Un macro-elemento in grado di cogliere il

Un macro-elemento in grado di cogliere il comportamento nel piano e
fuori piano di pareti murarie
Ivo Caliò, Massimo Marletta, Bartolomeo Pantò
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Università degli Studi di Catania,Viale Andrea Doria 6, 95125 Catania
Keywords: Muratura, macro-elemento, meccanismi di primo modo, vulnerabilità sismica.
ABSTRACT:
La stima della risposta sismica, fino al collasso, di edifici in muratura rappresenta un argomento di grande rilevanza applicativa sia nell’ambito della ricerca che nella più incisiva pratica professionale. Le recenti evoluzioni normative hanno evidenziato la necessità di ricorrere a metodologie di analisi nonlineare per lo studio
della risposta globale dell’edificio insieme ad una valutazione accurata dei potenziali meccanismi di collasso
fuori-piano. Nel presente lavoro, prendendo spunto da una macro-modellazione precedentemente introdotta
dagli autori, limitata allo studio del comportamento nel piano delle murature, viene proposto un nuovo macroelemento tridimensionale, ottenuto come naturale evoluzione del macro-elemento piano, e pensato per la simulazione della risposta della muratura sia nel piano che fuori-piano. L’utilizzo di tale macro-elemento per la
modellazione della risposta sismica degli edifici in muratura vuole essere orientato alla verifica della risposta
sismica degli edifici in muratura attraverso un approccio unitario che consenta di cogliere sia il comportamento nel piano delle pareti murarie che l’eventuale instaurarsi di meccanismi di primo modo senza la necessità di
individuare a priori i potenziali cinematismi di collasso. I risultati riportati nel lavoro costituiscono le prime
applicazioni del macro-elemento tridimensionale proposto la cui efficacia andrà necessariamente verificata
con ulteriori risultati ottenuti sperimentalmente e/o da modellazioni più accurate.
1
INTRODUZIONE
La necessità di effettuare una stima della risposta
di edifici reali di grandi dimensioni, per i quali
l’utilizzo di modellazioni agli elementi finiti nonlineari basati sui legami no-tension risulta estremamente onerosa, ha spinto numerosi gruppi di ricerca
verso la formulazione di modellazioni semplificate
alternative pensate ad hoc per le costruzioni in muratura. Nell’ambito delle modellazioni semplificate un
approccio che consente di ottenere risultati soddisfacenti è il cosiddetto approccio per macro-elementi
[D’Asdia et al. & Viskovic 1996, Braga et al. 1997,
Brencich, & Lagomarsino 1997, Magenes & Calvi
1996, Magenes et al. 2000, Penna et al. 2004].
I modelli discreti o macro-modelli mirano ad una
sostanziale riduzione dell’onere computazionale essendo basati su una modellazione discreta in cui
l’elemento base, o macro-elemento, è concepito per
rappresentare una porzione finita di muratura. Il modello globale della struttura, su cui effettuare le analisi statiche e dinamiche nonlineari, viene ottenuto
per assemblaggio di macro-elementi. Il principale
vantaggio che offre tale approccio è quello di ridurre
considerevolmente il numero dei gradi di libertà rispetto ad una modellazione agli elementi finiti ed
inoltre il comportamento non lineare dell’elemento
base viene generalmente descritto mediante legami
costitutivi definiti in ambito mono-dimensionale.
Tutti i parametri che caratterizzano un macroelemento sono da intendersi come grandezze medie,
l’informazione di ciò che avviene localmente
all’interno della porzione di struttura rappresenta
pertanto una grandezza generalizzata.
Nell’ambito dello studio del comportamento sismico di edifici in muratura, allo stato attuale, questo approccio sembra quello ottimale, in quanto consente di ottenere modelli più raffinati rispetto alle
pionieristiche schematizzazione nonlineari di tipo
POR [Tomazevic 1978], e nel contempo evita di ricorrere all’utilizzo eccessivamente laborioso degli
elementi finiti nonlineari e quindi alla definizione di
un legame costitutivo locale per la muratura, operazione questa che risulta essere molto onerosa a causa
del comportamento non-lineare e alla presenza di
stati tensionali pluriassiali.
Diversi autori hanno sviluppato macro-modelli,
sia a geometria fissa che variabile, capaci di rappresentare un intero pannello murario. Nell’ambito dei
macro-modelli è possibile fare un’ulteriore importante distinzione tra: modelli a telaio e modelli piani.
I modelli a telaio rappresentano una significativa evoluzione del pionieristico metodo POR. Nei modelli a telaio ogni parete muraria dell’edificio, maschi e
fasce di piano, viene schematizza attraverso un telaio equivalente costituito da elementi rigidi connessi
ad aste il cui legame costitutivo non lineare deve essere tale da simulare il collasso della porzione di
muratura che si intende rappresentare. I modelli piani considerano una rappresentazione geometricamente piana dell’elemento murario che viene modellato o attraverso uno schema discreto equivalente
oppure mediante elementi finiti piani suscettibili di
una variazione geometrica. Essi risultano in genere
computazionalmente più onerosi rispetto ai modelli
a telaio, tuttavia consentono una descrizione del
comportamento d’insieme di un intero edificio con
un costo computazionale sensibilmente ridotto rispetto ad una modellazione agli elementi finiti nonlineari.
Nel presente lavoro viene proposto un macroelemento tridimensionale ottenuto dalla evoluzione
di un macro-elemento piano per lo studio degli edifici in muratura [Caliò et al 2004, Caliò et al 2005,
Pantò 2006]. Il modello bidimensionale, pensato per
lo studio della risposta delle pareti murarie nel proprio piano, è costituito da un quadrilatero articolato i
cui vertici incernierati sono collegati da molle diagonali nonlineari e i cui lati sono collegati agli altri
macro-elementi mediante delle interfacce costituite
da un numero finito di molle non lineari con limitata
resistenza a trazione. Tale modellazione è stata applicata a casi di studio reali e confrontata sia con alcuni dati sperimentali resi disponibili nell’ambito
della ricerca specifica [Calvi & Magenes 1994,
Gambarotta & Lagomarsino 1997] che con dati numerici ottenuti mediante più complesse modellazioni
agli elementi finiti non lineari e attraverso altre modellazioni semplificate [Liberatore 2000, Cattari et
al. 2004].
Le modellazioni semplificate basate sull’utilizzo
di macro-elementi piani hanno il limite di non considerare contestualmente l’instaurarsi di eventuali
meccanismi di primo modo associati al collasso fuori-piano delle pareti. Allo scopo di superare tale limitazione il macro-elemento precedentemente introdotto dagli autori è stato modificato attraverso
l’introduzione di una terza dimensione e la necessaria aggiunta dei gradi di libertà che ne descrivono il
comportamento dinamico fuori dal piano della muratura. Tale arricchimento dell’elemento ha determinato un maggiore onere computazionale associato sia
al maggior numero di gradi di libertà che alla necessità di considerare ulteriori elementi non lineari necessari per la descrizione del comportamento fuoripiano. Tuttavia il maggiore costo computazionale
diviene accettabile se si traduce nella possibilità di
verificare l’eventuale instaurarsi dei meccanismi di
primo modo senza la necessità di individuare a priori
i potenziali cinematismi e senza dover ricorrere ai
tradizionali metodi dell’analisi
Sebbene efficacia della modellazione proposta è
ancora in corso di validazione, le applicazioni numeriche riportate nel lavoro mostrano la capacità del
modello di cogliere l’instaurarsi dei meccanismi di
primo modo in un modello globale e senza la necessità di individuare a priori i potenziali cinematismi.
2
IL MACRO-ELEMENTO PIANO E LA SUA
ESTENSIONE IN AMBITO
TRIDIMENSIONALE
Il modello originariamente proposto [Caliò et al
2004] è stato concepito per la simulazione del comportamento delle murature sollecitate nel proprio piano. Esso è rappresentato da un modello meccanico
equivalente pensato per schematizzare una porzione
di muratura mediante un quadrilatero articolato i cui
vertici sono collegati da molle diagonali nonlineari e
i cui lati rigidi interagiscono con i lati degli altri macro-elementi mediante delle interfacce discrete con
limitata resistenza a trazione (figura 1).
Le molle diagonali del quadrilatero articolato
hanno il compito di simulare la deformabilità a taglio della porzione di muratura rappresentata. Nelle
molle ortogonali ai lati del quadrilatero, poste in corrispondenza delle interfacce, è concentrata la deformabilità assiale e flessionale, mentre il meccanismo
di scorrimento è governato da una molla longitudinale. Le molle nonlineari (NLink), nel loro insieme,
consentono la simulazione dei meccanismi di collasso della muratura nel proprio piano. Un aspetto originale del modello proposto è rappresentato dal fatto
che il pannello è interagente lungo ciascuno dei suoi
lati. Tale circostanza è particolarmente utile nella
modellazione delle fasce di piano ed inoltre consente
di modellare una parete di muratura anche attraverso
una mesh di macro-elementi. La possibilità di suddividere l’elemento murario in una mesh di più elementi non è una necessità, come nel caso dei modelli
agli elementi finiti, tuttavia in alcuni casi consente
una descrizione più dettagliata della cinematica.
Data una generica parete muraria, a partire dalla
sua specifica geometria è possibile individuare i
pannelli murari che la compongono, quindi si può
decidere di schematizzare ognuno di essi mediante
un singolo macro elemento oppure suddividerli, tutti
o solo alcuni, in più macroelementi in relazione al
grado di dettaglio che si intende ottenere.
Nella rappresentazione piana il pannello possiede
i tre gradi di libertà associati ai moti rigidi nel piano
a cui occorre aggiungere il grado di libertà che lo
rende articolato. Pertanto per descrivere la cinematica di n pannelli occorre considerare 4n parametri lagrangiani. Come parametri lagrangiani atti a descri-
vere la cinematica nel piano, possono essere
derate le quattro traslazioni di ciascuno dei lati rigidi
lungo la propria direzione ai quali è possibile associare le relative forze duali nel piano. La cinematica
nel piano dell’interfaccia è descritta in modo completo da sei gradi di libertà associati ai gradi di libertà dei lati dei pannelli interconnessi.
Figura 1. Il macro-elemento bidimensionale.
La descrizione del modello fino adesso sviluppato
consente la modellazione di pareti piane attraverso
l’assemblaggio di macro-elementi e la taratura degli
NLink secondo le procedure esposte in [Caliò et al
2004, Caliò et al 2005, Pantò 2006]. La determinazione della risposta sismica tridimensionale di edifici in
muratura, il cui comportamento si può ritenere scatolare, può essere inoltre efficacemente simulata
dall’assemblaggio di pareti piane collegate da diaframmi orizzontali. Tale rappresentazione tuttavia
non consente una completa simulazione della risposta di edifici in muratura soggetti a potenziali meccanismi di collasso di primo modo. Allo scopo di
superare tale limitazione il macro-elemento di base è
stato modificato attraverso l’introduzione di una terza dimensione e la necessaria aggiunta dei gradi di
libertà che ne descrivono il comportamento dinamico fuori dal piano della muratura. A tale arricchimento dell’elemento è associato un maggiore onere
computazionale dovuto sia al maggior numero di
gradi di libertà che alla necessità di considerare ulteriori elementi non lineari necessari per la descrizione
della risposta delle pareti fuori-piano.
3
LA MODELLAZIONE 3D BASATA SU UN
MACRO-ELEMENTO SPAZIALE
Il macro-elemento spaziale rappresenta la naturale evoluzione del macro-elemento piano descritto nel
paragrafo precedente a cui è stata aggiunta una terza
dimensione in direzione trasversale. Esso è stato ottenuto a partire dalla rappresentazione piana aggiungendo i tre gradi di libertà necessari per la descrizione della risposta fuori piano e introducendo
interfacce bidimensionali in modo da poter descrivere anche in termini costitutivi la risposta fuori-piano
delle pareti (figura 2). Pertanto la cinematica del
macro-elemento spaziale è governata dai 6 gradi di
libertà da corpo rigido nello spazio a cui occorre aggiungere il grado di libertà necessario a rendere
l’elemento articolato nel piano della muratura per
descriverne la corrispondente deformabilità a taglio.
Le interfacce 3D vengono discretizzate sia nella direzione longitudinale che nella direzione trasversale,
pertanto, a differenza del caso piano, l’interfaccia risulta meccanicamente rappresentata da più file di
molle nonlineari ortogonali (figura 2), in analogia ai
cosiddetti modelli a fibre.
Il numero di file di molle e il numero di molle
contenute in ciascuna fila devono essere scelti in
modo da ottenere la risposta con il dettaglio voluto.
E’ chiaro che per poter coglier il comportamento
flessionale fuori-piano è necessario prevedere almeno due file di molle.
Figura 2. Schema meccanico equivalente del macro-elemento
3D con rappresentazione degli NLink.
Le file vengono disposte ad interasse costante (λt)
che viene determinato secondo un procedimento di
taratura, basato su una equivalenza pressoflessionale tra la parete muraria e lo schema discreto
equivalente.
E’ facile osservare che la modellazione proposta
permette di schematizzare agevolmente anche casi in
cui si ha flessione deviata in campo non lineare e
che il criterio adottato tiene conto della dipendenza
del momento resistente dallo sforzo normale.
Le molle ortogonali alle interfacce piane hanno il
compito di regolare la risposta flessionale del pannello sia nel piano che fuori piano. Tuttavia, essendo
il pannello dotato di tutti i gradi di libertà da moto
rigido nello spazio, occorre introdurre degli NLink
destinati al controllo dei meccanismi di scorrimento
fuori piano del pannello. Pertanto in ogni interfaccia
sono state inserite due molle contenute nel piano
dell’interfaccia e dirette trasversalmente alla muratura (figura 3). Tali NLinks controllano i meccanismi
di scorrimento fuori-piano. E’ evidente che l’inserimento di due molle a scorrimento fuori-piano consente anche la simulazione di eventuali scorrimenti
torsionali attorno all’asse ortogonale all’interfaccia.
u3
m/4
m/4
φu
u4
u2
m
uz
m/4
y
m/4
u3
x
(a)
φx
y
z
x
(b)
figura 4: Discretizzazione della massa per i gradi di libertà descrittivi della risposta della muratura (a) nel proprio piano, (b)
fuori-piano.
Operando con un approccio semplificato, il distacco di una parete in corrispondenza di un ammorsamento d’angolo può avvenire o mediante un meccanismo di scorrimento (figura 5a) oppure per crisi
flessionale associata al superamento della resistenza
a trazione (figura 5b).
Figura 3. Molle a scorrimento nel piano e fuori-piano
Nella discretizzazione della massa si è adottato un
approccio tale da generare una matrice di massa diagonale distinguendo il comportamento nel piano e
fuori dal piano della muratura.
Le proprietà di massa descrittive del comportamento nel piano della muratura sono state attribuite
agli elementi concentrando le masse in corrispondenza dei nodi del quadrilatero in ragione delle rispettive aree di influenza (figura 4). Dal punto di vista del comportamento fuori-piano, il pannello è
caratterizzato da un moto rigido, in questo caso la
massa può pensarsi concentrata nel baricentro geometrico e dotata di inerzia rotazionale. Pertanto nella
descrizione del comportamento fuori piano la massa
è stata assunta coincidente con il centro di massa del
panello stesso.
Prima di procedere alla descrizione dei procedimenti di taratura, nel successivo sottoparagrafo si
descrivono alcune scelte di modellazione condizionate dalla necessità di potere simulare gli ammorsamenti tra le pareti in corrispondenza dei cantonali.
3.1 Interazioni tra pareti in corrispondenza degli
angoli
L’interazione tra le pareti in corrispondenza degli
angoli (cantonali) o più in generale nei punti di intersezione tra due o più pareti richiede una modellazione di dettaglio.
(a)
(b)
Figura 5. Meccanismi di rottura delle zone d’angolo: (a) rottura
per scorrimento; (b) rottura per distacco flessionale.
La modellazione di tali meccanismi di crisi può essere efficacemente simulata attraverso degli elementi
ad hoc detti “elementi speciali d’angolo”.
Si tratta di elementi che si ottengono attribuendo
un vincolo di rigidità nello spazio ad un insieme discreto di interfacce 3D che interagiscono con altri
elementi pannello attraverso le rispettive interfacce.
La figura 6 riporta la modellazione di una intersezione in cui tre pannelli appartenenti a pareti differenti vengono collegati mediante l’interposizione di
un elemento speciale d’angolo e tre interfacce. In
generale verranno inserite tante interfacce quanti sono i pannelli connessi dall’elemento speciale.
Dalla figura 6 si evince come ciascuna interfaccia
risulti in grado di modellare, in modo distinto,
l’interazione a flessione e a scorrimento tra la parete
cui appartiene e il resto della struttura.
elemento rigido di
collegamento
4.1 Elemento interfaccia
L’interfaccia è costituita da un insieme discreto di
molle nonlineari a ciascuna delle quali è attribuito il
ruolo di modellare una fibra di muratura in relazione
alla specifica area di influenza ed al comportamento
meccanico che si intende simulare. Nella definizione
delle caratteristiche meccaniche occorre distinguere tra le
molle trasversali d’interfaccia e le molle di scorrimento.
4.1.1
Figura 6. Esempio di collegamento in corrispondenza di un incrocio tra pareti mediante l’elemento speciale d’angolo.
4
TARATURA DEL MODELLO
Il macro-elemento proposto è basato su un modello meccanico equivalente in cui le rigidezze sono
concentrate in elementi monodimensionali nonlineari Nlink. Tale scelta consente di gestire le nonlinearità associate al legame costitutivo attraverso
leggi mono-dimensionali e ciò costituisce un enorme
vantaggio, sia di natura concettuale, perché porta a
una formulazione molto semplice ed intuitiva, che di
natura computazionale, perchè tutti i criteri di rottura
vengono gestiti da specifici legami monodimensionali degli NLink.
Nei successivi paragrafi si descrivono i legami
costitutivi che sono stati adottati nell’implementazione del macro-elemento e le relative procedure
di taratura per ciascuno degli NLink che contribuiscono alla definizione delle proprietà meccaniche
della porzione di muratura che si intende rappresentare.
La caratterizzazione delle proprietà costitutive
delle molle nonlineari viene eseguita imponendo
un’equivalenza tra il macro-modello e un corrispondente modello continuo omogeneo, entrambi soggetti a regimi tensionali semplici allo scopo di disaccoppiare i diversi meccanismi di crisi della
muratura: flessione, taglio, scorrimento. L’efficacia
di tale approccio semplificato è stata verificata confrontando i risultati ottenuti con il macro-modello
con quelli derivanti da modellazioni più accurate agli elementi finiti nonlineari [Pantò 2006, Progetto
TREMA 2007]. Nei successi sottoparagrafi si descrivono sinteticamente le modalità di taratura adottate per la definizione del legame costitutivo degli
Nlink.
Molle trasversali di interfaccia
Per molle trasversali d’interfaccia si intendono
quelle ortogonali al piano delle interfacce che connettono.
I criteri di taratura delle molle trasversali
d’interfaccia dipendono dal legame costitutivo adottato nella descrizione del comportamento assialeflessionale della muratura. La procedura di seguito
descritta è basata sull’ipotesi di legame costitutivo
elasto-plastico ortotropo con limiti negli spostamenti
sia a trazione che a compressione.
Le caratteristiche del materiale che occorre considerare per ogni direzione di ortotropia sono:
- E, il modulo di deformazione normale;
- σc e σt, i limiti di resistenza a compressione e
trazione;
- εc ed εt, le deformazioni limite a compressione
e a trazione.
Si considerano in genere due diversi comportamenti post-rottura. Se la rottura avviene per compressione si considera un legame denominato di tipo
crush che prevede l’incapacità del materiale di resistere a ulteriori carichi sia a trazione che a compressione. Se la rottura avviene per trazione si considera
un legame detto di tipo fessurante, che prevede
l’annullamento della resistenza a trazione ma la capacità di resistere a sforzi di compressione nel momento in cui la tensione si inverte di segno. Il comportamento ciclico può essere degradante perché ad
esempio caratterizzato da un legame isteretico con
scarico orientato all’origine a trazione e scarico con
rigidezza iniziale a compressione, come riportato in
figura 7.
La procedura che si propone per trasferire le proprietà della muratura alle molle di interfaccia è molto semplice ed è basata unicamente sulla geometria
della porzione di muratura da rappresentare e sulla
conoscenza dei parametri di deformabilità e di resistenza in ciascuna delle direzioni di ortotropia. Essa
è basata su una equivalenza tra la singola molla e la
porzione di muratura che le compete, in base al proprio volume d’influenza (figura 8).
σt
Materiale non fratturato
εrc
E
Materiale fratturato
σt=0
E2 σ c2 σ t2
ε c2 ε t2
εrt
L2 /2
σc
Figura 7. legame utilizzato per il comportamento assiale/flessionale della muratura.
L’equivalenza viene condotta con riferimento ad
un pannello soggetto a sforzi di compressione e trazione uniforme. I valori che definiscono il limite del
comportamento elastico a trazione e a compressione
e gli spostamenti ultimi discendono direttamente
dalle proprietà della muratura, pensata come solido
omogeneo.
La rigidezza elastica iniziale di una molla relativa
ad un volume d’influenza Ω L/2 (essendo Ω l’area
d’influenza che compete alla molla considerata e L
l’altezza del pannello, figura 8) risulta data da
Kp = 2
EΩ
L
(1)
In accordo al legame costitutivo adottato le forze
al limite elastico, rispettivamente a compressione e a
trazione, risultano semplicemente date da
Fcu = Ω σ c ;
Ftu = Ω σ t
(2)
mentre gli spostamenti ultimi si esprimono nella
forma
ucu =
L
ε cu ;
2
utu =
L
ε tu
2
(3)
Le proprietà risultanti della molla ortogonale
d’interfaccia che connette i due pannelli si ottengono
considerando le due molle elasto-plastiche, rappresentative dei relativi pannelli, poste in serie, figura
10.
Una volta tarati gli NLink , in accordo alla procedura esposta basata unicamente su un equivalenza in
termini di rigidezza e deformabilità assiale, per descrivere efficacemente la risposta associata alla flessione fuori dal piano della muratura, l’interasse tra le
molle deve essere valutato imponendo un equivalenza tra la rigidezza flessionale del modello discreto e
quella del modello continuo.
La rigidezza flessionale fuori-piano del modello
continuo può essere stimata assimilando la porzione
di muratura rappresentata ad una trave di Eulero.
L1 /2
Ω
Ω
E1 σc1 σ t1
ε c1 ε t1
Figura 8. Taratura delle molle ortogonali d’interfaccia.
4.1.2 Molle allo scorrimento
Le molle orientate secondo le direzioni appartenenti al piano d’interfaccia servono a simulare i
meccanismi di rottura associati agli scorrimenti del
concio murario. Tali meccanismi sono governati da
tre molle non lineari, di cui una posta nella direzione
appartenente al piano della parete muraria e le altre
due in direzione ortogonale, figura 3. Per ogni direzione di ortotropia si può assumere che lo scorrimento risulti regolato da un legame alla MohrCoulomb, caratterizzato da due parametri di resistenza uno che rappresenta la coesione, c, e l’altro
l’angolo di attrito interno, φ.
τ = c + φσ n
(4)
essendo σ n la tensione normale.
I valori di c e di φ possono essere determinati
sulla base di prove sperimentali.
La molla posta nella direzione appartenente al piano della muratura può essere considerata rigidoplastica in quanto la deformabilità a taglio del pannello nel proprio piano è regolata dalle molle diagonali descritte nel successivo paragrafo. Le molle che
regolano lo scorrimento fuori-piano devono invece
possedere una fase a comportamento elastico necessaria per rappresentare la deformabilità a taglio del
pannello fuori dal proprio piano e soprattutto la sua
rigidezza torsionale. Le proprietà elastiche di tali
molle si ottengono sulla base di una semplice equivalenza tra il modello continuo e quello discreto.
Procedendo in modo analogo a quanto esposto per le
molle trasversali d’interfaccia, la rigidezza elastica
delle molle viene ottenuta sulla base delle rispettive
aree d’influenza assumendo una sollecitazione di puro taglio fuori-piano, successivamente l’equivalenza
anche in termini torsionali tra il modello continuo e
quello discreto si ottiene dal riposizionando delle
molle stesse.
δ
T
T
δ
F molla
δ molla
4.2 Molle diagonali
Alle molle diagonali dei pannelli è affidato il ruolo di simulare la deformabilità a taglio del pannello
nel proprio piano e il relativo meccanismo di collasso per fessurazione diagonale.
Il carico ultimo del pannello associato alla rottura
per fessurazione diagonale può essere valutato o in
accordo ad uno specifico legame alla MohrCoulomb, ovviamente caratterizzato da parametri
differenti rispetto al quelli che sovrintendono al
meccanismo di scorrimento, o con riferimento al noto criterio dovuto a Turnsek e Cacovic [Turnsek &
Cacovic 1971] oppure in accordo a criteri diversi
proposti da altri autori.
Indipendentemente dallo specifico criterio di rottura che si considera la resistenza a taglio ultima del
pannello Tu, assumendo una distribuzione uniforme
di tensioni tangenziali in tutta l’area trasversale del
pannello At, si otterrà semplicemente moltiplicando
la tensione tangenziale ultima per At:
Tu ( P) = τ u ( p ) ⋅ At
(4)
Dove con p e P vengono indicati rispettivamente
la tensione media e lo sforzo di compressione cui è
soggetto il pannello.
Per quanto riguarda lo spostamento ultimo del pannello (δu), si può procedere in accordo a specifiche
indicazioni normative oppure sulla base di ricerche
specifiche [Magenes & Calvi 1997].
Le molle diagonali naturalmente ereditano tutte le
caratteristiche appena descritte, e i parametri che ne
caratterizzano il legame costitutivo sono: la rigidezza iniziale k, la rigidezza del ramo di softening a
sforzo di compressione costante kt, la forza di snervamento in assenza di sforzo normale Fyo, la forza di
snervamento corrente Fy funzione della compressione media cui risulta soggetto il pannello.
I parametri meccanici delle molle vengono determinati in relazione alle caratteristiche meccaniche
della muratura imponendo una equivalenza tra il
pannello visto come un continuo elastico e omogeneo deformabile solo a taglio e il modello discreto
equivalente composto dal quadrilatero articolato e le
molle diagonali, soggetti entrambi a una sollecitazione di puro taglio, figura 9.
T
T
Figura 9. equivalenza a taglio tra il modello continuo e il modello discreto.
5 APPLICAZIONI NUMERICHE
Nel seguito si riportano alcune applicazioni numeriche mirate a verificare l’efficacia della modellazione proposta nel cogliere la risposta della muratura
sia nel piano che fuori piano.
Le prime applicazioni sono relative a semplici
pannelli in muratura soggetti a diverse condizioni di
vincolo e sollecitati fuori dal piano in modo da simulare l’attivazione dei meccanismi di collasso di Rondelet [Rondelet 1834].
Un ulteriore applicazione è relativa ad un’analisi
push-over della facciata di una chiesa della città di
Noto, in Sicilia, soggetta ad una distribuzione di carichi orizzontali proporzionali alla massa in direzione ortogonale alla facciata allo scopo di determinare
il moltiplicatore dei carichi che ne determina il collasso fuori piano e verificarne la cinematica.
5.1 Simulazione dei meccanismi di Rondelet
Nel presente paragrafo vengono riportati i risultati di simulazioni numeriche condotte su un pannello
murario di dimensioni 500 x 800 x 25 cm3, sollecitato
fuori dal proprio piano. Il pannello in esame è supposto incastrato alla base e soggetto a tre diverse
condizioni di vincolo, sui bordi verticali, dovute alla
presenza di pareti ortogonali della lunghezza di
400 cm. In particolare vengono considerati tre casi,
schematicamente riportati in figura 10, corrispondenti a: parete libera su entrambi i lati, parete con
un lato vincolato, parete con entrambi i lati vincolati. I meccanismi di collasso così ottenuti possono essere qualitativamente confrontati con i meccanismi
di collasso descritti da Rondelet nel suo trattato
[Rondelet 1834], riprodotti sia sperimentalmente che
numericamente da diversi autori [Giuffrè 1993, Lagomarsino et al 2002a, Lagomarsino et al 2002b Orduña & Lourenço 2005, Restrepo-Vélez & Magenes
2005].
La mesh considerata nelle simulazioni numeriche
è composta da elementi quadrati di lato di 50 cm.
Per caratterizzare la muratura sono stati considerati i parametri meccanici riportati in tabella 1.
(a)
(b)
(c)
Figura 10. Casi esaminati per la simulazione dei meccanismi di
Rondelet. (a) parete libera su entrambi i lati; (b) parete con un
lato vincolato; (c) parete con entrambi i lati vincolati.
Tabella 1. Parametri meccanici della muratura.
Flessione
Taglio
Scorrimento
G
E
σt
σc
(MPa) (MPa) (MPa) (MPa)
2500
500
5.00
0.05
τk
(Mpa)
0.15
φ
0.15
c
(MPa)
0.01
(a)
Figura 11. Meccanismo di ribaltamento della libera su entrambi i lati.
φ
0.15
Per ciascuna delle condizioni di vincolo considerate sono state condotte analisi statiche non lineari,
sottoponendo il modello inizialmente ai pesi propri,
e applicando successivamente una distribuzione di
forze orizzontali, proporzionali alla massa. Nelle
successive figure, per le diverse condizioni di vincolo, vengono riportati i meccanismi di collasso e le
curve di push-over espresse in termini di coefficiente
di taglio alla base, Cb , in funzione dello spostamento
del punto soggetto alla massima escursione fuori piano durante il processo di carico.
In figura 11 è riportato il meccanismo di collasso
delle analisi condotte con riferimento alla parete libera su entrambi i lati. Mentre nella successiva figura 12 sono riportati i risultati delle analisi push-over
condotte considerando due modelli di cui uno infinitamente duttile a trazione e l’altro a deformazione
limitata. Osservando i grafici si nota che il modello
infinitamente duttile nella resistenza a trazione oltre
ad avere una maggiore capacità di spostamento risulta anche più resistente.
I risultati relativi ai meccanismi di collasso della
parete vincolata su entrambi i lati sono riportati nelle
figure 13 e 14 per entrambi i versi dell’azione orizzontale. Dall’esame della cinematica dei meccanismi
di collasso si evince anche la deformazione nel piano e fuori-piano delle pareti ortogonali. In figura 15
sono riportati le i risultati delle analisi push-over da
cui si evince la maggiore resistenza della parete
quando sollecitata verso le pareti ortogonali cui risulta vincolata. E’ interessante osservare come il
modello riesca a cogliere con chiarezza i meccanismo di collasso soprattutto nei modelli fragili in cui
risultano ben distinte le cerniere cilindriche. In particolare dalle figure 13a e 14a si osserva anche il differente numero di cerniere cilindriche in relazione al
verso dell’eccitazione.
Figura 12. Analisi push-over per la parete libera su entrambi i lati.
Il caso di parete con un lato vincolato è stato riprodotto considerando due pareti ortogonali collegate fra loro. I meccanismi di collasso corrispondenti
ad entrambe le direzioni di input sono riportati nelle
figure 16 e 17.
In figura 18 sono riportati i risultati dell’analisi
push-over da cui si evince il differente moltiplicatore
di collasso in relazione al verso dell’azione orizzontale e in dipendenza dell’ipotesi comportamento duttile o fragile.
(a)
(b)
Figura 13. Meccanismo di ribaltamento della parete vincolata lungo due lati; (a) modello fragile; (b) modello duttile.
(a)
(b)
Figura 14. Meccanismo di ribaltamento della parete vincolata lungo due lati; (a) modello fragile; (b) modello duttile.
(a)
(b)
Figura 16. Meccanismo di ribaltamento della parete vincolata lungo un lato; (a) modello fragile; (b) modello duttile.
(a)
(b)
Figura 17. Meccanismo di ribaltamento della parete vincolata lungo un lato; (a) modello fragile; (b) modello duttile.
Figura 15. Analisi push-over per la parete vincolata lungo
due lati.
5.2 Simulazione della risposta sismica della
facciata di un chiesa
Nel seguito vengono presentati i risultati di alcune simulazioni numeriche condotte prendendo spunto da una semplice tipologia di chiesa a pianta rettangolare. In particolare viene esaminata la risposta
fuori-piano della facciata della chiesa di San Michele sita nel centro storico della città di Noto in provincia di Catania (figura 19).
La costruzione della chiesa risale al 1713,
l’impianto è a pianta longitudinale ad una sola navata, con accesso diretto dalla via principale e si conclude sul fronte opposto con un corpo absidale poligonale. Le pareti laterali (prospetti est e ovest) della
chiesa presentano un ordine alto di finestre regolari,
un ingresso laterale sormontato da un timpano realizzato con pietra di intaglio e si concludono in corrispondenza dell’abside, collegate da un arco a tutto
sesto. Non vi sono invece strutture voltate spingenti;
la copertura è realizzata mediante delle capriate lignee che scaricano direttamente sulle murature laterali. La facciata principale si sviluppa su due ordini,
delimitata da paraste ed è conclusa superiormente
con il timpano. Alle due estremità la facciata risulta
confinata da due cantonali.
possa esibire un comportamento monolitico per cui
tutto lo spessore si ritiene collaborante. I cantonali
sono costituiti da blocchi squadrati di pietra dura di
Modica, disposti secondo una tessitura regolare. Tali
elementi costituiscono delle vere e proprie colonne
in muratura, che sono state modellate mediante due
file di macro-elementi di spessore maggiore e caratteristiche meccaniche differenti rispetto agli altri elementi (tabella 2).
In riferimento alla caratterizzazione dei materiali,
sono stati impiegati dati di altre chiese del luogo, di
caratteristiche comparabili a quella in esame. Di seguito vengono riportate le caratteristiche meccaniche
considerate per la muratura e per i cantonali.
Figura 18. Analisi push-over per la parete vincolata lungo
un lato.
Figura 20. Vista assonometria del modello numerico 3D della
facciata.
Tabella 2. Caratteristiche meccaniche delle murature.
Cantonali
Facciata
E
(MPa)
1200
Figura 19. Viste della facciata della chiesa di San Michele (Noto).
L’edificio in pianta è inscrivibile in un rettangolo
di dimensioni 11x26 m2 e l’altezza della facciata in
corrispondenza dei cantonali e pari a 16 m.
La muratura della facciata è costituita conci squadrati di pietra tenera di Noto, con spessore di 130
cm; nella modellazione si considera che la muratura
ν
0.2
σc
w
(MPa) (kN/m3)
1.80
10.3
E
(MPa)
1400
ν
0.2
σc
w
(MPa) (kN/m3)
2.0
17.3
In figura 20 è riportato il modello tridimensionale
della facciata della chiesa realizzato con il programma 3DMacro [Caliò et al 2007b] che implementa il macro-elemento tridimensionale proposto.
Il modello è caratterizzato da 284 macro-elementi
(di cui 262 deformabili a taglio e 22 rigidi) e 2206
gradi di libertà; le dimensioni del problema si mantengono quindi nettamente inferiori rispetto a una
corrispondente modellazione agli elementi finiti.
In corrispondenza delle aperture sono stati considerati degli elementi rigidi di forma irregolare, al fine di rappresentare adeguatamente le bucature. La
presenza delle pareti ortogonali è stata modellata
mediante una colonna di macro-elementi, vincolati
ad un estremo e collegati agli elementi della facciata
mediante elementi speciali d’angolo.
Le analisi push-over sono state condotte considerando una distribuzione di forze proporzionali alle
masse e applicate alla struttura soggetta ai pesi propri. In particolare sono stati considerati quattro diversi modelli corrispondenti a due differenti valori di
resistenza a trazione con comportamento duttile
(modelli ‘a’) o fragile (modelli ‘b’). L’intensità delle
azioni orizzontali è stata incrementata fino al collasso della struttura; nella figura 21 si riportano, in termini di coefficiente di taglio alla base e spostamento
di sommità, le curve di capacità di tutti i modelli
considerati.
Tabella 3. Parametri meccanici considerati per la muratura.
Cantonali
Facciata
Modello
1.a
1.b
2.a
2.b
σt (MPa)
duttilità a
trazione
σt (MPa)
duttilità a
trazione
0.075
0.075
0.075
0.075
Inf. duttile
Fragile
Inf. duttile
Fragile
0.075
0.075
0.15
0.15
Inf. duttile
Inf. duttile
Inf. duttile
Inf. duttile
Figura 22. Meccanismo di collasso evidenziato dal modello 1 (comportamento duttile).
Occorre evidenziare che la risposta fuori piano risulta fortemente condizionata dalla scelta di alcuni
parametri caratteristici del materiale quali la resistenza a trazione, la coesione e l’angolo d’attrito e
dalla mesh adottata che deve essere tale da consentire l’attivazione dei potenziali meccanismi di primo
modo.
Figura 21. Confronto tra le curve di capacità dei diversi
modelli.
Dall’esame delle curve di push-over si evince
come l’introduzione delle rotture fragili a trazione
riduce in maniera considerevole sia la resistenza ultima che la duttilità in maniera molto più significativa rispetto a quanto si riscontra nella risposta delle
pareti nel proprio piano.
Dall’esame dei meccanismi di collasso si evince
come il modello duttile, figura 22, presenta una
maggiore diffusione del danneggiamento rispetto al
modello fragile, figura 23, in cui si evince chiaramente la formazione di una cerniera cilindrica in
corrispondenza dell’asse di simmetria della facciata.
I risultati presentati mostrano con chiarezza la capacità della macro-modellazione proposta nel cogliere la risposta delle pareti sia nel piano che fuoripiano.
Figura 23. Meccanismo di collasso evidenziato dal modello 2 (comportamento fragile).
6 CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI
Nel presente lavoro, prendendo spunto da una
macro-modellazione precedentemente introdotta da-
gli autori, limitata allo studio del comportamento nel
piano delle murature, è stato proposto un nuovo macro-elemento tridimensionale, ottenuto come naturale evoluzione del macro-elemento piano, e pensato
per la simulazione della risposta della muratura sia
nel piano che fuori-piano. L’utilizzo di tale macroelemento per la modellazione della risposta sismica
degli edifici in muratura vuole essere orientato alla
verifica della risposta sismica degli edifici in muratura attraverso un approccio unitario che consenta di
cogliere sia il comportamento nel piano delle pareti
murarie che l’eventuale instaurarsi di meccanismi di
primo modo e senza la necessità di individuare a
priori i potenziali cinematismi di collasso. I risultati
riportati nel lavoro costituiscono le prime applicazioni del macro-elemento tridimensionale proposto
la cui efficacia andrà necessariamente verificata con
risultati ottenuti sperimentalmente e/o da modellazioni più accurate ed è ancora in corso di valutazione.
RINGRAZIAMENTI
La ricerca è stata finanziata dal Dipartimento della Protezione Civile nell’ambito della Linea 1 del
Progetto RELUIS, dal titolo “Valutazione e riduzione della vulnerabilità di edifici in muratura”, coordinata dai Proff. S. Lagomarsino e G. Magenes.
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