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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA
Prof. Francesco Marchi
1
Appunti ed esercizi su:
La rappresentazione cartesiana di funzioni,
equazioni, disequazioni
15 aprile 2012
1
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1
Lettura di grafici
1.1
Esercizio 1
In riferimento al grafico di figura 1(a), stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:
1. f (−0.5) > 0;
2. f (1) < 0;
3. f (8973, 8) < 0
4. f (−456) > 0
1.2
Esercizio 2
In riferimento al grafico di figura 1(b), stabilire il segno delle seguenti quantità:
g(45698);
g(1);
g(−21)
(a)
(b)
Figura 1: Grafici relativi all’esercizio 3
1.3
Esercizio 3
Dato il grafico in figura 2, stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.
1. La funzione è positiva per x > 0
2. La funzione ha due asintoti
3. La funzione vale zero per x = x1 , x = x2 , x = x5
4. La funzione non ha asintoti orizzontali
5. f (0) = x1
6. limx→+∞ f (x) = x5
7. limx→x5 f (x) = +∞
1
Figura 2: Grafici relativi agli esercizi della sezione ??.
1.4
Esercizio 4
Dato il grafico in figura 3, stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.
1. La funzione è positiva per x > −5
2. f è negativa nel seguente insieme: (−∞, −3) ∪ (0, x1 ) ∪ (x2 , +∞)
3. f (−2) > 0
4. x = x2 è un asintoto verticale
5. limx→x2 f (x) = +∞
6. f è positiva per x > 0
7. f (−5) > 0
8. limx→x− f (x) = −∞
2
9. La funzione ha un asintoto orizzontale
Figura 3: Grafici relativi agli esercizi della sezione ??.
1.5
Esercizio 5
In riferimento al grafico in figura 4(a), completa la tabella 1.
2
Tabella 1: Tabella relativa all’esercizio 5
condizione
f (x)
è crescente in . . .
f (x) > 0
in . . .
f (x) < 0
in . . .
risposta
punti assegnati
]B; −2[
10
] − ∞, A[∪]0, +∞[
10
10
f (−2) . . . 8
10
x ∈]A, 0[⇒ f (x) . . . f (10)
10
f (10) . . . f (B)
10
f (A) = . . .
10
f (A) . . . f (B)
10
B ...A
10
3
Tabella 2: Tabella relativa all’esercizio 6
condizione
−10 > 0
punti assegnati
f also
10
f (−10) > f (0)
10
f (. . .) = 6
10
f (x) = 0
1.6
risposta
se x = . . .
10
x > a ⇒ f (x) . . . 0
10
f (x) < 0
10
per x = . . .
f (x) > 0 ⇒ x > a
10
f (x) 6 0
10
per x = . . .
Esercizio 6
In riferimento al grafico in figura 4(b), completa la tabella 2.
(a) Grafico relativo all’esercizio 5.
(b) Grafico relativi all’esercizio 6.
Figura 4: Grafici relativi agli esercizi 5 e 6.
1.7
Esercizio 7
In riferimento al grafico in figura 5, completa la tabella 3.
4
Tabella 3: Tabella relativa all’esercizio 7
condizione
risposta
punti assegnati
6>b
10
f (b) > f (6)
10
f (x) = 0
in
g(x) > f (x)
...
10
in R
10
g(x) > 0
in R
10
f (x) 6 0
in . . .
10
f (c) = 6
c>
10
80
3
10
g(x) < f (x)
in . . .
10
x = 0 ⇒ f (x) = b
10
x ∈ [a, b] ⇒ f (x) > . . .
10
0 < x < a ⇒ f (x) < 0
10
f (x) < 0 ⇒ 0 < x < a
10
g(x)
è crescente in. . .
10
g(x)
è decrescente in. . .
10
. . . < g(5) < . . .
10
5
Figura 5: Grafico relativo all’esercizio 7.
1.8
Esercizio 8
In riferimento al grafico in figura 10, completa la tabella 4.
6
Tabella 4: Tabella relativa all’esercizio 8.
condizione
risposta
punti assegnati
f (4) = . . .
10
f (−3) = 1
10
f (−5) = . . .
10
f (b) = . . .
10
x > c ⇒ f (x) < 0
10
1 < f (4)
10
f (. . .) = 0
10
sia
x > c;
allora f (x) < f (−3)
10
] − ∞, a[∪]b, c[
la soluzione della disequazione f (x) > 0 è
...
la soluzione della disequazione f (x) > 0 è
...
10
la soluzione della disequazione f (x) < 0 è
...
10
la soluzione della disequazione f (x) 6 0 è
...
10
7
10
Figura 6: Grafico relativo all’esercizio 8.
2
Date alcune condizioni, abbinare il grafico che le soddisfa
tutte
2.1
Esercizio 1
DIVERSI ERRORI, DA RIVEDERE Di una certa funzione f (x) si sa che:
• f (−4) = −f (4)
• la retta di equazione y = 6 è un asintoto orizzontale
• la funzione ha nel punto x = 3 una discontinuità eliminabile
Determinare quale fra i grafici proposti in Figura 7 rappresenta la funzione f (x).
2.2
Esercizio 2
DIVERSI ERRORI: DA CORREGGERE Di una certa funzione f (x) si sa che:
• limx→−3+ f (x) = +∞
• f (4) > 0
• limx→+∞ f (x) > limx→−∞ f (x)
Determinare quale fra i grafici proposti in figura 8 rappresenta la funzione f (x).
8
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 7: Grafici relativi all’esercizio 2.
2.3
Esercizio 3
Di una certa funzione f (x) si sa che:
• La funzione non è definita per valori positivi delle x
• limx→−∞ f (x) = −π
• La retta di equazione x = −6 è un asintoto verticale destro
• La funzione è positiva per x ∈ (−8, 0)
Determinare quale fra i grafici proposti in Figura 9 rappresenta la funzione f (x).
9
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 8: Grafici relativi all’esercizio 2.
3
Date alcune condizioni, inventare un grafico plausibile
Nei seguenti esercizi si chiede di:
1. Stabilire se esiste una funzione il cui grafico soddisfa tutte le condizioni proposte.
2. Nel caso in cui tale funzione esista, disegnarne un grafico compatibile con tali condizioni.
3. Nel caso in cui tale funzione non esista, togliere il minimo numero di condizioni fra quelle richieste
e disegnare un grafico che soddisfi tale insieme, ridotto, di condizioni.
Nota: quando si dice, ad esempio, che la funzione deve essere positiva in ] − 4, 10], si intende che deve
essere positiva solo in tale intervallo (e di conseguenza, altrove, sarà negativa o nulla - o non definita).
Idem quando si dice che deve essere crescente in un dato insieme, e cosı̀ via.
3.1
Esercizio 1
Disegnare il grafico di una funzione che:
1. Sia positiva per x < −2 e negativa per x > −2
2. Abbia la retta di equazione x = −2 come asintoto verticale
3. Abbia un asintoto orizzontale
10
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 9: Grafici relativi all’esercizio 2.
3.2
Esercizio 2
Disegnare il grafico di una funzione che:
1. Abbia per dominio R r {−7; 6}
2. Sia positiva per x < −3 e per 5 < x < 7
3. Abbia la retta di equazione y = 3 come asintoto orizzontale sinistro
3.3
Esercizio 3
Disegnare il grafico di una funzione tale che:
1. Sia crescente in ] − ∞, −2[
2. f > 0 in ] − 5, +∞[
3. f (0) = 1
3.4
Esercizio 4
Proporre un esempio di algoritmo o diagramma di flusso per risolvere gli esercizi della tipologia proposta
in questa sezione.
3.4.1
Il diagramma di flusso
Un abbozzo di soluzione, realizzata con il software yEd graph editor, è proposto in figura 10.
3.4.2
L’algoritmo
Introducendo una variabile contatore, è possibile, sulla base del diagramma di flusso, ideare una procedura
algoritmica per la soluzione del problema.
11
Figura 10: Grafico relativo all’esercizio 4.
3.5
Esercizio 5
Disegnare il grafico di una funzione tale che:
1. x > 2 ⇒ f (x) < 0
2. −3 < x < 5 ⇒ f (x) è decrescente
3. f (−6) < f (−5)
3.6
Esercizio 6
Disegnare il grafico di una funzione tale che:
1. f (0) = f (−2) + 3
2. x ∈] − ∞, −4[∪]2, +∞[ ⇒ f (x) > 0
3. f (x) = 0 se x ∈ {−4, 2}
3.7
Esercizio 7
Disegnare il grafico di una funzione tale che:
1. f è crescente in ] − 2, 2[∪]4, 6[
2. f > 0 in ]0, +∞[
3. f (−3) < f (1, 976)
3.8
Esercizio 8
Disegnare il grafico di una funzione tale che:
1. Ha due asintoti verticali
2. Ha un asintoto orizzontale solo a −∞
3. E’ decrescente in ] − 4, −π[∪] π5 , 6.174[∪]10, +∞[
4. f (3) > 0
12
3.9
Esercizio 9
Disegnare il grafico di una funzione tale che:
1. Ha la retta di equazione y = 6.5 come asintoto orizzontale
2. Non ha asintoti verticali
3. E’ tale che f (−2) < f (5) < f (−1)
13