XVI. Dimensione

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Introduzione
La localizzazione d’un qualsiasi punto sulla retta reale rispetto
all’origine è individuata tramite la distanza dall’origine considerando
il verso, indicato con + o -. Essa è rappresentata come un multiplo
della distanza tra l’origine stessa ed il punto unitario.
Per individuare un punto su una linea si procede in modo analogo.
Sistemi di coordinate
Omeomorfismi
Connessione
Dimensione topologica
Spazi metrici
Flatlandia
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Sistemi di coordinate
Sistemi di coordinate
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S
S
S
S
S
S
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Per localizzare un qualsiasi punto nel piano occorrono due
coordinate, per esempio una distanza ed una direzione.
Analogamente nel caso d’una superficie qualsiasi.
XVI - 1
Sistemi di coordinate
Esempio:
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XVI - 2
Sistemi di coordinate
Si consideri un qualunque punto nello spazio: la sua localizzazione,
rispetto alla terra, è fatta in genere utilizzando le tre coordinate
geografiche, basate sulla posizione d’una retta che unisce il punto
con il centro della terra:
1) latitudine: l'angolo formato dalla retta con il semipiano
equatoriale;
2) longitudine: l'angolo formato dalla retta con il piano che contiene
il meridiano di Greenwich (Londra),
3) altezza sul livello del mare: la lunghezza del segmento della retta
fra il livello del mare ed il punto.
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XVI - 4
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Sistemi di coordinate
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Sistemi di coordinate
Per le rappresentazioni
geometriche, anche se meno
naturale, si preferisce un
sistema omogeneo: si chiama
sistema di coordinate
cartesiane quello basato su
schiere di rette, piani, varietà
lineari parallele ortogonali.
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XVI - 5
Sistemi di coordinate
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XVI - 6
Sistemi di coordinate
Con queste rappresentazioni:
- il numero di schiere corrisponde alla dimensione dello spazio
geometrico che si sta considerando.
- ogni punto si trova esattamente su uno ed un solo elemento di
ciascuna schiera, ed è pertanto definito da una n-pla di
parametri, ciascuno associato ad un elemento della schiera
corrispondente.
... ma cos'è la dimensione?
Anche nel caso del piano, al posto di due schiere di curve si
preferiscono due schiere di rette (ortogonali).
come si fa a dividere in due uno spazio?
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XVI - 7
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XVI - 8
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Omeomorfismi
Omeomorfismi
Sottospazio topologico
Sia A
X dove (X,T ) è uno spazio topologico.
Allora (A, T ') dove
T '= {F | F = A
TeT T }
si chiama sottospazio topologico di X con la topologia indotta da
(X,T).
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Omeomorfismi
Definizione
Siano X e Y spazi topologici. Una funzione f da X in Y è un
omeomorfismo se f è biunivoca e f ed f -1 sono entrambe continue.
Nota: Una biiezione fra due insiemi che conserva la struttura
comune si chiama isomorfismo per quella struttura. Un
omeomorfismo è quindi un isomorfismo per la struttura di spazio
topologico.
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Omeomorfismi
Esempio:
Se i tondi blu
sono degli
aperti del
piano,
i
segmenti sulla
retta dentro i
tondi sono
aperti della
retta come
sottospazio
del piano.
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XVI - 10
Omeomorfismi
Una proprietà P valida per uno spazio X è una proprietà topologica
se è verificata da ogni spazio topologico omeomorfo ad X.
La connessione è un esempio di proprietà topologica, giacché un
omeomorfismo fa corrispondere aperti ad aperti e chiusi a chiusi.
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XVI - 12
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Omeomorfismi
Omeomorfismi
Esempi:
Si chiama
l’insieme dei numeri reali
positivi.
è un gruppo commutativo rispetto al prodotto (non
rispetto alla somma).
Esempi:
Un segmento di retta ed una linea finita sono
omeomorfi.
La funzione
è un isomorfismo fra gruppi ed un
omeomorfismo fra spazi topologici:
.
Una superficie piana
ed una superficie
qualunque sono
omeomorfe.
Naturalmente, la funzione inversa
è anch’essa
un isomorfismo fra gruppi ed un omeomorfismo fra spazi topologici:
.
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XVI - 13
Connessione
Connessione
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XVI - 14
Connessione
Proposizione
=A
D(A)
=A
F(A)
e
Definizione
La chiusura
d’un sottoinsieme A d’uno spazio topologico X è
l’intersezione degli elementi della famiglia d’insiemi chiusi contenenti
A.
Valgono i seguenti risultati:
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Nota: Poiché l’intersezione d’una qualsiasi famiglia di chiusi è un
chiuso,
è un chiuso. Precisamente è il più piccolo chiuso che
contiene A.
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XVI - 16
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Connessione
Definizione
Due sottoinsiemi A e B d’uno spazio topologico sono separati se e
solo se
ovvero se in nessuno dei due cadono punti d’accumulazione per
l’altro.
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Connessione
Esempio
A e B sono separati:
C e D aperti (senza F) sono separati,
F = F(C) = F(D)
è la frontiera comune,
dunque, se
è la
chiusura di C
allora E e D non sono separati, perché
.
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Connessione
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Connessione
Definizione
Uno spazio topologico X è connesso se X non è unione di due
sottoinsiemi non vuoti separati. Altrimenti si dice sconnesso.
Proposizione
Se A e B sono separati ed A
aperti e chiusi e viceversa.
Nell’esempio precedente, A
è: togliendo F, lo è C D.
B è sconnesso, mentre E
Infatti, da
aperto e viceversa.
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D non lo
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B = X, allora essi sono entrambi
segue che
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e B è chiuso, dunque A è
XVI - 20
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Connessione
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Connessione
Ad ogni punto di X si può associare il sottoinsieme di X connesso
massimale che lo contiene. Esso si chiama la componente connessa
di X contenente il punto considerato.
Ogni spazio topologico X si scompone in componenti connesse
disgiunte chiuse e a due a due separate. Esse sono una partizione di
X.
Esempio:
l’insieme I = [1,2] [3,4] unione di due insiemi chiusi è sconnesso:
i due insiemi [1,2], [3,4] sono infatti reciprocamente complementari,
dunque anche aperti.
Uno spazio connesso possiede una sola componente connessa: sé
stesso.
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Come si sconnette
topologico?
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Connessione
uno
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spazio
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Dimensione topologica
Dimensione topologica
S’osservi che:
S un punto non può essere sconnesso;
S una linea può esser sconnessa da un punto, che costituisce la
frontiera delle due semilinee che rimangono;
S una superficie può esser sconnessa da una linea, che costituisce
la frontiera fra le due semisuperfici che rimangono;
S ecc.
Il modo di sconnettersi d’uno spazio topologico è un’indicazione
della sua dimensione.
Rimuovendo dallo spazio X la
frontiera d’un sottoinsieme,
quest’ultimo ed il suo complementare
risultano separati. X pertanto viene
sconnesso.
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XVI - 24
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Dimensione topologica
Dimensione
Dimensione topologica
Negli spazi topologici, la dimensione è un invariante topologico.
Definizione
Uno spazio X ha dimensione 0 in un punto p (dim (X in p) = 0) se
esistono intorni aperti arbitrariamente piccoli di p con frontiera
vuota.
Esempio:
Uno spazio topologico costituito da un solo punto ha dimensione 0.
Infatti la frontiera del punto è vuota.
Si fissa per convenzione:
Si dice che X ha dimensione 0 (dim X = 0) se dim (X in p)= 0 per
ogni p X.
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XVI - 25
Dimensione topologica
Dimensione locale
Uno spazio X ha dimensione n (n 0) in un punto p (dim (X in
p) n) se p appartiene ad intorni aperti arbitrariamente piccoli la
cui frontiera ha dimensione (n-1).
X ha dimensione n in p (dim (X in p) = n) se dim (X in p)
dim (X in p) n-1 è falsa.
n, ma
Dimensione globale
Lo spazio X ha dimensione n (dimX n) se dim (X in p) n per
ogni punto p in X; infine X ha dimensione n (dimX = n) se dimX n,
ma dimX (n-1) è falsa.
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dim
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= -1 e dim X = -1
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X=
XVI - 26
Dimensione topologica
Pertanto:
S un punto ha dimensione 0,
S perché non si può sconnettere;
S una linea ha dimensione 1,
S perché è sconnessa da un punto;
S una superficie ha dimensione 2,
S perché è sconnessa da una linea;
S lo spazio ha dimensione 3,
S perché è sconnesso da una superficie;
S ecc.
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XVI - 28
Dimensione
Dimensione topologica
Dimensione
Due spazi topologici omeomorfi hanno la stessa dimensione
topologica. Non è vero il viceversa.
Esempio:
Una ciambella
ed una palla
h a n n o
entrambe
dimensione
topologica 3,
ma non sono
omeomorfe.
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Spazi metrici
Spazi metrici
Definizione
Uno spazio metrico è costituito da un insieme non vuoto X e da una
funzione d : X × X R, detta metrica o distanza su X, verificante,
per ogni x, y, z X, le condizioni seguenti:
1) d (x, y) 0, d (x, y) = 0 se e solo se x = y;
2) d (x, y) = d (y, x) (simmetria);
3) d (x, y) d (x, z) + d (z, y) (disuguaglianza triangolare).
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XVI - 29
Spazi metrici
Esempi:
Si chiama metrica L2 o euclidea sul piano la distanza d tale che per
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Spazi metrici
Dato uno spazio metrico (X, d), sia x X e sia r un numero reale
positivo. Si chiama disco aperto di centro x e raggio r l’insieme
seguente:
Dr (x) = { y
ogni punto x, y si abbia
Si chiama metrica L1 o di Manhattan sul piano la distanza d tale che
per ogni punto x, y si abbia
XVI - 30
X : d (x, y) < r }
Definizione
Sia X uno spazio metrico. Un aperto in X è un sottoinsieme U di X
tale che U = oppure U è unione di dischi aperti.
Se X è uno spazio metrico, gli aperti di X formano una topologia su
X, detta topologia indotta dalla metrica.
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XVI - 32
Dimensione
Flatlandia
Dimensione
Flatlandia
Esempio di diagramma con una dimensione tempo:
Totale di incendi per anno.
Flatlandia
Quante dimensioni ha lo spazio in cui
viviamo?
Ognuno è pronto a rispondere «tre»,
ma in maniera più cauta si dovrebbe
rispondere «almeno tre».
Esiste dunque
dimensione?
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una
quarta
Escher - Another World
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Flatlandia
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XVI - 34
Flatlandia
Tesseract o Ipercubo
Dalì - Corpus
hypercubus
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Flatlandia
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Agli
Abitanti dello SPAZIO IN GENERALE
è dedicata quest’opera
da un umile nativo della Flatlandia
nella speranza che,
come egli fu iniziato a misteri
delle TRE Dimensioni
avendone sino ad allora conosciute
SOLTANTO DUE,
così anche i cittadini di quella Regione Celeste
possano aspirare sempre più in alto
ai segreti delle QUATTRO, CINQUE
Per una casa a forma di ipercubo:
Robert A. Heinlein (1940), «And He Built a Crooked House»,
Astounding Science Fiction Magazine, Street & Smith
Publications, Inc.
http://www.scifi.com/scifiction/classics/classics_archive/heinlein/heinlein1.html
In italiano:
La casa nuova, In: S. Solmi e C. Fruttero (eds.), 1981, Le
meraviglie del possibile - Antologia della fantascienza, Torino,
Einaudi: pp. 389-412.
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Flatlandia
o addirittura SEI Dimensioni,
in tal modo contribuendo
all’arricchimento dell’IMMAGINAZIONE
e al possibile sviluppo
della MODESTIA, qualità rarissima ed eccellente
fra le Razze Superiori
dell’UMANITA’ SOLIDA.
(Edwin A. Abbott, Flatlandia.
Milano, Adelphi, 1995.)
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Flatlandia
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