I sistemi di numerazione

I sistemi di numerazione
I sistemi di numerazione
01-INFORMAZIONE E SUA RAPPRESENTAZIONE
Sia dato un insieme finito di caratteri distinti, che chiameremo alfabeto.
Utilizzando anche ripetutamente caratteri di un alfabeto, si possono costituire dei gruppi di caratteri
giustapposti che chiamiamo sequenza. Ad esempio:
• con l’alfabeto costituito dalle lettere latine si possono formare sequenze come CASA, DIRE,
BELLO, ecc.,
• con l’alfabeto delle cifre arabe si possono formare sequenze come 123, 789, 100000, ecc.,
• con l’alfabeto dei numeri romani si possono formare sequenze come VIII, CL, IL, ecc..
La teoria dell’informazione stabilisce in quali circostanze si può considerare, associata ad una
generica sequenza, una grandezza detta quantità d’informazione, valutabile quantitativamente.
Sono possibili rappresentazioni diverse di una medesima informazione ?
Si considerino due alfabeti A e B con lo stesso numero di caratteri e si stabilisca una corrispondenza
che associ a ciascun elemento di A un elemento di B e viceversa. In tal caso si può dire che gli
insiemi A e B sono l’uno la rappresentazione dell’altro.
In particolare ci interessa considerare possibili corrispondenze tra insiemi di caratteri e l’insieme
degli stati fisici che possono essere assunti da un insieme di enti binari (ente binario = ogni
oggetto suscettibile di trovarsi in uno di due stati fisici distinti).
Il concetto astratto di numero è legato a quello di cardinale di un insieme inteso come quel valore
che indica la quantità di oggetti in esso contenuti.
Questo porta ai numeri naturali che sono la rappresentazione più comoda degli elementi di un
insieme.
Possiamo definire sistema di numerazione l’insieme delle regole che permettono, con l’alfabeto
dato, di rappresentare un qualsiasi numero naturale.
Esistono vari sistemi di numerazione; quello che usiamo più comunemente viene detto posizionale.
In un sistema di numerazione posizionale ogni simbolo dell’alfabeto ha un valore, un “peso”, legato
alla posizione che occupa in una sequenza di simboli.
Risulta quindi evidente che simboli uguali possono portare una diversa quantità di informazione (ad
esempio 5, 50, 500 ...).
Un esempio di sistema di numerazione non posizionale è la numerazione romana.
In essa il valore 5 ha il simbolo V mentre il valore 50 ha il simbolo L.
Per passare da 5 a 50 non è sufficiente cambiare la posizione del simbolo 5 (V), ma occorre
introdurne uno nuovo (L).
Questo tipo di numerazione, scomodo da interpretare e poco adatto allo svolgimento dei calcoli, fu
abbandonato ed al suo posto fu adottato il sistema posizionale.
Il più comune sistema posizionale è quello decimale: in esso i simboli sono 10 e quindi diciamo che
questo sistema è in base 10.
Nei calcolatori non esiste la possibilità di utilizzare 10 diversi simboli. La macchina può infatti
riconoscere solo due stati: ON (presenza di segnale), OFF (assenza di segnale).
L’alfabeto a disposizione della macchina è formato da due soli simboli: 1 e 0 rispettivamente
associati agli stati ON e OFF.
I sistemi di numerazione
Per questo motivo occorre utilizzare un sistema di numerazione che prevede l’uso dei soli simboli 1
e 0; per questa sua caratteristica, il sistema prende il nome di sistema binario.
Poiché questo sistema di numerazione utilizza un alfabeto costituito da due simboli: A={0, 1} esso
risulta essere in base due; le cifre 0 e 1 sono dette BIT (BInary digiT). Questo sistema di
numerazione è ancora, come quello decimale, posizionale.
Riepilogando:
un sistema di numerazione è costituito da:
o un insieme finito A formato da n simboli (o caratteri o cifre) distinti detto alfabeto;
o da un codice, cioè un insieme di regole che permettono di associare ed interpretare un gruppo
ordinato di cifre rappresentate da un numero;
o da algoritmi per l’esecuzione di operazioni fondamentali, cioè regole che dati i codici degli
operandi permettono di ricavare il codice risultato dell’operazione.
Le fondamentali regole del codice dei sistemi di numerazione attualmente usati sono:
• le cifre sono ordinate in modo che ognuna abbia un valore di una unità più elevato di quella che
lo precede; (ad esempio: 0<0+1=1<1+1=2<2+1=3<3+1=4<......<8+1=9)
• le cifre hanno valore posizionale cioè legato alla posizione occupata nella sequenza di simboli
assegnata; il “peso” delle varie cifre aumenta con l’aumentare delle posizioni da destra a
sinistra, ad esempio 123456
<-----
• se la quantità da contare è superiore al numero n dei simboli che formano l’alfabeto deve essere
effettuato il riporto di 1 che si somma alla cifra immediatamente a sinistra.
La crescita del valore di un simbolo a seconda della posizione occupata in una sequenza è in diretta
relazione alla base scelta, dove per base B di un sistema di numerazione intendiamo il numero di
cifre diverse considerate o simboli dell’alfabeto.
Es.
base 2 : 0, 1
base 8 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
base 10 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
base 16 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
La cifra di minor valore è 0 e le altre sono, nell’ordine: 1, 2,...,B-1.
Una sequenza di n simboli appartenenti all’alfabeto di cifre nella base B rappresenta un numero
intero
NB : c n-1 ......c3 c2 c1 c0
dove:
• c 0 è la meno significativa, cioè quella di “peso” minore,
• c n-1 è quella più significativa, cioè quella di “peso” maggiore.
Per tale numero vale dunque la rappresentazione:
NB =c n-1*B n-1 + .... + c3*B3 + c2*B2 + c1*B1 + c0*B0
Analogo discorso verrà fatto per un numero frazionario e di conseguenza per un numero misto:
cn-1.....c3c2c1c0c-1c-2c-3
I sistemi di numerazione
NB =c
n-1*B
n-1
+ .... + c2*B2 + c1*B1 + c0*B0 + c-1*B-1 + c-2*B-2
02- SISTEMA DI NUMERAZIONE DECIMALE
Alfabeto: A={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Codice per un numero intero:
POSIZIONE
⇒
VALORE
POSIZIONALE
8
7
8
⇒
6
7
10
5
6
10
4
5
10
3
4
10
10
2
3
10
1
2
10
0
1
0
10
10
Il numero 57427 si può scrivere come:
104 103 102 101 100
⇒ valore posizionale
5
7
4
2
7
⇒ elementi dalla sequenza
|
|
|
|
|
0
|
|
|
|
+-->
7*10 =
7
|
|
|
|
1
|
|
|
+------>
2*10 =
20
|
|
|
2
|
|
+---------->
4*10 =
400
|
|
3
|
+-------------->
7*10 = 7000
|
4
+------------------>
5*10 = 50000
-----57427
cioè: 57427=5*104 +7*103 +4*102 +2*101 +7*100
Codice per un numero misto:
POSIZIONE
⇒
4
VALORE
POSIZIONALE
3
4
⇒
10
2
3
10
1
2
10
1
10
0
0
-1
-1
-2
-3
-2
10 10 10
⇑
punto decimale
-4
-3
10
cioè:
327,261 =3*102 +2*101 +7*100 +2*10-1 +6*10-2 +1*10-3 =
=300+20+7+0.2+0.06+0.001
10
-4
I sistemi di numerazione
Nel caso del sistema binario e di ogni altro sistema di numerazione la tecnica di costruzione di una
tabella per un numero misto è sempre dello stesso tipo:
⇒
POSIZIONE
4
VALORE
3
4
POSIZIONALE
⇒
2
2
3
2
1
2
2
0
1
2
-1
0
2
-2
-1
2
-3
-2
2
-4
-3
2
-4
2
⇑
punto decimale
02.1- CONVERSIONE BINARIO-DECIMALE
Valutando la forma polinomiale otteniamo la conversione del numero espresso in binario nel
corrispondente numero decimale.
Esempio:
24
23
22
21
20
⇒ valore posizionale
1
0
1
0
1
⇒ elementi della sequenza
|
|
|
|
|
0
|
|
|
|
+-->
1* 2 =
1
|
|
|
|
1
|
|
|
+------>
0* 2 =
0
|
|
|
2
|
|
+---------->
1* 2 =
4
|
|
3
|
+-------------->
0* 2 =
8
|
4
+------------------>
1* 2 =
16
-----21
cioè: (10101)2 =1*24 +0*23 +1*22 +0*21 +1*20 =(21)10
I sistemi di numerazione
02.2- CONVERSIONE DECIMALE-BINARIO
Per la conversione della PARTE INTERA ricordiamo che:
n-1
2
1
0
-1
-2
N =c * 2
+ .... + c * 2 + c * 2 + c * 2 + c * 2 + c * 2
2 n-1
2
1
0
-1
-2
dove ci appartiene all’insieme (0,1).
Effettuando divisioni successive per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo otterremo come resti
tutte le cifre binarie
c
..... c c c c c
c
c
n-1
3 2 1 0 -1 -2 -3
che costituiscono la rappresentazione binaria corrispondente al numero dato N.
Il procedimento di conversione si basa sui seguenti passi:
• dividere il numero decimale per 2 fino ad ottenere quoziente nullo;
• considerare la successione dei resti; il primo resto è la cifra meno significativa del numero
binario, mentre l’ultimo resto costituisce la cifra più significativa.
Esempi:
Conversione di (37)10:
quozienti ⇒
quoziente nullo ⇒
(37)10
1
0
1
0
0
1
68
34
17
8
4
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⇒ cifra meno significativa
⇐
resti
⇒ cifra più significativa
=(100101)2
Conversione di (68)10
quozienti
:
⇒
quoziente nullo ⇒
(68)10
37
18
9
4
2
1
0
⇐
resti
=(1000100)2
La conversione della PARTE FRAZIONARIA di un numero in base 10 si ottiene utilizzando il
metodo delle moltiplicazioni successive. Sia N’ la parte frazionaria di un numero :
N2 =c-1 * 2-1 + c-2 * 2-2 + .... + c-m * 2-m
con c i =0 o c i =1
I sistemi di numerazione
Moltiplicando per 2 ambo i membri della precedente uguaglianza, successivamente, si ottiene una
sequenza di interi
c 1 c-2 c-3 c-4 ..... c-m
Il procedimento continua finché la parte frazionaria si annulla, oppure si raggiunge la precisione
voluta di numero di cifre decimali dopo il punto radice.
I passi del procedimento di conversione sono i seguenti:
si moltiplica per 2 la parte frazionaria del numero in base 10,
la parte intera del prodotto è una cifra binaria corrispondente al dato,
se la parte frazionaria non è nulla oppure non si è ancora raggiunto il desiderato numero di
cifre dopo il punto decimale, si considera la parte frazionaria del prodotto e si torna al primo
punto.
Si scrivono le cifre binarie di cui al secondo punto NELL’ORDINE DI DETERMINAZIONE.
Esempio:
Conversione in binario di N’= 0.5625
0.5625
0.1250
0.2500
0.5000
*
*
*
*
2
2
2
2
=
=
=
=
1.1250
0.2500
0.5000
1.0000
--->
--->
--->
--->
1
0
0
1
---> bit più significativo
---> bit meno significativo
(0.5625)10 =(0.1001)2
Conversione in binario di N’= 0.3562
0.3562
0.7124
0.4248
0.8496
0.6992
*
*
*
*
*
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
0.7124
1.4248
0.8496
1.6992
1.3984
--->
--->
--->
--->
--->
(0.3562)10 =(0.01011)
0
1
0
1
1
---> bit più significativo
---> bit meno significativo
2
03- OPERAZIONI BINARIE
03.1- Somma
La somma corrisponde all’operazione logica OR ESCLUSIVO (XOR) ed all’operazione di
UNIONE fra insiemi (U)
+
0
1
0
0
1
1
1
0
⇒ con riporto di 1 : (1) 2 +(1) 2 = (10) 2
Esempio:
A=(10111)2
I sistemi di numerazione
B=(101)
1
0
2
1
1
1
+
1
0
1
-----------------
=
1
1
1
0
0
⇒ elementi dalla sequenza
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+-->
1+1 = 10
|
|
|
+------>
1+1+0 = 10
|
|
+---------->
1+1+1 = 11
|
+-------------->
1+0+0 =
1
+------------------>
1+0 =
1
03.2- Sottrazione
La sottrazione di due numeri si ottiene quindi con METODO DIRETTO (cioè con le normali
regole) come nel sistema decimale tenendo conto degli eventuali prestiti.
-
0
1
0
0
1
1
1
0
⇑
con prestito di 1 : (10) -(1) = (1)
Esempio:
Nel sistema decimale:
1 <- prestito -> 1
732 53 =
-------
732 732 53 =
+--->
63 =
-----|
-------+--> 9
|
79
|
cifra meno significativa restituzione del prestito
Analogamente nel sistema binario:
1 1
⇐ prestiti
⇒
1
101101 ⇐ minuendo
⇒
45 11010 =
⇐ sottraendo ⇒
26 =
----------10011
⇐ differenza ⇒
19
732 +-----> 163 =
|
-------|
679
I sistemi di numerazione
03.3- Moltiplicazione
La moltiplicazione corrisponde all’operazione logica AND ed all’operazione di INTERSEZIONE
fra insiemi (V)
* 0 1
0
0
0
1
0
1
I passi del procedimento di moltiplicazione binaria sono i seguenti:
per ogni serie di prodotti eseguiti spostarsi di un posto verso destra,
addizionare i prodotti parziali.
Esempio:
1110110 *
11001 =
-------1110110
prodotti
0000000parziali
000000011101101110110----------------101110000110
118 *
25 =
---590
236-----2950
03.4- Divisione
La divisione binaria si esegue come quella decimale cioè con i seguenti passi:
si confrontano gli n bits più significativi del dividendo con gli n bits più significativi del
divisore,
la prima cifra del divisore sarà 1 ovvero 0 a seconda che il divisore contenga o no il dividendo,
si applicano successivamente le regole della divisione decimale.
Esempio:
--1001
11
--//11
11
--//
| 11
+---| 11
⇒
prova
11 *
11 =
-----11
11-----1001
più eventuale resto
I sistemi di numerazione
03.5- Sottrazione in complemento a 2
Esaminiamo il caso decimale:
Esempio:
5376 - 3717 = 1659
ovvero
5376 + (10000 - 3717) - 10000 = 5376 + 6283 – 10000 = 5376 + 6282
+ 1 - 10000 = 1659
∑ complemento a 10 del
sottraendo
Determinazione del complemento a 10:
calcolo della potenza del 10 immediatamente superiore al numero da complementare,
sottrazione di 1 a questa potenza,
sottrazione cifra per cifra con il numero dato: si ottiene il complemento a 9,
addizione di 1 al numero ottenuto: si ottiene il complemento a 10.
Esempio:
Calcolo del complemento a 10 di 348: n=3, 103 =1000, 1000-1=999
999 348
---651 + ⇒ complemento a 9
1 =
652
⇒ complemento a 10
Tornando alla sottrazione:
si effettua il complemento a 10 del sottraendo (3717)
3717 ⇒ 9999 - 3717 =
6282 + ⇐ complemento a 9
1 =
--------6283
⇐ complemento a 10
si effettua la somma del minuendo con il complemento a 10 del sottraendo
5376 +
6283 =
------11659 -
⇒ dopo avere eseguito la somma si toglie
la cifra più significativa del risultato
10000 =
------1659
⇓
(1)1659
Nel caso binario ci si comporta analogamente:
si esegue il complemento a 2: invertendo ogni bit del numero e sommando 1,
I sistemi di numerazione
il risultato della somma viene privato del bit più significativo.
Esempio:
1011011 - 11101 = 111110
Procediamo passo passo:
si esegue il complemento a 1 del sottraendo (11101): invertendo ogni bit del numero e
si effettua il complemento a 2 del sottraendo invertito (00010): sommando 1,
1011011 ⇒
0100100 + ⇒ complemento a 1
1 =
--------------100101
⇒ complemento a 2
si effettua la somma del minuendo (1011011) con il complemento a 2 del sottraendo
(11101)
1011011 +
in base 10 ⇒
91 +
1100011 =
71 = ⇐ complemento a 10 di 29
-------------(1)0111110
(1)62
⇓
dopo avere eseguito la somma si toglie la cifra più significativa del risultato
I sistemi di numerazione
04-SISTEMA DI NUMERAZIONE ESADECIMALE
Poiché i numeri binari sono costituiti da sequenza di bit, sono di difficile manipolazione e scrittura
da parte dell’utente.
Per far fronte a tale difficoltà si introduce il sistema di numerazione esadecimale che usa 16 simboli
per rappresentare le cifre.
La relazione fra sistema binario ed esadecimale consiste nel fatto che il numero 4 di cifre del
sistema esadecimale è una potenza del 2 (24 =16). Quattro bits permettono pertanto di rappresentare
le 16 cifre esadecimali.
L’equivalenza fra cifre esadecimali e numeri binari è definita dalla seguente tabella:
Esadecimale
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Binario
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Il sistema di numerazione esadecimale permette la rappresentazione semplificata dei numeri binari.
La conversione binario-esadecimale infatti si ottiene raggruppando i bit a gruppi di quattro partendo
da destra, pareggiando le cifre con degli zero e sostituendo la corrispondente cifra esadecimale.
La conversione esadecimale-binario è di facile interpretazione in quanto consiste nella sostituzione
di ogni cifra esadecimale con la corrispondente configurazione di quattro bits.
Esemplifichiamo brevemente come è possibile convertire una sequenza di otto bits in due cifre
esadecimali.
Dato un numero binario N, questo può essere scritto in forma additiva come:
7
6
5
4
3
2
1
0
N = 2 *c +2 *c +2 *c +2 *c +2 *c +2 *c +2 *c +2 *c
2
7
6
5
4
3
2
1
0
dove ci appartiene all’insieme (0,1); raccogliendo i fattori comuni si ottiene:
4
3
2
1
0
0
3
2
1
0
N = 2 *(2 *c +2 *c +2 *c +2 *c )+2 *(2 *c +2 *c +2 *c +2 *c )
2
7
6
5
4
3
2
1
0
tenendo conto del fatto che le sequenze del tipo:
i
i-1
2 *c +2
*c
i-2
+2
*c
i-3
+2
*c
I sistemi di numerazione
i
i-1
i-2
i-3
sono elementi dell’alfabeto esadecimale poiché possono assumere solo valori compresi fra 0 e 15, si
può scrivere:
i
i-1
i-2
i-3
d = 2 *c +2
*c
+2
*c
+2
*c
i
i
i-1
i-2
i-3
con d appartenente all’insieme(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).
i
Tenendo conto di quanto detto, la sequenza corrispondente ad N può essere scritta come:
4
0
1
0
N = 2 *d +2 *d =16 *d +16 *d
2
1
0
1
0
che è quindi una sequenza esadecimale scritta in forma additiva. Questo chiarisce come una
sequenza qualsiasi di cifre binarie può essere immediatamente rappresentata con la corrispondenza
sequenza esadecimale e viceversa.
I sistemi di numerazione
05-ESERCIZI
Esercizio 1
Convertire i seguenti numeri:
(11011,01)2 --> ( ? )
16
(1001,011)2 --> ( ? )
10
Per la conversione in base 16 usare entrambe le tecniche note.
Esercizio 2
Convertire i seguenti numeri:
(42,21)
--> ( ? )
10
2
(241,BA) --> ( ? ) metodo diretto
16
2
(67,15)
--> ( ? )
metodo diretto
8
2
Esercizio 3
Eseguire le seguenti operazioni binarie:
111100 : 1101 con prova
110000 - 1111 con il metodo del prestito ed il metodo del complemento
1010100 * 111
Esercizio 4
Dire qual’è il massimo numero rappresentabile con una sequenza di
n cifre:
binarie.
ottali.
Esercizio 5
Data la sequenza “10” dire a quale (o quali) sistema di numerazione può attribuita ed indicare il
corrispondente valore.
Esercizio 6
Effettuare le seguenti conversioni:
a)
b)
c)
d)
(101011)2 -----> ( ? )10
(45.6)10 -----> ( ? ) 2
(AB7)16 ------> ( ? )10 --------> ( ? ) 8
(1111,0011)2 -------> ( ? ) 10 ---------> ( ? )2
I sistemi di numerazione
Esercizio 7
Dopo aver determinato il minimo sistema di numerazione di appartenenza delle seguenti sequenze
convertirle nelle corrispondenti sequenze decimali:
(123) ? -----> ( ? ) 10
(ABC) ? -----> ( ? ) 10
E’possibile che uno o più degli esercizi seguenti non siano eseguibili con il sistema di numerazione
indicato, in tal caso individuare il minimo sistema di numerazione di appartenenza dei numeri e
sostituire quest’ultimo a quello proposto spiegando il motivo della scelta.
Esercizio 8
Effettuare le seguenti conversioni:
a) (67,15)7
--> ( ? )10
b) (15,5)
--> ( ? )7
10
Esercizio 9
Effettuare la seguente conversione:
1) (100111,10111)
2
2) (100101,11001)
2
3) (110011,00101)
2
4) (111000,00011)
2
5) (110111,11011)
2
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
6) (111101,11111)
2
7) (111111,11111)
2
8) (101010,10101)
2
9) (111100,00111)
2
10) (100101,10111)
2
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
Esercizio 10
Effettuare la seguente conversione:
1)
2)
3)
4)
5)
(55,12)
10
(89,75)
10
(61,45)
10
(75,25)
10
(12,55)
10
---> ( ? )
6)
2
---> ( ? )
7)
2
---> ( ? )
8)
2
---> ( ? )
9)
2
---> ( ? )
10)
2
(75,89)
10
(45,61)
10
(25,75)
10
(45,22)
10
(79,65)
10
---> ( ? )
2
---> ( ? )
2
---> ( ? )
2
---> ( ? )
2
---> ( ? )
Esercizio 11
Effettuare la seguente conversione:
1)
2)
3)
4)
5)
(32,4)
5
(54,3)
6
(61,5)
7
(75,4)
8
(84,2)
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
---> ( ? )
6)
7)
8)
9)
10)
(42,3)
5
(45,3)
6
(45,1)
7
(74,5)
8
(78,5)
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
---> ( ? )
10
---> ( ? )
2
I sistemi di numerazione
9
10
9
10
Esercizio 12
Eseguire la seguente moltiplicazione:
1)
2)
3)
4)
5)
1111011
1011011
1001011
1010111
1111010
*
*
*
*
*
1011
1101
1100
1110
1001
6)
7)
8)
9)
10)
1011010
1001010
1010101
1110011
1010011
*
*
*
*
*
1101
1011
1101
1100
1110
Esercizio 13
Dato l’insieme di caratteri:
1) A = [ 0,1,2,3,4]
2) A
3) A
4) A
5) A
6) A
•
•
=
=
=
=
=
[
[
[
[
[
0,1,2,3,4,5]
0,1,2,3,4,5,6]
0,1,2,3,4,5,6,7]
0,1,2,3,4,5,6,7,8]
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]
individuare la base B del sistema di numerazione costruito a partire dall’insieme A,
spiegare i due metodi che abbiamo individuato per calcolare la base B.
Esercizio 14
Effettuare le seguenti conversioni:
a) (100111,10111)
2
c) (100101,10111)
2
e) (100101,11001)
2
g) (111100,00111)
2
i) (110011,00101)
2
m) (101010,10101)
2
o) (111000,00011)
2
q) (111111,11111)
2
s) (110111,11011)
2
u) (111101,11111)
2
---> ( ? )
16
---> ( ? )
8
---> ( ? )
16
---> ( ? )
8
---> ( ? )
16
---> ( ? )
8
---> ( ? )
16
---> ( ? )
8
---> ( ? )
16
---> ( ? )
8
b) (111101,11111)
2
d) (110111,11011)
2
f) (111111,11111)
2
h) (111000,00011)
2
l) (101010,10101)
2
n) (110011,00101)
2
p) (111100,00111)
2
r) (100101,11001)
2
t) (100101,10111)
2
z) (100111,10111)
2
---> ( ? )
16
---> ( ? )
8
---> ( ? )
16
---> ( ? )
8
---> ( ? )
16
---> ( ? )
8
---> ( ? )
16
---> ( ? )
8
---> ( ? )
16
---> ( ? )
8
Esercizio 15
Effettuare la seguente conversione:
a) (AB6)
16
c) (567)
8
e) (CD9)
16
g) (723)
--> ( ? )
2
--> ( ? )
2
--> ( ? )
2
--> ( ? )
b) (CB7)
16
d) (765)
8
f) (EDB)
16
h) (527)
--> ( ? )
2
--> ( ? )
2
--> ( ? )
2
--> ( ? )
I sistemi di numerazione
8
2
i) (EF8)
--> ( ? )
16
2
m) (375)
--> ( ? )
8
2
o) (9AF)
--> ( ? )
16
2
q) (473)
--> ( ? )
8
2
s) (ABC)
--> ( ? )
16
2
u) (654)
--> ( ? )
8
2
8
2
l) (A8F)
--> ( ? )
16
2
n) (465)
--> ( ? )
8
2
p) (9BD)
--> ( ? )
16
2
r) (345)
--> ( ? )
8
2
t) (A98)
--> ( ? )
16
2
v) (352)
--> ( ? )
8
2
Esercizio 16
Eseguire la seguente sottrazione usando il metodo del prestito ed il metodo del complemento a 2:
1)
2)
3)
4)
5)
1010011
1110011
1010101
1001010
1011010
-
1110
1100
1101
1011
1101
6)
7)
8)
9)
10)
1111010
1010111
1001011
1011011
1111011
-
1001
1110
1100
1101
1011
6)
7)
8)
9)
10)
101110
111010
101011
110011
101011
*
*
*
*
*
1101
1011
1101
1100
1110
6)
7)
8)
9)
10)
1111010
1010111
1001011
1011011
1111011
Esercizio 17
Eseguire la seguente moltiplicazione:
1)
2)
3)
4)
5)
111011
101011
100101
101011
111010
*
*
*
*
*
1011
1101
1100
1110
1001
Esercizio 18
Eseguire la seguente divisione:
1)
2)
3)
4)
5)
1010011
1110011
1010101
1001010
1011010
:
:
:
:
:
1110
1100
1101
1011
1101
:
:
:
:
:
1001
1110
1100
1101
1011
Esercizio 19
Eseguire la seguente divisione:
1)
2)
3)
4)
5)
1010011
1110011
1010101
1001010
1011010
+
+
+
+
+
1110
1100
1101
1011
1101
+
+
+
+
+
1001
1110
1100
1101
1011
Esercizio 20
Rispondere alle seguenti domande:
6)
7)
8)
9)
10)
1111010
1010111
1001011
1011011
1111011
+
+
+
+
+
1001
1110
1100
1101
1011
I sistemi di numerazione
• Cosa si intende per alfabeto? Perché se ne parla a proposito dei sistemi di numerazione?
• Cosa s’intende per sistema di numerazione posizionale? Perché il sistema di numerazione
“romano” non è di tipo posizionale?