anglosassone di unità di misura è spesso chiamato Sistema Imperiale Britannico. Negli Stati Uniti è in uso
un sistema simile ma non identico.
7
ProblEmA sImIlE
▶ Osserva la tabella e calcola quante once sono contenute in una libbra.
8
Calcola la misura, in unità del SI, della
diagonale di un monitor da 19 pollici.
TECNoloGIA
10
[16,0 oz]
Il kilogrammo campione di Sèvres è un cilindro di
platino e iridio alto 0,039 m.
▶ Se ne tagliamo una fetta alta 0,01 m, quale sarà la massa
di questa fetta?
[0,256 kg]
19"
11
Secondo te è possibile sommare tra di loro due grandezze
omogenee ma misurate con unità di misura diverse, per
esempio un metro e un piede?
▶ Come dobbiamo procedere?
12
sPorT ENGlIsh In boxing, the middleweight class has
an upper limit of 154 lb. What is this upper limit in kg?
[0,4826 m]
9
Quale unità di misura otteniamo dividendo 1 m per 1 s?
[69.9 kg]
7
IN TEORIA
3
La misura di sPazi
e temPi
il metro, i suoi multipli e sottomultipli
Il metro è un’unità di misura adatta a misurare molti degli oggetti che ci circondano, però non è pratico per misurare lunghezze molto piccole o molto grandi.
Per queste utilizziamo rispettivamente i suoi sottomultipli e multipli.
Alcuni di questi ci sono familiari: per esempio, per misurare la distanza fra
due città utilizziamo i kilometri, per la lunghezza delle viti i millimetri.
Per alcune misure nel campo della fisica atomica o della biologia dobbiamo ricorrere al nanomètro, che è la miliardesima parte del metro. Per esempio,
i batteriofagi sono organismi che hanno una lunghezza di circa 50 nanometri.
Il metro è poco pratico anche quando si studiano le distanze astronomiche.
In questo caso si utilizza come unità di misura l’anno-luce, cioè la distanza
percorsa dalla luce in un anno; l’anno-luce equivale a 9 460 000 000 000 000 m,
cioè a circa diecimila miliardi di kilometri. Per esempio, la galassia di Andromeda è distante circa 2,5 milioni di anni-luce dalla Terra. L’anno-luce non fa
parte del SI.
Nella TaBeLLa 1 sono riportati alcuni multipli e sottomultipli del metro.
TaBeLLa 1
Multipli e sottomultipli del metro
Nome
Simbolo
Valore in metri
kilometro
km
1000 m
metro
m
1m
decimetro
dm
0,1 m
centimetro
cm
0,01 m
millimetro
mm
0,001 m
micrometro
µm
0,000 001 m
nanometro
nm
0,000 000 001 m
La misura di aree
Poiché 1 cm = 0,01 m, vale anche l’uguaglianza:
(1 cm)2 = (0,01 m)2 = (0,01 m) × (0,01 m) = 0,0001 m2
1 m = 100 cm
(1 m)2 = (100 cm)2 = (100 cm) × (100 cm) = 10 000 cm2
1 cm
1 cm
L’area di una superficie è il prodotto di due lunghezze. Nel SI la lunghezza si
esprime in metri, perciò l’unità di misura delle aree è (metro) × (metro), cioè
metro quadrato (simbolo m2).
Poiché 1 metro equivale a 100 centimetri, in 1 metro quadrato ci sono 10 000
centimetri quadrati [fiGUra 1]. Infatti:
1 m = 100 cm
esempio 1
Se il piano di una scrivania rettangolare ha l’area di 12 850 cm2,
per ottenere l’area in m2 spostiamo la virgola a sinistra di 4 posti:
A = 1,2850 m2
3fiGUra 1
Nella prima riga e nella prima colonna
ci sono 100 quadratini, quindi l’area del
quadrato è di 100 × 100 quadratini,
cioè 10 000 cm2.
Nella fiGUra 2 sono riportate le formule per il calcolo delle aree di alcune figure geometriche.
rettangolo
quadrato
triangolo
trapezio
cerchio
b
h
8
b
l
A=b·h
A=l
2
h
h
b
b·h
A=
2
a
(a + b) · h
A=
2
r
A = π · r2
1fiGUra 2
Aree di alcune figure geometriche.
La misura di volumi
(1 m)3 = (10 dm)3
1 m3 = (10 dm) × (10 dm) × (10 dm) = 1000 dm3
Un metro cubo equivale anche a un milione di centimetri cubi. Infatti:
3
m
1m
0d
=1
1 dm
1 m = 10 dm
L’unità di misura del volume è il metro cubo (simbolo m3), cioè un cubo che
ha lo spigolo lungo 1 metro. Un metro cubo equivale a 1000 decimetri cubi
[figura 3].
1 m = 10 dm
3
1 m = 10 dm
3
(1 m) = (100 cm) = (100 cm) × (100 cm) × (100 cm) = 1 000 000 cm
Valgono anche le seguenti uguaglianze:
3figura 3
Ogni spigolo del cubo contiene 10 cubetti
di lato 1 dm.
1 dm3 = 0,001 m3
1 cm3 = 0,000 001 m3
fai attEnzionE
Se il volume di un libro è V = 0,9 dm3, per esprimerlo in metri cubi dividiamo il risultato per 1000 (cioè spostiamo la virgola a sinistra di tre posti):
V = 0,0009 m3
EsEmpio 2
Un’unità di misura di volume di uso
comune è il litro (L). 1 L = 1 dm3
Per esempio
L’espressione «1 litro» su una bottiglia di
latte indica il volume della bottiglia.
Alcune formule per il calcolo dei volumi di solidi regolari sono riportate nella figura 4.
parallelepipedo
rettangolo
cubo
cilindro
sfera
r
l
r
h
b
Video Misure del volume di un
oggetto
1figura 4
Volumi di alcuni solidi regolari.
c
a
V = l3
V=a·b·c
V = π · r2 · h
V=
4
· π · r3
3
Con un cilindro graduato contenente dell’acqua, possiamo anche calcolare il volume di un solido irregolare. Leggiamo il volume iniziale dell’acqua (Vi), leggiamo il volume finale (Vf) dopo che vi abbiamo immerso l’oggetto [figura 5] e calcoliamo il volume V del solido per differenza:
V = Vf − Vi
La misura del tempo
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura del tempo è il secondo (s).
I multipli del secondo sono:
1 minuto = 1 min = 60 s
1 ora = 1 h = 60 min = 60 × (60 s) = 3600 s
1 giorno = 24 h = 24 × (3600 s) = 86 400 s
Vf
Vi
3figura 5
Misura del volume di un solido per
immersione in un liquido.
fai attEnzionE
Puoi trovare espresso un tempo anche con
cifre decimali. Puoi convertirlo in unità
del SI con una proporzione.
Per esempio
1,2 h = 1 h + 2/10 h = 60 min +
+ 60 × (2/10) min = (60 + 12) min =
= 72 min = 4420 s
9
in pratica
Al volo
1
2
3
Vero o falso?
a. Il metro è pratico per misurare qualsiasi
lunghezza o distanza.
b. In 1 m2 ci sono 100 cm2.
c. L’anno-luce è un’unità di misura per distanze
enormi.
d. Alcuni organismi hanno una dimensione di
miliardesimi di metro.
e. Il m2 è una grandezza derivata.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
lati 20,5 m e 30 m. L’area totale del lago misura 5,42 km2.
▶ Esprimi l’area del lago in m2.
▶ Calcola l’area netta occupata dall’acqua.
[5 420 000 m2; 5 419 385 m2]
4
ProblEmA vIsUAlE La scatola della figura ha la forma di
un parallelepipedo rettangolo.
m
30 c
10 cm
Quale delle seguenti unità di misura vale un milionesimo
di metro?
a millimetro
c kilometro
B micrometro
d nanomètro
In mezzo a un lago c’è un’isoletta di forma rettangolare di
20 c
m
▶ Calcola il volume in cm3, poi esprimilo in m3.
[6000 cm3, 0,006 m3]
ProblEmI
5
ProblEmA svolTo
12 cm
TECNoloGIA
L’area di un dVd
I DVD hanno il diametro di 12 cm, il foro centrale ha un diametro di 1,5 cm.
▶ Calcola l’area della superficie del disco, in unità del SI.
1,5 cm
ComE sI rIsolvE?
■ DATI
■ INCoGNITE
Diametro disco: d = 12 cm
Diametro foro: d1 = 1,5 cm
Area superficie del disco: A2 = ?
Indichiamo con A l’area totale del disco, con A1 l’area del
foro centrale e con A2 l’area della superficie che ci interessa:
Area di un cerchio di raggio r
■ Raggio del disco:
■ Raggio del foro centrale:
■ Area totale del disco in cm2:
■ Area del foro in cm2:
■ Area della superficie A2 in cm2:
■ Spostiamo la virgola di 4 posti a sinistra e otteniamo
l’area in unità del SI, cioè in m2:
6
ProblEmA sImIlE
d
1,5 cm
r1 = 21 =
= 0,75 cm
2
A = π · r2 = 3,14 × (6 cm)2 = 113,04 cm2
A1 = π · r12 = 3,14 × (0,75 cm)2 = 1,766 25 cm2
A2 = A − A1 = (113,04 − 1,766 25) cm2 = 111,273 75 cm2
A2 = 0,011 127 375 m2
Anche i CD-ROM hanno il diametro di 12 cm e un foro di diametro 1,5 cm; il loro spessore è 1,2 mm.
▶ Quanto è lunga la circonferenza del disco in metri?
▶ Calcola il volume del disco in cm3.
10
A2 = A − A1
A = π · r2
d
12 cm
r = 2 = 2 = 6 cm
[0,3768 m; 13,35285 cm3]
lezione 3 La misura di spazi e tempi
7
L’altezza di una scatola è 18 cm, le dimensioni interne
sono 20 cm e 40 cm. La scatola viene riempita con alcuni
dadi a forma di cubo. Lo spigolo di un dado misura 2 cm.
▶ Calcola il volume della scatola e del dado in cm3.
▶ Quanti dadi entrano dentro la scatola?
15
Un cilindro graduato contiene 120 cm3 di acqua.
Immergendovi un cucchiaio, il livello dell’acqua sale fino
a 180 cm3.
▶ Calcola il volume del cucchiaio in cm3.
▶ Esprimi il volume in m3.
[60 cm3; 0,000060 m3]
[14 400 cm3, 8 cm3; 1800]
8
9
10
11
Completa le seguenti uguaglianze, scrivendo al posto dei
puntini il numero corretto.
▶ 1,2 km = ............................................................ m
▶ 1,2 dm = ............................................................ m
▶ 510 cm = ............................................................ m
▶ 510 mm = ............................................................ m
▶ 510 nm = ............................................................ m
16
[15,7 cm3]
17
Completa le seguenti uguaglianze, mettendo al posto dei
▶ 720 cm2 = ............. m2
34 dm2 = ............. mm2
▶ 1,5 km2 = ............. m2
70 km2 = ............. cm2
Completa le seguenti uguaglianze, mettendo al posto dei
▶ 1,5 km3 = ...................... m3 400 cm3 = ...................... dm3
▶ 720 cm3 = ..................... m3 300 mm3 = ...................... cm3
Un foglio formato A4 (quello che si usa per le fotocopiatrici
e per le stampanti) misura 210 mm × 297 mm.
▶ Trasforma le dimensioni in centimetri.
▶ Calcola l’area del foglio in cm2.
▶ Esprimi l’area in unità del SI.
Un bicchiere cilindrico, con raggio di 2,5 cm, contiene
una bibita. Nel bicchiere viene immersa una fetta di
limone e il livello della bibita s’innalza di 0,8 cm.
▶ Rappresenta graficamente la situazione.
▶ Calcola il volume della fetta di limone immersa.
Nella pratica quotidiana, il volume di un liquido si
misura anche in litri; il litro, però, non è unità del SI. Vale
la seguente uguaglianza: 1 litro = 1 dm3. Una bottiglia
contiene un litro e mezzo di acqua.
▶ Quanto vale il volume dell’acqua in unità del SI?
[0,0015 m3]
18
All’interno di una fioriera a sezione rettangolare, di lati
0,5 m e 42 cm, cadono 6 mm di pioggia.
▶ Calcola il volume di acqua raccolta in unità del SI e poi
esprimilo in litri.
[0,001 26 m3; 1,26 L]
19
Un bambino mette una sfera di raggio 3 cm in una scatola
metallica di dimensioni (10 cm) × (10 cm) × (5,1 cm). Poi
riempie la scatola di acqua.
▶ Calcola il volume di acqua necessario a riempire la
scatola.
[396,96 cm3]
[21,0 cm, 29,7 cm; 623,7 cm2; 0,062 37 m2]
Un segnale stradale di pericolo ha la forma di un
triangolo di base 60 cm e altezza 52 cm.
▶ Calcola l’area in cm2.
▶ Verifica che, se si dimezzassero le misure di base e
altezza, l’area del triangolo diventerebbe un quarto di
quella originale.
20
[1560 cm2]
13
Una matita è lunga 20 cm. Tenendo fermo un estremo,
viene fatta ruotare su un piano.
▶ Calcola, in cm2, l’area che descrive in un giro completo.
▶ Esprimi l’area in m2.
[1256 cm2; 0,1256 m2]
14
Una biglia ha il diametro di 4 cm e un dado ha il lato di
3 cm.
▶ Quale dei due oggetti ha il volume maggiore?
▶ Calcola la somma dei volumi dei due oggetti
esprimendola in m3.
Un pallone da calcio ha circonferenza esterna di
69 cm e il suo involucro esterno ha spessore 4 mm.
sPorT
Irin-K/Shutterstock
12
▶ Quale volume d’aria contiene il pallone?
[circa 5000 cm3]
21
sPorT ENGlIsh A full size football pitch has a length
between 90 and 120 m, and a width between 64 and 75 m.
A five-a-side football pitch has length between 38 and 42
m, and width between 18 and 22 m.
▶ How many five-a-side pitches can be fitted into a full
size football pitch?
▶ How should they be placed?
[0,000 060 5 m3]
[12]
11
in teoria
4
La misura deLLa massa
La massa e l’inerzia
La massa ci dà la misura di quanta materia è contenuta in un corpo. La massa
di un corpo esprime la sua inerzia, cioè la sua tendenza a rimanere nello stato di
quiete o di moto in cui si trova. A una inerzia maggiore corrisponde una massa
maggiore: più è grande la massa dell’oggetto, più è difficile muoverlo [fiGUra 1].
800 kg
3500 kg
La massa è una proprietà intrinseca dei corpi, non dipende cioè dalle particolari
condizioni in cui essi possono trovarsi. Per esempio, una mela ha la stessa massa
sia che si trovi su un albero sia che si trovi nel frigorifero di casa. La sua massa è
la stessa anche sulla Luna o su Marte o nello spazio fra le stelle.
Nel SI la massa si misura in kilogrammi (kg). Per misurare masse molto piccole o grandi utilizziamo sottomultipli o multipli del kg [TaBeLLa 1]. Per esempio i dosaggi di alcuni medicinali vengono espressi in microgrammi, mentre un
aereo di linea può avere una massa di più di 100 tonnellate.
La bilancia a bracci uguali
Lo strumento che permette di misurare le masse è la bilancia a bracci uguali.
Essa è costituita da un’asta rigida che può oscillare attorno al suo punto centrale. Agli estremi dell’asta sono appesi due piattelli. Quando sui piattelli non c’è
niente, l’asta è ferma in posizione orizzontale: il sistema è in equilibrio. Questo
strumento permette di misurare la massa di un oggetto per confronto con una o
più masse campione [fiGUra 2].
1,5 kg
12
1fiGUra 1
Il furgone di massa 3500 kg è difficile da
muovere. L’utilitaria di massa 800 kg può
essere mossa con più facilità.
TaBeLLa 1
Multipli e sottomultipli del kilogrammo
Nome
Simbolo
Valore in
kilogrammi
tonnellata
t
1000 kg
quintale
q
100 kg
kilogrammo
kg
1 kg
ettogrammo
hg
0,1 kg
grammo
g
0,001 kg
milligrammo
mg
0,000 001 kg
microgrammo
µg
0,000 000 001 kg
fai aTTenzione
La tonnellata e il quintale non fanno
parte del SI; la tonnellata è tuttavia
ammessa.
1fiGUra 2
Nell’immagine di sinistra, la bilancia è in
equilibrio: sui due piattelli non c’è niente.
Nell’immagine di destra, la bilancia è in
equilibrio con 1,5 kg sul piatto di sinistra:
possiamo concludere che le mele hanno
una massa di 1,5 kg.
Se si mette un corpo su uno dei due piattelli, per ripristinare l’equilibrio bisogna
mettere un corpo anche sull’altro. Si dice che i due corpi hanno la stessa massa
quando l’equilibrio del sistema è ristabilito.
La massa è costante?
Se cambiamo la posizione di un corpo, la sua massa non cambia.
La massa complessiva di due sostanze si conserva, cioè rimane la stessa, anche quando le mescoliamo. Per esempio, se sciogliamo 100 g di zucchero in 1 kg
di acqua, otteniamo 1,1 kg di acqua zuccherata (0,1 kg + 1 kg).
La massa si conserva anche nelle reazioni chimiche, dove hanno luogo trasformazioni di sostanze. La conservazione della massa è un principio fondamentale della chimica ed è stato formulato dal chimico francese Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794).
Alcuni esperimenti hanno mostrato che quando un oggetto si muove a velocità molto elevate, prossime a quella della luce (circa 300 000 km/s), la sua massa aumenta. Nella vita quotidiana, però, le velocità dei corpi non sono confrontabili con quella della luce e quindi possiamo ritenere che la loro massa rimanga
la stessa anche quando essi si muovono.
Nelle reazioni nucleari è possibile che la sua massa non si conservi, perché
una sua parte si trasforma in energia. Le stelle, per esempio, brillano grazie alle
reazioni nucleari: ogni secondo grandi quantità di massa sono trasformate in calore ed energia luminosa.
il peso e la massa
Nella vita quotidiana si confonde la massa con il peso. Per esempio, su una confezione di tonno si legge «Peso 80 g». In realtà 80 g è la massa e non il peso.
Il peso è la forza con cui ogni corpo viene attratto verso il centro di un
pianeta e può variare con la posizione nello spazio. La massa è la quantità di materia che costituisce un corpo ed è una caratteristica intrinseca
del corpo stesso.
NASA
Per esempio, un astronauta sulla Luna ha la stessa massa che ha sulla Terra
ma un peso circa 6 volte minore. Questo gli consente di compiere grandi balzi [fiGUra 3].
1fiGUra 3
L’astronauta John Young salta sulla
superficie lunare durante la missione Apollo
16 (anno 1972).
13
in pratica
mATEmATICA
■
Le potenze di 10
■
Potenze con esponente positivo
Se n è un numero intero positivo, con la scrittura
10n
si indica il prodotto 10 × 10 × 10… n volte;
10 è la base della potenza, n l’esponente.
Per esempio,
103 = 10 × 10 × 10 = 1000
105 = 100 000
101 = 10
Per convenzione si ha anche:
100 = 1
■
Proprietà delle potenze
Quando si moltiplicano due potenze di 10, gli esponenti si
sommano algebricamente:
102 # 104 = 102 + 4 = 106
102 # 10-3 = 102 - 3 = 10-1
Dividendo due potenze gli esponenti si sottraggono:
107
7-3
4
103 = 10 = 10
104
4 - ^-2h
= 106
10-2 = 10
Elevando a potenza una potenza gli esponenti si moltiplicano:
(103)2 = 103 × 2 = 106
^10-2h4 = 10^-2 # 4h = 10-8
Potenze con esponente negativo
Con la scrittura
10−n
si indica il reciproco di 10 , cioè per definizione si pone:
1
10-n = 10n
Per esempio,
1
10-2 = 102
■
n
Spostamenti della virgola
Quando si moltiplica per una potenza di 10 si sposta la virgola a destra (esponente positivo) o a sinistra (esponente negativo) di un numero di posti uguale all’esponente:
1,2495 # 103 = 1,2495 # 1000 = 1249,5
1
10 = 103
-3
Esegui l’operazione.
10-3 4
▶b 2 l =?
10
Al volo
Vero o falso?
a. Il peso è una proprietà intrinseca
dei corpi.
b. Più è grande la massa di un corpo, più è
difficile spostarlo.
c. La massa di un corpo si conserva.
d. Nel SI la massa si misura in grammi.
4
ProblEmA vIsUAlE
Prepariamo una torta con questi 3
ingredienti.
V
F
V
F
V
F
V
F
farina
tipo 0
l atte
1 litro
2
3
BU
RR
O
1
Un milligrammo vale:
a mille grammi.
B un millesimo di kilogrammo.
c un milionesimo di kilogrammo.
d mille kilogrammi.
5g
12
▶ Possiamo dire che massa avrà la torta?
▶ Perché?
5
La Terra ha un raggio medio di 6370 km.
▶ Calcola il volume (in m3) supponendo che la Terra sia
una sfera.
[1,082 × 1021 m3]
14
500 g
Un camion di massa 7,5 tonnellate può trasportare un
carico massimo di 5000 kg.
▶ Esprimi la massa del camion in unità del SI.
▶ Qual è la massa del camion a pieno carico?
[7500 kg; 12 500 kg]
lezione 4 La misura della massa
ProblEmI
6
ProblEmA svolTo
espressione numerica con potenze di 10
2,5 # ^104 # 10-2h # ^105 | 102h
compaiono diverse potenze di 10.
^102h4
▶ Calcola il valore dell’espressione applicando le proprietà delle potenze.
Nell’espressione
ComE sI rIsolvE?
Osserviamo che al numeratore c’è un prodotto di potenze e un quoziente di potenze, al denominatore c’è una potenza di
potenza. Svolgiamo le operazioni separatamente.
7
■ Nel prodotto gli esponenti si sommano:
■ Nel quoziente gli esponenti si sottraggono:
■ Nella potenza di potenza gli esponenti si moltiplicano:
105 | 102 = 105 − 2 = 103
■ Indichiamo con x il valore dell’espressione:
x=
(104 × 10−2) = 104 + (−2) = 102
(102)4 = 102 × 4 = 108
2,5 # 102 # 103
2,5 # 102 + 3
=
= 2,5 # 105 - 8 = 2,5 # 10-3
108
108
ProblEmA sImIlE
Indica con y l’espressione che si ottiene scambiando numeratore con denominatore.
▶ Calcola il valore di y.
8
[0,4 × 103]
Risolvi le seguenti operazioni con le potenze di 10:
8
11
3
▶ 10 × 10 = ...........................................
▶ 108 : 103 = .............................................
▶ (108)3 = .................................................
8
3
Dalla superficie di un lago evaporano 2,0 g di acqua al
minuto per ogni m2.
▶ Quanti kg di acqua evaporano, ogni minuto, se la
superficie del lago ha un’area di 2,8 km2?
[5,6 × 103 kg]
2
▶ 10 × 10 × 10 = .................................
12
▶ 108 : 103 : 102 = ....................................
▶ 108 : (103 : 102) = .................................
▶ [(10−1)2]3 = ...........................................
sPorT Per motivi di sicurezza una canoa non può
imbarcare masse superiori a un terzo della massa d’acqua
che serve a riempirla completamente. La canoa vuota ha
massa 12 kg; se viene riempita d’acqua 360 kg.
▶ 10−8 × 103 : 10−2 = .................................
In una pentola ci sono due litri di acqua (1 litro equivale
a 1 kg). Viene aggiunto del sale e la massa dell’acqua
salata risulta uguale a 2,030 kg.
Goodluz / Shutterstock
9
▶ Calcola la massa del sale.
10
Una bottiglia vuota ha una massa di 0,23 kg. Nella
bottiglia vengono messi dello zucchero e 7 decilitri di
acqua (1 decilitro equivale a 100 grammi). La massa
totale della bottiglia è 1,2 kg.
▶ Calcola la massa dello zucchero.
▶ Possono salire a bordo due atleti di 65 kg ciascuno?
13
ENGlIsh A bridge can support a maximum load of
30 000 lb. How many cars with a mass of 800 kg each can
cross the bridge at the same time?
[17]
[0,27 kg]
15
in teoria
5
La densità di una sostanza
La concentrazione della massa
Consideriamo 5 cubi di volume uguale (1 m3) ma costituiti da sostanze diverse
[fiGUra 1]. Se confrontiamo le loro masse, troviamo valori molto differenti. Per
esempio, un metro cubo di ferro ha una massa di 7800 kg, che è quasi tripla di
quella del cubo di alluminio e circa 8 volte quella dell’acqua. Ciò significa che la
materia è più concentrata in certe sostanze che in altre.
ferro
alluminio
acqua
4fiGUra 1
Le sostanze che contengono più massa
sono più dense.
benzina
gas butano
1m
1m
1m
7800 kg
2700 kg
1000 kg
720 kg
1,29 kg
Per questo motivo è utile introdurre una grandezza fisica che dipende sia dalla
massa sia dal volume che occupa una sostanza: questa nuova grandezza si chiama densitˆ. Definiamo la densità in questo modo.
fai aTTenzione
La densità di una sostanza è il rapporto tra la massa e il volume che occupa:
massa
densità = volume
Quando viene definita una grandezza fisica derivata, risulta definita anche la sua
unità di misura. Poiché la densità è un rapporto, anche la sua unità di misura
sarà un rapporto:
La definizione assegna un significato
a una nuova parola (in questo caso
densitˆ) utilizzando altre parole di cui si
conosce il significato.
unità di misura della massa
unità di misura della densità = unità di misura del volume
Nel SI la densità si misura in kg/m3 (si legge «kilogrammo al metro cubo»). Indichiamo la densità con la lettera d.
densità c
kg
m
m3
massa (kg)
m
d= V
volume (m3)
esempio 1
Se un oggetto ha massa 54 kg e occupa un volume di 0,02 m3,
la sua densità vale:
d=
16
54 kg
kg
54
# 3 = 2700 kg/m3
3 =
0
02
,
0,02 m
m
fai aTTenzione
Nel rapporto fra due grandezze si fa il
rapporto tra i valori numerici e quello
fra le unità di misura.
per esempio
Un oggetto che ha massa 10 g e volume
40 cm3 avrà densità
g
10
3
40 × cm3 = 0,25 g/cm
La densità è una caratteristica intrinseca delle sostanze omogenee, cioè una caratteristica che dipende dalla particolare sostanza di cui è fatto un oggetto. Un
filo di rame ha la stessa densità di una grondaia di rame: il filo ha una piccola
massa e un piccolo volume, la grondaia ha una massa più grande e occupa un
volume più grande; però il rapporto fra massa e volume è lo stesso per il filo e
per la grondaia ed è lo stesso per tutti gli oggetti di rame.
Video Determinazione
della densitˆ di un materiale
TaBeLLa 1
Densità di alcune sostanze
Solidi
densità di solidi, liquidi e gas
Nella TaBeLLa 1 sono riportate le densità di alcune sostanze solide, liquide e gassose alla temperatura di 0 °C e alla pressione di 1 atmosfera (la densità di una sostanza varia al variare di pressione e temperatura).
In genere i solidi sono più densi dei liquidi, che a loro volta sono più densi
dei gas. Il solido più denso esistente in natura è l’osmio: 1 m3 di osmio ha una massa di 22 500 kg. Il liquido più denso è il mercurio: 1 m3 di mercurio ha una massa di 13 600 kg.
Poiché le sostanze gassose si comprimono e si espandono molto al variare della temperatura e della pressione, la loro densità dipende da queste due
grandezze.
In certi casi conviene esprimere la densità in g/cm3. Facciamo la conversione,
tenendo presente che 1 kg = 1000 g e 1 m3 = 1 000 000 cm3.
8900 # 1000 g
8 900 000 g
=
= 8,9 g/cm3
Densità del rame: 8900 kg/m3 =
1000 000 cm3
1 000 000 cm3
come si misura la densità?
Densità (kg/m3)
oro
19 300
piombo
11 400
argento
10 500
rame
8900
ferro
7800
alluminio
2700
Liquidi
mercurio
13 600
glicerina
1260
acqua
1000
olio d’oliva
920
petrolio
790
benzina
720
Gas
ozono
2,22
ossigeno
1,43
aria
1,29
metano
Distinguiamo i tre casi: solido, liquido e gas.
elio
Solido
idrogeno
0,72
0,178
0,09
Se si conosce la formula per il calcolo del volume del solido:
si misurano le dimensioni e si calcola il volume V;
■
■
■
si misura la massa m con una bilancia;
■
■
■
si misura la massa m con una bilancia;
m
si calcola la densità con la formula d = V .
Se non si conosce la formula del volume:
si misura il volume come descritto a pagina 9;
m
si calcola la densità con la formula d = V .
Liquido
La densità di un liquido si misura in questo modo:
si mette il liquido in un cilindro graduato e si misura il volume V che occupa;
■
■
■
■
■
si misura la massa del cilindro con il liquido (m1);
si misura la massa del cilindro vuoto (m2);
si calcola la massa del liquido (m = m1 − m2);
m
si calcola la densità del liquido mediante la definizione: d = V .
Gas
Per misurare la densità di un gas si compiono operazioni analoghe a quelle compiute per i liquidi. Naturalmente il cilindro deve essere ermeticamente chiuso.
STORIA DELLA FISICA
Oro o non oro?
Nel III secolo a.C. il sovrano di Siracusa
Gerone acquistò una corona, ma voleva
essere sicuro che fosse davvero tutta d’oro.
Non sapendo come risolvere la questione,
si rivolse al grande scienziato Archimede
(287 a.C. - 212 a.C.).
Archimede mise la corona su un piatto della
bilancia, e sull’altro piatto pose un pezzo
d’oro puro della stessa massa della corona
in modo che la bilancia fosse in equilibrio.
Poi immerse i due oggetti in un recipiente
graduato pieno d’acqua e vide che i volumi
dei due oggetti erano diversi. Se la corona
fosse stata d’oro puro, avendo la stessa
massa del pezzo d’oro, avrebbe dovuto avere
anche lo stesso volume.
Poiché i due volumi erano diversi, Archimede
concluse che i due oggetti non erano fatti
dello stesso materiale, dimostrando la
disonestà dell’orefice.
17
in pratica
mATEmATICA
Le formule inverse
Tutte le formule che abbiamo studiato possono essere invertite per ricavare uno qualsiasi dei termini che vi compaiono,
noti gli altri.
■
Formule con prodotti e quozienti
Consideriamo per esempio la formula della densità:
m
d= V
Per ricavare m dobbiamo moltiplicare a destra e sinistra per V:
m
d ·V = V ·V " d ·V = m
Poiché vale la proprietà simmetrica dell’uguaglianza (se x = y
allora anche y = x) si ha:
m = d ·V
Analogamente possiamo ricavare V dividendo a destra e a sid
V
nistra per V , cioè moltiplicando per d :
m
V
m V
d· d = V · d "V= d
V + Vi = Vf − Vi + Vi
Semplificando a destra abbiamo:
V + Vi = V f " V f = V + Vi
Data un’uguaglianza, essa non cambia se sommiamo
o sottraiamo la stessa quantità a entrambi i membri.
■
Formule con fattori e addendi
Nelle formule con fattori e addendi dobbiamo applicare le
due regole viste in precedenza. Per esempio ricaviamo m dalla formula: y = m · x + q
Sottraiamo q a destra e a sinistra:
y-q = m·x+q-q " y-q = m·x
Ora dividiamo entrambi i membri per x:
y-q
y-q
y-q
m·x
x = x " x =m"m= x
■
Data un’uguaglianza, essa non cambia se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri per la stessa quantità (diversa da zero).
Formule con quadrati
Ricaviamo il raggio r dalla formula dell’area del cerchio:
A = π · r2
Questa regola è valida quando nella formula compaiono solo
prodotti o quozienti.
■
giungendo la quantità Vi a destra e a sinistra dell’uguaglianza:
Formule con somme e sottrazioni
Sappiamo che il volume V di un solido si calcola con la formula
V = Vf − Vi
dove Vi rappresenta il volume iniziale del liquido contenuto
in un recipiente e Vf il volume dello stesso liquido dopo aver
immerso all’interno del recipiente il solido. Ricaviamo Vf ag-
Dividiamo a destra e a sinistra per π:
A
π · r2
A
2
=
π
π " π =r
Per ricavare r, estraiamo la radice quadrata di ambo i membri:
A
A
A
2
π = r "
π =r"r=
π
L’area di un trapezio di basi B e b e altezza h si calcola
B+b
con la formula A = 2 · h .
▶ Ricava la formula inversa per calcolare h e quella per
calcolare B.
Al volo
18
La densità di un corpo dipende:
A dalla sua forma.
b dalle sue dimensioni.
C dalla sostanza di cui è fatto.
3
V
F
V
F
V
F
4
La formula s = 4,9 · t2 descrive la caduta dei corpi; s
rappresenta lo spazio che percorre il corpo nel tempo t.
▶ Fai le opportune operazioni per ricavare t.
ProblEmA vIsUAlE
I due solidi della figura hanno la
stessa massa m.
4m
0,5 m
m
2
Vero o falso?
a. Due sostanze che hanno la stessa densità
occupano lo stesso volume.
b. Se una sostanza raddoppiasse sia la massa sia
il volume, allora la densità non cambierebbe.
c. Comprimendo una spugna, il volume
diminuisce e la densità aumenta.
1
1
2m
▶ Quale dei due ha densità maggiore?
lezione 5 La densità di una sostanza
ProblEmI
10 cm
5
densità di un liquido
ProblEmA svolTo
20 cm
Un cilindro ha il raggio di base uguale a 10 cm e contiene del liquido fino a un’altezza di 20 cm.
La massa del liquido è 5,0 kg.
▶ Calcola la densità del liquido in unità del SI.
ComE sI rIsolvE?
■ DATI
■ INCoGNITE
Raggio di base del cilindro: r = 10 cm
Altezza liquido: h = 20 cm
Massa del liquido: m = 5,0 kg
Densità del liquido: d = ?
Densità del liquido:
La massa è nota, bisogna calcolare il volume del liquido in m3.
Dato un cilindro di altezza h e raggio di base r:
m
d= V
V = π · r2 · h
■ Dati in unità del SI:
■ Volume occupato dal liquido:
V = 3,14 # ^0,10 mh2 # ^0,20 mh = 0,006 28 m3
■ Densità del liquido in unità del SI:
5,0 kg
m
d = V = 0,006 28 m3 = 796,18 kg/m3
r = 10 cm = 0,10 m; h = 20 cm = 0,20 m; m = 5,0 kg
FAI ATTENzIoNE
Avremmo potuto calcolare il volume in cm3 e avremmo ottenuto V = 6280 cm3. Poi per passare dai cm3 ai m3 avremmo
dovuto dividere per 1 000 000, cioè spostare la virgola di 6 posti a sinistra: 6280 cm3 = 0,006 28 m3.
6
ProblEmA sImIlE
Supponi che nel recipiente del problema precedente ci siano 5,0 kg di acqua (densità 1000 kg/m3).
▶ Quale volume occuperà l’acqua?
▶ A quale altezza arriverà l’acqua?
7
[5000 cm3; 15,9 cm]
sPorT Una racchetta da tennis di alluminio
(densità = 2,7 g/cm3) ha massa 500 g.
▶ Che massa ha una racchetta delle stesse dimensioni
fatta in fibra di carbonio (densità = 1,8 g/cm3)?
[333 g]
8
10
Su una rivista scientifica leggi che la densità media della
Terra è 5,515 g/cm³.
▶ Esprimi la densità in unità del SI.
[5515 kg/m3]
11
Scrivi la formula della lunghezza di una circonferenza di
raggio r.
▶ Ricava la formula inversa che ti permette di calcolare il
raggio.
▶ Ricava il raggio di una circonferenza di lunghezza 2 m.
Un cilindro graduato di diametro 10 cm contiene
200 cm3 di acqua. Un sasso di massa 180 g viene immerso
nell’acqua. Si nota che il livello dell’acqua sale di 0,8 cm.
▶ Calcola l’aumento di volume in cm3.
▶ Qual è la densità del sasso in g/cm3?
▶ Esprimi la densità in unità del SI.
[0,3 m]
9
Un mazzo di chiavi di ferro ha una massa di 156 g.
Cade in un recipiente contenente dell’acqua.
▶ Di quanto aumenta il volume dell’acqua?
[2 × 10−5 m3]
[62,8 cm3; 2,87 g/cm3; 2,87 × 103 kg/m3]
12
A metal cube, with each side 3 cm in length, has
a mass of 72.9 g.
▶ What is the density of the cube?
▶ What metal is the cube made of?
ENGlIsh
[2.7 kg/m3; aluminium]
19
in teoria
6
La notazione scientifica
La notazione scientifica
In fisica abbiamo spesso a che fare con numeri molto grandi o molto piccoli. Per esempio, la distanza Terra-Sole è circa 149 miliardi di metri (149 000 000 000 m), il diametro dell’atomo di idrogeno è circa un decimiliardesimo di metro (0,000 000 000 1 m).
Questi numeri sono scomodi da leggere e ancora più scomodi se dobbiamo
fare dei calcoli. Perciò si preferisce scriverli utilizzando la notazione scientifica.
Nella notazione scientifica, un numero è scritto come prodotto tra un altro numero, maggiore o uguale a 1 e minore di 10, e una potenza di 10.
In altri termini, ogni numero viene scritto nella forma:
a × 10n
dove n è un numero intero positivo o negativo e a è tale che:
1 ≤ a < 10
esempio 1
I numeri 5,97 × 1024 e 1,0 × 10−14 sono scritti in notazione
scientifica. Non lo è il numero 66,7 × 1010, perché 66,7 è maggiore di 1
ma non è minore di 10. Neanche il numero 3,5 × 43 è scritto in notazione scientifica, perché 43 non è una potenza di 10.
Come si esprime il diametro dell’atomo di idrogeno in metri (0,000 000 000 1) in
notazione scientifica?
Il numero deve essere scritto nella forma a × 10n; quindi bisogna trovare il
valore di a e quello di n.
Per trovare a, mettiamo la virgola dopo la prima cifra diversa da zero e scriviamo 1,0. Abbiamo spostato la virgola di 10 posti a destra, cioè abbiamo moltiplicato per 1010.
Per riottenere il numero di partenza dobbiamo moltiplicare per 10−10; quindi
l’esponente n è uguale a - 10 [fiGUra 1].
Possiamo scrivere:
0,000 000 000 1 = 1,0 × 10−10
Come si esprime la distanza Terra-Sole in metri (149 000 000 000) in notazione
scientifica?
Anche in questo caso il numero deve essere del tipo a × 10n. Per trovare a,
mettiamo la virgola dopo la prima cifra e scriviamo 1,490 000 000 00. Abbiamo
spostato la virgola di 11 posti a sinistra: in pratica abbiamo moltiplicato il numero per 10−11. Per riottenere il numero di partenza dobbiamo moltiplicare per
1011; quindi l’esponente n è uguale a 11 [fiGUra 2].
149 000 000 000 = 1,49 × 10
20
11
4fiGUra 1
Spostare la virgola a destra di 10 posti
significa moltiplicare per 1010. Moltiplicando
1,0 per 10−10 si ottiene il numero
0,000 000 000 1.
10 posti a destra
0,000 000 000 1
1,0
10–10
4fiGUra 2
Spostare la virgola a sinistra di 11
posti significa moltiplicare per 10−11.
Moltiplicando 1,49 per 1011 si ottiene il
numero 149 000 000 000.
149 000 000 000
1,49 000 000 000
11 posti a sinistra
1011
operazioni con la notazione scientifica
Per fare operazioni con la notazione scientifica dobbiamo ricordare le proprietà
delle potenze di 10 (pagina 14).
Moltiplicazione e divisione
Per moltiplicare (4,2 × 105 m) e (2,5 × 103 m), bisogna moltiplicare fra loro i numeri, le potenze e le unità di misura:
(4,2 × 105 m) × (2,5 × 103 m) = (4,2 × 2,5) × (105 × 103) × (m × m) = 10,5 × 108 m2
Si segue lo stesso procedimento per la divisione:
9 # 105 m
9
105
m
=b
l # b 3 l # a m k = 5 # 102
3
1
8
,
1,8 # 10 m
10
Addizione e sottrazione
Se le potenze di 10 sono uguali, si mette in evidenza la potenza:
7 × 104 m + 2 × 104 m = (7 + 2) × 104 m = 9 × 104 m
Lo stesso metodo si utilizza per la sottrazione:
6,5 × 104 m − 4,3 × 104 m = (6,5 − 4,3) × 104 m = 2,2 × 104 m
Se le potenze non sono uguali, bisogna trasformare una delle due grandezze in
modo che le potenze siano identiche, come negli esempi che seguono.
5 × 103 m + 2 × 104 m = 5 × 103 m + 20 × 103 m = 25 × 103 m = 2,5 × 104 m
Elevamento a potenza
Per elevare a potenza il valore di una grandezza, si elevano allo stesso esponente
il numero, la potenza di 10 e l’unità di misura. Per esempio:
(5,0 × 103 s)2 = (5,0)2 × (103)2 × (s)2 = 25 × 106 s2 = 2,5 × 107 s2
Radice quadrata
Per estrarre la radice quadrata di una grandezza, si estrae la radice quadrata di
ogni elemento della grandezza. Estraiamo la radice quadrata di 9,0 × 104 m2:
(9,0 # 104 m2) = ^ 9,0 h # ^ 104 h # ^ m2 h = 3,0 # 102 m
L’ordine di grandezza
fai aTTenzione
radice quadrata ed elevamento al
quadrato sono operazioni inverse.
per esempio
m2 = m
32 = 3
fai aTTenzione
Se stiamo considerando una misura,
dobbiamo riportare accanto alla potenza
di 10 anche l’unità di misura della
grandezza fisica.
L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 più vicina al numero stesso.
Per esempio, la distanza Milano-Napoli è circa 800 km. Questa distanza è maggiore di 102 km e minore di 103 km, ma è più vicina a 103 km: perciò l’ordine di
grandezza è 103 km (cioè 106 m). Nella TaBeLLa 1 sono illustrati alcuni ordini di
grandezza di varie lunghezze, in metri.
L’ordine di grandezza è utile per due ragioni.
Permette di fare velocemente dei confronti. Per esempio, se la superficie della
Russia ha ordine di grandezza 107 km2 e quella dell’Austria 105 km2, sappiamo che la Russia è centinaia di volte più grande dell’Austria.
TaBeLLa 1
■
■
Permette di valutare velocemente l’attendibilità di un calcolo. Se calcolando
l’altezza media in un bosco di sequoie otteniamo un risultato dell’ordine di
104 m capiamo di aver commesso un errore, perché le sequoie non possono
avere altezza paragonabile a quella del monte Everest.
Ordine di grandezza (m)
diametro della Via Lattea
1021
distanza di Proxima Centauri
1017
diametro del Sistema Solare
1013
diametro terrestre
107
monte Everest
104
sequoia
102
uomo
1
topo
10−2
batterio
10−6
atomo
10−10
21

La misura deLLe grandezze fisiche

Transcript

Documenti analoghi

grandezze fisiche - "mazzini - da vinci"

La misura delle grandezze fisiche

Equazioni dimensionali - Liceo Scientifico "LB Alberti"

NUOVA FORMULA HD

Esercizi Capitolo 1

Densimetro

grandezze fisiche, spazio, tempo - Liceo Scientifico "LB Alberti

cm - liceo wiligelmo

Le grandezze fisiche

come e perchè occorre cambiare forme e modi di fare