Elementi di Matematica Finanziaria Rendite e ammortamenti

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Elementi di Matematica Finanziaria
Rendite e ammortamenti
Università Parthenope
1
Rendite
Si chiama rendita una successione di capitali
da riscuotere (o da pagare) a scadenze
determinate
Si chiamano rate della rendita i singoli
capitali da riscuotere (o da pagare)
2
Rendite
Le rendite si distinguono per varie tipologie
•Rendite certe
•Le rate sono fissate a priori nel numero,
ammontare e epoche
•Rendite aleatorie
3
Rendite
•Periodiche
• le scadenze delle rate sono equispaziate;
l’intervallo costante tra una rata e l’altra è
detto periodo
•aperiodiche
4
Rendite
•Posticipate
• il pagamento della rata avviene alla fine del periodo
•{0, R1, R2,..., Rk,...,Rn-1, Rn,}/{t0, t1, t2,...,tk,...,tn-1, tn}.
•Anticipate
•il pagamento della rata avviene all’inizio del periodo
•{R1, R2, R3, ..., Rk+1,..., Rn, 0}/{t0, t1, t2,...,tk,...,tn-1, tn}.
5
Rendite
•Temporanee
• il numero delle rate è finito (prefissato)
•Perpetue
•il numero delle rate è infinito
6
Rendite
•costanti
• le rate hanno tutte lo stesso valore
•unitarie se le rate hanno ammontare
unitario
•variabili
7
Rendite
Valore di una rendita ad un tempo t
•Valore ritenuto finanziariamente equivalente
alla rendita:
• somma di tutte le rate attualizzate al
tempo t
•Occorre fissare la legge finanziaria di
riferimento
•normalmente si opera in interesse composto
8
Rendite
Valore di una rendita ad un tempo t
•se t<=t0 , istante iniziale, si parla di
• valore attuale della rendita che è
immediata se t=t0, differita altrimenti
•La somma che risulta sufficiente per
produrre tutte le rate della rendita
•se t=tn , istante finale, si parla di
• montante della rendita
•solo per rendite temporanee
9
Rendite
Il caso base
•Valore attuale di una rendita unitaria annua
posticipata immediata di durata n anni,
valutato secondo il regime dell’interesse
composto con tasso di interesse i.
•Si ha:
n
V (0) = ∑ (1 + i )
k =1
−k
1− vn
1 1− vn
1− vn
=
,
=
⋅
= ∑v = v⋅
1− v 1+ i 1− 1
i
k =1
1+ i
n
k
(v ≠ 1, i ≠ 0)
10
Rendite
Il caso base
•Si pone:
1 − v n 1 − (1 + i ) − n
an i =
i
=
i
che si legge "a figurato n al tasso i"
11
Rendite
Applicazione
•Valore attuale di una rendita costante annua
composto con tasso di interesse i e rata R
•Si ha:
1− v
1 − (1 + i )
V(0) = R ⋅ an i = R ⋅
= R⋅
i
i
n
−n
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Rendite
ESEMPIO 1
•Calcolare il valore attuale di una rendita
costante annua posticipata immediata di
durata 5 anni, valutato secondo il regime
dell’interesse composto con tasso di interesse
8% e rata 100 euro.
V(0) = 100 ⋅ a5 0.08
1 − 1.08−5
= 100 ⋅
= 399,271
0.08
13
Rendite
Conseguenze del caso base
anticipata immediata di durata n anni,
•Si ha:
n
1
1− v
a&&n i = ⋅ an i = (1 + i ) ⋅ an i =
v
1− v
che si legge "a anticipato figurato n al tasso i"
14
Rendite
ESEMPIO 2
•Calcolare il valore attuale di una rendita
costante annua anticipata immediata di durata
5 anni, valutato secondo il regime
dell’interesse composto con tasso di interesse
8% e rata 100 euro.
V(0) = 100 ⋅ a&&5 0.08
1 − 1.08−5
= 100 ⋅ (1.08)
= 431,213
0.08
15
Rendite
posticipata differita di t e di durata n anni,
•Si ha:
−t
t/
an i = (1 + i ) ⋅ an i = v ⋅ an i
t
che si legge "a figurato n al tasso i differito t"
16
Rendite
anticipata differita di t e di durata n anni,
•Si ha:
t
v
−t
&
&
⋅ an i = (1 + i ) (1 + i ) ⋅ an i
t / an i =
v
che si legge "a anticipato figurato n al tasso i differito t
" Parthenope
Università
17
Rendite
•Montante di una rendita unitaria annua
posticipata immediata e di durata n anni,
•Si ha:
−n
sn i = (1 + i ) ⋅ an i = v ⋅ an i
n
18
Rendite
•Montante di una rendita unitaria annua
posticipata differita di t e di durata n anni,
•Si ha:
t/
−n
sn i = (1 + i ) ⋅t / an i = v ⋅t / an i
n
19
Rendite
posticipata immediata perpetua, valutato
secondo il regime dell’interesse composto
con tasso di interesse i.
•Si ha:
1− vn 1
a∞ i = lim an i = lim
n
n
i
=
i
20
Rendite
anticipata immediata perpetua, valutato
•Si ha:
1
1+ i 1
a&&∞ i = ⋅ a∞ i = (1 + i ) ⋅ a∞ i =
=
v
i
d
21
Rendite
posticipata differita di t e perpetua, valutato
•Si ha:
−t
t/
a∞ i = (1 + i ) ⋅ a∞ i = v ⋅ a∞ i
t
22
Rendite
•Rendite frazionate:
•Rendite che pagano in una frazione di
anno, ad esempio, 1/m, una rata pari ad
1/m, ovvero complessivamente una unità
all’anno
•Si ha:
− n ⋅m
n ⋅m
1 1 − (ν 1/m )
1 1 − (1 + i1/m )
(m)
an i =
=
m
i1/m
m
i1/m
23
Rendite
•Rendite continue:
•Rendita ideale ottenuta al tendere di m
all’infinito in una rendita frazionaria
•Si ha:
_
a n i = lim a
m
(m)
ni
=
1
δ
an i =
1 − e − δn
δ
24
Rendite
•Rendite continue
•Per le rendite continue, il tempo n può
essere una numero non intero
25
Rendite
•Concorrono a definire
parametri interdipendenti
•V(0), R, i, n
una
rendita
4
1 − (1 + i ) − n
V(0) = R ⋅ an i = R ⋅
i
•conoscendone 3 la relazione permette di
risalire al quarto
26
Rendite
V(0)
Noti V(0), n, i ⇒ R =
an i
R − V(0) ⋅ i
log
R
Noti V(0), R, i ⇒ n =
log(1 + i)
R ⋅ (1 − (1 + i ) − n )
Noti V(0), R, n ⇒ i =
V(0)
27
Ammortamenti
•Una particolare classe di rendita è quella
che rappresenta il piano di ammortamento
di un debito, ossia in quali tempi e con
quali importi si realizza la restituzione di
un capitale S, congiuntamente alla
corresponsione degli interessi
28
Ammortamenti
•Informazioni riportate nel piano
ammortamento:
•
periodo (k=0,1,2,…,n);
rata Rk (in caso di rata costante);
quota capitale Ck;
quota interesse Ik;
debito residuo Dk
di
29
Ammortamenti
•Ammortamento francese
•Rate costanti posticipate
S
R=
an |i
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
D0=S
I1=D0.i
C1=R-I1
D1=D0-C1
I2=D1.i
C2=R-I2
D2=D1-C2
Si prosegue fino a quando Dn=0
30
Ammortamenti
•Ammortamento italiano
•Quote capitali costanti posticipate
S
C =
n
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
D0=S
I1=D0.i
R1=C+ I1
D1=D0-C
I2=D1.i
R2=C+ I2
D2=D1-C
Si prosegue fino a quando Dn=0
31
Ammortamenti
•Possibilità di gestire contratti più complessi
Esempio
• Costo del bene:
• Durata operazione:
• Canoni trimestrali:
• Canoni alla stipula:
• Tasso annuo:
• Prezzo di riscatto:
X=100 milioni
n=2,5 anni
m=4
s=2
i=8,2432%
P=0
Determinare il piano di ammortamento.
32
Ammortamenti
Esempio
• Numero rate trimestrali:
• Tasso trimestrale:
• a figurato
• Rata
• Somma residua:
• Ammortamento Francese.
8
2%
7,3255
10,7233
78,5534
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