Lezione 13: Decomposizione primaria.

Lezione 13
Decomposizione primaria.
In questa lezione tratteremo un’importante proprietà degli ideali degli anelli noetheriani, che si
riferisce alle nozioni di ideale irriducibile (vedi Definizione 2.8) ed ideale primario (vedi
Definizione 6.1).
Il primo risultato ricorda, nell’enunciato e nella dimostrazione, il teorema fondamentale
dell’aritmetica.
Proposizione 13.1 In un anello noetheriano ogni ideale proprio è intersezione di un numero finito di
ideali irriducibili.
Dimostrazione: Supponiamo per assurdo la tesi non vera in un anello noetheriano A. Allora
l’insieme S degli ideali di A non verificanti la tesi è non vuoto, ed ammette dunque un elemento
massimale I. Poiché I non è irriducibile, esistono due ideali J,L di A che contengono strettamente I e
sono tali che I = J ∩ L . Allora J , L ∉ S , per cui J e L sono intersezioni di un numero finito di
ideali irriducibili. Segue che anche I lo è, contro l’ipotesi.
Nella Lezione 6 abbiamo visto che, in generale, ogni ideale primo è primario ed irriducibile. In un
anello noetheriano vale di più:
Proposizione 13.2 In un anello noetheriano ogni ideale irriducibile è primario.
Dimostrazione: Sia A un anello noetheriano e sia I un ideale proprio di A. Allora I è irriducibile
(primario) se e solo se lo è l’ideale nullo in A/I. Quindi è sufficiente provare l’enunciato per l’ideale
nullo. Supponiamo dunque che l’ideale (0) di A sia irriducibile. Siano a, b ∈ A tali che ab = 0 e
a ≠ 0 . La catena ascendente di ideali di A:
0 : b ⊂ 0 : b2 ⊂ 0 : b3 ⊂ ⊂ 0 : bn ⊂ è stazionaria. Dunque esiste un indice j tale che 0 : b j = 0 : b j +1 . Proviamo che ( a ) ∩ (b j ) = (0). Se
x ∈ ( a ) ∩ (b j ) , allora
xb = 0
e
x = cb j
per qualche
c ∈ A , da cui
cb j +1 = 0 , ossia
c ∈ 0 : b j +1 = 0 : b j . Ma allora x = cb j = 0 , come volevasi.
Poiché (0) è irriducibile, e a ≠ 0 , segue che b j = 0 . Ciò prova che (0) è primario.
In un anello noetheriano, lo schema di inclusioni stabilito nella Lezione 6 può allora essere così
modificato:
{ideali massimali} ⊂ {ideali primi} ⊂ {ideali irriducibili} ⊂ {ideali primari}
Dalle Proposizioni 13.1 e 13.2 segue
Corollario 13.3 In un anello noetheriano, ogni ideale proprio ammette una rappresentazione come
intersezione di un numero finito di ideali primari. Tale rappresentazione è detta decomposizione
primaria.
Osservazione 13.4 L’esistenza di una decomposizione primaria per gli ideali di un anello
noetheriano estende la proprietà di fattorizzazione unica valida nei PID. Infatti, se A è un PID, dato
a ∈ A , non invertibile, se a = 0 , allora ( a ) = (0) è un ideale primo, e quindi primario; altrimenti,
detta a = up1α1 psα s una decomposizione di a nel prodotto di fattori primi pi (a due a due distinti),
ove u è un fattore invertibile, una decomposizione primaria dell’ideale (a ) è
( a ) = ( p1α1 ) ( p s α s ) = ( p1α1 ) ∩ ∩ ( p sα s ) ,
ove abbiamo utilizzato la Proposizione 6.3 ed il fatto che gli ideali ( piαi ) sono a due a due coprimi.
La fattorizzazione, nei PID, è unica. Ciò, tuttavia, non vale per la decomposizione primaria negli
anelli noetheriani, come mostra il seguente
Esempio 13.5 Nell’Osservazione 6.9 a) abbiamo visto che l’ideale I = ( xy , x 2 ) dell’anello dei
polinomi K [ x, y ] (K campo) non è primario. Una sua decomposizione primaria è
( xy , x 2 ) = ( x ) ∩ ( x 2 , y ) .
La primarietà dell’ideale ( x 2 , y ) si dimostra come nell’Esempio 6.6. Proviamo l’uguaglianza.
L’inclusione ⊂ è facile: xy , x 2 ∈ ( x ), xy , x 2 ∈ ( x 2 , y ) . Viceversa, sia f ( x, y ) ∈ ( x ) ∩ ( x 2 , y ) .
Allora f ( x, y ) = xg ( x, y ) = x 2 h( x, y ) + yk ( x, y ) ( g ( x, y ), h ( x, y ), k ( x, y ) ∈ K [ x, y ]) . Segue che x
divide k ( x, y ) , per cui yk ( x, y ) ∈ ( xy ), e f ( x, y ) ∈ ( xy , x 2 ) . Ciò prova l’inclusione ⊃ .
Abbiamo, però, anche la seguente decomposizione primaria:
( xy, x 2 ) = ( x) ∩ ( x 2 , y ) ∩ ( x, y 2 ) .
Essa è stata ottenuta dalla prima aggiungendo l’ideale ( x, y 2 ) , che contiene l’ideale (x ) , e quindi
l’intersezione ( x ) ∩ ( x 2 , y ) . In questo senso la decomposizione è ridondante. Indaghiamo allora
l’unicità nel caso in cui non esistano termini ridondanti.
Definizione 13.6 Una decomposizione primaria
r
I = ∩ Qi
i =1
r
si dice minimale (o irridondante) se, per ogni j = 1,..., r , Q j ⊃
/ ∩ Qi ed inoltre i radicali degli
i =1
i≠ j
ideali Qi sono a due a due distinti.
Il prossimo enunciato precisa quale proprietà sia comune a tutte le decomposizioni primarie
minimali di un certo ideale. A tal fine ricordiamo che, in base alla Proposizione 6.7, il radicale di un
ideale primario è un ideale primo.
r
Teorema 13.7 In un anello noetheriano A sia I un ideale e sia I = ∩ Qi una decomposizione
i =1
primaria minimale di I. Allora, gli ideali primi Pi = Qi sono esattamente gli ideali primi tra gli
ideali del tipo I : (a ) , con a ∈ A . Essi, in particolare, non dipendono dalla decomposizione
primaria.
Dimostrazione: Per ogni a ∈ A \ I sia J (a ) =
∩Q.
i
Allora per ogni x ∈ J (a ) si ha ax ∈ I . Ciò
a∉Qi
prova che
J (a ) ⊂ I : (a ).
(1)
Dato a ∈ A \ I , sia j tale che a ∉ Q j . Ora, per ogni x ∈ I : (a ), si ha ax ∈ I ⊂ Q j , ed essendo Q j
primario, ciò implica che x ∈ Q j = Pj . Dunque
I : (a ) ⊂ Pj .
(2)
Sia ora P = I : (a ) un ideale primo. Dalla (1) segue che P ⊃ J (a ), e quindi, in base alla
Proposizione 2.30 (a), si ha P ⊃ Pj per qualche j tale che a ∉ Q j . Ma, in base alla (2), vale anche
l'inclusione opposta, e dunque I : (a) = Pj .
Viceversa, fissato un indice j, sia


D j =  ∩ Qi  \ Q j . Tale insieme è non vuoto. Si consideri,
 i≠ j 
inoltre,
S = { I : (b) b ∈ D j } .
Sia b ∈ D j tale che I : (b) sia un elemento massimale di S (esistente in virtù della noetherianità di
A). Si noti che
r
 r

I : (b) =  ∩ Qi  : (b) = ∩ (Qi : (b)) = Q j : (b),
i =1
 i =1 
e dunque, in particolare,
Q j ⊂ I : (b).
(3)
Proviamo che I : (b) è un ideale primo. Osserviamo che, essendo b ∉ I , I è un ideale proprio. Siano
x, y ∈ A tali che xy ∈ I : (b), e x ∉ I : (b). Dimostriamo che allora y ∈ I : (b). Poiché x ∉ Q j : (b), si
ha che bx ∉ Q j , mentre, ovviamente, bx ∈ ∩ Qi . Quindi bx ∈ D j , così che I : (bx) ∈ S . Essendo
i≠ j
I : (b) ⊂ I : (bx), deve dunque valere l’uguaglianza. Di conseguenza, dato che per ipotesi bxy ∈ I , si
ha che y ∈ I : (b), come volevasi.
Dalla (2) e dalla (3) segue allora, passando ai radicali, che Pj ⊂ I : (b) ⊂ Pj , ossia Pj = I : (b).
Definizione 13.8 Gli ideali primi Pi della dimostrazione del Teorema 13.7 si dicono primi associati
ad I.
r
Osservazione 13.9 In una decomposizione primaria irridondante I = ∩ Qi , gli ideali Pi = Qi
i =1
sono univocamente determinati, ma non lo sono, in generale, gli ideali primari Qi stessi, come
dimostra la seguente variante dell’Esempio 13.5, in cui avevamo considerato, nell’anello K [ x, y ] ,
l’ideale ( xy , x 2 ) , che ha la seguente decomposizione primaria minimale:
( xy , x 2 ) = ( x ) ∩ ( x 2 , y )
(1)
I radicali degli ideali primari sono (x ) e ( x, y ).
Verifichiamo ora che
( xy , x 2 ) = ( x ) ∩ ( x 2 , xy , y 2 )
(2)
è un’altra decomposizione primaria minimale di ( x 2 , xy ) , e determiniamo i radicali degli ideali
primari.
Proviamo anzitutto l’uguaglianza. L’inclusione ⊂ è ovvia. Per verificare l’altra, sia
f ( x, y ) ∈ ( x ) ∩ ( x 2 , xy , y 2 ) . Allora si ha f ( x, y ) = xg ( x, y ) = x 2 h ( x, y ) + xyk ( x, y ) + y 2 l ( x, y ) ,
( g ( x, y ), h ( x, y ), k ( x, y ), l ( x, y ) ∈ K [ x, y ]) . Segue che x divide l ( x, y ) , per cui y 2 l ( x, y ) ∈ ( xy ) .
Ciò prova che f ( x, y ) ∈ ( xy , x 2 ) , per cui vale l’inclusione ⊃ .
Si verifica facilmente che
( x 2 , xy , y 2 ) = ( x, y ) . Poiché l’ideale ( x, y ) è massimale, in virtù della
Proposizione 6.10 segue che l’ideale ( x 2 , xy , y 2 ) è primario. In conclusione: (2) è, come (1), una
decomposizione primaria minimale di ( x 2 , xy ) , ma gli ideali primari sono diversi. Tuttavia sono
uguali i radicali, che sono, in entrambi i casi, P1 = ( x ) e P2 = ( x, y ) . Questi sono i primi associati
all’ideale ( x 2 , xy ) . Possiamo inoltre osservare che ( x) = ( x 2 , xy ) : ( y ) e ( x, y ) = ( x 2 , xy ) : ( x).
In questo esempio, contrariamente a quanto avviene tra gli ideali primari Qi , tra i primi associati
sussiste una relazione d’inclusione: P1 ⊂ P2 . Ciò giustifica la seguente
Definizione 13.10 Gli elementi minimali tra i primi associati ad un ideale I di un anello noetheriano
si dicono primi minimali (o isolati) di I. Gli altri primi associati si dicono primi immersi.
Ricordando che il radicale di un’intersezione di ideali è uguale all’intersezione dei radicali di questi
ideali, si prova facilmente:
Corollario 13.11 Sia I un ideale di un anello noetheriano. Allora
minimali.
I è intersezione dei suoi primi
Proposizione 13.12 I primi minimali di un ideale I di un anello noetheriano sono gli elementi
minimali tra gli ideali primi che contengono I.
Dimostrazione: Siano P1 ,..., Ps i primi minimali di I. Essi contengono I. Sia P un ideale primo
s
contenente I. Allora, in base al Corollario 13.11, P ⊃ I = ∩ Pi . Dalla Proposizione 2.30 (a) segue
i =1
che P ⊃ Pi per qualche indice i.
Si noti che, nella dimostrazione della Proposizione 13.12, ritroviamo la Proposizione 2.18: ogni
ideale radicale è intersezione dei primi che lo contengono (e quindi, alla luce dell’Esercizio 2.31
(b), dei primi minimali tra quelli che lo contengono). Negli anelli noetheriani, tale intersezione è
uguale all’intersezione dei primi minimali. Questa coincide con l’ideale considerato, se questo è un
ideale radicale. In tal caso, l’intersezione dei primi minimali è una decomposizione primaria
minimale dell’ideale, detta decomposizione prima. Essa è evidentemente, l’unica decomposizione
primaria minimale dell’ideale.
È possibile definire, più in generale, gli ideali primi associati per un qualunque modulo su un
qualunque anello.
Definizione 13.13 Dato il modulo M sull’anello A, un ideale primo di A si dice associato ad M se
coincide con l’annullatore di un elemento non nullo di M. L’insieme dei primi associati ad M si
indica con Ass( M ).
Osservazione 13.14 Dato un ideale proprio I di un anello noetheriano A, i suoi primi associati (ai
sensi della Definizione 13.8) sono dunque i primi associati all’A-modulo A I (ai sensi della
Definizione 13.13). Infatti, dato a ∈ A, per ogni x ∈ A si ha:
x ∈ ann(a + I ) ⇔ xa + I = I ⇔ xa ∈ I ⇔ x ∈ I : (a ).
Esercizio 13.15* Sia M un A-modulo. Provare che ogni elemento massimale dell’insieme
{ann( x) x ∈ M , x ≠ 0}
è primo, e quindi appartiene ad Ass( M ). Dedurne che, se A è noetheriano, allora Ass( M ) ≠ ∅.
Definizione 13.16 Sia M un A-modulo. Un elemento a di A si dice M-regolare se per ogni
x ∈ M tale che ax = 0 si ha x = 0. Altrimenti a si dice un divisore dello zero per M.
Esercizio 13.17* Sia M modulo sull’anello noetheriano A. Provare che l’insieme dei divisori dello
zero per M è
∪
P.
P∈Ass( M )
Osservazione 13.18 Alla luce dell’Osservazione 13.14, l’insieme dei divisori dello zero di un
anello noetheriano è dunque l’unione dei primi associati al suo ideale nullo.