Esercizi Moto in due dimensioni

Esercizi Moto in due dimensioni
1.
Un uomo primitivo, lancia una freccia, puntando
direttamente (nella direzione di visione) verso una
scimmia ferma su un albero di altezza H. La scimmia
intuisce l’intenzione aggressiva e, nell’istante in cui
parte la freccia, si lascia cadere al suolo. L’ignoranza
della cinematica è fatale alla scimmia, che mentre
cade viene centrata esattamente nella direzione
orizzontale dopo t* secondi. Se H=10m, D=17.32m e
sappendo che la velocità iniziale V0 della freccia fa un
angolo θ con il suolo.
a) Calcolare il valore dell’angolo θ.
b) Calcolare il modulo di V0.
c) Calcolare il tempo t* in cui la scimmia viene
centrata dalla freccia.
Soluzione:
Troviamo l’equazione del movimento uniformemente
accelerato sia per la freccia sia per la scimmia:
S = Si + Vi.t + ½ a.t2
La freccia parte con una velocità iniziale Vi = Vo
La scimmia parte con una velocità iniziale Vi = 0
Per la freccia nell’asse X (l’accelerazione è 0):
Sfx = 0 + Vo cos(θ). t + ½ (0).t2
Sfx = Vo cos(θ).t
Per la freccia nell’asse Y (l’accelerazione è -9,8):
Sfy = 0 + Vo sin(θ).t + ½ (-9,8).t2
Sfy = Vo sin(θ).t - 4,9.t2
Per la scimmia nell’asse X (l’accelerazione è 0), non si
muove orizzontalmente perché è sempre a una distanza
“D” dall’origine:
Ssx = D
Per la scimmia nell’asse Y (l’accelerazione è -9,8):
Ssy = H + 0.t + ½ (-9,8).t2
Ssy = H - 4,9.t2
a)
Nell’istante t* la freccia e la scimmia ocupano lo
stesso punto nello spazio.
Nell’asse X, quindi Sfx = Ssx:
Vo cos(θ).t* = D ... (1)
Nell’asse Y, quindi Sfy = Ssy:
Vo sin(θ).t* - 4,9.(t*)2 = H - 4,9.(t*)2
Vo sin(θ).t* = H ... (2)
Dividendo le equazione (2) per l’equazione (1)
tan(θ) = H/D
quindi
θ = tan-1(10 / 17,32) = tan-1(0,5774) = 30o
b)
Nell’istante in cui la freccia colpisce la scimmia:
Sfy = 0
Ovvero per
Sfy = Vo sin(θ).t* - 4,9.(t*)2 = 0
Di cui otteniamo:
t* = Vo sin(30) / 4,9 ...(3)
Rimpiazzando in (1)
Vo cos(30). Vo sin(30) / 4,9 = 17,32
Vo2 . 0,866 . 0,5 = 17,32 . 4,9
Vo2 = 196
Vo = 14 m/s
c)
Da (3)
t* = 14 . 0,5 / 4,9 = 1,42 s
2.
(Esame Settembre 2007) Un sasso viene lanciato
con velocità Vo = 20 ms−1 in direzione orizzontale
dalla sommità di una torre che si trova ad un’altezza
H dal suolo. Sapendo che la direzione di moto del
sasso al momento dell’impatto con il suolo forma un
angolo α = − 45° con il piano orizzontale, calcolare:
a) l’equazione della traiettoria del sasso durante il
moto di caduta;
b) il valore di H;
c) a quale distanza D dalla base della torre il sasso
tocca il suolo.
Soluzione:
a)
b)
L’equazione della traiettoria
in X (a = 0, Xo = 0, Vox = Vo):
X(t) = Xo + Vox.t + ½ a . t2
X(t) = Vo.t … (1)
in Y (a = -9,8, Yo = H, Voy = 0):
Y(t) = Yo + Voy.t + ½ a . t2
Y(t) = H – 4,9.t2 …(2)
Quando il sasso tocca il suolo:
Y(tD) = 0
H – 4,9.tD2 = 0
H = 4,9.tD2 ...(3)
La velocità finale in X (a = 0, Vox = Vo):
Vfx = Vf * Cos(360 - 45) = Vox + a . tD
0,707.Vf = 20
Vf = 28,28
La velocità finale in Y (a = -9,8, Voy = 0):
Vfy = Vf * Sin(360 - 45) = Voy + a . tD
28,28. (-0,707). = -9,8 . tD
c)
tD = 2.04 s
in (3):
H = 20,4 m
Quando il sasso tocca il suolo:
X(tD) = D
Da (1):
X(tD) = Vo.tD
D = 20 . 2.04 = 40,8 m