Tesi Completa - pigrecotechnology

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Facoltà di Ingegneria dell'Informazione, Informatica e
Statistica
Tesi di Laurea in Ingegneria delle Comunicazioni
TEORIA DEI FRATTALI PER
L'ELETTROMAGNETISMO
Relatore
Laureando
Prof. Alessandro Galli
Francesco Bongiovanni
Matricola n° 1208989
Anno Accademico 2014/2015
“. . . Perchè la geometria viene spesso definita fredda e arida?
Uno dei motivi è la sua incapacità di descrivere la forma di una
nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di un albero.
Osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei
coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono cerchi, ma
sono degli oggetti geometricamente molto complessi . . . “
Benoit B. Mandelbrot
Indice
Indice
Introduzione............................................................................................................1
1 I frattali: un modello per la complessità..........................................................2
1.1 Introduzione alla Teoria dei Frattali..............................................................2
1.2 Le Trasformazioni Affini del Piano...............................................................5
1.2.1 Proprietà fondamentali ..........................................................................6
1.2.2 Classificazione delle Affinità.................................................................6
Le traslazioni..............................................................................................6
Le Omotetie................................................................................................7
Le Rotazioni...............................................................................................8
Le similitudini............................................................................................9
1.3 Dimensioni Frattali......................................................................................11
Dimensione di Omotetia...............................................................................11
Dimensione di Hausdorff-Besicovitch..........................................................12
1.4 Oggetti Frattali.............................................................................................13
Triangolo di Sierpinski o Sierpinski Gasket.................................................13
Curva di Koch o Curva a Fiocco di Neve.....................................................14
Albero Frattale Deterministico.....................................................................15
Albero Frattale Aleatorio..............................................................................15
Curva di Hilbert o Peano-Hilbert..................................................................16
Curva di Peano-Gosper.................................................................................16
i
Indice
Piastrella a Fiocco di Neve...........................................................................17
Isola di Gosper..............................................................................................17
Esempi di copertura di piano con piastrellamento........................................18
Interpretazione della dimensione Frattale.....................................................18
1.5 Costruzione di un oggetto Frattale..............................................................19
Procedura di generazione della curva di Koch.............................................20
2 Antenne Frattali...............................................................................................22
2.1 Antenne e Array...........................................................................................22
2.2 Elementi di Antenne Frattali........................................................................23
Antenne dipolo ad albero frattale 3D............................................................24
Vantaggi di una geometria ad albero frattale................................................27
Caso di Studio...............................................................................................28
2.3 Algoritmi Genetici.......................................................................................30
2.4 Antenne a schiera (o Array) con Geometria Frattale...................................31
Processo di costruzione di un array random.................................................32
Processo di costruzione di un array Polifrattale...........................................33
Modello moltiplicativo per il beamforming di array frattali (i sub-array sono
orientati nella stessa direzione).....................................................................35
Modello moltiplicativo per il beamforming di array polifrattali (i sotto-array
non sono orientati nella stessa direzione).....................................................37
Processo Generatore Autopolyploidization (Espansione del numero di
generatori).....................................................................................................38
ii
Indice
Esempio: Metodologia di progettazione GA per l'evoluzione di un
allineamento polifrattale lineare ottimo, uniformemente eccitato. ..............40
Fronte di Pareto.............................................................................................43
2.5 Piastrellamenti aperiodici............................................................................44
Array Frattile................................................................................................44
Peano-Gosper Fractile Array (PGFA)...........................................................45
Eliminazione dei lobi laterali dovuti alla griglia..........................................46
Array Aperiodici...........................................................................................48
Le tessere di Danzer......................................................................................49
Metodo dei Punti di Perturbazione...............................................................51
Bibliografia............................................................................................................54
iii
Inroduzione
Introduzione
I sistemi di comunicazione cellulari, la navigazione satellitare, i sistemi
di immagine diagnostica come gli ecografi, i radar SAR, o i comuni router
wi-fi sono accumunati da un elemento: l'Antenna. Questo strumento si
utilizza per inviare e per raccogliere energia elettromagnetica nel/dallo
spazio circostante.
Gli attuali sviluppi tecnologici mostrano un notevole interesse verso la
miniaturizzazione di questi dispositivi e una gestione di bande sempre più
ampie. La geometria frattale cerca di fornire una risposta per il
soddisfacimento congiunto di questi due aspetti.
Nel presente elaborato il primo capitolo è dedicato alla descrizione, a
carattere prevalentemente analitico, delle trasformazioni affini, del loro
legame con le forme frattali e di una modalità di costruzione di
quest'ultime nota come Teoria IFS. Nel capitolo due vengono visionati
diversi metodi per il disegno di elementi di antenna e di array.
1
1
I frattali: un modello per la complessità
1.1 Introduzione alla Teoria dei Frattali
L'ambiente naturale nel quale viviamo è costituito da oggetti come
alberi, montagne, coste e nuvole che posseggono un carattere irregolare.
Lo studio di queste forme per mezzo della geometria Euclidea risulta
notevolmente difficoltoso. Il matematico Benoit B. Mandelbrot a seguito di
studi di carattere multidisciplinare (economia, analisi delle turbolenze, il
problema del calcolo della lunghezza della coste, l'analisi delle distorsioni
introdotte dal rumore in un collegamento) notò una sotto-struttura
comune alle varie discipline e introdusse il concetto di geometria frattale
dimostrando come questa potesse essere utilizzata come chiave di lettura
di molti processi naturali e di prodotti dell'attività umana. Nel suo libro
“Les objets fractals: forme, hasard et dimension”
propose una
interpretazione matematica di tali fenomeni reali. Definì quindi i frattali
come forme geometriche “auto-similari” che si ripetono continuamente su
scala sempre più ridotta. Contrariamente a qualsiasi oggetto geometrico,
un frattale, invece di perdere i dettagli quando viene ingrandito, si
arricchisce di nuovi particolari, che si vanno man mano scoprendo,
assomigliando alla figura nella sua totalità. Il termine frattale dal latino
'fractus' (rompere) è stato coniato per mettere in risalto il fatto che la
dimensione frattale non è intera, anche se questi oggetti vengono
rappresentati in uno spazio convenzionale a due o a tre dimensioni.
2
1.1 Introduzione alla teoria dei Frattali
La lunghezza di un frattale 'piano' non può essere misurata
definitivamente, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al
quale si sottopone la figura iniziale.
Vengono distinte due classi: frattali deterministici e frattali statistici. I
primi ottenuti tramite un procedimento ricorsivo, i secondi ottenuti come i
precedenti ma con l'inserimento di parametri casuali nell'algoritmo di
costruzione.
La teoria dei frattali trova applicazioni in biologia, economia, geografia,
astronomia e ingegneria e permette di rappresentare la complessità dei
fenomeni naturali, quali, per esempio, le coste marine, il fiocco di neve, la
felce, i coralli, la forma delle montagne, la forma del cervello, le
diramazioni dendritiche, i terremoti. L'organizzazione frattale sembra
essere infatti la forma nella quale la natura si auto-organizza.
Le proprietà di questi oggetti hanno suscitato l'interesse anche in campo
dell'elettromagnetismo. Oggetto di svariati studi sono i radiatori su
dominio frattale, in grado di soddisfare determinate caratteristiche. A
pagina seguente viene mostrato un insieme di figure ad indicare come il
concetto di oggetto frattale e la tecnica di costruzione di determinate
figure ha un riscontro in differenti in settori.
3
1.1 Introduzione alla teoria dei Frattali
Fig.1.1: Strutture Frattali naturali, artificiali e riprodotte al pc.
4
1.2 Le Trasformazioni Affini del Piano
Lo studio delle trasformazioni geometriche elementari del piano ha un
ruolo molto importante nello studio della geometria. Ad esempio si pensi
al "Programma di Erlanger" di Klein (1872) che definì la geometria come lo
studio delle proprietà che restano invarianti rispetto ad un certo gruppo di
trasformazioni. Vediamo come viene definito un tipo particolare di
trasformazioni geometriche: Le Affinità.
Un'affinità (o trasformazione affine) fra due piani π e π' è
un'applicazione biettiva T che fa corrispondere al punto P di coordinate (x,
y) il punto P' di coordinate (X, Y) secondo la formula:
{YX == cxax  dyby  fe
dove i coefficienti a, b, c, d, e, f sono numeri reali. Usando le notazioni
dell'algebra lineare si può anche scrivere:
 XY = ac db  xy    ef 
L'applicazione è biettiva se: det
A=
 ac db 
 ac db  ≠ 0
è la matrice dell'affinità.
5
dove la matrice
1.2.1 Proprietà fondamentali
Si può dimostrare che un'affinità gode delle seguenti proprietà:
• trasforma rette in rette;
• a rette parallele corrispondono rette parallele;
• a rette incidenti corrispondono rette incidenti;
• conserva il rapporto fra segmenti paralleli (in particolare al
punto medio di un segmento corrisponde il punto medio del
segmento omologo);
• se la figura S' è l'immagine corrispondente di una figura S, allora
Area (S')= |det( A )| Area (S) dove det( A )= ad – bc ;
In generale un'affinità non conserva la forma delle figure. Infatti
l'immagine di un rettangolo è in generale un parallelogramma, così come
l'immagine di una circonferenza sarà un'ellisse.
1.2.2 Classificazione delle Affinità
Le traslazioni
Definizioni
L'equazione di una traslazione è del tipo:
{YX == yx  ef
con 'e' ed 'f'
costanti reali. La matrice della trasformazione è la matrice identità.
6
Proprietà fondamentali
Si può dimostrare che una traslazione gode delle seguenti proprietà:
• la trasformazione identità, ovvero la trasformazione che porta ogni
punto del piano in se stesso, è una particolare tipo di traslazione.
Tutti i suoi punti sono uniti. Le sue equazioni sono le seguenti:
{YX == yx
;
• una traslazione diversa dall'identità non ha punti uniti;
• una traslazione trasforma una figura geometrica in una figura
congruente a quella data, ma traslata;
Le Omotetie
Definizioni
{YX == KyKx
con K costante
reale e non nulla. La matrice della trasformazione è
 0K K0  . La
L'equazione di una traslazione è del tipo:
costante K è detta rapporto di omotetia:
• se ' K > 0 ' l'omotetia si dice diretta;
• se ' K < 0 ' l'omotetia si dice inversa;
Si può dimostrare che un'omotetia gode delle seguenti proprietà:
• trasforma una retta in una retta parallela alla retta data;
7
• l'unico punto unito è il centro di omotetia;
• trasforma una figura geometrica in una figura simile a quella data;
Area ( S' )= K 2 Area ( S );
Le Rotazioni
Definizioni
Nel caso di una rotazione in senso antiorario di un angolo α, le equazioni
analitiche della rotazione sono le seguenti:
sin α y
{XY == sincosααxx − cos
α y
La matrice della trasformazione vale: A=

cos α −sin α 
sin α  cos α 

Si può dimostrare che una rotazione delle seguenti proprietà:
• l'unico punto unito è l'origine;
• una rotazione trasforma una figura geometrica in una figura
congruente a quella data;
8
Le similitudini
Definizioni
Una similitudine è un tipo particolare di trasformazione affine che
conserva l'ampiezza degli angoli. In particolare le similitudini conservano
il parallelismo fra le rette e trasformano una figura in un'altra simile a
quella data. Ricordiamo che una trasformazione affine è definita dalle
seguenti equazioni:
{YX == cxax  dyby  fe
Una similitudine è un'affinità in cui risulti:
• c = -b e d = a
• c = b e d = -a
Da questa relazione segue che una similitudine può essere definita in due
soli modi:
•
•
{YX == bxax − ayby  ef
{YX == bxax − ayby  ef
Da un punto di vista strettamente geometrico, in una similitudine resta
invariato il rapporto fra le distanze di coppie di punti corrispondenti (A,B)
e (A', B') ovvero:
A ' B' =k AB .
Il numero ' k ' positivo definito da
k =
similitudine.
9

a 2  b2
si dice rapporto di
Notiamo che le omotetie, le traslazioni, le rotazioni sono tutte tipi
particolari di similitudini.
Si può dimostrare che una similitudine gode delle seguenti proprietà:
• conserva il parallelismo delle rette;
• trasforma angoli in angoli di uguale ampiezza;
• trasforma una figura geometrica in una figura simile a quella data;
Area (S')= k2 Area (S);
10
1.3 Dimensioni Frattali
Dimensione di Omotetia
Un frattale può essere definito come un oggetto a dimensione
frazionaria. Il concetto di dimensione di un oggetto è abbastanza familiare,
ad esempio un segmento ha dimensione 1, un quadrato ha dimensione 2
ed un cubo ha dimensione 3.
Un oggetto è auto-somigliante quando può essere suddiviso in un certo
numero di parti simili alla figura intera. Consideriamo una figura Ddimensionale e dividiamo ogni sua dimensione in N parti uguali, di cui
ciascuna è 1/N dell'intero ( ' N ' è detto fattore di scala ).
Esempi:
•
un segmento (D=1) può essere suddiviso in N segmenti di
lunghezza 1/N;
•
un quadrato (D=2) può essere suddiviso in N2 quadrati di area 1/N2;
•
un cubo (D=3) può essere suddiviso in N3 cubetti di volume 1/N3;
Per ogni figura D-dimensionale si hanno ND parti.
Ricordando
la
proprietà
dei
logaritmi log  ab  = b ∗ log  a  ,
possiamo scrivere:
log numero di pezzi  = D ∗ log  fattore di scala 
Definiamo così la dimensione frattale o dimensione di omotetia come:
D =
log numero dei pezzi 
log fattore di scala 
11
D =
log  N 
log  N 
= 1
log  N 2 
log  N 
= 2
•
per il segmento
•
per il quadrato
•
per il cubo
•
per la curva di Koch ad ogni iterazione si ottengono 4 pezzi di
dimensione
•
D =
D =
log  N 3 
log  N 
1
dunque,
3
= 3
D =
log  N 
log  N 
log N 
log N 
log  4 
log 3 
= 2
= 3
≈ 1.26
per il triangolo di Sierpinski ad ogni iterazione si ottengono 3 pezzi
di lato
1
dunque,
2
D =
log 3 
log  2 
≈ 1.58
Dimensione di Hausdorff-Besicovitch
Mentre la dimensione di omotetia è valida solo per strutture auto
somiglianti, ne esiste un'altra detta di Hausdorff-Besicovitch che è
applicabile a qualunque oggetto frattale, anche di tipo statistico. Questa
fornisce una visione più ampia e completa sul significato vero e proprio
della dimensione frattale mentre la prima rappresenta un utile strumento
di calcolo.
12
1.4 Oggetti Frattali
In questa sezione saranno presentate alcune forme geometriche frattali
ampiamente usate per lo studio delle proprietà delle corrispettive antenne
frattali.
Triangolo di Sierpinski o Sierpinski Gasket
Fig 1.4.1: Triangolo di Sierpinski.
Procedura per la costruzione geometrica:
1. Considerare un triangolo equilatero nel piano;
2. Rimuovere il triangolo centrale, i cui vertici sono posizionati nei
punti medi dei lati del triangolo originale;
3. Si procede sui triangoli rimanenti rimuovendo ogni volta il
triangolo ottenuto congiungendo i punti medi dei lati;
4. Il triangolo di Sierpinski è ottenuto iterando questo processo un
numero infinito di volte;
La figura che si ottiene ha area che è sempre 3/4 dell'area precedente.
Quindi il frattale così ottenuto ha al limite area nulla.
13
Curva di Koch o Curva a Fiocco di Neve
Fig 1.4.2: Curva di Koch.
Procedura per la costruzione geometrica:
1. Considerare un triangolo equilatero nel piano;
2. Si sostituisce il terzo centrale di ogni lato con due lati di un
triangolo equilatero. In tal modo si ottengono per ogni lato quattro
segmenti uguali;
3. Si ripete il passo due per ogni segmento;
4. La curva di Koch è ottenuta iterando questo processo un numero
infinito di volte;
Ad ogni tappa della sua costruzione aumenta la lunghezza totale nel
rapporto di 4/3, quindi la cura di Koch ha una lunghezza infinita (proprio
come una costa).
14
Albero Frattale Deterministico
Fig 1.4.3: Albero Frattale Deterministico.
Procedura per la costruzione di un albero frattale deterministico con un
generatore a tre rami:
1. Considero un segmento;
2. Costruisco un Generatore come insieme di tre segmenti aventi un
punto in comune ed equispaziati angolarmente di un valore ' α ';
3. PRIMO STEP:
Posiziono
il Generatore avente determinata
dimensione in un punto nel piano;
4. SECONDO STEP: Scalo il generatore di un fattore K e ne applico
una copia su ogni estremità libera osservabile al primo step;
5. Itero i punti 3 e 4 un numero desiderato di volte;
Albero Frattale Aleatorio
Fig. 1.4.4: Albero Frattale Aleatorio.
15
L'albero frattale aleatorio si costruisce nella stessa maniera di quello
deterministico. La differenza principale risiede nel fatto che invece di
usare un unico generatore se ne possono usare due o più i quali vengono
selezionati casualmente durante il processo di costruzione.
Curva di Hilbert o Peano-Hilbert
Fig. 1.4.5: Curva di Hilbert.
La curva di Peano-Hilbert è un esempio di curva frattale che riempe
completamente lo spazio e che non ha punti di intersezione. Questa curva
viene impiegata per il disegno di antenne frattali. In Fig.1.4.5 sono
mostrati i primi quattro passi del processo di costruzione della curva.
Notiamo che alla quarta iterazione si rende evidente la proprietà di
riempimento dello spazio.
Curva di Peano-Gosper
Fig. 1.4.6 : Curva di Peano-Gosper.
16
La curva di Peano-Gosper così come quella di Peano-Hilbert riempe
completamente lo spazio e non si interseca in nessun punto con se stessa.
Anche questa viene impiegata per il design di antenne frattali. In figura
vengono mostrati i primi tre passi di costruzione della curva. Il generatore
è mostrato come un segmento tratteggiato sovrapposto al generatore nella
prima fase. La seconda fase è ottenuta sostituendo ognuno dei sette
segmenti con una copia scalata di se stesso. Nella terza iterazione la
proprietà di riempimento dello spazio comincia ad apparire più evidente.
Piastrella a Fiocco di Neve
Le piastrelle frattali rappresentano un'altra importante categoria di oggetti
frattali che trovano applicazione in teoria e disegno delle antenne. Queste
possono
essere
usate
per
ricoprire
il
piano
senza
osservare
sovrapposizioni o intersezioni tra di esse. In figura le prime sei iterazioni:
Fig. 1.4.7: Piastrella a fiocco di Neve.
Isola di Gosper
L'isola di Gosper è un altro esempio di piastrellamento e può essere usato
per fornire una perfetta copertura del piano. La terminologia inglese rende
molto bene il concetto associato a queste figure: “ no gaps or overlap
between tiles ”
17
Fig. 1.4.8 : Isola di Gosper.
Esempi di copertura di piano con piastrellamento
Fig. 1.4.9: Piastrellamento.
Interpretazione della dimensione Frattale
Si può osservare in modo molto approssimativo, che una figura la cui
dimensione si situa tra 1 e 2 deve essere più affilata di una superficie
ordinaria, pur essendo più ' corposa ' di una linea ordinaria. In particolare
se si tratta di una curva dovrebbe avere una superficie nulla ma lunghezza
infinita. Analogamente se la sua dimensione è compresa tra 2 e 3,
dovrebbe avere un volume nullo.
18
1.5 Costruzione di un oggetto Frattale
Vari tipi di insiemi frattali vengono costruiti mediante IFS (Iterated
Function System), cioè applicando ad una qualunque geometria di
partenza un'opportuna sequenza di contrazioni e ripetendo questo
procedimento all'infinito. Questa iterazione produce insiemi autosomiglianti, le cui caratteristiche geometriche si ripropongono su differenti
(eventualmente infinite) scale di grandezza decrescenti. Le IFS possono
quindi essere viste come il linguaggio matematico dei frattali e
rappresentano un strumento estremamente versatile per generare una
grande varietà di strutture frattali.
1. Le IFS si basano su una collezione di contrazioni ottenute attraverso
l'applicazione di una serie di trasformazioni affini ' w ' definite
come:
  = ca db  xy   ef 
w x
y
o equivalentemente:
w  x , y  =  ax  by  e , cx  dy  f 
dove a, b, c, d, e, f sono sei numeri reali;
2. Date una geometria iniziale A e un insieme di trasformazioni
w1,w2,w3, … ,wN siamo così in grado di generare una nuova
geometria e combinare i risultati ottenuti nel seguente modo:
N
W  A= ∪ w n  A
n=1
dove l'operatore ' W ' viene chiamato operatore di Hutchinson;
19
3. Una geometria frattale può essere ottenuta applicando l'operatore
' W ' in modo iterativo. Ad esempio se l'insieme A 0 rappresenta una
geometria iniziale, il processo iterativo produrrebbe una sequenza
dell'operatore di Hutchinson dato da: A 1=W(A0),A2=W(A1), … ,
Ak+1=W(Ak) ;
Una IFS genera una sequenza che converge all'immagine finale A ∞ così
che: W(A∞)=A∞. Questa immagine è chiamata Attrattore dell'IFS e
rappresenta un punto fisso per ' W '.
Procedura di generazione della curva di Koch
La procedura iterativa IFS per generare una curva di Koch frattale è
indicata nella Fig. 1.5.1:
Fig. 1.5.1: Operatore di Hutchinson per la curva di Koch.
In questo caso la geometria iniziale A 0 è il segmento di lunghezza unitaria
così definito: A0 = { x : x ∈ [0,1] }. Vengono applicate quattro trasformazioni
20
affini, per poi essere combinate tramite l'operatore di Hutchinson per
formare la prima iterazione indicata da A 1. Versioni di ordine elevato della
curva
di
Koch
sono
generate
ripetendo
tale
processo
fino
raggiungimento della dimensione e della lunghezza desiderata.
Nella seguente Fig. 1.5.2 vengono riportate le prime quattro iterazioni.
Fig. 1.5.2 : Prime quattro iterazioni della curva di Koch.
21
al
2
Antenne Frattali
2.1 Antenne e Array
Le antenne sono uno strumento utilizzato per inviare energia
elettromagnetica nello spazio circostante e hanno caratteristiche diverse a
seconda del tipo di servizio e di applicazione che devono supportare.
Vediamo due casi:
•
Ponte Radio:
le antenne sono fortemente direttive al fine di
irradiare la maggior parte della potenza disponibile nella direzione
del ricevitore che a sua volta deve essere in grado di raccogliere la
maggior potenza possibile;
•
Sistemi d'Area: il trasmettitore dovrà essere in grado di raggiungere
il ricevitore ovunque si trovi, ed il ricevitore dovrà essere in grado
di ricevere il segnale da qualsiasi direzione provenga(esempio di
copertura GPS, i ricevutori sono dotati di antenne emisferiche);
Un'array è un insieme di antenne (aventi tutte la stessa geometria)
alimentate in modo coerente, cioè da una singola sorgente che distribuisce
la potenza alle singole antenne in modo uguale (array uniforme) o diverso.
L'interferenza tra gli N elementi della schiera va a modificare il campo
irradiato dal singolo elemento della schiera nella direzione (θ,φ) di un
fattore pari a F(θ,φ). Il campo complessivo irradiato dall'antenna è uguale
alla sovrapposizione dei campi irradiati dai singoli elementi. Per ottenere
antenne
molto
direttive
occorre
22
che
i
campi
interferiscano
2.2 Elementi di Antenne Frattali
costruttivamente nelle direzioni desiderate e distruttivamente in tutte le
altre.
Le antenne frattali individuano una famiglia di oggetti con potenziali
possibilità di applicazione in elettromagnetismo. I vantaggi derivanti
dall'utilizzo di geometrie frattali per la progettazione di antenne sono:
•
Miniaturizzazione (Fiocchi di Neve e Isole di Koch);
•
Banda Larga e Multi banda (Le strutture auto-similari del
triangolo e del tappeto di Sierpinski);
•
Frequenze di risonanza più di basse;
•
Creazione di risonanze vicine in frequenza;
In figura sono mostrate alcune delle geometrie usate:
Fig. 2.2.1 : Geometrie usate per le Antenne.
23
Per soddisfare contemporaneamente requisiti di miniaturizzazione e
multibanda si usano antenne a monopolo e dipolo, progettate usando le
curve di Koch e gli alberi frattali.
Antenne dipolo ad albero frattale 3D
Fig. 2.2.2. : Primi quattro stadi di un'antenna ad albero frattale 3D con generatore a quattro rami.
1. Gianvittorio e Rahmat-Samii studiano una serie di antenne a dipolo
che utilizzano strutture ad albero frattale 3D. Questi insiemi di
antenne, illustrate in Fig. 2.2.2, hanno fornito i seguenti risultati:
•
frequenze di risonanza più basse rispetto quelle di un
classico dipolo di paragonabile lunghezza;
•
larghezza di banda e guadagno pressoché invariato rispetto
ad un dipolo di lunghezza paragonabile;
24
2. Petko e Werner effettuano ulteriori indagini sulle prestazioni di vari
dipoli ad albero frattale 3-D, dalle quali scaturisce che:
•
esiste un legame di proporzionalità inversa tra la densità dei
rami dell'albero e la frequenza di risonanza. Si osserva uno
spostamento in frequenza verso il basso all'aumentare della
densità della struttura e uno spostamento in frequenza verso
l'alto al diminuire della densità della struttura;
•
esiste un legame di proporzionalità diretta tra gli angoli di
elevazione dei rami del generatore e il ROS (Rapporto D'onda
Stazionaria). Le antenne con piccoli angoli di elevazione hanno
un ROS basso, ma una più alta frequenza di risonanza rispetto a
quelli con grandi angoli di elevazione;
In Fig. 2.2.3 viene disegnato il valore del ROS (o VSWR) in funzione della
frequenza di risonanza parametrizzato con l'angolo di elevazione dei rami.
Fig. 2.2.3 : ROS in funzione della frequenza di risonanza parametrizzata con l'angolo di elevazione
dei rami.
25
La frequenza di risonanza diminuisce fino a raggiungere un minimo
corrispondente a strutture aventi angoli di elevazione pari a 50°. Angoli di
elevazione maggiori di 50° non sono ottimali perché sia la frequenza di
risonanza che il ROS aumentano con l'aumentare dell'angolo di
elevazione.
La conoscenza di questi andamenti è stata utilizzata al fine di rendere
più efficienti e miniaturizzare dipoli ad albero frattale. Ad esempio, è stato
creato un generatore avente sei rami con due angolazioni di 30° e 50°. La
Fig 2.2.4 illustra la geometria dei carichi finali per le prime tre iterazioni.
Fig. 2.2.4 : Prime tre fasi di un albero frattale 3D con generatore a sei rami e angoli di elevazione
pari a 30°e 50°.
Nella Fig. 2.2.5, sono confrontate le proprietà di riflessione, S11 e ROS,
delle antenne studiate in “Gianvittorio e Rahmat-Samii“ con quelle
studiate in “Petko e Werner“
Fig. 2.2.5:
Andamento di S11
26
Nella seconda iterazione, l'antenna a sei rami con angolazioni 30°/50°,
ha una frequenza di risonanza di 920 Mhz, identica alla frequenza di
risonanza della terza iterazione dell'antenna ad albero frattale a quattro
rami. La frequenza di risonanza per la terza iterazione, è 790 MHz. Questa
risonanza avviene ad una frequenza inferiore del 57% di quella di un
equivalente antenna a dipolo euclidea la cui risonanza ha valore
1820MHz, ed è 70 Mhz inferiore alla quarta iterazione dell'antenna ad
albero frattale a quattro rami.
Vantaggi di una geometria ad albero frattale
Uno dei vantaggi principali di un'antenna a dipolo con una geometria
ad albero frattale è evidente quando sono incorporati in tutta la struttura
di carico risonatori LC o switch RF. I risonatori e gli interruttori sono
spesso utilizzati per fare le antenne convenzionali multibanda e
riconfigurabili; tuttavia, in strutture convenzionali, è difficile creare
risonanze che siano vicine le une alle altre in frequenza. Questa difficoltà
si pone innanzitutto poiché per ottenere questo tipo di comportamento, i
carichi reattivi e gli switch dovrebbero essere posizionati in prossimità
fisica tra loro e l'antenna. Inoltre, i carichi reattivi e gli switch sono
generalmente distribuiti in serie lungo l'antenna, e ciò può aumentare le
perdite associate all'utilizzo di questi dispositivi.
Avendo a disposizione un carico ad albero frattale, questi problemi
sono notevolmente ridotti poiché i carichi reattivi e gli switch possono
essere distribuiti in tutta la struttura frattale, posizionandoli in una
27
configurazione in parallelo e separando la distanza fisica richiesta tra loro.
Il posizionamento dei carichi reattivi e degli switch discrimina:
•
frequenza di funzionamento;
•
dimensione della geometria di carico;
Caso di Studio
Consideriamo il caso in cui i commutatori RF vengano posizionati
strategicamente in tutto il fine-carico di una terza fase, per renderla
riconfigurabile (sintonizzabile) su una larghezza di banda del 68%.
Nel
progetto si utilizzano 102 interruttori individuali posizionati in ciascuna
estremità del carico dell'antenna, come mostrato nella Fig. 2.2.6, al fine di
produrre 20 stati riconfigurabili.
Fig. 2.2.6 : Layout per antenna ad albero frattale riconfigurabile con sei rami.
L'antenna a dipolo risultante è risultata riconfigurabile:
•
da 770 MHz a 1570 MHz con una larghezza di banda di 800 Mhz e
28
con un ROS sotto 3: 1;
•
da 970 MHz a 1.570 MHz con una larghezza di banda di 560 MHz
con un ROS sotto 2: 1;
Inoltre, poiché il progetto utilizza i carichi finali ad albero frattale, la
risonanza più bassa di questa antenna avviene ad una frequenza del 57 %
inferiore a quella di un dipolo lineare convenzionale di lunghezza
equivalente. Nella Fig. 2.2.7 ciascuno dei 20 stati riconfigurabili è
rappresentato da un separata curva S 11 (indicata dalle linee grigio chiaro)
con la frequenza di risonanza più bassa rappresentata dallo stato con tutti
gli interruttori chiusi e la massima frequenza di risonanza rappresentata
dallo stato con tutti gli interruttori aperti. Gli stati rimanenti vengono
raggiunti con una progressiva apertura degli switch dall'alto verso il
basso. Inoltre, l'antenna opera efficacemente per tre degli stati
riconfigurabili le cui curve S11 sono indicate sul grafico da spesse linee
grigio scuro. La linea continua in nero rappresenta il valore minimo
assumibile dal parametro S11 e sul quale l' antenna può essere configurata
per una particolare frequenza dell'intera gamma di funzionamento
dell'antenna.
Fig 2.2.7 : Andamento di S in funzione della frequenza per un albero riconfigurabile con 20 stati.
29
2.3 Algoritmi Genetici
2.3 Algoritmi Genetici
Gli Algoritmi Genetici riproducono il processo evolutivo della specie
umana. Sono usati per risolvere problemi di ricerca e ottimizzazione. Un
algoritmo genetico è uno strumento di progettazione che ottimizza un
problema a livello globale utilizzando le nozioni darwiniane della
selezione naturale e della sopravvivenza del più forte:
•
considerano una popolazione di cromosomi (individui) che
rappresentano soluzioni possibili per un certo problema;
•
la qualità di un individuo (cioè quanto è buona la soluzione per il
problema) è misurata mediante una funzione di fitness. In un certo
senso, la funzione di fitness indica l’adattabilità all’ambiente: gli
individui che meglio si adattano (‘fit’) hanno più probabilità di
riprodursi e di trasmettere i propri geni alle generazioni future;
•
un GA è una procedura di ricerca iterativa il cui scopo è
l’ottimizzazione della funzione di fitness, cioè la ricerca di individui
che si adattano meglio;
•
partendo da una popolazione iniziale, un GA produce nuove
generazioni che contengono (di solito) individui migliori delle
precedenti: l’algoritmo evolve verso l’ottimo globale della funzione
di fitness;
In realtà, non è garantito che un GA trovi una soluzione ottima globale; un
GA è in grado di trovare soluzioni buone in tempi ragionevoli.
I più importanti operatori di ricerca sono:
•
ricombinazione ( Crossover );
30
2.4 Array di Antenne Frattali
•
mutazione;
Osserviamo inoltre che i GA sono procedure di massimizzazione, quindi
valori di fitness più alti sono associati ad individui migliori.
2.4 Antenne a schiera (o Array) con Geometria Frattale
I vantaggi dei frattali sono più evidenti quando queste forme vengono
usate come elementi di geometrie più grandi, le antenne a schiera o array.
Si distinguono fondamentalmente due tipologie di array frattali:
•
•
array frattali deterministici (Possiedono bassi lobi laterali);
array frattali casuali (Ampio Range di Larghezza di Banda);
Gli array Frattali offrono proprietà radiative non riscontrate in array
convenzionali. Una prima caratteristica è avere il livello dei lobi laterali
più basso rispetto alle controparti omologhe basate su convenzionali
geometrie euclidee. Inoltre il fatto che queste geometrie possano essere
costruite in modo iterativo è sfruttato al fine di sviluppare rapidi algoritmi
per la computazione di efficienti pattern di radiazione.
Puente e Pous sviluppano tecniche di sintesi di array lineari con
caratteristiche di radiazione multibanda.
Werner et Al sviluppano tecniche di sintesi di diagrammi di radiazione
per la progettazione di array multibanda (lineari e planari) riconfigurabili.
31
Processo di costruzione di un array random
Una struttura frattale random viene costruita applicando ad ogni
iterazione un generatore selezionato in modo casuale da un insieme di più
generatori. Vengono così costruite configurazioni di array che sono da
qualche parte completamente ordinate (cioè, periodiche) e da qualche
parte completamente disordinate (cioè, casuali).
Un esempio di un layout di un array frattale random è mostrato in Fig.
2.4.1.
Fig. 2.4.1: Array casuale.
Il principale vantaggio di questa tecnica è di produrre array che:
•
possiedono un livello dei lobi laterali relativamente basso,
caratteristica indicativa di array periodici;
•
hanno una gamma di larghezze di banda paragonabile ad array
casuali;
32
Processo di costruzione di un array Polifrattale
Per costruire un array polifrattale, bisogna prima modificare la tecnica
IFS introdotta nella Sezione 1.5 al fine di poter gestire più generatori. Gli
array polifrattali sono costruiti a partire da:
•
un insieme di generatori 1,2, ..., M, ciascuno dei quali ha un
corrispondente operatore Hutchinson W1, W2, …, WM;
•
ogni operatore di Hutchinson W m a sua volta contiene Nm
trasformazioni lineari affini ωm,1, ωm,2, …, ωm,N;
•
le trasformazioni affini ωm,n sono semplificate e invece di essere
rappresentate con i sei parametri nel paragrafo 1.5 vengono ridotti
a tre parametri locali rm,n, ϕm,n, ψm,n , e un parametro globale di scala
sf , ottenendo:
   ss cossinϕϕ
ωm , n x =
y
f
  
ψ m , n  −s f sin ϕ m ,nψ m , n 
s f cos ϕ m ,n ψ m , n 
m , nψ m , n
m ,n
f
x  r m ,n cos ϕ m , n 
y
r m ,n sin ϕm , n

Eq. 2.2.1
Oltre a questi tre parametri locali, un quarto parametro locale km, n, è
associato ad ogni trasformazione lineare affine. Questo parametro, detto
fattore di collegamento, è un valore intero compreso tra 1 e M e rappresenta
il numero di generatori utilizzati per costruire l'array polifrattale.
In questa G-IFS ( Generalized – Iterated Function System ), l'operatore
di Hutchinson, Wm, viene utilizzato per costruire il livello 'L + 1' dell'array
polifrattale a partire da un insieme 'L' di array polifrattali FL :
•
ad ogni livello 'L' dell'array polifrattale viene eseguito un insieme
di trasformazioni lineari affini alle quali è associato il fattore di
33
collegamento km, n relativo al particolare generatore utilizzato;
•
poiché il fattore di collegamento dice come sono applicate le
trasformazioni affini, allora solo un'unica geometria polifrattale può
essere associata ad ogni operatore di Hutchinson;
•
l'insieme dei livelli 'L'
dell' array polifrattale, FL, può essere
espresso dalla notazione:
F L = {F L ,1 , F L ,2 ,. .. , F L , M }
Eq.2.2.2
dove il primo indice definisce il livello dell'array polifrattale e il
secondo indice definisce il generatore impiegato a quel livello;
Un'array polifrattale al livello 'L + 1' è definito quindi dalla seguente
scrittura:
Eq. 2.2.3
Dopo aver formato la struttura polifrattale, la struttura complessiva è
regolata da un ulteriore parametro globale di scala Sg, ottenendo quindi
per il livello 'L':
Eq.2.2.4
34
Fig. 2.4.2: Elementi di Antenna mostrati sui rami più alti. I numeri sopra i rami sono i fattori di
collegamento.
Questo processo è illustrato per un'array polifrattale lineare in Fig. 2.4.2
utilizzando l'albero frattale come analogia.
In questa figura, i numeri che rappresentano i fattori di collegamento
sono fissati all'estremità dei rami del generatore. I rami che finiscono con il
numero 1 hanno il generatore 1 collegato alla loro estremità. Allo stesso
modo, i rami che terminano con il numero 2 hanno il generatore 2
collegato alla loro estremità.
Le estremità dei rami più alti rappresentano le posizioni degli elementi
di antenna.
Modello moltiplicativo per il beamforming di array frattali (i sub-array
sono orientati nella stessa direzione)
–
Ipotesi di applicazione del modello moltiplicativo: i sub-array devono avere
lo stesso modello di radiazione e devono essere orientati nella stessa direzione.
Gli algoritmi ricorsivi per la formazione del fascio possono essere creati
35
sia per i frattali che per gli array polifrattali e sono basati su un modello di
approccio di tipo moltiplicativo, cioè il diagramma di radiazione di
un'array frattale ad una livello ' L ' si ottiene moltiplicando il diagramma
di radiazione del sotto-array frattale al livello ' L - 1 ' per il fattore di array
appropriatamente scalato del generatore. Un'equazione che esprime al
livello ' L ' il diagramma di radiazione del sotto-array frattale, FRLl, è
derivata utilizzando la trasformazione di similitudine wn e si basa sull' Eq.
2.2.1, utilizzando i parametri locali, rn, ϕn, ψn e i parametri di scala Sg e Sf.
Per eseguire il modello moltiplicativo, tutti i diagrammi di radiazione
dei sotto-array devono essere identici e orientati nella stessa direzione.
Quindi, è necessario che la somma di ϕm e ψm sia pari ad un multiplo di
2π, rendendo gli assi di simmetria del sotto-array paralleli.
Allora l'equazione che si riferisce alla forma del fascio può essere scritta
come:
Eq.2.2.5
Utilizzando una sorgente isotropica come modello iniziale di radiazione di
un sotto-array, la stadio finale L del fattore di array può essere scritto
come:
Eq.2.2.6
dove
 =
1
Sf e
S = sg s f 
L−1
. In genere, i valori di rn sono scalati
tali che S può essere impostata uguale a uno.
36
Modello moltiplicativo per il beamforming di array polifrattali (i sottoarray non sono orientati nella stessa direzione)
Quando i sotto-array non necessariamente puntano nella stessa
direzione l'espressione risultante sarà del tipo:
Eq.2.2.7
Il diagramma di radiazione finale:
1. può essere determinato utilizzando fonti isotrope per i
diagrammi di radiazione del sotto-array iniziale;
2. può essere determinato applicando ricorsivamente l'espressione
fino allo stadio L del modello di radiazione voluto;
Nella Fig.2.4.3 viene mostrato un esempio che illustra questo processo per
l'array della Fig. 2.4.2.
Fig. 2.4.3: Formazione del fascio con algoritmo ricorsivo.
La formazione del fascio in modo ricorsivo può essere sfruttata per
37
accelerare la convergenza dell'algoritmo genetico (GA):
•
Generalizzazione dell'algoritmo genetico di routine con crossover per
array polifrattali di varie dimensioni: questo processo combina
essenzialmente varie trasformazioni lineari affini di ogni array
genitore ed esegue crossover a questo livello. Le trasformazioni
risultanti sono poi combinate negli array figli;
•
Generalizzazione dell'algoritmo genetico di routine con mutazione per
array polifrattali di varie dimensioni: la mutazione genetica consiste
tipicamente nella modifica di un singolo parametro che può essere
eseguita sia su qualsiasi parametro globale che su qualsiasi
trasformazione. Inoltre, la mutazione può anche rimuovere o
aggiungere un gene ad un generatore e può essere utilizzata per
commutare l'ordine dei generatori;
Processo Generatore Autopolyploidization (Espansione del numero di
generatori)
Quando per una popolazione di array polifrattali l'ottimizzazione
sembra raggiungere convergenza prematura può essere usato un unico
processo di mutazione per stimolare l'evoluzione del processo, chiamato
generatore autopolyploidization.
Il processo generatore autopolyploidization divide ogni generatore
frattale casuale in due parti uguali. I fattori di collegamento utilizzati per
selezionare il generatore precedente vengono divisi uniformemente per
scegliere tra i due nuovi generatori. In questo modo gli array sono
esattamente gli stessi ma sono descritti utilizzando il doppio del numero
di parametri locali, aggiungendo così nuova flessibilità per l'evoluzione
38
genetica.
Dopo la duplicazione del generatore, ogni parametro cromosoma è
mutato di una piccola quantità attraverso un processo di perturbazione
che aggiunge un grado di diversità genetica alla popolazione e che è
d'aiuto alla generale procedura evolutiva. La popolazione è così pronta
per un altro periodo, o epoca, di evoluzione genetica.
Un esempio di questo processo generatore autopolyploidy è illustrato
nella Fig. 2.4.4 per la trasformazione di un unico generatore array frattale
in due generatori array polifrattali.
Fig.2.4.4: Processo Generatore Autopolyploidization.
Al generatore autopolyploidization può essere applicato il processo di
ottimizzazione.
Inizialmente, l'algoritmo genetico è utilizzato per far evolvere soluzioni
semplici costituite da un piccolo numero di generatori. Il numero limitato
di generatori limita l'iniziale geometria dell'antenna ad una piccola area di
ricerca.
L'ottimizzazione sfrutta questo breve tempo di valutazione fino a che la
convergenza è raggiunta. A questo punto l'algoritmo non potendo ottenere
ulteriore
miglioramento
richiama
39
il
processo
generatore
autopolyploidization per espandere il numero di generatori. Questa
espansione ha per contro l' aumento del tempo di valutazione, ma il
processo di ottimizzazione ha ora una buona idea di dove cercare
soluzioni più complesse basate sui disegni più semplici trovati durante
l'epoca precedente.
Contrariamente,
se
l'algoritmo
genetico
iniziasse
ottimizzando
soluzioni più complesse richiedere molto più tempo per valutare ogni
array. Questo ciclo di autopolyploidization può essere ripetuto più volte,
producendo più e più soluzioni complesse per ogni epoca di
ottimizzazione.
Se il progresso evolutivo fosse riassunto per ogni generazione, il
diagramma risultante mostrerebbe un pattern a scalini.
Esempio: Metodologia di progettazione GA per l'evoluzione di un
allineamento polifrattale lineare ottimo, uniformemente eccitato.
Si consideri un array con N-elementi. In questo caso, una popolazione
iniziale è ottimizzata per minimizzare il livello di picco dei lobi laterali e
mantenere una stretta apertura del fascio per un'array polifrattale avente
spaziatura minima tra elementi di 0,5λ. La popolazione iniziale si basa su
2401 elementi.
Il processo di ottimizzazione è diviso in tre epoche evolutive.
40
Fig. 2.4.5: Diagramma di evoluzione.
Lo schema evolutivo, mostrato nella Fig. 2.4.5, presenta il caratteristico
modello
a
scala
risultante
dalle
tre
operazioni
del
generatore
autopoliploidi:
•
la prima epoca, gli array polifrattali hanno due generatori. Questa
epoca finisce alla generazione 217;
•
la seconda poca, gli array polifrattali hanno quattro generatori e
termina 200 generazioni dopo;
•
la terza epoca iniza con ogni array polifrattale avente otto
generatori;
Il progetto finale con 1616 elementi è stato trovato dopo 700 generazioni
e ha un livello di sidelobe -24,30 dB e apertura del fascio a 3 dB di 0,056 °.
L'algoritmo ricorsivo per la formazione del fascio mediamente ha
calcolato diagrammi di radiazione:
•
20 volte più veloce per array con due generatori;
•
15 volte più veloce per gli array con quattro generatori;
•
10 volte più veloce per gli array con otto generatori;
rispetto ad un convenzionale approccio con DFT.
41
La Tabella 2.4.1 riassume questi aumenti di velocità per ogni epoca.
Tabella 2.4.1: Numero di Generatori e Valutazione della velocità di incremento.
Nella Tab. 2.4.2 vengono inoltre riassunti i valori di prestazione
dell'antenna, in Fig. 2.4.6 sono mostrati i grafici dell'AF e in Fig.2.4.7 la
disposizione geometrica dell'array.
Tab. 2.4.2: Proprietà dell'Array polifrattale ottimizzato con GA alla generazione 700 con 1616
elementi.
Fig. 2.4.6: Diagramma di radiazione per un array polifrattale ottimizzato con GA alla 700
generazione con 1616 elementi.
Fig. 2.4.7: Layout di un array polifrattale ottimizzato da 1616 elementi.
Altri problemi di progettazione complessi possono avere criteri diversi
da ottimizzare. In questi casi, è opportuno confrontare le soluzioni che si
trovano sul fronte di Pareto. Diverse sono le tipologie di AG sviluppate
per la ricerca di questo fronte di Pareto.
42
Fronte di Pareto
L'Analisi di Pareto è una metodologia statistica utilizzata per
individuare i problemi più rilevanti nella situazione in esame e quindi le
priorità di intervento. Il fronte di Pareto è un insieme di soluzioni ottime,
ovvero è costituito da tutti i punti non dominati, cioè da quei punti per i
quali non esiste nessun punto che sia migliore contemporaneamente per
tutti gli obiettivi considerati nella funzione di ottimizzazione.
43
2.5 Piastrellamenti Aperiodici
2.5 Piastrellamenti aperiodici
Questo paragrafo è dedicato alle metodologie di
progettazione per antenne a schiera che si basano
sul piastrellamento frattale e aperiodico. Questa
tecnica ha trovato applicazioni in molti campi,
come la cristallografia, la biologia, e la teoria della
comunicazione e recentemente è stata applicata con
successo anche all'elettromagnetismo.
Fig.2.5.1: Piastrella Frattale
La particolare geometria di questi oggetti è sfruttata per generare array di
antenne che mostrano bassi livelli di lobi laterali quando le minime
distanze tra gli elementi sono di almeno una lunghezza d'onda.
Inoltre, è stato dimostrato che robusti schemi di perturbazione con GA
possono essere utilizzati per migliorare notevolmente le prestazioni di
questi array.
Array Frattile
Un'array frattile (cioè con piastrella frattale) è definito come un array
composto da un affiancamento di sotto-array autosimilari il quale:
Per
•
ha confini frattali;
•
ricopre il piano o una sua porzione senza sovrapposizioni o lacune;
array
sufficientemente
grandi,
sfruttando
la
proprietà
di
autosimilarità si può sviluppare una procedura iterativa per il calcolo del
campo lontano più veloce rispetto all'utilizzo di una DFT.
44
Peano-Gosper Fractile Array (PGFA)
Un tipo specifico di array frattile, ampiamente discusso in letteratura, è
basato sulla famiglia di curve di Peano-Gosper ed è noto come array
frattile Peano-Gosper (PGFA). Gli elementi dell'array sono uniformemente
distribuiti lungo una curva Peano-Gosper, che porta a una configurazione
planare con geometria esagonale delimitata da un perimetro frattale di
Koch. Il confine frattale di Koch e il suo interno formano un'isola Gosper
che può essere utilizzata per ricoprire il piano.
Il PGFA può essere costruito iterativamente a qualsiasi livello usando
un insieme di formule per lo spostamento, ridimensionamento e rotazione
della matrice di generazione definita nella fase iniziale.
Werner et al e Bogard et al sfruttano queste proprietà per sviluppare
una metodologia di progetto per gli array deterministici aventi differenti
proprietà desiderabili, tra cui:
•
una distribuzione di corrente uniforme;
•
bassi livelli dei lobi laterali;
•
ampia larghezza di banda;
•
architettura modulare;
•
capacità di eseguire una rapida formazione del fascio;
Poiché i PGFA posseggono un confine frattale, i livelli dei lobi laterali sono
inferiori a quelli di una matrice rettangolare di dimensione equivalente
con una griglia di elementi esagonali al suo interno. La Fig.2.5.2 mostra un
confronto tra l'AF di un array rettangolare-esagonale con 352 elementi, un
PGFA con 344 elementi, e una Square-Periodic con 361 elementi (19x19).
45
Fig. 2.5.2: Confronto tra l'AF di PGFA, Array Rettangolare con piastrelle esagonali e squareperiodic.
Tutti gli elementi dell'array hanno un'eccitazione uniforme e una minima
spaziatura di una lunghezza d'onda. Con questa distanza la PGFA
presenta complessivamente lobi inferiori rispetto allo Square-Periodic e al
rettangolo-esagonale.
Eliminazione dei lobi laterali dovuti alla griglia
Nella progettazione di un'array bisogna fare attenzione a garantire che
non appaiano lobi dovuti al reticolo quando il fascio principale è
allontanato dal broadside. In Bogard e Werner e in Bogard e al viene
dimostrata una tecnica GA utilizzabile per perturbare le posizioni degli
46
elementi in modo ottimale per la struttura interna del PGFA. Questa
procedura comporta un'architettura phased array modulare o piastrelle
che abbiano:
•
un contorno frattale;
•
una disposizione aperiodica degli elementi al suo interno;
Ad ogni livello di progettazione, l'array mantiene la sua caratteristica di
banda larga all'interno di un volume di scansione specificato. Esempi di
posizionamento di elementi con algoritmi genetici lungo la curva di
Peano-Gosper sono mostrati nella Fig. 2.5.3. Indichiamo con il simbolo '+'
le posizioni degli elementi uniformemente spaziati e con 'o' la posizione
degli elementi perturbati con GA.
Fig 2.5.3: Distribuzione di elementi a due livelli differenti di progetto di un PGFA.
In Bogard et Werner e in Bogard et al viene studiato e ottimizzato con GA
un PGFA prefrattale arrestato al terzo livello di costruzione e le sue
prestazioni vengono confrontate con quelle di un PGFA uniforme. L'array
ha una spaziatura iniziale tra elementi di 2λ e viene ottimizzato per la
47
scansione fino ad un massimo di θ = 30°.
La Fig. 2.5.4 mostra che nell'AF del PGFA uniforme è presente un lobo
dovuto al reticolo mentre i PGFA ottimizzati con GA hanno completa
soppressione dei lobi reticolari nello stesso intervallo di scansione.
Fig. 2.5.4: (a) AF di un PGFA uniforme (b) AF un PGFA perturbato con GA.
Array Aperiodici
A differenza degli array con piastrelle frattali, che consistono in un
insieme di elementi posizionati a distanza uniforme l'uno dall'altro lungo
una curva e che riempiono lo spazio (ad esempio una curva PeanoGosper), gli array aperiodici sono costituiti da elementi che si trovano ai
vertici di un reticolo aperiodico di piastrelle.
Array siffatti tendono ad avere strutture geometriche che posseggono
un ordine locale e una simmetria di rotazione, ma sono privi di qualsiasi
simmetria traslazionale. Un comune metodo che viene utilizzato per
generare questi piastrellamenti si basa su un processo di decomposizione
simile in alcuni casi alle tecniche IFS utilizzate per generare geometrie di
frattali. Nel processo, le piastrelle vengono scomposte in una collezione di
48
piastrelle più piccole, copie scalate delle piastrelle originali o di altre
tessere. Questo processo iterativo continua fino a quando si crea una
grande piastrella.
Le tessere di Danzer
Le tessere di Danzer sono un esempio di piastrellamento aperiodico che
può essere utilizzato per generare schiere di antenne planari a banda larga
e con bassi lobi laterali .
Le tessere di Danzer comprendono una collezione di tre specifiche
forme-base triangolari. Il piastrellamento ha luogo coprendo il piano con i
triangoli purchè questi mantengano regole di corrispondenza specifiche.
È mostrata una porzione di una piastrellatura Danzer in Fig. 2.5.5 insieme
con le sue forme-base.
Fig. 2.5.5: Regione troncata di un piastrellamento Danzer e le sue tre forme-base.
Un esempio di un array basato su piastrelle-Danzer è mostrato in Fig.2.5.6.
49
Fig. 2.5.6: Geometria iniziale di un array Danzer.
Il livello di picco dei lobi laterali in funzione della spaziatura minima tra
elementi espresa in termini di lunghezze d'onda è mostrato nella Fig2.5.7
Fig. 2.5.7: Comparazione di grafici relativi ai lobi laterali per tre configurazioni di array diverse.
Tutti gli array hanno un'apertura circolare con raggio di 12λ e una distanza minima tra elementi
d = 0.5λ alla più bassa frequenza operativa.
50
Le piastrelle per l'array :
•
sono state scalate in modo che le sue dimensioni fisiche
corrispondano ad una distanza minima tra gli elementi di
d =
•
λ
2
in relazione alla frequenza operativa prevista più bassa;
sono state troncate per avere una apertura circolare con 12 λ di
raggio;
Inoltre nella Fig.2.5.7, le prestazioni dell'array Danzer sono confrontate
rispetto ad un'array periodico convenzionale avente la stessa apertura
circolare e spaziatura tra elementi. E' chiaro che l'array Danzer supera
l'array periodico in termini di soppressione dei lobi reticolari per grandi
distanze tra elementi. Inoltre, per rientrare nella stessa dimensione di
apertura, la matrice periodica convenzionale richiede circa 1.793 elementi,
mentre l'array di Danzer ne richiede solo 811.
Questa classe di array è candidata per essere utilizzata come
riferimento in vari progetti di antenne.
Metodo dei Punti di Perturbazione
Questa tecnica prevede l'aggiunta di un punto all'interno della
piastrella di riferimento. Il processo risultante è la formazione di un
piastrellamento aperiodico che contiene un ulteriore punto all'interno di
ciascuna piastrella. L'array può essere ulteriormente:
•
scalata per avere una determinata spaziatura minima tra elementi;
•
tagliata per adattarsi all'interno di un area desiderata;
51
Regolando la posizione del punto all'interno di ogni tassello di base, è
possibile variare notevolmente le proprietà di radiazione dell'array
aperiodico.
Una tecnica di ottimizzazione basata su GA è stata combinata con una
tecnica di perturbazione al fine di progettare una matrice Danzer avente
livelli dei lobi laterali più bassi possibili, come
d
= 5 . Il GA è stato
λ
usato solo per ottimizzare le coordinate planari dei tre punti
perturbazione aggiuntivi, come illustrato nella Fig.2.5.8
Fig. 2.5.8: (a) Punti di perturbazione per le piastrelle base (b) Esempio di piastrellamento Danzer
troncato con posizionamento di punti di perturbazione.
Durante l'ottimizzazione, tutti gli array generati sono stati scalati per avere
una minima distanza tra elementi di λ/2 e sono stati troncati per avere
un'apertura circolare con un raggio di 12λ alla più bassa frequenza
operativa. La piastrella di base per l'ottimizzazione è la stessa utilizzata
per la formazione dell'array mostrato nella Fig.2.5.6.
52
Il disegno derivante da questo processo di ottimizzazione è mostrato in
Fig. 2.5.9 e presenta un diagramma di radiazione normalizzato con un
massimo livello dei lobi laterali di -10,05 dB e una frequenza spaziale
normalizzata corrispondente a d/λ= 5. Il massimo livello dei lobi laterali in
funzione della frequenza per l'array è mostrato in Fig.2.5.7. Per questo
particolare esempio, il semplice schema di perturbazione è in grado di
estendere notevolmente la larghezza di banda della matrice base di
Danzer.
Fig.2.5.9: Geometria di un Array Danzer ottimizzata con GA.
53
Bibliografia
Bibliografia
[1] Antenna Engineering HandBook, Capitolo 33 Fractal Antennas,
Douglas H. Werner, Joshua S. Petko, Thomas G. Spence
[2] Sito web: www.frattali.it
[3] Sito web: www.miorelli.net
54

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