Insiemi - Dipartimento di Matematica e Informatica

Insiemi
1. Il detective
E’ stato commesso un crimine informatico attaverso l’e-mail: gli indiziati sono un
matematico, un fisico, un chimico, un medico, un avvocato (!) e un ingegnere. Nessuno
degli indiziati è a conoscenza di quanti e chi siano gli altri.
L’investigatore ha la certezza che l’autore del crimine abbia un solo account di posta
elettronica.
Quando a ciascuno di loro singolarmente viene chiesto di indicare il proprio indirizzo
e-mail da una lista, il matematico obietta:”questa non è una funzione!”.
Allora l’investigatore depenna il matematico dalla lista dei sospetti: perché?
2. Albero genealogico
Consideriamo queste quattro famiglie: Paolo e Luciana sono i genitori di Carlo, Elena
ed Andrea; Francesco, che è il fratello di Luciana, e sua moglie Marta sono invece i
genitori di Eleonora e Claudio; la sorella di Marta, Cecilia, e suo marito Giovanni sono
i genitori di Patrizia, Anna e Fabrizio; infine il fratello di Giovanni, Vincenzo con la
moglie Fulvia sono i genitori di Antonio, Marco, Chiara e Daniela. Sia H l’insieme di
tutte queste persone, e sia H1 = { Luciana, Carlo, Andrea, Elena, Giovanni, Patrizia,
Anna Fabrizio, Vincenzo, Antonio, Marco, Chiara, Daniela }.
La corrispondenza f (x) = fratello di x’ non é un’applicazione: perchè?
Determina il più grande sottoinsieme H2 di H1 in cui f é un’applicazione: adesso
f : H2 → H é un’applicazione iniettiva?
3. Siamo tutti Bartezzaghi?
Sia A l’insieme dei vocaboli della lingua italiana, e siano f1 , f2 : A → IN le applicazioni
che associano ad ogni vocabolo il numero di lettere, rispettivamente di sillabe, che lo
compongono (ad esempio f1 (ra-pa-ce) = 6, f2 (ra-pa-ce) = 3 ).
Sia B l’alfabeto latino e g : B → N l’applicazione seguente:
Sia infine h : A → B l’applicazione che associa ad ogni vocabolo della lingua italiana
la sua iniziale. Tra le figure seguenti individua quali rappresentano un elemento x ∈ A
tale che f1 (x) = (g ◦ h)(x), quali ad un elemento x ∈ A tale che f2 (x) = (g ◦ h)(x).
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4. Interrogazione di geografia
Sia A l’insieme degli attuali capoluoghi di provincia italiani, B l’alfabeto latino e
C = B 2 . Siano poi f : A → B l’applicazione che associa ad ogni elemento di A la sua
iniziale, e g : A → C quella che associa ad ogni capoluogo di provincia la sua targa
automobilistica.
Discutere l’iniettività e la suriettività delle due applicazioni.
L’applicazione g −1 ◦ f coincide con la proiezione di g(C) sul primo fattore; vero o
falso?
5. Premio fedeltà
Un esercizio commerciale pratica una politica di fidelizzazione della clientela consegnando ai clienti una tessera elettronica a scadenza annuale che dà diritto al 5% di
sconto su ogni acquisto successivo alla franchigia dei primi 50 euro di spesa.
Se si suppone ad ogni approvvigionamento di effettuare acquisti per un ammontare
pressochè costante di x euro, qual è il numero no di approvvigionamenti annui che dà
diritto allo sconto?
Se il numero di approvigionamenti annui dà diritto allo sconto, quanto vale lo sconto
complessivo ottenuto all’n-esimo aprovvigionamento?
Prevedendo due approvigionamenti settimanali, se abbiamo cominciato a frequentare
l’esercizio commerciale solo da Settembre, quanto deve essere la spesa media x per
riuscire a raggiugere la frachigia e cominciare ad usufruire dello sconto?
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Funzioni polinomiali, equazioni e disequazioni
1. Fitness; in due è meglio
Carla e Luciano sono una coppia che ha deciso di praticare sport insieme almeno un
paio di volte a settimana. Ora stanno confrontando tra le diverse opzioni offerte da
un grosso impianto sportivo.
Per usufruire del circolo tennistico vengono richiesti 120 euro di iscrizione annuale, ed
il campo da tennis può essere affittato per 15 euro l’ora.
Per frequentare la palestra sono richiesti 50 euro annuali per l’assicurazione e la visita
medica più 250 euro di abbonamento trimestrale.
L’accesso alla piscina invece richiede 60 euro annuali per l’assicurazione e la visita
medica ed ha un costo di 180 euro per ogni pacchetto da 20 ingressi (non nominali e
da usufruire entro l’anno di emissione).
Osserviamo che essendo gli impianti concentrati in una stessa zona, i costi di spostamento sono equivalenti per le tre attività, quindi ininfluenti ai fini del confronto.
Se si rappresentano i costi sostenuti in funzione delle settimane (ipotizzando due
sedute di allenamento per qualsisasi attività scelta in tutte le settimane dell’anno)
quale grafico segue l’andamento di una retta?
Se si rappresentano i costi sostenuti in funzione delle settimane (ipotizzando due
sedute di allenamento per qualsisasi attività scelta in tutte le settimane dell’anno) che
andamento segue la pratica della palestra.
Rappresentare un grafico sovrapposto dei costi
2. Sulle punte
Esiste un capo di abbigliamento femminile che si chiama gonna a ruota; per capirci la
gonna a ruota è la gonna del tutù della ballerina classica.
La gonna a ruota è di fatto un pezzo di stoffa che ha la forma di una ciambella.
Per tagliare questa ciambella, la sarta deve prima tracciare un modello sulla carta (il
cartamodello) e siccome le sarte tagliano la stoffa dopo averla ripiegata in due strati, il
cartamodello ha la forma di mezza ciambella. Per disegnare questa mezza ciambella la
sarta userà il compasso e deve sceglierne lapertura in modo che la mezza circonferenza
che creerà il buco della ciambella sia esattamente metà del giro-vita della ballerina cui
è destinato il tutù.
Nei corsi di taglio e cucito si insegna questa fantasiosa regola per calcolare lapertura
h del compasso
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h = circonferenza vita - 1 cm
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Questo dovrebbe servire a riaggiustare i decimali che si sono trascurati approssimando
π con 3.
Trattandosi di una regola approssimata, con questo metodo la gonna in genere non
verrà perfetta. Calcolare per quale circonferenza vita la regola suddetta consente di
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disegnare un cartamodello perfetto (cioè nel quale la lunghezza vita che si ottiene
è esattamente quella della modella). Introduciamo altre approssimazioni di π : ad
esempio presso i sumeri il valore di π veniva approssimato direttamente da 3; per
i Babilonesi invece valeva lapprossimazione π = 3,125; mentre per gli antichi Egizi
valeva lapprossimazione π =3,1605.
Dunque la sarta sumera, la sarta di M.me Assurbanipal, e la sarta personale della regina Nefertiti avrebbero utilizzato quali formule per disegnare il creta-modello,
rispettivamente il papiro-modello?
3. La bilancia Nella tabella vengono rappresentate le classi di peso in funzione del BMI
(Body Mass Index) il cui valore individuale è dato dal rapporto
BMI =
P
h2
dove P è il peso dell’individuo espresso in Kg, e h l’altezza espressa in metri. Se un
individuo che pesa 70 kg si trova in sovrappeso secondo la tabella del B.M.I. cosa si
può dire della sua altezza?
4. Il suicida Un uomo minaccia di suicidarsi lanciandosi dal cornicione del dodicesimo
piano di un grattacielo. Mentre un amico cerca di trattenerlo vengono avvertite le
autorità. Purtroppo 3s dopo l’arrivo dei vigili del fuoco e l’inizio della sistemazione
del telo, che prevede un tempo pari a 5s, l’uomo sfugge di mano all’amico. Si salverà?
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