Ottica geometrica

Ottica geometrica
L'ottica studia i fenomeni luminosi, cioè quelli provocati dall'emissioneda parte di sorgenti di onde
elettromagnetichenello spettro del visibile (430-690 nm).
Alla fine dell'800 fu infatti assodatoche la luce è un'onda elettromagneticacome le onde radio, i
raggi X, le microonde. Per lo studio, però, di fenomeni quali la riflessionee la rifrazione e delle loro
applicazioni pratiche (specchi e lenti) è piu opportuno utilizzare LLrrmodello semplificato in cui si
immaginache la propagazionedella luce sia rettilinea. La sorgenteluminosaemette "raggi luminosi"
raffigurati come semirette.Ciò è assolutamenteplausibile nello studio di fenomenimacroscopici;infatti, per esempio,le ornbre generateda corpi opachi hanno forme simili all'oggetto, a suffiagio della
pr op agazionerettilinea.
Si dicono sorgentiprimariedi luce tutti i corpi che emettonoluce propria (sole, stelle,lampadine...);
si dicono sorgenti secondarietutti i corpi che, ricevendo radiaziornda una sorgenteprimaria la riemettono tutta o in parte (in pratica tutto ciò che è visibile).
Si dice corpo opaco un co{po che non si lascia attraversaredalla luce; si dice trasparenteun corpo
che si lasciaattraversaredalla luce. I corpi trasparentidi dividono in diafani, se consentonodi distinguere i contorni degli oggetti, traslucidi se permettono di vederei contorni solo in manieraimperfetfa.
OMBRA E PENOMBRA
Se la sorgenteè puntiforme, I'ornbra è totale ed ha forma geometricamentesimile all'oggetto opaco.
P
(
*-ir* ua:
Se la sorgenteè estesasi ha una zona d'ombra dove
penombradove arrivano parte dei raggi luminosi.
nessunraggio luminoso e una zona di
r-.i ,--".2
--a/-
./ "
,'-\
\s )
,d,u"ruo
\-./
RIFLESSIONEDELLA LUCE
Valgono le stesseleggi già scritte per le onde in generale.
Vale inoltre il principio di invertibilità del cammino luminoso: mandandoun raggio di luce nella direzione del raggio riflesso, questo viene deviato nella direzione del raggio incidenteoriginario.
In pratica il raggio riflesso ripercorre a ritroso il camminodel raggio incidente.
Il fenomenodella riflessionesi manifestaquando la luce incide su superficiriflettenti dette "specchi".
A secondadella forma della superficieriflettente si possonoavere specchipiani, sferici, parabolici....
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Specchipiani
E' facile verificare, applicandole leggi della riflessione,che I'immagine di una sorgentepuntiforme è
nel punto simmetricodi S rispetto al piano dello specchio.
Se la sorgenteè estesqla sua immaginesarà la figura simmetricadell'oggetto rispetto al piano dello
specchio.
t.
,4\
^
4
tLr
''{ :2
'aPezt/t
a
I
t
5'
Gli specchipiani forniscono immagini virtuali le quali non sono date dall'incontro dei raggi riflessi,
ma dall'incontro dei loro prolungamenti. Inoltre le immagini sono sempre di dimensioneuguale a
quelladell'oggetto.
Specchisferici
Negli specchi sferici la superficieriflettente è una calotta sferica. Se
la superficie riflettente è all'interno, lo specchio si dice concavo, se è
all'esterno, si dice convesso.Nel nostro studio prendiamo in considerazione
calotte sferiche di raggio molto grande, quindi specchipoco curvi. Si parla
di specchidi piccolaapertura,essendol'apertural'angolo sottesodal centro
della sfera sulla calotta.
Negli specchisfericitutti i raggiparalleliall'asseottico si riflettonoin un puntodettofuoco.
V: vertice;C : centro;F: fuoco.
Vogliamodimostrare
che,per piccoleaperture,VF: %1\r7.cioèf :Yzr.
metàdelraggio.
VC=PC:r,
'i
,-
"t
'c559
t-'
{
ltfic
l_
VF ::VC'"
2
- l= -r'.
"î2
FC . cioè il fuoco sta a metà tra centro e vertice.
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La distanzafocaleè la
PC è la normale allo specchionel punto P.
Gli angoli o, sono congruenti per le leggi
della riflessione;inoltre o, : u,' , perché alterni interni. Quindi PFC è isoscele,PF :
Fe. Per l'ipotesi dipartenzasecondocui lo
specchio ha raggio estremamentegrande,
si puo considerare
PF r VF; quindi VF :
Equazionedei punti coniugati.
S : oggettoluminoso;Sr : immagine.
flF:f:distanzafocale;VS:p:distanzadell'oggettodalvertice;Ve:r:raggiodellospecchio;
dalverticedellospecchio.
VSr : q: distanza
dell'immagine
ConsideroPSS,; Fe è bisettrice,valendole leggi della
riflessione; quindi si awà, per il teorema della bisettri-
FS PS
ce: 67= 7q-
f
uL
Per f ipotesi di piccola apertura:
tJ,l
,
TS, V-s
ff, = LS,:PS= fS: quindi
sostituendo
'
+L 5 , = #:
5L'
q
p
^ (,
orrengo:
q_r=r_ptqp-pr=qr-qp.'qr*fp=r*\1
Ingrandimento.
t1-L-?-1.1-1-1
*r.j p
q
r
f,p'q
f
.
6= +
Si definisce ingrandimento il rapporto G =1
dou.[è
of
la dimensionedell'immagine, mentre o è la
dimensione
dell'oggetto.Si può dimostrare
cheI'ingrandimento
è datodalleformuleG = -f^ opp-r
q-f
G
'pure
f
.(peresercizio)
Specchiconcavie immaginiriflesse.
Per disegnarel'immagine di un oggetto, si traccia il raggio parallelo all'asseottico che si riflette nel
fuoco e quello passanteper il centro che si riflette su se stesso.
Caso1
p)r, allora ftq.t
AB è l'oggetto, ab è l'immagine.
L'immagineè realercapovolta
e rimpicciolitae: f<q<r.
42
Caso2
AB è il soggetto, ab è I'immagine.
L'immagine è realercapovoltae uguale. Se: p : r, g : r .
Caso3
kp.t,
allora: q>r.
L'immagine è capovolta e ingrandita.
Caso4
I raggi sono paralleli, l'immagine si forma all'infinito; per p : f, q : -.
\
[ ''\ t"t
Caso6
Dietro lo specchionon c'è luce, I'immagine è quindi virtuale, diritta ed ingrandita.
p<f, allora q<0.
E' il casodello specchioingrandente.
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Specchiconvessied immaginiriflesse.
Il fuoco è un fuoco virtuale (f<0) in cui vanno solo i prolungamenti dei raggi, non i raggi stessi.L'immagine è semprevirtuale, diritta e rimpicciolita.
E' il caso dello specchioin cui vedo immagini rimpicciolite.
7'
b//
Rifrazionedella luce.
DEFINIZIONE Si definisceangolo di rifrazione î, q.r"tlo formato dal raggio rifratto con la normale
alla superficiedi separazionedei due mezzi.
À , , ) , r : v ,' , ' ^
ÀrY=Vri
" r r " ^ ' - " ' " si
" ' -ottiene:
"-'1,,
facendoil' ' rapporto
l"l
vl
V)
1. Raggio incidente,raggio rifratto e normale alla superficiedi separazionedei due mezzi, appartengonoad uno stessopiano.
2. L'angolo di incidenzae di rifrazione sono legati dalla relazione:
'.1
rii
vl
^ = - = nr,,' dove fl,, è I'indicedi rifrazionedel seconsenÍ v2
do mezzo rispetto al primo.
Se n,, > 1 > î t î ulloru il secondomezzo è più rifrangentedel
senl
t
primo.
Dette poi c e v le velocità di propagazionedella luce nel woto e in un mezzo drpropagazionequalc
c
c
siasi,n è I'indice di rifrazione assoluto,si ha la relazione: n == - e q u m q ln t = - : n 2 = î .
y+
Infine,datocherisulta
.u ut
senÎ
=
t'
jL
- r,
si avrà r,'
v2
n2
ut n, r.
e poi lL nt
v)
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Aneolo limite.
'\!
\r\:
,\i
;
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'tta-
>-----_-_-_
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-//
,t =r^6'o
.\
\.
\>
,\l
,
L
,\ . . f i, ) l
"(w*"
v
i-3."
lr
l
Considerandodue mezzi di cui il primo più rifralgente del secondoe aumentandol'angolo di inciderua progressivamente,si raggiungeun angolo / per cui l'angolo di rifrazione è di 90', quindi si ha
solamentepiù la riflessione:questo angolo / è detto angolo limite.
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Quindi
îî
Y4=
"" s e n r
allora do" :\i^
flr2,
r
t ' t possiamo
= îr.z,da
cui sllsr:rsrrrs's€nl
'/
sgn90"
A\
1
UU,<r -.rt1i\-
-> ( -Ql"
=
n)
-----..1 d{l
nl
)
Prismaa riflessionetotale.
Consideriamoun prisma di vetro a sezione
di triangolo rettangolo isoscelee con facce
piane e levigate. Si presenterannodue casi
particolari.
i_
In ognuno dei due casi si ha solamenteriflessione e non rifrazione; i due prismi funzionano come
specchi.Prismi di questo tipo sono util:zzati per esempionei periscopi dei sommergibili.
MIRAGGIO
Il fenomeno del miraggio ha luogo quando gli strati d'aria vicini al terreno sono più caldi di quelli
superiori. Essendola densitàdell'aria semprepiù bassain prossimitàdel terreno, i raggi, attraversando gli strati d'aria, ad un certo punto raggiungonol'angolo limite e vengono riflessi verso I'alto.
L'osservatore vede quindi, oltre all'immagine effettiva dell'oggetto, ancheuna sua immagine capovolta che crea f illusione di uno specchiod'acqua per terra.
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-.*
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-
-",-'
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Í'"2'11t
*ii''
I
FATA MORGANA
E' una situazioneanalogaalla precedentema in cui gli strati d'aria inferiori sono più freddi quindi più
densi di quelli superiori. Il fenomenodella riflessionetotale fa quindi sì che l'osservatoreveda in cielo I'immagine capovolta di un o-ggettoqhe,per esemplo,e rn realtà una nave sul mare.
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45
RIFRAZIONE ATTRAVERSO UNA LASTRA A FACCE PIANE E PARALLELE
paralleloal raggioincidentesullaprimafaccia.
dallasecondafacciaè
Il raggioemergente
t\L
or,1
\
_.--...--:_ '
Ì\i{/Vf e
\ '_
-'- -\:
' ,---) '. ---.---.-'i
r\.
ì'\
at\ éu
Se la lastra è molto sottile si può quindi ipotuzarc che il raggio emergentesia la prosecuzionedel
raggio incidente.
Lenti
Una lente è unmezzo trasparentelimitato da due facce di cui almenouna è curva.
A secondadelle loro caratteristichele lenti si classificanoin:
Biconvessa
Piano convessa
Menisco converqente
Biconcava
Piano concava
Menisco divergente
Ogni lente, avendo due facce con curvature diverse, awà due raggi diversi: viceversai due fuochi
della lente si trovano a uguali distanzedal centro della lente; per la costruzionedelle immagini si utiluzano la distanzafocale e la doppia distanzafocale.
Per la trattazioneseguenteconsideriamolenti sottili, cioè di piccola apertura; ipotizziarnoche i raggi
luminosi siano molto vicini all'asseottico e poco inclinati rispetto ad essoed inoltre che siano raggi
di luce monocromatica.
Se la lente è sottile, tutti i raggi passantiper il centro ottico O non sono deviati.
Nelle lenti convergentii raggi paralleli all'asseottico vengono rifratti nel fuoco.
Nelle lenti divergenti i raggi paralleli all'asseottico vengono rifratti in modo che i loro prolungamenti
si rifrangano nel fuoco virtuale.
EQUAZIONE DEI PUNTI CONIUGATI
Ar
B
î=
,l
ql
I
A
L.
At
u
...\
AB : PO: o; A'B' : i; OF : OF' : f; AO : p; A'O: Q.
I triangoli POB e OB'A' sono simili, quindi:
o 0r-.
.
tq
46
t,
I
.
{
-t
! :
,
L,,,
o
I triangoli POF e A'FB' sono simili, quindi: - =
i
L-Uguagliandosiha:
tll-
e mtme
fqp
q-f
.]-*!
pq
q- f
e moltiplicando:pq - pf : q,f; dividendotutto peî pqf, si ottiene:
= 1 , cioèl'equazione
deipunticoniugati.
7
-q
L'ingrandimento è ancorail rapporto: . - i
-
q-f
p-"f
nt)
COSTRUZIONEDI IMMAGINI FORNITE DA UNA LENTE CONVERGENTE
CasoI
p>2f allora f<q<2f
13
î
ól
I
(l
A
I
'tt4'
'-'.-- l t '
-ù
L' immagineè reale,capovoltarrimpicciolita.
Caso2
p :2f alloraq: 2f
t)
,îi"
I
-l
vl
I
I
I
A
,\
t<
It "
lot
| .'t"
I
J
\r
ól
L'immagine è reale,capovolta,diuguale d imensione.
Caso3
f<p<2falkrrcq>2f
$
î--
, "lA F
1,
-'-' - --{F-'
47
I
rl
L
Caso4
p : f alloraq: oo
g
, î'I"
tl
A
Caso5
p<f allora q<0
L'immagineè virtuale,diritta,ingrandita.La lentefunzionacomelentedi ingrandimento.
COSTRUZIONI,DI IMMAGINI FORNITE DA UNA LENTE DIVERGENTE
Il fuoco della lente divergenteè virtuale (f<0). Qualunquesia la posizionedell'oggetto,si ottiene
sempreun'immaginevirtuale,diritta e rimpicciolita.
;--
î:-t6
t{_
AFN'
POTERE DIOTTRICO O POTENZA DI UNA LENTE
E' il reciprocodellqfocalemisuratain metri. (1/m: diottria)
p=
1
.
î
Equazione
dei costruttoridi lenti:
|
= A - t{;.
;)
dove rr ed rz sono i raggi di curvatura delle due facce e n è I'indice di rifrazione del materialecostituente la lente.
MICROSCOPIO
E' uno strumentoottico che serveper vedereoggetti molto piccoli.
Consta di due lenti convergenti,una detta obiettivo, di altissimapotenza(focale dell'ordine del mm),
una detta oculare (focale dell'ordine del cm),. Le due lenti sono coassialie montate all'estremità di
un tubo metallico in modo che i loro fuochi si trovino ad una distarza D detta "lunghezza ottica"
(circa 16 cm).
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I
j
l
'-\/
dl
L'immagine fornita è virtuale, capovolta e molto ingrandita.
L'ingrandimento fornito dal microscopio è uguale al prodotto degli in grandipnti delle due lenti:
G = Go, 'Goc =
dellavisione
dove0.25è la misurain metridetta"distanza
distinta"
I#,
CANNOCCHIALEASTRONOMICO
Serveper vedereoggettilontani.Constadi due lenti convergenti,l'obiettivoe l'oculare.L'obiettivo
ha distarzafocalemolto maggioredell'oculare,qualchemetrocontroqualchecentimetro.
r"ttJ
À
F.
B
-î
ì-"F
A
I
l\.
|
i+-.f-
--:1
'
sr
r<A'
'l
I
i
IY
I
R
-t.e"
;-'r
L'ingrandimento non è reale, ma è un ingrandimento angolare che equivale all'alrzicinamento
dell'oggetto.Essoè dato dal rapporto: G
= .fou
.fo,'
L'immagine è virtuale e capovolta. Per ottenere immagini diritte, ad esempionei cannocchialiterrestri, si utiluzaunaterza lente detta raddruzatore.
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