VIII esercitazione

VIII Esercitazione: Numeri indice semplici e complessi
Esercizio 1
La serie storica riporta la retribuzione media annua in euro dal 1994 al 1999 di un individuo:
Anno
Retribuzione
annua (euro)
1994
1995
1996
1997
1998
1999
17166
17853
18818
19552
19884
20242
a) Costruire la serie dei numeri indice a base fissa al 1997 e commentarla.
b) Costruire la serie dei numeri indice a base mobile e commentarla.
a) Numeri indice a base fissa (1997=100)
Anno
1994
1995
1996
1997
1998
1999
Numeri
Retribuzione
indice %
annua (euro)
1997=100
17166
87,8
17853
91,3
18818
96,2
19552
100,0
19884
101,7
20242
103,5
17166
100 = 87,8
19552
17853
=
100 = 91,3
19552
18818
=
100 = 96,2
19552
19884
=
100 = 101,7
19552
20242
=
100 = 103,5
19552
I1994 / 97 =
I1995 / 97
I1996 / 97
I1998 / 97
I1999 / 97
Considerando come anno base il 1997 vediamo come la retribuzione del 1999 sia il 3,5% in più di
quella del 1997 mentre la retribuzione del 1994 è il 12,2% in meno di quella del 1997.
1
b) Numeri indice a base mobile
Retribuzione
annua (euro)
17166
17853
18818
19552
19884
20242
Anno
1994
1995
1996
1997
1998
1999
Numero
indice a
base
mobile
---104,0
105,4
103,9
101,7
101,8
17853
100 = 104,0
17166
18818
=
100 = 105,4
17853
19552
=
100 = 103,9
18818
19884
=
100 = 101,7
19552
20242
=
100 = 101,8
19884
I1995 / 94 =
I1996 / 95
I1997 / 96
I1998 / 97
I1999 / 98
La serie evidenzia un continuo incremento relativo delle retribuzioni. Il maggiore incremento
relativo si ha tra il 1995 e il 1996 ed è pari al 5,4%.
Il minore incremento relativo si è verificato tra il 1997 e il 1998 ed è pari a 1,7%.
Esercizio 2
Dati i seguenti prezzi in euro di tende da sole relativamente al periodo gennaio-agosto:
Mesi
Prezzi
Gennaio
1900
Febbraio
1950
Marzo
1985
Aprile
2000
Maggio
2050
Giugno
2075
Luglio
2115
Agosto
2184
a) Costruire la serie dei numeri indice considerando come base fissa il prezzo del mese di gennaio.
b) Si passi dai numeri indice a base fissa a quelli a base mobile.
2
a) Numeri indice a base fissa (gennaio=100)
Mesi
Prezzi
Gennaio
1900
Febbraio
1950
Marzo
1985
Aprile
2000
Maggio
2050
Giugno
2075
Luglio
2115
Agosto
2184
Numeri
indice %
gennaio=100
100,0
102,6
104,5
105,3
107,9
109,2
111,3
114,9
1950
100 = 102,6
1900
1985
=
100 = 104,5
1900
I feb / gen =
I mar / gen
Considerando come mese base gennaio vediamo come il prezzo delle tende sia costantemente
aumentato e ad agosto sia il 14,9% in più rispetto a gennaio.
b) Passaggio da numeri indice a base fissa a numeri indice a base mobile
Bisogna dividere ogni numero indice della serie a base fissa per quello precedente e moltiplicare per
100.
Numero
Numeri
indice a
Mesi
indice %
base
gennaio=100
mobile
Gennaio
100,0
---Febbraio
102,6
102,6
Marzo
104,5
101,8
Aprile
105,3
100,8
Maggio
107,9
102,5
Giugno
109,2
101,2
Luglio
111,3
101,9
Agosto
114,9
103,2
102,6
100 = 102,6
100
104,5
=
100 = 101,8
102,6
105,3
=
100 = 100,8
104,5
I feb / gen =
I mar / feb
I apr / mar
3
Esercizio 3
La tabella seguente riporta i prezzi e le quantità di quattro motoveicoli venduti in una
concessionaria nei mesi di gennaio e dicembre 2001
Gennaio
Dicembre
Tipo di Prezzi Quantità Prezzi Quantità
prodotto in euro vendute in euro vendute
A
1450
413
1500
405
B
2100
640
2110
590
C
3000
520
3100
580
D
12000
150 13000
120
Calcolare
l’indice dei prezzi di Laspeyres
1)
l’indice dei prezzi di Paasche
2)
l’indice dei prezzi di Fisher
3)
1) L’indice dei prezzi di Laspeyres
M
I =
L
t
∑p
m =1
M
∑p
m =1
mt
q m0
100
m0
q m0
Dove
p mt sono i prezzi dei veicoli nel mese di dicembre
q m 0 sono le quantità di veicoli venduti nel mese di gennaio
p m 0 sono i prezzi dei veicoli nel mese di gennaio
1500 × 413 + 2110 × 640 + 3100 × 520 + 13000 × 150
100
1450 × 413 + 2100 × 640 + 3000 × 520 + 12000 × 150
I Lt = 1,0432 × 100 = 104,32
I Lt =
Da gennaio a dicembre i prezzi dei 4 veicoli sono aumentati del 4,32% , assumendo che le quantità
vendute siano rimaste quelle di gennaio.
2) L’indice dei prezzi di Paasche
M
I =
P
t
∑p
m =1
M
∑p
m =1
mt
q mt
m0
100
q mt
Dove
p mt sono i prezzi dei veicoli nel mese di dicembre
q mt sono le quantità di veicoli venduti nel mese di dicembre
p m 0 sono i prezzi dei veicoli nel mese di gennaio
4
1500 × 405 + 2110 × 590 + 3100 × 580 + 13000 × 120
100
1450 × 405 + 2100 × 590 + 3000 × 580 + 12000 × 120
I Pt = 1,0408 × 100 = 104,08
I Pt =
Da gennaio a dicembre i prezzi dei 4 veicoli sono aumentati del 4,08% , assumendo che le quantità
vendute siano quelle di dicembre.
3)L’indice dei prezzi di Fischer
I Ft = I Lt ⋅ I Pt
I Lt = 104,32
I Pt = 104,08
I Ft = 104,32 ⋅ 104,08 = 104,20
Esercizio 4
La tabella seguente riporta i prezzi e le quantità degli agrumi venduti all’ingrosso nel 1969 e nel
1979
Prezzi all'ingrosso
1969
1979
Arance
5720
23695
Limoni
10770
43280
Mandarini
9025
31750
Agrumi
Quantità
1969
1979
6626
5528
2154
2235
1700
1591
Calcolare
l’indice dei prezzi di Laspeyres
4)
l’indice dei prezzi di Paasche
5)
l’indice dei prezzi di Fisher
6)
1) L’indice dei prezzi di Laspeyres
M
I =
L
t
∑p
m =1
M
∑p
m =1
mt
q m0
m0
100
q m0
Dove
p mt sono i prezzi degli agrumi nel 1979
q m 0 sono le quantità degli agrumi venduti nel 1969
p m 0 sono i prezzi degli agrumi nel 1969
5
p mt q m 0
Agrumi
Arance
157003070
Limoni
93225120
Mandarini 53975000
Totale
304203190
I Lt =
p m 0q m0
37900720
23198580
15342500
76441800
304203190
100 = 397,9
76441800
Dal 1969 al 1979 il prezzo degli agrumi è quasi triplicato, assumendo che le quantità vendute siano
rimaste quelle del 1969.
2) L’indice dei prezzi di Paasche
M
I =
P
t
∑p
m =1
M
∑p
m =1
mt
q mt
100
m0
q mt
Dove
p mt sono i prezzi degli agrumi nel 1979
q mt sono le quantità degli agrumi venduti nel 1979
p m 0 sono i prezzi degli agrumi nel 1969
p mt q mt
Agrumi
Arance
130985960
Limoni
96730800
Mandarini 50514250
Totale
278231010
I Pt =
p m 0q mt
31620160
24070950
14358775
70049885
278231010
100 = 397,2
70049885
Dal 1969 al 1979 i prezzi degli agrumi sono aumentati del 297,2% , assumendo che le quantità
vendute siano quelle di del 1979
3)
L’indice dei prezzi di Fischer
I Ft = I Lt ⋅ I Pt
I Lt = 397,9
I Pt = 397,2
I Ft = 397,9 ⋅ 397,2 = 397,5
6
Esercizio 5
Si consideri la seguente serie dei numeri indici a base mobile
Anno
Numero
indice a base
mobile
1989
1990
----
1,06
1991
1992
1,12
1,20
1993
1,28
1994
1,34
1995
1,45
1996
1,55
Costruire la serie dei numeri indice a base fissa al 1993
Per ottenere la serie dei numeri a base fissa con periodo base uguale a 1993
a. Si pone uguale a 1 il numero indice della serie a base mobile relativo al periodo t scelto come
base (1993)
1993=1
b. Il numero indice a base fissa corrispondente a un periodo h successivo a t (t<h)si ottiene
moltiplicando il corrispondente numero indice a base mobile per tutti quelli che lo precedono sino
al periodo t+1 incluso.
Il numero indice del 1994 resta 1,34
Il numero indice del 1995 1,34·1,45=1,94
Il numero indice del 1996 1,34·1,45·1,55=3,01
c. Il numero indice a base fissa corrispondente a un periodo k precedente a t (k<t) si ottiene
calcolando l’inverso del prodotto dei numeri indice a base mobile dal tempo k+1 sino a t incluso
Il numero indice del 1992
Il numero indice del 1991
Il numero indice del 1990
Il numero indice del 1989
(1,28) −1 =0,78
(1,28 ⋅1,20) −1 = 0,65
(1,28 ⋅1,20 ⋅1,12) −1 = 0,58
(1,28 ⋅1,20 ⋅1,12 ⋅1,06) −1 = 0,55
Anno
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
Numeri indice
1993=100
0,55
0,58
0,65
0,78
1,00
1,34
1,94
3,01
Moltiplicando per 100 ogni numero indice si ottiene la serie percentuale dei numeri indice a base
fissa.
7