Modellazione condensatore

Corso di Tecnica del Freddo Modellazione condensatore
A.M. 20/3/2014
Tra le varie tipologie di condensatore, quello più consolidato nell’ambito della refrigerazione
domestica è il tipo a fili aderenti. Di norma tali condensatori sono realizzati con un singolo
passaggio di tubo e numerosi fili d’acciaio saldati ad esso. Altre tipologie hanno il tubo inserito in
una lamiera tagliata e piegata in modo da formare una serie di alette inclinate. In ambo i casi il
condensatore è posto sul retro del frigorifero o del congelatore.
I condensatori a ventilazione forzata invece sono di norma realizzati con batterie alettate, ma sono
poco utilizzati per la refrigerazione domestica.
Si stanno invece diffondendo gli “skin condenser”, nei quali il tubo è applicato tramite film adesivo
al pannello di rivestimento esterno del frigorifero, che poi trasferisce il calore all’ambiente esterno
per convezione e irraggiamento. In tal caso si sfruttano le pareti laterali e frontali.
Fig. 1 – Condensatore a fili aderenti
Facciamo inizialmente riferimento ad un condensatore a fili aderenti. Trattandosi di un
condensatore statico, lo scambio termico tra la superficie e l’ambiente esterno avviene per
convezione naturale ed irraggiamento. Internamente invece si ha convezione forzata tra gas e parete
nel tratto iniziale, scambio termico per condensazione nel tratto centrale e convezione forzata tra
liquido e parete nel tratto finale di sottoraffreddamento. Tutti questi fenomeni verranno nel seguito
analizzati, fornendo le correlazioni necessarie alla costruzione di un modello di calcolo. Il
condensatore verrà suddiviso in tratti elementari, per ciascuno dei quali si scriverà il calore
scambiato in termini di conduttanza termica, costante sull’elemento:
Q& elem = UAelem (Tref − T∞ )elem
(1)
La conduttanza è funzione delle resistenze termiche in serie entro, attraverso e fuori dal tubo:
 1
ln (ro / ri )
1
1 

= Ri + Rt + Ro = 
+
+
2πk∆z
UAelem
Aoα o  elem
 Aiα i
(2)
ove i pedici i e o indicano l’interno e l’esterno del tubo, A ed α le superfici ed i coefficienti di
scambio, k la conducibilità del materiale del tubo e ∆z la lunghezza del tratto elementare. Obbiettivi
possibili di un’analisi termodinamica del condensatore sono l’individuazione del punto di inizio
della condensazione, il calcolo della massima temperatura superficiale nel tratto di desurriscaldamento e il calcolo del grado di sottoraffreddamento, a partire dalle condizioni di ingresso
al condensatore, determinate a loro volta dalla condizione di funzionamento del compressore.
1. Scambio termico esterno
Fig. 2 – Tratto elementare di condensatore (in grigio)
Nei condensatori a fili aderenti la serpentina a singolo passaggio di tubo cilindrico è collegata per
saldatura ai suddetti fili per estendere la superficie di scambio:
Ao = At + Aw = π (d t ,o p w + 2d w pt )
(3)
ove i pedici t e w indicano rispettivamente il tubo e il filo. L’elemento ∆z è costituito da un tratto di
tubo lungo quanto il passo tra i fili pw con attaccato da ambo i lati un tratto di filo di lunghezza pari
al passo tra i tubi pt.
In analogia con la consueta trattazione sulle alettature, si può definire un’efficienza dei fili dal punto
di vista dello scambio termico come rapporto tra il calore effettivamente scambiato e quello che
sarebbe scambiato se tutto il filo fosse alla temperatura superficiale del tubo. Trascurando la
variazione nel coefficiente di scambio convettivo, l’efficienza è quindi data dalla relazione:
ηw =
Tw − T∞
Tt ,o − T∞
(4)
che può essere utilizzata per valutare una temperatura media equivalente del filo Tw dati che siano la
temperatura superficiale del tubo Tt,o e la temperatura ambiente T∞. Risolvendo l’equazione di
Fourier per il tratto di filo lungo pt/2, di conducibilità termica kw, adiabatico all’estremità per motivi
di simmetria, si ha infatti:
tanh (m pt / 2 )
ηw =
m pt / 2
1/ 2
ove
 4h 
m =  w 
 kwd w 
(5)
Il coefficiente di convezione costante hw e la temperatura Tt,o che compaiono nella 4 e nella 5 sono
inizialmente incogniti e devono essere ipotizzati per innescare un processo iterativo. Ai fini del
calcolo del calore complessivamente scambiato per convezione e irraggiamento si userà poi un
valor medio pesato in funzione delle aree:
Tex =
AtTt ,o + AwTw
Ao
(6)
Sostituendo le relazioni 3 e 5 nella 6, si ha:
Tex =
Tt ,o + ψ ηw (Tt ,o − T∞ ) + ψ T∞
1 +ψ
(7)
ove si è utilizzato un fattore geometrico ψ:
ψ =
Aw
p d
=2 t w
At
d t ,o pw
(8)
Il coefficiente di scambio globale è la somma di un coefficiente convettivo e uno radiativo:
ho = hc + hr
(9)
Lo scambio termico radiativo è dato da:
hr = ε appσ
Tex4 − T∞4
Tex − T∞
(10)
ove σ = 5.67 ⋅ 10 −8 W K-4 m-2 è la costante di Boltzmann ed ε app = 0.88 è un valore di emissività
“apparente”, calcolato a partire da un valore adeguato per una superficie smaltata (0.91) e ridotto
per tener conto del fattore di vista non unitario tra i tubi/fili e l’ambiente.
Per lo scambio termico convettivo occorre distinguere tra i tratti di collegamento variamente
inclinati e privi di fili che sovente collegano il condensatore al compressore (vedi tratto inclinato in
Fig. 1) e i tratti orizzontali con fili aderenti. Per i primi verosimilmente non si ha condensazione e
quindi all’interno si ha un normale scambio termico monofase; all’esterno si ha convezione
naturale, sintetizzabile mediante una classica correlazione tra numero di Nusselt e numero di
Rayleigh:
Nu = C ⋅ Ra a
(11)
Per i secondi si può applicare una correlazione semi-empirica dovuta a Tagliafico e Tanda (1997):
 Ra ⋅ H 

Nu = 0.66

 d t ,o 
0.25
0.25
 
 d t ,o   −sw / ϕ 
 e
1 − 1 − 0.45

 H  
 

(12)
nella quale H è l’altezza complessiva del condensatore, in funzione della quale si calcola il numero
di Rayleigh:
 βρ 2 c p 
 g (Tt ,o − T∞ )H 3
Ra = 

 µ k  aria
(12 a)
e gli altri parametri sono:
0.4
28.2  0.9 −1  28.2 
ϕ = 
 s w st + 

 H 
 H 
st =
pt − d t ,o
;
d t ,o
sw =
0.8
1/ 2
 264 


T −T 
t
,
o
∞


sw−1.5 st−0.5
pw − d w
dw
(12 b)
(12 c)
In ogni caso, il coefficiente di scambio convettivo è:
hc =
Nu ⋅ k aria
H
(13)
2. Scambio termico interno
Di norma nei condensatori si ha una prima zona di de-surriscaldamento con parete del condotto
asciutta, seguita da una zona di de-surriscaldamento con parete bagnata, da una zona di
condensazione vera e propria ed infine da una zona di sottoraffreddamento del liquido.
Per la zona di de-surriscaldamento si può far riferimento alla correlazione di Gnielinsky già
richiamata a proposito dello scambio termico nel capillare. Il fattore d’attrito che compare nella
suddetta correlazione e che determina le perdite di carico può essere calcolato con la correlazione di
Churchill.
Il coefficiente di scambio termico per la condensazione entro tubi cresce sensibilmente con il titolo
del vapore e con la portata. Viceversa, è indipendente dalla differenza di temperatura a parete
(Tsat − Tw ) , ove Tsat è la temperatura locale di saturazione e Tw è la temperatura di parete.
Fig. 3 – Regimi di flusso nella condensazione entro tubi lisci orizzontali
Come mostrato in Fig. 3, la condensazione inizia con un regime anulare nel quale il vapore che
scorre a velocità più elevata rispetto al liquido può strappare minute goccioline dalle ondulazioni
del film liquido. Al procedere della condensazione si ha una progressiva diminuzione della velocità
della fase vapore e uno spessore crescente del film, soprattutto nella parte bassa del tubo
(stratificazione). Nel caso di flussi elevati, le ondulazioni del flusso stratificato possono raggiungere
la sommità del tubo e dar luogo ad un moto con bolle allungate di dimensioni progressivamente
decrescenti. Nel caso di flussi moderati invece si può avere la sopravvivenza della fase vapore sino
alla fine del condensatore (si rammenti che si hanno frazioni volumetriche di vapore ε relativamente
elevate anche con valori molto bassi del titolo, essendo il volume specifico del vapore molto
superiore a quello del liquido).
La fase liquida si forma su tutto il perimetro del tubo, ma scorre per gravità sulle pareti,
raccogliendosi sul fondo ove poi scorre in direzione assiale (Fig. 4). Per basse velocità del vapore, il
moto del film sulle pareti è laminare e orientato verticalmente. Per alte velocità si può avere un film
turbolento e una componente assiale di velocità.
Un modello fenomenologico della condensazione basato sulle strutture locali del flusso e sugli
effetti di interazione alle interfacce tra le fasi è quello proposto nel 2003 da El Hajal, Thome e
Cavallini. Esso ha ampia validità: velocità di massa tra 16 e 1532 kg m-2 s-1, diametri interni dei tubi
tra 3.14 e 21.4 mm, pressioni ridotte da 0.02 a 0.8 e titoli del vapore tra 0.03 e 0.97. La mappa dei
regimi di flusso è quella introdotta dagli stessi autori (2003 b). Il modello è stato testato per 20
diversi fluidi, comprendenti fluoro-carburi, miscele e idrocarburi, tra i quali anche l’iso-butano.
L’errore è di norma inferiore al 20%.
Fig. 3 – Condensazione in flusso completamente stratificato
A fronte di una geometria come quella mostrata in Fig. 4, i parametri geometrici utilizzati dal
modello sono gli stessi già introdotti per l’evaporazione (Fig. 5).
Fig. 5 – Flusso stratificato (a sin.), anulare e generalizzato (a destra).
La differenza sostanziale rispetto all’evaporazione è che in condensazione la parete del tubo non è
asciutta, ma bagnata dal film discendente; tuttavia la quantità di fluido nel film è piccola rispetto a
quella contenuta nel flusso stratificato. In sintesi: per il moto anulare (al centro) si considera uno
spessore uniforme di liquido, trascurando gli effetti della gravità; per il moto completamente
stratificato (a sinistra), si considera una geometria equivalente (a destra) con un settore di corona
circolare di spessore uniforme δ. Pertanto l’angolo θ varia da un valore massimo θstrat
corrispondente a flusso completamente stratificato ad un valore nullo per il moto anulare.
Per quanto riguarda lo scambio termico, esso è diviso in due parti (Fig. 6):
sul perimetro dell’arco di ampiezza (2π − θ ) ove si ha flusso stratificato si ha convezione
forzata in regime turbolento, con coefficiente di scambio α c
-
sull’arco di ampiezza θ si ha la condensazione del film con coefficiente di scambio α f .
-
Fig. 6 – Schematizzazione del flusso
Per quanto riguarda il flusso discendente del film, si applica la classica teoria di Nusselt (1916) che
è valida per flussi laminari, trascurando il trascinamento del film da parte del flusso di vapore.
Quindi, l’espressione generale per il coefficiente di scambio locale α(x) mediato sul perimetro è:
α (x ) =
α f θ + (2π − θ )α c
2π
(14)
Per trovare l’angolo massimo θ strat , noto il diametro interno di del condotto, si può usare la
relazione indiretta:
AL =
d i2
[(2π − θ strat ) − sin(2π − θ strat )]
8
(15)
ove l’area occupata dal liquido AL è data in funzione della frazione volumetrica di vapore ε:
AL = π
da cui:
d i2
(1 − ε )
4
(16)
θ strat − sin θ strat = 2πε
(17)
360
θ strat
270
180
90
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ε
Fig. 7 – Angolo θstrat in funzione della frazione volumetrica di vapore
Per determinare ε in un ampio campo di pressioni ridotte (e quindi di rapporti tra le densità di
liquido e vapore), si può utilizzare una media logaritmica tra l’espressione calcolata con il modello
omogeneo:
  1 − x  ρG 
ε H = 1 + 
 
  x  ρL 
−1
(18)
e il valore calcolato con la relazione di Steiner (1993) già usata per la vaporizzazione:
 [1 + 0.12(1 − x )] 1.18ρ 1 − x  gσ
G
+
εr = 

&
εH
m
x  ρL

Si ha quindi:
 ρ G 
1 −

 ρ L 
1/ 4



−1
(19)
ε=
εH − εr
ln (ε H / ε r )
(20)
Riepilogando, le due situazioni limite sono il moto completamente stratificato, con θ = θ strat , e il
moto anulare o a bolle allungate con θ = 0 . Nel caso intermedio di moto con onde che
diminuiscono l’arco occupato dal film discendente, si può calcolare l’angolo con un’interpolazione
quadratica:
1/ 2
 m&
− m& 

θ = θ strat  wavy

 m& wavy − m& strat 
(21)
ove m& strat e m& wavy sono i limiti superiori di transizione rispettivamente per il moto stratificato e per il
moto ad onde. Tali limiti di transizione sono calcolati in base alle mappe di flusso di El Hajal,
Thome e Cavallini (2003) già presentate a proposito dell’evaporazione.
A questo punto restano da calcolare i coefficienti di scambio α c e α f . Per il primo si può usare una
correlazione per film liquido turbolento:
α c = c RenL PrLm
kL
δ
fi
(22)
Nella (22) compaiono la conducibilità termica del liquido kL , lo spessore δ del film ed un fattore di
correzione fi per la rugosità del film stesso. Data la velocità media del liquido attraverso l’area AL:
uL =
m& (1 − x )
ρ L (1 − ε )
(23)
il numero di Reynolds del film liquido è:
Re L =
4m& (1 − x )δ
(1 − ε )µ L
(24)
essendo 4δ il diametro equivalente dell’area AL. Il numero di Prandtl del liquido è:
PrL =
c pL µ L
kL
Per le costanti c, n ed m i valori che meglio riproducono i risultati sperimentali sono:
(25)
c = 0.003,
n = 0.74
m = 0.5
e
Lo spessore del film è calcolabile dall’area occupata dal liquido (Fig. 3 a destra):
AL =
[
2π − θ 2
2
d i − (d i − 2δ )
8
]
(26)
ovvero:
1/ 2
di  
1− ε  
δ = 1 − 1 −
 
2   1 − θ / 2π  
(27)
La (27) è valida solo per θ ≥ π , cioè ε ≥ 1 / 2 . Per frazioni volumetriche di vapore inferiori è logico
porre δ =d i/ 2 .
1
δ/ r
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
ε
1
Fig. 8 – Spessore del film di liquido.
Il fattore di rugosità del film fi è proporzionale agli sforzi di taglio all’interfaccia tra liquido e
vapore, cioè alla differenza (uG − u L ) , ove la velocità del liquido è data dalla (10) e quella del
vapore è:
uG =
m& x
(15)
ρ Gε
La rugosità del film liquido aumenta lo scambio termico, sia perché aumenta la superficie
disponibile per la condensazione, sia perché aumenta la turbolenza nel film e infine perché produce
distacco di goccioline che vengono trascinate dal vapore. Facendo riferimento alla lunghezza
d’onda delle instabilità di Taylor si giunge all’espressione:
1/ 2
u 
f i = 1 +  G 
 uL 
 (ρ L − ρ G )gδ 2 


σ


1/ 4
(16)
nella quale il termine adimensionale in parentesi quadra evidenzia la proporzionalità con la
differenza di densità e lo spessore del film e la proporzionalità inversa con la tensione superficiale,
che tende a smorzare le ondulazioni. Compare anche il rapporto di scorrimento tra le fasi uG / uL .
Nel caso in cui il moto sia completamente stratificato, il pelo libero del liquido dovrebbe essere
piano e il fattore fi dovrebbe annullarsi. Per evitare discontinuità nel coefficiente di scambio
conviene però includerlo comunque introducendo un fattore di smorzamento:
1/ 2
u 
f i = 1 +  G 
 uL 
 (ρ L − ρ G )gδ 2 


σ


1/ 4
 m& 

 per m& ≤ m& strat
&
m
 strat 
(16)
Per quanto riguarda la condensazione nel film discendente sulle pareti, si usa la classica teoria della
condensazione di Nusselt applicata al perimetro interno del tubo. Si trova così un coefficiente di
scambio:
 ρ (ρ − ρ G )ghLG k L3 
α f = 0.728 L L

 µ L d i (Tsat − Tw ) 
1/ 4
(17)
nella (17) compaiono, oltre ai simboli noti, il calore latente di vaporizzazione hLG e la temperatura
della parete Tw. Se invece di quest’ultima è specificato il flusso termico a parete q, si ha la relazione
alternativa:
 ρ (ρ − ρ G )ghLG k L3 
α f = 0.655 L L

µLdi q


1/ 3
Il metodo nel suo complesso è applicabile per valori del titolo 0.97 > x > 0.03.
(18)
Bibliografia
Bansal P.K., Chin T.C., Modelling and optimisation of wire-and-tube condenser, International
Journal of Refrigeration 26 (2003) 601–613
Tagliafico L., Tanda G., Radiation and natural convection heat transfer from wire-and-tube heat
exchangers in refrigeration appliances, lnt. J. Refrig. Vol. 20, No. 7, pp. 461-469, 1997
El Hajal J., Thome J.R., Cavallini A., Condensation in horizontal tubes, part 1: two-phase flow
pattern map, International Journal of Heat and Mass Transfer 46 (2003) 3349–3363
El Hajal J., Thome J.R., Cavallini A., Condensation in horizontal tubes, part 2: new heat transfer
model based on flow regimes, International Journal of Heat and Mass Transfer 46 (2003) 3365–
3387