Matematica e didattica della matematica

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
Matematica e didattica della matematica
Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria
a.a. 2008-09
Docente: Ana Millán Gasca
LEZIONE 7
RISOLVERE PROBLEMI
SOMMARIO: 7.1 Uno sguardo più da vicino ai problemi della matematica pratica. 7.2 Il problema
come chiave della ricerca nella matematica greca. 7.3 La risoluzione di problemi
nell’insegnamento della matematica nella scuola primaria. 7.4 I problemi con i bambini prima
della scuola dell’obbligo. 7.5 Tradizione e innovazione didattica nella matematica scolastica: il
problema delle patate
Bibliografia: All’inizio fu lo scriba, cap. 1, cap. 2, cap. 4; G. Polya, How to solve it (versione
italiana: Come risolvere i problemi di matematica, Milano, Feltrinelli, 1967); G. Bolondi, La
matematica quotidiana, mimesis, Milano.
Nella Lezione 1, La matematica e il suo insegnamento, abbiamo ricordato che l’insegnamento
della matematica nella scuola elementare introduce i bambini a due tradizioni culturali, distinte
eppure con una lunga storia di influssi reciproci: da una parte, la matematica pratica o calcolo utile,
le cui origini risalgono all’alba della civiltà, e, dall’altra, la matematica vera e propria, una
tradizione dotta le cui origini si collocano nella cultura greca antica. In questa lezione
approfondiremo le nostre conoscenze sui problemi della tradizione pratica e sul concetto di
problema nel pensiero greco; e rifletteremo sul ruolo della risoluzione di problemi nella matematica
e nel suo insegnamento.
7.1 Uno sguardo più da vicino ai problemi della matematica pratica
La matematica di Mesopotamia ed Egitto, all’alba della civiltà, era un calcolo utile, ossia un
insieme di tecniche per risolvere problemi che presentavano un’utilità pratica, nel lavoro e nelle
attività. Nei problemi si richiede di ottenere uno o più numeri sconosciuti a partire da certi numeri
dati, in modo tale che sia verificata una certa condizione; la risoluzione richiede di eseguire una o
più operazioni aritmetiche sui numeri dati e alcuni numeri intermedi.
Nel corso della storia antica e medievale si sono sviluppate tradizioni di matematica pratica
anche in altre aree geografiche, come l’Estremo Oriente o l’America centrale. Le conoscenze
pratiche sui numeri e sulle figure geometriche hanno svolto un ruolo centrale nell’evoluzione
tecnica e organizzativa delle società umane. Inoltre, vi sono stati molti contatti nel corso della storia
tra le varie tradizioni pratiche, sia attraverso vie di trasmissione orale, sia attraverso la circolazione
dei manoscritti e dei testi a stampa (si veda All’inizio fu lo scriba, cap. 2, pp. 25-28).
Le tradizioni della matematica pratica del passato presentano alcuni tratti distintivi che si
ritrovano da oriente a occidente e attraverso il tempo, e che sono alla base dell’istruzione sul “far di
conto” (operazioni e risoluzione di problemi) che è tuttora una parte dell’insegnamento della
matematica nella scuola primaria. Proviamo a elencarli:
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Ana Millán Gasca
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si tratta di un insieme di conoscenze che rientrano nell’ambito della tecnica (si veda il
glossario), ossia esse sono state sviluppate per coadiuvare gli esseri umani nel lavoro e
nelle attività, in particolare per quanto riguarda l’amministrazione, l’attività notarile,
l’elaborazione del calendario, i calcoli legati a prescrizioni religiose, l’edilizia,
l’agrimensura e il commercio.
–
insieme alla scrittura, si tratta di una tecnica intellettuale, in contrasto con le tecniche
relative al trattamento dei materiali, all’agricoltura o all’allevamento, con le quali
condividono tuttavia l’orientamento utile.
–
al pari di altre conoscenze tecniche, nel passato esse sono state tramandate attraverso
l’ambito orale e circoscritte a gruppi limitati di persone (da padre a figlio, da maestro
ad apprendista, attraverso i contatti fra artigiani o le carovane dei commercianti).
–
quando tali conoscenze sono state scritte, esse si sono presentate essenzialmente come
raccolte di istruzioni o ricette (come i manuali tecnici di tutte le arti pratiche), sotto la
forma specifica di collezioni di problemi, ognuno dei quali riguarda attività come
quelle prima elencate e presenta una situazione particolare caratterizzata da dati
numerici e geometrici specifici.
–
dal punto di vista della struttura testuale, ogni problema presenta un enunciato (che
comprende i dati e il quesito), seguito dalla procedura per la loro soluzioni, descritta
per lo più attraverso una serie di istruzioni, dalla soluzione e, alcune volte, di una
verifica della validità della soluzione.
–
le conoscenze riguardano:
o la scrittura dei numeri
o gli algoritmi per eseguire le operazioni aritmetiche (le quattro operazioni e
l’estrazione della radice)
o i vari tipi di figure geometriche (il cerchio, i poligoni e alcune figure solide) e la
loro misura
o l’idea di proporzionalità
–
questa “matematica” è quindi essenzialmente un calcolo utile: ossia si tratta di
applicare le conoscenze prima elencate per risolvere problemi di indole pratica.
«Raccolte di problemi appartengono alla tradizione matematica di ogni tempo e ogni luogo. I
più antichi testi matematici oggi noti, il Papiro Rhind e le tavolette babilonesi, hanno questa
struttura.
Per molto tempo la forma più consueta di trasmissione della cultura matematica fu proprio
quella della collezione di problemi. La trasformazione, avvenuta nella Grecia classica, della
matematica da scienza della risoluzione di problemi a scienza della dimostrazione ipoteticodeduttiva, cambiò non solo i contenuti, ma anche la forma dell’esposizione. Tuttavia accanto alla
matematica “dotta” continuò ad evolversi una matematica “popolare” o “pratica”, la cui principale
forma di espressione rimase la raccolta di problemi, spesso raggruppati per similarità di metodi
risolutivi.»
(Raffaela Franci, “Introduzione” al testo Problemi per rendere acuta la mente dei giovani (Propositiones ad
acuendos juvenes, fine del VIII secolo) di Alcuino di York)
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Dati, svolgimento e soluzione
I problemi matematici delle tavolette d’argilla mesopotamiche e dei papiri egizi presentano
dal punto di vista formale una struttura testuale del tutto simile a quella dei problemi scolastici
della matematica elementare moderna:
– enunciato (che comprende i dati, la condizione, e il quesito posto);
– svolgimento o processo di risoluzione, spesso sotto forma di istruzioni allo scriba;
– e soluzione.
ESEMPIO 7.1 Un problema di suddivisione di un granaio d’orzo fra molti uomini in una tavoletta sumera
(risale al 2650 a.C. ca).
Fonte: G. Guitel 1963, “Signification mathématique d’une tablette sumerienne”, Revue d’assyriologie et
d’archéologie, 57: 145-150; traduzione italiane dei testi di Livia Giacardi, “Sistema di numerazione e calcolo
algebrico nella terra tra i due fiumi”, in L’alba dei numeri)
Nella riga superiore si trova l’enunciato (che comprende sia i dati numerici, sia la domanda posta) e
nella riga inferiore la soluzione
Dati: Si ha 1 granaio d’orzo; ogni uomo riceve 7 silà d’orzo.
Domanda: Quanti uomini ci sono?
Soluzione: Ci sono 164.571 uomini; rimangono 3 silà d’orzo.
Sono usate due unità di misura di capacità (per l’orzo) sumere, silà e granaio (equivalente a 1.152.000 silà). I
due numeri ottenuti (quoziente e resto) sono espressi usando sei segni del sistema sessagesimale di numeri
per contare dei sumeri: per le unità, per le decine, per le sessantine, per le decine di sessantine, per le
sessantine di sessantine, per le decine di sessantine di sessantine. Il resto è 3. Il quoziente è
1+ 5 "10 + 2 " 60 + 4 " 600 + 5 " 3600 + 4 " 36000
che nel sistema di numerazione attuale scrive 164.571.
!
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Interpretazione della soluzione del problema 7.1: Si tratta di una divisione con il resto, eseguita forse
attraverso una serie di divisioni successive e conversioni fra i sei segni numerici disponibili:
prima divisione 1152000 = 32 " 36000 = (7 " 4 + 4) " 36000 = 7 " 4 " 36000 + 4 " 36000
conversione del resto all'ordine di unità successivo
e seconda divisione 4 " 36000 = 40 " 3600 = (7 " 5 + 5) " 3600 = 7 " 5 " 3600 + 5 " 3600
conversione del secondo resto
e terza divisione 5 " 3600 = 30 " 600 = (7 " 4 + 2) " 600 = 7 " 4 " 600 + 2 " 600
conversione del terzo resto
e quarta divisione 2 " 600 = 20 " 60 = (7 " 2 + 6) " 60 = 7 " 2 " 60 + 6 " 60
conversione del quarto resto
e quinta divisione 6 " 60 = 36 "10 = (7 " 5 + 1) "10 = 7 " 5 "10 + 1"10
sesta divisione 10 = (7 "1+ 3)
risultato della divisione 1152000 = 7 " (1+ 5 "10 + 2 " 60 + 4 " 600 + 5 " 3600 + 4 " 36000) + 3
ESEMPIO 7.2 Un problema su un campo rettangolare in una tavoletta seleucide (III sec. a.C.)
Identifichi nel testo del problema trascritto nel libro All’inizio fu lo scriba (pp. 12-13) l’enunciato, lo
svolgimento e la soluzione. Quale è lo stile nel presentare lo svolgimento?
!
ESEMPIO 7. 3 Una tavoletta babilonese dell’antica Susa risalente al 1500 a.C. ca.
1. Un quarto della larghezza aggiungi alla lunghezza: 7 mani
2. 10 è la somma. Quanto la larghezza e la lunghezza?
Identifichi dati e quesito e provi a risolverlo.
[Tratta da E. M. Bruins, M. Rutten 1961, Mémoires de la mission archéologique en Iran, tome 34, Textes
mathématiques de Suse, Librairie orientaliste Paul Geuthner, Paris; (traduzione italiane dei testi di Livia Giacardi,
“Sistema di numerazione e calcolo algebrico nella terra tra i due fiumi”, in L’alba dei numeri.}
Grandezze proporzionali:i problemi del tre
ESEMPIO 7.4 La straordinaria fioritura delle città stato sumere della pianura della Mesopotamia, con la loro
articolata struttura urbana, le molte attività artigianali e la rete di scambi commerciali con paesi anche molto
lontani fu possibile grazie a una complicata rete di conduzione delle acque che rese possibile lo sviluppo
della agricoltura.
Lo scavo dei canali è una delle attività edilizie più antiche. Un tipico compito della matematica pratica,
allora è il seguente. Si deve scavare un canale la cui sezione è un trapezio e le cui dimensioni sono note; è
noto pure quanto un uomo può scavare in una giornata di lavoro; come anche la paga di un operaio e quella
di un caposquadra in una giornata di lavoro (ad esempio, una certa quantità di orzo e di birra; e più avanti
una certa quantità di denaro). Ora, il calcolo del volume di terra da scavare si ottiene a partire dalle
dimensioni del canale con alcune operazioni; per gli altri calcoli, necessari per prendere una decisione
ponderata sul numero di operai da fare lavorare collegata al tempo di realizzazione dell’opera, vi è in gioco
la proporzionalità fra certe variabili
numero di operai "
"# quantità di terra scavata (in unità di volume)
numero di giornate di lavoro "
"# quantità di orzo e birra (in unità di misura di capacità)
!
Tali calcoli e decisioni erano responsabilità degli scribi, in Mesopotamia ed Egitto, di capomastri o
ingegneri, in epoche più recenti. Ma scavare la terra con la forza umana, e tutt’al più con piccoli dispositivi
come carriole, ponteggi, rampe, scale e carrucole è stato un compito al centro di molti calcoli nel corso del
tempo: si pensi che i primi studi matematici per ottimizzare l’organizzazione del lavoro in un cantiere,
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condotti alla fine del Settecento da alcuni ingegneri-scienziati francesi, riguardarono proprio il trasporto di
terra e materiali nelle opere di fortificazione militare!
ESERCIZIO 7.1 Provi a porre un problema di enunciato pratico che possa essere risolto con un ragionamento
di proporzionalità. Riguardi nel suo manuale di matematica della scuola media le pagine sulla
proporzionalità numerica
I problemi di matematica pratica che si risolvono scrivendo una proporzione numerica e
risolvendola sono noti tradizionalmente come “problemi del tre” (perché si calcola un termine della
proporzione quando siano noti gli altri tre)
a"
"# b
c"
"# x
a:c = b: x
Molti dei problemi classici dei manuali scolastici si risolvono con l’ausilio di un ragionamento
!
di proporzionalità: vi sono due grandezze
(direttamente) proporzionali, ossia, il loro rapporto è
costante (costante di proporzionalità). In altri termini, quando la prima grandezza aumenta (del
doppio, del triplo, e così via), la seconda aumenta allo stesso modo (del doppio, del triplo, e così
via); e quando la prima diminuisce (della metà, di un terzo, e così via), la seconda diminuisce allo
stesso modo. Vi sono ragionamenti di proporzionalità in problemi come quelli di ripartizione, di
calcolo di percentuali, di interesse o di sconto.
Altri problemi si risolvono individuando una relazione di proporzionalità inversa tra due
variabili, quella ciòe nella quale il rapporto fra due valori qualsivoglia della prima grandezza è
uguale all’inverso del rapporto tra i corrispondenti valori della seconda.
ESERCIZIO 7.2. Per scaricare un camion in un’ora si richiede il lavoro di quattro operai. Quanti operai
dobbiamo coinvolgere se dobbiamo scaricarlo in mezz’ora? E in venti minuti?
Provi a risolvere il problema prima senza l’aiuto dell’algebra! (si veda oltre, §5.7)
Nella scuola elementare semplici problemi di proporzionalità diretta e inversa possono essere
risolti con l’aiuto di tabelle e grafici e cercando la costante di proporzionalità, ossia usando il
metodo di riduzione all’unità.
Problemi matematici e algebra
Nella scuola primaria si introduce ai bambini alle tecniche elementari di risoluzione dei
problemi, basate sull’uso delle quattro operazioni (una o più operazioni concatenate) e semplici
ragionamenti di proporzionalità, e quindi a una tradizione che ha un origine molto antica.
Nella scuola secondaria di primo grado si introducono le tecniche algebriche per la risoluzione
dei problemi. Esse risalgono al IX secolo, sono state create nel mondo islamico e perfezionate, con
l’introduzione della notazione simbolica (lettere per le incognite e simboli per le operazioni)
nell’Europa dell’inizio dell’età moderna (si veda All’inizio fu lo scriba, cap. 4).
ESERCIZIO 7.3 Negli esempi di problemi di matematica pratica mesopotamica 7.1 a 7.3,
– quante sono le incognite, quali sono?
– Provi a esprimere la condizione contenuta nell’enunciato del problema sotto forma di equazione.
Questi problemi, possono essere risolti senza porre delle equazioni?
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Individuare le incognite e associare ad ognuna di esse una lettera (spesso x, y, z) è guardare il
problema dal punto di vista dell’algebra. Una volta individuate le incognite, l’enunciato del
problema esprime una o più condizioni relative a tale incognite: tradurre il problema in equazioni è
scrivere tale condizioni sotto forma di una o più uguaglianze usando le lettere e i numeri coinvolti
nel problema, oltre ai simboli delle operazioni e al simbolo =. L’algebra classica si occupa proprio
della risoluzione delle equazioni e dei sistemi di equazioni con una o più incognite.
L’algebra è quindi una branca della matematica che fu creata per risolvere i problemi della
matematica pratica. Il fondatore dell’algebra fu Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (conosciuto
anche dal nome latinizzato, Algorismi, origine della parola “algoritmo”), un matematico e
astronomo molto importante di Bagdad all’epoca del califfo al-Ma’mun (813-833). Questo
matematico di origini persiane, che scriveva in arabo (la lingua colta nei paesi dell’Islam), aveva
una profonda conoscenza della matematica greca, ma si occupò anche di matematica pratica. Egli
scrisse dapprima un libro per illustrare la scrittura dei numeri con il sistema di numerazione
posizionale alla maniera indiana e i relativi algoritmi. Poi si occupò della risoluzione di problemi
pratici, tentando di superare la tradizione basata sulle istruzioni applicate a singoli casi particolari e
impostando il problema da un punto di vista generale: individuare l’incognita e tradurre la
condizione del problema in un’equazione. Egli espose questo nuovo punto di vista in un libro
dedicato a ciò che egli stesso descrisse come la “scienza delle riduzioni e delle comparazioni”, in
arabo ilm al-giabr za l-muqabala, che impiega un termine, giabr, usato dapprima nella terminologia
medico-chirurgica (si veda il riquadro “L’algebra di al-Hwarizimi”, All’inizio fu lo scriba, cap. 4,
pp. 50-51). All’inizio del libro al-Hwarizmi scrisse:
«Ho scritto, nel campo del calcolo con il giabr, un trattato che comprende le più fini e le più
nobili operazioni di calcolo di cui gli uomini hanno bisogno per la ripartizione delle eredità e delle
donazioni, per le spartizioni e i giudizi, per le transazioni commerciali e per tutte le operazioni che
hanno fra di loro, relative all’agrimensura, alla ripartizione dell’acqua dei fiumi, all’architettura e altre
cose.»
ESERCIZIO 7.4 Applichi al problema che lei ha considerato nell’esercizio 7.1 e al problema proposto
nell’esercizio 7.2 il punto di vista dell’algebra: individui l’incognita e traduca il problema in equazione. Che
tipo di equazione ha ottenuto?
In termini algebrici, se x e y sono le due grandezze direttamente proporzionali (misurate
secondo una certa unità di misura), si ha:
x
=k
y
e il numero k è la costante di proporzionalità.
Negli anni Sessanta e Settanta l’importanza assegnata allo studio dell’algebra è aumentata,
con una preferenza però per gli aspetti! più astratti dell’algebra, come ad esempio lo studio dei
polinomi e delle operazione fra di loro o lo studio dei sistemi di equazioni. Di conseguenza, i
problemi “tradizionali” sono stati lasciati un po’ da parte, sia nella risoluzione aritmetica ad
esempio usando la regola del tre, sia usando l’algebra. Negli ultimi anni si è registrata una tendenza
a tornare alla risoluzione dei problemi, per un insieme di motivi: per il loro valore formativo nel
“dare un senso” ai concetti matematici; per il loro valore generale nella formazione delle abilità
euristiche (ossia per la ricerca di una verità o della risposta a un quesito, anche per tentativi, in
contrasto con la dimostrazione di una verità); e, infine, per il loro potenziale valore pratico nella
formazione di base di un cittadino.
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7.2 Il problema come chiave della ricerca nella matematica greca
La parola «problema» è usata oggi in molti contesti (non solo in matematica) e con molti
significati. Nell’uso comune, spesso fa riferimento a un ostacolo, a una difficoltà. Alcune volte, ad
esempio nelle scienze sociali, viene attribuita ad essa un significato estremamente generale: si dice
che ogni attività umana è un risolvere problemi, identificando così “problema” con “compito” o
“attività” da svolgere e identificando il “risolvere problemi” con le decisioni che un essere umano
prende e le operazioni che esegue per svolgere tale compito o attività. In tempi recenti, le scienze
cognitive hanno rivolto molta attenzione ai processi mentali che sono coinvolti nella soluzione di
problemi matematici e no.
Torniamo però alle origini, all’etimologia di questa parola, per capire meglio il suo
significato nell’ambito nel quale è stata usata originariamente, ossia in matematica. Problema è una
parola di origine greca, che deriva da un verbo greco che significa “mettere avanti, proporre”. Un
problema è una questione proposta, un quesito di cui si richiede la soluzione, partendo di solito da
elementi noti. La matematica greca si è sviluppata accumulando idee, concetti e metodi volti a
risolvere problemi come il seguente, che risale a Ippocrate di Chio, un autore del V secolo a.C.
È possibile trovare o costruire un quadrato di area uguale alla seguente figura a forma di
lunula?
Negli Elementi di Euclide si chiamano problemi tutte quelle proposizioni o quesiti che richiedono di
determinare o costruire punti o figure geometriche che soddisfino condizioni specificate: sono i
problemi di costruzione o di determinazione. Per esempio:
Costruire un triangolo equilatero su una retta finita data (Libro I, prop. 1)
Porre in un punto dato una retta uguale a una retta data (Libro I, prop. 2)
Dividere in due parti un angolo rettilineo dato (Libro I, prop. 9)
Dividere in due parti una retta finita data (Libro I, prop. 10)
Tracciare una linea retta perpendicolare a una retta infinita data da un punto che non sia in
essa (Libro I, prop. 12)
Costruire un quadrato uguale a una figura rettilinea data (Libro II, prop. 14)
Tutti i problemi che si trovano negli Elementi di Euclide sono risolubili con riga e compasso,
ossia richiedono soltanto il tracciamento e la mutua intersezione di rette e circonferenze. Anche
questi problemi della geometria classica si possono esprimere con il linguaggio dell’algebra: ad
esempio, i problemi della geometria piana si esprimono con il linguaggio dell’algebra associando ad
ogni punto del piano una coppia di coordinate cartesiane (x,y). Quindi la condizione di un problema
risolubile con riga e compasso si può esprimere attraverso un’equazione algebrica di secondo grado.
Nell’idea greca di problema di costruzione si trova un’eco dei quesiti della matematica pratica
di tipo geometrico (tracciato o disegno di punti, rette e figure, equivalenza di figure ossia
uguaglianza di aree), ma il punto di vista si trasforma radicalmente. Nel tipo di quesiti considerati
dai geometri greci scompare l’aspetto pratico o utile. Diventano invece essenziali due altri aspetti.
In primo luogo, viene esaltato l’aspetto di “sfida alla ragione” della domanda posta:
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la domanda e la condizione richiedono uno sforzo (sforzo di comprensione del
problema);
il quesito non appare immediatamente raggiungibile, non si piega a uno sguardo
superficiale e richiede ulteriore riflessione, il quesito appare alle volte come carattere
paradossale (esigenza di elaborare un piano, una strategia di risoluzione).
In secondo luogo, viene esaltato l’aspetto stesso di domanda interlocutoria, di comunicazione:
un problema è tale perché viene posto o proposto, a sé stessi o agli altri, e di conseguenza
rappresenta un invito ad esplorare, a ricercare una possibile risposta. Le matematiche sono ciò che
si impara e ciò che si insegna, proprio attraverso i problemi.
Dall’epoca greca fino al giorno di oggi, la matematica si è sviluppata attraverso alcuni grandi
quesiti o problemi. Non a caso David Hilbert, un leader della matematica tedesca e internazionale
del suo tempo, in una famosa conferenza tenuta a Parigi nel 1900 rivolgendosi al I Congresso
Internazionale dei Matematici, presentò un elenco di 23 problemi aperti della matematica, che
rappresentavano a suo giudizio la prova evidente della vitalità e delle prospettive di sviluppo della
disciplina.
L’importanza dei problemi nella matematica teorica potrebbe sembrare in contraddizione con
l’immagine della matematica come un corpus di conoscenze solido e sicuro, quasi immutabile. Ecco
cosa scrive al riguardo un famoso matematico, George Polya:
«Sì, la matematica ha due volti: è la scienza severa di Euclide e qualche cosa d’altro.
Nell’assetto euclideo essa ci appare una scienza sistematica, deduttiva; ma nella pratica si rivela una
scienza sperimentale, induttiva. Questi due aspetti sono nati insieme alla stessa matematica».
Avvicinarsi alla matematica implica quindi assimilare la disciplina del suo linguaggio preciso
e dell’esigenza di rigore, ma anche gustare in prima persona l’esperienza di porsi di fronte a un
problema, di un quesito proposto, la cui soluzione sembra all’apparenza difficile da raggiungere, e
adoperarsi al meglio alla ricerca della soluzione. Per questo motivo, storicamente nell’insegnamento
della matematica è stato lasciato ampio spazio ai problemi geometrici. Anche se i tentativi di
modernizzare l’insegnamento della matematica negli anni Sessanta e Settanta del Novecento
portarono ad accantonare un po’ la geometria e a concentrarsi sull’algebra, oggi vi è una tendenza a
ritornare alla ricchezza e il valore formativo dei problemi geometrici.
7.3 I problemi nell’insegnamento della matematica nella scuola primaria
I problemi sono presenti da sempre nei sussidiari della scuola primaria. Ma di che tipo di
problemi si tratta? La forma testuale e il contesto pratico al quale fanno riferimento ci permettono di
capire chiaramente che si tratta della traccia che la tradizione della matematica pratica e
l’addestramento al far di conto ha lasciato nei libri della scuola primaria moderna. I problemi
scolastici parlano di distanze, di perimetri, di aree, di pagamenti, di miscele o di ripartizione; essi
presentano un enunciato con dati e una domanda rivolta all’alunno, come negli antichi problemi
degli scribi. Ovviamente, per i bambini di oggi saper risolvere questi problemi non ha alcuna utilità
pratica, perché il loro avviamento al lavoro è ancora molto lontano. Essi servono tutt’al più a
chiarire alcuni aspetti della vita quotidiana come le unità di misura o la moneta.
Tuttavia, è importante che nel lavoro matematico nella scuola primaria vi sia spazio anche per
il problema nel senso più teorico che abbiamo descritto come caratteristico della concezione
matematica greca: il problema come questione posta, la cui soluzione ci appare dapprima difficile o
irraggiungibile, e che quindi ci invita alla ricerca, alla formulazione di una strategia per “misurarsi”
con la sfida. Infatti, è il problema, la questione aperta, la “provocazione” rappresentata da una
sfida intellettuale non immediatamente raggiungibile ciò che interessa il bambino e che rende la
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matematica attraente e fonte di soddisfazione intellettuale. Tali questioni, tali problemi, si
presentano anche in molte altre discipline e in ogni attività, ma senza dubbio la matematica offre un
esempio accessibile già ai bambini più piccoli. Abbiamo visto nella seconda lezione del corso che i
primi passi del bambino nella matematica sono contrassegnati dalla conoscenza della sequenza dei
numeri naturali e dal contare; su queste basi ogni ulteriore esperienza numerica avrà senso per il
bambino se essa è collegata a un problema: se vi sono due mattoncini nella scatola e ne
aggiungiamo un altro, quanti ve ne sono? Se tre mamme sono in attesa del
campanello davanti a scuola e arrivano altre due, quante mamme sono adesso in
attesa?
Vi sono già in questi semplici quesiti tutte le componenti del problema: il bambino si sente
sollecitato, anche se si tratta di situazioni familiari: deve capire bene la domanda, i dati, la
condizione espressa dal piccolo racconto (i mattoncini e la scatola, … l’ingresso della scuola, le
mamme …); deve mettere in gioco le sue incipienti conoscenze sui numeri per trovare la soluzione
(un pezzo della sequenza dei numeri, il successore, il successore del successore, l’addizione). Ma
pensiamo a un bambino della scuola primaria. Egli si confronta su quest’immagine sul suo libro:
Osserva la segnaletica e calcola.
1. A quale distanza da Saldaña si trova Loranca?
2. Quanti kilometri vi sono fra Loranca e Estebanvela?
(Dal Libro Deja huella, Classe quarta, Anaya, Madrid, 2005)
Il bambino è sollecitato dall’immagine, anche se ha già visto dalla macchina molte volte
segnali di questo genere e ha sentito i genitori parlarne cercando una strada. Egli deve capire bene la
domanda scritta sotto l’immagine, deve capire anche i dati e la condizione nell’immagine e vedere
se tutto l’insieme “ha senso”: avrà bisogno di un disegno schematico, di una notazione. Poi deve
escogitare un piano e mettere in gioco le sue conoscenze ben più solide sui numeri (addizione,
sottrazione di numeri naturali). Infine, deve rivedere la soluzione che ha trovato, capire se è
ragionevole oppure se ha sbagliato qualche conto, mettendo in gioco le sue conoscenze sulla
distanza, sulle unità di misura, sul confronto additivo fra i numeri naturali e altre conoscenze non
matematiche (destra-sinistra, spazio geografico): il secondo numero deve essere maggiore del primo
trovato; il secondo numero non può essere del ordine delle centinaia di kilometri. L’immagine, le
parole, il problema, hanno messo in moto la mente del bambino.
Un problema è come un sasso gettato nello stagno: esso muove le acque, introduce il
dinamismo dove prima vi era quiete. Ovviamente ogni “provocazione” ha i suoi rischi. Non vi è
dubbio che il problema suscita sia la curiosità e il desiderio di misurarsi con una sfida, sia la
diffidenza, la vertigine di fronte al vuoto (la soluzione sembra irraggiungibile) e la paura di
sbagliare o di fallire. Infatti, è l’insegnante la persona che deve essere in grado di scegliere i
problemi, deve saper proporre i problemi, orientare la discussione e insegnare a sviluppare un
metodo di lavoro di fronte ai problemi.
ESEMPIO 7.4 (Libro di testo Salta a la vista, Anaya,1° anno) Un aereo trasporta 86 passeggeri. Sono scesi 45
passeggeri. Quanti passeggeri sono ancora nell’aereo?
ESEMPIO 7.5 Un contadino ha raccolto 13.700 kg di mele e 6.825 di pere. Quante scatole servono se dispone
la frutta in scatole di 25 kg?
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ESEMPIO 7.6 Abbiamo pagato con una carta da 40 euro 12 menu da McDonalds? Quanto costa ogni menu?
Quale è il resto?
ESEMPIO 7.7 In un giardino rettangolare di 25 m di larghezza e 16 di lunghezza si vuole piantare erba nella
metà della superficie, fiori in un quarto e piante aromatiche nel resto. Che superficie occupa ogni
coltivazione?
ESEMPIO 7.8 Vogliamo mettere 24 fiori in vasi con lo stesso numero di fiori. Quante possibilità abbiamo?
ESEMPIO 7.9 Una città ha 238.700 abitanti, la quinta parte ha una bicicletta. Quanti abitanti non hanno la
bicicletta?
ESEMPIO 7.10 Un commerciante compra 100 paia di pantofole a 32 euro il paio. Vende le prime 80 paia a 45
euro, e il resto a 40 euro. Quale è stato il guadagno ottenuto?
ESEMPIO 7.11 La superficie di un triangolo misura 126 cm2 e l’altezza è 4/7 della base. Determina la base e
l’altezza del triangolo.
ESEMPIO 7.12 Si hanno 14 soldati in fila: la distanza tra un soldato e l’altro è 3 m. Quale è la distanza dal
primo all’ultimo?
ESEMPIO 7.13 Un bambino ha 8 anni, e la sorellina la metà dei suoi. Quanti avrà lei quando lui ne avrà 10?
ESEMPIO 7.14 In un cortile vi sono galline e conigli. In tutto 40 teste e 100 gambe. Quante galline e quanti
conigli?
ESEMPIO 7.15 Trovare tutti i numeri che si possono rappresentare in un abaco di tre posizioni usando due
gettoni.
ESEMPIO 7.16 «Ho comprato due fazzoletti e due paia di calzini con trecento ottanta yen. L’altro giorno
avevo comprato due fazzoletti e cinque paia di calzini con settecento dieci yen? Quanto vale un fazzoletto e
un paio di calzini» (tratto da Yoko Ogawa, La formula preferita del professore (2003))
La risoluzione dei problemi secondo Polya
In un famoso libro pubblicato da George Polya (1887-1985) nel 1945 intitolato How to solve
it (tradotto in italiano con il titolo Come risolvere i problemi di matematica. Logica ed euristica nel
metodo matematico, Feltrinelli, 1° ed. italiana 1967), questo matematico nato a Budapest ed
emigrato nel seguito negli Stati Uniti ripropose con forza il ruolo dei problemi nella formazione
intellettuale dei giovani. Il libro si apre con le seguenti parole (p. 7):
«Un’idea geniale risolve spesso un grande problema, ma nella risoluzione di tutti i problemi
interviene un pizzico di genialità. Può trattarsi di un problema modesto; tuttavia, se esso stuzzica la
nostra curiosità ed eccita le nostre facoltà mentali e, soprattutto, se si riesce a risolverlo da soli, si
scoprirà l’ansia della ricerca e la gioia della scoperta. Simile esperienze, fatte a tempo opportuno,
possono rappresentare un vero e proprio esercizio dello spirito e lasciare un’impronta nell’animo e nel
carattere per tutta la vita.»
Questo saggio, diventato molto famoso, raccoglie in modo molto efficace i principi di una
lunga tradizione di risoluzione dei problemi matematici, che però raramente era stata esposta in
forma scritta, poiché essa apparteneva alla tradizione orale dell’insegnamento della matematica.
Attraverso molti esempi, Polya provò a fornire una descrizione del modo di procedere tipico della
risoluzione dei problemi matematici, ossia dei ragionamenti euristici, intendendo “ogni
argomentazioni che non pretenda di essere né definitiva né rigorosa, ma si presenti semplicemente
come provvisoria e plausibile, con il solo scopo di scoprire la risoluzione di un determinato
problema” (p. 120). Il libro si apre con uno schema di risoluzione dei problemi diviso in quattro
fasi: capire il problema; elaborare un piano; attuare il piano; verificare. Per ogni fase vi sono diverse
domande da porsi o suggerimenti di azione. Questo piano è rivolto all’alunno, ed è illustrato
attraverso molti esempi. Inoltre, prendendo spunto dagli stessi esempi, l’autore si rivolge
all’insegnante, esortandolo a non ridurre le ore di matematica a semplici esecuzioni di calcoli, e
sottolineando l’importanza di
–
–
scegliere i problemi adeguati alle conoscenze degli alunni e in grado di sollevare il
loro interesse
proporre i problemi scegliendo i tempi e il modo, all’interno delle ore di matematica
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MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
–
Ana Millán Gasca
e intervenire discretamente attraverso le sue domande (ispirandosi alle domande
proposte da Polya per corredare il suo schema di risoluzione), coadiuvandolo nella
risoluzione.
Anche se gli esempi considerati da Polya riguardano i problemi della scuola secondaria, il suo
schema di risoluzione è valido anche nella scuola primaria. Anzi, possiamo riconoscere in un
enunciato un problema genuino e non un esercizio di calcolo nella misura in cui esso sollecita
nell’alunno l’applicazione dello schema di risoluzione di Polya. Proponiamo una versione
abbreviata e adattata alla scuola primaria dello schema di Polya (si veda Come risolvere i problemi
di matematica, pp. 11-13)
LE QUATTRO FASI NELLA RISOLUZIONE DEI PROBLEMI
(ADATTAMENTO DELLO SCHEMA DI RISOLUZIONE DI GEORGE POLYA)
Prima fase: Capire il problema (Understanding the problem)
Cosa si deve trovare?
Quali sono i dati? Alcune volte bisogna reperire i dati in immagini o tabelle.
Quali sono le condizioni?
Sapresti porre il problema con le tue parole?
È possibile soddisfare le condizioni?
Prova a dare una stima del risultato
Disegna una figura. Prepara uno schema o diagramma.
Introduci una notazione appropriata.
Seconda fase: Elaborare un piano (Devising a plan)
Esiste un problema analogo al tuo e già risolto in precedenza?
Puoi formulare il problema in un modo diverso?
Puoi risolvere un problema più semplice connesso con questo?
Puoi risolvere una parte del problema?
Puoi suddividere il problema in parti, preparando alcune domande intermedie?
Riflette alle operazioni che risolvono alcune delle domande intermedie.
Hai usato tutti i dati?
Terza fase: Mettere in pratica il piano (Carrying out the plan)
Procedi con pazienza e precisione: il piano fornisce un abbozzo generale; ci si deve
convincere che i dettagli rientrano necessariamente in tale traccia, in modo tale che
non resti nessun punto oscuro dove possa celarsi qualche errore.
Sei capace di spiegare il tuo piano e come lo hai attuato?
Elenca tutte le soluzioni possibili
Quarta fase: Verificare (Looking back)
Puoi pensare a un piano alternativo? Se ottieni una soluzione diversa forse vi è
qualche errore nel piano, oppure nell’esecuzione del piano.
Puoi confrontare il tuo piano con quello di altri colleghi?
Valuta il risultato: se non è verosimile forse hai fatto qualche errore.
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MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
ESERCIZIO 7.5 Prepari una presentazione in classe dei problemi degli esempi 7.4 a 7.16, prendendo in
considerazione i diversi piani o approcci possibili e le conoscenze matematiche implicate. Consideri anche
problemi simili da sottoporre agli studenti per indicare possibili vie di soluzione. Consideri problemi
analoghi ai quali si può applicare una strategia già usata.
Ecco l’esortazione di Polya agli insegnanti (p. 24):
«Risolvere i problemi è una questione di abilità vera e propria come, permettetemi i
paragone, il nuotare. Qualunque abilità pratica può essere acquisita con l’imitazione e
l’esercizio. Sforzandosi di imparare a nuotare, si imitano i gesti e gli sgambettii di coloro che
riescono a stare a galla nell’acqua e, a poco a poco, si impara a nuotare… nuotando. Per
imparare a risolvere problemi, è necessario osservare ed imitare come vi riescono altre persone e
infine si riesce a risolvere i problemi … risolvendoli.
L’insegnante che voglia rendere i suoi alunni più abili a risolvere quesiti di matematica
deve scegliere esercizi convenienti e saper risvegliare nei loro animi l’interesse per questo
genere di problemi, procurando loro numerosissime occasioni di cimentarsi sia per imitazione
sia in tentativi originali. Se vuole esercitare gli studenti a quelle operazioni mentali che
corrispondono alle domande ed ai suggerimenti del nostro schema, l’insegnante non deve fare
altro che proporre loro sia quelle che questi ogni qualvolta ciò si riveli utile e spontaneo. Inoltre,
quando egli risolve un problema in classe, è opportuno che finga un poco, mostrandosi quasi
incerto, e che si rivolga a voce alta le stesse domande a cui ricorre in altri momenti per aiutare i
ragazzi. Grazie a questi accorgimenti, gli allievi comprenderanno l’uso corretto di tali domande
e suggerimenti; così verranno a possedere qualcosa di ancora più importante della stessa
conoscenza di una qualunque particolare verità matematica.»
I problemi di matematica in classe
Non ogni possibile quesito rappresenta un problema. Un aspetto da tenere molto presente è il
seguente: una volta risolto un problema, vi è un intero gruppo di quesiti analoghi che “non sono più
un problema”, nel senso che non pongono alcuna sfida, ma scatta un automatismo: il problema si
riduce a un esercizio. Per esempio, le questioni che si risolvono con un’addizione costituiscono un
problema per i bambini che compiono i loro primi passi nel mondo dei numeri, ma immediatamente
dopo diventano “un esercizio con il più”. Lo schema di risoluzione di Polya può anche essere usato
per imparare a riconoscere ciò che costituisce un problema genuino, interessante e adatto a un
gruppo classe a seconda delle loro conoscenze: un problema è una sfida, non appare
immediatamente raggiungibile, richiede la riflessione sul quesito e lo sviluppo di un piano, di una
strategia.
Tuttavia, non è possibile offrire criteri generali su ciò che è un problema, tanto meno su
quando un problema è interessante o corrispondente alle conoscenze di una classe: la scelta è
responsabilità del professore. Ad esempio, rivedendo anche gli esempi 7.4 a 7.16 possiamo notare
che un testo scarno non indica per forza un falso problema. Vi sono alcuni problemi “normalizzati”,
stereotipati, nel senso che ritornano nei sussidiari di generazione in generazioni, con ritocchi dovuti
ad esempio al valore della moneta che cambia, e che potrebbero sembrare anch’essi esercizi
camuffati. Ma è l’insegnante, con la sua conoscenza dei concetti della matematica e la sua
esperienza dei problemi di matematica che deve giudicare caso per caso.
Si potrebbe anche essere tentati di credere che il carattere elementare delle conoscenze
matematiche della scuola primaria non permette di proporre altro che falsi problemi o esercizi
camuffati. Infatti, molti dei problemi che abbiamo proposto negli esempi 7.4 a 7.16 si risolvono in
una o due operazioni, oppure risultano banali se si adoperano gli strumenti dell’algebra. Bisogna
guardare invece alla scuola primaria come uno spazio di libertà nel quale si esplorano problemi
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MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
estremamente semplici con strumenti semplici, procedendo per tentativi, mettendo all’opera i primi
tentativi di schematizzare la situazione con un disegno, un diagramma, una notazione con lettere e
nel quale si impara a discutere i problemi, iniziando dalla comprensione dell’enunciato, dalla difesa
di una certa strategia, alla critica del risultato e all’eventuale modifica della strategia per evitare
l’errore. Questo lavoro permetterà di apprezzare il valore del linguaggio algebrico nella scuola
media inferiore, mantenendo nel contempo la mente aperta a problemi più complessi o che
richiedono altre tecniche di risoluzione.
ESERCIZIO 7. 6 Trovi i problemi fra quelli degli esempi 7. 4 a 7.16 suscettibili di una risoluzione con
gli strumenti dell’algebra.
È essenziale quindi proporre agli alunni veri e propri problemi. Alle volte è possibile
identificare dei problemi nelle attività stesse che i bambini svolgono: bisogna ripartire le pizzette,
oppure organizzare i turni, o mettersi in fila per due, oppure pagare un contributo per pagare
l’autobus per andare in gita. Altre volte i problemi possono partire da un articolo di giornale letto
dall’insegnante mentre sta arrivando a scuola. Ma anche i problemi scolastici dei sussidiari, i
problemi “tradizionali” forniscono molti buoni esempi (tutti gli esemi 7.4 a 7.16, e molti problemi
proposti nelle lezioni di questo corso provengono da buoni manuali scolastici).
Ricordiamo per concludere le conseguenze negative di un atteggiamento rinunciatario nei
confronti dell’attività di risoluzione dei problemi. Il continuo proporre e riproporre “falsi problemi”
o “esercizi camuffati” può essere motivato, alle volte, dalla paura di far sperimentare ai bambini la
paura, la “vertigine” di un problema vero. Vediamo alcuni tipiche idee e comportamenti dei
bambini che sono proprio l’eco di questa paura, quando l’insegnante non ha lavorato su di essa,
facendola diventare uno stimolo:
–
–
–
–
esiste un unico modo di risolvere un problema
ci vuole solo qualche minuto per risolvere un problema
ogni problema si risolve con una operazione (o forse due)
la chiave del successo nella risoluzione dei problemi sta in una parola chiave che
appare nella domanda, che è l’ultima frase.
La paura del problema si manifesta anche sotto altre vesti:
–
–
la convinzione che ci vuole un’idea immediata e geniale (quindi fuori della portata
dello studente) e l’esclusione a priori dei tentativi
la rimozione di un fase molto importante nella risoluzione dei problemi, ossia la
valutazione del risultato, eventualmente la verifica del risultato, che permette anche di
riconsiderare il problema prima di riuscire a risolverlo: spesso gli studenti si
nascondono sotto la frase: “non avevo tempo a disposizione per controllare”.
7.4 I problemi con i bambini prima della scuola dell’obbligo
Nel 1986 lo psicologo inglese Martin Hughes pubblicò un libro intitolato Children and
number in cui presentava le ricerche da lui condotte, anche insieme ad altri collaboratori, relative
alle concezioni numeriche dei bambini molto piccoli. Lo scopo di Hughes era quello di mettere in
discussione le idee sostenute sulla scia della ricerca di Jean Piaget sul fatto che i bambini prima dei
7 anni non avevano alcuna comprensione di due operazioni aritmetiche basilari: addizione e
sottrazione. Hughes sottolineava che egli era stato in grado di emergere – e dovremmo aggiungere
anche in grado di sviluppare e approfondire – la comprensione del numero da parte dei bambini
molto piccoli proprio perché aveva creato occasioni di esperienza numerica che “avevano senso”.
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MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
Ecco quanto racconta Hughes (p. 25-26):
«Il mio personale interesse per l’addizione e per la sottrazione fu svegliato quasi per caso. Un
giorno stavo giocano ad alcuni giochi numerici con un bimbo chiamato Gordon (4 anni e 8 mesi)
dell’asilo nido del Dipartimento di Psicologia dell’Università di Edimburgo. Gli portai una scatola
contenente mattoncini da contare, ma notai che era più interessato a togliere i mattoncini dalla scatola e
rimetterli dentro. Mi apparve evidente che per lui questa situazione era intrinsecamente attrattiva, e
decisi quindi di svilupparla oltre.
Gordon aveva messo dieci mattoncini nella scatola. Le chiesi quanti mattoncini vi fossero lì. Egli
li contò accuratamente, puntando i mattoncini ad uno ad uno. “Vi è dieci”, disse. Presi la scatola, tolsi
tre mattoncini in modo tale che egli potesse vedere i mattoni rimossi ma non potesse vedere quanti
fossero rimasti nella scatola, e chiusi il coperchio.
MH: Ne ho estratto tre, Quanti sono rimasti?
G: Non lo so. Cinque?
MH: Dai un’occhiata e vedi (Apre la scatola)
G: (Conta i mattoncini) Sette!
MH: (Toglie un mattoncino e chiude di nuovo il coperchio) Ne ho estratto un altro. Quanti ne
sono rimasti ora?
G: Non lo so. (Apre la scatola e conta) Sei.
Decisi di semplificare il compito, e svuotai la scatola da tutti i mattoncini. Gordon osservava
quanto misi due mattoncini di nuovo dentro e chiusi il coperchio.
MH: Quanti ora nella scatola?
G: Due
MH: (Aggiunge un mattoncino in modo tale che Gordon lo vede entrare dentro ma non lo può
vedere dentro la scatola) Quanti ora?
G: Tre
MH Sto ponendo un altro dentro (Aggiunge un altro ancora, allo stesso modo)
G: Quattro. Quattro!
MH: E ora sto ponendo dentro ancora due (Lo fa)
G: Sei! Sei!
MH: (Toglie un mattoncino) Quanti ora?
G: (Pausa) Cinque. Cinque!
MH: (Toglie due ma non deve porre la domanda)
G: Tre!
MH: Vuoi vedere se avevi ragione? (Apre la scatola)
G: (Con le braccia spalancate) Guarda!
Gordon era ovviamente intrigato dai problemi che gli stavo ponendo, e si eccitava assai quando
pensava di aver la risposta giusta. Evidentemente egli accettava come genuino il problema di trovare
cosa era nella scatola, e le sue risposte suggerivano che egli era capace di eseguire alcune semplici
addizione e sottrazioni. È palese che aveva avuto un po’ di difficoltà con i problemi iniziali, ma egli
riuscì facilmente a risolvere i successivi quando i numeri coinvolti erano minori.»
Il compito della scatola (the Box task) escogitato da Hughes a partire dalla sua attenzione al
bambino presenta tutte le caratteristiche di un problema (egli difatti usa la parola “problema” per
riferirsi ai quesiti), seppure estremamente semplice e con un enunciato non scritto, ma proposto in
forma orale e legato a oggetti materiali e a gesti fisici: una sfida, che non appare immediatamente
raggiungibile, la quale richiede la riflessione sul quesito e lo sviluppo di un piano, di una strategia.
Come l’insegnante che segue le indicazioni di Polya, egli ha saputo scegliere un problema
“proporzionato alle conoscenze” di Gordon, glielo ha saputo proporre in modo da sollevare il suo
interesse e infine lo ha aiutato a risolvere quel problema e altri simili con domande opportune.
14
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
ESERCIZIO 7. 6 Formuli i compiti proposti a Gordon come problemi, individui i concetti matematici coinvolti
e confronti la descrizione di Hughes con lo schema di soluzione di Polya. Quale è la sfida, ciò che ostacola il
raggiungimento immediato della soluzione?
Nel seguito Hughes propose compiti analoghi a un gruppo di ventitrè bambini dello stesso
asilo nido di età oscillanti fra 2 anni e 9 mesi e 4 anni e 2 mesi, ottenendo reazioni e risposte dello
stesso tenore anche fra i più piccoli. I bambini scuotevano la scatola per sentire i mattoncini,
amavano aprire la scatola per verificare se la loro risposta alla domanda era giusta, e nel contempo
rispondevano alla domanda senza poter vedere i mattoncini. Fra i bambini che mostrarono maggiore
capacità, egli cita il caso di Richard (4 anni e 9 mesi) che rispose correttamente ai problemi
seguenti: cinque mattoncini e uno in più, sei e due in più, un mattoncino tolto da otto, due tolti da
sette, e tre mattoncini tolti da cinque (p. 27):
«Ciò lasciò nella scatola due mattoncini. Decisi di premerlo su una sottrazione apparentemente
impossibile.
MH: Ora voglio togliere dalla scatola tre mattoncini.
R: Non puoi, vero?
MH: Perché no?
R: Devi giusto metterci uno dentro, vero?
MH: Mettere uno dentro?
R: Sì, e allora puoi togliere tre.
Richard aveva chiaramente la situazione sotto totale controllo e rifiutava di essere spiazzato
dalla richiesta impossibile. Anzi, la sua risposa all’ultima domanda mostrava che egli era capace di
eseguire due calcoli mentali in successione: la addizione di un mattone a due mattoni, e la susseguente
eliminazione di tutti e tre i mattoni.»
Esercizio 7.7 Formuli i compiti proposti a Richard come problemi, individui i concetti matematici coinvolti
e confronti la descrizione di Hughes con lo schema di soluzione di Polya. Consideri in particolare la
condizione posta dall’ultimo problema formulato da Hughes (suggerimento: È possibile soddisfare le
condizioni?)
7.5 Tradizione e innovazione didattica nella matematica scolastica: il problema
delle patate
Abbiamo accennato alla fine della sezione 7.1 al fatto che i problemi “tradizionali” sono
stati per un lungo periodo negli anni Settanta e Ottanta, considerati un retaggio del passato da
superare, e da sostituire con aspetti della matematica moderna, come gli insiemi oppure l’algebra.
Alla fine della sezione 7.2 abbiamo anche accennato al fatto che anche i problemi della geometria,
considerati classicamente come la preparazione alla matematica colta, sono stati in quegli stessi
anni considerati un retaggio da superare, un’“anticaglia”: si faceva spesso l’esempio dei tanti
problemi riguardanti i triangoli e i loro punti e rette notevoli (baricentro, altezza, e così via), che
bisognava sostituire con questioni più moderne. Queste esigenze di innovazione erano molto legate
alle profonde trasformazioni sperimentate dalla matematica, sia nei contenuti che nei metodi, nella
prima metà del Novecento, le quali si erano ormai “cristallizzate” e imponevano un'esigenza di
rinnovamento anche ai diversi livelli dell'insegnamento. In quegli anni si fece sentire l'influsso del
modo di porsi davanti alla matematica caratteristico del gruppo di matematici francesi “Bourbaki”,
nonché dei risultati delle ricerche e dei volumi pubblicati da questo gruppo. La famosa
esclamazione di uno di essi, Jean Dieudonné, “abbasso Euclide!”, riflette lo spirito del
rinnovamento auspicato.
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MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
Anche la risoluzione dei problemi, che formava parte tradizionalmente della matematica
scolastica, sembrava destinata a scomparire oppure a subire una profonda trasformazione. Tuttavia,
nella scuola la matematica moderna o “insiemistica” provocò enormi difficoltà per gli studenti e
polemiche e discussioni fra genitori, educatori e teorici. Quindi, a partire dagli anni Novanta si
tornò a difendere i problemi tradizionali e a rivalutare la geometria elementare e i suoi problemi. A
questo punto, però, dei problemi tradizionali sono stati sottolineati due aspetti:
– il primo è il valore pratico dei problemi, non già nelle attività tecniche e pratiche, ma nella
vita quotidiana del cittadino. Secondo i difensori di questo punto di vista, i problemi danno un senso
all’insegnamento della matematica nella scuola dell’obbligo il cui scopo è soltanto quello di fornire
gli strumenti necessari al futuro cittadino, per leggere i giornali, per capire i meccanismi elettorali,
per valutare l’interesse e le spese del conto in banca, per pagare le tasse, per interpretare una cartina,
per giocare consapevolmente la schedina e così via. Questa è la matematica del cittadino, la
matematica delle percentuali (un tipico gruppo dei problemi di proporzionalità) dei cui limiti ci
siamo occupati nella lezione 2. Nel corso di questa lezione abbiamo visto che il ruolo dei problemi
nell’insegnamento della matematica va ben oltre il loro aspetto utilitario.
– il loro valore “cognitivo” dei problemi, ossia il suo ruolo per sviluppare presunte abilità
cognitive pure (le competenze), le quali sarebbe il nucleo dell’educazione, la quale deve girare
attorno alle competenze e non attorno alle delimitazioni tradizionali delle discipline. Secondo
questo punto di vista, si risolvono problemi di matematica non per assimilare i concetti basilari della
matematica, come numero, frazione, divisione, retta, intersezione e così via, ma per sviluppare le
competenze che ruotano attorno al cosiddetto “problem solving”. La matematica, quindi, non è una
delle discipline che contribuiscono alla formazione della mente, ma si deve dissolvere in
formazione della mente, insieme alle altre discipline.
Queste oscillazioni nella visione dell’insegnamento della matematica, e soprattutto i rischi
che la distorsione della tradizione e della perdita del buon senso comportano per la qualità
dell’istruzione, sono ben illustrate, in chiave di humour, da una vecchia storia, che è circolata anche
in Francia nel passato, e che è stata rispolverata fra gli insegnanti spagnoli, e anche ripresa dal
giornale «ABC» nel suo ABC de la educación (“El problema de las patatas”, ABC, martedì
31/10/95, p. 77). Con questa storiella concludiamo la lezione: essa presenta varie “formulazioni” di
uno stesso problema matematico elementare negli anni 1965-75, che corrispondono alle varie
sollecitazioni di cui abbiamo parlato, alcune interne alla matematica (l’introduzione del linguaggio
matematico “moderno”) e altre culturali, derivate anche dall’influsso delle tendenze nella pedagogia
e nelle scienze umane (la tendenza a sostituire il vecchio insegnamento selettivo con quello
comprensivo, allungando la scolarizzazione obbligatoria, e la conseguente trasformazione della
matematica scolastica in matematica del cittadino) le conoscenze acquisite possano essere utilizzate
effettivamente nelle circostanze reali della vita dello studente — e politiche.
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MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
Nel 1960
Un contadino vende un sacco di patate per 1000 pesetas. Le sue spese di produzione
ammontano ai 4/5 del prezzo di vendita. Qual'è il suo guadagno?
Nel 1970, insegnamento “tradizionale”
Un contadino vende un sacco di patate per 1000 pesetas. Le sue spese di produzione
ammontano ai 4/5 del prezzo di vendita, e cioè a 800 pesetas. Qual'è il suo guadagno?
Nel 1970, insegnamento “moderno” (LGE)
Un contadino scambia un insieme P di patate contro un insieme M di monete. La
cardinalità dell'insieme M è uguale a 1000 pesetas, e ogni elemento PM vale una peseta.
Disegna 1000 grossi punti che rappresentino gli elementi dell'insieme M. L'insieme F delle
spese di produzione è formato da 200 grossi punti in meno di quello dell'insieme M.
Rappresenta l'insieme F come sottoinsieme dell'insieme M e rispondi alla questione
seguente: Qual'è la cardinalità dell'insieme B dei benefici? Disegnare B in colore rosso.
Nel 1980, insegnamento “rinnovato”
Un contadino vende un sacco di patate per 1000 pesetas. Le sue spese di produzione
ammontano a 800 pesetas e il suo guadagno è di 200 pesetas. Sottolinea la parola «patata» e
discutine con il tuo compagno.
Tentativi sperimentali della riforma
Un borghese di campagna, capitalista senza spirito di solidarietà, si è arricchito con 200
pesetas nel vendere speculando un sacco di patate. Analizza il testo e di seguito dì quel che
pensi di questo abuso antidemocratico.
Nel 1990, insegnamento riformato (LOGSE)
Dopo l'ingresso della Spagna nel Mercato Comune Europeo, gli agricoltori non possono
fissare liberamente il prezzo di vendita delle patate. Supponendo che vogliano vendere un
sacco di patate per 1000 pesetas, fai un sondaggio per determinare il volume della domanda
potenziale di patate nel nostro paese e l'opinione sulla qualità delle nostre patate in rapporto
a quelle importate da altri paesi, e come tutto il processo di vendita sarebbe soggetto ad
alterazioni se i sindacati convocassero uno sciopero generale. Completa questa ricerca
analizzando gli elementi del problema, mettendo in rapporto gli elementi fra di loro e
cercando il principio del rapporto fra questi elementi. Per finire, fai un quadro di doppio
ingresso, indicando in orizzontale, in alto, i nomi dei gruppi citati, e, sotto, in verticale,
diversi modi di cucinare le patate.
Nota: LGE significa Legge generale di educazione: si tratta di una riforma della scuola risalente all’anno
1970, ancora in epoca franchista, che impose un rinnovamento di tipo insiemistico molto astratto (questi
eccessi sono stati per lo più addolciti dalla pratica e dal buon senso degli insegnanti). Nel 1990 fu promulgata
dal governo socialista una nuova legge generale di educazione (LOGSE), la prima dell'epoca democratica,
concentrata sull’idea della matematica del cittadino.
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MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
Esercizi
1) Quale è stata la forma di trasmissione caratteristica del sapere matematico pratico?
2) Quali testi sono gli eredi odierni delle antiche collezioni di problemi?
3) L’anno 2000, l’ultimo del Novecento, fu dichiarato Anno Internazionale della Matematica
dall’Unione Matematica Internazionale (IMU, International Mathematical Union) con il patrocinio
dell’UNESCO. Queste sono le motivazioni presentate nella risoluzione approvata dall’assemblea
generale dell’UNESCO l’11 Novembre 1997 per sostenere tale iniziativa:
«L’assemblea plenaria,
considerando l’importanza centrale della matematica e delle sue applicazioni nel mondo di
oggi per quanto riguarda la scienza, la tecnologia, le comunicazioni, l’economia e molti altri
settori,
consapevole che la matematica ha radici profonde in molte culture e che pensatori fra i più
notevoli hanno contribuito significativamente nel corso di vari millenni al suo sviluppo,
consapevole che il linguaggio e i valori della matematica sono universali, incoraggiando così e
rendendola adatta in modo ideale alla cooperazione internazionale,
sottolineando il ruolo chiave dell’educazione matematica, in particolar modo nei livelli della
scuola primaria e secondaria, sia per la comprensione dei concetti matematici di base, sia per
lo sviluppo del pensiero razionale,
[…] decide di sostenere l’iniziativa World Mathematical Year 2000»1*
Commenti questa dichiarazione alla luce della riflessione condotta in questa lezione.
4) Ritorni a considerare, alla luce dello schema di risoluzione di Polya, i vari problemi esaminati
nelle lezioni 5 e 6.
1
Versione originale inglese:
«The General Conference
Considering the central importance of mathematics and its applications in
today's world with regard to science, technology, communications, economics
and numerous other fields,
Aware that mathematics has deep roots in many cultures and that the most
outstanding thinkers over several thousand years contributed significantly
to their development, and numerous other fields,
Aware that the language and the values of mathematics are universal, thus
encouraging and making it ideally suited for international cooperation,
Stressing the key role of mathematics education, in particular at primary
and secondary school level, both for the understanding of basic mathematical
concepts and for the development of rational thinking,
Welcomes the initiative of the International Mathematical Union (IMU) to
declare the year 2000 the World Mathematical Year and carry out, within this
framework, activities to promote Mathematics at all levels world-wide,
Decides to support the World Mathematical Year 2000 initiative»
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MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
Esempio 5.2 (il problema del camion); il problema delle lampadine (riquadro Pigrizia e matematica
della lezione 5), esercizi 10, 11,12, 13, 26, 27, 28 della lezione 5; esempio 6.1, esercizi 1, 15 e 16
della lezione 6 (e i problemi svolti in aula durante il corso).
5) Provi a simulare una spiegazione dei seguenti problemi per la classe quinta, usando il metodo di
riduzione all’unità:
a) Tre scatole uguali di caramelle al miele pesano 1,5 kg. Quanto pesano cinque scatole uguali
a queste?
b) Giorni fa la mamma ha pagato un etto e mezzo di prosciutto 3 euro. Quanto spenderà oggi
per due etti e mezzo se il prezzo non è cambiato?
c) Un rubinetto aperto 5 minuti fa aumentare il livello di un deposito di 20 cm. Quanto
aumenterà il livello se si tiene aperto il rubinetto 15 minuti?
d) In un paese, l’anno scorso, sono nati 28 bimbi in media ogni settimana. Quanti bambini
possiamo attendere per il prossimo trimestre?
e) Una macchina fabbrica 20 pezzi all’ora. Quanti pezzi fabbricherà in una giornata di 8 ore?
Quanto ci metterà a fabbricare 15 pezzi? E 150 pezzi?
f) Una macchina ha impiegato 4 ore a percorrere una distanza di 280 km. Quanti kilometri
percorrerà presumibilmente in 5 ore? Quanto impiegherà a percorrere 420 km?
Non scriva proporzioni né usi l’algebra!
Quali conoscenze sono impiegate nei problemi a), c), f)?
Oltre al ragionamento proporzionale, quali altre idee sono usate in d) e f)?
Classifichi i problemi tenendo presente il loro argomento.
6) Provi a simulare una spiegazione dei seguenti problemi per la classe quinta, usando il metodo di
riduzione all’unità:
a) Tre rubinetti uguali sono disponibili per riempire un deposito. Se apro uno di essi, il
deposito si riempie in 12 minuti. Quanto tempo ci vuole per riempire il deposito aprendo
due rubinetti? E se tutti e tre sono aperti?
b) Tre operai tagliano un campo d’erba in 2 ore. Quanto tempo impiegano quattro operai?
c) Un furgoncino impiega 5 ore per andare dalla città A alla città B a una velocità di 100 km/h.
Quanto tempo impiega un camion che circola a 50 km/h. Quanto impiegherà una macchina a
120 km/h?
7) Costruisca una tabella di valori proporzionali per uno sconto del 12 %.
Totale
Sconto
100
200
300
500
1 000
50
25
10
30
8) Usi un metodo per tentativi o pure un metodo di riduzione all’unità per risolvere i seguenti
problemi:
a) “Un albergo ha 400 stanze, di cui sono occupate 280. Quale è la percentuale di
occupazione dell’albergo?”
b)“I 12 maschi di una classe rappresentano il 40% del totale di alunni. Quanti sono in classe,
fra maschi e femmine?
c) Un PC costa 800 euro, ma mi fanno uno sconto del 15%. Quanto devo pagare?
9) Lo zero: la sua storia e il suo significato all’interno del sistema dei numeri nella matematica.
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