Schema sul metodo di somiglianza per le E.D.O.

Il "metodo di somiglianza" per la ricerca di una soluzione particolare delle equazioni differenziali lineari del
second'ordine non omogenee:
+Cww € ,Cw € -C œ 0 aBb
(*)
Ðcon +ß ,ß - costanti, + Á !Ñ
Forma di 0 aBb
Forma in cui si cerca CaBb
Eventuali eccezioni e osservazioni
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CASO 1
polinomio di grado 8
polinomio di grado 8
Se nella (*) - œ !, cercare un polinomio di grado 8 € ";
se - œ , œ !, cercare un polinomio di grado 8 € #.
ESEMPI CASO 1
Cww € #C œ B$ € #
CaBb œ !B$ € "B# € # B € $
ww
w
C  $C œ #B € "
CaBb œ !B# € "B € #
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CASO 2
esponenziale E/-B
esponenziale -/-B
Se non c'è soluzione di questo tipo (ciò accade perché +-# € ,- € - œ !,
(lo stesso -, e - da determinarsi)
ossia perché /-B è soluzione dell'eq. diff. omogenea)ß cercare CaBb œ -B/-B ;
se nemmeno questo tipo di soluzione esiste, cercare CaBb œ -B# /-B
ESEMPI CASO 2
Cww € #Cw € $C œ #/$B CaBb œ -/$B
Cww € #Cw  $C œ $/B
CaBb œ -B/B
(Spiegazione 2° es.: - œ " è soluzione dell'eq. caratteristica -# € #-  $ œ !; equivalentemente: /B è soluzione dell'eq. diff. omogenea
Cww € #Cw  $C œ !; perciò occorre moltiplicare per B)
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CASO 3
Ecos=B € F sin=B
-" cos=B € -# sin=B
Notare che anche se 0 ha uno solo dei due addendi (seno o coseno),
(lo stesso =, e -" ß -# da determinarsi) in generale la soluzione li ha entrambi.
Se , œ ! può accadere che -" cos=B € -# sin=B sia soluzione dell'omogenea:
in tal caso, cercare soluzione Ba-" cos=B € -# sin=Bb.
ESEMPIO CASO 3
Cww € #Cw  C œ $sin#B CaBb œ -" cos#B € -# sin#B
1
Forma di 0 aBb
Forma in cui si cerca CaBb
Eventuali eccezioni e osservazioni
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CASO 4
Se D œ - € 3= è soluzione di +D # € ,D € - œ !, sostituire /-B con B/-B Þ
/-B aEcos=B € F sin=Bb /-B a-" cos=B € -# sin=Bb
(gli stessi =ß - e
Notare che anche se 0 ha uno solo dei due addendi (seno o coseno),
-" ß -# da determinarsi)
in generale la soluzione li ha entrambi.
ESEMPI CASO 4
Cww € #C œ $/B sin#B
CaBb œ /B a-" cos#B € -# sin#Bb
Cww %Cw €&C œ $/#B cosB CaBb œ B/#B a-" cosB € -# sinBb
(Spiegazione 2° es.: D œ # € 3 è soluzione dell'eq. caratteristica D #  %- € & œ !, ossia /#B cosBß /#B sinB sono soluzioni dell'eq. omogenea
Cww  %Cw € &C œ !, perciò si introduce il fattore B).
(Nel caso 4 può essere più comodo effettuare i calcoli utilizzando i numeri complessi, come illustrato a lezione.
Per sinteticità, qui non si riporta l'illustrazione di quel metodo).
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CASO 5
/-B :aBbß dove :aBb è
/-B ; aBb, con lo stesso -, e
Se - è soluzione dell'eq. caratteristica +-# € ,- € - œ !, cercare una
un polinomio di grado 8 ; aBb polinomio di grado 8, da
soluzione CaBb œ /-B † apolinomio di grado 8 € "b
determinarsi
ESEMPI CASO 5
Cww €#Cw C œ /$B aB€#b CaBb œ /$B a+B€,b
Cww  C œ /B aB€#b
CaBb œ /B a+B# €,B € - b
(Spiegazione 2° esempio: - œ " è soluzione dell'eq. caratteristica -#  - œ !, ossia /B è soluzione dell'equazione omogenea Cww  C œ !;
perciò il polinomio che compare in C si alza di grado).
OSSERVAZIONE. QUANDO IL TERMINE NOTO E' SOMMA DI DUE FUNZIONI DEI TIPI PRECEDENTI
Se il termine noto è del tipo 0 aBb œ 0" aBb € 0# aBb, con 0" ß 0# dei tipi descritti in precedenza, è sufficente cercare (separatamente):
una soluzione particolare C" dell'equazione PC œ 0" ; una soluzione particolare C# dell'equazione PC œ 0# ;
a questo punto (per la linearità dell'equazione differenziale), la funzione C" € C# sarà una soluzione particolare di PC œ 0" € 0# .
Esempio:
Cww € #C œ $/B € B# € "
Si cerca una soluzione C" œ -" /B dell'equazione Cww € #C œ $/B ; si cerca una soluzione C" œ +B# € ,- € - dell'equazione Cww € #C œ B# € ";
la funzione C" € C# sarà allora una soluzione particolare dell'equazione di partenza.
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