Il ruolo della narrazione nell`insegnamento/apprendimento delle

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO
FACOLTÀ DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA
INDIRIZZO SCUOLA PRIMARIA
Il ruolo della narrazione nell’insegnamento/apprendimento delle frazioni
con situazioni a-didattiche
Studente:
Di Martino Valeria
Matr. 0502716
Relatore:
Prof. Filippo Spagnolo
Anno Accademico 2008/2009
Sessione Estiva
1
2
Indice
P REMESSA
5
C AP ITOL O 1
7
Il ruolo della narrazione
1.1 La narrazione e l’uomo
7
1.2 Le ragioni di un interesse privilegiato
9
1.3 Caratteristiche peculiari
10
1.4 Il valore formativo de!a narrazion"
12
1.5 La narrazione ne!’insegnamento/apprendimento de!a matematica
13
C AP ITOL O 2
17
Il paradigma teorico di riferimento
2.1 La relazione insegnante.sapere: la trasposizione didattica
21
2.2 La relazione a!ievo#sapere: gli ostacoli
23
2.3 La relazione insegnante#a!ievo: il contratto didattico
26
2.4 La situazione a#didattica
27
C AP ITOL O 3
Le questioni epistemologiche sulle frazioni
35
3.1 Il panorama internazionale de!e ricerche in quest’ambito
36
3.2 Noetica e semantica de!e $azioni
39
3.3 Vari modi di intendere il concetto di “$azione”
43
3.4 Misconcezioni di $azioni
48
3
3.5 Ostacoli legati a!’‘insegnamento/apprendimento de!e $azioni
48
3.6 Uno sguardo al futuro: il contributo de!e neuroscienz"
51
C AP I T OL O 4
53
Il contesto sperimentale
4.1 La storia de!a sperimentazion"
53
4.2 Individuazione del problema e definizione de!’o%etto di indagin"
54
4.3 Ipotesi sperimentale di ricerca
55
4.4 Strumenti di falsificazion"
55
4.5 Campione di ricerca
56
4.6 Metodologia di ricerca
56
4.7 Strumenti impiegati
56
4.8 Disegno di ricerca
58
C AP I T OL O 5
59
Il percorso operativo
5.1 Fase preliminar"
59
5.2 Fase sperimental"
60
C AP I T OL O 6
81
Il controllo dei risultati
Questionario A: Di&coltà ne!’ordinar"
82
Questionario B: Di&coltà ne!e operazioni
86
Questionario C: Di&coltà nel riconoscere gli schemi
90
4
Questionario D: Di&coltà nel gestire l’a%ettivo ugual"
93
Questionario E: Di&coltà nel gestire l’equivalenza
96
Questionario G: Di&coltà nel gestire figure non standard
99
Questionario H: Di&coltà nel passare da una $azione a!’unità che l’ha
generata
102
Questionario I: Di&coltà nel gestire autonomamente schemi o figur"
105
Conclusioni sperimentali
108
C O NC L USI ON E
111
B I BL IOG RA F I A
113
A L L EGATI
119
5
6
PREMESSA
Come le altre discipline, anche la matematica si propone di promuovere l'acquisizione degli atteggiamenti, delle capacità e delle conoscenze indispensabili
ad ogni essere umano per affrontare le situazioni della vita, che, in una civiltà in
rapida trasformazione qual è quella nella quale viviamo, si fanno ogni giorno
più problematiche. Mentre nelle civiltà statiche del passato poteva bastare l'acquisizione di ben determinati atteggiamenti ed abilità per far fronte a situazioni
che restavano sempre identiche, nella civiltà attuale occorre invece poter disporre di atteggiamenti ed abilità che, come già precisavano i Programmi didattici
del 1985, consentano di «pensare il futuro per prevedere, prevenire, progettare,
cambiare e verificare ».
Purtroppo, però, molti sondaggi e rilevazioni condotte in ambito scolastico e
non (prima fra tutte l’indagine OCSE Pisa 2003) sembrano lanciare un allarme
circa la scarsa “simpatia” che il nostro paese dimostra verso la matematica.
Segnali come questi non possono essere ignorati da chi ha il compito di accompagnare le nuove generazioni nel loro primo incontro con questa disciplina. A
livello di scuola primaria, infatti, si gioca il primo round di una partita importante: un’occasione insostituibile per suscitare interesse e curiosità verso la matematica; se il compito fallisce, tutto il successivo percorso scolastico dell’alunno ne sarà condizionato negativamente.
Pertanto, il fattore che stimola la curiosità e l’interesse nel procedere alla ricerca descritta di seguito, consiste nel voler offrire un’occasione, non simulata
ma reale, d’indagine in ambito educativo, fruendo delle grandi risorse insite nell’osservazione e nella sperimentazione per rilevare informazioni sui fattori che
intervengono lungo lo sviluppo della crescita dell’uomo, rivolgendo particolare
attenzione ad una fase scolastica importante quale, per l’appunto, l’apprendimento delle frazioni.
Lo sfondo, all’interno del quale si muoverà la sperimentazione, sarà uno specifico contesto scolastico quale, per l’appunto, la IV A del Plesso San Pio X del
Circolo Didattico San Lorenzo di Palermo.
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La sperimentazione vuole individuare la fiaba come mezzo utile per vivere
positivamente l’approccio alla matematica, e nello specifico alle frazioni, e incoraggiare il bambino a formulare diverse strategie risolutive relative alla situazione a-didattica proposta.
Il presente lavoro vuole quindi proporsi come un metodo di ricerca attiva per
esplorare i vantaggi derivanti dalla mediazione di due particolari strumenti didattici, quali le situazioni a-didattiche e la narrazione, anche in quelle discipline
che “parlano” più di numeri che di parole.
Partendo dai riferimenti teorici di base relativi al pensiero narrativo e alle situazioni a-didattiche e percorrendo l’asse dell’agire attraverso la sperimentazione nel campo di diverse situazioni-problema, si vorranno evidenziare le potenzialità cognitive di entrambi nell’insegnamento/apprendimento delle frazioni.
Dopo aver analizzato il valore formativo e pedagogico della narrazione da affiancare alla matematica (Capitolo 1) e aver inserito le situazioni a-didattiche
all’interno di un paradigma teorico si riferimento (Capitolo 2) analizzerò parte
della letteratura nazionale e internazionale riguardo l’apprendimento delle frazioni, e dei numeri razionali più in generale, (Capitolo 3). L’intento sarà quello
di accostare la narrazione alle situazioni a-didattiche all’interno di un’indagine
di ricerca volta a rilevare un miglioramento nell’apprendimento delle frazioni
con l’apporto di queste due metodologie (Capitolo 4). Osserverò poi gli esiti dell’attività sperimentale volgendo la mia attenzione sia all’aspetto quantitativo, sia
a quello qualitativo (Capitolo 5 e 6). Alla luce di tale indagine di ricerca e dei risultati ottenuti, ho dedicato un ultimo capitolo alle conclusioni e alle prospettive
operative.
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Capitolo 1
I L RU O LO DELLA NARRAZIONE
1.1 La narrazione e l’uomo
Cos’è la narrazione? Perché si narra? Perché è importante narrare? Sono molte le domande che si legano al concetto di narrazione ma, per trovare risposte
attente e corrette, occorre riassumere brevemente i punti salienti del percorso
tracciato dalla stessa narrazione. Partendo dal punto di vista etimologico, il
termine narrare deriva dalla radice gna-, che significa “rendere noto”, mentre il
suffisso -zione, deriva dal latino catione e trasmette il carattere semantico dell’agire, dell’azione, del gesto e di tutta la situazione relazionale. La narrazione si
presenta come un concetto trasversale all’oralità e alla scrittura, sia le civiltà alfabetiche che quelle “illitterate” ne hanno avuto forme più o meno sviluppate. La
narrazione attraversa le culture, le epoche, i luoghi, è connaturata all’uomo, non
si ha testimonianza di civiltà che non hanno utilizzato la narrazione; si potrebbe
dire che essa è nata con l’uomo, con il nascere della socialità e della relazione
interumana.
La narrazione prende forma attraverso i miti, le leggende, le fiabe, i racconti,
la storia, la pittura, i fumetti, le notizie, le conversazioni; dai racconti culturalmente condivisi ai discorsi quotidiani, la costruzione di storie rappresenta un
modo per categorizzare l’esperienza, dando ordine e senso alle imprevedibili vicende umane. Bisogna notare che la narrazione è stata anche lo strumento principe della costruzione e della trasmissione del sapere. F. Loytard, nel suo La
condizione postmoderna, parla della preminenza del pensiero e della forma
narrativa nella costruzione del sapere, assegnando quindi la funzione di trasmissione e d’elaborazione delle conoscenze alla narrazione (Lyotard, 1981).
Nelle culture passate, che si affidavano molto all’oralità, si può notare come le
stesse leggi erano costituite da proverbi e massime, proposte sotto forma di vere
e proprie micro-narrazioni che avevano un ruolo preminente nella vita quotidiana. Si constata invece, nella condizione post-moderna, una crisi del narrare e
della capacità di scambiare esperienze, di dare una rappresentazione esaustiva,
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totalizzante e tranquillizzante della realtà, che possa “ridurre” la complessità
nella quale ci troviamo a vivere. Calvino, in Se una notte di inverno un viaggiatore, scriveva: «Oggi mi sembra che al mondo esistano soltanto storie che restano in sospeso e si perdono per la strada» (Calvino, 1979).
Occorre, oggi giorno, recuperare il valore del racconto. Alcune discipline
quali l’epistemologia, l’antropologia, la storia, la paleontologia, la sociologia, la
neuropsichiatria, la psicanalisi e la psicologia hanno provato a mettere in luce
l’importanza del concetto di narrazione non solo «per attribuire e trasmettere
significati circa gli eventi umani» ma per «...dare forma al disordine delle esperienze» (Eco, 1993).
Kaneklin e Scaratti (1998) hanno ribadito il valore della narrazione come
strumento indispensabile per la costruzione di significati e per la facilitazione
dei processi di cambiamento sociale e organizzativo, poiché il punto di vista narrativo risulta connesso alla modalità esperite dai soggetti di attribuzione di senso agli eventi e alla realtà.
D’altra parte il collegamento mentale tra narrazione ed oralità, non si realizza
con una lettura individuale e silenziosa, ma, evoca l’idea di qualcuno che parla e
qualcuno che ascolta; ad ogni lettore si richiede una trasformazione, una disposizione d’animo poiché la narrazione, la storia si configura anche come momento di sospensione del reale, del presente, basta dire “C’era una volta” per proiettarci fuori dal mondo: nel passato, nel futuro o nell’irrealtà.
Daniel Taylor (1999) sostiene che ognuno è il prodotto delle storie che ha
ascoltato, vissuto e anche di quelle che non ha vissuto; quotidianamente si racconta e ci si racconta, ed è proprio in questa relazionalità, che avviene la negoziazione del proprio sé con quello altrui, in questo senso la narrazione può trovare la propria validazione come strumento e soggetto nel processo formativo
per la costruzione di significati.
Dunque non bisogna semplicemente implementare l’utilizzo nell’educazione
della narrazione tramite storie, romanzi, racconti, ma educare narrando, cioè
occorre dare un impianto narrativo al percorso educativo, concepire l’educazione non solo come tempo e luogo di spiegazioni, della trasmissione del conoscere, ma anche come ascolto reciproco tra soggetti narranti la cui identità è anzitutto un’identità narrativa (Nanni, 1996).
10
1.2 Le ragioni di un interesse privilegiato
Voglio esaminare adesso alcune ragioni dell’interesse particolare che riveste
lo studio di questo genere di testi e che si sono rilevati di notevole importanza
nella strutturazione del progetto sperimentale. Innanzitutto va segnalata la
«precoce familiarizzazione dei bambini con il materiale narrativo, sia scritto che
presentato oralmente» (Pinto, 1993, p.48). Il contatto con il materiale narrativo
e con i libri di storie, è un’esperienza sempre più precoce per il bambino che vive
in società alfabetizzate. Fin dai primi anni di vita egli si trova immerso in un
mondo di narrazioni: non solo fiabe, favole e storie più o meno canonizzate nella
cultura in cui vive, ma anche fumetti, film, cartoni animati e quelle rielaborazioni di fatti quotidiani e eventi autobiografici che gli adulti gli ripropongono in
forma di racconto.
La lettura di fiabe con l’adulto e l’ascolto di storie narrate rappresentano per
il bambino strumenti privilegiati per lo sviluppo linguistico e per la conoscenza
del mondo (Levorato, 1988). Il bambino si appropria precocemente dello “strumento narrativo” e le prime forme testuali comprese, prodotte e scritte dai
bambini sono appunto le narrazioni. Tra le principali ragioni che motivano l’interesse privilegiato rivolto ai testi narrativi, ci sono poi i suoi stretti legami con
l’alfabetizzazione.
Gli studi sui bambini di età prescolare hanno ampiamente sottolineato come
la narrazione costituisca una strada privilegiata affinché il bambino possa entrare precocemente in contatto con la lingua scritta e ricavarne insieme piacere e
competenza (Catarsi, 2001, p. 48). L’importanza dei testi narrativi non si esaurisce comunque nell’età infantile, le favole vengono col tempo sostituite da forme narrative più complesse, come il teatro, il cinema e i romanzi d’autore. La
narrazione è dunque una delle esperienze più frequenti della nostra esistenza e
ha un ruolo rilevante nell’espressione dell’immaginazione e dei vissuti emotivi, e
nella sistematizzazione delle proprie conoscenze e credenze.
Bruner riconosce alla narrazione un ruolo e un’importanza fondamentali, sia
a livello individuale che culturale. Egli ipotizza l’esistenza di un pensiero narrativo, di una «sorta di attitudine o predisposizione a organizzare l’esperienza in
forma narrativa» (Bruner, 1990/1992, p.56). Il pensiero narrativo rappresenterebbe una capacità psicologica propriamente umana, una modalità universale
11
per organizzare l’esperienza e costruire significati condivisi (Bruner, 1986/
1988). Esso è basato sui bisogni dell’essere umano di dare forma e senso alla
realtà e al proprio agire, di comunicare agli altri i significati colti nell’esperienza,
di mettere in relazione passato, presente e futuro; e sulla nostra irriducibile tendenza a rappresentarci gli individui come soggettività dotate di scopi, progetti,
emozioni, intenzionalità, valori (Levorato e Nesi, 2001). E’ infine da sottolineare
che i processi di comprensione e produzione di testi (narrativi e non) vedono
coinvolte numerose abilità e funzioni: il linguaggio, la memoria, il processamento dell’informazione, gli schemi di conoscenza, la metacognizione… Si tratta
quindi di un’area di indagine non chiusa e circoscritta ma ricca di interesse,
proprio perché rappresenta un punto di incontro di ampi settori significativi per
la comprensione delle funzioni psichiche superiori (Levorato, 1988, p.24).
1.3 Caratteristiche peculiari
Quella della narrazione è una categoria molto ampia, varia e “sfuocata” (Levorato, 1988, p.42); numerose sono le sottospecificazioni in cui può essere articolata: le favole e le storie per bambini, i miti, le leggende, le autobiografie, i
romanzi rosa, i gialli, etc. Questi diversi tipi di testi narrativi presentano tuttavia
una serie di caratteristiche comuni e peculiari, che li rendono ben riconoscibili
come tali.
Ciò che fondamentalmente contraddistingue i testi narrativi è l’argomento: le
narrative parlano di azioni e vicissitudini umane, sono sequenze di azioni umane ordinate temporalmente e connesse causalmente. Il protagonista (o i protagonisti), come sottolinea van Dijk (citato in Levorato, 1988), deve essere quindi
umano o umanizzato, dotato di quella capacità di azione e reazione intenzionale
che è il motore fondamentale della storia. Chiunque si accinga a leggere o ad
ascoltare un racconto, ciò che si aspetta di trovare è la vita, non importa se di
persone reali o di personaggi di finzione o di animali “umanizzati”. Quest’intima
unione tra vita e narrazione ha un’importanza fondamentale in tutto il corso
dello sviluppo (Levorato, 2003, p.9).
Dal punto di vista formale, il linguaggio non è tecnico o specialistico, ma si
avvicina al linguaggio quotidiano. Ciò rende questo tipo di testo più facilmente
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accessibile, comprensibile e memorizzabile di altri tipi di testo, le differenze tra
chi lo comprende bene e chi lo comprende meno bene sono più piccole che per
altri tipi di testo, non è necessaria una specifica istruzione (Levorato, 2000).
Spesso, soprattutto nella narrativa per bambini o di fantasia, è presente una
speciale formula d’apertura ( C’era una volta…, Tanto tempo fa in un paese lontano… ). Attraverso questa il fruitore è avvisato che gli eventi raccontati sono
atemporali, non collocabili in uno spazio e un tempo ben definiti e, osserva Eco
(come citato in Levorato, 1988), è implicitamente invitato a non chiedersi se i
fatti raccontati siano reali o immaginari. Come illustra Bruner, una delle proprietà della narrazione è proprio il fatto che “essa può essere reale o immaginaria, senza che la sua forza come racconto abbia a soffrirne” (Bruner, 1990/1992,
p.55). Il criterio che guida la narrazione non è quello della verità ma quello della
“verosomiglianza”. Entra cioè in atto nel lettore una sorta di “sospensione dell’incredulità”, ma un certo grado di plausibilità, senso e coerenza è richiesto anche in quei racconti di finzione che più si allontanano dalla nostra conoscenza
condivisa del mondo.
Infine la classe dei testi narrativi si caratterizza anche per una struttura testuale tipica e comune, piuttosto stabile (Levorato,1988). I racconti hanno una
forte organizzazione temporale, una forte direzionalità; presentano un intreccio
che ha un inizio, uno sviluppo e una fine. “C’è un “prima” e un “dopo” e ciò che
segue è connesso a ciò che precede come in una catena o in un filo” (Levorato e
Nesi, 2001).
1.4 Il valore formativo della narrazione
Oltre che per gli aspetti esaminati, il genere narrativo si caratterizza per il fatto di coinvolgere fortemente la dimensione affettiva e motivazionale del lettore o
dell’ascoltatore. La narrazione non è un semplice resoconto o una lista di eventi.
Di solito nelle storie è presente un “paesaggio duplice”: lo “scenario dell’azione”,
cioè gli eventi e gli accadimenti, e quello della “coscienza”, costituito dai vissuti
emotivi e gli eventi mentali dei protagonisti (Bruner, 1990/1992). I due piani
sono fortemente intrecciati e interconnessi.
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Nella narrazione la tonalità emotiva è spesso molto forte. Il materiale narrativo innesca numerose emozioni: da quelle più “mentali” - come la curiosità,
l’interesse, il divertimento, la suspance - a quelle più “calde”- come la gioia, la
tristezza, la paura - che nascono dal nostro coinvolgimento empatico con gli stati interiori e i punti di vista dei personaggi (Levorato, 2000).
Spesso poi la stilizzazione e la caricatura che caratterizza i personaggi, ne
rende più facile il riconoscimento, dato che ne estrae e ne sottolinea i tratti più
tipici e peculiari. Si tratta dunque di agenti significativi, con cui ci si può confrontare e rispecchiare, e su cui si può costruire una concezione della propria
identità e soggettività.
Sono spesso presenti eventi inattesi, non ordinari, “inghippi”, problemi o
conflitti che devono essere ricomposti o riequilibrati (Levorato, 2000). Questo
“sbilanciamento”, questa problematicità, che è secondo Burke (citato in Bruner,
1990/1992) la ragione stessa della narrativa, mette ancora più in rilievo i vissuti
soggettivi dei personaggi (più o meno esplicitati ma sempre presenti in sottofondo) e calamita l’attenzione del lettore. Nel sperimentazione esposta di seguito è proprio su questi “inghippi” che è richiesta la partecipazione attiva degli
studenti, che intervenendo in un contesto di situazione a-didattica devono aiutare i personaggi a superare le criticità.
Nell’ambito protetto della fiaba, il bambino può quindi sperimentare, attraverso il “come se”, gli effetti di azioni e pensieri mai realizzati, senza essere sottoposto ai possibili rischi derivanti dagli errori.
La fiaba è una sorta di realtà alla quale il bambino si abitua con estrema facilità e dalla quale, per via analogica, desume tutta una serie di indicazioni circa la
comprensione della realtà.
Un valido processo formativo dovrebbe essere in grado di guidare i bambini
verso la maturazione di questa capacità fantastica di ricreare la realtà, utilizzandola come una preziosa risorsa, anche attraverso attività ludiche. Queste devono
strutturarsi in maniera flessibile, in modo tale da permettere a ciascuno di trovare il proprio spazio nell’ambito di una ricca offerta. La presenza di un adulto
che sappia divertirsi “insieme” al bambino può aiutarlo nel suo processo di crescita, ma solo se l’adulto non si sostituisce al bambino.
Ciò contribuisce a far sì che la fruizione di storie e narrazioni sia un’attività
ricercata spontaneamente fin da piccoli, capace di creare intenso coinvolgimen-
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to e dotata di forte valore edonico. Solo negli anni ’90 si sono fatte strada ricerche che hanno studiato il modo in cui il cuore, oltre alla mente, partecipa alla
lettura o all’ascolto di una storia (Levorato e Nesi, 2001, p. 180).
1.5 La narrazione nell’insegnamento/apprendimento del!
la matematica
Sentir parlare di narrazione nell’insegnamento/apprendimento della matematica sembrerebbe piuttosto fuorviante, non soltanto per gli adulti, ma soprattutto per i bambini, i quali difficilmente legano la narrazione a questa disciplina,
definita molto spesso ostica. Solitamente, la narrazione è considerata prevalentemente in ambito letterario, perciò, narrare una fiaba in matematica si mostra
sorprendente.
Non bisogna dimenticare, infatti, che il modo infantile di vivere i rapporti con
il reale, fermo restando il principio del rispetto della individualità di ciascun
bambino, è, in massima parte, magico. Secondo Dallari (1973), la magia infantile non rappresenta “un” aspetto del comportamento del bambino ma piuttosto
ne costituisce l’atmosfera esistenziale. Penso quindi che rispetto al problema di
costruire «...situazioni problematiche concrete, che scaturiscano da esperienze
reali del fanciullo...», così come si legge nelle Indicazioni per il Curricolo, “reale”
non è in contrapposizione con “fantastico” ma con “astratto”, cioè con l’uso di
formalismi e definizioni lontani dal bambino.
Concordo quindi con Rodari, (1973), quando scrive:
«Le fiabe servono alla matematica come la matematica serve alle fiabe.
Servono alla poesia, alla musica, all’utopia, all’impegno politico: insomma all’uomo intero, e non solo al fantasticatore. Servono proprio perché, in apparenza, non servono a niente: come la poesia e la musica, come il teatro o lo
sport...».
Nello stesso libro Rodari afferma che la fiaba può fornire delle chiavi per entrare nella realtà per strade nuove, può aiutare il bambino a conoscere il mondo,
diventa il mezzo per parlare col bambino anche piccolissimo, di tante cose su cui
un discorso diretto sarebbe improponibile.
15
La dimensione fiabesca può essere un valido strumento educativo. Attraverso
la fiaba si possono offrire al bambino occasioni per conoscere e controllare le
sue ansie ed emozioni, per stimolare la sua fantasia e il suo intelletto. Occasioni
che diventino per lui esperienze positive, che lo rendano tranquillo rispetto a ciò
che sta costruendo.
Ho quindi proposto una serie di situazioni problematiche fantastiche per le
risorse inesauribili che tale contesto offre.
Questa situazione problematica fantastica con la quale affrontare le frazioni
e, mediante la quale, creare una situazione di apprendimento che tenga conto
del soggetto che apprende, delle sue caratteristiche, delle sue paure, è una fiaba,
ma con qualcosa in più, è una "fiaba interattiva":
-"fiaba" perché è un racconto fantastico
-“interattiva" perché è accompagnata da schede operative, appositamente
predisposte, che richiedono interventi di manipolazione, di costruzione di sagome, di completamento. Il racconto viene interrotto, in vari punti, da rimandi
ad alcune schede o situazioni a-didattiche che richiedono interventi operativi da
parte degli alunni. Le interruzioni fanno sì che il racconto si presti ad essere letto a puntate.
16
Capitolo 2
PARADIGMA TEORICO DI RIFERIMENTO
La storia della ricerca della “Didattica delle Matematiche” in Italia e nel
mondo nel novecento ha avuto grosso modo tre periodi contrassegnati da:
! Insegnamento delle Matematiche (sino alla metà degli anni ’80). Questo
approccio mette in evidenza i problemi dal punto di vista dell’insegnante e corrisponde grosso modo all’attenzione sui contenuti sul modo di proporre questi
contenuti in modo diverso ma sempre con un approccio matematico. Corrisponde in Italia alla tradizione delle “Matematiche Elementari da un punto di
vista superiore”.
! Apprendimento delle Matematiche (dalla metà degli anni ’80 sino alla fine
degli anni novanta). Si cambia punto di vista, l’allievo è il protagonista e si cerca
quindi di capire come avvengano i processi di apprendimento in matematica
utilizzando tutti gli strumenti a disposizione. La psicologia cognitiva diventa il
riferimento paradigmatico delle ricerche. La parte riguardante l’insegnamento
viene vissuta come elemento secondario. Mutuando da ricerche degli psicologi
degli anni sessanta si rispolvera un “Teaching Experiment” contenitore di tutte
le possibili ipotesi di lezioni in classe. La ricerca è finalizzata allo studio di invarianti ed i processi vengono analizzati attraverso delle analisi qualitative assolutamente soggettive.
! Insegnamento/Apprendimento delle Matematiche (dalla fine degli anni
novanta ad oggi). Il punto di riferimento è lo studio dei processi di insegnamento/apprendimento in classe cercando di definire in modo più rigoroso quello
che succede realmente in classe ma con strumenti di controllo qualitativi e
quantitativi che possano permettere una possibile interpretazione dei fatti sperimentali. In questo quadro sia le ricerche sull’insegnamento che sull’apprendimento vengono utilizzate in questo quadro teorico. Uno dei riferimenti più
saldi, in questa prospettiva, é stato G. Brousseau. (Spagnolo, 2009).
Nella prospettiva di ricerca dei processi dell’Insegnamento/Apprendimento
l’espressione “Epistemologia Sperimentale” spiega bene il punto di vista
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che si vuol mettere in evidenza: la modellizzazione “teorico-sperimentale” dei
fenomeni di insegnamento/apprendimento.
L’espressione “teorico-sperimentale” va vista con una relazione dialettica
tra le due componenti e rappresenta quindi il superamento di questa contrapposizione (nel senso della dialettica Hegeliana). In questa prospettiva la parola
“Epistemologia” riprende tutto quello che nell’insegnamento e nell’apprendimento era stato elaborato in passato e che potrebbe essere utile per interpretare i fenomeni di insegnamento/apprendimento. (Spagnolo, 2009).
Risultano utili le parole di M. Artigue: «L'epistemologia aiuta il didatta a
controllare le relazioni con il sapere matematico degli oggetti che egli manipola. Gli permette anche di riguardare da un punto di vista esterno il sistema
d'insegnamento che egli (il didatta) studia e del quale è spesso quasi troppo
vicino. Ma mettendo in evidenza la distanza che separa la genesi storica delle
nozioni e le genesi artificiali costruite per i bisogni dell'insegnante, gli mostra
anche tutto ciò che separa questi due campi: l'epistemologia e la didattica».
Dunque, la ricerca in didattica delle matematiche si presenta, nei fatti, come
una sorta di epistemologia sperimentale. Tiene conto dei riferimenti epistemologi, storici della disciplina e dei riferimenti cognitivi e delle neuroscienze oggi,
per poter cercare di interpretare i processi di insegnamento/apprendimento in
classe.
In quest’ambito diventa quindi essenziale il concetto di sistema didattico, costituito dalla terna insegnante, alunno e sapere, comprese le interazioni tra insegnante ed alunno relative ad un dato sapere, in una situazione di insegnamento. Introdotto in Francia, attorno agli anni 70, da G. Brousseau e dai suoi collaboratori, la Teoria delle Situazioni Didattiche si pone come obiettivo la creazione di una teoria didattica che permetta da una parte, di capire/spiegare i fatti
che avvengono nell’insegnamento/apprendimento della matematica e d’altra
parte, fornire ad insegnanti e ricercatori uno strumento per progettare e realizzare un insegnamento efficace della matematica.
Brousseau, teorizzando i fatti concernenti l’insegnamento della matematica
dà alla didattica della matematica lo statuto di scienza, definendola “una scienza
che si interessa alla produzione e comunicazione delle conoscenze matematiche”. Una scienza che ha come oggetti specifici di studio: le operazioni essenziali della diffusione della conoscenza, le condizioni di questa diffusione e le tra-
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sformazioni che essa produce, sia sulle conoscenze sia sui suoi utilizzatori; le
situazioni e le attività che hanno come scopo quello di facilitare queste operazioni.
In questo senso è dunque possibile descrivere un sistema didattico formato
da tre componenti: insegnante, allievo e Sapere da insegnare.
Ciò che definisce l’insegnante e l’alunno come tali è il progetto del sistema
didattico stesso, cioè il passaggio da uno stato iniziale ad uno stato finale nei
confronti di un sapere che sia oggetto di apprendimento. Lo stato finale del sistema didattico è quello in cui l’insegnante come tale è assente e l’alunno intrattiene una relazione privilegiata con il sapere.
manifesta poi
attraverso
risposte didattica
nuove che
la prova
La comprensione
della situazione
ed in sono
particolare
dell’appren16
dell’apprendimento”
$! del completamento del triangolo sapere-insedimento dell’alunno
necessita
gnante-alunno
con un quarto elemento: l’ambiente
francese
%!&'()*!+(!milieu!*,-(+.+)/!01%2'3*4
“è definito(in
sulla
base milieu).
di veri e propri
Brousseau rileva che: “L’allievo apprende adattandosi ad un milieu che è fat-
oggetti concreti, a volte vi si aggiunge una interazione per la quale questi
tore di contraddizioni, di difficoltà, di disequilibri, un po’ come avviene nella so-
oggetti sono stati scelti, a volte come qualche cosa di stabile, altre come di
cietà umana. Questo sapere, frutto dell’adattamento dell’allievo, si manifesta
qualcosa che si sviluppa e si modifica insieme all’allievo”17.
attraverso risposte nuove che sono la prova dell’apprendimento” 1.
!
!
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89
Questo
schema riassume
la relazione all’interno di un preciso ambiente e at56*,)'!,.7*2/
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Cit.3+/,,62*3*C!
in M..Ferreri- F Spagnolo L’apprendimento tra emozione ed ostacolo. . Quaderni di Ricerca in
Didattica GRIM Palermo n. 4, 1994.
1
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delle matematiche è che l’Insegnante dovrebbe, attraverso una mediazione, fare
in modo che l’Allievo riesca ad avere un rapporto diretto con il Sapere.
Per ciascun vertice e per ciascuna relazione possono essere individuati:
• il lavoro della Comunità Matematica in un determinato periodo storico (Sapere), nel senso che viene stabilito quale sapere trasmettere alle generazioni
successive. Questo lavoro viene però compiuto spogliando le Matematiche delle
accezioni semantiche, dei percorsi mentali che hanno permesso la messa a punto di determinati linguaggi matematici. Saranno poi altri soggetti che opereranno la Trasposizione didattica;
• il lavoro intellettuale dell’allievo comparabile a quello del ricercatore. L’allievo deve riprendere i “significati”, il “senso” dei contenuti matematici in modo
tale che possa autonomamente formulare, provare, ri-costruire i linguaggi matematici. L’insegnante deve quindi proporre all’allievo delle situazioni che possa
vivere. L’allievo è anche portatore di concezioni più o meno stabilizzate che entreranno in gioco nella situazione didattica.
• il lavoro dell’Insegnante in quanto appartenente alla comunità di matematici e nello stesso tempo mediatore di conoscenze. Deve ricontestualizzare e ripersonalizzare le conoscenze. Ogni conoscenza deve nascere dall’adattamento ad
una situazione specifica in riferimento ad un certo “ambiente”. Ma deve anche
dare agli allievi gli strumenti ed i mezzi per fargli vivere il Sapere culturale che si
vuole comunicare. L’allievo, d’altro canto, deve ridecontestualizzare e ridepersonalizzare il sapere per poterlo identificare con quello della comunità scientifica e culturale della sua epoca. (Spagnolo, 2009).
Aver introdotto nel sistema la Situazione Didattica favorisce, come sostiene F. Spagnolo, un insieme di altre relazioni che si possono così riassumere:
Sapere Situazione: nella situazione didattica l’analisi è indirizzata sia
verso i percorsi epistemologici e storico-epistemologici del “Sapere”, che gli
ostacoli di origine didattica;
Situazione-Allievo: l’analisi riguarda il punto di vista dell’allievo rispetto alla situazione didattica, per scoprire quali strategie risolutive usa rispetto ad
una determinata situazione/problema;
Insegnante-Situazione: il punto focale di questa relazione riguarda
l’analisi a-priori delle strategie risolutive di un determinato problema rispetto
alle conoscenze che l’insegnante possiede sia del “Sapere”(epistemologico e sto-
20
rico epistemologico) sia dei comportamenti degli allievi ipotizzati rispetto alla
risoluzione di un determinato problema (Spagnolo, 2000).
L’analisi a priori costituisce dunque uno strumento “indispensabile per un
corretto approccio alla Ricerca in Didattica”, grazie al quale l’insegnante-ricercatore anticipa certe reazioni degli allievi e orienta i suoi interventi didattici.
Prima di proporre un problema, l’insegnante deve quindi chiedersi quali siano gli strumenti a disposizione degli allievi per risolverlo, quali difficoltà dovranno essi affrontare e come organizzare il lavoro in classe per favorire un’evoluzione da procedure di risoluzione ancora primitive verso metodi più stabili ed
efficaci. Possiamo definire l’analisi a-priori di una situazione/problema l’insieme delle rappresentazioni epistemologiche e storico epistemologiche 2 che daranno all’insegnante la possibilità di operare scelte relativamente alle competenze da sviluppare e di contenuti da affrontare, e dei comportamenti ipotizzabili3 la cui analisi consentirà di tener conto di eventuali errori, ostacoli alla disciplina, misconcetti e conflitti, consentendo di individuare quelle attività che,
nel rispetto di diversi stili cognitivi, favoriranno l’apprendimento degli allievi.
L’analisi a-priori della situazione didattica consente di individuare:
- lo “spazio degli eventi” 4 che riguarda la particolare situazione didattica rispetto alle conoscenze professionali dell’insegnante-ricercatore in un determinato periodo storico;
- il “buon problema” 5, attraverso lo spazio degli eventi possibili, e quindi una
“situazione didattica fondamentale” per la classe di problemi alla quale la situazione didattica afferisce;
“Le rappresentazioni epistemologiche sono le rappresentazioni degli eventuali percorsi conoscitivi riguardo un particolare concetto. Tali rappresentazioni possono essere messe a punto da
un soggetto apprendente o da una comunità scientifica in un determinato periodo storico.”
“Le rappresentazioni storico-epistemologiche sono le rappresentazioni degli eventuali percorsi
conoscitivi riguardanti la ricostruzione sintattica, semantica, pragmatica di un determinato concetto.”( F. Spagnolo, La Ricerca in Didattica delle Matematiche, un paradigma di riferimento,
2001. )
2
I comportamenti ipotizzabili dell’allievo nei confronti della situazione/problema sono tutte le
possibili strategie risolutive sia corrette che non. Tra le strategie non corrette verranno prese in
considerazione quelle che possono devolvere in strategie corrette.
3
Insieme delle probabili strategie risolutive corrette e non ipotizzabili in un determinato periodo storico da una determinata comunità di insegnanti.
4
È ciò che, rispetto alla conoscenza presa in esame, permette la migliore formulazione in termini ergonomici.
5
21
- le “variabili della situazione problema” 6 e delle “variabili didattiche” 7.
L’analisi a-priori di una situazione didattica in ultimo è uno strumento di
insegnante
allievo
analisi o di verifica che può essere utilizzato in diverse situazioni di apprendimento/insegnamento.
Ritornando allo schema precedente, si può evidenziare come, mentre ogni
“vertice” del triangolo rappresenta un soggetto del complesso rapporto, i “lati”
saperereciproche.
(savoir savant)
rappresentano relazioni
Analizzerò di seguito le varie relazioni che si
possono strutturare tra gli elementi dello schema.
Il triangolo di Chevallard deve essere adeguatamente interpretato: ai suoi
vertici troviamo l’insegnante, l’allievo e il “sapere”. Ma attenzione: il termine
2.1 La relazione Insegnante!Sapere: la trasposizione di!
“sapere” è davvero troppo generico e può, per questo motivo, trarre in inganno.
Si tratta, infatti, di quello che lo studioso francese chiama savoir savant,
ovvero ildattica
sapere accademico, quello (elevato, innovativo, in continua
elaborazione) che nasce dalla ricerca. Ed è un sapere collocato (anche
stato
iniziale
del sistema
didattico
è quello
in insegnantecui l’insegnante intrattiene
visivamente, Lo
nello
schema
proposto)
al di fuori
del rapporto
diretto
unasapere,
relazione
privilegiata
con il Sapere,
mentre quella
dell’alunno
è inadeguata
allievo: un
quindi,
sostanzialmente
(pericolosamente)
esterno
ai
fenomeni odiinesistente.
insegnamento
e di apprendimento,
e perciò,
nella sua forma
L’insegnante
assume il ruolo
di “mediatore”
tra l’allievo e il Sapeoriginale, inutilizzabile per una proficua didattica.
re.
(insegnamento)
(apprendimento)
insegnante
allievo
sapere (savoir savant)
Ma bisogna fare attenzione: il termine “sapere” è davvero troppo generico e
2.1.2. La trasposizione didattica
può, per questo motivo, trarre in inganno. Si tratta, infatti, di quello che lo stu-
Il problema
è semplice:
le cose stanno
comesavoir
esse vengono
in
dioso
franceseseChevallard
chiama
savant,visualizzate
ovvero il sapere
accademico,
questa figura, senz’altro c’è qualcosa che non funziona; il “sapere” resta infatti
quello (elevato, innovativo, in continua elaborazione) che nasce dalla ricerca.
del tutto estraneo dalla didattica e ciò è inaccettabile. Si tratta allora di operare:
6
Sono tutte le possibili variabili che intervengono in una situazione-problema.
Sono quelle che permettono un cambiamento dei comportamenti degli allievi, rappresentano
dunque un sottoinsieme delle variabili della situazione didattica.
7
16
22
Per Sapere Sapiente si intende l’insieme delle conoscenze socialmente disponibili, in un determinato periodo storico, oggetto di pubblicazioni scientifiche o
comunicazioni riconosciute come valide da tutta una comunità. Questo insieme
di conoscenze deve essere organizzato all’interno di Teorie (Spagnolo, 2009).
Il sapere sapiente nelle matematiche è:
• depersonalizzato;
!
o sulle caratteristiche del nostro insegnamento, in modo da farlo
• decontestualizzato (a livello delle pubblicazioni);
“passare” per il punto in cui abbiamo supposto essere “concentrato” il sapere
ordinato
per problemi incontrati
(a livello delle
del
ricercatore);
•(ma
contemporaneamente
richiedere
un conoscenze
analogo
adattamento
dei nostri
cosa non
sempre
facile
da ottenere);
sincretizzato ( cioè
a direallievi,
che i Saperi
sono
legati
gli uni
con gli altri, sempre
•all’apprendimento
!
odel
su questo
savoir savant,
per ottenere
al livello
Sapereimponente
dei ricercatori).
(Spagnolo,
2009).un suo adattamento ai
processi di insegnamento e (soprattutto) di apprendimento.
È quindi un sapere collocato (anche visivamente, nello schema proposto) al
di fuori
del rapporto
insegnante-allievo:
un sapere,
quindi,
sostanzialEvidentemente
la diretto
soluzione
migliore (per meglio
dire: l’unica
soluzione
praticabile
con speranze esterno
di successo!)
è la seconda:
non è pensabile
un
mente
(pericolosamente)
ai fenomeni
di insegnamento
e diche
apprendiallievo possa “digerire” contenuti (ad esempio) matematici direttamente
mento,
e perciò,
nella
sua formasenza
originale,
inutilizzabile
per una proficua
espressi
in forma
accademica,
che essi
siano adeguatamente
plasmati,didatresiNon
accessibili.
È stato
coniato
per indicare
questa (ad
tica.
è pensabile,
infatti,
cheununtermine
allievospecifico
possa “digerire”
contenuti
indispensabile operazione di preventivo adattamento del savoir savant alle
esempio)
matematici
direttamente
espressi
in forma
accademica,
senza che
caratteristiche
del dialogo
educativo
che avviene,
in aula,
tra l’insegnante
e essi
l’allievo:
trasposizione
didattica.
siano
adeguatamente
plasmati,
resi accessibili.
insegnante
allievo
trasposizione didattica
sapere (savoir savant)
Uno deicomunicato
compiti chedall’insegnante
ciascun insegnante
quotidianamente
affrontare
Il Sapere
devedeve
essere
contestualizzato
all’interno
per rendere possibile l’apprendimento, dunque, si identifica nella efficace e
di un
preciso
ambito, il suo
compitodelè quello
rielaborare
il sapere,
trasformarcorretta
trasposizione
didattica
savoirdisavant
relativo
alla propria
3
.
lo disciplina
ed adattarlo
alla realtà, unica e singolare del proprio gruppo classe. Que-
st’operazione di trasformazione è detta trasposizione didattica dal Sapere al sapere insegnato (D’Amore, 2001 pag.74). Un sapere, prodotto della comunità
scientifica, è trasformato in sapere da insegnanre, e diventa, quindi, insegnabi3
Anche in questo caso è stato coniato un termine apposito, noosfera; con esso si indica «il
le, luogo
se hadei
una
legittimità
epistemologica
o sociale,lesefinalità
può essere
articolato
dibattiti
di idee significative
sull’insegnamento,
della scuola,
gli scopiin sedella formazione,
le attesemisurabile
della societàilper
quanto
attiene scuola e cultura (per esempio i
quenza
e se può essere
suo
apprendimento.
programmi ministeriali); la noosfera è l’intermediario tra il sistema scolastico (e le scelte
dell’insegnante) e l’ambiente sociale più esteso (esterno alla scuola)» (D’Amore & Frabboni,
1996, p. 111, in cui viene citato: Chevallard & Joshua, 1982).
23
Ogni progetto sociale di insegnamento e d’apprendimento si costituisce dialetticamente con l’identificazione dei contenuti dei Saperi come contenuti da insegnare. Un contenuto di sapere, una volta designato come sapere da insegnare,
subisce quindi un insieme di trasformazioni adattative che gli permettono di
prendere posto tra gli oggetti d’insegnamento. La Trasposizione Didattica è il
“lavoro” che permette ad un “oggetto del sapere da insegnare” di diventare un
“oggetto di insegnamento”. (Spagnolo, 2009).
Il sapere insegnato ha quindi le seguenti caratteristiche:
• ordinato in una progressione nel tempo:
• legale (definito dai programmi).
• logico: il corso di matematica si sforza di seguire una struttura logica, lineare (ogni capitolo presuppone la conoscenza del precedente). (Spagnolo, 2009).
Intervenire “sul sapere da insegnare” necessita padronanza e consapevolezza
del processo di Trasposizione didattica. Ritengo, quindi, che una maggiore conoscenza di tale processo e una consapevolezza esplicita della sua gestione possano qualificare la professione insegnante e favorire un apprendimento più significativo e stabile della matematica.
2.2 La relazione Allievo!Sapere: gli ostacoli.
La relazione che viene ad instaurarsi tra l’Allievo ed il Sapere può rappresentare «la relazione obiettivo finale di ogni insegnante che, al termine del suo lavoro di mediatore, sparisce per far si che l’allievo abbia un rapporto personale
con il Sapere. Questo fatto rappresenta una sorta di paradosso dell’insegnamento: l’insegnante raggiunge il suo scopo quando esce fuori di scena» (Spagnolo,
2001).
Perché questo si realizzi è di notevole importanza che l’insegnante sia consapevole dei processi cognitivi che sono alla base del pensiero matematico dell’allievo e, ponga particolare attenzione al modo in cui si formano i concetti nella
sua mente.
Durante l’infanzia, il bambino mette in atto un susseguirsi di costruzioni concettuali ancorate a componenti concreto-figurative, necessarie per la “fondazione” stessa del “concetto”. Egli comincia con il costruirsi un’immagine mentale
del concetto, in altre parole una rappresentazione dello stesso legata alle sue co-
24
noscenze pregresse, alla sua esperienza nel mondo circostante e alle modalità
personali di mediazione della percezione che crede definitiva. Ma ad un certo
punto della sua storia cognitiva, riceve informazioni dei concetti che non sono
contemplate dall’immagine che aveva; egli deve allora adeguare la “vecchia”
immagine ad una nuova, più ampia, che non solo conservi le precedenti informazioni, ma accolga anche le nuove (D’Amore, 2001).
In questo modo si vengono a creare conflitti cognitivi tra i concetti consolidati o misconcezioni, cioè concezioni momentaneamente non corrette in attesa di
una sistemazione cognitiva più elaborata e critica, e le nuove immagini proposte.
A tal proposito Bachelard afferma che:
"E' in termini d'ostacolo che bisogna porre il problema della conoscenza
scientifica. E non si tratta di considerare gli ostacoli esterni, come la complessità
e la fugacità dei fenomeni, ne' d'incriminare la debolezza dei sensi e dello spirito
umano: è nell'atto stesso di conoscere, intimamente, che appaiono, per una sorta di necessità funzionale, delle lungaggini e degli scompigli. E' là che noi mostreremo le cause di stagnazione e anche di regressione, è là che noi individueremo delle cause d'inerzia, che noi chiameremo Ostacoli Epistemologici".
Bachelard ha classificato gli ostacoli soprattutto nell'ambito delle scienze fisiche:
• Ostacolo dell'esperienza diretta (pretende di porsi al di là, della critica);
• Ostacolo della conoscenza in generale;
• Ostacolo verbale;
• Ostacolo dell'utilizzazione abusiva;
• Ostacolo delle immagini familiari;
• Ostacolo della conoscenza unitaria;
• Ostacolo della conoscenza pragmatica;
• Ostacolo realista;
• Ostacolo animista;
• Ostacolo della conoscenza quantitativa.
Gli ostacoli non sono delle conoscenze mal fatte ma piuttosto delle conoscenze fatte altrimenti per altri scopi e adattate ad altri problemi.
25
Anche Piaget in uno dei suoi ultimi lavori (L'Equilibrazione delle Strutture
Cognitive)aveva dato una interpretazione dell'errore abbastanza vicina a quella
di Bachelard per quanto riguarda l'apprendimento.
L'ostacolo è costituito come una conoscenza, con degli oggetti, delle relazioni,
dei metodi d'apprendimento, delle previsioni, con delle evidenze, delle conseguenze dimenticate, delle ramificazioni impreviste. Resiste al rigetto, tenderà ad
adattarsi localmente, a modificarsi con minore spesa, ad ottimizzarsi su un
campo ridotto, seguendo un processo di accomodazione ben conosciuto (Spagnolo, 2009).
Per meglio capire il significato di ostacolo in Didattica bisogna prima capire
l'origine degli ostacoli che, seguendo G. Brousseau, possono essere classificati
in:
" Ostacoli di Origine Ontogenetica: sono quelli che sopraggiungono con
delle limitazioni (neurofisiologiche tra le altre) del soggetto nel momento del
suo sviluppo: egli sviluppa delle conoscenze appropriate ai suoi mezzi e ai suoi
scopi ad una data età. L'epistemologia genetica mette in evidenza degli stadi e
dei mezzi di sviluppo (accomodazioni e assimilazioni), che a volte, rassomigliano alle tappe dello sviluppo dei concetti.
" Ostacoli di Origine Didattica: sono quelli che dipendono, in generale,
da una scelta o da un progetto del sistema educativo. (Si pensi, ad esempio, alla
trasposizione didattica).
" Ostacoli Epistemologici: sono quelli ai quali non si può, né si deve
sfuggire, in quanto hanno un ruolo costitutivo nella conoscenza. Si può ritrovarli nella storia dei concetti stessi. Ciò non vuol dire che si deve amplificare il loro
effetto né che si devono riprodurre nell’ambiente scolastico le condizioni storiche dove li si è superati.
Un ostacolo dunque, secondo quanto afferma lo stesso Brousseau presenta le
seguenti caratteristiche: lo si deve considerare una conoscenza e non una mancanza di conoscenza; conoscenza che l’allievo usa per dare risposte adeguate in
un contesto conosciuto, già incontrato; l’uso di questa conoscenza adoperata
dall’allievo fuori dal contesto noto, genera però risposte scorrette; l’ostacolo
produce contraddizioni a cui l’allievo pone resistenza; una volta superato può
riapparire.
26
È necessario dunque al fine di far superare agli allievi questi ostacoli che l’insegnante progetti situazioni didattiche atte a fornire loro prove attendibili sulla
necessità di cambiare le loro concezioni.
Il processo del superamento di un ostacolo comporta necessariamente una
successione di interazioni tra l'alunno e l'ambiente; questa successione di interazioni prende significato nella misura in cui si rapporta ad uno stesso progetto
(riferito all'alunno) a proposito di un concetto, nella genesi del quale costituisce
una tappa e di cui l’allievo fonda il significato.
Queste interazioni mettono in gioco nell'alunno, dei sistemi di rappresentazione e possono spesso essere interpretate come degli scambi di messaggi (Alllievo- Insegnante), perché l'alunno è capace d'anticipazioni e finalizza le sue
azioni. Queste prendono infatti un carattere di dialogo (a fortiori quando l'insegnante vi è implicato).
Inoltre, le informazioni "cambiate" sono ricevute come dei fatti che confermano o negano delle ipotesi o ancora come delle asserzioni. Se si ammette che
una conoscenza si evidenzia opponendosi ad un'altra sulla quale si appoggia e
che rimpiazza, si capirà perché diciamo che il processo di superamento ha un
carattere dialettico: dialettico dell'a-priori e dell'a-posteriori, della conoscenza e
dell'azione, di me e degli altri, ecc..
Organizzare il superamento di un ostacolo consisterà nel proporre una situazione suscettibile d'evoluzione al fine di fare evolvere l'alunno secondo una dialettica conveniente. Si tratterà, non di comunicare le informazioni che si vogliono insegnare, ma di trovare una situazione nella quale esse sono le sole a essere
soddisfacenti o ottimali, tra quelle alle quali si oppongono, per ottenere un risultato del quale l'alunno si è fatto carico.
Questo però non basta: bisognerà anche che questa situazione permetta di
primo acchito la costruzione di una prima soluzione o di un tentativo dove
l'alunno investirà la sua conoscenza del momento.
Se questo tentativo fallisce, la situazione deve tuttavia rinviare a una situazione nuova modificata da questo insuccesso in maniera intellegibile ma intrinseca, cioè non dipendente dalla maniera arbitraria delle finalità dell'Insegnante.
La situazione deve permettere la ripetizione a volontà della messa in atto di tutte le risorse dell'alunno.
27
Essa deve auto-motivarsi con un gioco sottile di sanzioni intrinseche (e non
sanzioni estrinseche legate dall'insegnante ai progressi dell'alunno). Lo sviluppo
dell'apprendimento non può dunque essere programmato; è solamente la situazione e la sua scelta che possono esserlo (Spagnolo, 2009).
2.3 La relazione Insegnante!Allievo: il Contratto didat!
tico.
Nell’analisi di un’azione didattica non si può trascurare la relazione che si instaura tra Insegnante e Allievo. Per la natura stessa del processo di insegnamento/apprendimento, si tratta di una relazione asimmetrica, sia rispetto ai contenuti, sia rispetto alle relazioni sociali.
Il complesso di interazioni e di comportamenti che si instaura tra allievo ed
insegnante, che deve avere quale prodotto finale l’apprendimento, è formato da
una serie di fasi e di momenti che caratterizzano l’attività svolta in classe giornalmente. Il rapporto allievo-insegnante è basato su regole non scritte, su convenzioni sottintese, accettate implicitamente tanto dallo scolaro quanto dall’insegnante. Queste regole, seppure mai dichiarate, sono ben conosciute da entrambe le parti in causa, come se costituissero una sorta di contratto mai firmato la cui validità è però indiscutibilmente nota e chiara a tutti: questo “contratto
didattico” influenza in termini decisivi il processo di insegnamento/apprendimento. Esistono vari approcci ed accezioni del contratto didattico, ma la definizione di riferimento rimane quella di Brousseau che lo definisce come “l’insieme
dei comportamenti dell’insegnante che sono attesi dall’allievo e l’insieme dei
comportamenti dell’allievo che sono attesi dall’insegnante” (Brousseau, 1988).
Si può quindi affermare che il contratto didattico è il risultato della negoziazione
dei rapporti stabiliti esplicitamente e/o implicitamente tra un allievo o un gruppo
di allievi, un certo “ambiente” ed un sistema educativo, al fine di far appropriare
gli allievi di un sapere costituito o in via di costituzione (Spagnolo, 2009).
Studi approfonditi sul contratto didattico hanno consentito di rivelare che gli
allievi di ogni ordine scolastico hanno appunto attese particolari, schemi generali, comportamenti che nulla hanno a che vedere con la matematica ma che dipendono dal contratto didattico instauratosi in classe.
28
La problematica del contratto didattico è particolarmente rilevante nella didattica della matematica perché la natura delle prestazioni matematiche è molto
varia (a volte occorre ricordare, altre volte riflettere, altre volte ancora progettare, esplorare, ecc.), e quindi la scelta del comportamento intellettuale più adatto
in ogni circostanza è assai impegnativa, con il rischio inevitabile che l’allievo,
soprattutto quello meno sicuro di sé, si interroghi non su “cosa conviene fare”
ma su “cosa l’insegnante si aspetta che io faccia”.
L’importanza riconosciuta del contratto didattico nell’insegnamento/apprendimento della matematica ha spinto a chiedermi, prima di proporre un’attività
da far svolgere agli allievi, cosa possono aspettarsi di dover fare, e soprattutto di
prestare attenzione ai comportamenti che loro mettono in atto per individuare
la possibile prevalenza di atteggiamenti del tipo “cosa devo fare per soddisfare
l’insegnante”, a prescindere dal contenuto e dalla logica interna della prestazione richiesta. Nell’esperienza condotta è stato importante impostare con la massima chiarezza il rapporto contrattuale con gli allievi, anche attraverso discussioni su cosa loro si aspettassero di dover fare nelle diverse circostanze e chiarimenti sulla varietà di comportamenti utili per affrontare i compiti più complessi (ricordare, applicare, esplorare, ecc.).
Il contratto didattico è dunque parte essenziale di una situazione didattica.
2.4 La situazione a!didattica
Una Situazione designa l’insieme delle circostanze nelle quali si trova una
persona (un gruppo, una collettività, ecc..), le relazioni che l’uniscono al suo
ambiente, e l’insieme dei dati che caratterizzano una azione o una evoluzione
(un’azione in un certo momento).
Una Situazione è Didattica quando un individuo (in generale l’insegnante) ha l’intenzione di insegnare ad un altro individuo (in generale l’allievo) un
determinato sapere.
Si chiama situazione di apprendimento una situazione che permette ad
un soggetto di passare da uno stato di conoscenza ad un altro stato di conoscenza.
Si chiama situazione a-didattica la parte della situazione didattica nella
quale l’intenzione d’insegnante non è esplicita nei confronti dell’allievo. L’allie-
29
vo sa che il problema propostogli è stato scelto per fargli acquisire nuova conoscenza e, nello stesso tempo, deve sapere che questa conoscenza è giustificata
dalla logica interna della situazione. E per costruire questo sapere non deve fare
appello a delle ragioni didattiche (Spagnolo, 2009).
In una situazione a-didattica l’insegnante, attraverso un insieme di condizioni che permettono all’allievo di appropriarsi della situazione, permette una devoluzione della situazione.
La devoluzione consiste, non soltanto nel presentare all’allievo il gioco al
quale l’insegnate vuole che egli partecipi, ma anche nel fare in modo che l’allievo
si senta responsabile, nel senso della conoscenza e non della colpevolezza, del
risultato che egli deve cercare. La devoluzione fa appello alle motivazioni dell’allievo, il quale non soltanto deve accettare il gioco (sinonimo di situazione) proposto ma deve ricercare le strategie migliori che gli permetteranno di vincere.
In conclusione la devoluzione è l’atto attraverso il quale l’insegnante fa accettare all’allievo la responsabilità di una situazione di apprendimento (a-didattica)
o di un problema e accetta lui stesso le conseguenze di questo transfert (Spagnolo, 2009).
In questo modo l’allievo si trova di fronte ad un’ingiunzione paradossale: “Se egli
accetta che, secondo il contratto, l’insegnante gli insegni i risultati, non ha ri-percorso le costruzioni matematiche necessarie e quindi non ha appreso. Se, al contrario, rifiuta ogni informazione da parte dell’insegnante, allora la relazione didattica è rotta. Apprendere, implica, per lui, che egli accetti la relazione didattica ma che la consideri come provvisoria e si sforzi di confutarla”. Risulta interessante e costruttiva la “rottura del Contratto” nel senso che è proprio dalle rotture del Contratto che l’allievo può entrare in una situazione di apprendimento.
Si possono intravedere quattro condizioni per la messa a punto di situazioni
a-didattiche5:
• L’alunno può immaginare una risposta, ma questa risposta iniziale (procedura di base) non è quella che si vuole insegnare: Se la risposta fosse già conosciuta, questa non sarebbe una situazione d’apprendimento. L’alunno cioè deve
trovarsi in una situazione di incertezza sulle decisioni da prendere;
• Questa “procedura di base” deve rivelarsi immediatamente insufficiente o
inefficiente perché l’alunno sia costretto a fare degli accomodamenti, delle modifiche del suo sistema di conoscenza.
30
• Esiste un ambiente per la validazione, un ambiente cioè che permetta la
conferma della verità o falsità di una soluzione trovata. Tale ambiente deve poter permettere delle retroazioni, l’ambiente a-didattico deve poter influenzare
l’allievo nel senso che gli deve consentire di correggere la sua azione, di accettare o respingere un’ipotesi, di scegliere fra numerose soluzioni. Un ambiente siffatto verrà chiamato a-didattico;
• La situazione (gioco) sia ripetibile (analisi a-priori approfondita e individuazione delle variabili didattiche). (Spagnolo, 2009).
Strumento necessario alla modellizzazione delle situazioni didattiche è la nozione di gioco che viene utilizzato come sinonimo di "situazione".
Brousseau
elenca i possibili significati del termine "gioco" per poter poi definire le possibili
strategie ed il modo di controllarle:
Attività fisica o mentale, puramente gratuita, generalmente fondata sulla
convenzione o la finzione, che non ha nella coscienza di colui il quale vi si affida
altro fine che essa stessa, altro scopo che il piacere che procura.
Il gioco è l’organizzazione di questa attività sotto un sistema di regole definenti un successo e un insuccesso, un guadagno e una perdita.
E' anche ciò che serve a giocare, gli strumenti del gioco, ed eventualmente
uno degli stati del gioco determinato da un assemblaggio particolare degli strumenti del gioco.
Il gioco è "la maniera in cui si gioca". In questo caso si tratterà di procedure,
si preferiranno i termini di "tattica" o di "strategia".
E' l'insieme delle posizioni tra le quali il giocatore può scegliere in un dato
stato di gioco.
Nel distinguere diversi tipi di situazioni a-didattiche Brousseau propone :
1. una classificazione delle interazioni del soggetto con il suo ambiente a-didattico;
2. una classificazione dei tipi di organizzazione di questo ambiente;
3. una classificazione dei tipi di funzionamento di una conoscenza;
4. una classificazione dei modi d’evoluzione spontanea delle conoscenze
(l'apprendimento).
Le interazioni considerate al punto 1 sono classificate da Brousseau in tre
grandi categorie:
• Gli scambi di giudizio (Ipotesi di validazione);
31
• Gli scambi di informazioni codificate in un linguaggio (Ipotesi di formulazione);
• Gli scambi non codificati o senza linguaggio: le azioni e le decisioni che agiscono direttamente sull'altro protagonista (Ipotesi d'azione).
L'analisi di queste interazioni è oggetto diricercatori che si rifanno alla scuola francese.
Nella prima stesura della Teoria delle Situazioni Didattiche le fasi in cui si
suddivideva la situazione a-didattiche erano: consegna, azione, formulazione e
validazione. In seguito la ricerca ha mostrato il ruolo essenziale dei momenti di
istituzionalizzazione, e si è aggiunta una quinta fase nella quale c’è un doppio
riconoscimento:
- il “riconoscimento ufficiale” del nuovo sapere da parte dell’allievo;
- il “riconoscimento” da parte dell’insegnante, dell’apprendimento avvenuto.
L’istituzionalizzazione è l’operazione, guidata dall’insegnante con un linguaggio alla portata degli studenti, attraverso cui i saperi ricevono una formulazione chiara e semplice. Entrano cosi nel repertorio di “cose da sapere” e da utilizzare come strumenti matematici per affrontare situazioni problema nuove.
2.4.1 Schema di una situazione a!didattica
Prima fase: La consegna
In questa prima fase l’insegnante specifica il compito con cui l’allievo (o gli
allievi) si deve confrontare. Trattandosi di un gioco, l’insegnante per rendere le
regole più chiare, può decidere di giocare con un allievo o concedere a due allie-
32
vi di ripetere l’attività. La dimostrazione pratica fatta dall’insegnante è importante, perché riduce l’ambiguità del linguaggio verbale.
L’allievo pensando di poter risolvere il compito, accetta di implicarsi, e usa
un modello (un’intuizione, un’idea, una conoscenza) che gli sembra adeguato.
Le strategie utilizzate dall’allievo riguardano le conoscenze che egli reputa indispensabili alla risoluzione della situazione problema. La sua azione nella situazione si rivela però inefficace, è la situazione stessa (feed-back) che lo informa.
L’allievo ne prende atto e cambia, tenta una nuova strategia. Grazie alla retroazione (feed-back) l’allievo ha la possibilità di ripercorrere la situazione stessa
per aggiustare o per rigettare l’azione, di scegliere tra più soluzioni la migliore.
La retroazione dunque permette all’allievo di valutare la propria azione, e all’insegnante di verificare il processo di retroazione attivato dall’alunno.
Seconda fase: la situazione di azione
La seconda fase vede l’allievo immerso nella situazione problema, totalmente
assorbito dal compito e dalla ricerca di una soluzione, formula ipotesi e adotta
strategie. L’allievo adotta strategie rifiutando istintivamente o razionalmente le
precedenti, e le mette alla prova in nuove esperienze.
Ogni nuova strategia adottata dunque sarà accettata o rifiutata a secondo del
giudizio che l’allievo si forma sulla sua efficacia. Per cui possiamo affermare che
la situazione d’azione costituisce il processo mediante il quale l’allievo, perviene
alla costruzione di strategie, ossia apprende un metodo per poter risolvere la situazione problema in cui ha accettato di implicarsi.
Questi scambi tra l’allievo e l’ambiente del compito, (che comprende altri
compagni, la situazione problematica, l’insegnante) formano la Dialettica della
situazione d’azione. L’allievo tramite il dialogo con la situazione si costruisce un
modello implicito, ossia un insieme di relazioni e di regole secondo cui prende le
33
sue decisioni senza averne coscienza e quindi senza formularle. In questa fase
quindi non è presente la formulazione, l’allievo si costruisce un modello implicito che coincide con il “saper fare” insegnato ma non interiorizzato. I modelli impliciti costruiti dall’allievo anche se sono errati giustificano in ogni modo il “saper fare” acquisito.
L’insegnante in questa fase sostiene l’allievo senza dare alcuna informazione
che lo possa aiutare a risolvere la situazione problema, osserva gli avvenimenti,
condivide il piacere o la delusione per il risultato dell’azione. Valorizza in ogni
caso il tentativo, perché l’errore è inevitabile e nello stesso tempo utile.
Terza fase: la situazione di formulazione
Nella situazione di formulazione l’allievo oltre ad agire sulla situazione, deve
rendere noto agli altri le sue scoperte, il suo modo per risolvere il compito, verbalizzare le sue strategie, argomentarle e difenderle, insomma le rende pubbliche, disponibili agli altri allievi implicati nella situazione perché le possano fare
proprie. In questa fase dunque non basta possedere un modello implicito, ma
bisogna comunicarlo per convincere gli altri, quindi nascono discussioni spontanee sulla validità e sulle diverse strategie proposte. Le discussioni pertanto
rappresentano i mezzi d’azione, i mezzi di convincimento, perciò l’allievo gradualmente, si rende conto della necessità di dover elaborare un linguaggio comprensibile a tutti, poiché è mediante lo scambio comunicativo con gli altri che si
giunge alla formulazione della strategia, processo questo che prende il nome di
dialettica della formulazione. In ogni momento del succitato processo quindi il
linguaggio è messo alla prova, poiché deve rivelarsi utile ed efficace e rendere
possibile la comprensione sia delle azioni che dei modelli d’azione.
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Come nella situazione precedente, l’insegnante è presente, gestisce gli scambi, osserva il lavoro dei suoi allievi, ne prende atto e al termine pone alcune domande, dà la parola per reazioni “a caldo”, rilancia, ricorda per tutti.
Quarta fase: la situazione di validazione
Nello svolgimento delle attività proposte in questa fase, gli allievi si trovano
in situazioni tali da dover esplicitare le strategie, i modelli, le proposizioni (teoremi) utilizzati, e dare una spiegazione delle stesse, questa operazione prende il
nome di validazione. Una nuova conoscenza passa così anche attraverso i momenti di validazione: alcuni allievi propongono
una nuova strategia risolutiva argomentando a suo favore, il restante gruppo
che riveste il ruolo di oppositore, può accettarla, richiedere ulteriori argomenti,
oppure, contro argomentala. È dunque all’interno del gruppo, in cui gli allievi si
trovano in situazione di parità, che vengono discusse sia le strategie da adottare
che quelle da rifiutare. A volte i loro ragionamenti sono errati, accolgono teorie
sbagliate, accettano prove insufficienti. È la situazione d’azione stessa, come
succede nelle altre fasi, che porta gli allievi a scoprire l’errore, li conduce a rivedere i loro ragionamenti ed a riformulare modelli corretti. Questo modo di procedere è definito dialettica della validazione.
Quando le ipotesi vengono accettate da tutti diventano teoremi. Non basta
enunciare o formulare un’ipotesi perché essa diventi un teorema: è necessario
argomentare, provare, dimostrare. Enunciare una proposizione (teorema), non
significa comunicare un’informazione, ma essere pronto ad affermare che quello
che si dice è vero, e si è capaci di sostenere la propria convinzione mediante dimostrazioni. Per l’allievo quindi non si tratta solo di conoscere la matematica,
ma saperla utilizzare per accettare o respingere le proposizioni e ciò richiede
un’attitudine alla prova. L’attitudine alla prova non è innata, è mediante le situazioni d’azione proposte che si sviluppa e si mantiene. Inoltre le situazioni
d’azione favoriscono nell’allievo la scoperta. L’allievo dunque attraverso le dimostrazioni, le prove, apprende il “perché” delle matematiche, vi aderisce, l’accetta in quanto nasce da una sua convinzione interna, e non è appreso solo attraverso il riferimento all’adulto.
L’apprendimento dunque si produce in modo attivo per costruzione personale e attraverso la soluzione di problemi. Inoltre, come sostiene Brousseau, il fare
35
matematica per un allievo è prima di tutto un’attività sociale e non solo individuale. Questo è il motivo per cui la Teoria delle Situazioni è considerata una teoria di chiaro stampo costruttivista.
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Capitolo 3
L E Q U E S T I O NI E P I S T E M O L O G I C H E
SU LLE F R A Z ION I
La tematica dei numeri razionali e, quindi, anche delle frazioni, è centrale nel
curriculum di matematica sin dalla scuola primaria.
La frazione, infatti, nella cultura occidentale, è il primo passo verso la costruzione del numero razionale: ciò significa che dal primo approccio (operativo)
alla frazione, fino all’esplicitazione della conoscenza (formale) sui numeri razionali, si compie un cammino unitario, non solo dal punto di vista della teoria
matematica, ma anche (e soprattutto) dal punto di vista della generazione del
pensiero matematico nella sua forma astratta, corredata da un preciso linguaggio simbolico e dotata di significato. Tale cammino complessivo ha alcuni momenti salienti:
! la definizione di frazione come operatore su grandezze;
! la relazione di equivalenza tra frazioni;
! la definizione di numero razionale come classe di frazioni equivalenti;
! la sua rappresentazione nella scrittura posizionale mediante i decimali;
! la rappresentazione di ciascuna classe con un suo particolare elemento: ad
esempio 0,5 rappresenta sia la frazione " che tutta la classe di frazioni ad essa
equivalenti;
! le operazioni tra frazioni;
! il loro collegamento con le operazioni tra numeri razionali.
Nell’attività didattica occorre tenere presente che per affrontare l'argomento
«frazioni» (come per qualsiasi concetto o modello scientifico) l'insegnante non
può limitarsi a padroneggiare solo gli aspetti formali di natura disciplinare.
Questa è una condizione indispensabile, ma sicuramente non sufficiente. Egli
dovrebbe anche padroneggiare il linguaggio (aspetti della sua evoluzione, analisi
del lessico), i significati sottesi, i passaggi concettuali, i processi di astrazione. In
altre parole dovrebbe disporre non soltanto di solide conoscenze disciplinari,
ma anche di conoscenze linguistiche, psicologiche (cioè legate alla formazione
del pensiero matematico nell’itinerario che va dall’esperienza alla formalizza-
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zione) ed epistemologiche (cioè legate all’identificazione di significati e collegamenti). Di tutto questo l’insegnante ha bisogno per avere chiarezza sui passi che
gli allievi devono fare. Ma poi, come mettere in atto un’attività scolastica in cui
l’apprendimento della matematica avvenga davvero in profondità e quindi non
sia banalizzato? L’attività scolastica riguarda sia l’insegnante sia l’allievo ed in
essa ciascuno dei due ha la sua parte specifica. Le linee guida per un intervento
didattico possono essere messe a punto a partire da alcune considerazioni sugli
aspetti epistemologici, cioè quelli legati all’identificazione di significati e collegamenti, che verranno brevemente esposti nei paragrafi che seguono.
3.1 Il panorama internazionale delle ricerche in que!
st’ambito
Il tema delle frazioni è uno dei capisaldi della didattica della matematica, nella scuola primaria e nella scuola secondaria. Ciò spiega perché tale tema sia stato uno dei più studiati, fin dagli anni ’60. A seguito del fondamentale lavoro di
Kieran su questo tema (Kieran, 1975), molte ricerche hanno indagato sulle difficoltà che gli alunni incontrano nello sviluppo di concetti relativi ai numeri razionali 8. Varie ricerche hanno messo in rilievo le diverse interpretazioni che i
numeri razionali e le frazioni possono presentare in differenti contesti di applicazione9. Per esempio la frazione può essere interpretata come descrizione di
una relazione parte-intero, cioè come una descrizione della ripartizione di un
oggetto in parti; le frazioni inoltre possono essere viste come oggetti che possono essere confrontati, sommati, sottratti…. Il numero razionale può essere visto
come risultato di una divisione tra due numeri interi o come rapporto, cioè come confronto moltiplicativo tra due quantità. Il numero razionale può ancora
essere inteso come operatore, cioè come qualcosa che opera su una quantità e la
cambia, come probabilità, come punto su una retta orientata… 10
Si veda al riguardo il seguente sito del Rational Number Project
http://education.umn.edu/rationalnumberproject/default.html che contiene un alto numero di
pubblicazioni realizzate da ricercatori che si sono occupati dell’argomento.
8
In questo lavoro facciamo riferimento alla seguente definizione matematica di numeri razionali e frazioni: I numeri razionali sono elementi di un campo quoziente infinito che consiste di infinite classi di equivalenza e gli elementi delle classi di equivalenza sono frazioni (Beher e Al.,
1993).
9
10
Questa lista di interpretazioni non ha la pretesa di essere esaustiva.
38
E’ stato messo in rilievo che solo attraverso lo sviluppo di interpretazioni di
questo tipo per mezzo di pratiche didattiche significative, gli alunni possono costruirsi un’idea pertinente di numero razionale e, quindi, anche di frazione, e
comprendere le proprietà che caratterizzano questi nuovi oggetti matematici al
centro del processo di insegnamento/apprendimento.
Vi è comunque un generale accordo sul fatto che le difficoltà degli alunni nella costruzione di concetti relativi ai numeri razionali sono principalmente di natura semantica e non di natura puramente sintattica, come invece lascerebbe
presupporre il tipo di pratica didattica che viene spesso sviluppato nelle classi. A
tale riguardo si può osservare che nell’approccio ai numeri razionali, e alle frazioni, suggerita in molti libri di testo, si evidenzia molto spesso una forte divaricazione tra il piano dell’operatività, con la notazione frazionaria, e il piano dei
significati.
Molti risultati mostrano che la didattica corrente non è in grado di costruire
una base di esperienze e di significati appropriati nell’uso della notazione frazionaria 11. Vi è mancanza di stabilità nella conoscenza costruita; nei casi migliori
gli alunni imparano ad usare correttamente regole di calcolo ma mostrano difficoltà nell’assegnare significati alle azioni compiute o nel dare loro giustificazioni
accettabili.
A conferma di ciò, può accadere allora che, all’uscita dalla scuola media, in un
questionario proposto da Mariotti et al. (1995), gli alunni abbiano risposto che
tra i tipi di numero che essi conoscono ci sono anche decimali, frazioni, razionali, facendo così pensare che per essi scritture diverse corrispondono a numeri di
tipo diverso, e hanno confermato ulteriormente ciò rappresentando i vari sistemi numerici mediante insiemi disgiunti.
Questa ambiguità concettuale è aggravata dal fatto che contemporaneamente
si è già formato nel bambino un modello forte, rigido dei numeri naturali che,
riprendendo le parole di Fishbein (1984), «...confligge duramente con le frazioni
in seconda media, così come ha già fatto con i decimali alla fine della scuola
elementare e all’inizio della scuola media». Questa situazione emerge chiaramente in numerose indagini. Ad esempio, i già citati Mariotti et al. (1995) evidenziano che, per quanto riguarda i numeri decimali, essi sono visti come due
numeri naturali giustapposti, tenuti separati da una virgola, e che ciò spieghe11
Per un’alta percentuale di alunni all’inizio della scuola superiore il doppio di 2/3 è 4/6.
39
rebbe errori del tipo 3,15>3,7 perché 15>7. Ciò, d’altra parte era già stato dimostrato da Brousseau nel 1983 affermando che, per i bambini della scuola primaria, i numeri decimali sono dei “naturali con la virgola”. Ancora oggi questa concezione è assai radicata e persiste, talvolta, fino all’universtià; essa costituisce un
ostacolo didattico piuttosto diffuso alla comprensione dei numeri reali.
Quanto fin qui esposto rappresenta solo una parte minima, ma già abbastanza significativa, di quanto si potrebbe dire sulle difficoltà nell’approccio ai numeri razionali-frazioni.
Nonostante ciò, la didattica corrente si basa principalmente su un approccio
normativo e prescrittivo: (“Se vuoi sommare due frazioni con lo stesso numeratore allora fai così… ; Se invece le due frazioni hanno denominatore diverso allora prima devi…. “). Si tratta dello stesso approccio che caratterizzerà in seguito
anche l’insegnamento dell’algebra, cioè di un approccio principalmente basato
sull’insegnamento e il consolidamento di tecniche operative.
Varie sono le cause che determinano un approccio didattico di questo tipo: il
peso della tradizione didattica orientata storicamente allo sviluppo di competenze operative di calcolo, mancanza di strumenti per favorire la riflessione sugli
aspetti strutturali della tecnica, carenza di proposte didattiche innovative, maggiore difficoltà nella gestione in classe di una pratica didattica orientata alla giustificazione e all’inquadramento teorico delle tecniche impiegate…
E’ noto che per fare matematica e per apprendere nuove conoscenze matematiche occorre imparare ad usare tecniche che, per ragioni di efficienza nello sviluppo di ogni attività, devono diventare routine (Artigue, 2001).
Non si può fare a meno di osservare, però, che se l’attività matematica si riduce solo all’appropriazione e all’uso di specifiche tecniche, essa perde il suo carattere culturale e conoscitivo, diventa prescrizione, una serie di ricette da applicare in compiti meccanici e ripetitivi che vengono “accettate” dagli studenti in
base al principio di autorità dell’insegnante.
Ciò, purtroppo, è quello che caratterizza molto spesso l’attività con le frazioni
dentro l’istituzione scolastica.
40
3.2 Noetica e semantica delle frazioni
Mai come nell’apprendimento delle frazioni si rivela importante, per un insegnante, conoscere almeno i primi elementi della noetica e della semiotica.
È bene quindi precisare che con il termine “noetica” si intende l’acquisizione
concettuale; nel caso dell’ambiente scuola, l'apprendimento concettuale. Con il
termine “semiotica” si intende,invece, la rappresentazione dei concetti mediante
sistemi di segni. Nel caso della Matematica, entrambi i termini acquistano
straordinaria importanza.
La noetica è preliminare a qualsiasi attività matematica in quanto consiste
proprio nell’acquisizione dei suoi concetti.
Secondo Vergnaud, un concetto matematico, se si guarda al suo sviluppo nella mente degli studenti, è una terna di insiemi ( Vergnaud, 1992):
• l’insieme delle situazioni che rendono il concetto significativo in una varietà
di aspetti;
• l’insieme degli invarianti operazionali (proprietà, relazioni, oggetti, teoremiin-atto…) che sono progressivamente afferrati dagli studenti, in modo gerarchico;
• l’insieme dei simboli linguistici e non linguistici che rappresentano quegli
invarianti e che sono usati per indicarli, per comunicare e discutere su di essi, e
perciò per rappresentare situazioni e procedure.
Quanto afferma Vergnaud ha grande influenza sul modo di concepire l’insegnamento della matematica: anche qualora si accettasse una definizione teorica
della matematica che privilegi l’aspetto sintattico (dando quindi peso soprattutto alle formule ed alle deduzioni), tuttavia un sapere di questo tipo non sarebbe
trasmissibile solo facendo imparare formule e regole prescindendo dal loro significato. La padronanza dell’aspetto formale può essere solo l’esito di un lavoro
di ampio respiro che, partendo da situazioni e narrazioni, costruisca contemporaneamente significati e simboli.
Duval (1993) afferma, infatti, che l’acquisizione concettuale di un oggetto matematico si basa su due sue caratteristiche “forti”:
1. l’uso di più registri di rappresentazione semiotica che è tipica del pensiero
umano;
41
2. la creazione e lo sviluppo di sistemi semiotici nuovi che è simbolo (storico)
di progresso della conoscenza.
Queste considerazioni mostrano l’interdipendenza stretta tra noetica e semiotica, come si passa dall’una all’altra: non solo dunque non c’è noetica senza
semiotica, ma la semiotica viene assunta come caratteristica necessaria per garantire il primo passo verso la noetica.
Lo dice per primo Duval, presentando la problematica dei registri, nei celebri
articoli del 1988 pubblicati sugli Annales lo confermano Chevallard (1991), Godino e Batanero (1994).
Ora, dice lo stesso Duval, le rappresentazioni semiotiche sono rappresentazioni la cui produzione non è possibile senza la mobilitazione di un sistema semiotico: così le rappresentazioni semiotiche possono essere produzioni discorsive (in lingua naturale, in lingua formale) o non discorsive (figure, grafici,
schemi, ...). Per capire la produzione semiotica, bisogna prendere in considerazione tre aspetti:
• l’aspetto strutturale, relativo alla determinazione della significatività dei
segni e a quella delle possibilità di rappresentazione che essi offrono;
• l’aspetto fenomenologico, relativo ai vincoli psicologici di produzione o di
comprensione dei segni;
• l’aspetto funzionale, relativo al tipo di attività che i segni permettono di
svolgere.
La costruzione dei concetti matematici è dunque strettamente dipendente
dalla capacità di usare più registri di rappresentazioni semiotiche di quei concetti:
! di rappresentarli in un dato registro
! di trattare tali rappresentazioni all’interno di uno stesso registro
! di convertire tali rappresentazioni da un dato registro ad un altro.
Nel caso delle frazioni, la quantità di registri semiotici a disposizione è immensa. A gestire i diversi registri, a scegliere i tratti distintivi del concetto da
trattare, a convertire, non si impara automaticamente; questo apprendimento
deve necessariamente essere il risultato di un insegnamento esplicito nel quale
l’insegnante chiama ad essere corresponsabile lo studente. L’insegnante troppo
spesso sottovaluta questo aspetto e passa da un registro all’altro senza problemi,
perché ha già concettualizzato; ma lo studente, no, lo studente lo segue sul pia-
42
no delle rappresentazioni semiotiche, non sui significati. Il rischio è enorme.
L’apparente semplicità, l’apparente leggibilità di certi registri, non deve far credere che lo studente se ne appropri o ne sia già padrone.
Per sua natura, l’essere umano si forma spontaneamente immagini mentali di
ciò con cui entra in contatto in forma sensibile. Molti dei concetti della Matematica sono raggiunti grazie a passaggi, nei mesi o negli anni, da un’immagine ad
un’altra più comprensiva e si può immaginare questa successione di costruzioni
concettuali come una specie di scalata, di “avvicinamento” al concetto.
Ad un certo punto di questa successione di immagini, c’è un momento in cui
l’immagine cui si è pervenuti dopo vari passaggi “resiste” a sollecitazioni diverse, si dimostra cioè abbastanza “forte” da includere tutte le argomentazioni e
informazioni nuove che arrivano rispetto al concetto C che rappresenta. Un’immagine di questo tipo, dunque stabile e non più mutevole, si può chiamare “modello” M del concetto C (Fandino Pinilla, 2005).
Si può pensare dunque che il modello (mentale) M del concetto C dello studente S sia l’immagine (mentale) finale di una successione di immagini sempre
più elaborate e comprensive che si è fatto S, in una sorta di cammino ideale nel
quale l’insegnante ha il compito di guidare S. Farsi un modello di un concetto,
dunque, significa rielaborare successivamente immagini (deboli, instabili) per
giungere ad una di esse definitiva (forte, stabile).
Purtroppo questo è il punto di vista teorico, ma non sempre le cose funzionano come dovrebbero; ci sono, infatti, due possibilità:
M si forma al momento giusto nel senso che si tratta davvero del modello
che l’insegnante auspicava per C; l’azione didattica ha funzionato e lo studente
si è costruito il modello M voluto dall’insegnante del concetto C;
M si forma troppo presto, quando rappresenta ancora solo un’immagine
che avrebbe dovuto essere ulteriormente ampliata; a questo punto non è facile
raggiungere C, perché la stabilità di questo parziale M è di per sé stessa un ostacolo ai futuri apprendimenti.
L’insegnante tende spesso, per ovvi motivi legati alla speranza di un successo
cognitivo, a proporre un’immagine forte e convincente che diventa persistente,
confermata da continui esempi ed esperienze, di un concetto C; l’immagine si
trasforma in modello intuitivo. Si parla anche di modelli parassiti.
43
Ad esempio, la moltiplicazione tra due numeri naturali dà luogo ad un prodotto che è certamente maggiore di ciascuno dei due fattori; questa affermazione è vera in N, insieme dei numeri naturali, ma non certo in Qa, insieme dei razionali assoluti. Il modello intuitivo della moltiplicazione in Qa, però, potrebbe
coincidere con il modello che lo studente si è costruito in N, evidentemente
troppo presto; l’idea di limitare l’insegnamento della moltiplicazione al cosiddetto “schieramento” nella scuola primaria, non aiuta certo in questa impresa
cognitiva; non è un caso che molti studenti evoluti (anche universitari) si dichiarino meravigliati di fronte al fatto che tra due operazioni: 18 x 0,25 e 18 : 0,25 la
prima è quella che da i risultato minore. Essi conservano il modello errato creatosi nella scuola elementare in base al quale “la moltiplicazione aumenta i valori”.
Didatticamente conviene lasciare immagini ancora instabili, in attesa di poter
creare modelli adatti e significativi, il più possibile vicini al sapere matematico
che si vuole raggiungere. Più forte è il modello intuitivo, più difficile è infrangerlo per accomodarlo ad una nuova immagine. Insomma, l’immagine – misconcezione non deve diventare modello visto che, per sua stessa natura, è in attesa di
definitiva sistemazione. Si tratta allora di non dare informazioni distorte e sbagliate; non solo non darle in modo esplicito, ma addirittura evitare che si formino autonomamente per non favorire l’insorgere di modelli parassiti. Una solida
competenza dell’insegnante in Didattica della Matematica è, in questo, un forte
aiuto (Fandino Pinilla, 2005).
Nel caso delle frazioni, succede molto spesso che una immagine si trasformi
in modello mentale interno, troppo presto, quando ancora dovrebbe restare
immagine. Ad esempio:
L’immagine di una unità-tutto che viene divisa in parti uguali, intendendo questo uguale come identità, congruenza, sovrapponibilità, marchia in modo efficace e duratura il concetto di frazione, trasformandosi in
modello e pretendendo dunque di essere rispettata in ogni occasione. Ciò
pregiudica assai presto la formazione noetica della frazione.
L’immagine di dividere un’unità-tutto in parti uguali e prenderne alcune, suggerisce semanticamente che questo “alcune” non possa essere
“tutte”; il modello si fora facilmente, dato che coincide con una intuizione
44
forte; ma pregiudica poi il passaggio alla unità come frazione n/n ed alle
frazioni improprie.
L’uso delle figure geometriche viene visto dagli studenti come specifico
e significativo, mentre l’adulto le pensa causali e le vede come generiche.
Per esempio il continuo e unico ricorso a rettangoli o cerchi costringe a
ragionare in modo tale che l’immagine (che avrebbe dovuto essere aperta, duttile, modificabile) diventa invece persistente e stabile e si fa modello; se la frazione viene proposta su figure diverse (triangoli, trapezi…) lo
studente non domina più la noetica della frazione perché la situazione
proposta non fa parte del suo modello.
Se l’unità-totalità viene insistentemente proposta stilizzata come una
figura geometrica unica, connessa, compatta, convessa, la costruzione del
concetto di frazione si fa modello con questa configurazione fissa, irremovibile. Se poi si tenta di usare una unità-totalità che è formata da un
insieme discreto di oggetti, il modello troppo presto formatosi non risponde più ai bisogni nuovi della situazione.
Se bisogna dividere sempre e solo n numero per un altro più piccolo e
questo diventa il modello di divisione, allora, al momento di dividere 2
euro tra 4 persone, difficilmente allo studente sarà spontaneo operare
con la frazione 2/4 o con la divisione tra numeri razionali 2:4. Questi due
atteggiamenti non saranno compatibili con quel modello e lo studente
cercherà alternative, come, per esempio, quella di operare solo tra centesimi 200:4, come se questa trasformazione fosse obbligatoria. Avrà sempre come risultato 50 centesimi e mai 0,5 o 0,50 euro perché questi due
valori gli sembreranno innaturali (Fandino Pinilla, 2005).
3.3 Vari modi di intendere il concetto di “frazione”
Nella scuola primaria, di solito in Italia in terza o in quarta, si introduce formalmente l’idea di frazione; essa è già posseduta, nelle sue accezioni più immediate di “mezza” mela, “un terzo” di tavoletta di cioccolata, dividere una manciata di cioccolatini in 4 parti uguali, fin dalla più tenera età. Ma quel che si fa
scuola è di formalizzare la scrittura e istituzionalizzarne il significato. L’atteggiamento più o meno condiviso in tutto il mondo è quello di considerare un og-
45
getto concreto di riferimento da assumere come unità e che abbia i seguenti
requisiti:
- deve suscitare gradevolezza e dunque simpatia;
- deve essere visibilmente unitario;
- deve essere ben presente a tutti gli allievi, cioè non deve richiedere egli stesso un apprendimento.
Si tende a scegliere una torta cilindrica o una pizza in quasi tutti i paesi del
mondo, entrambi questi oggetti verificano i requisiti detti sopra.
A questo punto si ipotizzano situazioni in cui questa data unità (torta o pizza)
debba essere ripartita tra più persone; nasce così l’idea di mezzo (se si divide per
due), di un terzo (se si divide per tre) e così via…; si tratta delle “frazioni egizie”,
le prime che la storia ci tramanda. Ciò da luogo, come esempio più semplice
possibile, a quella che viene detta unità frazionaria (o frazione unitaria), cioè la
frazione rappresentata con una scrittura composta dal numero 1 e da un secondo numero separati da una linea, che viene detta linea di frazione. Il numero
che si trova sopra la linea di frazione viene detto numeratore, mentre quello
sotto viene detto denominatore. Perché tutto ciò abbia senso, occorre che le parti frazionarie dell’unità siano uguali e su questo concetto si insiste molto: «dividere una unità in parti “uguali”» è la richiesta preliminare a qualsiasi trattazione delle frazioni.
Supponiamo allora di considerare un rettangolo. Implicitamente, quando
l’adulto propone al bambino di dividere il rettangolo in parti “uguali”, spesso
intende parlare dell’area di quel rettangolo, della sua superficie. Da una parte,
dunque, quel termine “uguali” potrebbe e dovrebbe essere interpretato come
“congruenti”, “sovrapponibili” (e tanti insegnanti di scuola primaria ed anche
secondaria lo interpretano così ed obbligano lo studente ad interpretarlo così).
Ma allora una divisione del rettangolo in 4 parti come le seguenti:
a rigore non sarebbe una divisione ammessa: le parti che appaiono non sono
uguali; ma allora, sono o non sono ciascuna #?
46
Le 4 parti non sono “uguali” tra loro, se interpretiamo quell’aggettivo come
“congruenti”, “sovrapponibili”; ma lo sono se invece diamo un’interpretazione
relativa all’estensione, all’area. Ecco dunque che il termine “uguali” usato nella
prima presentazione dell’idea concettuale di frazione, e che sembrava così neutro e chiaro, costituisce invece un serio ostacolo alla costruzione di conoscenza.
E non possiamo accusare l’allievo di risposte scorrette. D’altre parte, all’età in
cui la frazione viene introdotta, parole come “equiestese”, “congruenti”, “sovrapponibili” sono, per lo più sconosciute (anche se esistono interessanti ricerche che dimostrano che l’uso di questi aggettivi non solo è possibile, ma semplifica e migliora notevolmente l’apprendimento, perfino nella scuola dell’infanzia). L’idea di semplificare ad ogni costo, di trovare modelli concreti ad ogni costo, a volte si rivela una strategia didattica non ottimale; l’immagine concettuale
che il bambino si fa della nuova proposta cognitiva si trasforma troppo presto in
modello e nascono ostacoli didattici alla costruzione di conoscenza (Fandino Pinilla, 2005).
Questa accezione intuitiva di frazione dell’unità ha il vantaggio di essere chiara e facilmente acquisibile; può, inoltre, essere frequentemente modellizzata
nella vita quotidiana; ma ha il difetto di non essere poi teoricamente sufficiente,
di fronte alle varie e multiformi interpretazioni che si vogliono dare all’idea di
frazione. Detto in altre parole: una sola “definizione”di frazione non basta.
Infatti, a fronte di una definizione di frazione apparentemente intuitiva, si
possono avere almeno una dozzina di interpretazioni del concetto di frazione.
Esse saranno esposte di seguito; l’elenco, però, non ha la pretesa di essere esaustivo.
LA FRAZIONE COME PARTE DI UN TUTTO A VOLTE CONTINUO E A VOLTE DISCRETO
A riguardo è utile cercare di identificare le caratteristiche della struttura
cognitiva che permette di maneggiare la nozione di “parte/tutto” Alcune delle
abilità necessarie per dominare questa nozione sono state studiate dapprima da
Piaget, Inhelder, Szeminska (1960), precisando che la nozione di frazione nel
suo aspetto parte/tutto (in contesti continui) si basa su 7 attributi:
• un tutto che è però scomponibile in elementi o parti tra loro separabili;
• tale separazione si può fare in un numero determinato di parti costituenti;
• le suddivisioni nel loro insieme completano il tutto;
47
• il numero delle parti non coincide con il numero dei “tagli”;
• le parti devono essere uguali tra loro (congruenti, se l’unità lo permette);
• ciascuna delle parti così ottenute può a sua volta essere intesa come una
nuova unità;
• il tutto si conserva, anche se diviso in parti.
Payne (1976) considera invece basilari tre principi per l’apprendimento della
nozione di frazione come parte/tutto, e cioè che gli allievi:
• abbiano un controllo simbolico delle frazioni;
• considerino la nozione parte/tutto sia in contesti continui sia in contesti discreti;
• facciano suddivisioni equivalenti (per esempio congruenti, se l’unità lo
permette).
FRAZIONI COME QUOZIENTE
È possibile vedere la frazione a/b come una divisione non necessariamente
effettuata ma solo indicata: a:b; in questo caso l’interpretazione più intuitiva
non è la parte/tutto, ma la seguente: abbiamo a oggetti e li dividiamo in b parti.
FRAZIONE COME RAPPORTO
A volte la frazione indica un rapporto; l’interpretazione non si accorda più né
alla parte-tutto, né alla operazione di divisione, diventando un legame tra grandezze.
FRAZIONE COME OPERATORE
Molto spesso la frazione è considerata un operatore moltiplicativo, anzi questo è orse uno dei suoi significati più usati nella scuola. In questo caso però solo
con uno sforzo si può ammettere di aver sfruttato al definizione iniziale di frazione, anche se a quella ci si può comunque ricondurre. La frazione come operatore, dunque, agisce sui numeri puri piuttosto che sulle raccolte o sugli oggetti;
è, di fatto, una nuova operazione che combina la divisione e la moltiplicazione.
FRAZIONE IN PROBABILITÀ’
In probabilità la frazione è profondamente presente, ma non rispetta più, almeno nella sua forma ingenua, la sua primitiva definizione.
FRAZIONE NEI PUNTEGGI
Le frazioni nei punteggi sono un oggetto matematico che ha peculiarità proprie, intuitive, ma assai poco vicine alla definizione che era stata data all’inizio.
FRAZIONE COME NUMERO RAZIONALE
48
Prima o poi, la frazione si deve trasformare, lungo il corso di studi di un individuo, in numero razionale. In questo caso si mettono in particolare evidenza
questioni aventi a che fare con l’operatività: equivalenza fra frazioni, addizioni…
Un numero razionale, infatti, non è altro che la classe di equivalenza formata da
tutte quelle infinite coppie di numeri (a;b) tali che b=2xa.
FRAZIONE COME PUNTO DI UNA RETTA ORIENTATA
Spesso è richiesto di porre una frazione su una retta numerica. Per fare ciò
bisogna valutare quella frazione come se fosse un numero razionale , applicare
la relazione d’ordine in Q e mettere un cerchietto nero o una tacca nella posizione appropriata e opportuna. La frazione indica in questo caso la distanza tra
l’origine e il punto-frazione.
FRAZIONE COME MISURA
La frazione viene spesso usata come misura, specie nella sua espressione di
numero con la virgola. La quantità di vino nella bottiglia, la spesa per una matita sono delle misure; a volte ha senso pensarle espresse come numeri razionali,
a volte anche come frazioni, ma in nessun caso occorre o conviene fare riferimento alla definizione originaria di frazione. È più spontaneo un uso diretto della misura così come viene espresso.
FRAZIONE COME INDICAZIONE DI QUANTITÀ’ DI SCELTA DI
UN TUTTO
A volte la frazione serve per indicare una quantità di scelta in un insieme; il
suo significato cambia ancora e diventa un indicatore di approssimazione.
FRAZIONE E PERCENTUALE
La percentuale non è altro che una frazione; ma anche in questo caso ha peculiarità specifiche.
FRAZIONE NEL LINGUAGGIO QUOTIDIANO
Molti dei ricercatori che si occupano della didattica delle frazioni propendono
attualmente per un primo contatto “informale”, com’è poi, nello stile didattico
più diffuso e generalizzato.
Nel linguaggio quotidiano, infatti, colpisce l’uso che si fa delle frazioni, non
sempre in modo esplicito. Si pensi ad esempio:
- alla lettura dell’orologio (sette e un quarto);
49
- alla musica in cui le frazioni hanno un ruolo determinante, ma non sempre
si comportano come quelle in matematica; lo studente però sente nominare gli
stessi nomi e dunque pensa agli stessi oggetti concettuali;
- allo sconto; se lo sconto è del 50% è intuitivo far capire che si tratta della
metà. Se lo sconto è del 25% è istruttivo far riflettere sul fatto che si tratta di un
quarto. Il viceversa è più complicato. Se una cosa che costava 80 ora costa 100 è
aumentata di # cioè del 25%; se ora cala di # non torna a 80, come molti credono, ma arriva a 75;
- alla pendenza delle strade;
- alle ricette di cucina;
- alla medicina.
3.4 Misconcezioni di frazioni
Una misconcezione è un concetto errato e dunque costituisce genericamente
un evento da evitare; essa però non va vista sempre come una situazione del
tutto o certamente negativa: non è escluso che, per poter raggiungere la costruzione di un concetto, si renda necessario passare attraverso una misconcezione
momentanea, ma in corso di sistemazione.
Gli esempi possibili nel caso delle frazioni sono molteplici:
- Misconcezioni legate all’ordine tra frazioni, ordine desunto a partire da
quello tra naturali;
- Misconcezioni legate alla semplificazione di frazioni;
- Legate alla gestione della equivalenza tra frazioni
- Alle operazioni tra frazioni
- Alla scelta delle figure sulle quali operare con le frazioni.
3.5 Ostacoli legati all’insegnamento/apprendimento del!
le frazioni
Occorre innanzitutto precisare che l’ostacolo, così come qui lo si intende, è
un’idea che, al momento della formazione di un concetto, è stata efficace per af-
50
frontare dei problemi (anche solo cognitivi) precedenti, ma che si rivela fallimentare quando si tenta di applicarla ad un problema nuovo. Visto il successo
ottenuto (anzi: a maggior ragione a causa di questo), si tende a conservare l’idea
già acquisita e comprovata e, nonostante il fallimento, si cerca di salvarla; ma
questo fatto finisce con l’essere una barriera verso successivi apprendimenti.
Si fa solitamente una distinzione fra tre tipi di ostacoli:
- di natura ontogenetica: legati all’allievo e alla sua natura;
- di natura didattica: legati all’insegnante ed alle sue scelte;
- di natura epistemologica: legati alla natura stessa degli argomenti della
Matematica.
Tra gli apprendimenti legati alle frazioni, molti possono essere pensati
come veri e propri ostacoli ontogenetici. Per esempio, il tentativo di far costruire cognitivamente il numero razionale come classe di equivalenza di coppie
di naturali (il secondo dei quali diverso da zero) è fallimentare. Per costruire
davvero questo concetto, bisogna avere la forza cognitiva e culturale di considerare tale classe come un solo oggetto, astraendo dai suoi componenti. Si è visto
che questa capacità si acquisisce solo in particolari circostanze per motivi legati
all’ostacolo ontogenetico.
Per quanto riguarda gli ostacoli didattici, tra gli apprendimenti legati
alle frazioni, essi sono in genere dovuti a scelte che compie l’insegnante nel presentare i vari elementi della didattica delle frazioni, sulla base del buon senso o
della tradizione. Di solito queste scelte hanno successo e penetrano subito e bene, creando conoscenza che però diventa modello troppo presto; in realtà si
tratta di misconcezioni che l’allievo crede essere concezioni corrette. Quando
tenta di applicarle alle situazioni nuove, esse si rivelano fallimentari. Esempi
sono innanzitutto la scelta di accanirsi a tutti i costi a voler dare una sola “definizione” di frazione, definizione che poi non regge, che non ce la fa a sostenere il
peso delle nuove situazioni. Sarebbe bene darla in modo critico, avvisando che
ci sarà bisogno di modificarla per includere nuove situazioni. Un altro è l’insistenza di voler dare sempre solo modelli concreti, che poi si rivelano inefficaci.
Sarebbe bene avvisare gli studenti che i modelli concreti vengono dati solo per
aiutare l’immaginazione nel suo primo approccio, ma che dovranno poi fare ri-
51
corso all’astrazione, di cui sono capaci, a livelli diversi, a tutte le età. Un ulteriore ostacolo didattico è costituito dalla scelta di introdurre registri semiotici diversi senza didattiche specifiche, come se lo studente dovesse/potesse apprenderne a farne uno spontaneamente. Sarebbe bene mettere in evidenza la struttura semiotica di ogni registro scelto, man mano che lo si sceglie, in modo esplicito. Un ultimo esempio è costituito dall’insistenza da parte dello studente nel
voler trovare un “successivo” di una frazione o di un razionale; per cui la frazione “successiva” di 3/5 è allora 4/5 e il successivo di 0,3 è 0,4; è ovvio che si tratta di un ostacolo didattico legato al fatto che lo studente ha appreso a far uso del
termine “successivo” nell’insieme N dei numeri naturali ed ha costruito il concetto esteso di a tutti i domini numerici, senza che mai si avesse un momento
nel quale questa concezione venisse messa in crisi. Su questo tema si richiede
una didattica esplicita (purtroppo però è stato notato come non siano solo studenti alle prime armi a cadere in questo tranello, ma anche studenti ed insegnanti) (Sbaragli, 2007).
Gli esempi di ostacoli epistemologici ci vengono forniti o dalla storia
della Matematica o dalla vita di aula. Concetti che nella storia hanno creato fratture, discussioni, difficoltà sono ostacoli epistemologici; argomenti sui quali gli
studenti commettono errori che sono sempre gli stessi in qualsiasi tempo e in
qualsiasi Paese. Ebbene, la ricerca ha dimostrato che si tratta di solito degli
stesssi argomenti. Tra gli apprendimenti legati alle frazioni, molti possono essere pensati come veri e propri ostacoli epistemologici. Essi sono facilmente riconoscibili nella storia e/o nella pratica didattica. La riduzione delle frazioni ai
minimi termini è stata per molto tempo un oggetto di studio specifico nella storia; basti pensare che gli Egizi, che coltivarono le frazioni per molti secoli, ma
preferirono avere a che fare solo con frazioni con numeratore unitario. Il passaggio dalle frazioni ai numeri con la virgola ha richiesto alla Matematica più di
4500 anni, nonostante fosse già disponibile (nel mondo sumero) un sintema
posizionale; nel mondo indiano è nato nel VI secolo d.C. un sistema decimale
corretto; ma solamente dal XV secolo si può dire che si sia fatto un uso consapevole e corretto dei numeri decimali. A scuola questo passaggio non è cognitivamente incruento, anzi lascia sul campo parecchie vittime.
52
Anche la gestione dello zero nelle frazioni ha creato difficoltà enormi nella
storia, tanto che i matematici arabi hanno esplicitamente studiato queste situazioni.
L’idea di ostacolo conduce, quindi, a ripensare alla presenza e alla funzione
dell’errore nella pratica scolastica; seguendo D’Amore: «L’errore, dunque non è
necessariamente solo frutto di ignoranza, ma potrebbe invece essere il risultato
di una conoscenza precedente, una conoscenza che ha avuto successo, che ha
prodotto risultati postitivi, ma che non tiene alla prova di fatti più contingenti o
più generali».
3.6 Uno sguardo al futuro: il contributo delle neuro!
scienze
A sorpresa e a dispetto del fatto che solitamente si ritenga che le frazioni siano un concetto matematico piuttosto difficile da apprendere, uno recentissimo
studio pubblicato sul Journal of Neuroscience nell’aprile del 2009 mostra che,
almeno nell'adulto, esse sono elaborate automaticamente, anche senza l'intervento del pensiero cosciente. A farlo sarebbero in particolare alcune regioni dell'area del solco intraparietale (IPS) e della corteccia prefrontale, due regioni che
già si sapevano coinvolte nell'elaborazione dei numeri interi.
Lo studio è stato condotto da Simon Jacob e Andreas Nieder dell'Università di
Tübingen, in Germania, che hanno sottoposto a scansione il cervello di un gruppo di volontari mentre questi osservavano su un monitor l'apparizione, per brevissimi instanti, dell'immagine di varie frazioni.
Quando i ricercatori presentavano rapidamente e ripetutamente frazioni che
equivalevano approssimativamente a 1⁄6, potevano osservare una diminuzione
nell'attivazione dell'area IPS e della corteccia prefrontale, corrispondente al cosiddetto fenomeno di adattamento funzionale, che si manifesta di fronte a uno
stimolo più o meno identico ripetuto molteplici volte. Successivamente, ai partecipanti venivano mostrate frazioni che deviavano da quel valore. Risultato:
quanto più la frazione differiva da 1/6, tanto maggiore era l'attività delle cellule
IPS. Ad assicurare i ricercatori che i partecipanti elaborassero direttamente le
53
frazioni e non le calcolassero, era la rapida presentazione di ciascuna frazione
unita alle piccole variazioni nel valore delle frazioni.
Questi risultati suggeriscono che negli adulti le frazioni attivino automaticamente l'area IPS e la corteccia prefrontale. I ricercatori hanno anche rilevato che
differenti valori attivano gruppi distinti di cellule e che esse rispondono allo
stesso modo sia che la frazione sia presentata in forma numerica che sotto forma di parole.
Lo studio è stato ideato dopo che altre ricerche avevano suggerito la possibilità
che sia i primati non umani sia i bambini piccoli potessero in qualche modo afferrare naturalmente le frazioni o almeno alcune di esse.
Come sostiene Jacob, che con il suo gruppo ora intende verificare se l'elaborazione delle frazioni avviene in modo analogo anche nei bambini, «Questi
esperimenti cambiano il modo in cui dobbiamo pensare alle frazioni. Sicuramente i cervelli educati degli adulti rappresentano intuitivamente le frazioni, e
questo potrebbe avere riflessi sul modo in cui si dovrebbe insegnare l'aritmetica
e la matematica a scuola».
54
Capitolo 4
I L CONTESTO SPERIMENTALE
4.1 La storia della sperimentazione
L’inizio di una ricerca è un momento insidioso e delicato. Essa, in realtà, è
una laboriosa attività intellettuale in cui ci si pongono interrogativi, si studia, si
considerano i diversi approcci al problema e si azzardano ipotesi su come stanno le cose.
Nel ripercorrere le tappe di quest’esperienza didattica, suddivisa in più situazioni-problema, ho cercato di far emergere le modalità con cui è stata affrontata
la prassi didattica. Ampio spazio è stato dato al dialogo, alla parola, alla libera
espressione dei bambini, incoraggiando la formulazione di risposte coerenti alla
situazione-problema, pur non rendendone evidente la soluzione. Durante tutto
lo svolgimento del percorso didattico, che abbinava ambiti contigui quali l’area
logico-matematica (attraverso l’uso di situazioni a-didattiche) e l’area logicolinguistica (tramite l’utilizzo della narrazione). L’utilizzo di questo schema procedurale era finalizzato a garantire al bambino l’apprendimento di concetti attinenti al complesso ambito dei numeri razionali. La vastità di tale argomento,
proposto da me in forma narrativa, ha richiesto un preliminare approfondimento delle tematiche. A tale inconveniente si è provveduto con un’attenta lettura
dei testi consigliati e con la consultazione d’altri riferimenti bibliografici, oltre
che con la partecipazione al Convegno Nazionale “Didattica della Matematica e
Azioni d’aula” di Castel San Pietro Terme (BO) dal 7 al 9 novembre 2008. Da
una maggiore padronanza dell’argomento e dai preziosi colloqui chiarificatori
col relatore, in breve tempo si è andata delineando una più precisa individuazione del problema da trattare. In seguito, è stato elaborato un progetto di ricerca sperimentato nei mesi di febbraio, marzo e aprile presso la Direzione Didattica San Lorenzo di Palermo.
La sperimentazione vuole individuare la fiaba e le situazioni a-didattiche come mezzi utili per vivere positivamente l’approccio alla matematica, e nello specifico alle frazioni. Tramite esse, infatti, la matematica si riempie di espressioni,
55
di emozioni 12 che dovrebbero aiutare l’alunno a risolve la situazione problema in
maniera corretta oltre che essere un’esperienza per rafforzare l’autostima.
In questo capitolo saranno illustrate per esteso tutte le fasi della progettazione, che comprendono, l’enunciazione dell’ipotesi di ricerca, la costruzione degli
strumenti, vale a dire delle schede operative e delle situazioni a-didattiche, utili
per falsificare l’ipotesi di ricerca, seguirà la descrizione degli incontri preliminari d’osservazione, il percorso operativo con la presentazione dei giochi proposti
ai bambini e verrà dedicata particolare attenzione all’individuazione dei comportamenti attesi nell’analisi a-priori.
Il momento iniziale della stesura del progetto di ricerca didattica di natura
sperimentale prevedeva una fase preliminare d’osservazione per conoscere meglio il contesto scolastico e le situazioni di partenza dei bambini. I primi contatti
con la scuola sono stati indispensabili e hanno orientato l’intera organizzazione
delle fasi progettuali successive.
Preso atto delle condizioni oggettive in cui la ricerca sperimentale avrebbe
dovuto svolgersi, sono emersi molti aspetti favorevoli:
! la disponibilità di una classe quarta della scuola primaria D.D. San Lorenzo
di Palermo a partecipare alla sperimentazione;
! la collaborazione attiva dell’insegnante dell’ambito logico-matematico;
! la compatibilità con le attività didattiche programmate per la classe.
Nei mesi tra dicembre e gennaio è stata realizzata la parte preliminare della
sperimentazione. In questi mesi gli incontri d’osservazione sono serviti sia a
prendere contatto con i bambini, sia ad individuare gli stili comunicativi tra insegnante e allievo presenti durante una giornata scolastica tipo. Le attività sperimentali, invece si sono svolte nei mesi di febbraio, marzo e aprile dopo che
l'insegnante aveva richiamato i prerequisiti necessari per lo svolgimento dello
stesso progetto.
Daniela Anna Carlino “La narrazione in matematica nell’insegnamento/apprendimento in
situazioni di multiculturalità”; articolo pubblicato in “Quaderni di Ricerca in Didattica”
G.R.I.M. n. 17, 2007 p. 169
12
56
4.2 Individuazione del problema e definizione dell’og!
getto di indagine
Il primo momento dell’attività ideativa con cui è iniziata la mia ricerca è stata
la definizione dell’oggetto d’indagine.
È stato importante, quindi, come prima cosa, chiarirlo a me stessa, per poter
così, circoscrivere il campo, valutare il lavoro che stavo per intraprendere, cogliere le implicazioni, il significato e il valore, facendomi così una prima idea dei
risultati che sarebbero potuti emergere.
Quindi, ho cercato di collocare la questione entro un quadro teorico esistente.
In particolar modo, il lavoro sperimentale nasce in seguito alla domanda che mi
sono posta: “Come migliorare l’apprendimento dei numeri razionali in bambini
di scuola primaria?”. Si tratta di un interrogativo molto discusso nel panorama
delle ricerche internazionali del settore, come ho già discusso nei capitoli precedenti. Lo scopo che mi accingevo a perseguire era quello di partire da studi preesistenti per tentare di pervenire a risultati nuovi.
4.3 Ipotesi sperimentale di ricerca
Lo scopo che mi sono proposta di raggiungere è rappresentato dalla possibilità di collegare l’apprendimento delle frazioni all'utilizzo della narrazione e di
situazioni a-didattiche nei bambini di età compresa tra gli 8 e i 10 anni.
In particolare, l’ipotesi generale posta è la seguente “SE l’apprendimento
delle frazioni migliora tramite l’uso combinato di narrazione e situazioni a-didattiche ALLORA questi ultimi si rivelano utili a una più adeguata comprensione dei numeri razionali”.
4.4 Strumenti di falsificazione
Per poter falsificare l’ipotesi posta, ho somministrato un questionario al
campione di riferimento prima e dopo la sperimentazione. Lo stesso questionario, elaborato da una collega 13, era già stato somministrato a un campione di 59
Amato A., in tesi di laurea “L’insegnamento/apprendimento dei numeri razionali nella scuola
primaria: alcune considerazioni sperimentali” disponibile sul sito
http://math.unipa.it/grim/Tesi_FP_AAmato_08.pdf .
13
57
alunni delle classi quinte della scuola primaria “F. Raciti” del quartiere Borgonuovo di Palermo durante l’anno scolastico 2007/2008. Quest’ultimo campione
ha quindi costituito il gruppo di controllo della mia sperimentazione.
4.5 Campione di ricerca
La ricerca sperimentale è stata svolta presso la Direzione Didattica San Lorenzo di Palermo, durante l’anno scolastico 2008-2009 nel periodo compreso
tra dicembre e aprile. Essa ha visto coinvolti, rispetto alla popolazione della
scuola un campione piuttosto ristretto, composto dai bambini frequentanti la IV
A del Plesso San Pio X. !"#$%&"'%()*+,+-./)*%*+0*+12+*'"33(+0(+ 4"(+5+0(+ $#$$.+ )*6
$47('#+#+11+0(+ $#$$.+-#))(3('#+ 0(+#%8+4.)9/#$*+%/*+ :'(+ 2+#+ (+1;+*33(<+ =.3.+ 9/#$#3%(+
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4.)9#%#3C*+'(3:"($%(4*+(3+(%*'(*3.<
L"intervento è stato precedentemente definito con l’insegnante dell’ambito
logico-matematico della classe, con la quale ho concordato le modalità di svolgimento di ogni attività (tempi, spazi, disposizione dell’aula).
4.6 Metodologia di ricerca
La metodologia di ricerca utilizzata ha previsto l’uso combinato di:
Fiaba
Situazioni a-didattiche.
Entrambi sono coerenti con il target di riferimento, le condizioni socio-culturali di provenienza degli alunni e le loro capacità attentive generali. Ciò è stato
possibile grazie all’osservazione partecipata delle attività didattiche sia scolastiche che extrascolastiche degli alunni e dei momenti di progettazione a cui ho
preso parte.
58
4.7 Strumenti impiegati
La scelta degli strumenti mi ha consentito un’osservazione quanto più oggettiva dei fenomeni e una loro misurazione adeguata. Essi sono:
Questionario: (riportato in allegato) è stato completato individualmente
da ciascun bambino. Esso è costituito da domande pensate per far riflettere i
bambini sui molteplici aspetti delle frazioni e permette di rilevare l’eventuale
presenza di misconcezioni, legate a concetti presenti nella matematica scolastica
che concernono proprio l’apprendimento delle frazioni. Esso si articola in 9 item
(non direttamente riscontrabili in quello fornito ai bambini). Ogni item contiene
vari esercizi e problemi aperti sulle frazioni e sui numeri decimali e prevede la
motivazione delle risposte date.
Videoregistrazioni: ha fornito innumerevoli informazioni sui processi
di costruzione delle conoscenze adottate dai bambini partecipanti alla sperimentazione durante le situazioni a-didattiche. L’esigenza della videoregistrazione è nata per ovviare alla difficoltà di annotare contemporaneamente le congetture e le argomentazioni dei bambini. È inevitabile che all’interno di una discussione le voci si sovrappongono. Inoltre il filmato permette: di scegliere le risposte considerate rilevanti e che dovranno essere rese in forma esplicita, di monitorare una situazione in cui ogni singola osservazione può essere rappresentata
simultaneamente da uno o più codici.
Analisi a-priori: essa è l’insieme delle rappresentazioni epistemologiche, delle rappresentazioni storico-epistemologiche e dei comportamenti ipotizzati 14. L’analisi dei comportamenti ipotizzabili, tenendo conto degli errori, ostacoli della disciplina, misconcetti e conflitti, consente di individuare quelle attività che, nel rispetto dei diversi stili cognitivi degli alunni, favoriranno l’apprendimento. Lo strumento dell’analisi a-priori, oltre a fornire la possibilità di tabulare i dati emersi dalla somministrazione dei problemi aperti, configurandosi
altresì come risorsa funzionale ai fini valutativi, consente di poter focalizzare
l’attenzione del ricercatore su una serie di aspetti interessanti, il primo dei quali
può essere considerato lo spazio degli eventi, ovvero l’insieme delle possibili riPer “rappresentazioni epistemologiche” si intendono le rappresentazioni dei percorsi conoscitivi riguardanti un particolare concetto. Per “rappresentazioni storico-epistemologiche” si intendono le rappresentazioni dei percorsi conoscitivi (sintattici, semantici, pragmatici) riguardo
un particolare concetto. Per “comportamenti ipotizzabili” dell’allievo nei confronti della situazione/problema sono tutte le possibili strategie risolutive sia corrette che non.
14
59
sposte, corrette e non, che si possono ipotizzare in uno specifico contesto. Sulla
base dello spazio degli eventi è possibile inoltre individuare sia il buon problema e quindi, una “situazione didattica fondamentale” che permette la migliore
formulazione in termini ergonomici della conoscenza, sia le variabili didattiche
che permettono di favorire un cambiamento nel comportamento degli allievi
(Spagnolo, 1998, pp. 258-259).
4.8 Disegno di ricerca
Il disegno di ricerca seguito si basa sul confronto tra campioni diversi in cui
sono state analizzate le risposte date allo stesso questionario, tabulando i dati
sulla base della stessa analisi a-priori.
Al fine di evidenziare i cambiamenti apportati dalla variabile sperimentale,
ossia l’utilizzo della narrazione e delle situazioni a-didattiche nell’apprendimento delle frazioni, è stato somministrato per due volte il medesimo questionario:
prima dell’introduzione della variabile sperimentale, per rilevare le competenze
di partenza, e poi al termine delle attività svolte. Queste ultime sono state pure
confrontate con quelle del gruppo di controllo.
60
Capitolo 5
IL PERCORSO OPERATIVO
Partire dall’esperienza concreta dei bambini, dal loro vissuto e dalla loro storia è l’unico approccio corretto per sviluppare negli alunni un atteggiamento positivo verso la matematica e non fargli perdere il gusto per la scoperta e la capacità di divertirsi imparando. In questo percorso operativo, pertanto sono state
pianificate, all’interno di un approccio narrativo, alcune modalità operative per
condurre gli alunni ad un migliore apprendimento delle frazioni.
L’opportunità di muoversi ad ampio raggio, per stimolare gli alunni ad apprendere le frazioni e l’esigenza allo stesso tempo di ottenere dati qualitativi più
accurati, poteva essere soddisfatta solo da una sperimentazione più ricca di situazioni a-didattiche che permettesse di codificare il maggior numero di indicatori semantici. Pertanto la ricerca è stata lunga, minuziosa e dettagliata in tutte
le sue parti, che qui di seguito sono descritte e motivate.
5.1 Fase preliminare
Nel prendere contatto con la classe si è proceduto con un primo momento
d’osservazione delle attività didattiche per individuare la situazione di partenza
dei bambini e per comprendere quali siano le conoscenze sulle frazioni già presenti in classe. Da questi incontri sono emersi alcuni atteggiamenti (che rivelano
conoscenze più o meno consce relative alle frazioni) evidenziati dalle attività
svolte e dalle discussioni scaturite.
Dagli incontri di osservazione sistematica si è cercato di constatare quali erano i concetti relativi alle frazioni posseduti dalla classe. È stato interessante anche evidenziarlo in contesti che apparentemente non rientravano nell’ambito
logico-matematico, come ad esempio nella realizzazione di maschere di carta
pesta.
Successivamente si è proceduto alla somministrazione del questionario per
saggiare le conoscenze possedute rispetto ai numeri razionali.
61
5.2 Fase sperimentale
Conclusa la fase preliminare sono state selezionate le attività relative all’ipotesi di ricerca, al fine di sviluppare negli alunni un miglior apprendimento delle
frazioni.
La conduzione della attività in classe è stata svolta nell’arco di tempo compreso tra febbraio e aprile.
Partendo dall’esperienza e dagli interessi dei bambini ho cercato di realizzare
un clima sociale positivo, di conoscere e valorizzare le attitudini individuali e di
utilizzare tutti i canali della comunicazione. Sono state stimolate tutte le forme
di comunicazione orale ed è stata sollecitata l’assunzione di comportamenti di
ascolto, sviluppando la capacità di attenzione e concentrazione coinvolgendo
frequentemente i bambini. Ogni argomento, infatti, è stato affrontato partendo
dalla fiaba che, fungendo da filo conduttore, ha stimolato in loro la curiosità e la
motivazione.
Tutte le attività proposte partono dal presupposto che i bambini non sono
“contenitori vuoti” da riempire, ma “contenitori pieni” da ristrutturare in modo
via via più complesso.
Nella classe, infatti, il discorso sulle frazioni è già stato avviato partendo da
una fase manipolativa-concreta: attività di taglio, di piegatura, di coloritura di
fogli. I bambini avevano già lavorato, sia alla costruzione di alcune unità frazionarie come operatori su grandezze continue e discrete, che con alcune frazioni
con numeratore diverso dall’unità. Così, lasciandosi trasportare da questo percorso magico, hanno avuto modo di approfondire altri concetti fondamentali,
inseriti gradualmente in contesti significativi e diversificati. 15
Al fine di falsificare l’ipotesi generale, l’indagine sperimentale è stata articolata così articolata:
15 Si precisa che i nomi riportati di seguito, in alcune attività, sono di fantasia.
62
FASE PRELIMINARE
FASE SPERIMENTALE
FASE CONCLUSIVA
Osservazione sistematica
Questionario
N
A
R
R
A
Z
I
O
N
E
Situazioni didattiche
- Falegname
- Fornai
- Cuochi
- Giullari*
- Storico*
Situazioni a-didattiche
- Sarti
- Ingaggio
- Carte in ordine
- Numeri compresi
- Vince il più piccolo
- Tombola
Questionario
Riflessioni metacognitive
*Per le attività contrassegnate, aventi un carattere più interdisciplinare, non si è proceduti all"analisi apriori.
FIABA
Nel Paese delle Meraviglie vive la Regina di Cuori. La ricordate? Brutta, grassa e un po'...... bassotta, oltre che
vanitosa, prepotente e molto.....intonata. Chi può, in tutta sincerità, affermare di non aver mai udito il suo
ormai famoso: <<Tagliatele la testaaaaa.....!!>>?. Ella non ha dubbi. Ogniqualvolta si presenta un problema, questa è la soluzione.
Dovete sapere che un tempo la vita a palazzo si svolgeva serena, ed i problemi si risolvevano con giustizia. Il
Re e la Regina usavano lo stesso metro di misura per tutti. Metro di misura: le ultime parole famose !!!.La salita
al trono della Regina di Cuori sconvolse l’equilibrio del piccolo regno. Misurare, confrontare, giudicare erano
parole il cui significato dipendeva dalla Regina. Tutto ciò che fino ad allora era stato fatto in base a delle
scelte uguali per tutti, per quelli alti e per quelli bassi, per quelli larghi e per quelli stretti, ora non andava più
bene. Le sedie, i tavoli, i letti, gli scalini, i davanzali delle finestre, le mensole, gli, specchi, le porte ecc. ecc.
tutto era troppo alto o troppo stretto. Tutto era sbagliato. Questi problemi, in generale, rispetto a quelli
della giustizia sono meno importanti, in generale.....Ma provate a chiederlo ai falegnami, ai muratori, alle sarte,
ai cuochi, ai giardinieri e a tutti quelli che allora lavoravano a Palazzo. Ogni errore, lo sapete bene, era punito
con il taglio della testa. Se avessimo fatto conoscenza solo con la regina avremmo potuto osservare che forse
la natura non le aveva dato un fisico da modella, purtroppo il problema non era solo di curve ma anche di altezza!! Tutte quelle cose così alte offendevano la sua regale Maestà! Bisognava rifare completamente il palazzo e
i suoi arredi. Avete capito adesso in quali guai vennero a trovarsi i poveri sudditi? Non credo. Infatti voi certamente penserete che bastava riprendere tutte le misure e apportare le modifiche necessarie. Ma questo
non era più possibile, perché il buon metro non c’era più. Tutti gli strumenti capaci di misurare l’altezza (la
bassezza) e la larghezza della Regina, visto che l’offendevano, erano stati bruciati.
63
SITUAZIONE DIDATTICA 1 - “FALEGNAME”
FIABA
Per meglio comprendere quanto avvenne, vi racconterò qualche episodio che risale a quel
periodo.Ad esempio all’inizio del suo regno la Regina stabilì che:
- le finestre e i balconi dovevano essere alti quanto lei con il braccio alzato più ancora una
volta la lunghezza del braccio;
- la finestra da cui venivano pronunciati i discorsi doveva essere alta quanto lei con il braccio
alzato più ancora tre volte la lunghezza del braccio;
- il davanzale doveva trovarsi ad un’altezza tale che ella poteva poggiarvi le sue mani (quando
doveva dare più forza alle sue parole!).
Incominciamo da queste prime richieste.
Fu chiamato il falegname di corte per preparare gli infissi in legno e per creare il vano della
finestra. Fatte le richieste, la Regina si allontanò senza dargli l’opportunità di prendere alcuna misura (con corde, mattoni, nulla!!). L’artigiano andò via preoccupato e terrorizzato.
Come risolvere questo problema?
Trascorse del tempo e nulla ancora era stato fatto per cui le urla della Regina si sentivano in
ogni angolo del palazzo. Un giorno il falegname confidò il suo problema alla moglie. Indovinate
chi era? Era proprio la sarta (che fortuna direte voi!). Ella, raggiante, gli disse che aveva la
soluzione e gli mostrò la sagoma che aveva nel suo laboratorio di sartoria. Infatti, dovendo
confezionare gli abiti della Regina, era autorizzata ad appoggiarle la stoffa addosso e velocemente considerare i tagli da effettuare. Il falegname era salvo! Come? Indovinatelo voi!
COMPETENZE INTERESSATE:
- Conoscere intuitivamente il concetto di frazione come misura.
- Esporre con chiarezza il procedimento risolutivo seguito.
- Rappresentare graficamente i dati
forniti.
CONTENUTI:
Frazione come misura.
MATERIALI:
Schede
Fogli a quadri
Penne, gomme, matite.
CONSEGNA:
Di seguito è riportata la sagoma del vestito della
Regina che la sarta ha prestato al falegname. Descrivi cosa deve fare il falegname per adeguare
porte, finestre e balconi alle richieste della Regina.
- le finestre e i balconi dovranno essere alti
quanto la Regina con il braccio alzato
più ancora una volta la lunghezza del
braccio;
- la finestra da cui vengono pronunciati i discorsi
deve essere alta quanto la Regina con il
braccio alzato più ancora tre volte la
lunghezza del braccio;
- il davanzale deve trovarsi ad un’altezza tale da
potersi poggiare con le mani (quando
devo dare più forza alle sue parole!).
PROCEDURA:
Dopo il racconto della parte di storia, ad ogni bambino viene fornita una
scheda con la quale può aiutare il
personaggio a superare le sue difficoltà. Ogni bambino può servirsi di
qualsiasi altro foglio o materiale per
risolvere il compito.
TEMPI:
Circa 2 ore.
64
S1
Trascura la seconda parte della richiesta, per cui disegna i balconi della stessa grandezza della
regina.
S2
Non adotta alcuna strategia definita, procede “ad occhio”.
S3
Conta i quadretti che compongono il braccio alzato della regina e ne aggiunge altrettanti a continuazione del braccio.
S4
Conta i quadretti che costituiscono la differenza tra la sommità del capo della regina e l’estremità! del braccio e ne aggiunge altrettanti a continuazione.
S5
Aggiunge il numero di quadretti corrispondente alla lunghezza del braccio a partire dalla sommità
del capo
S6
Aggiunge un numero di quadretti corrispondente all’intera lunghezza della regina.
S7
Conta a partire dal capo della regina due volte la lunghezza del braccio.
S8
Aggiunge all’altezza della regina la lunghezza del braccio più la differenza tra la sommità! del capo e l’attaccatura del braccio.
S9
Non esegue il compito
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
GRAFICO A-B
COMMENTI:
- Nelle precedenti attività svolte dall’insegnante di classe, riguardanti le simmetrie, i
bambini avevano utilizzato al carta lucida.
Molti bambini l’hanno utilizzata anche in
quest'attività (Contratto didattico), alcuni
dei quali con successo.
6%
6%
18% 12%
6%
6%
47%
S1
Trascura le informazioni fornite e disegna il davanzale senza utilizzare nessuna strategia.
S2
Disegna il davanzale all’altezza dell’attaccatura del braccio.
S3
Disegna il davanzale esattamente a metà! dell’altezza della regina.
S4
Disegna il davanzale all’altezza in cui nella sagoma sono segnate le mani.
S5
Non risponde alla richiesta.
S6
Individua l’intervallo in cui si può collocare il davanzale.
S7
Trascura le informazioni fornite e disegna il davanzale senza utilizzare nessuna strategia.
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
GRAFICO C
COMMENTI:
6%
6%
29%
- La richiesta poteva avere diverse possibilità di soluzioni. La maggioranza
dei bambini, pur adottando strategie
differenti, ha motivato correttamente
la propria soluzione.
29%
29%
65
SITUAZIONE DIDATTICA 2 - “FORNAI”
FIABA
Ma il falegname non fu l’unico a trovarsi in difficoltà. La Regina, infatti, aveva deciso di prendere provvedimenti anche per quanto riguardava la sua larghezza, oserei dire “grossezza”, limitando il consumo di dolci, e delle torte, in particolare. Ma non doveva essere certo lei la sola a
limitarsi! È così che volle sapere da tutti i fornai del regno quanta farina fosse utilizzata ogni
giorno per il pane e quanta per i dolci. I fornai, così le risposero:
!“SUA MAESTÀ, OGNI GIORNO, NEI FORNI DEL SUO REGNO I 3/8 DI UN SACCO DI FARINA è USATO PER IL PANE E " DEL SACCO è USATO PER LE TORTE.”
!Ma la regina, dovete sapere, di matematica non capiva nulla, per cui, chiese al matematico-astronomo di corte:
!“È DI PIÙ LA FARINA USATA PER LE TORTE O QUELLA USATA PER IL PANE?”
Secondo voi?
Poi aggiunse, rivolta al matematico: «Scrivi loro dicendo che in ogni caso, d’ora in poi, voglio che
le torte prodotte ogni giorno siano non di più della metà della metà di quelle sfornate sino ad
oggi!».
Il matematico, che era un uomo di scienza, con il pallino per i numeri, secondo voi come rispose?
COMPETENZE INTERESSATE:
- Confrontare frazioni
- Verbalizzare le strategie risolutive scelte per la soluzione dei problemi e usare i simboli dell’aritmetica per
rappresentarle;
- Esporre con chiarezza il procedimento risolutivo seguito e confrontarlo con altri eventuali procedimenti;
- Rappresentare in modi diversi (verbali, iconici, simbolici)
la situazione problematica, al fine di creare un ambiente
di lavoro favorevole per la risoluzione del problema;
- Riconoscere frazioni equivalenti
CONTENUTI:
Frazione equivalenti.
MATERIALI:
Schede
Fogli
Penne, gomme, matite.
PROCEDURA:
Dopo il racconto della storia, ad ogni bambino viene
fornita una scheda nella quale può rispondere agli interrogativi posti. Ogni bambino può servirsi di qualsiasi altro
foglio o materiale per risolvere il compito.
TEMPI:
Circa 1 ora e mezza.
66
COMMENTI:
La maggioranza dei bambini ha
adottato la strategia rappresentata schematicamente di seguito. Sono stati infatti abituati a
ragionare sul significato del
concetto di frazione proprio
suddividendo un foglio di carta
in tante parti.
S1
3/8 > " perché 3 > 1
S2
3/8 > " perché 8 > 4
S3
3/8 > " perché 3 > 1 e 8 > 4
S4
3/8 > " perché 3/8 più vicino a metà! rispetto a 1/4
S5
3/8 > " perché 3:8=0,375 mentre 1:4=0,25
S6
!" > 3/8 perché una parte di un intero diviso in 4 è parti è più
Fig. 1
grande di 3 parti dello stesso intero diviso in 8 parti
S7
3/8 > di 1/4 perché le 3 parti di un intero diviso in 8 parti sono
più grandi rispetto una parte dello stesso intero diviso in 4.
S8
Fig. 2
3/8 > " perché 6/16 > 4/16 (li riporta allo stesso denominatore)
S9
3/8 > " perché 2/8 corrisponde a 1/4
S10
!3/8 > " Fig. 1
S11
Sceglie un’unità di misura. La ripete 4 volte, ma ne considera 1.
Poi la ripete 8 volte ma ne considera 3.
S12
3/8 > 1/4 utilizzando la retta dei numeri. Fig. 2
S13
3/8 > 1/4 utilizzando i fogli di carta. Fig. 3
S14
" = 1/8 + 1/8 = 2/8 e
S15
Risponde correttamente senza dare alcuna motivazione.
S16
Non risolve il compito.
GRAFICO 3
5%5%5%5%
5%
11%
26%
37%
Fig. 3
3/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
s12
S13
S14
S15
S16
67
Fig. 4
Fig. 4
“SECONDO ME È DI PIÙ LA FARINA
USATA PER IL PANE 3/8 PERCHÉ 2/8
CORRISPONDE A 1/4.”
TERRY
“LA FARINA PER LA TORTA È PIÙ
ASSAI PERCHÉ NEL SACCO DI 3/8 CI
SONO PIÙ PEZZI.”
VINCENZO
“PER ME È PIÙ GRANDE 3/8 PERCHÉ 1/4 PRENDE SOLO 2 PARTI DI 3/
8 E 1 RIMANE FUORI.”
GABRIELE
S1
1:4=0,25
S2
La metà di " è #, la metà di # è 1 (divide solo il denominatore per 2)
S3
La metà di " è 1/8, la metà di 1/8 è 1/16
S4
Fig. 1
S5
Fig. 2
S6
Fig. 3
S7
Risponde correttamente senza fornire alcuna motivazione.
S8
Non esegue il compito
0,25:2=0,125
Fig. 1
0,125:2=0,0625
Fig. 2
COMMENTI:
GRAFICO 3
5%5%
Fig. 3
- La maggioranza dei bambini (63%) ha adottato la
strategia 4. Sono stati infatti abituati a ragionare sul
significato del concetto di frazione proprio suddividendo un foglio di carta in tante parti.
26%
63%
S1
S5
S2
S6
S3
S7
S4
S8
68
SITUAZIONE DIDATTICA 3 - “CUOCHI”
FIABA
Nonostante la Regina cominciasse a prestare più
attenzione alla sua linea, non cessava certo di indire feste, banchetti e gran balli in cui invitava anche i più illustri e potenti nobili dei regni vicini.
Durante queste feste, a corte, tutti avevano un bel
daffare: pulire, sistemare, addobbare, apparecchiare, CUCINARE…
Poveri cuochi! La Regina non voleva fosse buttato
via nulla di quanto cucinato, né poteva fare, d’altronde, un magra figura con piatti poco abbondanti.
I cuochi, pertanto, erano tenuti a preparare per il
numero esatto dei partecipanti, che ahimè, variava
in continuazione. Molti infatti, con una scusa qualsiasi, disdicevano l’invito all’ultimo minuto.
Così, un bel giorno, a mezz’ora dall’inizio del banchetto dovevano ancora preparare il dolce; dalle
ultime stime il numero degli invitati doveva essere
35. Mahhh sul librone delle ricette le dosi erano
per 4 persone… Mamma mia, si dovevano pure mettere a fare i conti così di fretta! Aiuta tu i cuochi
a individuare la giusta quantità dei singoli ingredienti per preparare un buon tiramisù!
- Scoprire semplici relazioni tra numeri a partire da esperienze concrete.
- Eseguire semplici calcoli con numeri razionali usando metodi e strumenti diversi (calcolo mentale, carta e matita...)
- Esprimere e interpretare i risultati
di misure, con particolare riferimento agli ordini di grandezza, alla
significatività delle cifre.
- Realizzare formalizzazioni e possibili generalizzazioni di un procedimento risolutivo seguito, ad esempio passando dal problema considerato ad una classe di problemi.
- Passare da una misura espressa in
una data unità ad un'altra espressa
in un suo multiplo o sottomultiplo.
- Riconoscere scritture diverse (frazione, numero decimale...) dello
stesso numero dando particolare
rilievo alla notazione con la virgola.
CONTENUTI:
Frazioni
Equivalenze
Unità di misura (multipli e sottomultipli)
Operazioni con numeri decimali e
con frazioni
TIRAMISÙ
!!500 g di mascarpone
!!300 g di savoiardi
!!6 uova freschissime
MATERIALI:
!!200 g di cioccolato
fondente
1 BAMBINA HA UTILIZZATO UNA STRATEGIA
NON PREVISTA: HA
CALCOLATO PRIMA LE
DOSI PER 32 PERSONE,
POI TROVANDO QUELLE
NECESSARIE PER 1
PERSONA LE HA MOLTIPLICATE PER 3 E AGGIUNTE ALLE PRECEDENTI.
COMPETENZE INTERESSATE:
Schede
Penne, gomme, matite.
!!250 g di zucchero
!!2 cucchiai di cacao amaro
!!Mezzo bicchiere di caffè
PROCEDURA:
Dopo il racconto di una parte della
storia, ad ogni bambino viene fornita
una scheda con il quale può aiutare il
personaggio a superare le sue difficoltà. Ogni bambino può servirsi di
qualsiasi altro foglio o materiale per
risolvere il compito.
TEMPI:
Circa 2 ore.
4 BAMBINI HANNO ADOTTATO UNA STRATEGIA
NON PREVISTA. SAPENDO CHE MEZZO BICCHIERE DI
CAFFÈ SERVIVA PER 4 PERSONE, E QUINDI UN BICCHIERE
INTERO PER 8 PERSONE, NE HANNO DISEGNATI 5, MA
DELL’ULTIMO NE CONSIDERANO SOLO 3 PARTI.
69
S1
Risolve correttamente soltanto la parte del problema relativa ai numeri interi.
S2
Risolve i calcoli mentalmente.
S3
Commette errori nell'incolonnamento delle cifre.
S4
Commette errori di calcolo
S5
Non considera la presenza della virgola.
S6
Non considera la presenza delle cifre decimali.
S7
Esegue il calcolo come se non ci fosse la parte decimale e poi l'accosta al risultato.
S8
Esegue le moltiplicazioni in colonna come se si trattasse di un'addizione.
S9
Nel prodotto tra due numeri decimali, unisce i due fattori e li separa dalla virgola.
S10
Non esegue correttamente le equivalenze
S11
Comprende la necessità! di riportare i dati ad altre unità di misura.
S12
Moltiplica i dati della ricetta per 35, senza comprendere la necessità! di ricavare inizialmente le
dosi riferibili a una persona.
S13
Esegue correttamente tutti i calcoli
S14
Esegue correttamente tutti i calcoli tranne quelli che prevedendo la divisione in cui il dividendo
è minore del divisore
S15
Comprende che mezzo bicchiere è 0,5
S16
Calcola le dosi per una persona senza trovare quelle per 35
S17
Commette errori nel posizionamento della virgola
S18
Non esegue il compito.
STRATEGIE NON PREVISTE
S19
Per calcolare la quantità di caffè necessaria disegna un bicchiere e lo divide in 8 parti, lo
stesso bicchiere lo disegna per 5 volete, ma dell’ultimo considera solo 3 riquadri.
S20
Calcola le dosi per 32 persone moltiplicando i dati per 8, poi divide il dato iniziale per 4 e lo
moltiplica per 5.
7,00
GRAFICO 1
7
6
5
5,25
4
3,50
2
1,75
0
4
2
1
0
4
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 s12 S13 S14 S15 S16 s17 S18 s19 S20
70
SITUAZIONE A-DIDATTICA - “SARTI”
FIABA
Dovete sapere che, nel Paese
delle Meraviglie, i capricci della
Regina non finivano mai di sorprendere i suoi sudditi. Vediamo un po’ cosa si è inventata
stavolta!
Ebbene un bel giorno riunì i
sarti del regno e dette loro
queste precise parole per cucire una nuova bandiera, pensate
un po’ dopo ben 6 secoli di storia! Quella usata fino a quel
momento era troppo grande
per poter essere sventolata
vicino la Regina, copriva la sua
“maestosa” figura.
Quindi, dette ai sarti queste
precise istruzioni:
! LA BANDIERA DEL PAESE
DELLE MERAVIGLIE DEVE
ESSERE RIDOTTA DI 1 / 3
PER OGNI LATO.
COMPETENZE INTERESSATE:
- Utilizzare rappresentazioni grafiche per esprimere relazioni tra dati numerici.
- Individuare relazioni tra figure.
- Verbalizzare le strategie risolutive.
- Individuare le risorse necessarie per raggiungere l'obiettivo selezionando i dati forniti dal testo, le informazioni
ricavabili dal contesto e gli strumenti che possono risultare utili ala risoluzione del problema.
- Comprendere il significato delle frazioni come parte di
un tutto.
CONTENUTI:
Frazione come parte di un tutto.
uguaglianza tra figure.
MATERIALI:
Bandiera (cartoncini di vario colore)
Righello
Penne, gomme, matite.
PROCEDURA:
Dopo il racconto della storia, la classe viene suddivisa in 4
squadre in modo del tutto casuale. Ogni squadra avrà il
nome del colore del pezzo di bandiera assegnato. Ogni
squadra dovrà ridurre di un terzo ogni lato della bandiera;
se tutti lo fanno correttamente alla fine i pezzi combaceranno nuovamente. l’attività procederà secondo lo schema
proprio delle situazioni a-didattiche.
TEMPI:
Circa 2 ore.
CONSEGNA
Durante questa fase viene letta la storia, vengono formate le squadre
e ad ognuna di esse viene fornita una parte della bandiera, coincidente con un colore.
AZIONE
All’interno di ogni squadra i bambini avanzano le loro ipotesi, le sperimentano... Infine, quando sono tutti d’accordo sulla strategia da
adottare, procedono a rimpicciolire la loro parte di bandiera.
FORMULAZIONE
Ogni squadra sceglie il proprio portavoce che esporrà alla classe la
strategia utilizzata dal gruppo.
VALIDAZIONE
In questa fase le 4 squadre uniscono i pezzi da loro rimpiccioliti. In
questo modo capiscono loro stessi se hanno fatto bene il compito o
se era opportuno fare qualcos'altro.
71
ANALISI A-PRIORI
S1
S2
S3
S4
S5
GRAFICO 4
COMMENTI:
La fase di validazione della situazione adidattica è riuscita, i bambini sono riusciti a ricostruire la bandiera perché
anche se il gruppo giallo aveva adottato
un’altra strategia si è convinto dell’errore e ha adottato al S3 utilizzata dagli
altri gruppi. In realtà anche questa strategia non è quella richiesta (S1), ma
rimpicciolendo tutti allo stesso modo
sono riusciti a far ricombaciare le diverse parti.
S1
S2
S3
S4
S5
25%
75%
72
SITUAZIONE DIDATTICA - “GIULLARE”
COMPETENZE INTERESSATE:
FIABA
Da quanto detto sin qui, si può ben notare come nel Paese delle Meraviglie,
da quando la Regina di Cuori è salita al
trono, tutti cominciarono “a fare un
po’ i conti” con le Frazioni. Pensate un
po’, anche chi, per il mestiere che faceva, non aveva necessità di utilizzarle, cominciò a familiarizzare con esse.
Ad esempio, volete sapere cosa si inventò il giullare di corte?
Cominciò a formulare degli strani indovinelli….
- Individuare, descrivere e costruire relazioni.
- Comprendere il significato delle frazioni
come parte di un tutto.
- Applicare le conoscenze acquisiste ad altri
contesti.
- Rappresentare graficamente i dati forniti
CONTENUTI:
Frazione come parte di un tutto.
MATERIALI:
Schede
Penne, gomme, matite.
PROCEDURA:
Dopo il racconto della storia, ad ogni bambino viene distribuita una scheda. Ognuno dovrà applicare i concetti appresi sule frazioni
alle lettere che compongono alcune parole
date, e sommando o sottraendo otterranno
nuove parole. La seconda parte dell’attività
prevede la formulazione di questi “indovinelli” al compagno di banco. i più belli e divertenti verranno poi posti al gruppo classe.
Cos’è?
La prima metà di CASA + la seconda metà di
PANE
________________________________
TEMPI:
Cos’è?
La prima metà di RAPA + la prima metà di NASO
________________________________
Circa 1 ora.
Cos’è?
La prima metà di SPILLO + il primo terzo di APE
________________________________
E
adesso, con un po’ di
fantasia, fai lo stesso, inventa pure tu degli indovinelli per i tuoi
compagni. Ti raccomando, le frazioni
non devono mancare!
!
73
SITUAZIONE DIDATTICA 2 - “STORICO”
FIABA
Falegnami, muratori, giardinieri, cuochi, sarti, giullari….tutti utilizzavano le frazioni.
Ma c’era pure chi aveva un pensiero fisso: da dove spuntano fuori queste frazioni, chi
è che le ha inventate? Infatti, nella polverosa, nonché piena di libri biblioteca del
palazzo, viveva uno storico tutto intento a scartabellare documenti antichi, libri, manoscritti, rotoli di pergamena, e indovinate un po’ cosa scoprì?
Questo documento è uno dei più antichi conosciuti, non solo della Matematica, ma
anche della scrittura egizia; troviamo indicato ben chiaramente che il faraone conquistò
400 000 bovini, 1 422 000 ovini e fece 120 000 prigionieri.
COMPETENZE
INTERESSATE:
La parola “Frazione” deriva dal latino “fractio”, che vuol dire
“parte ottenuta spezzando”. I numeri frazionari sono anche
chiamati “rupti” o “fracti” e il trattino orizzontale posto tra
- Inserire l’apprendinumeratore e denominatore è chiamato “virgula” cioè “bamento delle frazioni
stoncello” (da “virga”, bastone).
3
Già nell’antico Egitto, a partire dal 3000 a. C., si sviluppò una
all’interno diperdetermi4
notevole competenza in Matematica, competenza solitamente
nati quadri storici.
riservata alle caste più potenti, i sacerdoti e gli scriba. Le fonti
- Esporre con chiarezza
considerate più autentiche ed autorevoli per queste ricerche
quanto appreso.
sono costituite da alcuni famosi papiri e rotoli.
- Rappresentare in modi
citato
documento
matematico
dell’antico
il
Questa eraIllapiù
forma
geroglifica
di scrittura
dei numerali
più diffusa,Egitto
ma nonèunivoca.
In
“papiroin di
Rhind”;
esso
ritrovato
nel 1858
diversi
luoghi
e sufudiversi
materiali,
si sonodall’antiquario
trovate anche forme di
diversi (verbali, iconici,
1 diverse epoche,
Anche
la frazione scrittura
, per la sua
peculiarità
indiscutibile,
aveva (1833-1863)
un geroglificoa aLuxor
parte:(l’antiscozzese
Alexander
Henry Rhind
assai
diverse.
simbolici) uno
stesso
2 Gli Egizica
Tebe). Il molta
papiropassione
si trovaallo
in studio
eccezionale
stato di conservaziodedicarono
delle
frazioni.
concetto matematico.
e si caso,
trovaleesposto
al British Museum
di Londra.
Il papiroqui la più
Anche inne
questo
scritture geroglifiche
sono molteplici,
ma propongo
contiene 87 problemi di Matematica e varie questioni aventi a
nota.
che
fare proprio con
le frazioni:
frazioni.
Ecco come
rappresentavano
alcune
CONTENUTI:
Ecco come rappresentavano alcune frazioni:
Storia delle frazioni.
Frazione unitaria.
che si chiamava “ges” cioè proprio “metà”.
2
3
È vero, però, che gli Egizi non considerarono mai
e
come vere e proprie frazioni,
MATERIALI:
3
4
Schede
ma come simboli divini; e dunque, affermare che le “uniche” frazioni egizie considerate
Fogli
come tali sono quelle con numeratore
1, è tutto sommato
vero.in tutti è il segno geroglifico
Il segno che
superiore
Il segno superiore
appare inche
tuttiappare
è il segno
geroglifico “bocca” che si legge “èr” e
Penne, gomme,
matite.
Era talmente
importante
un heqat
in parti
che,
non
disponendo
del
“bocca”
che
legge
“èr”
e dibattute
che
significa
“parte”;
essoalla
ha sistema
il
Una
delle problematiche
sulle
frazioni
chesidividere
più
appaiono
è quella
relativa
1
decimale,
gli “parte”;
Egizi
usavano
dividerlo
in metà,
quarti,
ottavi,
sedicesimi,
trentaduesimi
e
ruolo
di
numeratore
unitario,
cioè
i trattini
che
appaiono
significa
esso unitarie;
funge
dunque
da numeratore
unitario
del che
tipo
riduzione di frazioniche
complesse
in
frazioni
in
questo,
i 1.
papiri
rivelano
gli. Il numerale
1 1 1 1 1 1
sotto la bocca sono il denominatore.
PROCEDURA:
Egizi furono veri e propri
maestri.
sessantaquattresimi,
dunque le frazioni unitarie , , , , ,
avevano un ruolo
che appare
la bocca
è il denominatore.
Glisotto
Egizi
avevano
solo frazioni “unitarie”
(metà,
quarti, ottavi,
2 4 8 16
32 64
Per esempio,
tra
mille
altri esempi,
le seguenti
Dopo il racconto
della si trova,Sispeciale
sedicesimi,
trentaduesimi
euguaglianze:
sessantaquattresimi).
avevano
afferma
sempre
che
gli Egizi
avevano
solonelfrazioni
“unitarie”
(che,
infatti, spesso
nella
vita quotidiana
egizia;
tanto
che,
geroglifico
udjatEsse
erano
rappresentate
3 1 1 sono
47speciale
1 1Ciò
1nonvita
storia, ad ogni bambino
un
ruolo
nella
quotidiana
egizia;
tanto
che,
nel anche
dette
“frazioni
egizie”).
è
del
tutto
esattamente
vero.
Essi
avevano
implicitamente:
= + ,
= + +
geroglifico
viene fornita una scheda
2 udjat
3 3 erano
5 2 10
60
4 5rappresentate implicitamente:
altre due frazioni, e , alle quali riservavano simboli particolari:
nella quale può
è ripor- i primi membri delle uguaglianze
(naturalmente
erano espressi o dal contesto o a parole
3 4
2
esempi concreti).
tata la storiao tramite
delle fraper
riguardo
veniva riservato alle misure di capacità (era molto
3
zioni presso Un
gli egizi
e i aritmetico particolare
babilonesi. Siimportante
rifletteràconservare a lungo, in un Paese in prevalenza desertico, cereali e agrumi,
volta
raccolti, o liquidi, come la birra, una volta prodotta).
sul significatounadei
simdi capienza era espressa
in “heqat”
equivalente
a 4,785esercizi
litri). La
notazione di
Attorno
a queste
misure circa
ruotavano
mnemonici
boli utilizzati L’unità
e sull’evoAttorno a queste misure ruotavano esercizi mnemonici di tipo scolastico e, stante la loro
tipo
scolastico
e,
stante
la
loro
importanza,
anche
miti, come
di
nome
“udjat”,
che
significa
contemporaneamente
“occhio
luzione che geroglifica
essi hannodell’heqat,
importanza, anche miti, come quello famoso dell’occhio di Horus, disperso nel deserto
quello
famoso dell’occhio di Horus, disperso nel deserto per
umano” e “occhio di falco”,
era
la seguente:
per vendetta.
subito.
vendetta.
63
TEMPI:
Circa 1 ora e mezza.
Quest’ultimo, in particolare, serviva a mostrare come la somma di tutte le precedenti
1
frazioni unitarie non dà l’unità, dato che le manca
, il che, forse, voleva essere una
64
spinta a non sottovalutare le parti anche minime di un heqat.
Va detto che gli Egizi ebbero notevoli rapporti con altre civiltà africane, asiatiche e di
tutto il Mediterraneo, per cui furono influenzati dalle, ed influenzarono certo le,
aritmetiche di quei popoli. Tali influenze costituiscono oggi uno dei campi di studio più
fecondi degli archeologi matematici.
2.2.2. Scrittura ieratica
Come ho già detto all’inizio di questo paragrafo 2.2., alla scrittura geroglifica,
ingombrante, difficile, lenta e faticosa, si contrapponeva l’assai più snella scrittura
64
“ieratica”.
“Ieratico” viene dal 74
greco “hieratikós”, cioè “sacerdotale”, a sua volta da “hierós”, cioè
“sacro”; attualmente ha, in italiano, il significato di “grave, solenne”, riferito ai gesti
lenti e pieni di significato. Il termine riferito alla scrittura sacerdotale egizia è stato
coniato dallo scrittore greco cristiano Tito Flavio (150 – 215 d. C.), più noto con
l’epiteto di Clemente Alessandrino, uno dei padri della Chiesa.
Tale scrittura ieratica era usata assai più spesso di quella geroglifica sia dai sacerdoti
SITUAZIONE A-DIDATTICA - “INGAGGIO”
FIABA
Ma lo storico non era l’unico a
vivere nella grande biblioteca
del palazzo, con lui c’era pure
un vecchio matematico-astronomo, esperto sia di numeri
che di stelle. Capite bene che,
col gran da fare che la regina
aveva dato a tutti i suoi sudditi a impegnarsi in calcoli e
ragionamenti matematici, molti avevano chiesto e continuavano a chiedere a lui consulenza, Regina compresa, che
come abbiamo già detto non
ne capiva molto di numeri e
figure…
In questo modo, però, il matematico-astronomo, si dedicava più ai numeri che alle
stelle, la sua vera grande passione. Ed è per questo che
indirizza proprio a voi, alunni
della IV A della Scuola San
Pio X di Palermo questa lettera con una proposta, dando
personalmente a me il compito
di consegnarvela.
COMPETENZE INTERESSATE:
- Individuare, descrivere e costruire relazioni.
- Produrre semplici congetture.
- Verificare le congetture prodotte, sia empiricamente sia
mediante argomentazioni.
- Eseguire calcoli con numeri razionali.
- Esporre con chiarezza il procedimento risolutivo seguito e
confrontarlo con altri eventuali procedimenti.
- Rappresentare in modi diversi (verbali, iconici, simbolici) la
situazione problematica, al fine di creare un ambiente di
lavoro favorevole per la risoluzione del problema.
CONTENUTI:
Operazioni tra numeri razionali.
Successioni numeriche.
Semplici modelli di leggi matematiche
MATERIALI:
Foglio
Penne, gomme, matite.
PROCEDURA:
Dopo il racconto della storia e la lettura della lettera, i
bambini, prima individualmente cominciano a ragionare sulla
modalità più conveniente di pagamento, poi a seconda della
scelta effettuata saranno divisi in gruppi. Ogni gruppo dovrà
sostenere la sua tesi e e dimostrare la falsità delle altre. Vince il gruppo che riesce a convincere tutti.
TEMPI:
Circa 3 ore.
“Cari ragazzi e care ragazze,
a scrivervi è un vecchio matematico e astronomo che ha dedicato tutti gli anni
della sua vita a studiare, capire, cercare di spiegare come funziona il mondo, la
luce, il tempo… Ma ormai la vecchiaia, ahimè, comincia a farsi sentire!
Scrivo proprio a voi perché so che siete a conoscenza di quanto sta accadendo
nel Paese delle Meraviglie e perché so anche che siete molto bravi in
matematica.
Ho allora da farvi una proposta. Avrei bisogno del vostro aiuto per 30 giorni,
sapete bene quanto lavoro mi spetta per adesso, quindi validi collaboratori mi
sarebbero di grande aiuto. Naturalmente la vostra collaborazione sarà ben
retribuita. Anzi, avrete voi stessi la possibilità di scegliere tra due opzioni di
pagamento:
!!0,01 ! il primo giorno, 0,02 ! il secondo, 0,04 il terzo e così via
raddoppiando il vostro salario ogni giorno
!!oppure 1 milione di euro subito.
Fatemi sapere!”
75
CONSEGNA
Durante questa fase viene letta la storia, e consegnata la lettera a ciascun bambino che si troverà a dover scegliere tra le
due modalità di pagamento proposte.
AZIONE
Individualmente ogni bambino comincia a formulare le proprie
ipotesi e indaga sulle modalità adeguate per convalidarle. Alla
fine di questa fase ogni bambino comunica la propria scelta
sulla base della quale verranno poi divisi in due squadre.
FORMULAZIONE
Ogni squadra deve mostrare all’altra la propria modalità di
ragionamento e le prove raccolte per dimostrarlo.
VALIDAZIONE
In questa fase ogni squadra deve cercare di convincere l’altra
della propria scelta; vince chi finalmente riesce a farlo col consenso di tutti gli “avversari”.
$ 0,01 S1
Esegue correttamente tutte le moltiplicazioni e poi somma tutti i valori trovati tra
loro.
S2
Esegue correttamente tutte le moltiplicazioni, ma poi non somma tutti i valori trovati
tra loro perché comunque ha già superato al cifra di 1 milione di euro.
S3
Commette errori nel posizionamento della virgola, ma è comunque convinto che convenga scegliere 0,01$ subito.
S4
Sceglie 0,01$ senza dare motivazione.
1 milione S5
Esegue le moltiplicazioni e le addizioni commettendo errori di calcolo, per cui è convinto che convenga 1 milione di euro subito.
S6
Commette errori nel posizionamento della virgola, per cui è convinto che convenga
scegliere 1 milione di euro subito.
S7
Non esegue nessun calcolo perchè crede che partendo da 0,01$ non arriverebbe mai
a 1 milione.
S8
Non esegue il compito.
GRAFICO
17%
GABRIELE: é impossibile che ti viene 4140. Guarda, la virgola si
doveva mettere dopo l’1 e non dopo lo 0.
17%
6%
Io prima di tutto ho fatto i calcoli di tutti i giorni e poi
li ho sommati tutti e mi è venuto 5167233,30.
SILVIA
11%
11%
39%
S1
S5
DAVIDE: Io scelgo 1 milione subito perché facendo il conto con i
centesimi ottengo meno di un milione, ottengo 4140.
S2
S6
S3
S7
S4
S8
COMMENTI:
L’attività si è rilevata una vera e propria gara di
determinazione. Ha vinto chi ha portato a termine sino alla fine un innumerevole quantità di
operazioni con i numeri razionali!
76
SITUAZIONE A-DIDATTICA - “CARTE IN ORDINE”
FIABA
Il matematico-astronomo è lieto di comunicarvi che siete diventati tutti suoi preziosi collaboratori! Quindi, mettiamoci subito a lavoro, sapete bene il gran da fare che ci spetta!
Ebbene oggi ci toccherà aiutare una cara amica del matematico-astronomo che si trova in difficoltà: la maga.
Forse ancora no vi ho detto che la Regina è molto superstiziosa, e “credulona”: incantesimi, specchi, amuleti, sfere, carte…cerca in vari modi di scoprire quello che il futuro le riserverà. Si tratta
di cose abbastanza riservate, è per questo che si fida solo di una vecchia maga che da più di 300
anni vive in un’ala del suo grande palazzo. La vecchia maga ha imparato, nel corso dei suo i molti
anni, che è meglio non contraddire la Regina, meglio darle sempre una visione rosea del futuro.
C’è una consuetudine che va avanti da molti anni: ogni settimana la Regina si fa leggere le carte. Si
tratta di carte molto particolari, che hanno degli strani simboli al centro (a ben vedere sono numeri!) e che possono essere disposte in ordine crescente e decrescente. È proprio l’ordine a fare
la differenza: un ordine crescente è sinonimo di prosperità, ricchezza, salute, potere…l’ordine
decrescente, ahimè, del contrario. Capite bene, quindi, perché la povera maga disponeva le carte
sul tavolo già rovesciate e già in ordine crescente!
Con la vecchiaia e le varie malattie, però, la vista della maga si ridusse drasticamente fino a diventare quasi cieca. Figuriamoci se riusciva a distinguere i simboli scritti al centro delle carte!
Poverina… Aiutatela voi a disporle nel giusto ordine prima che arrivi al Regina!
COMPETENZE INTERESSATE:
- Comprendere il valore posizionale delle cifre.
- Verbalizzare le strategie risolutive.
- Individuare le risorse necessarie per raggiungere
l'obiettivo selezionando i dati forniti dal testo, le
informazioni ricavabili dal contesto e gli strumenti che possono risultare utili ala risoluzione del
problema.
- Confrontare numeri razionali.
0,0666
0,6
0,606
0,060
CON- Durante questa fase viene letta la stoSEGNA ria e vengono distribuite 4 carte a
ogni bambino.
CONTENUTI:
Valore posizionale delle cifre.
Confronto di numeri razionali.
AZIO- In questa fase i bambini, individualmenNE
te, elaborano le loro strategie, formulano e verificano le loro ipotesi. Dopo
circa 15 minuti ogni bambino giunge a
ordinare le proprie carte. Si riportano
i vari ordini alla lavagna e in base ad
essi si formano le squadre, esse saranno tante quante le differenti soluzioni
adottate.
MATERIALI:
Carte come quelle raffigurate accanto (4 per ogni
bambino).
PROCEDURA:
Dopo il racconto della storia, ad ogni bambino
vengono distribuite 4 carte (tutti i bambini avranno
le stesse carte). Prima individualmente ogni bambino dovrà formulare ipotesi e congetture per giungere infine a una propria modalità di ordinamento.
Dopo circa 10-15 minuti la classe viene suddivisa
in squadre, tante quante le diverse modalità di
ordinamento formulate dai bambini. Ogni squadra
così formata dovrà sostenere le proprie ipotesi e
strategie e dimostrare eventualmente la falsità di
quelle della altre squadre. Si termina quando tutti
sono d’accordo su un determinato ordinamento.
FOR- Ogni squadra ridiscute la propria scelMULA- ta e sceglie un portavoce con il compiZIONE to di esporre alla restante classe la
strategia adottata.
VALI- In questa fase ogni squadra deve porDA- tare avanti la propria tesi o riconoZIONE scervi gli errori. Vince la squadra che
con opportune argomentazioni riesce
a convincere gli altri, o si può giungere
a un nuovo ordine con le informazioni
fornite da ciascuna squadra.
TEMPI:
Circa 2 ore.
77
S15 0,606 < 0,0666 < 0,060 < 0,6
ANALISI A-PRIORI
S16 0,606 < 0,0666 < 0,6 < 0,060
S1
0,060 < 0,0666 < 0,6 < 0,606
S17 0,606 < 0,6 < 0,060 < 0,0666
S2
0,060 < 0,0666 < 0,606 < 0,6
S18 0,606 < 0,6 < 0,06666 < 0,060
S3
0,060 < 0,606 < 0,6 < 0,0666
S19 0,0666 < 0,6 < 0,606 < 0,060
S4
0,060 < 0,606 < 0,0666 < 0,6
S5
0,060 < 0,6 < 0,606 < 0,0666
S20 0,0666 < 0,6 < 0,060 < 0,606
S6
0,060 < 0,6 < 0,0666 < 0,606
S21 0,0666 < 0,606 < 0,060 < 0,6
S7
0,6 < 0,060 < 0,606 < 0,0666
S8
S22 0,0666 < 0,606 < 0,6 < 0,060
0,6 < 0,060 < 0,0666 < 0,606
S9
0,6 < 0,606 < 0,060 < 0,0666
S23 0,0666 < 0,060 < 0,606 < 0,6
S10 0,6 < 0,606 < 0,0666 < 0,060
S24 0,0666 < 0,060 < 0,6 < 0,606
S11 0,6 < 0,0666 < 0,060 < 0,606
S25 0,6 = 0,606 = 0,060 = 0,0666
S12 0,6 < 0,0666 < 0,606 < 0,060
S26 0,6 < 0,060 = 0,606 < 0,0666
S13 0,606 < 0,060 < 0,6 < 0,0666
S27 0,0666 < 060 = 0,606 < 0,6
S14 0,606 < 0,060 < 0,0666 < 0,6
COMMENTI:
Si può notare che:
- la S7, la S9, la S26 si possono rapportare a un unico tipo di strategia; si mette in ordine
contando il numero delle cifre: il numero “più lungo” è il decimale più grande;
- la S21, S23 e la S27 si possono rapportare, invece, ad un altro tipo di ragionamento in
cui si mette in ordine contando il numero delle cifre: il numero “più corto” è il decimale
più grande;
- infine, nella S25 non si vede la necessità di ordinare poiché si tratta in tutti i casi delle
stesse cifre: 0 e 6; in questo caso i bambini non hanno quindi ancora compreso che il
valore di un numero è legato alla posizione che esso occupa.
GRAFICO
8
8
6
4
4
2
0
1
S1
0
0
S3
1
2
0
S5
0
0
S7
0
S9
0
0
S11
0
0
S13
78
0
0
S15
0
0
S17
0
0
S19
0
0
S21
0
S23
0
0
S25
1
S27
SITUAZIONE A-DIDATTICA - “NUMERI COMPRESI”
FIABA
Devo comunicarvi che il matematico-astronomo è molto soddisfatto del lavoro che state svolgendo
per lui e vi manda i ringraziamenti anche a nome della Regina, che però, come sapete, è molto esigente. Ha, infatti, un nuovo pensiero fisso: riuscire a vincere il Gran Prix des Merveilles 2009. Si
tratta del più prestigioso premio del Paese delle Meraviglie, per intenderci è come i vostri Premi
Nobel per la scienza, come i Premi Oscar per i miglior film… Si tratta di un premio internazionale
che negli ultimi anni è stato vinto dagli scienziati dei paesi in competizione con il Paese delle meraviglie.
Non vi dico la rabbia e dispiaceri della Regina che quest’anno invece è proprio decisa a vincere! Come??? Proprio con il vostro aiuto.
Ha piena fiducia in voi! Sa che ce la potete fare! Dovete risolvere due rompicapi su cui da secoli
migliaia di scienziati si sono interrogati, inviandole la formulazione dei rispettivi Teoremi!
Ecco il primo:
“Quanti numeri sono compresi tra 3,1 e 3,4?”
COMPETENZE INTERESSATE:
- Individuare, descrivere e costruire relazioni.
- Produrre semplici congetture.
- Verificare le congetture prodotte, sia empiricamente sia mediante argomentazioni.
- Esporre con chiarezza il procedimento risolutivo seguito e confrontarlo con altri eventuali
procedimenti.
- Rappresentare in modi diversi (verbali, iconici,
simbolici) la situazione problematica, al fine di
creare un ambiente di lavoro favorevole per la
risoluzione del problema.
CONTENUTI:
L’insieme dei numeri razionali come insieme
continuo e infinito.
MATERIALI:
Foglio
Penne, gomme, matite.
PROCEDURA:
Dopo il racconto della storia e la lettura del
quesito , i bambini, prima individualmente cominciano a ragionare sulla modalità più conveniente
di rispondere, poi a seconda della scelta effettuata saranno divisi in gruppi. Ogni gruppo dovrà
sostenere la sua tesi e e dimostrare la falsità
delle altre. Vince il gruppo che riesce a convincere tutti. Gli alunni dovranno quindi scrivere una
lettera al mago per comunicargli la soluzione del
quesito.
TEMPI:
Circa 2 ore.
79
CON- Durante questa fase viene racconSEGNA tata la storia e letto il primo quesito.
AZIO- Individualmente ogni bambino coNE mincia a formulare le proprie ipotesi e a verificarle. Alla fine di questa fase ogni bambino comunica la
propria scelta sulla base della quale
verranno poi divisi in squadre.
FORMULAZIONE
Ogni squadra deve mostrare all’altra la propria modalità di ragionamento e le prove raccolte per
dimostrarlo.
VALI- In questa fase ogni squadra deve
DA- cercare di convincere l’altra della
ZIONE propria scelta; vince chi finalmente
riesce a farlo col consenso di tutti
gli “avversari”.
S1
Sostiene che tra 3,1 e 3,4 siano compresi solo 3,2 e 3,3.
S2
Sostiene che tra 3,1 e 3,4 siano compresi: 3,11 3,12 3,13 3,14 e
così via...
S3
Esplicita il fatto che sono compresi infiniti numeri.
S4
Non esegue il compito.
GRAFICO
COMMENTI:
Considerato che la S2 e la S3 sono entrambe
strategie corrette, si deduce che la maggioranza(61%) dei bambini ha intuito correttamente la
soluzione del quesito. Gli altri, comunque, dopo la
discussione avuta nella fase di validazione hanno
accettato consapevolmente la soluzione fornita
dai compagni.
28%
39%
33%
S1
S2
S3
S4
Pe rché 3, 2 signific a
3,20 e si continua...
GABRIELE
Caro mago, i numeri sono
infiniti perché si possono
aggiungere ancora numeri a
questo
numero
3,211121112111. Quindi i
numeri non finiscono mai,
ma proprio mai!
ANGELA
Caro mago, siamo arrivati alla conclusione che
i numeri non finiscono
mai. Ti posso soltanto
dire che i numeri che ci
hai mandato da
completare...aiuto! sono
veramente infiniti. Spero che ci darai altri
problemi da risolvere
perché mi diverto tanto.
Ciao!
La tua collaboratrice
SILVIA
Caro mago, i numeri sono infiniti perché ai numeri si aggiungono i cm o i
mm. Ti faccio un esempio: è come se
conti tutti i numeri, sono infiniti, e
così sono infiniti, anche quelli tra 3,1 e
3,4. Questa è la mia spiegazione.
MARCO
80
SITUAZIONE A-DIDATTICA - “VINCE IL PIÙ PICCOLO”
COMPETENZE INTERESSATE:
- Individuare, descrivere e costruire relazioni.
- Produrre semplici congetture.
- Eseguire moltiplicazioni tra numeri razionali.
- Verificare le congetture prodotte, sia empiricamente sia mediante argomentazioni.
- Esporre con chiarezza il procedimento risolutivo seguito e confrontarlo con altri eventuali procedimenti.
- Rappresentare in modi diversi (verbali, iconici, simbolici) la situazione problematica, al
fine di creare un ambiente di lavoro favorevole per la risoluzione del problema.
FIABA
Avevo ragione a fidarmi di voi! Ecco il secondo rompicapo:
“Voglio fare una moltiplicazione con voi: io vi
dico il primo fattore, è 60, voi dovete trovare il secondo fattore: può essere qualsiasi
numero escluso lo zero. Ma attenzione! Il
prodotto dovrà essere minore del numero
che dico io. Vince chi riesce ad ottenere il
prodotto più piccolo.”
!
60 x ? = numero più piccolo per vincere
!
Questo quesito sta particolarmente a cuore
alla Regina, immaginate….con un numero piccolo rimpicciolire un numero grande! Se riuscite a risolvere anche questo rompicapo, lei
stessa ha promesso una grande festa in vostro onore.
CONTENUTI:
Moltiplicazioni tra numeri razionali minori di 1.
MATERIALI:
Foglio
Penne, gomme, matite.
PROCEDURA :
Dopo il racconto della storia e la lettura del
quesito, i bambini, prima individualmente cominciano a ragionare sulla modalità più conveniente di rispondere, poi a seconda della scelta
effettuata saranno divisi in gruppi. Ogni gruppo
dovrà sostenere la sua tesi e e dimostrare la
falsità delle altre. Vince il gruppo che riesce a
convincere tutti.
TEMPI :
Circa 2 ore.
CONSEGNA
Durante questa fase viene raccontata la storia e letto il secondo
quesito.
AZIONE
Gli alunni giocano per gruppi di due, ognuno registra su un foglio le
proprie prove e intuizioni confrontandole con quelle dell’altro giocatore, vince chi per primo trova il fattore che permette di ottenere il risultato più piccolo. Dopo circa 10 minuti si riportano alla
lavagna i numeri che ogni coppia di compagni ha trovato.
FORMULAZIONE
In base ai dati riportati alla lavagna gli allievi sono divisi in 3 gruppi,
ognuno dei quali ha un portavoce: coloro che sostengono che bisogna moltiplicare per un numero intero; coloro che sostengono che
bisogna moltiplicare per un numero decimale maggiore di 1; coloro
che sostengono che bisogna moltiplicare per un numero decimale
minore di 1. In questa fase l’obiettivo sarà quello di formulare e
comunicare le strategie applicate e motivare la soluzione a cui sono
arrivati.
VALIDAZIONE
In questa fase ogni squadra deve cercare di convincere l’altra della
propria scelta; vince chi finalmente riesce a farlo col consenso di
tutti gli “avversari”.
81
ANALISI A-PRIORI
S1 Moltiplica per numeri interi.
S2 Moltiplica per numeri decimali maggiori di 1.
S3 Moltiplica per decimali minori di 1 senza capire come ottenere un numero ancora più piccolo.
S4 Moltiplica per decimali minori di 1 capendo che più è piccolo il fattore più sarà piccolo il prodotto.
S5 Non esegue il compito.
GRAFICO
COMMENTI:
Considerato che la S3 e la S4 sono entrambe strategie corrette, si deduce che
la maggioranza(58%) dei bambini aveva
intuito correttamente la soluzione del
quesito. Gli altri, comunque, dopo la discussione avuta nella fase di validazione
hanno accettato consapevolmente la soluzione fornita dai compagni.
32%
42%
26%
S1
S2
S3
S4
82
SITUAZIONE A-DIDATTICA - “TOMBOLA”
FIABA
Bene! La Regina ha mantenuto la promessa…così vi ha organizzato una bella festa!
Visto che le frazioni ormai facili sono per voi, vi ha organizzato una tombola un po’ particolare!
COMPETENZE INTERESSATE:
- Comprendere che uno stesso numero
razionale può avere differenti rappresentazioni.
- Verbalizzare le strategie risolutive.
- Individuare le risorse necessarie per raggiungere l'obiettivo selezionando i dati
forniti dal testo, le informazioni ricavabili
dal contesto e gli strumenti che possono
risultare utili ala risoluzione del problema.
CONTENUTI:
Rappresentazioni diverse di uno stesso
numero razionale.
Frazioni equivalenti.
Operazioni con le frazioni.
Corrispondenza decimale-frazioni.
MATERIALI:
Tabellone (carta da pacchi)
Cartelle (in cartoncini di diverso colore,
ognuno dei quali corrispondente a un grado di difficoltà differente)
Fagioli
Foglietti con i numeri con la stessa rappresentazione del tabellone.
PROCEDURA:
Dopo il racconto della breve storia, ad ogni
bambino viene distribuita una cartella e dei
fagioli. La cartella di ogni bambino sarà
differente da quella degli altri, ma sono
comunque rapportabili a 3 livelli di difficoltà. A ogni bambino sarà lasciato un po’ di
tempo per confrontare la propria cartella
con il tabellone, e dargli quindi la possibilità
di individuare le varie rappresentazioni.
Dopo circa 5 minuti si procede all’estrazione. Vince chi per primo completa la sua
cartella, dopo che gli altri compagni ne
hanno controllato la validità.
COMMENTI:
L’attività prevedeva la padronanza
di tutti i contenuti affrontati nelle
precedenti situazioni didattiche. I
bambini si sono mostrati molto
abili, in più si sono divertiti moltissimo nello svolgimento del
compito!
TEMPI:
Circa 1 ora.
83
SITUAZIONE A-DIDATTICA
CONSEGNA
Durante questa fase viene letta la storia e vengono distribuite le
cartelle e i fagioli per coprirle.
AZIONE
In questa fase ogni bambino ha la possibilità di confrontare la propria cartella con il tabellone per individuare le diverse rappresentazioni dei numeri.
FORMULAZIONE
In questa fase vengono estratti i numeri e chi ritiene di averli li
dovrà coprire con i fagioli.
VALIDAZIONE
Vince chi riempie la cartella per prima, motivando le scelte e comunque dopo la convalida di tutti i compagni.
ANALISI A-PRIORI
S1
Riconosce il legame lingua comune-scrittura frazionaria.
S2
Riconosce il legame scrittura frazionaria - scrittura decimale.
S3
Riconosce la frazione come somma o differenza di altre due frazioni.
S4
Riconosce l’uguaglianza tra una frazione e la sue equivalente.
S5
Riconosce la frazione come punto su una retta.
S6
Riconosce il legame tra la frazione e la sua rappresentazione pittografica
GRAFICO
18
12
8
S1
S2
S3
18
10
12
20
15
10
5
0
S4
S5
S6
COMMENTI:
Come si può facilmente dedurre dal grafico tutti i bambini hanno compreso il legame tra le
frazioni e la lingua naturale (“un mezzo”, “metà della metà”) e il legame tra le frazioni e le corrispondenti rappresentazioni pittografiche. Una buona percentuale di bambini ha anche ben
chiaro il legame tra frazioni e scrittura decimale e sa collocare una frazione su un punto di una
retta orientata. Alcuni hanno difficoltà nello svolgere operazioni tra frazioni e nel riconoscere
le frazioni equivalenti.
84
Capitolo 6
I L CO NTROLLO DEI RISULTATI
“Ogni forma di scienza sperimentale presuppone una misura, vale a dire il riconoscimento di
una corrispondenza $a i dati qualitativamente definiti e le espressioni usate per rappresentar"
il numero di unità da essi contenuti. Ciononostante i numeri non parlano da soli; bisogna evi#
denziare i rapporti esistenti tra loro.”
'De Landesheere, 1970, p.381(
Viene presentato adesso l’elenco delle strategie risolutive ipotizzate, seguite
da quelle effettivamente utilizzate dagli alunni che costituiscono il campione
preso in esame durante la compilazione del questionario iniziale e del questionario finale.
L’analisi a–priori effettuata per il questionario in fase iniziale è da considerarsi valida anche per la fase finale, dal momento che il questionario è lo stesso.
85
Questionario A: Di&coltà ne!’ordinar"
ESERCIZI 1!2!3
S1
Procede per tentativi.
S2
Confronta ed ordina le frazioni motivando i passaggi.
S3
Ordina le frazioni in ordine decrescente.
S4
Non riesce (o ha difficoltà a mettere in ordine le frazioni.
S5
Confronta e ordina le frazioni non motivando i passaggi eseguiti.
S6
Non svolge l"esercizio del confronto tra frazioni.
S7
Ordina le frazioni trovando il m.c.m. Di ciascuna, riducendole quindi
tutte alo stesso denominatore.
S8
Riesce ad ordinare le frazioni convertendole in numeri decimali, facendo quindi la divisione tra numeratore e denominatore.
S9
Ha messo in rodine le frazioni confrontandole a due a due, utilizzando
quindi il prodotto in croce.
S10
Confronta e ordina i numeri decimali.
S11
Non riesce (o ha difficoltà) a mettere in ordine i numeri decimali.
S12
Non svolge l"esercizio del confronto tra numeri decimali.
S13
Ha bisogno di scrivere per intero il numero decimale per riuscire a confrontarlo con gli altri. Es: 1,2 = 1,20.
S14
Mette in ordine i numeri decimali portandoli a frazioni decimali. Es: 1,2
=12/10.
S15
Ordina i numeri decimali mettendo i valori su un asse cartesiano.
S16
Individua la frazione che vale di più ma non dà una spiegazione.
S17
Individua la frazione che vale di più in base al valore del denominatore.
Se è < del numeratore allora il valore della frazione aumenta.
S18
Colora la frazione che vale di più trovando il m.c.m.
S19
Non svolge l"esercizio del colorare la frazione che vale di più.
S20
Individua la frazione che vale di più portando le frazioni in numeri decimali.
86
S21
Colora la frazione che vale di più utilizzando il diagramma.
S22
Non distingue sempre la frazione che vale di più.
S23
Ordina le frazioni ponendole sulla linea dei numeri.
S24
Colora la frazione che vale di più facendo il prodotto in croce.
S25
Non riesce a conforntare i numeri decimali perché considera solo i numeri dopo la virgola. Es: 1,2 < 1,15 perchè 2<15.
S26
Colora la frazione che vale di più facendo la divisione tra frazioni e conforntandole tra loro.
S27
Sbaglia ad inserire un dato.
S28
Abbandona l"esercizio del colorare la frazione che vale di più.
S29
Colora la frazione che vale di meno.
S30
Ha difficoltà solo nell"individuare l"uguaglianza tra i numeri decimali.
STRATEGIE NON PREVISTE
SNP1
Ordina le frazioni mettendo in ordine crescente solo il denominatore
SNP2
Ordina in ordine decrescente le frazioni, nel primo caso in base al
numeratore e nel secondo in base al denominatore
SNP3
Ordina i numeri in ordine crescente, ma considerando numeratore e
denominatore come numeri diversi
87
Questionario iniziale A
S1
S4
S7
S10
S13
S16
S19
S22
S25
S28
SNP1
SNP4
SNP7
3%
3%
1%
1%
1%
4%
4%
1%
3%
3%
3%
1%
13%
4%
4%
6%
14%
19%
3%
6%
Questionario finale A
S1
S4
S7
S10
S13
S16
S19
S22
S25
S28
SNP1
SNP4
SNP7
4%4%6%
11%
15%
6%
2%
21%
28%
S2
S5
S8
S11
S14
S17
S20
S23
S26
S29
SNP2
SNP5
SNP8
S3
S6
S9
S12
S15
S18
S21
S24
S27
S30
SNP3
SNP6
S2
S5
S8
S11
S14
S17
S20
S23
S26
S29
SNP2
SNP5
SNP8
S3
S6
S9
S12
S15
S18
S21
S24
S27
S30
SNP3
SNP6
2%
Dall’analisi dei dati si evince un notevole miglioramento degli allievi rispetto
alla situazione di partenza (vedi grafico 1), si è passati dal 6% di risposte corrette
nel questionario iniziale al 64% nel questionario finale. Ciò potrebbe quindi essere legato alla comprensione del confronto tra frazioni e tra numeri decimali,
avvenuto durante la sperimentazione e, in particolare durante la situazione didattica “Fornai” e durante la situazione a-didattica “Carte in ordine”.
88
I risultati ottenuti sono migliori anche rispetto al gruppo di controllo, 46% di
risposte corrette (vedi grafico 2).
Grafico 1
0,30
0,23
0,15
0,08
S2 S7
S9 S13
S15 S17
S20 S23
S26
0
QUESTIONARIO INIZIALE
QUESTIONARIO FINALE
Grafico 2
0,70
0,53
0,35
0,18
S2
S10
S17
0
S24
QUESTIONARIO FINALE
GRUPPO DI CONTROLLO
89
Questionario B: Di&coltà ne!e operazioni
ESERCIZI 4-5-6
S1
Risolve le operazioni con le frazioni dando direttamente il risultato senza eseguire tutti i passaggi.
S2
Non esegue la consegna.
S3
Risolve le operazioni con le frazioni trovando il m.c.m. del denominatore.
S4
Ha difficoltà ad individuare il m.c.m.
S5
Riduce ai minimi termini il risultato delle operazioni.
S6
Tende a non semplificare l"operazione.
S7
Ha difficoltà nelle operazioni con le frazioni.
S8
Risolve operazioni con i numeri decimali, dando direttamente il risultato senza
mettere in colonna.
S9
Risolve le operazioni con i numeri decimali, mettendo in colonna.
S10
Non esegue la consegna.
S11
Abbandona l"esercizio perché trova difficoltà nelle operazioni (soprattutto divisioni) con i numeri decimali.
S12
Svolge correttamente la divisione tra numeri decimali, portando il dividendo a
numero intero.
S13
Non mette in colonna dovendo moltiplicare o dividere per 10 o 100.
S14
Esegue correttamente la moltiplicazione tra numeri decimali, mettendoli in colonna, ma non riesce a posizionare la virgola.
S15
Esegue correttamente la divisione tra numeri decimali, ma non riesce a posizionare la virgola.
S16
Effettua la divisione tra numeri decimali: porta i numeri decimali a numeri interi
e moltiplica l"inverso. Es: 16,3 : 12 = 163/10 x 1/12.
S17
Effettua la moltiplicazione tra numeri decimali portando il numero decimale a
numero intero.
S18
Esegue la sottrazione tra numeri decimali (a tre) mettendo in colonna i primi
due numeri, e sottraendo poi il risultato al terzo.
S19
Ha difficoltà nelle operazioni con i numeri decimali.
S20
Utilizza gli elementi del testo per scoprire quale operazione occorre per svolgere il problema.
S21
Abbandona la consegna per incomprensione del testo.
90
S22
Sa utilizzare un diagramma.
S23
Non utilizza nessun diagramma.
S24
Utilizza il diagramma di flusso.
S25
Utilizza il diagramma a torta.
S26
Utilizza un altro tipo di diagramma.
S27
Utilizza gli insiemi come diagramma.
S28
Non esegue la consegna.
S29
Non individua la frazione delle pagine lette.
S30
Individua la frazione delle pagine lette.
S31
Non identifica l"operazione che occorre per svolgere il problema.
S32
Risolve la divisione di decimali con le potenze.
S33
Abbandona l"esercizio dovendo calcolare le operazioni tra frazioni.
S34
Esegue le operazioni con le frazioni portando il risultato a numero decimale.
S35
Ha difficoltà a ad eseguire operazioni tra frazioni con denominatore uguale.
S36
Esegue operazioni con frazioni portando il risultato a numero decimale.
S37
Utilizza il diagramma di flusso, ma lo lascia incompleto.
S38
Lascia il problema incompleto (trova solo la frazione di un numero.
S39
Ha difficoltà nell"utilizzare il diagramma.
S40
Non sa eseguire le moltiplicazioni e le divisioni di un numero decimale (x10,
x100, x1000).
S41
Ha difficoltà nella risoluzione del problema perché sostanzialmente ha difficoltà nelle operazioni.
S42
Ha difficoltà nell"eseguire operazioni tra frazioni con denominatore uguale:
infatti addiziona sia il numeratore che il denominatore.
STRATEGIE NON PREVISTE
SNP1
Esegue correttamente la moltiplicazione tra numeri decimali mettendoli in
colonna e posizionando adeguatamente la virgola.
SNP2
Esegue correttamente la divisione tra numeri decimali posizionando adeguatamente la virgola.
SNP3
Risolve le operazioni con le frazioni indicando anche i passaggi intermedi.
91
SNP4
Nelle addizioni tra frazioni somma solo i numeratori.
SNP5
Non esegue la divisione tra numeri decimali.
SNP6
Nella moltiplicazione fra numeri decimali, fa coincidere le unità con le unità,
i decimi con i decimi, i centesimi con i centesimi...
SNP7
Nel problema divide per 35 non considerando la / come simbolo di frazione.
SNP8
Nella sottrazione tra numeri decimali sottrae alla parte intera del numero la
parte decimale e poi l"altro decimale.
Questionario iniziale B
2%
2%
2%
2%
6%
2%
21%
13%
2%
5%
17%
14%
S1
S4
S7
S10
S13
S16
S19
S22
S25
S28
S31
S34
S37
S40
SNP1
SNP4
SNP7
S1
S4
S7
S10
S13
S16
S19
S22
S25
S28
S31
S34
S37
S40
SNP1
SNP4
SNP7
2%
2%6%5%
S2
S5
S8
S11
S14
S17
S20
S23
S26
S29
S32
S35
S38
S41
SNP2
SNP5
SNP8
S2
S5
S8
S11
S14
S17
S20
S23
S26
S29
S32
S35
S38
S41
SNP2
SNP5
SNP8
S3
S6
S9
S12
S15
S18
S21
S24
S27
S30
S33
S36
S39
S42
SNP3
SNP6
Questionario finale B
S3
S6
S9
S12
S15
S18
S21
S24
S27
S30
S33
S36
S39
S42
SNP3
SNP6
15%
2%
5%
20%
5%
18%
2%
5%4%
2%
92
22%
Anche in questo caso si evidenzia un miglioramento dalla differenza tra il
questionario iniziale (76% di risposte corrette) e il questionario finale (81%), anche se piuttosto lieve e accompagnato a una riduzione della varietà di strategie
utilizzate (grafico 3).
Notevole appare, invece, il paragone con il gruppo di controllo, nel quale si
rilevano solo il 16% di risposte corrette (grafico 4).
Grafico 3
0,30
0,23
0,15
0,08
S1
S8 S16
S22
0
S27
S36
QUESTIONARIO INIZIALE
QUESTIONARIO FINALE
Grafico 4
0,90
0,68
0,45
0,23
S1
S12
0
S22
S32
QUESTIONARIO FINALE
GRUPPO DI CONTROLLO
93
Questionario C: Di&coltà nel riconoscere gli schemi
ESERCIZI 7!8
S1
Riesce a dare il giusto significato agli elementi presenti nello schema
dell"insieme, ma non motiva la risposta data.
S2
Riesce a dare il giusto significato agli elementi presenti nello schema
dell"insieme, motivando la risposta data.
S3
Non riesce a dare il giusto valore agli oggetti presenti nello schema
dell"insieme.
S4
Non esegue la consegna.
S5
Non esegue la consegna per incomprensione del testo.
S6
Colora opportunamente i quadratini corrispondenti alla parte di frazione
richiesta, ma non motiva la risposta data.
S7
Non riesce ad identificare la parte di frazione richiesta.
S8
Non esegue la consegna relativa alla parte di frazione da colorare.
S9
Colora la parte di frazione richiesta dando una spiegazione alla risposta data (o facendo vedere tutti i passaggi).
S10
Identifica la parte di frazione richiesta ma non colora i quadratini.
S11
Colora la parte corrispondente alla frazione richiesta eseguendo i passaggi, costruendo un diagramma.
S12
Ha difficoltà nel calcolarsi la frazione di un numero.
STRATEGIE NON PREVISTE
SNP1 Colora solo 3 quadrati di 8.
SNP2 Colora solo 3 quadrati e divide i restanti in 8 parti.
SNP3 Sostiene che le stelline sono 5 e 3.
SNP4 Divide tutti i quadratini in 4 parti.
SNP5 Colora tutti i quadratini.
SNP6 Colora in un rigo 3 quadrati e nell"altro rigo 4.
94
S1
S8
SNP3
S2
S9
SNP4
S3
S10
SNP5
S4
S11
SNP6
S5
S12
S6
SNP1
S7
SNP2
S6
SNP1
S7
SNP2
Questionario iniziale C
2% 12%
2%
2%
2%
2%
2%
5%
7%
14%
7%
12%
7%
5%
17%
Grafico 3
10%
6%
32%
3%
3%
6%
3%
35%
S1
S8
SNP3
S2
S9
SNP4
S3
S10
SNP5
S4
S11
SNP6
95
S5
S12
Si evidenzia un notevole aumento nelle percentuali di risposte corrette date
dagli allievi nel questionario finale, dal 44% all’81% (grafico 5). Durante la sperimentazione, infatti, hanno avuto modi di manipolare attivamente gli svariati
modi di rappresentazione delle frazioni e ciò ha senz’altro giovato ad una migliore comprensione di essi.
Lieve è invece la differenza tra la percentuale delle risposte corrette date dagli
allievi nel questionario finale e la percentuale di risposte corrette fornite dal
gruppo di controllo (grafico 6).
Grafico 5
0,40
0,30
0,20
0,10
S1
S2
S6
S9
0
S10
S11
Grafico 6
0,90
0,68
0,45
0,23
S1
S6
S10
QUESTIONARIO FINALE
0
TOTALE
GRUPPO DI CONTROLLO
96
Questionario D: Di&coltà nel gestire l'a%ettivo ugual"
ESERCIZI 9-10
S1
Riconosce le unità frazionarie in figure semplici dando una spiegazione ai
passaggi eseguiti-
S2
Ha difficoltà nell'applicare l'aggettivo “uguale” nelle figure semplici.
S3
Divide il quadrato in 5 parti “uguali” prendendo un"unità di misura standard.
S4
Riconosce le unità frazionarie in figure semplici ma non da una spiegazione
ai passaggi eseguiti.
S5
Non riesce a dividere il quadrato in 5 parti “uguali”.
S6
On esegue la consegna del dividere i quadrati in 5 parti “uguali”.
S7
Riconosce l"unità frazionaria in nelle figure non divise in parti “uguali”, ma non
dà una motivazione alla risposta.
S8
Riconosce la frazione in figure non divise in parti “uguali” dando una spiegazione ai passaggi eseguiti (o facendo vedere i passaggi).
S9
Non esegue la consegna.
S10
Non riconosce la frazione nella figura data perché ha difficoltà nel gestire
l'aggettivo “uguale”.
S11
Non riconosce la frazione 1/4 nella figura data.
S12
Spiega il procedimento ma non colora la figura.
S13
Afferma che non si può dividere il quadrato in 5 parti “uguali” (semmai dovrebbe essere un rettangolo).
S15
Riconosce la frazione nella figura data però poi smentisce dando una motivazione.
97
Questionario finale D
S1
S4
S7
S10
S13
S2
S5
S8
S11
S14
S3
S6
S9
S12
S15
43%
50%
7%
Questionario iniziale D
S1
S5
S9
S13
3%
6%
3%
44%
S2
S6
S10
S14
S3
S7
S11
S15
S4
S8
S12
22%
3%
3% 17%
Dall’analisi dei dati si evince che gli allievi già in partenza non avevano grosse
difficoltà nella gestione dell'aggettivo “uguale”. Dal confronto tra i dati del questionario iniziale e quelli del questionario finale si evidenzia come un miglioramento, dal 75% al 93% delle risposte corrette, accompagnato però da una minore eterogeneità di strategie utilizzate per rispondere (grafico 7).
Lieve risulta essere la differenza tra i risultati del questionario finale e quelli
del gruppo di controllo; si evidenziano comunque risultati migliori nel gruppo
sperimentale.
98
QUESTIONARIO INIZIALE
QUESTIONARIO FINALE
Grafico 7
0,50
0,38
0,25
0,13
S1
S3
S4
S7
0
S8
S12
Grafico 8
1,00
0,75
0,50
S1 S3
S4 S7
S8 S12
QUESTIONARIO FINALE
0,25
0
GRUPPO DI CONTROLLO
99
Questionario E: Di&coltà nel gestire l’equivalenza
ESERCIZI 11!12
S1
Inserisce i dati mancanti ma non motiva la risposta data.
S2
Non inserisce i dati mancanti perché non trova le corrispettive uguaglianza tra
frazioni.
S3
Non esegue la consegna.
S4
Moltiplica per un stesso numero sia il numeratore che il denominatore, trovando così la frazione equivalente.
S5
Esegue l"equivalenza per trovare i dati mancanti.
S6
Abbandona la consegna perché non riesce ad eseguire l'equivalenza o moltiplicare per uno stesso numero la frazione di partenza.
S7
Inserisce il dato sbagliato.
S8
Esegue l"esercizio passando il numero decimale nella frazione equivalente.
S9
Non riesce sempre a trasformare la frazione in numero decimale.
S10
Non esegue l"esercizio di completare sotto forma di numero decimale o di
frazione.
S11
Non riesce sempre a trasformare la frazione in numero decimale.
S12
Esegue l"esercizio trasformando la frazione in numero decimale.
S13
Non motiva i passaggi eseguiti.
S14
Inserisce il dato sbagliato.
S15
Abbandona l"esercizio.
S16
Porta i numeri decimali nelle corrispettive frazioni trasformando il denominatore in centesimi.
S17
Semplifica la frazione ai minimi termini.
S18
Motiva i passaggi eseguiti.
S19
Non sempre trasforma il numero decimale in frazione decimale, trova comunque una frazione equivalente al numero decimale.
S20
Esegue l"esercizio trasformando le frazioni decimali in numeri decimali con le
potenze.
S21
Non sa trovare né il numero decimale né la frazione decimale.
100
S22
Esegue l"esercizio passando il numero decimale nella frazione equivalente in
decimi e poi la semplifica trovando un"altra frazione equivalente.
S23
Ha difficoltà a inserire i dati mancanti.
STRATEGIE NON PREVISTE
SNP1
Nel passaggio dai numeri decimali alle frazioni moltiplica solo il numeratore
per 10, levando la virgola, ma non indica il denominatore.
SNP2
Moltiplica il numero decimale per 10 e riporta 10 anche al denominatore.
SNP3
Nel passaggio dai numeri decimali alle frazioni inserisce al numeratore al
potenza del 10 al denominatore il numero senza la virgola.
SNP4
Nel passaggio dai numeri decimali alle frazioni inverte il numeratore con il
denominatore.
Questionario iniziale E
5%7%
2%
9%
9%
7%
2%
5%
16%
9%
2%
S1
S4
S7
S10
S13
S16
S19
S22
SNP2
S2
S5
S8
S11
S14
S17
S20
S23
SNP3
S3
S6
S9
S12
S15
S18
S21
SNP1
SNP4
S1
S4
S7
S10
S13
S16
S19
S22
SNP2
S2
S5
S8
S11
S14
S17
S20
S23
SNP3
S3
S6
S9
S12
S15
S18
S21
SNP1
SNP4
12%
2%
12%
Questionario finale E
27%
30%
5%
5%
22%
8%
3%
101
Dal confronto dei dati tra il questionario iniziale e quello finale si evidenzia
un notevole aumento delle risposte corrette, dal 34% al 79% (vedi grafico 9).
Rilevante è anche la quantità di risposte corrette rispetto al gruppo di controllo, 44% (grafico 10).
Si può quindi dedurre che le attività previste dalla sperimentazione abbiano
avuto un ruolo fondamentale nel migliorare le difficoltà che gli alunni generalmente incontrano nel gestire le equivalenze.
Grafico 9
0,30
0,23
0,15
0,08
S1
S5 S12
S17
0
S22
QUESTIONARIO INIZIALE
QUESTIONARIO FINALE
Grafico 10
0,80
0,60
0,40
0,20
S1
S8
0
S17
TOTALE
QUESTIONARIO FINALE
GRUPPO DI CONTROLLO
102
Questionario G: Di&coltà nel gestire figure non standard
ESERCIZI 13#14
S1
Riconosce le frazioni in tutte le figure, ma non dà una motivazione.
S2
Riconosce le frazioni solo nelle figure standard (quadrato, rettangolo...)
perché pensa che la suddivisione di un tutto in parti uguali possa essere fatta solo se questo tutto ha una forma geometrica regolare.
S3
Non svolge l'esercizio.
S4
Abbandona l"esercizio.
S5
Riconosce le frazioni in tutte le figure, dando una motivazione o facendo vedere i passaggi eseguiti.
S6
Non riconosce la frazione in tutte le figure date.
S7
Si aiuta tracciando sulla figura una nuova figura.
S8
Individua la frazione colorata in figure non standard, ma non fornisce
una spiegazione alla risposta data.
S9
Scrive in cifre la frazione.
S10
Non individua la frazione colorata.
S11
Non svolge il secondo esercizio.
S12
Individua la frazione in figure non standard e la riduce ai minimi termini.
S13
Scrive in lettere le frazioni.
S14
Individua la frazione colorata in figure non standard dando una motivazione alla riposta data.
S15
Individua la frazione solamente di una delle due figure date.
S16
Non riconosce la frazione affermando che la figura non è divisa in parti
uguali.
S18
Ha difficoltà nel calcolare la frazione nelle figure date.
S19
Ha calcolato l"inverso della frazione colorata.
STRATEGIE NON PREVISTE
103
SNP1
Indica con un numero intero solo le parti colorate.
SNP2
Individua correttamente le parti colorate, ma nel “tutto” considera i
due triangolini rettangoli come unità, non considerando quindi
l"estensione delle aree (3/7).
Questionario iniziale G
7%
3%
3%
S1
S4
S7
S10
S13
S16
S19
27%
S2
S5
S8
S11
S14
S17
SNP1
S3
S6
S9
S12
S15
S18
SNP2
S2
S5
S8
S11
S14
S17
SNP1
S3
S6
S9
S12
S15
S18
SNP2
13%
3%
3%
20%
20%
Questionario finale G
S1
S4
S7
S10
S13
S16
S19
11%
11%
50%
29%
Anche in questo caso si evidenzia un notevole aumento della quantità delle
risposte corrette nel questionario finale (79%), sia rispetto al questionario ini-
104
ziale, 50% (vedi grafico 11), sia rispetto al gruppo di controllo, 68% (vedi grafico
12).
Grafico 11
0,50
0,38
0,25
0,13
S1
S2
S5
S8
S9
0
S12
S13
QUESTIONARIO INIZIALE
S14
QUESTIONARIO FINALE
Grafico 12
0,80
0,60
0,40
0,20
S1
S5
0
S9
S13
QUESTIONARIO FINALE
TOTALE
GRUPPO DI CONTROLLO
105
Questionario H: Di&coltà nel passare da una $azione al#
l’unità che l’ha generata
ESERCIZI 15!16
S1
Non ha problemi nel trovare l"unità partendo dalla frazione.
S2
Ha difficoltà nel trovare l"unità partendo dalla frazione.
S3
Non svolge il primo esercizio.
S4
Abbandona l"esercizio perché non sa trovare l"unità di partenza del trapezio.
S5
Abbandona l"esercizio perché non sa trovare l"unità di partenza del rettangolo.
S6
Riconosce le situazioni problematiche. Stabilisce le strategie e le risorse necessarie per la loro soluzione.
S7
Risolve il problema con l"equivalenza, trovando quindi il dato x (l"incognita).
S8
Non risolve il problema.
S9
Dà la soluzione del problema direttamente senza descrivere tutti i passaggi.
S11
Risolve il problema trovando i 7/3 di 9 (frazione inversa).
S12
Ha difficoltà nel risolvere il problema, infatti procede per tentativi.
S13
Risolve il problema utilizzando un diagramma.
S14
Trova l"unità di partenza di una sola delle due figure date.
S15
Riesce a trovare l"unità partendo dalla frazione di un numero.
S16
Non riesce a trovare l"unità partendo dalla frazione di un numero.
S17
Risolve il problema trovandosi l"unità e partendo dalla frazione di un
numero.
S18
Trova l"unità, ma non motiva i passaggi.
STRATEGIE NON PREVISTE
SNP1
Nel rettangolo trova l"unità di partenza.
106
SNP2
Divide il trapezio in 4 parti e ne colora 3.
SNP3
Nel trapezio trova l"unità di partenza.
Questionario iniziale H
3%7%
3%
27%
13%
3%
3%
20%
S1
S9
S17
S2
S10
S18
S3
S11
S19
20%
S4
S12
SNP1
S5
S13
SNP2
S6
S14
S7
S15
S8
S16
Questionario finale H
11%
11%
50%
29%
S1
S9
S17
S2
S10
S18
S3
S11
S19
S4
S12
SNP1
107
S5
S13
SNP2
S6
S14
S7
S15
S8
S16
Si evidenzia, oltre a una minore eterogeneità nella tipologia di risposte date al
questionario finale, anche un aumento della quantità delle risposte corrette, dal
50% al 79% (grafico 13).
Il miglioramento è visibile anche rispetto al gruppo di controllo, 68% (grafico
14).
Grafico 13
0,50
0,38
0,25
0,13
S1 S2
S5
S8
S9
0
S12 S13
QUESTIONARIO INIZIALE
S14
QUESTIONARIO FINALE
Grafico 14
0,80
0,60
0,40
0,20
S1
S5
0
S9
S13
QUESTIONARIO FINALE
TOTALE
GRUPPO DI CONTROLLO
108
Questionario I: Di&coltà nel gestire autonomamente schemi
o figur"
ESERCIZI 17!18
S1
Padroneggia senza alcun problema schemi o diagrammi, calcolando i
5/6 di 2.
S2
È in difficoltà quando gli si chiede di trasformare i passaggi effettuati
sotto forma di diagramma o schema.
S3
Non svolge il primo esercizio.
S4
Riesce a calcolare i 5/6 di 12 ma non utilizza nessun diagramma o
schema.
S5
Non calcola i 5/6 di 12, ed è in difficoltà con lo schema o diagramma.
S6
È in grado di distinguere gli elementi della tabella e porli sulla linea dei
numeri.
S7
È capace di distinguere le frazioni della tabella ma ha difficoltà nel porle sulla linea dei numeri.
S8
Distingue le frazioni della tabella ma non le pone sulla linea dei numeri.
S9
Non esegue il secondo esercizio.
S10
Pone le frazioni sulla linea dei numeri ma non scrive il loro corrispettivo
valore nella tabella.
S11
Abbandona il secondo esercizio.
S13
Ha difficoltà a distinguere le frazioni nella tabella e a porle nella linea
dei numeri.
STRATEGIE NON PREVISTE
SNP1
A partire dalla tabella pone il numero degli elementi colorati al numeratore e il numero degli elementi non colorati al denominatore.
109
Questionario iniziale I
6%
3%
6%
3%
6% 9%
18%
18%
27%
3%
S1
S10
S2
S11
S3
S12
S4
S13
S5
SNP1
S6
S7
S8
S9
S7
S8
S9
Questionario finale I
7%
4%
25%
7%
39%
11%
7%
S1
S10
S2
S11
S3
S12
S4
S13
S5
SNP1
110
S6
Dall’analisi dei dati risulta che gli allievi hanno molto migliorato la capacità
di gestire autonomamente schemi e figure, dal 54% di risposte corrette al 78%.
Da notare, inoltre, che la situazione iniziale del gruppo sperimentale è pressoché identica a quella del gruppo di controllo (54%).
Grafico 15
40,0%
30,0%
20,0%
10,0%
S1
0%
S4
S6
S8
QUESTIONARIO INIZIALE
QUESTIONARIO FINALE
Grafico 16
80,0%
60,0%
40,0%
20,0%
S1
S4
S6
S8
QUESTIONARIO FINALE
0%
TOTALE
GRUPPO DI CONTROLLO
111
Conclusioni sperimentali
Alla luce del percorso sin qui esperito, e osservando attentamente i risultati
emersi dalla sperimentazione da me condotta, ritengo che sia necessario valutare in che misura la mia ipotesi di ricerca è stata o meno falsificata.
L’ipotesi era stata formulata con l’intento di evidenziare il ruolo della narrazione e delle situazioni a-didattiche come strumenti utili nell’apprendimento
della frazioni.
Sulla base dei dati raccolti dal questionario iniziale e finale somministrati al
gruppo sperimentale e da quelli provenienti dal gruppo di controllo si evince
(grafico 17) che vi è stato un miglioramento nell’apprendimento delle frazioni a
seguito della sperimentazione che ha visto l’uso combinato di narrazione e di
situazioni a-didattiche.
Grafico 17
100
75
50
25
0
A
B
C
D
E
QUESTIONARIO INIZIALE
GRUPPO DI CONTROLLO
G
H
I
QUESTIONARIO FINALE
112
Prendendo avvio dall’idea che entrambe facilitano un apprendimento attivo e
incentivano la comprensione, il coinvolgimento emotivo e motivazionale degli
alunni, occorre dunque sfruttarne le potenzialità in ambito didattico, in modo
da dare vita ad uno stile di insegnamento/apprendimento originale e creativo
che consenta, sia di avvicinarsi al mondo dei bambini, sia di dare un impianto
narrativo al percorso educativo (Nanni, 1996).
Punti di forza e punti di debolezza
A conclusione del percorso sperimentale posso affermare che è stata un'esperienza significativa e gratificante sia per me che per i bambini. La ricerca ha
consentito e favorito l’avvicinamento alla conoscenza in modo critico e la problematizzazione della realtà al fine di una migliore comprensione della stessa.
L’uso della narrazione ha consentito una scansione dei tempi permettendo di
inserire la matematica in un contesto significativo storicizzato.
La curiosità, opportunamente stimolata dalla narrazione, è stata la spinta che
ha favorito l’azione e, di conseguenza, l’apprendimento e il consolidamento dei
concetti matematici.
L’errore è stato vissuto come elemento di riflessione e ulteriore spinta verso
nuove strategie di risoluzione. Altro elemento fondante dell’attività è stata la discussione, sia nei piccoli gruppi, ossia tra i componenti delle squadre, che nel
gruppo classe, tra pari e con l’insegnante, in cui gli allievi si sono impegnati a
sostenere le strategie risolutive ipotizzate giustificandole e argomentandole.
La ricerca, inoltre, ha incrementato la motivazione, l’interesse, l’attenzione e
la curiosità degli allievi. Ha anche migliorato la qualità del sistema scolastico, in
quanto ha permesso di trovare soluzioni pedagogiche e didattiche nuove alle
problematiche emergenti non perdendo di vista l’idea di una scuola come luogo
di sperimentazione nella quale i bambini si mettono in gioco in prima persona e
conquistano gli strumenti culturali necessari per la propria crescita.
Il dato emerso, però, non consente di generalizzare il risultato a causa del
numero ristretto di bambini coinvolti nella sperimentazione.
113
Questioni aperte:
Nell’ottica del miglioramento, ritengo sia importante mettere in evidenza alcune questioni aperte che possono fungere da ipoptesi per eventuali ricerche
successive.
Sarebbe stato interessante esaminare separatamente il ruolo di ciascuna variabile
sperimentale "narrazione e situazioni a!didattiche#. Ciò sarebbe stato possibile inse!
rendo uno strumento che permettesse il confronto tra la prima parte della speri!
mentazione, in cui era presente solo la narrazione e le attività erano strutturate nel!
la forma di situazioni didattiche, e la seconda parte in cui invece la narrazione stessa
prevedeva il coinvolgimento diretto degli allievi in situazioni a!didattiche. Purtrop!
po ciò non è stato possibile a causa del tempo a disposizione.
Altrettanto interessante sarebbe stato indagare gli e$etti dell’uso della narrazio!
ne e delle situazioni a!didattiche in soggetti di culture diverse.
Ciò sottolinea il carattere non esaustivo della ricerca, la quale non ha la pretesa di aver fornito contributi significativi alla ricerca, ma si pone come occasione per riflettere e approfondire aspetti teorici rilevanti, raccogliendo diverse
prospettive che favoriscono una più ampia visione del fenomeno.
114
C O NCLUSIONE
Il percorso di studio e di ricerca che mi ha condotto alla realizzazione di questo lavoro è stato occasione preziosa per “mettermi in gioco” sia come professionista che come persona. Guardare attraverso gli occhi della consapevolezza la
complessità del fenomeno educativo, determinata da un gran numero di variabili che reciprocamente si influenzano ed in continuazione si riorganizzano, dando
origine a forme nuove, mi ha permesso di ripensare il mio ruolo di futura insegnante e di collocarlo all’interno di un contesto più ampio e complesso.
Un insegnamento prezioso che mi porto dentro dopo questa esperienza e sperimentazione è che un bravo insegnante non è solo colui che pensa, progetta e
mette in atto situazioni stimolanti ed utili per un apprendimento efficace e significativo, ma è innanzitutto colui che, non considerando l’alunno come una
semplice “tabula rasa” su cui scrivere le proprie nozioni sterili ed aride, si lascia
trasportare da una relazione bidirezionale (e non unidirezionale) che permette
ad entrambi i protagonisti del processo educativo di essere e diventare migliori.
115
116
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A L LEGATI
123
SITUAZIONE DIDATTICA 1 - “FALEGNAME”
S1
S2
S3
S4
S5
A
S6
S7
S8
S9
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
G
1
H
1
I
1
J
1
K
1
L
1
M
1
N
1
O
1
P
1
Q
1
1
2
S1
1
S2
8
S3
S4
A
1
S5
S6
3
S7
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
G
1
H
1
I
1
J
1
K
1
L
1
M
1
N
1
O
1
P
1
Q
1
0
1
0
124
5
5
5
1
1
SITUAZIONE DIDATTICA 2 - “FORNAI”
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
A
S8
S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16
Assente
B
1
C
1
D
1
E
Assente
F
1
G
1
H
1
1
1
I
1
J
1
K
1
L
1
M
1
1
N
1
O
1
P
1
Q
R
1
1
1
1
1
125
7
5
2
1
1
SITUAZIONE DIDATTICA 3 - “CUOCHI”
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
A
1
1
B
1
C
1
D
E
1
1
1
1
1
1
1
1
1
F
1
1
1
G
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J
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1
1
1
1
K
L
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M
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N
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Q
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
R
1
7
0
2
4
5
1
0
0
0
126
1
1
0
2
4
6
1
1
1
4
1
SITUAZIONE A-DIDATTICA - “SARTI”
S1
S2
S3
ROSSI
S4
S5
1
GIALLI
1
VERDI
1
AZZURRI
1
3
1
SITUAZIONE A-DIDATTICA - “INGAGGIO”
S1
S2
S3
S4
A
S5
S6
S7
S8
1
B
1
C
1
D
1
E
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F
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G
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H
1
I
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J
1
K
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L
1
M
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1
1
O
1
P
1
Q
1
R
1
3
2
2
127
7
0
1
3
0
SITUAZIONE A-DIDATTICA - “CARTE IN ORDINE”
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S2 S2 S2 S2 S2 S2 S2 S2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7
A
1
B
1
C
1
D
E
1
1
F
1
G
Assente
H
1
I
1
J
1
K
1
L
1
M
1
N
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O
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P
1
Q
1
R
1
1
0
0
1
0
0
8
0
0
0
0
0
0
128
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
4
0 1
SITUAZIONE A-DIDATTICA - “NUMERI COMPRESI”
S1
A
S2
S3
S4
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
G
1
1
H
1
I
1
J
1
K
1
L
1
M
1
N
1
O
1
P
1
Q
1
R
1
7
129
6
5
0
SITUAZIONE A-DIDATTICA - “VINCE IL PIÙ PICCOLO”
S1
A
S2
S3
S4
1
B
1
C
D
1
1
1
E
1
F
1
G
Assente
H
1
I
1
J
1
K
1
L
1
M
S5
1
N
1
O
1
P
1
Q
1
R
1
1
8
0
130
5
6
0
SITUAZIONE A-DIDATTICA - “TOMBOLA”
S1
A
1
S2
S3
S4
1
B
1
1
C
1
1
D
1
E
1
1
1
F
1
1
1
G
1
H
1
I
1
J
1
K
1
1
L
1
1
M
1
1
N
1
1
1
1
O
1
1
1
1
P
1
1
1
Q
1
1
R
1
18
S5
1
S6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
12
131
8
10
12
18
Questionario A: Di&coltà ne!’ordinar"
INIZIALE
SSSSSSSSS S S S SS SSS SS S S S S S SSS S SS S S S S
123456789 1 1 1 1111111 2 2 2 2 2 222 223 N N N N
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 P1 P P P
2 3 4
1
A
B
1
C
1
1
D
1
1 1
1
11
F
1
1
G
1
H
1
11
1
1
1
1
1
K
1
L
1
M
1
N
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
O
1
1
1
1
P
Q
1
S
N
P
8
1 1
1
1
J
S
N
P
7
1
E
1
S
N
P
6
1
1
I
S
N
P
5
1
1
1
1
1
R
1
11 1
TOT 0 2 1 1 0 3 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 100 0 2 4 13 4 3 9 2 1 3 1 2
132
FINALE
SSSSSSSSS S S S SS SSS SS S S S S S SSS S SS S S S S
123456789 1 1 1 1111111 2 2 2 2 2 222 223 N N N N
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 P1 P P P
2 3 4
1
A
B
1
1
1
1
1
1
D
1
1
G
1
S
N
P
8
1
1
F
S
N
P
7
1
1
E
S
N
P
6
1
1
C
S
N
P
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
H
1
I
J
1
K
1
1
1
L
M
1
1
1
N
1
1
1
O
1
1
1
P
1
1
1
1
1
1
Q
R
TOT 0 0 3 0 7 0 0 0 0 101 0 0 0 0 130 0 0 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 5 2 0 2 0 0 0 0 0
133
Questionario B: Di&coltà ne!e operazioni
INIZIALE
S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S SS S S S S S SS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 N N N N N N NN
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 P P P P P P PP
12345678
A 1
1
B 1
1
C 1
1
1
1
1
F 1
1
G 1
1
1
1
1
1
1
D 1
E 1
1
1
1
11
1
1
11
1
1
1
1
H
I 1
1
1
1
1
J
K 1
L
1
1
1
1
1
M1
1
1
N 1
1
1
1
O 1
1
1
1
P 1
1
1
1
1
1
1
1
Q
R
T 130 0 0 0 0 1 0 111 0 0 0 3 4 0 0 0 1 9 3 0 0 0 0 0 0 0 0 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
O
T
134
410111
FINALE
S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S SS S S S S S SS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 N N N N N N NN
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 P P P P P P PP
12345678
A1
1
1
B1
1
1
1
C1
1
1
1
1
1
1
E 1
1
11
1
1
F 1
1
1
1
G1
1
D
1
11
1
H
I 1
1
1
1
J
K
1
L
1
1
1
1
1
M1
1
1
N1
1
1
1
O1
1
1
1
P 1
1
1
1
Q
R
T 110 0 0 0 0 3 0 121 0 0 0 2 3 0 0 0 1 103 0 0 0 0 0 0 1 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
O
T
135
Questionario C: Di&coltà nel riconoscere gli schemi
INIZIALE
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S1 S1 S1 SNP SN SN SN SN SN
0 1 2
1
P2 P3 P4 P5 P6
1
A
1
1
B
C
1
D
1
E
1
1
1
1
1
1
1
1 1
F
G
1
1
H
1
1
I
1
1
J
1
1
1
K
1
1
L
1
M
1
N
O
R
TOTALE
1
1
1
1
1
1
1
1
1
P
Q
1
1
1
1
1
1
1
5 2 6 3 2 7 5
1
3
3
0
136
0
0
1
1
1
1
FINALE
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S1 S1 S1 SNP SN SN SN SN SN
0 1 2
1
P2 P3 P4 P5 P6
1
A
1
B
1
1
C
1
1
D
1
1
E
1
1
F
1
1
G
1
1
1
Assente
H
1
I
1
J
1
K
1
1
L
1
M
1
1
N
1
1
O
1
1
1
P
1
1
1
Q
Assente
R
Assente
TOTALE
10 1 2 1 0 11 0
1
0
0
137
3
0
2
0
0
0
0
0
Questionario D: Di&coltà nel gestire l'a%ettivo ugual"
INIZIALE
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15
1
A
1
B
1
1
1
1
C
D
1
1
1
1
E
1
1
F
1
1
1
G
1
H
1
I
1
J
1
1
K
1
1
1
L
1
M
1
1
N
1
1
O
1
1
1
P
1
Q
1
R
TOTALE
2
1
8
1
1
1
1
6
1 16
138
0
1
0
0
0
0
0
0
FINALE
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15
1
A
1
B
1
1
C
1
1
D
1
1
E
1
1
F
1
1
G
1
1
Assente
H
1
1
K
1
1
L
1
1
M
1
1
N
1
1
O
1
1
P
1
1
I
J
Q
Assente
R
Assente
TOTALE
0
0 12
0
2
0 14
139
0
0
0
0
0
0
0
0
Questionario E: Di&coltà nel gestire l’equivalenza
INIZIALE
S S S S S S S S S S1 S1 S1 S1 S S1 S1 S1 S1 S S2 S2 S2 S2 SN SN SN SN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 14 5 6 7 8 19 0 1 2 3 P1 P2 P3 P4
A
1
1
1
B
1
1
C
1
D
1
1
1
E
F
1
1
1
1
1
G
1
1
H
1
I
1
1
J
1
1
K
1
1
L
1
1
M
1
1
N
1
1
O
1
1
1
P
1
1
1
1
1
1 1
Q
1
R
1
1
1
TOT
3 0 4 4 0 1 5 1 0 5 0 7 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0
140
3
4
1
2
FINALE
S S S S S S S S S S1 S1 S1 S1 S S1 S1 S1 S1 S S2 S2 S2 S2 SN SN SN SN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 14 5 6 7 8 19 0 1 2 3 P1 P2 P3 P4
A
1
B
1
C
1
D
1
1
1
1
1
1
1
E
F
1
G
1
1
1
1
1
1
1
Assente
H
I
1
1
1
J
K
1
L
1
1
1
1
M
1
1
N
1
1
1
O
1
1
1
P
1
1
1
Q
Assente
R
Assente
TOT
110 0 0 0 0 3 0 0 0 1 8 0 2 2 10 0 0 0 0 0 0 0
141
0
0
0
0
Questionario G: Di&coltà nel gestire figure non standard
INIZIALE
S1S2S3S4 S5S6S7 S8 S9 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 SN SN
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P1 P2
A
1
1
B
1
1
C
1
1
D
1
1
E
1
1
1
F
1
1
G
1
H
I
J
1
K
1
L
1
1
M
1
1
N
1
1
O
1
1
P
1
1
Q
1
1
R
1
TOTALE
8 1 0 0 0 6 0 6 0
1
1
142
4
0
0
0
0
0
0
1 0
1
2
FINALE
S1S2S3S4 S5S6S7 S8 S9 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 SN SN
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P1 P2
A
1
1
B
1
1
C
1
1
D
1
1
E
1
F
1
G
1
1
1
1
H
I
1
1
J
K
1
1
L
1
M
1
N
1
1
O
1
1
P
1
1
1
1
Q
R
TOTALE
14 0 0 0 0 0 0 0 8
0
143
3
0
0
0
0
0
0
0 0
0
3
Questionario H: Di&coltà nel passare da una $azione al#
l’unità che l’ha generata
INIZIALE
S1S2S3S4 S5S6S7 S8 S9 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 SN SN SN
0 1 2 3 4 5 6 7 8 P1 P2 P3
1
A
1
1
B
1
C
1
D
1
1
1
E
F
1
1
1
1
1
G
1
H
I
J
K
1
1
L
1
1
1
M
1
N
1
1
O
1
1
P
1
1
1
Q
R
TOTALE
1
1
1
1
4 4 3 0 0 1 0 6 0
0
8
144
1
1 0
0
0
0
0
1
1
1
1
3
FINALE
S1S2S3S4 S5S6S7 S8 S9 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 S1 SN SN SN
0 1 2 3 4 5 6 7 8 P1 P2 P3
A
1
1
B
1
1
C
1
1
D
1
E
1
F
1
1
1
1
1
G
1
Assente
H
1
I
1
J
K
1
L
1
1
1
M
1
1
N
1
1
O
1
1
P
1
1
Q
Assente
R
Assente
TOTALE
10 4 0 0 0 0 0 5 1
0
7
145
1
0 0
0
0
0
0
0
0
0
Questionario I: Di&coltà nel gestire autonomamente schemi
o figur"
INIZIALE
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 SNP1
A
1
B
1
1
1
C
1
1
D
1
1
E
1
F
1
1
1
1
G
1
1
H
I
J
K
1
1
1
L
1
1
1
2
2
M
1
1
N
1
1
O
1
1
P
1
1
Q
1
1
1
R
TOTALE
3
0
6
1
6
1
9
146
1
0
2
0
1
0
FINALE
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 SNP1
A
1
1
1
B
1
C
1
1
D
1
E
1
1
F
1
1
1
1
G
1
Assente
H
1
I
1
J
1
K
1
1
L
1
1
M
1
N
1
1
O
1
1
1
P
1
Q
Assente
R
Assente
TOTALE
7
2
3
2
0 11
147
0
2
0
1
0
0
0
0