DINAMICHE DELL`EDUCAZIONE MATEMATICA:.ORIENTAMENTI E

DINAMICHE DELL’EDUCAZIONE MATEMATICA:
ORIENTAMENTI E PROSPETTIVE
Relazione presentata al XXIII Seminario GIRP di Bressanone, luglio 1994
Angelo Pescarini
Premessa
Una delle definizioni più sobrie e nel contempo comprensive di RICERCA EDUCATIVA viene data
dalla più aggiornata cultura pedagogica anglosassone. Essa non è vincolante e rimane pertanto
"aperta" ad interpretazioni legate ad altre ispirazioni teoriche e culturali, diverse cioè da quelle
tipicamente empiriste e pragmatiste.
Tale ricerca viene infatti definita e intesa come: indagine sul processo educativo nei suoi aspetti
costitutivi e metodologici: sia come individuazione e valutazione di tutto ciò che più direttamente può
riferirsi a tale processo, sia come ricerca delle cause che possono influenzarlo.
Una tale indicazione vale pure, con diversi riferimenti scientifici e culturali, per la ricerca educativa
disciplinare e quindi anche per l'EDUCAZIONE MATEMATICA.
La mia interpretazione del tema proposto intende così tenere conto di una possibile distinzione fra
due livelli di ricerca e di azione:
•
quello della PEDAGOGIA MATEMATICA che persegue l'EDUCAZIONE MATEMATICA
•
quello della DIDATTICA MATEMATICA che persegue l'APPRENDIMENTO MATEMATICO.
La PEDAGOGIA MATEMATICA sviluppa la conoscenza del pensiero matematico. promuove il suo
concorso ad una prospettiva unitaria del sapere, alla creazione di nuovi orizzonti culturali. Educa alla
pratica del metodo interdisciplinare, al raggiungimento di più avanzate consapevolezze
epistemologiche e storiche.
La DIDATTICA MATEMATICA, sui due versanti della ricerca e della prassi (o DIDASSI). mira a
realizzare in modo ottimale l'APPRENDIMENTO MATEMATICO, il suo contenuto concettuale.
metodologico e tecnico.
In un prossimo futuro essa si delinea sempre più come autonoma RICERCA DI BASE degli
insegnanti, della scuola a tutti i livelli.
Qui io tratterò le "Dinamiche dell'educazione matematica" nei due sensi sopra delineati e in funzione
dei vari orientamenti d'ordine PEDAGOGICO-DIDATTICO attualmente più importanti e presenti, non
soltanto come oggetto di ricerca, ma nella vita della scuola.
Una siffatta interpretazione del tema imporrebbe riferimenti epistemologici, storico-critici, psicopedagogici, psico-genetici, ma qui potremo farvi soltanto qualche cenno significativo. Appare
comunque evidente che questa mia scelta postula una diversa formazione iniziale degli insegnanti
per evitare che la matematica venga sempre più a scadere nel tecnicismo, inadeguato di per sé a
concorrere all'intero corpo delle conoscenze, alla formazione culturale di cui si diceva.
Aspetti educativi e formativi della matematica
Recenti ricerche di "psicologia dell'intelligenza"confermano e approfondiscono l'apporto della
"costruzione" matematica e del suo apprendimento alla formazione dell'intelligenza e al suo sviluppo.
Più in particolare essa promuove i processi:
di astrazione (come costruzione di classi);
di concretizzazione (come passaggio dalla classe all'elemento);
di generalizzazione (come passaggio da una classe ad altra più comprensiva);
di particolarizzazione.
La matematica favorisce il necessario superamento del "sincretismo" infantile in relazione alle
progredienti capacità di tenere conto dei condizionamenti percettivi d'ordine GESTALTICO, delle
persistenti attitudini PROIETTIVE su oggetti e loro proprietà.
Si dischiude così per la mente infantile la possibilità di fare le prime analisi e quindi di passare dal
SINCRETISMO alla SINTESI.
1
La matematica educa a riconoscere e a introdurre "criteri" ordinali e quindi a individuare ciò che
caratterizza le STRUTTURE D'ORDINE.
Con la pratica che l'EURISTICA MATEMATICA inaugura fin dai primi passi, si delinea l'approccio al
METODO MATEMATICO e, in particolare, alla dialettica sempre aperta fra ciò che è familiare e ciò
che tale non è, fra il concreto e l'astratto dinamicamente contrapposti a livelli sempre più elevati.
In definitiva, la matematica EDUCA a riconoscere e a praticare le modalità costruttive dei concetti
(Kant), a definire i loro SIGNIFICATI sia in senso ESTENSIONALE (predicati come classi), sia in
senso INTENSIONALE (predicati riferiti ai soggetti singolari, agli INDIVIDUI cui si attribuisce un
NOME).
La matematica consente di vivere il tracciato degli itinerari che conducono alle definizioni di tipo
"nominale", "implicito", "ricorsivo" ovvero costruite per "astrazione". E un tale tracciato è quello
naturale per dar vita ai processi di NOMINAZIONE e poi di SIMBOLIZZAZIONE.
La matematica, fin dai suoi primi elementari approcci, offre le "situazioni" più stimolanti e formative
per avviare la pratica euristica nella risoluzione dei problemi.
Peculiarità scientifiche della matematica
La matematica si presenta, sia come una grandiosa COSTRUZIONE plurisistemica sempre "aperta",
sia come processo di MATEMATIZZAZIONE DEL REALE.
Non tutte le situazioni sono MATEMATIZZABILI, cioè non tutto è riducibile a MODELLO
MATEMATICO.
La "formalizzazione" costituisce l'ultima tappa del metodo matematico e, quindi, del processo di
matematizzazione.
Nelle applicazioni si realizzano in genere due percorsi l'uno inverso dell'altro:
OGGETTI REALI - OGGETTI IDEALI -SIMBOLI DEGLI OGGETTI REALI. (linguaggio semantico) –
SIMBOLI SENZA REFERENTI - (linguaggio sintattico).
Per converso si ha:
SISTEMA SINTATTICO - SISTEMA SEMANTICO - OGGETTI IDEALI - OGGETTI REALI.
Il ciclo completo prevede quindi un passaggio dall'analisi dei fenomeni, alla simbolizzazione degli
oggetti interagenti, alla scoperta delle relazioni fra le grandezze in gioco e loro sequenze derivate,
fino alla costruzione di un "Modello assiomatico formalizzato", di una teoria.
Così una teoria nasce sempre da un problema e si offre per risolvere eventuali altri problemi.
La matematica è un linguaggio. Gli sviluppi di alcune teorie recenti logico-linguistiche, psicolinguistiche e di filosofia del linguaggio, rendono più agevoli le analisi comparate fra lingue storiconaturali, simboliche, logiche, matematiche, formali, artificiali.
La matematica presta LINGUAGGI, MODELLI e TECNICHE ad altre scienze, partecipa più in
generale alla funzione euristica, analogica, materiale, qualitativa e quantitativa tipica dei modelli.
Svolge in tal modo un ruolo importantissimo, decisivo, nel contesto "INTERDISCIPLINARE" della
pratica CONOSCITIVA, APPLICATIVA, INTERPRETATIVA.
La cosiddetta matematica dell'incerto, dopo i primi sviluppi pure importantissimi realizzati nel
settecento e nell'ottocento, ha raggiunto un rilievo fondamentale in relazione al carattere
probabilistico che si attribuisce oggi alla legge scientifica.
Non solo, ma si è pervenuti ad una definizione assiomatica e formale di probabilità che s'inquadra
perfettamente nella teoria della misura matematica.
La matematica descrive in termini QUANTITATIVI e QUALITATIVI forme stabili ed eventi
MORFOGENETICI in vari campi, rinnova perennemente la dialettica del CONTINUO e del
DISCRETO, della QUALITÀ e della QUANTITÀ.
In modo peculiare e distintivo essa è "scienza dell'infinito", la teoria che insegna a confrontare gli
INFINITI ATTUALI.
La matematica può essere interpretata in modo suggestivo come scienza della SIMULAZIONE DEI
PROCESSI, degli AUTOMATISMI e, in modo certamente più garantito, come SCIENZA DELLE
RELAZIONI.
Essa ha forma e linguaggio universali e, nel contempo, si lega alle tradizioni culturali dei vari Paesi
per quanto riguarda indirizzi di pensiero epistemologico e di ricerca.
SUL PIANO CULTURALE la matematica, nella sua storia, ha assunto importanti ruoli; in particolare
essa è stata ed è elemento motore del pensiero filosofico di tutti i tempi e, non a caso, grandi
matematici furono anche grandi filosofi.
2
La scoperta rinascimentale, da parte di artisti e architetti, della prospettiva e la sua utilizzazione nei
modi della rappresentazione delle arti figurative, nel disegno architettonico, ha favorito la nascita della
geometria proiettiva (Desargues).
La scoperta delle GEOMETRIE NON-EUCLIDEE è stata poi un'autentica rivoluzione copernicana
(Clifford). È’ dunque possibile descrivere matematicamente nuovi spazi, nuove geometrie,
indipendentemente da una loro interpretazione fisica. Si scopre così la distinzione fra "verità" e
"coerenza"; "verità" in quanto denota lo stato di cose esistente, "coerenza" in quanto noncontraddittorietà
Non solo, ma la considerazione di spazi a n dimensioni (n>3) ha forse sollecitato, come alcuni
sostengono, la ricerca di nuovi spazi figurativi nella pittura. Ogni qualvolta l'indagine matematica, e
particolarmente geometrica, riesce a individuare la struttura profonda della realtà naturale, di un
sistema logico-formale, dell'espressione artistica, coglie ciò che è decisivo per la funzionalità, la
coerenza, l'armonia delle forme nel reale, nel discorso, nell'espressività.
La matematica educa pertanto all'analisi strutturale delle forme stabili, alla ricerca di importanti
simmetrie nella natura e nell'arte (D'Arcy Thompson, Andreas Speiser, H. Weyl, R. Thom) e in
definitiva al senso estetico.
Alla matematica si deve un'operazione recente di grande rilevanza culturale:
essa ha contribuito in modo decisivo a rimuovere la tecnologia da un ruolo tradizionalmente
subalterno, a integrarla nel processo conoscitivo e non semplicemente "applicativo", a renderla per
certi versi autonoma come scienza dei processi.
La matematica di questo secolo ha svolto un'importante analisi autocritica con conseguenze
irreversibili sulle modalità e le finalità dell'indagine filosofica, su un nuovo modo di intendere la critica
epistemologica e, soprattutto, il ruolo della METAMATEMATICA col suo più alto livello di indagine.
L'orientamento strutturalista ha inaugurato un'analisi su diversi SISTEMI alla ricerca di possibili
ISOMORFIE STRUTTURALI e ha preso corpo una TEORIA DEI SISTEMI (Bertalannfy), dei SISTEMI
COMPLESSI NON-LINEARI con metodi di OTTIMIZZAZIONE che trovano nella tecnologia
INFORMATICA l'arma potente di questo secolo!
Alcuni orientamenti riguardanti l’educazione matematica
Come si è già osservato, esistono diversi orientamenti (o correnti) di pensiero sul modo di intendere i
RIFERIMENTI DI BASE di una coerente PEDAGOGIA MATEMATICA, sul modo di praticare la
"ricerca didattica” e di vivere la "didassi matematica".
S'impone pertanto il rispetto delle distinzioni fra scientificità della ricerca di base e originale
coerenza e creatività della DIDASSI che, a sua volta, può dare il suo concorso alla ricerca di base.
I riferimenti di base sono d'ordine epistemologico, genetico, psicologico, metodologico, storicocritico, ma il tutto si riconduce a concezioni riguardanti il "pensiero matematico" e fra loro diverse:
strutturaliste-formaliste, intuizioniste-costruttiviste, fenomenologiche-gestaltiste, essenzialiste,
operazionaliste.
Penso che la futura preparazione degli insegnanti dovrà tenere conto di tali possibili ispirazioni del
pensiero matematico, senzadiché i corsi istituzionali di "didattica matematica" faranno fatica a
decollare in modo serio e convincente.
La diffidenza e il disinteresse, ancora oggi, di molti matematici verso la DIDATTICA risale a vecchie
riserve sulla didattica e pedagogia tradizionali, ma spesso ad autentiche carenze culturali. Purtroppo
nei nostri Convegni stenta ad emergere il rigore e la serietà di una tale ricerca, prevale un certo
pragmatismo senza principi e una specie di mercatino delle esperienze personali. Una presentazione
comparata di vari indirizzi di ricerca può forse concorrere ad accreditare una diversa idea della
didattica.
Riprenderò pertanto la traccia di un mio discorso di alcuni anni fa1 che, pure differenziandosi, si
ispirava ad un articolo di B. Zimmermann, mentre ora potrebbe essere considerato a integrazione del
bel saggio di Pellerey sulla ricerca teorica psico-didattica, dotato di un'ampia bibliografia, anche se del
contributo italiano si limita a citare soltanto i suoi lavori2.
1
A. Pescarini, "Fondamenti epistemologici e orientamenti metodologici della didattica matematica
nella scuola di base", in PROSPETTIVE EP Anno VIII n.3, 1985.
2
M. Pellerey, "Tendenze nella ricerca in didattica e in psicologia dell'insegnamento della
matematica", BOLLETTINO dei Docenti di Matematica, Ufficio dell'insegnamento Medio, 6501 /
Bellinzona - Svizzera, n.28, 1994.
3
Se fossimo a questo punto la situazione sarebbe assai grave, ma è pur vero che in Italia non è facile
affrontare questi temi di psico-didattica e di epistemologia-didattica. Di conseguenza riesce piuttosto
difficile caratterizzare i vari orientamenti, la loro pratica coerente, rispettare le priorità, affermare un
minimo di deontologia scientifica. Assistiamo alla riproduzione e riproposizione di tecniche didattiche
che lungi dall'essere delle novità, sono presenti da decenni nella pratica didattica!
Come si vedrà, le correnti pedagogico-didattiche che presenterò si diversificano per quanto riguarda
"obiettivi" dell'insegnamento specifico della disciplina e "finalità educative" del discente.
Così, in alcune appare dominante l'attenzione ai primi apprendimenti della matematica e quindi il
riferimento alle questioni psicopedagogiche; in altre correnti l'interesse s'incentra sulla coerenza
epistemologica, sul metodo, sulle tecniche didattiche, in altre si privilegia il contesto delle
possibili applicazioni della matematica.
La schematica rassegna che mi accingo a presentare prende le mosse dai primi anni cinquanta,
anni in cui per la prima volta si delineò un felice incontro fra MATEMATICI, PSICOLOGI,
EPISTEMOLOGI, INSEGNANTI, PEDAGOGISTI con l'intento di innovare profondamente
l'insegnamento matematico. Non daremo giudizi, ma non mancherà una valutazione critica anche
per dare un certo corpo alle scelte che hanno ispirato l'azione personale di chi scrive.
Corrente di ispirazione strutturalista-formalista
La revisione e riproposizione dei contenuti matematici su base "strutturalista" costituisce l'opera
di quell'EUCLIDE-COLLETTIVO moderno che si è presentato sotto lo pseudonimo di N. Bourbaki.
Una operazione così ambiziosa e imponente è dovuta infatti ad un gruppo di matematici fra i più
prestigiosi (A. Weyl, J. Dieudonné, C. Chevalley, ...) che, molto generosamente, hanno dato
apporti originali all'opera comune "Éléments de mathématique".
Un tale orientamento si collega in modo suggestivo e illuminante ad un vasto movimento teorico
che, con diverso successo, ha investito altre discipline come la linguistica, l'antropologia
culturale, la sociologia, la psicologia...
A parte le diversità prevedibili e non indifferenti che un tale orientamento è venuto assumendo
nei vari campi del sapere, le polemiche suscitate pro e contro, si può tuttavia affermare che la
concezione STRUTTURALISTA persegue una visione UNITARIA, SISTEMATICA,
STRUTTURALE appunto ed ECONOMICA della costruzione scientifica.
Una sintesi e insieme una variante della concezione strutturalista in vari ambiti disciplinari prese
corpo con l'opera di J. Piaget “Lo strutturalismo". Emerse così una visione più DINAMICA,
PSICOGENETICA, DIACRONICA, UNITARIA della scienza in grado di sostituire una
classificazione fondata sulle connessioni interne e genetiche a una classificazione riferita
ai caratteri esterni con le loro discontinuità statiche.
Le ricerche di Piaget sulla genesi di alcuni concetti matematici, come quelli di NUMERO, di
SERIAZIONE, di ORDINE, misero in evidenza un significativo parallelismo fra STRUTTURE
MATEMATICHE e STRUTTURE OPERATORIE dell'intelligenza.
Com'è ben noto, secondo Bourbaki la matematica è venuta sviluppandosi evidenziando alcune
strutture fondamentali quali le "strutture algebriche", le "strutture d'ordine", le "strutture
topologiche."
J. Piaget ritiene di aver dimostrato con le sue ricerche che l'intelligenza (sia pure secondo un
ordine psicologico che inverte l'ordine storico) tende a organizzarsi in totalità e sistemi che poi
verrebbero distinguendosi secondo proprietà corrispondenti a quelle tipiche delle strutture di cui
sopra.
Si comprende allora come da questa convergenza di orientamenti abbia potuto verificarsi la
nascita della C.I.E.A.E.M. (Commission internationale pour l'étude et l'améliomtion de
l'enseignement mathématique) ad opera di matematici, logici, psicologi, pedagogisti e semplici
insegnanti.
L'iniziativa e i suoi primi contributi, a partire dagli anni cinquanta, furono recati da J. Piaget, G.
Choquet, E. W. Beth, J. Dieudonné, A. Lichnerowicz, C. Gattegno 3. Ma poi nel corso di quel
primo decennio emerse il ruolo stimolante e critico di W. Servais, F. Papy, L. Felix, E.
Castelnuovo e di un gruppo molto attivo di insegnanti belgi.
Personalmente ho partecipato molto intensamente alla vita della Commission nel corso degli anni
cinquanta e sessanta ed ho assistito al ruolo sempre più impegnato di C. Gattegno e poi di G. Papy.
3
J. Piaget e Alt., "L'enseignement des mathématiques", Delachaux et Niestlé, Neuchatel 1955.
4
Nel corso di quegli anni, nonostante le voci di dissenso, fu certamente dominante l'influenza
dell'orientamento strutturalista; ma poi si delinearono voci prestigiose e personalità diverse (di
ispirazione culturale e metodologica decisamente fuori dalle concezioni strutturaliste) che
determinarono un cambiamento di rotta della Commission (Krygowska, Castelnuovo, Freudenthal,
Fletcher).
Così, se negli anni cinquanta si era imposta una ricerca di ordine psicopedagogico, sul ruolo dei
“materiali strutturati", negli anni sessanta uscirono le opere dedicate alla geometria di H. Levi, E.
Artin, G. Choquet, F. Bachmann, J. Dieudonné e, quindi, i trattati comprendenti la serie di
"Mathématique moderne" di G. Papy.
Ricordo ancora le speranze di quegli anni, i corsi di geometria per i Licei di Delessert, W. Servais, U.
Morin; ma ben presto sperimentazioni didattiche malaccorte e didatticamente insensate
compromisero la pratica possibile di una "didattica strutturale".
Anzi, col fallimento di tali sperimentazioni insorse una specie di conflitto "ideologico" che non seppe
distinguere fra l'opera imponente di N. Bourbaki, col suo apporto di pensiero, e la presunta didattica
cosiddetta bourbakista!
Fu quella una manifestazione di provincialismo culturale che compromise la serietà della critica e del
dibattito, ricondotto poi in estremis nei suoi giusti termini dagli interventi di J. Piaget, H. Freudenthal,
R. Thom.
E ciò anche se il discorso di R. Thom al Congresso I. C.M.I. di Exeter (1972) fu ingeneroso verso i
colleghi riformatori che del resto reagirono in aula per bocca di A. Revuz.
E Thom, con sottile ironia, aveva parlato della decisione "dogmatica modernista" di eliminare la
"geometria elementare" per fare spazio all'analisi, all'algebra lineare, non tenendo conto della portata
semantica delle figure geometriche rispetto alle formule algebriche.
Seguirono correzioni di rotta e chiarimenti importanti da parte di Dieudonné, benché la mozione
equilibrata sottoscritta a Echternach (1965) (ed elaborata alla RENCONTRE di Milano-Marittima della
C.I.E.A.E.M. da A. Revuz) avesse già proposto un tentativo accettabile di soluzione.
Personalmente avevo condiviso quella ipotesi di soluzione del problema e l'autorità scientifica di U.
Morin la fece passare e sia pure contro il parere del gruppo di insegnanti che gravitava intorno alla
figura meritatamente prestigiosa di E. Castelnuovo.
La riforma deve comunque andare oltre l'insegnamento tradizionale, riconoscendo il valore
ineliminabile dell'insegnamento geometrico, ma anche l'importanza della scoperta della sua struttura
algebrico-lineare.
In ogni modo, dopo tanti dibattiti non sempre positivi, emerge il doveroso riconoscimento che in quegli
anni sessanta gli insegnanti secondari (e non soltanto!) poterono quantomeno approfondire, per la
prima volta, una rigorosa e articolata traduzione del Modello euclideo tradizionale in quello
algebrico-lineare-vettoriale.
E oggi, anche le resistenze che soprattutto nel Regno Unito si erano opposte all'adozione del
linguaggio bourbakista, hanno finito ragionevolmente per cedere. Il che non è privo di significato!
Corrente che privilegia la “elementarizzazione della matematica”
È un programma che mira ad invertire l'intento proposto dal Klein di presentare i concetti delle
matematiche elementari da un punto di vista superiore. In sostanza si cerca di presentare le
idee scientifiche ad un livello più elementare, di renderle praticabili nell'insegnamento
secondario, di portarle a conoscenza di un pubblico più vasto di quello destinato per scelta agli
studi matematici.
Si ritiene che a tal fine, la "matematica strutturale", emancipata dalla rigidità e staticità del
formalismo strutturalista bourbakista, possa prestarsi per meglio evidenziare il contenuto primario
dei concetti, il ruolo delle STRUTTURE e delle CATEGORIE matematiche. In altre parole si
afferma che la matematica, liberata dai suoi riferimenti "genetici" e "reali", finisca per essere
fondamentalmente più accessibile.
La didattica matematica e più generalmente disciplinare, non è subordinata alle scienze
dell'educazione, non è scienza sociale, né scienza della comunicazione. La didattica
disciplinare sceglie i contenuti di una materia e si occupa di come insegnarli e favorirne
l'apprendimento.
In Germania Federale questi temi sono stati oggetto di dibattito come tutti quelli che del resto
vengono presentati dalla prestigiosa Rivista Zentralblatt fair Didaktik der Mathematik. Ricordiamo i
contributi di Zimmermann, Kirsch, B.G. Becker, Wàsche, Bauermann...
5
Non molto diversa, anche se la finalità pare privilegiare pur con riserve, il versante strutturalista,
assiomatico-deduttivo, appare l'opera di alcuni matematici di rilievo come G. Pickert, E.H.G.
Steiner, P.J. Hilton e G. Papy.
In particolare, Hilton ha portato semplicità e chiarezza col linguaggio delle categorie nella
matematica di livello secondario. G. Papy sviluppa tuttora quella indicazione utilizzando il
linguaggio suggestivo dei grafi e delle frecce.
È di particolare interesse proprio la relazione da lui presentata a questo XXIII esimo Convegno
G.I.R.P. dal titolo: Graphes en couleurs et catégories4.
Corrente per la didattica del “problem solving” e per il metodo euristico
Dopo i contributi di Polya e di Lakatos è questa una didattica che si sta felicemente affermando.
La didattica del "problem solving" ritiene di cogliere l'autentico spirito creativo del metodo
matematico e tutta l'eredità della pratica euristica.
L'euristica è orientata a sperimentare tattiche e strategie, a suggerire regole generalmente
efficaci, a dare rilievo ai procedimenti per "analogia", al ricorso a "problemi ausiliari", alla
utilizzazione dell'induzione "empirica", "semi empirica", "matematica".
Normalmente i problemi vengono divisi in due classi: nella prima possiamo mettere i problemi che
chiedono di "trovare"; nella seconda i problemi che chiedono di "dimostrare".
Lo scopo dei problemi della prima classe è quello di trovare, nel senso lato di "costruire",
"produrre", "ottenere", "identificare" un certo "oggetto" che si presenta come incognita.
Lo scopo dei problemi della seconda classe è quello di '”dimostrare”, cioè di provare se una
certa proposizione (affermazione) riguardante l'oggetto è "VERA" o (aut) "FALSA".
La dimostrazione consiste in una sequenza di implicazioni logiche, di passi, che partono
dall'ipotesi e si concludono nella tesi del teorema.
Se al Polya va riconosciuta la chiarezza distintiva di siffatte assunzioni, a Lakatos riconosciamo il
merito di avere chiarito il nesso fra teoria e problema. Capire il senso di una teoria ci riporta a
capire i problemi che originariamente essa intendeva risolvere. Ecco che per comprendere i
problemi e la loro genesi occorre "ricostruire le situazioni" in cui essi sono stati originariamente
formulati. Ma a questo proposito osservava acutamente B. De Finetti:
«Taluni pongono abbastanza attenzione al significato e al valore concettuale dei due momenti
estremi, l'impostazione del problema e la discussione del risultato, ma si abbandonano
all'automatismo dell'algoritmo durante lo svolgimento. In tal modo si perde molto, perché molti
elementi utili per comprendere il problema sotto i suoi vari aspetti, per intuire nuove relazioni
attraverso insospettate associazioni d'idee e insomma per mantenere allo stato fluido, vivo, fecondo,
le proprie conoscenze, scaturiscono dall'associare incessantemente ad ogni passaggio formale la sua
interpretazione intuitiva e ad ogni suggerimento dell'intuizione la ricerca di un progresso formale.
È soltanto a queste condizioni che l'algoritmo diventa, per così dire, una forma di pensiero, tutt'uno
con la visione concreta e intuitiva.»5
Ritornando a Lakatos, possiamo osservare che egli fornisce anche una possibile interpretazione
assai produttiva della cosiddetta RICERCA-AZIONE. Questa si realizza in itinere secondo la formula
"migliorare dimostrando" e quindi realizzando l'unità fra "logica della scoperta" e “logica della
giustificazione".
Ecco che il progresso delle conoscenze matematiche non si raggiunge per approssimazione della
verità, ma praticando la cosiddetta °ricostruzione razionale" su cui sarebbe qui piuttosto difficile
insistere.
4
Becker G.,"Möglichkeiten und Probleme des Elementarisierens im mathematischen Unterricht“,
In: Schulwarte (1974) 10/II S. 10-19.
Kirsch A., "Aspekte des Vereinfachens im Mathematikunterricht", in: Westermanns paedagogische
Beiträge (1977) 4, S.
Si vedano i saggi:
Hilton P.J., "Le langage des catégories", Pref. di G. Papy. CEDIC 1973.
Hilton P.J., "Topologie à l’école secondaire", NILO 8, 1971.
Frédérique et Papy, "L'enfant et les graphes", Didier, Paris 1968.
Matthys J.C., "Homotopie entre applications continues", NILO 10. decembre 1971.
5
B. De Finetti, "Matematica logica-intuitiva", Cremonese Roma 1959.
6
In ogni modo, dal Lakatos, ci viene in definitiva l'invito ad abbandonare le "epistemologie" senza
dimensione storica.
Da questi orientamenti metodologici nasce anche una particolare attenzione per il processo
definitorio, per il nesso dialettico dimostrazione - confutazione, per i processi di astrazione e
concretizzazione, di generalizzazione e particolarizzazione.
Normalmente, nella trattatistica matematica, si inverte letteralmente l'ordine naturale delle
acquisizioni, delle procedure, dell'accesso alle definizioni. Per dirla con una battuta, si confezionano
e si espongono "prodotti finiti" quando il problema è proprio quello di come imparare a "produrli"!
Come si vede, si tratta di indicazioni molto sagge anche se non sarà facile conciliare una DIDATTICA
PER PROBLEMI con la costruzione assiomatica che resta pur sempre un momento ineliminabile
della "matematizzazione".
Per concludere, e proprio in riferimento al Tema del Convegno, ritengo di dover citare anche qui due
articoli di A. S. Krygowska dove lo sviluppo dell'attività matematica degli allievi è proprio visto in
relazione al ruolo dei problemi:
Développement de l'activité mathématfque des élèves et ròle des problèmes dans ce développement,
in "L'enseignement mathématique", 12, pp. 293-320.
Sur la nécessité d une conception pédagogique dans la réforme de l' enseignement mathématique, in
"Bulletin de l'APM, 1964, n. 239.
Corrente che privilegia le finalità utilitaristiche e applicative della matematica
Si tratta di un orientamento didattico largamente condiviso e, soprattutto, riconducibile alla tradizione
del pensiero anglosassone d'ispirazione empirista e pragmatista.
Esso si pone in una posizione decisamente critica nei confronti della cosiddetta "matematica
moderna", ma soprattutto della sua ispirazione bourbakista-modernista. E ciò era del tutto prevedibile
se si pensa alle sue ben note riserve nei confronti del "razionalismo" e quindi anche dello
"strutturalismo" di tradizione preminentemente francese.
Fu al secondo Congresso Internazionale del 1972 a EXETER dell' I.C.M.I. che il prestigioso
matematico inglese Sir James Lighthill6 diede la versione più convincente dei rapporti fra
MATEMATICA PURA e APPLICATA. In sostanza egli sottolineò quegli aspetti della EDUCAZIONE
MATEMATICA che «RIGUARDANO UNA CONOSCENZA OPERATIVA DI COME LA MATEMATICA
INTERAGISCE CON ALTRE DISCIPLINE E COL MONDO ESTERNO».
Così, per dare il senso di cosa implica il processo applicativo della matematica, basta osservare che
può esservi più "abilità, più arte, in questo processo di "gettare i ponti" (sulla realtà) che nella
soluzione del problema matematico associato."
E su questo modo di intendere "ASTRAZIONE E CONCRETEZZA", "MATEMATICA PURA" e
"APPLICATA" converge, per sua stessa dichiarazione, il nostro B. De Finetti e, come vedremo, anche
L. L. Radice.
Più precisamente De Finetti osserva7
«il senso d'astrazione si preoccupa dell'economia ed eleganza dei ragionamenti, in quanto tende a
raggiungere il più ampio risultato col minimo sforzo. A differenza di quella che è forse l'opinione più
comune, l'astrazione (almeno in matematica) non significa distacco dai problemi, ma è proprio il
mezzo necessario per trattare i problemi concreti nel modo più pratico, che consiste nel depurarli
dagli eccessi che turbano la visuale e nel riconoscere l'identità logica di problemi apparentemente
diversi...».
L'astrazione pertanto è "quintessenza" del concreto o "multiconcreto" come dirà invece L.L. Radice.
Qui possiamo osservare che una tale nobile versione dell'indirizzo applicativo risulta piuttosto rara. La
mentalità che finisce per imporsi è quella costantemente volta alla ricerca dell'utilità della
matematica. E un tale disegno, se non diviene esclusivo,può essere senz'altro condiviso; ma la
categoria dell'utile (e soprattutto immediato!) non è sufficiente a motivare le stesse finalità
applicative e, ancor meno, a concepire la matematica come una scienza aperta in via di
"costruzione" e quindi in grado di promuovere quella pura creatività che ha tanta parte nell'aprire
nuovi orizzonti nella conoscenza del reale e nelle stesse applicazioni (Lobacewskij, Riemann,
Einstein).
6
Si vedano gli ATTI del Congresso ICMI (1972), editi da A. G. Howson, "Developments in
Mathematical Education", Cambridge University Press, 1973.
7
B. De Finetti, "Matematica logico-intuitiva", Cremonese, pag. 4, Roma 1959.
7
Così André Revuz preciserà criticamente che coloro che credono di dover insistere sulle applicazioni
piuttosto che sulle nozioni matematiche in se stesse finiranno per optare per "l'insegnamento
dogmatico di imitazione, che degenera poi sempre, di fatto, in pura e semplice trasmissione di ricette
inutilizzabili perché mal comprese"8
Fenomenologia, “GESTALT” e didattica gestaltista
L'orientamento "fenomenologico" elaborato e professato in filosofia dal prestigioso E. Husserl ha
avuto un'influenza decisiva sulla nascita della corrente psicologica detta della "GESTALT" (psicologia
della forma) e questa su uno spunto originario della TEORIA DEI SISTEMI. Uno degli assunti
principali della fenomenologia nega che si possa dare una costruzione preliminare di ogni possibile
esperienza.
Ciò che emerge e si rende possibile per l'uomo è la facoltà di una "intuizione razionale delle essenze"
basate a loro volta su strutture immediate e indifferenziate che presuppongono la indissociabilità fra
SOGGETTO e OGGETTO.
Tali strutture, come pure possibilità, sono anteriori ad ogni realizzazione e vengono scoperte da un
atto INTUITIVO.
Così, i prodotti della ragione, le pure essenze SPAZIO-TEMPORALI (FORME) e, quindi, le scienze
EIDETICHE si presentano come produzioni spirituali da accogliere e da arricchire con atti creativi
sempre nuovi.
E però, il senso ORIGINARIO di tali scienze potrà essere accessibile solo se l'intuizione storica
riuscirà ad attivarne la INTENZIONALITÀ.
Ecco che soltanto una storicità più pura potrà aiutarci a recuperare il vero senso del
GEOMETRIZZARE. Per Husserl "l'ingenua genialità" della matematica galileiana finisce proprio per
oscurare quel "senso originario" di cui si diceva e che soltanto la "riduzione fenomenologia" di
ordine trascendentale può tentare di liberare. Galilei, per Husserl, aveva già perduto il senso di
"origine" di quelle pure essenze, tipiche della creazione geometrica, e si volgeva ormai al mondo
dell'esperienza usuale come un "erede".
In altre parole, la geometria ereditata, l'invenzione della "dimostrazione intuitiva",delle "costruzioni
intuitive",non erano più la geometria “originaria" perché svuotata del suo "senso" proprio in questa
"intuitività".
Da qui nasce il problema di un "ritorno" per la formazione del "senso originario" della geometria, della
EVIDENZA che preesiste a quella degli assiomi, che si configura appunto come "intuizione razionale
delle essenze".
Husserl riconosce il valore della PRAXIS umana e il significato della "storia positiva" delle varie
scienze, ma il vero problema che pone Husserl è quello di risalire alle "PROTO IDEALIZZAZIONI"
tipiche del pensiero geometrico.
Si tratta allora di scoprire una storia nascosta che realizzi la "riduzione" necessaria della storia
"empirica" e in grado di acquistare il suo TELOS potenzialmente infinito e dar corpo in tal modo
all'idea di "verità assoluta".
Nasce così la convinzione che la geometria sia valida, in una sorta di universalità incondizionata, per
gli uomini di tutti i tempi; non solo, ma il disvelamento di questo a-priori costituisce per Husserl il vero
problema epistemologico della matematica9.
Così Husserl, per sfuggire al solipsismo, allo psicologismo e pervenire ad una teoria dell'evidenza,
finisce per sancire il primato di un idealismo trascendentale di cui la scienza di oggi diffida.
La Gestalt
La psicologia della "Gestalt" (psicologia della forma) parte dall'ipotesi che le sensazioni elementari
non esistano isolate e cioè come elementi la cui associazione produrrebbe l'atto percettivo (tesi
"associazionista"). I sistemi mentali sono delle "totalità organizzate" che all'inizio si presentano come
FORME o strutture integrali il cui comportamento è determinato dalla "natura intrinseca" dell'insieme.
Ciò significa che gli elementi percepiti in uno stesso campo percettivo (visivo) vengono
immediatamente organizzati in strutture d'insieme (FORME) che obbediscono a certe leggi: della
minima distanza, degli elementi simili, della forma chiusa, della buona cura, della pregnanza...
8
Si veda l'articolo di A. Revuz in "Études sur l'enseignement des mathématiques", a cura di R.
Morris, UNESCO, vol. 2, pag. 110, 1981 Paris.
9
" E. Husserl, "L'origine de la géométrie", PUF 1962.
8
Queste forme non sono quindi la semplice somma dei singoli elementi in quanto al momento della
loro composizione viene modificato il valore percettivo degli elementi che le compongono.
La nozione di FORMA ha assunto significati sempre più vasti e le STRUTTURE PERCETTIVE le
ritroviamo ad ogni livello della gerarchia mentale: nei vertebrati, nei bambini, negli adulti.
Per questo si è pensato di ricorrere alle strutture percettive per spiegare l'attività dei processi mentali.
La tendenza a organizzare le FORME è coercitiva, ma è possibile resistere e vincere tale pressione
per modificare in modo attivo la FORMA mediante una "ristrutturazione" (Umgestaltung).
Questi comportamenti, secondo i gestaltisti, sono validi anche a livello del pensiero. Khöler, Koffka,
Lewin e soprattutto M. Wertheimer sono i protagonisti di questa teoria. Essi convergono, pur con studi
diversi, sulla convinzione che il "pensiero produttivo" insorga al momento di una “trasformazione
strutturale" del materiale ideativo, proprio in modo analogo a quanto avviene a livello percettivo.
Piaget si discosta da questa teoria. Secondo la visione legata al suo "strutturalismo operativo", ciò
che s'impone non è né il tutto né il singolo elemento, ma piuttosto il sistema di relazioni esistenti fra
gli elementi e corrispondenti processi di "composizione". Sostanzialmente, mentre gli psicologi della
Gestalt non distinguono fra origine percettiva dell'intelligenza animale e quella umana, Piaget, come
si è già intravisto, fonda l'intelligenza umana sulle STRUTTURE OPERATORIE e non sulla semplice
PERCEZIONE.
Ecco allora che l'INTUIZIONE in psicologia della FORMA, analogamente a quanto si è visto per la
"fenomenologia", consiste nella presa di coscienza diretta, grazie all'organizzazione interna di una
percezione e di una rappresentazione. Vi è un passo famoso del Wertheimer che caratterizza il
processo attivo della mente umana come tendenza a: raggruppare, accentrare, riorganizzare,
ristrutturare, al fine di migliorare una situazione, di ottenere una "buona struttura". È su questa traccia
che sono nate ricerche e sperimentazioni didattiche fra le quali ricordiamo quelle di C. Stern e di K.
Strunz10.
L’apporto di Hans Freudenthal
Con H. Freudenthal il pensiero fenomenologico e gestaltista oltreché intuizionista raggiunge forse, in
ambito matematico, il momento più alto. In alcune opere fondamentali e memorie stimolanti egli offre
una ricostruzione profonda e originale della fenomenologia didattico-matematica.
Si veda poi il suo libro dedicato direttamente agli insegnanti: "La matematica nella scienza e nella
vita" e, insieme, si considerino le sperimentazioni da lui condotte sull'apprendimento matematico e
più generalmente scientifico.
Il modo adottato dal Freudenthal per porre problemi ai bambini risente molto sia delle tecniche usate
dal Wertheimer, sia di quelle piagetiane.
Egli ipotizza e realizza un'azione didattica analitica, individualizzata, clinica e quindi un'osservazione
in actu di tutte le reazioni e tentativi di spiegazione del bambino in risposta alle nostre provocazioni.
Dopodiché farà seguito l'analisi delle ipotesi infantili e di tutti i tentativi di approccio alla
interpretazione o spiegazione.
Nel pensiero di H. Freudenthal appare evidente una concezione libertaria e insieme aristocratica
dell'educazione. In sostanza egli postula di poter programmare l'accesso alla scoperta, alla
"invenzione", al "pensiero creativo" (per dirla col Fischbein), di poter promuovere le occasioni per i
momenti "produttivi del pensiero" (per dirla col Wertheimer).
D'accordo col Feyerabend, Freudenthal accorda più importanza alla risoluzione di problemi veri,
anche se limitati nella loro portata, piuttosto che alle questioni riguardanti "sistemi globali" e teorie
generali. In altre parole egli non crede che si debba offrire una conoscenza teorica generale per
consentire ai ragazzi di affrontare i problemi.
Così, coerentemente, sia per la ricerca scientifica sia per l'educazione-apprendimento matematico
appaiono indispensabili le risorse dell'INTUIZIONE in senso PSICOLOGICO e MATEMATICO.
Come si vede appaiono abbastanza evidenti certe convergenze del suo pensiero con l'euristica del
"problem solving", ma con più garantite preoccupazioni riguardanti la qualità dell'apprendimento.
I processi di APPRENDIMENTO e quelli di INSEGNAMENTO sono intrinsecamente connessi da una
profonda INTERAZIONE, cosicché i rapporti fra analisi psicologica e analisi didattica vanno
considerai in termini di problematicità, tale cioè da escludere la esistenza di ambiti separati.
10
K. Strunz, "Paedagogische Psychologie des mathematischen Denkens" , Quelle Meyer,
Heidelberg 1958.
"Úber den Film im Mathematikunterricht", in Der Math.unterricht, Fasc. 3/55
9
Per Freudenthal l'interesse di questa indagine fenomenologica si concentra sul bambino SINGOLO e
non su quello "medio" delle statistiche; ne discende quindi in particolare che la ricerca
sull'apprendimento-insegnamento deve essere CLINICA.
In definitiva egli ha elaborato una sua concezione "fenomenologica" della didattica (didassi) al fine di
pervenire ad una approfondita sistemazione dei concetti secondo un apprendimento per "gradi" su cui
ovviamente possono avere incidenza le "strutture matematiche".
Se ha senso portare qui una nota meno ottimistica ed edificante nei confronti di siffatti orientamenti
didattici, dirò che il limite a tutto questo sta nella inadeguata preparazione degli attuali insegnanti, nel
pericolo che essi finiscano per confondere il piano "psicologico" della ricerca sull'APPRENDIMENTO
e quello dell'azione "pedagogico-didattica". Questa deve essere in grado di promuovere la naturale
dialettica fra "concetti spontanei" e "concetti appresi", di, non limitarsi alla semplice ricerca dei
pregiudizi infantili per osservarne la fenomenologia nei tentativi di spiegazione. Purtroppo, anche
persone esperte spesso si illudono, di fronte a certe "illuminazioni", di poter distinguere nel bambino
di oggi quello che è rimasto "naturale" da ciò che è già "culturale".
Il movimento per la riforma
Come è noto, in Italia, nella didattica matematica, si è imposta per lungo tempo l'influenza della
scuola geometrica, e basta fare il nome di F. Enriques per intendersi.
Più lontano, e pieno di riserve, è rimasto invece l'atteggiamento (e l'influenza) degli analisti.
Sarebbe interessante studiare le ragioni di un siffatto sostanziale disinteresse, ma non posso
affrontare qui un problema così arduo e complesso!
Basti comunque questa osservazione per comprendere la soddisfazione che provammo quando, a
metà degli anni sessanta, un gruppo di analisti decise di impegnarsi quantomeno a discutere i
problemi della riforma dell'insegnamento matematico a livello secondario. Fu a Frascati negli anni
1966-67, in occasione dei Seminari dedicati a nuovi programmi liceali, che emersero in modo incisivo
le proposte e le critiche di E. De Giorgi, G. Prodi, S. Ciampa, V. Checcucci, tutti dell'Università di Pisa
o della Scuola Normale Superiore.
Non a caso in quello stesso periodo entrava in crisi la C.I.I.M., presieduta per tanti anni dal geometra
Prof. Luigi Campedelli con una visione lungimirante e anticipatrice sul ruolo della didattica, anche se
ispirata ad una cultura di tradizione classica non sempre in sintonia coi tempi.
Il prestigio scientifico e la profonda saggezza critica e autocritica di G. Prodi, l'aggressività innovativa
del compianto Prof. Ciampa e quella generosa e battagliera del Checcucci, l'intelligenza, lo stile,
l'equilibrio e il gusto della semplicità di V. Villani, finirono per imporsi.
Prodi e Villani innovarono poi il ruolo della C.I.I.M., delle sue iniziative e, nel contempo, produssero
saggi e trattati per i LICEI di notevole pregio scientifico e didattico. Essi assunsero le cattedra di
MATEMATICHE COMPLEMENTARI e di DIDATTICA MATEMATICA dando nuova dignità a questi
corsi universitari, così come avevano già proposto o tentato C.F. Manara, L. L. Radice, F. Speranza a
partire dai primi anni sessanta.
Discorso a parte intendo ora dedicare, sia pure brevemente, a tre matematici di particolare rilievo
quali Bruno De Finetti, Lucio Lombardo Radice, U. Morin.
II primo per la sua originalissima personalità di matematico e di pensatore, per la sua attività
pluridecennale alla presidenza della società MATHESIS e alla Direzione del "Periodico di
matematica", per i suoi contributi interpretativi dei nuovi programmi elaborati a Frascati.
Ugo Morin per le sue ricerche sui fondamenti della geometria, per la centralità del suo ruolo presso
l'Università di Padova, per i suoi corsi di "algebra astratta", per aver dato alla scuola un trattato (in
collaborazione con F. Busulini) di geometria, certamente di ispirazione hilbertiana, ma già aperto a
nuove prospettive di rinnovamento (si vedano i capitoli destinati alle "strutture algebriche", alla teoria
delle grandezze, dei numeri reali, alle proprietà "affini" delle figure).11
L. L. Radice per la sua cultura pedagogica, per la sua formazione moderna di algebrista sulla traccia
dello Scorza (si vedano le sue lezioni di algebra astratta), per le sue ricerche nel campo delle
"geometrie finite", per l'importante scuola di didattica matematica istituita presso l'Università di Roma,
per la sua battaglia alla Direzione della Rivista "Riforma della Scuola", per la collaborazione di cui ha
saputo valersi a cominciare da quelle eccezionali di Emma Castelnuovo, di L. Mancini Proia, di Liliana
Ragusa Gilli, di M. Pellerey (attualmente docente presso il Pontificio Ateneo salesiano).
11
Il Centro U. Morin, creato in suo onore dal Prof. Sitia, vive una notevole attività presso l’Istituto
Filippin di Paterno del Grappa
10
Per L. L. Radice la matematica non è una materia, ma un metodo che parte da situazioni fisiche,
empiriche, fino alla costruzione di strutture astratte. L'astratto non è la negazione, bensì la
moltiplicazione del concreto e cioè un multiconcreto.
L. L. Radice professava il principio di "ragione aperta" verso le diverse ispirazioni epistemologiche e
didattiche, ma era fermo assertore di una didattica euristica e dinamica sulla traccia dell'Enriques. I
concetti vengono presentati nella loro genesi storica e si sollecita l'esercizio dell'intuizione, anche se
variamente intesa dai diversi matematici.
L. L. Radice dedicò molte delle sue riflessioni alla didattica della scuola elementare e io stesso vorrei
potermi considerare su questo versante di sperimentazione e di ricerca. Passai alcuni anni a
diffondere e a interpretare alcuni materiali strutturati quali i "Numeri in colore", una realizzazione del
"geopiano-Gattegno" che mi consentiva di sviluppare in modo originale interi capitoli di "geometria
intuitiva", il "geospazio" da me presentato al Congresso di Madrid (1959) secondo l'impostazione di
una mia relazione presentata al Convegno di Firenze del 1958, (promosso dalla Direzione generale
dell'Istruzione tecnica). Da quegli anni nacque una lunga collaborazione con Zoltan Dienes, un'attività
intensa di aggiornamento degli insegnanti, la sperimentazione condotta con la collaborazione di
qualità assai rara dell'allora maestro Ermanno Pasini, cui volle dare il suo contributo anche il maestro
L. Ponti.
Per la sperimentazione didattica assunsi e feci mia l'idea di "situazione matematica" sulla traccia di
una proposta del Gattegno e di una prima intuizione del Dewey.
Così ho proposto a mia volta la realizzazione di contesti tematici a livello matematico o empirico in
grado di far ripercorrere ai discenti le fasi del processo conoscitivo, la dinamica di pensiero e di
metodo che vi si associa, l'uso delle prime tecniche tipiche delle diverse discipline. Ho così scoperto
che in una tale "situazione" l'osservazione scientifica e la descrizione fenomenologica facilita in
profondità l'apprendimento della lingua (storico-naturale) e l'eventuale suo passaggio a livello
MATEMATICO, SIMBOLICO-FORMALE. Ma una tale descrizione ravvicinata, articolata e analitica
dei fenomeni, porta all'origine della sintassi in quanto più aderente alle azioni, operazioni, alla
possibilità di scoprire i SOGGETTI, i PREDICATI che li qualificano, le INTERAZIONI degli oggetti
materiali (o loro sistemi) cui si riferiscono.
In tal modo si evidenzia il ruolo della RICERCA-AZIONE in quanto muove dall'interno di siffatte
situazioni, del loro contesto, per individuare i problemi da risolvere, le discipline da coinvolgere, le
teorie, le strategie, le procedure, le tecnologie da adottare, i linguaggi da riconoscere.
Cioè quanto è indispensabile per favorire le consapevolezze epistemologiche e, in definitiva, la
pratica della metodologia interdisciplinare, la realizzazione delle finalità educative della matematica.
L'amico Brousseau in Francia ha ulteriormente sviluppato l'idea di "situazione didattica" definendo in
modo originale il rapporto epistemologia-didattica, il concetto di "trasposizione didattica", di "ostacolo
epistemologico".
Così molte prospettive si sono aperte e vanno condivise, anche se appare assai improbabile che la
didattica possa mai configurarsi come una "scienza indipendente".
È questa un'illusione neo-herbartiana o comunque di analoga ispirazione che già allora pretendeva di
poter caratterizzare l'EPISTEMOLOGIA SCIENTIFICA della pedagogia, coi suoi "gradi formali"
dell'azione didattica.
È vero invece che la prassi didattica o "didassi" ha una sua indubbia autonomia, una possibile
originalità e creatività, ma lungi dall'essere espressione di una risorsa estemporanea dell'insegnante
ha il suo fondamento scientifico a livello di una ricerca interdisciplinare preliminare che si sviluppa e
si accresce in itinere. E ciò sulla base di un'azione coerente con le assunzioni adottate in campo
epistemologico, teorico, scientifico, psicologico, storico-critico.
Anche il rapporto MATEMATICA-REALTÀ si presenta particolarmente delicato. Vi è chi pretende che
i concetti astratti della matematica siano di immediata derivazione "empirica", chi li fa nascere dalla
interiorizzazione delle azioni che operano sul "reale", chi concepisce il significato di tali concetti
soltanto in un contesto "strutturale" determinato, chi considera in particolare la GEOMETRIA come un
campo ove si dà RAPPRESENTAZIONE ottimale alla semantica dei CONCETTI, delle RELAZIONI. E
il dibattito sull'insegnamento della geometria cui ho fatto cenno è lì a provarlo. Più modestamente io
resto convinto che non vi sarà soluzione del problema didattico della geometria se non si avrà il
coraggio di partire da esperienze comparate negli spazi delle forme percettive, fisiche, virtuali,
estetiche e, quindi, geometriche. Si tratta comunque di far vivere ai giovani una più penetrante analisi
delle forme ai vari livelli per scoprire il loro valore rappresentativo, semantico, fuori dai
condizionamenti gestaltici (Principio di variabilità percettiva). Acuta è l'osservazione di P. Valery: «Le
differenze fra le cose conosciute costituiscono la conoscenza e la conoscenza è come un luogo
11
geometrico». Tutto ciò che è conosciuto lo è in virtù di una proprietà comune e il significato in
estensione non è altro che la classe degli oggetti che godono della proprietà.12
Si tratta in qualche modo di risalire alle origini del pensiero geometrico, di riconoscere e apprezzare
distinzioni riguardanti la natura delle forme, la loro dinamica, la loro stabilità onde meglio
comprendere il ruolo delle "forme geometriche", dei "gruppi di trasformazioni", la definizione per
astrazione delle G-FORME come "classi di equivalenza" che, rispetto a tali "gruppi", conservano le
proprietà (dette per ciò "INVARIANTI”) che caratterizzano le figure (Forme).
Negli anni sessanta curai la traduzione di opere scientifiche e didattiche di pregio e colsi l'occasione
per scrivere una serie di introduzioni mirate (Choquet, Dieudonné, Papy, Gattegno, Cuisenaire,
Dienes...). Più tardi diedi testimonianza di una sperimentazione che mi portò ad elaborare con l'aiuto
dei maestri già citati (Pasini e Ponti) il progetto P.S.A. (5 volumi più tre Blocchi di schede) e a scrivere
il volume "Un progetto per la matematica nella scuola elementare". Ma tutto questo era nato da un
incontro col Dienes al quale il maestro Pasini volle dedicare i primi risultati della sperimentazione.13
Avevo conosciuto il Dienes nel 1958 presso l'Istituto di psicologia dell'Università di Firenze. Nacque
subito un reciproco interesse perché entrambi impegnati in quel periodo a presentare i nuovi
"materiali strutturati" ai quali egli associava i "Blocchi multibase" e i "Blocchi logici". Ma fu soltanto al
Colloquio promosso dall'UNESCO a Budapest nel 196214 che nacque fra noi una salda e duratura
amicizia e, insieme, una sperimentazione che, su mia proposta, coinvolse appunto il maestro Pasini.
L'orientamento del Dienes era d'ispirazione empirista-costruttivista, non del tutto per me
condivisibile, ma invero largamente utilizzabile15 per alcune indicazioni di Principio e soprattutto per la
ricchezza di tante esercitazioni. Ecco comunque alcuni spunti che ci diedero un serio apporto:
•
PRINCIPIO DINAMICO: ogni astrazione, e perciò tutta la matematica, deriva dall'esperienza. La
formazione dei concetti procede secondo una precisa psicodinamica che l'insegnamento deve
favorire e non contrastare. Si tratta dunque di impostare esperimenti pratici e situazioni in
accordo con il processo di apprendimento che presumibilmente si svolge secondo cicli
successivi.
•
PRINCIPIO DI COSTRUTTIVITÀ: i bambini sanno pensare in modo costruttivo prima ancora che
si sviluppi il pensiero logico. Dunque le situazioni da proporre ai bambini dovranno condurre alla
comprensione costruttiva piuttosto che a quella analitica.
•
PRINCIPIO DI VARIABILITÀ MATEMATICA: tutti gli elementi che non sono essenziali alla
struttura del concetto debbono essere variati onde mettere in luce quanto vi è di veramente
costante. Tale INVARIANTE sarà appunto il concetto matematico.
•
PRINCIPIO DI VARIABILITÀ PERCETTIVA: se l'essenza del processo d'astrazione consiste nel
ricavare proprietà comuni da diverse situazioni, allora si tratterà di predisporre situazioni
percettivamente diverse di una stessa struttura concettuale. Le proprietà comuni sono appunto le
astrazioni che il fanciullo dovrà individuare e approfondire.
Pochi anni dopo assunsi l'incarico di Assessore regionale per la "cultura e l'istruzione" in EmiliaRomagna e concepii subito l'idea di dar vita ad un Istituto regionale di psicopedagogia
dell'apprendimento pensando di affidarle la Direzione al Dienes. Ma, nonostante l’interesse che la sua
azione aveva già incontrato, questa idea apparve subito impraticabile. Nacque comunque l'ISTITUTO,
accolto con vero entusiasmo, nell'intento di dare nuova qualità e impulso alla ricerca
sull'apprendimento logico-matematico-naturalistico-linguistico, alla sperimentazione didattica, alla
pratica della metodologia interdisciplinare.16
Così, a parte un primo contributo del Dienes, apparve subito importante quella del Presidente L.
Heilmann (glottologo-linguista), del Direttore Prof. Tarozzi (pedagogista), del Prof. Raimondi
(italianista), dei pedagogisti Bertolini e Bertin, della Prof.ssa M. L. Altieri Biagi (storico della lingua),
del matematico Prof. F. Speranza. Verso l'Istituto vi fu una generosa collaborazione degli insegnanti e
nacque così una serie di pubblicazioni fra le quali quella scritta in collaborazione da l'Altieri Biagi e dal
Prof. Speranza sull'apprendimento matematico-linguistico.
12
P. Valery, "QUADERNI", vol. III, pag. 6, Biblioteca ADELPHI, 1988, Milano.
Pasini Ermanno, "Incontro con Dienes", Ed. 0/S Firenze 1970.
14
Si veda: "Rapport sur les travaux du Colloque international sur l' enseignement scolaire des
mathématiques", Commissione Unesco d'Ungheria - Accademia delle scienze -. Budapest 1962.
15
" Venti anni più tardi strutturai gli appunti che mi aveva affidato in un libro che riuscì particolarmente
felice:
Z. Dienes, "Psicodinamica del processo d'astrazione", Cappelli editore I.R.R.S.A.E., E-R 1988, Bologna.
16
A. Pescarini e Al., "La riforma possibile", Feltrinelli 1974, Milano.
13
12
L'Istituto, nato nel 1974, ha svolto la sua attività fino alla fine degli anni ottanta, ma poi fu liquidato da
futuri amministratori impreparati a difenderne la peculiarità nei confronti degli I.R.R.S.A.E. di recente
istituzione.
Credo di poter dire che, a partire da quella esperienza, il Prof. Speranza è venuto moltiplicando i suoi
interessi perle questioni psicopedagogiche, ma anche per le ricerche epistemologiche e logiche. Si è
costituito così, per sua iniziativa, un gruppo interuniversitario di ricerca su questioni epistemologiche e
logiche per concorrere alla riforma della prima formazione universitaria dei futuri insegnanti. Sia
nell'I.R.P.A., sia in molte altre iniziative (tra le quali quelle della Soc. Mathesis), Speranza ha avuto
come collaboratore il collega B. D'Amore la cui forza di ricercatore è soprattutto dovuta all'enorme
lavoro svolto direttamente in aula e con molti insegnanti. Ricordo, per esempio, il suo "Progetto Ma.
S.E.", dedicato alla scuola elementare, sperimentato con successo da molti insegnanti e poi
pubblicato per intero in 11 volumi.17
Come si vede, anche da questo assai modesto tentativo di ricostruzione di alcune iniziative
esemplari, non è più il tempo in cui operavano i pionieri della sperimentazione, gli animatori del
"Movimento circoli della didattica" (Campedelli, Manara, Roghi, Chini Artusi ed io stesso con le mie
tecniche innovative), del "Movimento di cooperazione educativa" col contributo primario di B. Ciari.
Ormai gli I.R.R. S.A.E. hanno superato un ciclo di esperienze interessanti e sono già disponibili per
un miglioramento del loro ruolo sia per le attività di ricerca, sia per instaurare nuovi rapporti coi mutati
sistemi dell'amministrazione, dei sistemi scolastici, della formazione professionale. Non solo; ma
anche la C.I.I.M. ha moltiplicato le sue iniziative, promuove Convegni periodici e valutazioni critiche
che stimolano e orientano la ricerca didattica. Di tutto questo si è avuto informazione attraverso
diverse fonti e in primo luogo da parte degli insegnanti che hanno collaborato con la Commissione
"Brocca" per la Riforma della Secondaria superiore. Così, preziose, sagge e decisive sono apparse le
modalità degli apporti di due Ispettori ministeriali d'eccezione V. Vita e L. Ciarrapico, le attenzioni
rigorose e sottili del Prof. Marchi, le osservazioni stimolanti del Prof. Mammana (allora Presidente
della C.I.I.M.), le valutazioni del Centro Studi del M.P.I.
Spero che da quanto sono venuto dicendo e illustrando emerga una prospettiva positiva per la scuola
europea, perla ricerca didattica, per un modo più concorde di intendere il ruolo della epistemologia
nella prima formazione degli insegnanti, così come auspicava J. Piaget in una delle sue ultime
pubblicazioni.18
Non solo, ma lungi dal condividere certe valutazioni pessimistiche all'estremo sulla scuola italiana,
resto convinto sulle sue potenzialità culturali, sulla dedizione convinta della maggioranza degli
insegnanti, sui suoi approdi positivi. E però questo mi induce a ben altra valutazione sulle
inadempienze dello Stato, della politica scolastica di questi anni, sui ritardi clamorosi di un processo
riformatore che si trascina in modo penoso e contraddittorio da molti anni. Ma a questo punto vale il
giudizio politico che di proposito ho voluto evitare per conservare lo spirito con cui ha lavorato la
Commissione "Brocca" in una esemplare ricerca culturale-interdisciplinare durata oltre il tempo di una
legislatura.
Indicazioni bibliografiche
II lettore interessato ad approfondire le sue conoscenze potrà consultare le ampie bibliografie
associate ai volumi:
•
G. Glaeser, "La matematica per chi deve insegnarla", Feltrinelli, Milano 1975.
•
A. Pescarini, "Un progetto per la matematica nella scuola elementare", Feltrinelli, Milano 1977.
•
A. Pescarini e Al.,"Natura Ragione Lingua nelle situazioni di apprendimento", Capelli, Bologna
1979.
e all'articolo del:
•
M. Pellerey, "Tendenze nella ricerca in didattica e in psicologia dell'insegnamento della
matematica", in «Bollettino dei Docenti di matematica», N.28, Uff. In. Medio, Bellinzona 1994.
17
B. D'Amore e Al. Progetto Ma.S.E. Ed. Angeli, Milano, 11 vol. 1986-1993. Gli insegnanti
sperimentatori del Progetto hanno poi prodotto quaderni per bambini. Si veda in particolare il vol. X
del Ma.S.E. Problemi. Pedagogia e psicologia della matematica sull'attività di Problem Solving,
tradotto in diverse lingue.
18
J. Piaget, "Fondamenti scientifici per 1' educazione di domani", in "Perspectives" vol. II, n. 1,
primavera 1972.
13
A integrazione di tali consultazioni, consiglio inoltre le seguenti opere:
•
G. Brousseau, "Les obstacles epistémologiques et les problèmes en mathématiques",
Louvain-LaNeuve, Comptes Rendus de la XXVIII Rencontre de la CIEAEM 1976.
•
"Fondaments et méthodes de la didactique des mathématiques", in «Recherches en
Didactique des Mathématiques», vol. 7.2, 1986.
•
B. De Finetti, "Le proposte per la matematica nei nuovi licei", estratto del «Periodico di
matematiche», serie IV, vol. XLV, n.2, Aprile 1967.
•
"Le stimolanti suggestioni di Exeter", estratto del «Periodico di matematiche», n.6, Dicembre
1973.
•
J. Dieudonné, “l'arte dei numeri", A. Mondadori, Milano 1989.
•
E. Fischbein, "Intuition in science and mathematics", An educational approac., Dordrecht,
Reide11987.
•
H. Freudenthal, "Didactical Phenomenology of mathematical structures", Dordrecht, Reidel
1983.
•
J. Frenkel,"Géometrie pour l'élève professeur", Hermann, Paris 1973.
•
F. Gonseth, "Les mathématiques et la realité?", Blanchar, Paris 1974.
•
P.J. Hilton,"Le langage des catégories", CEDIC, Paris 1973.
•
E. Husserl, "Idee per una fenomenologia pura e per una filosofia fenomenologica", Einaudi,
Torino 1965.
•
Lakatos, "Dimostrazioni e confutazioni", Feltrinelli, Milano 1979.
•
"Mathematics, science, and epistemology", Philosophical Papers, vol 2., Cambridge,
Cambridge University Press 1980.
•
Pescarini, e Al. "Dal discorso sul metodo alla pratica didattica", vol. 1, 2, 3, blocchi di schede
corrispondenti, Ed. Milano, Bologna.
•
Pescarini, "Sistemi formali e dialettica reale", Cappelli 1982.
•
Pescarini, "Spazi e geometrie nella storia", Annali P.I. F., Le Monnier,1986.
Si veda infine l'articolo che mi ha sollecitato a sviluppare ricerche comparate in campo
pedagogico-didattico-disciplinare per la matematica:
•
B. Zimmermann, "Versuch einer Analyse von Strömungen in der Mathematikdidaktik", in
"Zentralblatt für Didaktik der Mathematik", 81/Heft, febbraio 1981.
•
e il mio saggio sul tema: "Il materiale didattico come sussidio organico per l'insegnamento
della matematica", in Archivio Didattico, serie V, Istruzione tecnica e professionale M.P.I.,
Roma 1958.
14