Modelli dinamici per spazi musicali

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Modelli Geometrici e Dinamici per Spazi Musicali
Mattia Giuseppe Bergomi
21 marzo 2012
(Musica e Matematica)
Modelli per Spazi Musicali
21 marzo 2012
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Riferimenti Storici
Evoluzione storica del problema
Intervalli musicali come frazioni – Tolomeo, Armoniche, 100-178
d.C.;
L’aspetto fisiologico – Cartesio, Compendium musicae, 1618;
Scibilitatis gradus – Keplero, Harmonia mundi, 1619;
Suavitatis gradus: Eulero, Tentamen novae theoriae musicae ex
certissimis harmoniae principiis dilucide expositae,1731;
La teoria estetica di Birkhoff – Birkhoff, Aesthetic Measure, 1933;
Aspetto topologico – Mazzola, The topos of music: Geometric
Logic of Concepts, Theory, and Perfomance, 2000, Birkhauser;
Metriche su spazi degli accordi – Tymoczko, The Geometry of
Musical Chords, 2006, Science.
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Riferimenti Storici
d.C.;
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Riferimenti Storici
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Riferimenti Storici
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Obiettivo
Un modello geometrico e dinamico per l’analisi musicale.
1
Dedurremo un’ espressione per l’energia cinetica delle
successioni armoniche da un modello geometrico.
2
Grazie alla psicoacustica e a un modello della coclea troveremo
un algoritmo per dare un significato alla tensione degli accordi,
grazie a questa definiremo un’energia potenziale.
3
Infine potremo ricavare la variazione energetica nel tempo del
sistema dinamico musicale.
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Obiettivo
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2
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Obiettivo
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Obiettivo
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Dalle frequenze ai numeri reali
I toni e le classi di toni
Definizione (Tono)
Assumiamo come Do centrale C = 60, e | scala cromatica | = 12.
p = 69 + 12 log2 (f /440).
Definizione (Classe di toni)
Si dice classe di toni l’insieme
{p + 12k : k 2 Z}.
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Figura: Rappresentazione di una classe di toni come S 1 .
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Simmetrie sullo spazio lineare dei toni
Trasposizione o traslazione Tx (⇠);
Inversione o riflessione Ix (⇠).
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Esempio (Traslazione)
C =(C,E,G) = {0, 4, 7}. T5 (C) = {5, 9, 0} = F
Esempio (Inversione)
I7 (C) = {7
7, 7
4, 7
Composizione: ITk = T
0} = {0, 3, 7} =Ck I.
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Definizione (Distanza di toni)
Siano p e q due toni, calcoliamo la loro distanza come |p
q|.
Definizione (Distanza di classi di toni)
Siano a e b due classi di toni, si ha
kb
a
ak12Z = max{sup d(a, ), sup d(↵, b)}a .
2b
↵2a
Essendo su insiemi compatti, possiamo scegliere la distanza di Hausdorff
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I motivi
Le caratteristiche delle note
Cerchiamo un modello che possa descrivere i motivi, intesi come
successioni di note di una certa lunghezza. Definito lo spazio dei
motivi potremo considerare una pseudo metrica e definire gli intorni
dei motivi.
G. Mazzola, The topos of music: Geometric Logic of Concepts,
Theory, and Perfomance, Birkhauser, 2000;
G. Mazzola C. Buteau. From contour similarity to motivic
topologies. Musicae Scientiae (ESCOM),2000;
G. Mazzola, C. Buteau, Motivic analysis according to Rudolph
Réti: formalization by a topological model, Journ. of Math. and
Music, 2008.
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I motivi
dei motivi.
Attacco
R{O}
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I motivi
dei motivi.
Tono
R{O,P}
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I motivi
dei motivi.
Durata
R{O,P,D}
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I motivi
dei motivi.
Inizio
Tono
Durata
Volume
Crescendo
Glissando
R{O,P,D,L,C,G}
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Topologia motivica
Pseudo metriche sullo spazio dei motivi
È possibile definire una pseudo metrica sullo spazio dei motivi di
cardinalità n:
Dove
t,n
è un insieme.
t : MOTn !
t,n
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Topologia motivica
A questo punto è possibile definire una metrica dn su
retrarla su MOTn , definendo la pseudo metrica
t,n
per poi
gdPt (M, N) := inf dn (p.t(M), q.t(N)),
p,q2P
dove P ⇢ GL(RO,P,... ) è un sottogruppo di isometrie e M, N 2 MOTn
Possiamo quindi descrivere un (t, P, d)-✏-intorno di un motivo M come
V✏t,P,d (M) := {N 2 MOT : 9N ⇤ ⇢ N s.t. gdtP (N ⇤ , M) < ✏},
dove N ⇤ è un motivo.
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Topologia motivica
Se P, dn e t sono tali da soddisfare il principio di eredità (per cui se
due motivi sono simili, allora lo sono anche i loro sottomotivi), allora
vale il seguente
Teorema
L’insieme dei V✏t,P,d è una base per la topologia Tt,P,d di tipo T0 , che
rappresenta la struttura motivica di una composizione.
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Dalla topologia motivica a un modello geometrico
dello spazio degli accordi
Dmitri Tymoczko, The Geometry of Musical Chords, Science,
2006;
Dmitri Tymoczko, Rachel Wells Hall, Submajorization and the
Geometry of Unordered Collections, preprint, 2010;
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La teoria sviluppata fino a questo punto ci permette di scrivere una
pseudo metrica sullo spazio dei motivi.
È necessario sviluppare un modello geometrico che possa misurare la
distanza tra gli accordi.
Definizione (Accordo)
Si dice accordo la combinazione di almeno tre toni (con molteplicità),
modulo ottava.





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Definizione (Multiinsieme)
Un multiinsieme è una coppia (A, m) dove A è un insieme e m : A ! N
tale che m : a 7! n è la molteplicità dell’ elemento a in A.
Definizione (Condotta delle voci)
La condotta delle voci tra due multiinsiemi {x1 , ..., xm } e {y1 , ..., yn } è
un multiinsieme di coppie ordinate (xi , yj ). La denotiamo come
{x1 , ..., xm } ! {y1 , ..., yn }.
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Simmetrie nella musica occidentale
È comune in teoria musicale classificare oggetti e progressioni usando
cinque identificazioni:
1
Identificazione modulo ottava
x ⇠O x + 12k , k 2 Z
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1
x ⇠O x + 12k , k 2 Z
2
Identificazione per trasposizione
x ⇠T x + c(1, ..., 1), c 2 R
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1
x ⇠O x + 12k , k 2 Z
2
x ⇠T x + c(1, ..., 1), c 2 R
3
Identificazione a meno di permutazioni
x ⇠P (x),
2 Sn
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1
x ⇠O x + 12k , k 2 Z
2
x ⇠T x + c(1, ..., 1), c 2 R
3
x ⇠P (x),
4
2 Sn
Identificazione per inversione
x ⇠I
x
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1
x ⇠O x + 12k , k 2 Z
2
x ⇠T x + c(1, ..., 1), c 2 R
3
x ⇠P (x),
4
x ⇠I
5
2 Sn
x
Identificazione per molteplicità
(..., xi , xi+1 ) ⇠C (..., xi , xi , xi+1 , ...)
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Ad ogni identificazione corrisponde uno spazio geometrico opportuno:
1
Tn
2
Rn
3
1
1
/Sn o Tn
1
/Sn
1
/Z2
Rn
5
o Tn
Rn
4
1
1
/Z2 o Tn
Identificazione per molteplicità
Ran space di dimensione infinita
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Alcuni esempi di spazi degli accordi



Figura: (a): l’orbifold T2 /S2 , lo spazio degli intervalli è un prisma due
dimensionale la cui base è incollata alla faccia opposta. La base deve essere
ritorta prima di essere incollata, in modo che gli accordi sullo spigolo sinistro
corrispondano con quelli sullo spigolo destro. La linea al centro della figura
contiene gli intervalli che dividono l’ottava in parti uguali.
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


Figura: (b) l’ orbifold T3 /S3 , spazio delle triadi, è un prisma tridimensionale le
cui facce triangolare vengono identificate. Prima dell’incollamento una faccia
viene ruotata di 23 ⇡ in modo tale che gli accordi combacino. Il risultato è
l’interno di un 2-toro triangolare con una torsione. Al centro della figura
troviamo le triadi aumentate che dividono l’ottava in parti uguali. Le triadi
minori e maggiori si dispongono vicino al centro della figura.
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


Figura: (c) l’orbifold T4 /S4 , lo spazio delle quadriadi è un prisma quattro
dimensionale le cui due facce tetraedriche sono identificate. La linea
tratteggiata rappresenta la quarta dimensione. Prima dell’identificazione, una
faccia viene ruotata in modo da far combaciare gli accordi. Al centro troviamo
le quadriadi diminuite.
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Lo spazio di Ran
Nel caso finito dimensionale parliamo di prodotto simmetrico di spazi
topologici, in dimensione tre otteniamo
Figura: R2 (X )
Con la distanza di Hausdorff.
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Lo spazio di Ran
Nel caso infinito dimensionale
Sia X uno spazio topologico e I, J insiemi di indici di cardinalità finita,
con |I|  |J|.
Sia Rk = X k /Sk , consideriamo la mappa tra insiemi di indici J ⇣ I e
l’immersione diagonale (J/I) : X I ! X J . Si ha rJ (J/I) = rI .
R(X ) è il limite induttivo dello spazio topologico RI rispetto alle
immersioni diagonali.
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Relazioni d’ordine parziale sullo spazio degli accordi
Definizione
Sia <MNC la relazione d’ordine parziale indotta su Rn /Sn da:
Il Principio di Monotonia. Se X e Y sono multiinsiemi di cardinalità
n di numeri reali non negativi, tali che yi xi per ogni i, allora
X MNC Y .
Il principio di No-Crossings. Se A = {a1 , ..., an } e B = {b1 , ..., bn }
sono mulitiinsiemi di numeri reali, allora
{|b[1]
a[1] |, ..., |b[n]
a[n] |} MNC {|b1
a1 |, ..., |bn
an |}
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Condotta delle voci, rispettando il principio di no-crossing



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


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


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Condotta delle voci violando il principio di no crossing:



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


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


Cerchiamo la condotta delle parti che minimizzi la distanza tra gli
accordi e quindi l’energia cinetica.
Scartiamo a priori l’ipotesi per cui una condotta delle parti che preveda
incroci tra le note sia più piccola della sua alternativa lineare.
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Submaggiorizzazione
Definizione
La submaggiorizzazione
Rn+ /Sn da:
è la relazione d’ordine parziale indotta su
W
Il principio di Monotonia.
Il principio di trasferimento di Dalton. Sia {x1 , ..., xn } un
multiinsieme di numeri reali non negativi. Se xi xj ,
{x1 , ..., xi
✏, ..., xj + ✏, ..., xn }
W
{x1 , ..., xi , ..., xj , ..., xn }
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per ogni ✏ tale che 0 < ✏  xi
xj .
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Submaggiorizzazione
Teorema
L’ordine parziale indotto su Rn+ /Sn da <MNC è equivalente
all’ordinamento parziale di submaggiorizzazione W .
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Submaggiorizzazione
Definizione
Siano X = {x1 , ..., xn } e Y = {y1 , ..., yn } multiinsiemi di numeri reali
non negativi. Diciamo che X W Y se e solo se
j
X
i=1
x[i] 
j
X
i=1
y[i] for 1  j  n.
(1)
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Submaggiorizzazione
Definizione
Siano X = {x1 , ..., xn } e Y = {y1 , ..., yn } multiinsiemi di numeri reali
non negativi. Diciamo cheX W Y se e solo se f (X )  f (Y ) per ogni
funzione f a valori reali, simmetrica, crescente e convessa nel punto
medio.
Teorema (Ostrowski)
Se f è convessa nel punto medio e limitata su un insieme E Lebesgue
misurabile, con misura positiva, allora f è convessa.
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Submaggiorizzazione
Fatto
La submaggiorizzazione è equivalente a tutte le misure isotone.
Esempio
Le norme LpPcon p 1
Le funzioni j che sommano il j-esimo elemento più grande di un
multiinsieme.
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La geometria della submaggiorizzazione
Definizione
⌃j -palla di X è l’insieme dei vettori v in Rn tali che
X
j
({|vi |})  ⌃j (X ).
Definizione
Definiamo la palla di submaggiorizzazione interna ed esterna
rispettivamente come l’intersezione e l’unione delle ⌃j -palle.
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










Figura: Un esempio: palle di submaggiorizzazione in R2 . Un vettore le cui
coordinate formano il multiinsieme X divide lo spazio in tre regioni. La
regione bianca dei vettori v W X . La regione grigio chiaro contiene vettori
X W u. L’area scura rappresenta una zona di discordanza accettabile, in cui
le metriche possono non coincidere misurando la lunghezza dei vettori
relativamente a X senza violare il principio di no-crossing e quello di
monotonia.
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⌃1 (X ) = L1 (X )
⌃n (X ) = L1 (X )
Possiamo esprimere l’energia cinetica per successioni armoniche con
le metriche indotte dalla submaggiorizzazione come segue
1
KA =
4
✓
kA
Bk⌃i
kC
+
t1
Ak⌃i
t2
◆2
.
dove i 2 {1, n}; A, B, C sono accordi e la successione armonica è
B ! A ! C, in cui la condotta delle voci rispetta il principio di
no-crossing.
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La dissonanza
Hermann Helmholtz, Die Lehre von den Tonempfindungen,
Longmans & Co., 1875;
W. J. M. Levelt R. Plomp, Tonal consonance and critical
bandwidth, J. Acoust. Soc. Amer., 1965;
Jack Xin Yongsam Kim, A two-dimensional nonlinear nonlocal
feed-forward cochlear model and time domain computation of
multitone interactions, Society for industrial and applied
mathematics, 2005.
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La dissonanza
Definiamo la tensione armonica a partire dal concetto di banda critica
e gli studi di psicoacustica condotti da Helmholtz.
La curva di dissonanza ricavata sperimentalmente rappresenta la
tensione generata dall’interazione di due note:















  



Figura: Interazioni tra multitoni
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La dissonanza
Grazie a un modello non lineare e non locale della coclea si nota che
nell’algoritmo per il calcolo della curva di dissonanza manchino le
combinazioni lineari di frequenze generate dalla sovrapposizione di
due toni.
Modello passivo









Figura: Un modello cocleare bidimensionale sulla membrana basilare
p(x, z, t) =
@2p @2p
+
= 0 , (x, z) 2 [0, L] ⇥ [0, H]
@x 2 @z 2
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La dissonanza
Rigidità della parete superiore:
@p
(x, H, t) = 0 , 0  x  L.
@z
Semplifichiamo il modello assumendo le condizioni di Dirichlet in
x = L:
p(L, z, t) = 0 , 0  z  H
La parete di base x = 0 si muove con la staffa:
@p
(0, z, t) = 2⇢Tm pe (t) , 0  z  H,
@x
dove ⇢ è la densità del fluido; pe (t) è la pressione sul timpano, e Tm è
un operatore lineare limitato, che rappresenta il filtraggio dell’orecchio
medio.
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La dissonanza
Modello attivo FF























Figura: Meccanismo FF delle cellule cigliate esterne.
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La dissonanza
Modello non lineare non locale















Figura: Variazione del fattore di guadagno locale a contro lo spostamento
della membrana basilare u
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La dissonanza
Da questa modellizzazione deduciamo che l’unica combinazione
lineare di frequenze percettibile è la differenza cubica di toni (CDT)
data da 2f1 f2 , dove f1 < f2 . Abbiamo quindi modificato l’algoritmo
per il calcolo della dissonanza al fine di includere la CDT.
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Esempi di dissonanza derivante dall’interazine di due
toni, con CDT
Indichiamo con
dissonanza.
la funzione che dati due toni restituisce il valore di
Figura: Dissonanza tra due toni (Bb, D)
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toni, con CDT
Indichiamo con
dissonanza.
Figura:
(B, D#)
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toni, con CDT
Indichiamo con
dissonanza.
Figura:
(G, D)
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toni, con CDT
Indichiamo con
dissonanza.
Figura:
(D, C)
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La tensione degli accordi
Dato un accordo, ne abbiamo calcolato la tensione sommando la
dissonanza calcolata con di tutte le interazioni possibili tra le note
che lo compongono.
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La tensione degli accordi
Dato un accordo, ne abbiamo calcolato la tensione sommando la
dissonanza calcolata con di tutte le interazioni possibili tra le note
che lo compongono.
Dunque, se consideriamo la quadriade di C7 avremo che UC7 è data
dalla seguente sommatoria:
UC7 = (C, E) + (C, G) + (C, Bb) + (E, G) + (E, Bb) + (G, Bb)
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Un esempio.
Abbiamo sviluppato tutta la teoria necessaria per calcolare l’energia
cinetica e potenziale di un sistema dinamico musicale.
Abbiamo scelto come esempio Giant Steps. La motivazione è che il
compositore ha scelto come centri di modulazione tre tonalità ottenute
dividendo la scala cromatica in quattro parti di uguale lunghezza, che
massimizzeranno il contributo cinetico degli accordi nella dinamica del
brano.
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Un esempio.
Applichiamo la modellizzazione dinamica a Giant Steps.
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Un esempio.
La variaizone energetica nel tempo, calcolata con K 1 :














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

















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Un esempio.
Graficamente
Figura: Variazioni energetiche nel tempo, con K 1
U
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Un esempio.
La variaizone energetica nel tempo, calcolata con K 1 :














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
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

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Un esempio.
Graficamente
Figura: Variazioni energetiche nel tempo, con K 1
U
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Conclusioni e sviluppi
La variazione di energia nel tempo si mantiene piccola nonostante
le modulazioni, dunque energia cinetica e potenziale si
compensano.
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compensano.
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18 / 22
compensano.
La variazione di energia è ragionevolmente interpretabile come
l’intervento del compositore.
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18 / 22
compensano.
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18 / 22
compensano.
Interpretazione di un brano musicale come traiettoria di un
sistema meccanico, ovvero come punto critico del funzionale di
Maupertuis-Lagrange/azione Lagrangiana.
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compensano.
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compensano.
Alcune conclusioni e possibili sviluppi nel campo della teoria
musicale.
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18 / 22
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Figura: La larghezza di banda critica
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Figura: La coclea
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Figura: Una rappresentazione della coclea srotolata
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Figura: L’azione delle cellule cigliate esterne
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Modelli dinamici per spazi musicali

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