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AIAS – ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L’ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI
45° CONVEGNO NAZIONALE, 7-10 SETTEMBRE 2016 – UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE
AIAS 2016 - 739
MODELLAZIONE NUMERICA PER LA PREVISIONE DI VITA A
FATICA DI MATERIALI COMPOSITI A FIBRA CORTA, IN PRESENZA
DI UN INTAGLIO ACUTO
R. Pietrograndea, b*, M. De Monteb, P. A. Carraroa, M. Quaresimina,
a
Università degli Studi di Padova - Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali,
Stradella S. Nicola 3, 36100 Vicenza
b
Corporate Sector Research and Advance Engineering – Advance Production Technology 1 – Plastics
Engineering (CR/APP2), Robert Bosch GmbH, 71272 Renningen, Germany
* Tel.: +49(0)7118116826, Fax: +49(711)811-5183743,
Indirizzo E-mail: [email protected]
Sommario
Un approccio sviluppato per i compositi a fibra continua è stato adattato a materiali termoplastici
rinforzati con fibre corte di vetro nell’ambito della vita a fatica di componenti intagliati. Sono state
modellate configurazioni rappresentative della microstruttura a bordo intaglio con la tecnica della sottomodellazione. Per tener in considerazione l’effetto della reale microstruttura e fornire le adeguate
condizioni al contorno al sotto-modello, si è ricorso a metodi di omogeneizzazione presenti in letteratura,
quali Mori–Tanaka e Halpin-Tsai. Per includere l’alta variabilità della microstruttura, è stato sviluppato
uno strumento in grado di generare una grande quantità di configurazioni, permettendo di condurre
analisi su diverse topologie. Sulla base di questo modello sviluppato a livello microscopico, si sono
espresse le curve di fatica in termini della grandezza identificata come forza motrice del danneggiamento
(tensione idrostatica), fornendo un'unica curva maestra con bassa deviazione standard.
Abstract
An approach, which was developed for continuous fiber composites, has been adapted to Short Glass
Fiber Reinforced Thermoplastics within the fatigue behavior of sharp-notched parts. Representative
configurations of the microstructure have been modeled at the notch root, by resorting to the submodeling technique. In order to account for the effect of the actual microstructure and to provide the
proper boundary conditions to the sub-model, homogenization formulations (e.g. Halpin-Tsai and MoriTanaka) have been used. In the interest of including the high variability of the microstructure, a tool
capable of generating a large amount of configurations was created, allowing analyses on multiple
topologies. On the basis of this model, developed at a micro-level, fatigue curves of such specimens
have been expressed in terms of the entity which was identified as the driving force of the accumulated
damage (local hydrostatic stress), yielding a unique master curve with a low standard deviation.
Parole chiave: fatica ad elevato numero di cicli, poliammide, fibre corte di vetro, compositi,
termoplastici, sotto-modellazione.
1. INTRODUZIONE
Negli ultimi decenni il ruolo dei materiali compositi a fibra corta ha preso sempre più piede nell’industria
automobilistica e degli equipaggiamenti elettrici ed elettronici. La graduale sostituzione delle parti
metalliche da parte di questi materiali è guidata dalle eccezionali proprietà meccaniche, dalla notevole
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riduzione di peso apportata ai prodotti e dall’alta produttività che questi componenti posso raggiungere
grazie al processo di stampaggio ad iniezione. Il comportamento a fatica di tali materiali non è stato
ancora pienamente esplorato e, a tale scopo, diversi autori si sono cimentati nell’utilizzo di approcci che
spaziano da criteri empirici [1], per passare dall’applicazione di approcci semi-empirici [2,3] fino a
formulazioni nell’ambito della meccanica del continuo [4,5]. In tutti i casi però è possibile giungere alla
conclusione che il danneggiamento derivante da carichi cicli di fatica, così come il comportamento
quasi-statico di tali compositi, dipendono fortemente dalla distribuzione spaziale delle fibre e dalla loro
orientazione [1-6]. In letteratura ci si riferisce generalmente a test effettuati su provini lisci, ma un
ulteriore ostacolo emerge dalla difficoltà di simulare la reale distribuzione delle fibre in presenza di un
intaglio. Studi recenti condotti su laminati a matrice epossidica e fibre continue di vetro si sono occupati
dell’identificazione del criterio più adatto a predire l’evoluzione del danneggiamento nella matrice in
condizioni di carichi meccanici di fatica, paragonando l’effetto della tensione massima principale nella
matrice al contributo dell’energia idrostatica [7].
È proprio in questo ambito che si inserisce il presente lavoro, cercando di realizzare uno strumento non
oneroso dal punto di vista computazionale, ma che sia in grado di fornire una rappresentazione adeguata
della microstruttura e di formulare un criterio efficace nel caso di materiali in presenza di un intaglio
acuto.
2. MATERIALE, PROVINI E DATI SPETIMENTALI
Per l’applicazione dell’approccio proposto, si è ricorsi all’utilizzo dei dati sperimentali riportati in [8].
L’autore fornisce una caratterizzazione a fatica (ad elevato numero di cicli) di provini in materiale
termoplastico rinforzati con fibre corte di vetro in varie concentrazioni, in presenza di un intaglio acuto
(figura 1). Tali diagrammi riportano il numero di cicli di fatica a inizio cricca e a completo cedimento
del materiale (figura 2). Per quanto riguarda le condizioni sperimentali, i test sono stati condotti con un
rapporto di ciclo pari a 0 (R = 0), a temperatura ambiente (RT = room temperature) e in condizioni di
umidità dry-as-moulded.
Figura 1. Geometria del provino impiegato (tutte le dimensioni sono in millimetri)
Figura 2. Curve di fatica ad inizio cricca (linea tratteggiata) e a cedimento (linea continua) per diverse
concentrazioni di fibre per un composito a matrice poliammidica [8]
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Per la regressione delle curve di fatica si ricorre alla classica relazione:
 ak N  cost
(1)
Nell’equazione 1, k indica la pendenza inversa della retta in scala logaritmica, e cost può essere associata
ad un qualsiasi punto della retta (tabella 1), come ad esempio a quello corrispondente ad un milione di
cicli, identificato con il pedice A:
cost =  Ak N A
(2)
Molto spesso le applicazioni industriali di tali materiali nell’ambito dell’automotive non prevedono la
presenza di cricche, pertanto d’ora in poi si fa riferimento solamente ai dati a inizio cricca (figura 2),
ricavati con metodi ottici di detezione del danneggiamento [8]. I materiali utilizzati, composti da matrice
poliammidica e fibre corte di vetro hanno le seguenti denominazioni: PA66-GF15, PA66-GF25, PA66GF35, PA66-GF50 (le quali corrispondono rispettivamente ad una percentuale in peso di fibre pari a
15%, 25%, 35% e 50%). I parametri statici e a fatica di tali materiali sono riportati in tabella 1 (per le
specifiche tecniche dei macchinari utilizzati si faccia riferimento a [8]).
Tali provini sono stati iniettati in direzione longitudinale, in presenza di un inserto centrale per
consentire la formazione dell’intaglio acuto, il cui fattore di concentrazione delle tensioni isotropo (𝑘𝑡 )
vale 9.81 (figura 1).
Tabella 1. Modulo elastico, pendenza inversa della regressione della curva di fatica e tensione a 1E6
cicli [8]
Materiale
PA66
PA66-GF15
PA66-GF25
PA66-GF35
PA66-GF50
Fibre di vetro
E
[MPa]
3000
6176
8991
10899
16025
72000
k
9.17
7.46
7.60
6.18
-
σA
[MPa]
10.31
12.42
15.10
15.03
-
3. MODELLAZIONE NUMERICA
Nel caso di componenti lisci, in assenza di contingenti variazioni locali della microstruttura, la prassi
prevede di legare il comportamento globale del materiale ad una cella unitaria [7] o di condurre studi di
rappresentatività del volume considerato con tecniche di modellazione RVE [9]. Purtroppo, ciò che
emerge in un componente con un intaglio è che la microstruttura in corrispondenza di esso non è
facilmente prevedibile con l’utilizzo di software commerciali per la simulazione di processo e tantomeno
risulta essere rappresentativa dell’intera parte. I meccanismi di danneggiamento e la durata della vita a
fatica di un composito a fibra corta sono fortemente influenzati dalla microstruttura locale [1,8] (in
questo caso a bordo intaglio).
Per la realizzazione del modello numerico proposto si è ricorsi alla tecnica della sotto-modellazione e
per quanto riguarda la mesh adottata, si sono utilizzati elementi piani triangolari e quadrati in condizione
di stato piano di deformazione. Tutte le analisi sono state condotte con l’utilizzo del software
commerciale Abaqus®.
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3.1 Modello globale
La procedura di modellazione proposta nel presente lavoro propone di realizzare un modello numerico
globale omogeneo dell’intera geometria, il cui scopo è quello di fornire le appropriate condizioni al
contorno da trasferire al sotto-modello soggetto alla presenza di fasi eterogenee (figura 3).
(b)
(a)
Riproduzione della microstruttura
Anello di materiale omogeneizzato
0.2
Figura 3. Modello globale (a) e sotto-modello (b)
Come riportato in [8], non sono visibili forti fenomeni di plasticizzazione a bordo intaglio e per tale
motivo si è deciso di rimanere nell’ambito della teoria dell’elasticità lineare. Per quanto riguarda
l’assegnazione delle proprietà del materiale, si sono assegnati i valori ricavati da test quasi-statici,
riportati in tabella 1.
La presenza dell’intaglio ha una forte influenza sulla distribuzione delle fibre in corrispondenza di esso,
determinandone una distribuzione prevalentemente lungo lo spessore come è evidente in figura 4. Per
tale motivo, in fase di modellazione globale, si è deciso di adottare tecniche di omogeneizzazione (ad
esempio Halpin-Tsai e Mori-Tanaka) per una banda di materiale spessa 35µm [8], assumendo un
comportamento ortotropo e trasversalmente isotropo nel piano del modello. Trasferendosi nel sistema
di riferimento di materiale (direzione 1 allineata con le fibre e 2, 3 giacenti sul piano del modello), il
legame costitutivo per tale materiale [10] assume la seguente formulazione in notazione di Voight:
 12
 12
 1


E
E11
E11
 11

1

 23
  11  
E
E22
22
  
1
 22  
  33  
E22


2 23  
2 31  
Symmetric

 
2 12 




0
0
0
0
0
0
1
G23
0
1
G12

0 

0   11 

  22 
0  
  33 
 
0   23 
  31 
 
0   12 

1 

G12 
(4)
Si ricordi che l’orientazione di 2 e 3 non è rilevante come conseguenza dell’isotropia planare assunta. È
quindi possibile ricavare i moduli necessari a definire la matrice di cedevolezza (4) del materiale, tramite
l’utilizzo di modelli analitici di omogeneizzazione, che nel caso di materiale trasversalmente isotropo
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sono cinque (𝐸11 , 𝐸22 , 𝜈12 , 𝜈23 e 𝐺12 ). Si noti inoltre che, trattandosi di stato piano di deformazione, la
prima, la quinta e la sesta riga della matrice di cedevolezza vanno eliminate e il numero delle costanti si
riduce a quattro (𝐸11 , 𝐸22 , 𝜈12 e 𝐺23 ). Si ricordi infine che il modulo di Poisson 𝜈23 è legato alle altre
costanti dalla seguente relazione:
G23 
E2
2(1   23 )
(5)
I risultati ottenuti con l’applicazione dei due metodi di omogeneizzazione sono equivalenti, pertanto si
riportano soltanto i valori ottenuti tramite Halpin-Tsai, combinato alla Rule of Mixture e ad un modello
di Bridging [11] per completare la determinazione delle entrate della matrice di cedevolezza
dell’equazione 4.
Si ricorre quindi alla Rule of Mixture per il calcolo di 𝐸11 e 𝜈12 :
 12   f V f   m (1  V f )
(6)

E11  E f
 
 1V f  1
Em  Em

(7)
Si utilizza Halpin-Tsai per 𝐸22 e 𝐺12 :
Ef
E22 1  V f

Em
1  V f
1
E
 m
Ef
Gf
G
 m
Gf
Gm
(8)
 1
(9)

Em
G12 1  V f

Gm
1  V f
 2
1

I pedici m e f, riferiti ai moduli di rigidezza e di Poisson identificano rispettivamente matrice e fibre. 𝑉𝑓
è invece la frazione volumetrica delle fibre.
Infine, il modulo di rigidezza a taglio 2-3 può essere formulato grazie ad un modello di Bridging [11]:
G23 

0.5V f  Vm a44 


m
m
V f S  S 23f  Vm a44 S 22
 S 23
f
22

(10)
Dove:
a44    1   
S 22f 
1
;
Ef
Em
Ef
con   0.35  0.5
S 23f  
f
Ef
;
m
S 22

1
;
Em
(11)
m
S 23

m
Em
(12)
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3.2 Sotto-modello
Per la generazione del sotto-modello, è necessario fornire una disposizione di fibre rappresentativa della
reale microstruttura a bordo intaglio, un esempio della quale è riportato in figura 3.b. In questo paragrafo
si riportano i tre diversi metodi che sono stati adottati per la generazione delle fibre all’interno dell’anello
di materiale eterogeno a bordo intaglio e successivamente si analizzeranno i risultati ottenuti.
Le dimensioni della porzione di materiale contenente le fibre (35 µm) e i diametri delle fibre stesse (10
µm) sono state assunte sulla base dei dati riportati in [8].
Il primo algoritmo di generazione della microstruttura si basa su una disposizione random di fibre,
richiedendo come parametri la minima distanza tra i profili delle fibre stesse (impostata pari ad un
decimo del diametro) e la frazione volumetrica (assunto pari ai valori nominali).
Come è evidente in [8], le fibre tendono ad organizzarsi in cluster, i quali nella maggior parte dei casi
costituiscono la fonte primaria di concentrazione delle tensioni, da cui conseguentemente nasce una
cricca. Il secondo metodo prevede quindi la disposizione delle fibre secondo la logica dei cluster. Per
quanto riguarda il principio di funzionamento di tale algoritmo, dapprima l’area a disposizione viene
riempita con un numero elevato di fibre, successivamente vengono sovrapposte circonferenze
(rappresentanti le dimensioni dei cluster) e infine vengono eliminate quelle circonferenze il cui centro
giace al difuori di tali entità (figura 5) fino a raggiungimento della frazione volumetrica desiderata. Sulla
base di osservazioni sperimentali (figura 4) si decide di impostare un numero di cluster pari a 3, con
diametro pari a 3-4 fibre.
È stato dimostrato con tecniche di tomografia a raggi X che a bordo intaglio il contenuto di fibre si
discosta dai valori nominali [8]. L’autore riporta i dati derivanti da misurazioni effettuate su 6 sezioni
lungo lo spessore di un provino intagliato, il cui materiale è PA66-GF35. Ne risulta che la frazione
volumetrica di fibre ha un valore medio pari al 12% anziché 20%.
In assenza di ulteriori dati sperimentali si è deciso quindi di adottare ancora una volta l’algoritmo
generatore di cluster, ma questa volta scalando tutte le frazioni volumetriche in base al rapporto
osservato in [8] (20% : 12%).
Data la variabilità della microstruttura a bordo intaglio, per ciascuno dei metodi appena descritti sono
state generate 20 configurazioni in modo da giungere ad un valore medio dei campi di tensione indagati
nella matrice il più rappresentativo possibile.
0.2
Figura 4. Microscopia a bordo intaglio (a) e dettaglio sulla formazione di cluster (b) per il materiale
PA66-GF25 [8]
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(a)
(b)
Figura 5. Esempio di microstruttura realizzata con il generatore di cluster (PA66-GF25).
Per quanto riguarda le proprietà elastiche attribuite alla porzione eterogenea, si sono utilizzati i valori di
fibra e matrice (PA66) riportati in tabella 1.
4. FORMULAZIONE DEL CRITERIO
Come riportato in [8], la nascita di una cricca nei compositi a fibra corta, soggetti a carichi di fatica ad
alto numero di cicli è generalmente controllata da meccanismi interni alla matrice. Per tale motivo, la
concentrazione sarà rivolta ai campi tensionali che coinvolgono esclusivamente la matrice.
Come riportato in [7], nel caso di compositi a fibra continua il danneggiamento a fatica è guidato
dall’energia idrostatica locale nel caso di laminati unidirezionali caricati in direzione trasversale.
L’obbiettivo di questo lavoro è quindi di indagare quanto questa grandezza possa essere rappresentativa
del danneggiamento progressivo all’interno della matrice stessa.
Basandosi sull’approccio riportato in [7], una volta individuata la forza motrice (in questo caso
identificata come tensione idrostatica 𝜎𝐻 ) responsabile del danneggiamento è possibile plottare le curve
di fatica in termini di questa grandezza, anziché utilizzando la tensione nominale alla sezione netta. Per
trovare questo valore è sufficiente effettuare delle analisi applicando una tensione esterna unitaria in
modo tale che venga ricavato un fattore di concentrazione che, moltiplicato per la tensione nominale,
fornisca la grandezza richiesta per ogni frazione volumetrica.
 H  kH n
(13)
Nell’equazione 13, 𝑘𝐻 indica il fattore di concentrazione espresso in termini di tensione idrostatica e 𝜎𝑛
è la tensione alla sezione netta.
Seguendo l’approccio di [8] si sceglie come 𝑘𝐻 la tensione di soglia che isola il 10% della funzione
cumulativa delle tensioni nella matrice, come mostrato in figura 6.
Si riportano infine, in tabella 2, le deviazioni standard riferite alla distribuzione della tensione (𝑇𝜎 ), con
un intervallo di confidenza tra il 10% ed il 90%, ed il confronto tra le curve di fatica espresse in termini
di tensione nominale e riformulate con la tensione idrostatica (figura 7).
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0.9
Figura 6. Esempio di calcolo del valore soglia che isola il 10% della funzione cumulativa della
tensione idrostatica nella matrice
Sulla base dei risultati ottenuti è possibile affermare che il modello sviluppato secondo il terzo metodo
riportato nel paragrafo 3.2, combinato all’utilizzo della tensione idrostatica di soglia, è sufficientemente
rappresentativo della microstruttura e dei meccanismi di danneggiamento che evolvono nel corso della
vita a fatica del componente fino alla comparsa della cricca. Per tale motivo, è quindi possibile formulare
la legge di un'unica curva di fatica maestra (figura 7). A questo punto non resta altro che utilizzare i
parametri di fatica ricavati da una sola curva come rappresentativi di tutte le altre frazioni volumetriche
analizzate, come è mostrato ad esempio in figura 8, calibrando il modello sui dati per PA66-GF50.
Tabella 2. Dispersione dei dati a fatica per i diversi metodi di modellazione della microstruttura
𝑻𝝈
Fibre random
Fibre con cluster
Fibre con cluster e
Vf ridotta
1.35
1.35
1.22
σH,soglia [MPa]
80
70
60
50
𝑇𝜎 = 1.22
40
30
50%
10%
90%
20
GF15
GF25
GF35
GF50
10
1.00E+03
1.00E+04
1.00E+05
1.00E+06
Numero cicli ad inizio cricca (Nexp)
Figura 7. Curve di fatica espresse in termini di tensione idrostatica di soglia (90% della funzione
cumulativa), con un intervallo di confidenza tra il 10% e il 90% della distribuzione lungo 𝜎𝐻
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1.00E+07
GF15
1.00E+06
𝑆𝑎𝑓𝑒
GF25
Nexp
GF35
1.00E+05
GF50
𝑈𝑛𝑠𝑎𝑓𝑒
1.00E+04
1.00E+03
1.00E+03
1.00E+04
1.00E+05
Ncalc
1.00E+06
1.00E+07
Figura 8. Confronto tra il numero di cicli a inizio cricca calcolati con il modello proposto (ascissa) e il
numero di cicli misurati sperimentalmente (ordinata), utilizzando come curva di calibrazione quella
per PA66-GF50. Le linee continue fanno riferimento ad un intervallo di confidenza tra il 10% e il 90%
della distribuzione dei dati. La linea tratteggiata si riferisce invece al 50%.
5. CONCLUSIONI
È stato investigato il comportamento a fatica di provini con intaglio acuto e le differenze derivanti dalla
concentrazione volumetrica di fibre con la tecnica della sotto-modellazione. Data la rilevanza della reale
microstruttura sulla vita a fatica di un componente, particolare attenzione è stata posta alla zona limitrofa
all’intaglio, impiegando tecniche di omogeneizzazione analitica per un coerente trasferimento delle
condizioni al contorno dal modello globale al sotto-modello. A completamento di quest’ultimo, è stato
programmato uno strumento in grado di generare diverse configurazioni della microstruttura, scegliendo
i parametri sulla base di osservazioni sperimentali.
Infine, sulla base di approcci derivanti dal mondo dei compositi a fibra continua e grazie ad una grande
quantità di osservazioni sperimentali sulla microstruttura dei fibra corta di vetro, si è giunti a dimostrare
la bontà dell’utilizzo dell’energia idrostatica come forza motrice del danneggiamento indotto da carichi
ciclici di fatica. Questo consente quindi di predire, entro un certo intervallo di confidenza, il numero di
cicli che conducono ad inizio cricca per materiali con diverse concentrazioni volumetriche di fibre,
basandosi sulla realizzazione della curva per una sola concentrazione.
Ulteriori sviluppi dovrebbero prevedere una più accurata distribuzione delle fibre a bordo in taglio
nell’ambito della modellazione tridimensionale per tenere in considerazione anche l’effetto non
trascurabile delle teste di fibra.
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