Infinito in matematica (parte 1)

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Infinito in matematica (parte 1)
Le Botteghe dell’Insegnare
MATEMATICA
Dal finito all’infinito:
un percorso della ragione in matematica
Parte prima
percorso 2013 - 2014
L’infinito in matematica
Quando parliamo di infinito in matematica?
Cerchiamo di mettere nero su bianco
tutte le volte che lo incontriamo!
10 minuti per scrivere l’elenco da soli
QUANDO PARLIAMO DI INFINITO?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Con i bambini quando raccontiamo questa storia: «C’era una
volta un re seduto sul sofà che disse alla sua serva, raccontami
una storia, la serva incominciò. C’era una volta un re….»
Con i numeri naturali. Il gioco «esiste un numero più grande di
tutti?»
Quanti numeri pari ci sono? Quanti dispari? Quanti numeri
primi?
Ma le tabelline finiscono a «per 10»? 3x10? O si può continuare?
Fino a quando?
Quando si fa la divisione ad esempio 10:3 che dà come risultato
3,3333333333… un numero con infinite cifre dopo la virgola! O
quando parliamo di π e si fanno scoprire agli alunni le cifre di pigreco e si fa vedere loro che esistono programmi in cui si vede in
quale posizione è la tua data di nascita. Sicuramente ci sarà,
prima o poi!
In geometria: segmento (che ha infiniti punti), retta,
circonferenza, triangoli, poligoni, piano. Quanti triangoli ci sono?
QUANDO PARLIAMO DI INFINITO?
6.
Quando introduciamo i numeri razionali. Dati 2 numeri
razionali esiste sempre un numero razionale tra loro (proprietà
archimedea) (prima esperienza dell’infinitamente piccolo)
7. Quando introduciamo i numeri reali
8. Quando abbiamo le equazioni indeterminate o sistemi
parametrici (infinite soluzioni, infinito alla 1, alla 3)
9. Quando parli di disequazioni, per x>2 cosa si intende?
10. In algebra una formula come ad esempio A=bh indica tutte le
infinite possibilità
11. Quando introduciamo il piano cartesiano e quindi geometria
euclidea, i fasci di rette o di coniche, diametri in un cerchio…
12. Quando parliamo di asintoti
QUANDO PARLIAMO DI INFINITO?
13. In goniometria con le funzioni periodiche e nelle soluzioni di equazioni
goniometriche,
14. Quando abbiamo le successioni o progressioni
15. Principio di induzione
16. Quando abbiamo le serie numeriche (paradosso di Zenone)
17. Quando parliamo di limiti e derivate
18. In calcolo delle probabilità (la legge dei grandi numeri)
19. In fisica con la velocità istantanea
20. Negli integrali: aree sotto curve asintotiche che risultano infinite
21. Proiettività
22. Albergo di Hilbert
23. Frattali
24. Tassellature del piano
25. A volte con semplici strumenti come la Tavola pitagorica o come il
triangolo di Tartaglia
26. Nelle costruzioni di spirali o pentagono stellato…
Vi eravate mai accorti
di quante volte parlate
di infinito in matematica?
Ne parliamo così tanto…
Ma con i ragazzi trattiamo e approfondiamo il concetto di
infinito a scuola?
Facciamo una stima!
Su le mani!
È solo una parola che «appiccichiamo» ogni tanto?
Ma comunque, perché ne dovremmo parlare?
Perché lo dovremmo approfondire?
Questo è lo scopo di questi 2 giorni:
Vale la pena approfondire il concetto di infinito oppure
no?
C’è chi…
Definì la matematica come "la scienza dell'infinito". (Hermann Weyl )
Ma sarà vero?
Proviamo a vedere
che esperienza ne facciamo!
Partiamo dai numeri naturali.
L’infinito dei numeri naturali è strettamente
connesso con il ragionamento per ricorrenza. Esso
genera la sequenza dei numeri naturali ed è alla base
del fatto che le proprietà dei numeri naturali siano
considerati come asserti validi in infiniti casi.
Poincarè
«Abbiamo la facoltà di concepire che un’unità può essere
aggiunta a una collezione di unità; è grazie all’esperienza che
abbiamo l’occasione di esercitare tale facoltà e che ne
prendiamo coscienza; ma, da questo momento in poi, sentiamo
che il nostro potere non conosce limite e che potremmo contare
indefinitamente, benché non abbiamo mai contato altro che un
numero finito di oggetti»
I bambini
Quando i bambini imparano a contare, è come se imparassero una
filastrocca: Uno, due, tre, quattro, … dieci, undici,… e sanno che
sbagliano se invertono l’ordine.
I bambini intuiscono che dopo uno c’è due, dopo due c’è tre e così
via, quindi ogni numero ha il suo successivo e sanno che è unico.
L’esistenza del successivo è ciò che permette di eseguire qualsiasi
addizione.
Dato un numero a, che cosa significa a+b ovvero aggiungere a a b?
Basta considerare il successivo di a, poi il successivo del successivo
di a, poi ancora il successivo del successivo del successivo di a e
ripetere questa operazione b volte. Questa ripetizione regolare
viene chiamata ricorrenza. Quindi nei «numeri per contare» esiste
un elemento privilegiato, 1, e il passaggio al successivo.
Occorre «starci»!
Il concetto di infinito è qualcosa che occorre
guardare piano piano fin da quando si è bambini e
ogni volta riprenderlo per riscoprirne il fascino che
sempre genera in noi.
Occorre un lavoro!
Pavel Florensky
«La bellezza non è una cosa nella quale si possa
penetrare immediatamente. O meglio, e più
precisamente, ci si può penetrare anche subito, ma
dopo esserci rimasti accanto per un po’, e dopo che
nell’animo
i
vari
elementi
assimilati
progressivamente si sono composti insieme in
maniera organica».
Alcune parole…
che indicano l’infinito
La parola «sempre», «e così via»…
Come farle emergere a scuola?
Come far emergere
l’idea di infinito?
Un esempio:
Tramite dei semplici problemi o domande!
Vediamone qualcuno
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
La parola «sempre»
La somma di due numeri pari è sempre un numero pari
La somma di due numeri dispari è sempre un numero pari
La somma di un numero pari con un numero dispari è sempre un numero dispari
Il quadrato di un numero pari è sempre un numero pari
Il quadrato di un numero dispari è sempre un numero dispari
Il cubo di un numero pari è sempre un numero pari
Il cubo di un numero dispari è sempre un numero dispari
Il prodotto di due numeri pari è sempre un numero pari
Il prodotto di due numeri dispari è sempre un numero dispari
La potenza di un numero pari è sempre un numero pari (i naturali sono presi
senza lo zero)
La potenza di un numero dispari è sempre un numero dispari (i naturali sono
presi senza lo zero)
Il prodotto di due numeri consecutivi è sempre un numero pari
Il semiprodotto di due numeri consecutivi è sempre un numero triangolare
La somma dei primi n numeri naturali è sempre un numero triangolare
La somma di due numeri triangolari consecutivi è sempre uguale ad un quadrato
La somma dei primi n numeri dispari è sempre uguale al quadrato di n
La somma dei cubi dei primi n numeri naturali è sempre uguale al quadrato di un
numero triangolare
Nella scuola primaria…
Alcuni dei problemi precedenti nei primi
anni della scuola primaria chiaramente
non si dimostrano ma si possono
osservare magari con l’aiuto della tavola
pitagorica.
La tavola pitagorica potrebbe essere utile
per intuire delle regolarità, cioè delle cose
che sembrano accadere sempre, ma nello
stesso tempo occorre che ai bambini non
chiudiamo la domanda.
Il dubbio e la curiosità saranno la «molla»
che gli farà cercare un modo per dire con
certezza la parola «sempre».
Nella scuola primaria…
Potremmo giocare con le costruzioni… e cercare di
rispondere alle domande precedenti nelle quali si sono
messi dei punti sospensivi
Esempio:
La somma di due numeri pari è sempre un numero…
E il bambino deve rispondere facendo tre esempi.
La somma di due numeri pari è
Se sommiamo due “pezzi”
da 2 otteniamo 4
È pari perché riesco a fare gruppi di
due senza che avanzi uno
posso ottenere 6 sommando
un pezzo da 4 e l’altro da 2
È pari perché riesco a fare gruppi di
due senza che avanzi uno
Se sommo due pezzi da 4 ottengo 8
È pari perché riesco a fare gruppi di due
senza che avanzi uno
Potevo sommare un pezzo da 6 con uno da 2
E continuo così! Fino a quando?
E così potrei fare lo stesso con altri problemini di questo tipo, magari
facendo sommare due numeri dispari e vedere cosa si ottiene oppure un
numero dispari e un numero pari …
Per dire «sempre»…
Ma per dire «sempre» non basta fare 3 esempi, neanche 10,
neanche 1000 bisognerebbe farlo per tutti i numeri. Così si
lancia la domanda: possiamo fare qualcosa che ci aiuta a dire
che quella proprietà o quella regolarità accade «sempre»?
Sì, dobbiamo imparare a «DIMOSTRARE»!
Perché…
Anche se verifichiamo che una proposizione è vera per
ogni numero fino a un milione, o a un miliardo, non ci
siamo neppure minimamente avvicinati a stabilire la
veridicità in generale, perché non ci siamo neppure
avvicinati all’infinito.
Un altro esempio..
Se sommo i primi n numeri dispari…
…ottengo il quadrato di n.
È sempre vero???
Nella scuola primaria è il tempo di «congetturare», cioè di ipotizzare
una verità, una regolarità che sembra vera sempre.
Lo fanno anche i grandi! Congettura* di Goldbach: «ogni numero
naturale pari diverso da due può essere espresso come somma di due
numeri primi.»
(*) un’asserzione matematica di cui non si conosce né una dimostrazione né un
controesempio è una congettura
Nei problemi precedenti…
A volte per la dimostrazione basta formalizzare algebricamente quanto
riportato nel testo.
Ad esempio:
La somma di due numeri consecutivi è sempre un numero dispari.
Siccome due numeri consecutivi sono sempre uno pari e uno dispari, la somma
si può scrivere
2n+ (2n+1)=4n+1
E questo sicuramente è un numero dispari.
Appare evidente che quindi per iniziare ad intuire cosa significhi dimostrare
occorre che il bambino arrivi alla scuola secondaria di primo grado.
Ma in alcuni problemi…
Formalizzare non basta per arrivare a dire «sempre»!
Occorre uno strumento in più!
Un esempio…
Può accadere di poter trovare un’argomentazione generale con
la quale siamo in grado di dimostrare che se la proposizione in
oggetto è vera per il numero n, allora essa è vera per il numero
successivo n + 1.
Se siamo in possesso di una tale argomentazione, allora il fatto
che la proposizione sia vera per il numero 1 ne implicherà la
validità per il numero successivo, 2; ed ancora, il fatto che essa
sia vera per il numero 2 comporterà che essa è vera per il
numero 3, e così via indefinitamente. La proposizione sarà
pertanto vera per ogni numero naturale a patto che essa sia vera
per il numero 1.
Esempio del messaggio
ai soldati
Perché il messaggio arrivi a tutti occorre che:
-il primo soldato abbia il messaggio;
-se il messaggio arriva all’ennesimo soldato allora deve
arrivare anche all’(n+1)-simo soldato.
Principio d’induzione
La proposizione si dimostra per induzione tramite i seguenti
due passi:
(a) La proposizione è vera per n = 1;
(b) Supposto che la proposizione sia vera per n
si verifica che la proposizione è vera per n + 1.
Allora la proposizione è valida per tutti i numeri
naturali.
Riprendiamo l’esempio precedente
Sto sommando tra loro ogni volta i primi n numeri dispari
1
1+3
1+3+5
E ogni volta viene fuori un quadrato.
1+3+5+7
Come farlo con i bambini?
Giocando con i lego…
Giocando con i lego…
Dite ai bambini:
Ogni volta devi aumentare il
bordo (ogni bordo deve avere un
colore diverso dal precedente).
Scrivi ad ogni passo quanti
tondini stai sommando (che
numeri sono?)
Adesso contali tutti
Dove si trovano questi numeri
sulla tavola pitagorica?
MAGIA:
TUTTI SULLA DIAGONALE
Come li possiamo chiamare
questi numeri? QUADRATI
N.B Fin qui scuola primaria
Dimostriamo…
Un altro esempio
Qual è la somma degli angoli interni di un
poligono?
Iniziamo con il poligono più piccolo: un
triangolo
Indichiamo con A, B, C i
vertici del triangolo
Consideriamo l’altezza BH
Portiamo il vertice
B su H
Portiamo anche il
vertice A su H
E portiamo anche il
vertice C su h
Ma allora la somma
degli angoli interni di
un triangolo è un
angolo piatto cioè è
uguale a 180°
Adesso aumentiamo il numero di lati e
prendiamo un quadrilatero qualsiasi
Tracciamo una diagonale
E pieghiamo
lungo la
diagonale,
aiutandoci con la
riga
Otteniamo così due triangoli!
Quindi per quanto visto prima
possiamo dire che gli angoli
interni ad un quadrilatero
sono 2 angoli piatti perché ho
due triangoli
E aumentiamo ancora i lati,
prendiamo un pentagono qualsiasi
Tracciamo due
diagonali e vediamo
che ora si vengono a
formare 3 triangoli,
quindi la somma degli
angoli interni di un
pentagono è uguale a 3
angoli piatti
Congettura?
NUMERO LATI
SOMMA ANGOLI INTERNI
3
1 ANGOLO PIATTO
4
2 ANGOLI PIATTI
5
3 ANGOLI PIATTI
…
…
N
?
Se ho N lati ipotizzo di avere come somma degli angoli
interni N-2 angoli piatti (N>3)
Ma è vero sempre?
Usiamo il principio di induzione
Per N=3 la proposizione è vera perché tracciando la parallela a
BC
Se supponiamo di aver dimostrato che la somma degli
angoli di un poligono convesso di N lati (N>3) è data da
N-2 angoli piatti e consideriamo un poligono di N+1 lati,
possiamo dimostrare che la somma dei suoi angoli è data
da N-1 angoli piatti. Per farlo , basta tracciare una
diagonale congiungente due vertici separati tra di loro da
un solo vertice. Otteniamo un poligono di N lati e un
triangolo: la somma degli angoli quindi è data da N-2
angoli piatti più un altro angolo piatto, ossia da N-1
angoli piatti.
Un altro esempio
Qual è il numero di diagonali
in un poligono di n lati?
In qualsiasi poligono, si definisce diagonale un
qualsiasi segmento di esso che abbia per estremi 2
suoi vertici non consecutivi.
In un triangolo non è mai possibile avere una coppia
di vertici non consecutivi, quindi dobbiamo iniziare a
capire il problema da n=4
Se consideriamo un
quadrilatero,
invece, è intuitivo
disegnarvi 2
diagonali.
Consideriamo un
pentagono.
Se vogliamo contare le diagonali uscenti da un dato vertice, non ci resta altro
che considerare il numero di vertici non consecutivi con il vertice dato. Quindi
dal vertice scelto tracciamo le diagonali; ne usciranno 2. Ci si rende conto quindi
che il numero di diagonali uscenti da un vertice è n - 3, ossia pari al numero n di
lati/vertici diminuito di 3, perché in sostanza, affinché si possa raggiungere
l'altro estremo di una diagonale, a partire da un vertice, bisogna escludere il
vertice stesso di partenza e i 2 vertici ad esso consecutivi.
Quindi, il numero delle diagonali uscenti da
un vertice è: n-3
Ora però dobbiamo considerare tutti i vertici.
Siccome i vertici sono n allora dovremmo avere
che il numero delle diagonali è:
n(n-3)
Ma se lasciamo questo numero così ottenuto,
conteremmo due volte le diagonali.
Allora dobbiamo dividere questo numero per 2!
Arriviamo alla formula...
Fin qui è solo una congettura!
Dobbiamo arrivare al «sempre»!
Ma è sempre vera?
Usiamo il principio di induzione
False induzioni…
un nota bene
Dimostrazione con il principio di induzione
Quindi… cosa abbiamo capito?
Tutte le fasi del ragionamento induttivo sono necessarie!
Se anche una sola di queste è falsa crolla il ragionamento.
Nota bene
Il principio del buon ordinamento e il principio di
induzione sono equivalenti. Queste due proprietà
equivalenti costituiscono una caratterizzazione profonda
dei numeri naturali.
Ancora Poincaré
«L’induzione matematica, ossia la dimostrazione per
ricorrenza si impone necessariamente, poiché non è che
l’affermazione di una proprietà della mente stessa».
Per Poincaré il principio di induzione è una legge del
pensiero.
Importanza del principio di induzione
Assumendo il principio come una proprietà del pensiero
oppure come proprietà che caratterizza l’insieme dei
numeri naturali si mette in luce come l’idea di numero
introduce nella matematica l’idea dell’infinito.
E’ una prova del fatto che la matematica non è una
scienza riducibile a logica pura ma fa ricorso a convinzioni
intuitive che non si radicano neppure nell’esperienza,
bensì nell’idea che abbiamo del nostro pensiero e delle
sue capacità.
Nei libri di testo…
• Ma noi diamo spazio al principio di induzione?
Alzi la mano chi insegna alle superiori.
Ora alzi la mano chi lo insegna, non in vista degli esami!
C’è qualcuno che lo insegna al biennio?
• Il principio di induzione ha pochissimo spazio. Siete d’accordo?
Vale la pena affrontarlo in modo approfondito?
Sarebbe bello portare quanti più libri di testo, anche solo le
fotocopie degli indici dei libri! Ci accorgeremmo di quanto
effettivamente viene accantonato! Facciamo le fotocopie dei
nostri indici dei testi adottati e non?
Uso della ragione
dai piccoli ai più grandi
Fasi del pensiero
•Osservare
•porsi e porre domande sull’oggetto
•Intuire una regolarità (fino alla primaria)
•Formalizzare una congettura
•Cercare di dimostrarne la verità o la falsità (cercare di
verificare il «sempre»)
N.B. il principio di induzione aiuta a fare tutti questi passaggi
Principio di induzione
Interessante perché
•può essere un modo per introdurre le differenze con gli
altri tipi di ragionamento (abduzione, deduzione) e quindi
capire di più come si muove la nostra ragione e quindi
capire di più come siamo fatti!
•Può essere visto anche in riferimento alla fisica, alla
filosofia, all’investigazione sulla realtà
(confronto tra induzione in fisica e in matematica)
Abbiamo visto…
• l’infinito dei numeri naturali
• l’infinito in alcune regolarità (il «sempre»)
Un altro passo decisivo in cui facciamo
esperienza dell’infinito
I razionali (densità dell’insieme Q)
Un altro passo decisivo…
L’ incommensurabilità
Da un semplice triangolo isoscele
• Costruiamo con la carta un quadrato di lato 1.
• Costruiamo il triangolo rettangolo isoscele che corrisponde alla metà di
questo quadrato.
• Costruiamo il quadrato che ha come lato l’ipotenusa del triangolo
costruito al passo precedente.
• L’area di questo quadrato è il doppio del quadrato di partenza. (teorema
di Pitagora)
• Vogliamo misurare l’ipotenusa del triangolo prendendo come unità di
misura u il cateto. Scopriamo che la misura dell’ipotenusa è compresa tra
1e2
• Pieghiamo a metà il quadrato per dimezzare l’unità di misura u,
otteniamo quindi u’. Scopriamo che l’ipotenusa è minore di 3u’.
• Potremmo continuare così piegando il lato 1 in 10 parti e prendere 1/10
come unità di misura e ci accorgeremmo che l’ipotenusa è compresa tra
14u’’ e 15u’’.
E potremmo continuare… fino a quando?
Cosa sta succedendo?
Sembrerebbe che qualunque sottomultiplo di u prendiamo, non
esiste un suo multiplo che copra esattamente l’ipotenusa.
Dunque la misura dell’ipotenusa rispetto ad u non è esprimibile
attraverso un numero del tipo m/n, ovvero non è un numero
razionale.
Dimostrazione
Abbiamo trovato un «nuovo» tipo di
numero!
Questo numero non si può scrivere come rapporto tra
numeri interi, non è razionale, è «oltre» il razionale.
Lo chiameremo numero irrazionale.
Ma di questi numeri quanti ce ne sono?
Costruzione di una spirale…
…«irrazionale»
Partiamo dal triangolo rettangolo isoscele avente
cateti di lunghezza unitaria.
Consideriamo il triangolo ABC di figura in cui AB=1.
Per il teorema di
Pitagora si ha allora che
AB ha lunghezza pari a
radice quadrata di 2.
Se ora, come in figura, si
costruisce un nuovo triangolo
rettangolo, retto in C, con cateti
CB e CD, di cui l'ultimo di
lunghezza unitaria;
sempre per il teorema di Pitagora
è chiaro che l'ipotenusa DB di BCD
ha lunghezza radice quadrata di 3.
Ripetendo ciclicamente il
procedimento si ottengono
facilmente tutte le radici quadrate
dei numeri naturali.
Otteniamo la spirale di Teodoro
La natura conosce
già questi numeri!
Fossile di
ammonite
Anche Gaudì!
Galassia
NGC 628 M74
Scala
all’interno
della
Sagrada
Familia
Un altro esempio famoso…
La costruzione della sezione aurea.
È una situazione geometrica ricca e
significativa che dà luogo a un rapporto
irrazionale. Essa può essere trattata
usando
bellissime
costruzioni
geometriche come il pentagono
regolare, la spirale aurea, in cui si ripete
all’infinito il rapporto aureo, individuato
da un numero irrazionale indicato
solitamente con il simbolo Φ, che
presenta anche proprietà algebriche
particolarissime.
Fin qui sembrerebbe…
... che i numeri irrazionali siano solo quelli ottenuti tramite una
radice!
È vero?
Ci sono altri numeri
di questo tipo?
Se questi «nuovi» numeri li guardiamo come numeri che hanno
infinite cifre dopo la virgola tutte diverse… Sì, ne esistono altri.
Vi ricordate Pi greco?
Quindi ce ne sono altri? E quanti sono?
Vediamo cos’è accaduto storicamente…
Alcuni momenti storici
dell’infinito
Dai greci al medioevo
Le posizioni riguardo l'infinito nell'antica Grecia
erano fondamentalmente due:
1. La prima era in senso negativo e definiva
l'infinito come incompleto, imperfetto (Pitagorici
e Aristotele)
2. La seconda era in senso positivo poiché vede
nell'infinito la capacità di comprendere tutte le
qualità (Epicuro)
Pitagora (580 – 504 a.C.)
La matematica è alla base della spiegazione dell'universo. Tutto
è descrivibile attraverso i numeri naturali ed i loro rapporti.
Problema dell'incommensurabilità che costò la vita ad Ippaso di
Metaponto.
Pitagora (580 – 504 a.C.)
La crisi era tra intuizione e ragione ed è forse il primo
caso in cui la seconda va in senso contrario alla prima.
Gli enti della matematica non sono più sensibili, ma
diventano puramente intelligibili, aprendo così la strada
all’infinito. Questo rappresenta forse il primo avvio
verso la concezione della matematica come
appartenente al mondo delle idee che dominerà poi la
filosofia greca.
Parmenide (intorno al 504 a.C.)
Nel suo Poema, Perì Physeos (Sulla Natura), pone in netta
antitesi due modi diversi di interpretare la verità:
una verità di origine sensibile (doxa)
una Verità contrapposta di carattere razionale (Alétheia).
L’uomo può servirsi della doxa, ma solo per il fine supremo di
raggiungere l’Alétheia.
Zenone (nato circa 489 a.C.)
“Per Zenone il ritenere l’infinito un attributo
dell’essere, per l’inesauribilità dell’infinito stesso,
comporta irrazionalità ed impossibilità dell’essere. È
questa la visione dell’infinito in atto contro cui
argomenta.” (Marchini 2000)
Lo stato paradossale di affermazioni concernenti
l’infinito ha generato a quei tempi talmente tanta
confusione, da portare in seguito Aristotele a vietarne
l’uso, per evitare questo «Scandalo».
Fu quindi grazie alla posizione astratta di Parmenide e
alle creazioni paradossali di Zenone, che i matematici
greci sono stati costretti a fare i conti davvero con
l’infinito, pur cercando disperatamente di evitarlo.
Anassagora (500- 428 a.C.)
Sulla Natura: «Tanto nel grande quanto nel piccolo vi
è lo stesso numero di particelle (…) rispetto al piccolo
non c’è un minimo, ma c’è sempre un più piccolo,
perché l’esistente non può essere annullato (per
divisioni successive). Così, rispetto al grande, c’è
sempre un più grande, e il più grande è uguale al più
piccolo come pluralità, e in se stessa, ogni cosa
pensata come somma d’infinite parti infinitesime è
insieme grande e piccola»
Democrito (483 – 375 a.C.)
Aveva distinto i due problemi della infinita divisibilità:
punto di vista matematico astratto: ogni ente è infinitamente
divisibile in parti (in particolare i segmenti ed i solidi);
punto di vista fisico: c’è un limite materiale alla divisibilità ed
è un corpuscolo unitario, indivisibile, materiale che è detto
atomo; anzi, sembrano esserci più tipi di atomi, di dimensioni
diverse.
Aristotele (384 – 322 a.C.)
«… dal momento che nessuna grandezza sensibile è infinita,
non è possibile che ci sia il superamento di ogni grandezza
determinata, perché in tal caso ci sarebbe qualcosa di
maggiore del cielo»
Rileva una duplice natura dell’infinito:
“in atto” significa che si presenta in un colpo unico.
“in potenza” vuol dire che si dà una situazione che in
quell’istante in cui se ne parla è finita, ma con la sicurezza
che si può sempre andare al di là del limite posto.
Aristotele (384 – 322 a.C.)
«[l’infinito attuale è] quello al di là del quale non c’è
più nulla; … [l’infinito potenziale è] quello al di fuori
del quale c’è sempre qualcosa» (Fisica).
Aristotele bandì ai matematici di far uso dell’infinito
attuale, consentendo un uso esclusivo dell’infinito
potenziale: «Sicché l’infinito è in potenza, ma non in
atto»
Aristotele (384 – 322 a.C.)
L'infinità dei numeri (infinito in potenza)
L'esistenza del punto medio di un segmento qualsiasi
(infinito in atto)
Aristotele (384 – 322 a.C.)
«Comunque questo nostro discorso non intende
sopprimere per nulla le ricerche dei matematici per il
fatto che esso esclude che l’infinito per accrescimento
sia tale da non poter essere percorso in atto. In realtà,
essi stessi, allo stato presente, non sentono il bisogno
dell’infinito (e in realtà non se ne servono), ma soltanto
di una quantità grande quanto essi vogliono, ma pur
sempre finita (…) Sicché, ai fini delle loro dimostrazioni, a
loro non importerà affatto la presenza dell’infinito nelle
grandezze reali» (Fisica, III, cap. 7, 207b 27).
Euclide (circa 300 a.C.)
L’opera di Euclide, per quanto riguarda l’infinito, è
quindi improntata su una scelta filosoficoaristotelica: egli rifiuta del tutto l’infinito attuale ed
accetta e fa uso del solo infinito potenziale; in questa
scelta è estremamente rigoroso e non si concede
deroghe.
Vediamo alcuni esempi...
Euclide (circa 300 a.C.)
Nel postulato II del I libro non usa il termine retta, ma parla di un
ente geometrico che chiama: eutheia grammé (linea terminata) per
il quale richiede tramite un postulato che si possa «prolungare
continuamente per diritto».
Il V e più famoso postulato parla ancora di eutheia grammé e non
di retta; in particolare richiede esplicitamente il prolungamento
illimitato di due linee terminate e per questo verrà il più possibile
“evitato” da Euclide nella trattazione successiva.
Euclide (circa 300 a.C.)
Nella proposizione XX del IX libro non dimostra che
«Esistono infiniti numeri primi», ma che «I numeri primi
sono di più che ogni proposto numero complessivo di
numeri primi», sceglie quindi di parlare di infinito senza mai
nominarlo.
Una delle più celebri nozioni comuni (coinaì énnoiai) scelte
da Euclide è: «Il tutto è maggiore della parte» che contrasta
l’intuizione avuta da Anassagora.
Archimede (287 – 212 a.C.)
Tratta il metodo di Esaustione, che si basa sulla
divisione delle figure geometriche (piane o solide) in
infinitesimi (attuali) e in infinite sezioni.
Archimede (287 – 212 a.C.)
Archimede calcola quanti sono i granelli di sabbia
contenuti in una sfera il cui raggio è dato dalla
distanza della Terra dal Sole. La risposta è
approssimabile con 1063 e per poterla dare
Archimede si deve inventare un sistema numerico
che vada al di là delle miriadi.
Bacone (1214 – 1292 d.C.)
Conclude che l’infinito matematico in atto non è
logicamente possibile: il tutto sarebbe non maggiore
della parte, ma questo risulterebbe anti-Euclide, cioè
anti-Aristotele, il che a qui tempi era ancora sentito
come vietato.
Tommaso D'Aquino (1225-1274)
«… resta provato chiaramente che Dio è infinito e
perfetto… Quindi, come Dio, nonostante abbia una
potenza infinita, tuttavia non può creare qualcosa di
increato (il che sarebbe far coesistere cose
contraddittorie), così non può creare cosa alcuna che
sia assolutamente infinita».
Gugliemo di Ockan (1290-1350)
«… così in tutto l’Universo non ci sono punti in
numero maggiore che in una fava, perché in una fava
ci sono infinite parti. Sicché il principio che il tutto è
maggiore della parte vale soltanto per tutti i
composti di parti integranti finite».
Nicola d'Oresme (1322-1382)
Dal Medioevo al Rinascimento
Pare di poter concludere che una vera e propria
coscienza dell’infinito sia ancora da svilupparsi; solo
nel Rinascimento, grazie alla ricerca degli Artisti sulla
prospettiva ed alle acute riflessioni di Galilei, doveva
accadere il miracolo: Bonaventura Cavalieri ed
Evangelista Torricelli riuscirono a “vedere” con
acutezza quel che i Medievali stentavano a “vedere”.
Galileo Galilei (1564 - 1642)
«Ogni parte (se parte si può chiamare) dell’infinito è
infinita; sì che se bene una linea di cento palmi è maggiore
d’una di un palmo solo, non però i punti di quella sono più
dei punti di questa, ma e questi e quelli sono infiniti».
Collisione con Euclide “Il tutto è maggiore della parte”.
«Queste sono di quelle difficoltà... (Galilei, 1958, pag. 43).
Galileo Galilei (1564 - 1642)
«Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a
dire, infiniti esser tutti i numeri [naturali], infiniti i quadrati,
infinite le loro radici, né la moltitudine dei quadrati esser
minore di quella di tutti i numeri [naturali], né questa
maggiore di quella, ed in ultima conclusione, gli attributi di
uguale, maggiore e minore non aver luogo negli infiniti, ma
solo nelle quantità terminate» (Galilei, 1958, pag. 45).
Cartesio e Fermat
«… mai ci affaticheremo in discussioni intorno
all’infinito. Infatti, dato che siamo finiti, sarebbe
assurdo che noi stabilissimo alcunché su tale
argomento e tentassimo in tal modo di renderlo
finito ed impadronircene…».
Con Descartes compare una distinzione tra
infinito, attributo proprio di Dio, e indefinito,
usato per indicare grandezze illimitate in
quantità o in possibilità.
Leibiniz (1646 - 1716)
Tre specie di infinito:
 infimo, nella quantità;
 medio, come totalità di spazio e tempo;
 massimo, che rappresenta Dio soltanto, come
fusione di ogni cosa in uno.
Newton (1642 - 1727)
Gauss (1777 - 1885)
Nascita e sviluppo dell'Analisi Matematica, ma in
particolare in Gauss:
«… protesto contro l’uso di una grandezza infinita
come un tutto compiuto, ciò che in matematica non
è mai stato…»
Kant (1724 - 1804)
Quando il mondo, o qualsiasi cosa in esso contenuta,
è considerato finito, la mente è capace di pensarne
un’estensione; quando il mondo, o qualsiasi cosa in
esso contenuta, è considerato attualmente infinito,
la mente non può pensarlo affatto. In entrambi i casi,
la mente è incoerente con il mondo: il finito è troppo
piccolo per la ragione e l’infinito (attuale) è troppo
grande
Bolzano (1781 - 1848)
Intuizioni positive:
Una notevole relazione tra due insiemi infiniti, consiste nella possibilità di
accoppiare ciascun oggetto appartenente a un insieme con un oggetto
appartenente all’altro, con il risultato che nessuno degli oggetti di entrambi
gli insiemi rimanga senza corrispondente, e neppure compaia in due o più
coppie (mette così in evidenza la corrispondenza biunivoca tra due insiemi
infiniti).
Nonostante la loro equinumerosità in membri, due insiemi infiniti possono
tuttavia stare in una relazione di disuguaglianza per quel che riguarda le
loro moltitudini, così che l’uno possa risultare una parte propria dell’altro.
(come Dedekind, ma non c'è una consapevolezza di questo)
Bolzano (1781 - 1848)
Intuizioni negative:
Se A è un insieme e se ne tolgono alcuni elementi, A contiene meno elementi
di prima.
Sia S1 la successione dei numeri 1, 2, 3, …
Sia S2 la successione dei loro quadrati 1, 4, 9, …
Ora: poiché tutti i termini di S2 appaiono anche in S1 e ci sono termini di S1 che
non appaiono in S2, ciò parrebbe comportare che la somma dei termini di S 1 è
maggiore della somma dei termini di S2, invece la somma dei termini di S2 è
maggiore di quella dei termini di S 1, dato cheS1 ed S2 si possono mettere in
corrispondenza biunivoca e ciascun termine di S 2 è maggiore (con l’eccezione
del primo termine) del suo corrispondente di S1.
Dedekind (1831 - 1916)
Creazione degli irrazionali ottenuta con il suo
metodo dei “tagli” o “sezioni” che crea, a partire da
Q, l’insieme R, aggiungendo appunto a Q i numeri
irrazionali.
“Un insieme è infinito quando si può mettere in
corrispondenza biunivoca con una sua parte
propria”.
Cantor (1845 - 1918)
Analizza come sono disposti i punti di una retta; le
reciproche posizioni tra segmenti distinti; segmenti e
rette… tutto ciò in modo attuale, senza più alcun
imbarazzo di tipo filosofico.
Il rapporto epistolare con Dedekind è stato
probabilmente la collaborazione più famosa nella
storia della matematica.
Peano (1858 - 1932)
Non ci siamo dimenticati di lui, ma è stato l'ultimo!!!
Come detto a lui si deve l'assiomatica dei numeri nautarali e
in particolar modo il principio di induzione che rappresenta
oggi uno strumento essenziale nelle dimostrazioni aritmetiche
e logiche che richiama l’infinito in senso potenziale.
Albergo di Hilbert
• Video su youtube
http://www.youtube.com/watch?v=iAF37vVeV-Y
Bibliografia
 Pensare in matematica di Giorgio Israel e Ana Millan Gasca (46 euro, 39 euro
online su Amazon, Ibs..., ma il libro vale molto di più del costo che ha!)
 Catalogo della Mostra «da uno ad infinito»
 L’infinito matematico tra mistero e ragione. Intuizione, paradossi,
rigore, di G. Rouche, Pitagora 2004
 Che cos’è la matematica? R. Courant e H.Robbins, Bollati Boringhieri
 Dizionario di matematica elementare di Stella Baruk, Zanichelli
Bibliografia
 Pensare e fare matematica di M. Andreini, R. Manara, F. Prestipino, I.
Saporiti, (libri per il primo e secondo biennio delle scuole superiori)
Etas
 Le convinzioni degli insegnanti sull’infinito matematico di S. Sbaragli.
 Riflessioni storiche e didattiche sul concetto di infinito matematico
Tesi di Laurea presentata da Sofia Faletra, Università di Bologna