Distribuzione Weibull Distribuzione di Weibull

Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Distribuzione Weibull
0 016
0.016
0.014
0.012
0.01
f(t) 0.008
0.006
0.004
0.002
0
0
50
100
150
200
t
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
250
300
Distribuzione di Weibull
Una variabile T ha distribuzione di Weibull di parametri α>0 β>0 se la sua densità di
probabilità è scritta nella forma:
f (t ) 
 t
  1
t  exp  


   




con 0 ≤ t < +∞
da cui deriva una funzione di probabilità cumulata
integrabile in forma chiusa
  t  
F (t )  1  exp   
    
La distribuzione di Weibull è molto usata in ambito ingegneristico per la sua flessibilità:
- per β = 1,
1 è una esponenziale
i l negativa
i
- per β = 2, è simile ad una log-normale
- per 3.5 < β < 4, è simile ad una gaussiana
Il percentile si trova invertendo la formula di F(t):
t p     ln( 1  p ) 
1 
1
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Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Distribuzione di Weibull
Variazione della forma di pdf e cdf al variare di β
(α = 100 s cost)
PDF
CDF
0.016
1
 = 1
 = 2
 = 4
0.014
0.012
0.01
0.8
F(t)
f(t) 0.008
0.6
0.4
0.006
0.004
 = 1
 = 2
 = 4
0.2
0.002
0
0
50
100
150
t
200
250
0
0
300
50
β è detto parametro di forma
100
200
t
250
300
Da notare che F ( )  63.2%
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Distribuzione di Weibull
Variazione della forma di pdf e cdf al variare di α
PDF
(β = 2 cost)
CDF
0.02
1
 = 50
 = 100
 = 200
0.015
f(t)
150
0.8
F(t)
0.01
0.6
0.4
0.005
0
0
 = 50
 = 100
 = 200
0.2
50
100
150
t
200
250
300
0
0
50
100
150
t
200
250
300
α è detto parametro di scala
2
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Distribuzione di Weibull
E’ inoltre in grado di descrivere la vita dei componenti durante le loro diverse “età”:
- per β < 1, il tasso di guasto è decrescente
- per β = 1, il tasso di guasto è costante

f (t )
f (t )

  t  1
h(t ) 
- per β > 1, il tasso di guasto è crescente
R(t )

1  F (t )
Variazione della forma della funzione tasso di
guasto h(t) al variare di β, (α = 1 s cost)
10
=1
=0.5
=2
 4
=4
8
h(t)
6
4
2
0
0
1
2
3
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Affidabilità delle costruzioni meccaniche
4
t
5
6
7
8
Distribuzione di Weibull
La distribuzione di Weibull è caratterizzata anche dal cosiddetto effetto scala:
Se si ha un sistema costituito da n componenti identici in serie, la cui affidabilità è
descritta da una Weibull di parametri α e β,
β allora l’affidabilità dell’intero sistema è
descritta ancora da una Weibull, di parametri β e αtot = α/n1/β
Infatti,
 t
R1  R2  R3  Rn  exp  
   




  t  
  t  
 
Rtot  exp n    exp 
   tot  
    
Rtot  R1  R2  R3  Rn
3
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Distribuzione di Weibull
Distribuzione di Weibull a 3 parametri
Così come per l’esponenziale negativa, esiste la versione definita per valori di t ≥ t0
La cui funzione di probabilità cumulata è espressa da:
  t  t0   
F (t )  1  exp   
 
    
con t0 ≤ t < +∞
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Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Esercizio
Distribuzione di Weibull
tratto da es. 1.11 e 1.12 del libro
Si consideri della molle sospensione per auto, la cui vita a fatica pulsante è descritta da
una legge di Weibull con α=300000 cicli e β = 2. Si calcolino:
1. I percentili 10, 50 e 90%
2. La percentuale di pezzi che si rompe prima di 100000
3 Il tasso di guasto a 200000 e a 300000 cicli
3.
i li
4. Se un auto montasse queste stesse molle su tutti e due gli assi, a quale numero di cicli
corrisponderebbe la probabilità di cedimento del 10% per il sistema complessivo?
4
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Distribuzione di Weibull
Esercizio
tratto da es. 1.11 e 1.12 del libro
Si consideri della molle sospensione per auto, la cui vita a fatica pulsante è descritta da
una legge di Weibull con α=300000 cicli e β = 2. Si calcolino:
1. Il percentile 50%
t p     ln(1  p ) 
1
t10%  300000   ln(1  0.1)   97378
12
t50%  300000   ln(1  0.5)   249766
12
t90%  300000   ln(1  0.9)  455228
12
2. La percentuale di pezzi che si rompe prima di 100000
  1000002 
F (100000)  1  exp 
   0.1052  10.52%
  300000 
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Distribuzione di Weibull
Esercizio
tratto da es. 1.11 e 1.12 del libro
Si consideri della molle sospensione per auto, la cui vita a fatica pulsante è descritta da
una legge di Weibull con α=300000 cicli e β = 2. Si calcolino:
3. Il tasso di guasto a 200000 e a 300000 cicli
ht  
  1   t 
t   
t  


h(200000) 
2
20000021  4.44E  06 guasti/ciclo
3000002
h(300000) 
2  300000
2
 6.66E  0.6 guasti/ciclo

 
300000 300000 300000
2
(essendo β > 1, il tasso di guasto cresce)
5
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Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Esercizio
Distribuzione di Weibull
tratto da es. 1.11 e 1.12 del libro
Si consideri della molle sospensione per auto, la cui vita a fatica pulsante è descritta da
una legge di Weibull con α=300000 cicli e β = 2. Si calcolino:
4. Se un auto montasse queste stesse molle su tutti e due gli assi, a quale numero di cicli
corrisponderebbe la probabilità di cedimento del 10% per il sistema complessivo?
Considerando inservibile il sistema quando
uno solo dei suoi componenti va fuori uso
 tot 

1
n

I vari componenti possono essere
ricondotti ad un unico sistema in serie
300000 300000

 150000 cicli
1
4
2
4
Occorre quindi calcolare il percentile
10% per il sistema complessivo
t p   tot   ln(1  p)
1
12
t10%  150000  ln(1  0.1)  48689 cicli
6