TENSIONI INDOTTE IN UN MEZZO ELASTICO

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TENSIONI INDOTTE IN UN MEZZO ELASTICO
,
...
:1
APPENDICE A
TENSIONI INDOTTE IN UN MEZZO ELASTICO
APPENDICE A - TENSIONI INDOTTE IN UN MEZZO ELASTICO
APPENDICE A
TENSIONI INDOTTE IN UN MEZZO ELASTICO
A.l. CARICHI CONCENTRATI
A.l.i. Problema di Kelvin
Carico concentrato agente iIi un mezzo indefinito (fig. A.I)
r
r
l'\.'\.
Z
I
I
"R
'\.
I
'\.'\.
I
'\.
A
L----"e
Z
r
FIG. A.I
Nel punto A si ha:
az
=
p
[~+
R
81T(1-V)
(1 - 2v)
S
R
3
Z]
p
81T(1 - v)
P(1 - 2v)
81T(1 - v)
P
El
= ---­
T rz
=
2(1
+ v) Z
R3
81T(1 - v)
p
81T(1 - v)
+v)
Oz - - P(1
-81T(1 - v) ER
[
J
Z2
3-4v+­
. R2
237
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
238
+ v)
P(l
rz
81T(1 - V) E
A.l.2. Problema di Boussinesq
Carico concentrato agente nonnalmente al piano limite di un semispa­
zio (fig. A.2)
r
t\
Wffi
1\\
I
E,v
\ R
I
ZI
I
\
\
\\
I
\
L
~A
r
FIG. A.2
Nel punto A si ha:
Oz
3pz 3
=
21TR s
Or
=
00
=
e =
T rz
=
p
21TR
2
2
[ - 3r z + (l 3
2v)
R +z
R
(l-2v)P [~_
21TR 2
R :zJ
R
(l + v) pz
1TR 3
3Prz 2
27TR s
PU + v)
21TER
[
2(1 - v)
+
Z2
R2
J
PO + v) [~_ (1 - 2v) r
21T ER
R2
R+z
l
J
R J
239 .
APPENDICE A - TENSIONI INDOTTE IN UN MEZZO ELASTICO
A.l.3. Problema di MindIin
Carico concentrato agente all'interno di un semispazio, normalmente o
parallelamente al piano limite (fig. A.3)
~\
1\
I
I \
c
I \
I
\
I
\
I
[email protected]
\
I
\
I
I
I
E,v
Q
:l
I
I
I
\
[email protected]
\
\ R2
\
\
\
c
r
=J
Rl
= ..j r 2
x 2 +y2
R2 =..j r 2 + (z +C)2
Z
\
\
" " R1
""
L __ r_ -
La direzione di Q è la
stessa dell'asse x.
\
\
""
\
,,\
-~A
FIG. A.3
- I caso: carico concentrato normale al piano limite
Nel punto A si ha:
ax
=
+
+ (z - cP
-p
[(l-2V)(Z-C)
81T(l - v)
Rt
_
3x2 (z-c)
R~
(l - 2v) [3(z - c) - 4v(z
+ c)]
R~
3(3 - 4v)x 2 (z - c) - 6c(z
+
+ c) [( l -
2v) z - 2vc]
R~
30cx 2 z(z
R~
+ c)
+
4 (.1 - v) (l - 2v)
R2 (R 2 + z+c)
x
+
240
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
x
ay
=
(1 _.
)~
2
x
R 2 (R 2 + z +
-p
. X2
C)
[ (1- 2V) (z-
81T(1 - V)
.
J
R~
-
C)
Rt
(1-2v)[3(z-c)"':'4v(z+c)]
+
R2
4V)y2(Z - c) -
+
Ri
+3
3(3 -
2
3y (z - c)
_
6c(z + c) [O ..... 2v) z -2vc] :
+
R~
4(1-v)(1-2v)
30 cy2 z(z+ c)
Ri
R 2 (R 2
'yZ
X
=
.oz
(1-
-
R 2 (Rz
p
+z + c)
S
.R l
y2
R~
-
x
),1
J
[_ (1 - 2v) (?: ~c)
R3
81T(1 - v) , . .
3(z - C)
+ z + c)
l
. (1~, 2~) (Z,:'-·c)',
+
.'
'R 3"
Z
.
3(3 -" 4v)z(z + c)z - 3c(z + c) (5z ~
c)
+
-..;.--...;........----=-'"-~-~--~
R~
,
30 cz(z .+
. . . R 27
C)3 ]
'+ '
.
- p
[ (1 - 2v) .cz - c)
87r(1 ..... V)
R~
(1 - 2v)(z
R~'
t 7c)
+
4(1- v) (l - 2v)
+-----­
R 2 (R 2 +z+c)
+
6c(l- 2v) (z + C)2
-
6c2 (z + c)- 3(3 - 4v)r 2 (z - c)
R~
_ 30cr 2 z(z
R~
+ c) l
J
+
l
APPENDICE A - TENSIONI INDOTTE IN UN MEZZO ELASTICO
°0 =
_
=
3
R}
811"(1-v)
+ z + c)
- Py
[
+ C)2
(1- 2v)R~
3(z -
1 - 2v
R~
3(3 - 4v) z(z + c) ­ 3c(3z + c)
R~
=
- Pxy
Ri
_ 3(z-c)
[
81T(1 - v)
(
+
3(3 - 4v) (z - c)
R~
+ 4(1 - v) (l ­ 2v)
R~ (R 2 + z +c)
. 30cz(z +
+ C)2]
30 cz(z
R~
~'(y
C)2
- - -.... +
+~~-
Rf
811"(1 - v)
+
6c 2 (z + c) ]
_
R~
(1 - 2v)
-
+ c) - 6c
(3 - 4v) (z
R32
+
+ 6c(z
4(1 - v)
R 2 (R 2
T yz
[Z - C
- P(l - 2v)
R~
_1_)
1
+
R2 + z + c
R2
+
C)]
Ri
Tzx
=
-Px
1- 2v
[
81T(1 - v)
R1
+
1 - 2v
3(z -
-
R~
3(3 - 4v) z(z + c) - 3c(3z + c)
.... Pr
81T(l -
v)
30cz(z +
[ 1 - 2v
R1
1 - 2v
+
R~
R~
=
-
3(z -
v) (1 - 2v)
R 2 (R 2
+ z + C)
C)2
RS1
+
+
(3-4v)(z-c)
3
R2
6cz(z +
5
R2
C)]
. +
C)2 ]
R~ .
_ _P_r_ _ [ z ­ C
161TGO - v)
R1
40 ­
C)2]
Ri
3(3 - 4v) z(z + c) .... 3c(3z + c) _ 30cz(z +
~r
. +
Rj
R~
Trz -
C)2
+.
241
242
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
p
1611"G(1 - v)
(z - C)2
+
+ 8(1 -
[ 3 - 4v
Rl
+ C)2 - 2cz
+
3
R1
(3 - 4v) +
R2
(3 - 4v) (z
3-+
V)2 -
R2
+ C)2]
6cz(z
5
R2
- II caso: carico concentrato parallelo al piano limite
=
U
x
R~ .
v)
4(1 - v) (l - 2v)
R~
R2 (R 2 + z + C)2
R~
3x2
--+
Ri
X
5Rx2~z)1
( 3c - (3 - 2v) (Z + c) + -.."....-
J
-Qx
=
R~
3(3 - 4v)x 2
6c
+
Oy
[_ (1-2v) + (1-2v)(5-4v)
-Qx
811"0 -
(l-2v)
[
811"(1 - v)
R31
+
3y 2
(1-2v)(3-4v)
3
2
R
·
--+
Ri
3(3 - 4V)y2
R~
:
x
(
l -
+ z + c) )
RHR 2 +z +c) .
y2. (3R 2
+ -6cs ( c R2
Uz
(1 - 2v) (z
+
y z
+ c) + 5 2:2
)~
R2
.
-Qx
= --~811"(1 - v)
(l - 2v) _
[
+ 5 Z(~:C)2
R~
)]
3(z - C)2
R~
Ri
R~
3(3 - 4v) (z + C)2
6c
------- +
R~
(1 - 2v)
(
c +(1-2v)(z
+
+ c) +
243
APPENDICE A - TENSIONI INDOTTE IN UN MEZZO ELASTICO
7yz
=
87T{1- v)
+ -6c
( 1- 2v
R~
T XY
=
[-
-Qxy
87T(l - v)
=
C)) _
-Q
6 cz
R~ .
[_ (1-2v)(z-c)
R~
87T( l -:- v)
- -6c
s ( z(z
R2
-
. 3(3 - 4v)x 2 (z
2cz
+-­
R~
[ (3 - 4v)
.....:.-_~
R1
3X2 )
1--(
R~
Qxy
167TG(l - v)
_1_
[ R1
4(1 - v) (1 - 2v)
R 2 (R 2
+ c)
2
(1 - 2v)x 2
-
-
Q
167TG(l - V)
+
R~
+ c) -
+ Z + C)2
J
3x
-­
R~
+ C)2
R2 (R 2 + Z
R~
=
+
x 2 (3R 2 + Z +
R~ (R 2 + Z + c)
(1 -
(l - 2v)
4(1 - v) (1 - 2v)
3x 2 (z - c)
Px
R~
Rt
R~
T zx
Ri
(l - 2v)
3(3 - 4v) x 2
X
3(3 - 4v) (z + c)
+
5Z~t C»)J
+
[-
-Qy
3(z - c)
Ri
+
x
(I - 5~')J
(1-2v)(z-c)
R~
+
+
+
5 x. Z,(Z2 -c)
­
-...,....",....R 2
.
)~
2
(3 - 4v) X 2
+ - l + -x. + --.-...;...+
R2
R~
Rt .
4(1 - v) (1 - 2v)
+ ----....,;....----.;- x
R 2 + Z + c
+
2
.....;(_3_-_4_v,;....) __6_cz_
R~
R~
+
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
244
pz =
-
Qx
[ zR~
167TG(l -V)
+ c)
6 cz(z
R~
+
C
(3 - 4v) (z - c)
+
R23
4(1 - v) (1 - 2v) ]
R 2 (R 2
+ z + c)
A.2. CARICHI RIPARTITI
A.2.2. Carico ripartito uniformemente lungo una linea appartenente al piano
limite di un semispazio e agente normalmente a tale piano (fig. A.4)
K
E,V
l ' \.
@M/3.
z II
'R
,
I
'\
I
,
L_--~A
x
FIG. A.4
Nel punto A si ha:
°x
°z
2p
~== -;-
x2 z
R 4
7T
2pv
xz
==
OR
2p
Z
7T
R2
= -­
2p Z3
== - - - 4­ R
p
Z
Tmax
Oy
T
01
= -7T
Z
R 2
.
2p xz 2
== - - - -4 ­
7T
R
A.2.3. Carico uniformemente ripartito su una striscia indefinita del piano li­
mite di un semispazio (fig. A.S)
APPENDICE A - TENSIONI INDOTTE IN UN MEZZO ELASTICO
145
x
E,v
z
FIG. A.S
Nel punto A si ha:
az = l
[a
+ sin a cosCa + 213)]
1f'
ax
=l
ay
2p
= - - va
T xz
= -
[a - sin a cosCa
+ 213)]
1f'
1f'
P
sin a sin (a
+ 213)
1f'
al =
l
(a
+ sin a)
1f'
a3 = ~ (a-sin a)
1f'
p
T max
=-
sin a
1f'
A.2A. Carico uniformemente ripartito su un cerchio del piano limite di un se­
mispazio (fig. A.6)
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
246
2R
-I
J•
P[FL- 2 ]
r
E,'V
.A
z
FIG. A.6
Nel punto A si ha:
0,= p
[l -(l + :R/Z)2 )IJ
p [
or=oe=2
2
oz =
Z3
2(1 + v)z
(1+2v)'- (R 2 +Z 2)1/2 +
2 p R(1 - v )
.
E
[v' l
+ (Z/R)2 - z/R]'
(R 2 + Z2)3t2
J
[
Z/R
1+
rJ
2(1 - v
·2
1 + (zl R)
J
A.2.S. Carico unifonnemente ripartito su un rettangolo del piano limite di
un semispazio (fig. A. 7)
y
L
E,'V
x
RI
= V L2 + Z2
A
R2 = V B 2 + Z2
z
R3
FIG. A.7
=VL 2 +B 2 +Z2
~
I
I
247
APPENDICE A - TENSIONI INDOTTE IN UN MEZZO ELASTICO
In un punto A posto lungo la verticale passante per un angolo del corpo di ca­
rico si ha:
az =
p
21T [ tan - l
ax = -
P
[tan- 1
21T
(
P
a y= 21T [ tan - l
LB
Z R3
R3
)-
~i)]
LBz ]
Ri R 3
LBz ]
R~ R 3
zL:' )­
(
( ~ì +
LBz
+
zL:, )
(
P
T xz
=
T yz
= 21T
T xy
=
21T
5z =
~B
21T
P
z.
P
Cl
C2
---Z
R3
(l - v
I (
= In
21T
n
-­
21T
m=L/B
n =z/B
2
)
(Cl -
\
~~
C2 )
vi I + m 2 + n 2 + m + m In """"':====i==::::;:::--­
vi I + m 2 + n 2 + l )
2
2
2
J
I
+ m + n 2_ m
tan- 1
(
nJ I + m
m
2
+ n2
J I +m
)
+n
-
l
248
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
A.3. CORPO DI CARICO INFINITAMENTE RIGIDO DI FORMA ELLIITI­
CA SUL PIANO LIMITE DI UN SEMISPAZIO (fig. A.8)
p
x
z
z =­
b
a
y
A
z
FIG. A.8
La pressione di contatto vale:
p
G zc
=
l
2
l -
X
a
2
-
Y
­
2
b
In un punto A lungo l'asse del corpo di carico si ha:
2
2
2
2 2
G = ~ [ (1 + Z ) (1 + n Z ~ ) + Z (l + n Z )
z
2
[(1 + n 2 Z 2 ) (1 + Z 2 )] 312
Gx =
G
=
y
+ nZ 2(1 + Z ~ )
2
P [
e - (l - v) (l + n 2 Z2 )2
]
2
n(1 +n2Z2)[(l+n2Z2)(1+z2)f/2+ (1-2v)
2e
Pn [
n(1
. 2e 2
e2 + (1-2v)n 2 (1 + Z2)2
+ Z2 ) [(1 + n 2 Z2) (1
+ Z2 )]1/2
- (1 -
]
2v)
J
APPENDICE A - TENSIONI INDOTTE IN UN MEZZO ELASTICO
:249
A.4. CORPI DI CARICO SU UNO STRATO DI LIMITATO SPESSORE
A.4.1. Carico uniformemente distribuito su una striscia indefinita (fig. A.9)
B
E,v
z
h
A
FIG. A.9
In un punto A posto sulla ver­
ticale passante per il bordo del cor­
po di carico si ha:
az
p
=-
I 1.6 r-;--;--.-~..---r--:I==~
<5 1.4
la
1.2
+--+---+-_t_-A~'!""_---+--+-_t_____I
1.0
+--+----+---,~-+___;--+-~
0.8 +--+-,q--+:~-+_-t--...;.--""""i::::::::::_1
Tr
0.6
6z
=
r--r----r--t----t--v'""l-------=~~
ph Ir
TrE
+---Ih4---b:=f-~::::::::::::_t-----:---+-____j
0.4 -+--IIlh"'--+--+--+---+--+­
U
I coefficienti di influenza la e 16 so­
no riportati nella fig. A.I O.
0.2
O.
+W--I--+---+---\---\--+---+-""t-----1
O. 0.1
Q2 0.30.40.5
B/h
h /B 2. 1.5 1.
0.5 O.
1~·6 rr-l:"~r-=r:=~~!I!5i=I=:=:--' 1~·6 Ir~rC:::Fz~~~
1.4
1.4
+---I-::-t-7"'4----4~=i--7"~~-F-_t_____I
1.2
1.2
+--~n
1.0
1.0 +--f--hL4t~;zf;:-:'--+-----+-----1
0.8
0.8
~f+-,r+/-A-7Y__-+--t---+---+-------l
0.6
0.4
0.6
0.4
+-+-+f-1LY-/-~___+_-+--t--_+__-+-------l
0.2
Q
v=0.2
O. 0.1 0.20.3 0.40.5 B/h
h/B 2 1.5 1.
+-t--1UH-;--+­
0.2
Q
0.5 O.
FIG.A.IO
/
O. 0.1 020.3 040.5 B h
h/B 2 15 1.
0.5 O.
250
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
A.4.2. Carico uniformemente distribuito su un'area circolare (fig. A.II)
r
E,v
h
z
FIG. A.II
Le tensioni indotte in punti posti sotto l'asse o il bordo del corpo di carico so­
no ricavabili dai diagrammi di fig. A.I2.
o
0.2
0.4
0.6
0.8
1. Gz/p
O .-------,---.,-------..,---.-----­
O O 0.1 0.20.30.40.5 Gz/p
2
2
4
6
4
h
"'-=4
hr6
1----1--,6I!"'"
h=4
r
-=0
zR
v=O.
h
-=6
R
I
R
%R
-Rz
6
z
R
FIG. A.I2
.!:
R
=1
v =0.3
1
APPENDICE A - TENSIONI INDOTTE IN UN MEZZO ELASTICO
251
A.S. CORPI DI CARICO AGENTI SUL PIANO LIMITE DI UN SEMISPAZIO
CON MODULO ELASTICO CRESCENTE LINEARMENTE CON LA
PROFONDITA'
A.S.l. Carico unifonnemente distribuito su un'area circolare (fig. A.13)
r
z
z
FIG.A.13
Il cedimento Oz (r = O) del corpo di carico è ricavabile dai diagrammi di
fig. A.14, mentre i valori del cedimento oz(r) sono riportati nella fig. A.IS.
10
1'=0
1
o
.
10- 1
+--+--~~~----.------I
10- 2
+--7"-.~-f---+---+----t
10- 3
+-"'C--~--4---+---+---1
Il
10- 4 ~-+---+---+---+------I
10- 5 +--oI---oI---~-I----f
10- 4 10- 3 10- 2 10- 1 1
10 ~ib
FIG. A.14
LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE
252
O.
0.5
O.
~
1.5
2.0
= 0.0001--+-.. . . ,. . . . ­
bz (r>
bz(r=O>
0.5
1.0
r /b
2.5
--­
0.01--""-'
0.1-----+1''''/
1---...,...,0/
10---H~/
1------+---=-=:..-----1~~--+_---__f_---___i
11
=0.33
1.
O.
~
bz ( r>
bz (r =0>
0.5
lO
0.5
O
1.5
= O.01----+->'
2.0
r/ b
2.5
--­ --­
O.l----v-y
1 ----++--».r
10 -----tf--r~:r
1------+---------.r--"tC-~--_t_---_+_---____t
11
=0.5
1.
FIG. A.15
A.S .2. Carico uniformemente distribuito su un'area rettangolare (fig. A.16)
B
E(z)
z
= Eo ( 1 + ; )
FIG.A.16
Il cedimento 8 c del vertice del rettangolo è ricavabile dai diagrammi di
fig. A.17
253
APPENDICE A - TENSIONI INDOTTE IN UN MEZZO ELASTICO
1.2
O. 10 -r---------------,
v=O
1.0
~
--
0.8
I
0.6
0.08
0.06
C\I
o
1&1
~
-CO
Q.
v= 1/3
v
=
0.04
0.4
1/2
v=O
11=
0.2
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FIG.A.17
INV. ~030
Finito di stampare aprile 1985 - Tipografia E.S.A. Editrice· s.r.l.
(00184) Roma - Via della Polveriera, 13 - Te!. (06) 465197

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