Scientia - International Review of Scientific Synthesis

SCIENTIA – http://www.scientiajournal.org
International Review of Scientific Synthesis – ISSN 2282-2119
Vol. 124 – Section 2 – Article 04 – September 22nd, 2013
Dimostrazione formale del carattere perdente delle
progressioni nel lotto (e giochi d'azzardo in generale)
Fabrizio Coppola
Istituto Scientia – http://www.istitutoscientia.it – via Ortola 65, 54100 Massa, Italy
Abstract
È una credenza diffusa che il sistema delle progressioni o giocate progressive (o anche
puntate progressive) costituisca un metodo sicuro per vincere al lotto, benché lento e
graduale. Il sistema consiste nel puntare importi via via crescenti, fintantoché non si giunge ad
una vincita. La posta giocata viene gradualmente aumentata ogni volta che non si vince nella
speranza di ottenere, dopo un ragionevole numero di giocate, una vincita complessiva che
compensi anche le spese sostenute per le puntate precedenti.
Questo sistema intende così aggirare lo svantaggio insisto nel fatto che il lotto sia un gioco
iniquo (così come la roulette e altri giochi d'azzardo), poiché i premi sono inferiori a quelli
corrispondenti alle probabilità in gioco, il che sbilancia fortemente a favore del banco (lo
Stato) la ridistribuzione del denaro complessivo giocato.
Purtroppo la convinzione di poter utilizzare proficuamente il metodo delle progressioni è un
pericoloso miraggio, come viene spiegato e motivato in questo articolo. Oltre ad esempi
pratici, viene presentata una dimostrazione formale che metodi di questo tipo, come anche la
Martingala e la Labouchere (strategie per il gioco della roulette), ad un'attenta analisi
matematica si rivelano svantaggiosi e molto rischiosi.
Keywords: lotto, probabilità, distribuzione di Bernoulli, roulette, Martingala, Labouchere.
Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
Indice.
I . Premessa.
II . Le “progressioni” o “giocate progressive” (dette anche “puntate progressive”). … 3
III . Esempio di progressioni su estratto semplice con fattore di vincita fittizio v = 10. … 4
IV . Progressioni con generico fattore di vincita v. … 6
V . Progressioni su estratto semplice con l'effettivo fattore di vincita v = 10,558. … 7
Tabella delle progressioni su estratto semplice. … 9
VI . La distribuzione di Bernoulli. … 9
VII . Dimostrazione rigorosa del carattere perdente delle progressioni. … 12
VIII . Martingala e Labouchere nel gioco della roulette. … 15
Appendice. Descrizione della tabella del paragrafo V. … 17
2
Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
Il lotto è una tassa sull'ignoranza della matematica
(Frase attribuita a diversi personaggi, tra cui
Giuseppe Garibaldi e Agostino Depretis)
I - Premessa.
Questa dimostrazione fu preparata nel 1999 in risposta ad alcuni sostenitori della validità del
metodo delle “progressioni” o “giocate progressive” e fu resa pubblica per la prima volta
quando fu postata su Usenet, in forma assai più contenuta rispetto a questo scritto, il 17 Aprile
2000, precisamente sul newsgroup it.hobby.lotto.
II - Le “progressioni” o “giocate progressive” (dette anche “puntate progressive”).
Il principio alla base delle progressioni è piuttosto semplice e si presenta in apparenza come
razionale e coerente: il metodo propone di continuare a giocare, ogni volta che non vinciamo,
una quota leggermente superiore a quelle puntate in precedenza, in modo che l'eventuale
vincita successiva (considerata prima o poi inevitabile) possa infine coprire anche le spese
sostenute nelle estrazioni precedenti, oltre a garantire l'importo che ci eravamo proposti di
vincere fin dal primo colpo. Vedremo che quest'idea è probabilisticamente infondata. Per
utilizzare un'espressione impropria, è un'idea “statisticamente perdente” (in realtà la tesi
proposta si fonda sulla teoria della probabilità mentre la statistica prende le mosse dalle
osservazioni sperimentali - ma il mutuo accordo tra le due discipline rende quasi accettabile
questa forzatura linguistica).
Nel caso del lotto analizzeremo il caso dell'estratto semplice (uscita di un certo numero in una
qualsiasi delle cinque possibili posizioni di una data ruota). Il concetto non cambia nel caso
dell'estratto determinato e dell'ambo, in cui il rapporto tra probabilità di vincita e premio
risulta paragonabile a quelle dell'estratto semplice, mentre nei casi del terno, della quaterna e
della cinquina risulta perfino più sfavorevole al giocatore.
Il premio previsto qualora il giocatore indovini un estratto semplice è 11,232 volte la posta
(cioè l'importo giocato) ma in caso di vincita, al momento del pagamento, lo Stato trattiene un
piccolo importo (cioè una tassa diretta e immediata) del 6%. Ciò equivale a ridurre il premio
da 11,232 a 10,558 la posta (il valore esatto è 10,55808 ed è quello che è stato utilizzato
effettivamente nei calcoli interni della tabella che nel paragrafo IV ci assisterà nella nostra
analisi). Chiameremo coefficiente o fattore di vincita v appunto questo numero, che
dev'essere moltiplicato per la posta per dare il premio: in questo caso v = 10,558 circa.
3
Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
III – Esempio di progressioni su estratto semplice con fattore di vincita fittizio v = 10.
Per semplicità, inizialmente supporremo che il fattore di vincita v per l'estratto semplice non
sia 11,232 né 10,558 ma semplicemente 10, al netto della ritenuta statale. Questo servirà solo
a fissare meglio le idee e non provocherà perdita di generalità, poiché avremo sempre presente
che il fattore di vincita v sarà un parametro che dovremo adattare al gioco specifico.
Per esempio, in caso di puntata su un numero rosso o nero nel gioco della roulette, in cui vi
sono 18 numeri “rossi”, 18 “neri” ed uno “verde” (lo zero, 0), per un totale di 37 numeri, la
probabilità di vincere è 18/37 (pari a 0,486 = 0,486486..., dove il termine 486 è periodico),
ma il fattore di vincita v , che dovrebbe essere uguale al reciproco della probabilità, cioè
37/18, ovvero 2,05 , è ridotto a 2 (nei termini usati nella roulette si dice in realtà che la vincita
è pari a una volta la posta, sottinteso che anche la posta viene restituita, per cui nei termini
usati nel lotto si direbbe appunto due volte la posta, e nei termini da noi usati diremmo v =
2 ). Qualora esca lo zero (0) il premio rimane al banco (il casinò) invece di essere distribuito
tra i giocatori. Negli Stati Uniti esiste anche un secondo numero (detto doppio zero, 00)
riservato alla vittoria del banco, il che riduce la probabilità di vincere a circa 0,473684,
ovvero 18/38. (Nota. Nella roulette sono possibili parecchie altre tipologie di puntata, e solo
per semplicità abbiamo considerato la puntata su numero rosso o nero).
Tornando al gioco del lotto, nel caso semplificato della puntata su estratto semplice con
fattore di vincita v = 10 , immaginiamo di giocare 5 Euro su un certo numero su una data
ruota. Il nostro eventuale incasso sarebbe ovviamente di 50 Euro (10 volte la posta di 5 Euro)
da cui otterremmo un guadagno netto di 45 Euro. È facile dimostrare che la probabilità di
vincere in caso di un estratto semplice è 1 su 18, ovvero p = 1/18 : infatti i numeri estratti su
una ruota sono 5 su 90 possibili, il che si può rendere sotto forma di frazione (5/90), che può
essere semplificata e ridotta ai minimi termini (1/18). Se il lotto fosse un gioco equo, il
premio dovrebbe essere il reciproco della probabilità, ovvero 18 volte la posta (inclusa la
restituzione della posta stessa come avviene invece nella roulette). Invece, come già
evidenziato, il premio è solo 10,558 volte la posta, che per semplicità stiamo
provvisoriamente considerando pari a 10.
Data la bassa probabilità, è presumibile che il giocatore non vinca alla prima giocata. Qualora
vincesse, in seguito la situazione sfavorevole si riproporrebbe nelle giocate successive (a
meno che il giocatore non si accontenti di vincere 50 Euro una tantum e poi si ritiri per
sempre dal gioco).
Immaginiamo di non aver vinto al primo colpo e di prepararci alla seconda giocata, in cui
dobbiamo sostenere il costo di una nuova puntata, dopo aver già speso 5 Euro per la
precedente. Un ragionamento semplice ma fallace ci suggerisce come far rientrare ulteriori 5
Euro nella (eventuale) vincita: poiché il premio è 10 volte la posta, è sufficiente alzare la
posta di 0,50 Euro per ottenere (in caso di vincita) i 5 Euro mancanti. La nuova puntata quindi
dovrà essere di 5,50 Euro, cosicché in caso di vincita il premio sarà di 55 Euro, con cui
recupereremo 5 Euro, oltre a incassare i 50 Euro previsti.
Questa è solo una descrizione approssimativa e più avanti apporteremo le debite correzioni
entrando specificatamente nei dettagli, dietro i quali si nasconde il rischio della bancarotta,
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Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
sebbene ciò per molte persone risulti controintuitivo: infatti la forte convinzione che prima o
poi il numero in questione debba uscire, rende apparentemente certa la vincita finale. Sembra
che dovremo soltanto aspettare pazientemente alcune estrazioni prima che ciò si realizzi,
continuando a giocare alzando adeguatamente l'importo puntato di volta in volta. In realtà
questo sistema potrebbe funzionare solo qualora il giocatore disponesse di un capitale
illimitato, che gli consentisse di rilanciare all'infinito giocate sempre crescenti (il che
ovviamente è irrealistico).
Torniamo al nostro esempio pratico e immaginiamo di continuare a giocare: se il nostro
numero non esce neanche al secondo colpo, dovremo recuperare anche i 5,50 Euro della
seconda puntata, per un totale di 10,50 Euro, per cui sarà necessario aumentare la nuova
puntata di 1,05 Euro, portandola a 6,05 Euro, per incassare (in caso di vincita) 10,50 Euro
aggiuntivi, cioè in tutto 60,50 Euro.
Il punto fondamentale è appunto di aumentare la posta ogni volta che non vinciamo, ovvero di
farla “progredire”, fino all'inevitabile (?) vincita. Si tratta, attenzione, di una “progressione”
geometrica e non aritmetica, in cui la posta non rimane costante ma cresce leggermente ad
ogni giocata. Durante i primi colpi il suo aumento ci appare contenuto e sostenibile, ma in
realtà aumenta inesorabilmente fino ad arrivare (inaspettatamente) a valori colossali, come
risulterà chiaro dalla tabella riportata nel par.V. Eppure questo resta un aspetto sottovalutato,
poiché il pensiero dominante del giocatore è la convinzione che prima o poi il suo numero
dovrà pur uscire e portargli un guadagno certo (?!) di 45 Euro (50 Euro meno la puntata
iniziale di 5 Euro) previsto fin dall'inizio (noteremo che le progressioni sono finalizzate al
recupero di tutte le puntate successive tranne la prima, per cui l'obiettivo non sarà di
guadagnare tutti i 50 Euro).
Tornando alla simulazione, immaginiamo che la fortuna ci sorrida alla terza giocata
(evenienza piuttosto fortunata perché in media una vincita dovrebbe capitarci una volta ogni
18 estrazioni, in conformità alla probabilità pari a 1 su 18). Il nostro numero viene estratto:
avendo puntato 6,05 Euro, incassiamo 60,50 Euro. Poiché abbiamo speso 5 Euro per la prima
giocata, 5,50 Euro per la seconda e 6,05 per la terza, in tutto abbiamo sborsato 16,55 Euro.
Detraendo quest'importo dalla nostra bella vincita di 60,50 Euro, dovremmo ottenere i 45
Euro netti che ci eravamo proposti di guadagnare fin dall'inizio. Eseguendo la sottrazione però
otteniamo solo 43,95 Euro. Com'è possibile? Anticipiamo che non è questo il punto
fondamentale del problema, ma è solo una piccolissima delusione a cui seguirà in futuro una
ben più cocente (cioè la perdita dell'intero capitale “investito”, o meglio, messo a repentaglio).
Il dilemma in questione è presto risolto (gli importi da correggere sono evidenziati in neretto):
nella seconda giocata abbiamo puntato 5,50 Euro per ottenere una vincita di 55,00 Euro e
coprire anche l'importo della giocata stessa. Manca però una copertura di 0,50 Euro, poiché la
seconda puntata è appunto di 5,50 Euro e non semplicemente di 5,00. Per tener conto dei
ulteriori 0,50 euro, avremmo dovuto aumentare ulteriormente di 0,05 Euro la posta della
seconda giocata, che dovrebbe essere quindi di 5,55 Euro e ci permetterebbe di incassare, in
caso di vincita, 55,50 Euro.
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Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
Per essere pignoli però c’è ancora una piccola discrepanza: restano scoperti gli ultimi 0,05
Euro (cioè la differenza tra 5,55 Euro necessari e i 5,50 giocati). Questi potrebbero essere
compensati aumentando la puntata di altri 0,005 Euro, cioè di mezzo centesimo: poiché la
moneta da mezzo centesimo non esiste, possiamo ignorare questa quarta correzione sulla cifra
“5”. Essa però dev'essere presa in considerazione nel caso di grosse puntate. Per esempio, se
avessimo giocato inizialmente 50.000 Euro, la nostra seconda puntata sarebbe stata di
55.550,00 Euro (ecco che compare la quarta cifra “5”) allo scopo di vincere 555.500,00 Euro.
La parte in neretto nella posta evidenzia però che, ad un'analisi più profonda, resterebbero
scoperti 50 Euro, per cui la posta dovrebbe essere portata a 55.555,00 Euro, per una vincita
prevista di 555.550,00 Euro, a cui però mancherebbero ancora i 5 Euro giocati appunto come
correzione. Aggiungiamo allora 0,50 Euro alla puntata, e continuando e reiterando così il
ragionamento, si vede che la puntata giusta dovrebbe essere 55.555,55 Euro.
Non andremo al di sotto dei 5 centesimi ma dovremmo essere consci che, in linea di principio,
le cifre decimali con il “5” sono infinite, ovvero la puntata dovrebbe essere 55.555,5, in cui il
termine decimale è periodico. La posta in questione si può anche scrivere come
1
1
1
1
1
1
50000⋅
+
+
+
+
+
+. ..
10 100 1000 10000 100000 1000000
dove le cifre decimali sono in linea di principio infinite, sebbene il risultato converga ad un
valore finito.
(
)
Notiamo già alcuni aspetti importanti.
Anzitutto le frazioni in questione, con le potenze di 10 al denominatore, ovvero
1
1
1
1
1
,
,
,
,
,. ..
10 100 1000 10000 100000
derivano dal fatto che il fattore moltiplicativo v è appunto 10. In realtà, nostro caso reale,
essendo il fattore di vincita circa 10,558 , le potenze dovrebbero contenere quest'ultimo
valore. Tale correzione verrà apportata poco più avanti.
IV - Progressioni con generico fattore di vincita v.
In generale, avendo chiamato v il fattore di vincita, i termini tra parentesi formano,
0
considerando anche l'1 come potenza di v con esponente zero, v , la seguente serie:
1 1 1 1 1 1
+ + + + + + .. .
v0 v1 v2 v3 v4 v5
ovvero
∞
1
∑ vi
i=0
i
Dai metodi dell'analisi infinitesimale è noto che una somma di termini x , sebbene contenga
infiniti termini (e sia definita quindi come una serie), converge ad un risultato finito che è
1
1−x
6
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purché si abbia x < 1 : ciò nel nostro caso è implicito poiché il fattore di vincita v dev'essere
maggiore di 1 (non avrebbe senso giocare per vincere un premio inferiore alla posta) da cui
consegue che, la nostra x è pari a
1
v ,
e la serie delle sue potenze converge a
1
1
1−
v
che, aggiustato tramite brevi passaggi algebrici, risulta uguale a
v
v−1 .
Nel nostro caso, se v = 10, la serie converge a
10
9
che è uguale a 1,1 ovvero 1,111111...
Infatti la nostra posta iniziale di 5 Euro verrebbe corretta a 5 per 1,1 , ovvero 5,5 Euro, mentre
la posta di 50.000 diventerebbe 55.555,5 Euro.
Quindi il termine moltiplicativo esatto con cui far progredire la posta ogni volta che non
vinciamo è
v
v−1
e cumulativamente la posta puntata allo stadio n-esimo, in rapporto alla posta iniziale, è
n−1
v
v−1
.
Pertanto, al primo colpo la nostra puntata sarà di 5 Euro; al secondo sarà (teoricamente) 5 per
1,1 ovvero 5,55555... (=5,5) Euro (e non 5,50 come avevamo inizialmente stimato); al terzo
colpo 5 per 1,12 cioè 6,17 Euro (e non 6,05 come nella nostra prima approssimazione); nel
quarto colpo 5 per 1,13 cioè 6,86 Euro, e così via.
( )
V . Progressioni su estratto semplice con l'effettivo fattore di vincita v = 10,558 .
Ora che abbiamo compreso il funzionamento grazie alla semplicità del termine v = 10 ,
possiamo finalmente ritornare al vero fattore di vincita dell'estratto semplice, che è v =
10,558 . La serie che fornisce il termine per il quale dobbiamo moltiplicare ogni volta la
nostra posta è allora
1
1
1
1
1
1
1+
+
+
+
+
+
+.. .
1
2
3
3
4
10,558 10,558 10,558 10,558 10,558 10,5585
Tale serie, come sappiamo, converge al valore
v
v−1
che adesso diventa
7
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10,558
9,558
il cui risultato è 1,1046244, per cui le cose non cambiano di molto rispetto a prima quand’era
1,1. Comunque da adesso considereremo solo i valori effettivi in gioco.
Con la solita posta di 5,00 Euro, la vincita prevista (moltiplicando per 10,558) sarebbe dunque
di 52,79 e il guadagno netto, detratta la puntata di 5,00 Euro, sarebbe di 47,79 Euro.
Qualora non si vinca al primo colpo, la seconda puntata (moltiplicando per il suddetto fattore
1,10462...) sarebbe di 5,52 Euro (più precisamente 5,523122 Euro) la vincita corrispondente
sarebbe di 58,31 Euro. Detraendo le spese sostenute (5,00 e 5,52 Euro) il guadagno netto
sarebbe sempre di 47,79 Euro. Dato che la crescita della posta da giocare ad ogni colpo
sembra lenta e contenuta, essendo la “ragione” della progressione geometrica “soltanto”
1,10462..., il rischio che il gioco ci sfugga di mano sembra praticamente inesistente. Invece la
situazione è molto più pericolosa di quanto appaia.
Facciamo riferimento alla tabella riassuntiva riportata nella pagina seguente.
Le colonne più importanti (le altre saranno descritte in Appendice) rappresentano:
A) Il numero n di giocate (o colpi) effettuate nel tentativo di indovinare un estratto semplice.
C) La probabilità di zero vincite negli n colpi, cioè di non aver indovinato il nostro numero
fino a quel momento.
E) La probabilità (complementare a quella indicata nella colonna C) che il nostro numero sia
uscito almeno una volta negli n colpi (potrebbe essere uscito anche due o più volte, a discapito
di altri numeri che così tendono a diventare ritardatari – sia chiaro, sempre per motivi
aleatori).
G) Il fattore per il quale ad ogni colpo (se non vinciamo) dobbiamo moltiplicare la nostra
puntata, rendendola sempre più alta.
H) La posta effettiva in Euro, cioè 5 Euro per il fattore indicato nella colonna G.
I) L'eventuale incasso che deriverebbe dall'eventuale vincita basata sulla posta indicata in H.
J) La spesa totale dovuta alle puntate effettuate fino a quel momento.
K) L'eventuale guadagno netto in caso di vincita, che rimarrà 47,79 Euro in tutti i casi, anche
qualora la puntata raggiunga livelli altissimi.
Salta facilmente all'occhio che dopo soli 8 colpi la posta da giocare è più che raddoppiata
rispetto all'inizio (colonna G, fattore 2,00678). Altro che aumento graduale, contenuto e
modesto! Questo aspetto (l'aumento inaspettatamente rapido della posta da puntare) è quasi
sempre sottovalutato ma è ciò che può portare alla rovina.
Sebbene la posta da puntare sia più che raddoppiata, la probabilità che il numero giocato sia
uscito dopo questi 8 colpi è solo del 36,7% (colonna E), mentre la sua complementare, cioè
che non sia ancora uscito, è di un notevole 63,3% (colonna C). Quindi il raddoppio della posta
non è compensato da un adeguato aggiustamento delle probabilità. Questo è un ragguardevole
segnale d'allarme, così come ve ne sono altri contenuti nella tabella.
8
Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
N.
Non usc.
Probabilità
Prob.1 v inc.
Vinc.>= 1
Vinc.>= 2
Fattore posta
Posta Euro
Vincita Euro
Spesa totale
Guadagno
colpi
90 . C
zero vincite
Bernoulli
100% - C
E–D
1,10462 n-1
(Iniziale 5 €)
10,558 posta €
(Tot. Giocate €)
netto €
0
90,00
100,00%
1
85,00
94,44%
2
80,28
89,20%
3
75,82
84,24%
4
71,61
5
6
0,00%
.
0,00%
0,00%
5,56%
5,56%
0,00%
1,00000
5,00
52,79
5,00
47,79
10,49%
10,80%
0,31%
1,10462
5,52
58,31
10,52
47,79
14,87%
15,76%
0,89%
1,22019
6,10
64,41
16,62
47,79
79,56%
18,72%
20,44%
1,72%
1,34785
6,74
71,15
23,36
47,79
67,63
75,14%
22,10%
24,86%
2,76%
1,48887
7,44
78,60
30,81
47,79
63,87
70,97%
25,05%
29,03%
3,99%
1,64464
8,22
86,82
39,03
47,79
7
60,32
67,02%
27,60%
32,98%
5,38%
1,81671
9,08
95,90
48,11
47,79
8
56,97
63,30%
29,79%
36,70%
6,91%
2,00678
10,03
105,94
58,15
47,79
9
53,81
59,78%
31,65%
40,22%
8,57%
2,21674
11,08
117,02
69,23
47,79
10
50,82
56,46%
33,21%
43,54% 10,32%
2,44866
12,24
129,27
81,48
47,79
11
47,99
53,33%
34,51%
46,67% 12,17%
2,70485
13,52
142,79
95,00
47,79
12
45,33
50,36%
35,55%
49,64% 14,09%
2,98784
14,94
157,73
109,94
47,79
13
42,81
47,57%
36,37%
52,43% 16,06%
3,30044
16,50
174,23
126,44
47,79
14
40,43
44,92%
37,00%
55,08% 18,08%
3,64574
18,23
192,46
144,67
47,79
15
38,18
42,43%
37,44%
57,57% 20,14%
4,02717
20,14
212,60
164,81
47,79
16
36,06
40,07%
37,71%
59,93% 22,22%
4,44851
22,24
234,84
187,05
47,79
17
34,06
37,84%
37,84%
62,16% 24,31%
4,91393
24,57
259,41
211,62
47,79
18
32,17
35,74%
37,84%
64,26% 26,41%
5,42804
27,14
286,55
238,76
47,79
19
30,38
33,76%
37,73%
66,24% 28,52%
5,99594
29,98
316,53
268,74
47,79
20
28,69
31,88%
37,51%
68,12% 30,61%
6,62325
33,12
349,64
301,85
47,79
24
30
36
54
72
90
108
128
144
180
22,83
25,36%
35,81%
74,64% 38,83%
9,86117
49,31
520,58
472,79
47,79
16,20
18,00%
31,77%
82,00% 50,23%
17,91490
89,57
945,73
897,94
47,79
11,50
12,77%
27,05%
87,23% 60,17%
32,54618
162,73
1718,13
1670,34
47,79
4,11
4,57%
14,50%
95,43% 80,93%
195,14491
975,72
10301,78
10253,99
47,79
1,47
1,63%
6,91%
98,37% 91,46%
1170,07686
5850,38
61768,83
61721,04
47,79
0,52
0,58%
3,09%
99,42% 96,33%
7015,70889
35078,54
370362,08
370314,29
47,79
0,19
0,21%
1,32%
99,79% 98,47%
42065,75902
210328,80
2220668,24
2220620,45
47,79
0,06
0,07%
0,50%
99,93% 99,43%
307761,62994
1538808,15
16246859,55
16246811,76
47,79
0,02
0,03%
0,23%
99,97% 99,75%
1512317,81605
7561589,08
79835862,44
79835814,65
47,79
0,01
0,01%
0,04%
99,99% 99,95%
54369758,92643
271848795
2870201322
2870201274
47,79
VI - La distribuzione di Bernoulli.
Le probabilità di uscita di un estratto semplice (con probabilità 1/18) su varie prove ripetute
(le varie estrazioni) seguono la cosiddetta distribuzione di Bernoulli. Su un grande numero di
prove, l'effettiva statistica osservata si conforma alle probabilità così previste, in accordo alla
9
Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
cosiddetta legge dei grandi numeri o legge empirica del caso, sebbene non sia possibile
prevedere l'esito delle singole prove.
Un aspetto molto importante a cui abbiamo soltanto accennato è che (sempre considerando un
grande numero di prove) il numero medio di colpi dopo i quali il nostro numero dovrebbe
uscire è 18: si tratta del cosiddetto “ciclo teorico” di 18 estrazioni. Infatti ad ogni giocata la
probabilità che il nostro numero venga estratto è 1/18. Essa deriva dal fatto che i cosiddetti
“casi favorevoli” sono 5 (ovvero i numeri estratti su ogni ruota) su un totale di 90 numeri
“possibili”, da cui la definizione classica di probabilità (rapporto tra “casi favorevoli” e “casi
possibili”) ci fornisce come risultato la frazione 5/90, che semplificata dà appunto 1/18. In
termini decimali, 1 diviso 18 è uguale a 0,5 ovvero 0,55555..., che espresso in percentuale e
opportunamente arrotondato diventa 5,56%, come si vede nella tabella E. In termini informali,
le probabilità che abbiamo ad ogni colpo di vincere sono circa 5 o 6 su 100. Ovviamente,
sommando ogni volta il valore teorico 5,56, occorrono 18 giocate per arrivare a 100.
Sebbene la somma ottenuta sia 100, il ciclo teorico in questione non dà tuttavia la certezza che
in tale finestra temporale vi sarà una vincita, ma esprime solo il fatto che il numero di
estrazioni che intercorre mediamente tra una vincita e la successiva è appunto 18, almeno nel
limite di un grandissimo numero di prove. Il comportamento del caso però è strano e
imprevedibile: è vero che giocando innumerevoli volte vinceremmo in media una volta su 18,
per cui il comportamento collettivo delle nostre vincite (su tempi lunghi) mostrerà una chiara
regolarità, tuttavia nulla si può dire sulle singole giocate, cosicché tra una vincita e l'altra può
capitare un qualsiasi numero di estrazioni. Accade non di rado che tra due vincite passino 36
estrazioni (il doppio di 18) ed anche di più, o molte di più, poiché la distribuzione di Bernoulli
è asimmetrica e verso destra possiede una coda illimitata: ecco perché esistono numeri
ritardatari da 100 estrazioni, o anche 150 o 180. Ciononostante, la media fa solo 18. Essa si
mantiene relativamente bassa perché, a compensazione dei possibili ritardi, ogni determinato
numero potrebbe uscire anche precocemente, cioè prima del 18° colpo, talvolta anche 2 o più
volte entro 18 estrazioni, sempre a seconda dei capricci del caso.
La probabilità che un numero esca due o più volte è riportata nella colonna F, e dopo 18 colpi
è di un non trascurabile 26,41%. E' chiaro che un certo numero che casualmente è uscito più
spesso della media ha “tolto il posto” (per così dire) ad altri, che sono rimasti nell'urna più
spesso e perciò potranno più facilmente diventare “ritardatari” (queste irregolarità ovviamente
si manifestano su periodi brevi o medio-lunghi, poiché su tempi lunghissimi – ben superiori
alle menzionate 180 estrazioni – la statistica tende a regolarizzarsi conformandosi al ciclo
teorico di 18 estrazioni medie).
Per avere un quadro più chiaro, si guardi la tabella in corrispondenza della riga 18. La
distribuzione di Bernoulli ci dice che dopo il 18° colpo la probabilità che il nostro numero non
sia ancora uscito (cioè zero vincite, colonna C) è del 35,74%, e la probabilità che sia uscito
almeno una volta (colonna E) è del 64.26%. Come detto poco sopra, la probabilità che sia
uscito 2 o più volte è del 26,41% (colonna F), mentre che sia uscito una volta (e non di più) è
del 37,84% (colonna D).
10
Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
Quindi, su tempi non lunghissimi, si osserva una notevole diversificazione nelle sortite dei
numeri: alcuni escono spesso (colonna E), alcuni in sintonia con la media del ciclo teorico
(colonna D) e alcuni ritardano (colonna C).
Come già osservato, la crescita della posta sembrerebbe di poco conto, ma così non è: dopo
18 estrazioni la posta è più che quintuplicata (colonna G) rispetto ai 5 Euro iniziali, arrivando
a 27,14 Euro (colonna H). Per triplicare la posta sono sufficienti solo 13 estrazioni (fattore
3,30044 in colonna G), o praticamente soltanto 12 (fattore 2,98074, praticamente uguale a 3).
E dopo 12 estrazioni la probabilità che il nostro numero non sia ancora uscito è di un notevole
50,36% (colonna C), cioè ancora leggermente superiore a quella che sia uscito (49,64%,
colonna E).
Il fatto che il premio sia soltanto 10,558 volte la posta, invece di 18 volte come dovrebbe (per
rispecchiare la probabilità 1/18 di vincere) mette in risalto che il lotto è un gioco iniquo.
Anche se il cosiddetto “ciclo teorico” (che ripetiamo, è il numero medio di estrazioni che
occorre attendere affinché un determinato numero esca su una ruota) è 18, sappiamo che sono
comuni ritardi di ben più di 18 estrazioni. Solo quando si arriva alle 90 o 100 estrazioni di
ritardo il fenomeno inizia a sembrare anomalo. Dalla tabella leggiamo che dopo 90 estrazioni
la probabilità che il numero non sia ancora uscito è solo dello 0,58% (colonna C), ma in
corrispondenza la posta da giocare è cresciuta ad oltre 35mila Euro (colonna H)!
Sono esistiti numeri con ritardi di 180 e più estrazioni, cioè oltre 10 volte il ciclo teorico. Il
record appartiene al numero 34 sulla ruota di Cagliari, uscito nell'Aprile del 2006 con un
ritardo di 203 estrazioni. Per inciso, un'altra leggenda metropolitana (oltre alla fallace
convinzione che le progressioni siano matematicamente vincenti) è che i numeri ritardatari
abbiano più probabilità di uscire degli altri, mentre essa resta identica per tutti i numeri,
poiché ad ogni estrazione le palline vengono rimesse nell'urna in modo casuale e, per così
dire, “si ricomincia daccapo”, cioè le estrazioni sono indipendenti l'una dall'altra, per cui un
numero ritardatario ha probabilità 1/18 di uscire proprio come un numero che è uscito alla
precedente estrazione.
In una delle ultime righe della tabella si vede che considerando sei volte il ciclo teorico, cioè
108 estrazioni (ritardo che si è presentato parecchie volte nella storia del lotto) la posta è di
oltre 2 milioni e 220mila Euro, ovvero più di 4 miliardi delle vecchie lire. Questa astronomica
puntata sarebbe finalizzata al recupero di quanto speso finora, più la solita vincita prevista
di... 47,79 Euro!
Un giocatore medio non può permettersi di puntare 2 milioni di Euro e probabilmente
nemmeno 100,000 Euro, per cui è rovinato: ha perso 100mila Euro (cioè la stessa cifra che
dovrebbe vincere al colpo successivo, a parte l'agognata vincita di 47,79 Euro) e non può
permettersi di continuare la progressione. Varie notizie di cronaca nel corso degli anni hanno
riportato casi del genere, perché accompagnati da conseguenti azioni inconsulte da parte
dell'incauto giocatore.
Si potrebbe pensare di ovviare a tale rischio giocando più numeri (come estratti semplici) per
cui se uno non esce, probabilmente potrà uscirne un altro tra quelli da noi giocati, ma in tal
11
Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
caso la spesa sarebbe triplicata, oltre che ovviamente progressiva in modo più accentuato, e
un'analisi attenta rivelerebbe che il problema si ripresenterebbe in termini simili, per cui
questa sarebbe una soluzione illusoria, così come illusoria è la convinzione (apparentemente
appoggiata dall'intuito) che le progressioni siano un metodo vincente. In realtà occorrerebbe
avere un capitale illimitato, da poter far fronte a possibili perdite temporanee di 100mila Euro
ed oltre, ma chi ha 100mila Euro non li mette a rischio per guadagnarne 47,79.
Escludendo il caso impossibile di un giocatore che abbia una disponibilità illimitata di denaro
e sia disposto a rischiarla per guadagnare una somma insignificante, si può dimostrare in
generale che a lungo termine le progressioni non sono affatto “sicuramente vincenti” come
molti credono, ma al contrario, sono “statisticamente” (o meglio, “probabilisticamente”)
perdenti. Nel paragrafo 6 lo dimostreremo tecnicamente, in termini formali: se il capitale è
limitato (per quanto grande), ad un giocatore a oltranza capiterà prima o poi di perderlo
interamente (notare come il “prima o poi” si sia rovesciato rispetto all'inizio della trattazione,
quando abbiamo riportato la credenza diffusa che “prima o poi” il numero uscirà e andremo in
attivo).
Se non vinciamo dopo un certo numero di colpi e il capitale a nostra disposizione finisce,
siamo costretti a troncare la progressione senza aver vinto e registriamo così una fortissima
perdita. Ebbene, considerando la possibile vincita nel caso fortunato che il nostro numero sia
uscito entro n estrazioni, e le perdite qualora non sia uscito, si può verificare che tale saldo, in
funzione delle probabilità, è negativo. Dimostriamo quest'ultima tesi, seguendo un
ragionamento che può ritenersi un teorema.
VII - Dimostrazione rigorosa del carattere perdente delle progressioni.
Così come è lecito aspettarsi che “prima o poi” il nostro numero uscirà (ragionamento
ingenuo) è altrettanto ragionevole aspettarsi che capiti che dopo n colpi non abbiamo vinto e
la posta sia diventata così alta da non poterla sostenere, quindi per necessità troncheremo la
progressione (non avendo più fondi da giocare) e avremo perso tutti i soldi spesi fino ad
allora. Quanto abbiamo perso in questo caso? L'importo da recuperare è (per definizione,
almeno per grandi n ) proprio quello che vorremmo vincere alla puntata successiva (abbiamo
costruito così infatti l'architettura delle nostre puntate, a partire dal guadagno netto prefissato,
che nel caso concreto analizzato era di 47,79 Euro), ovvero è uguale alla nuova posta da
giocare
n−1
v
g
v−1
da moltiplicare ancora una volta per il fattore di vincita v , a parte il piccolo termine
dell'importo che avevamo previsto di guadagnare all'inizio, che asintoticamente (per n che
tende all'infinito) risulta trascurabile.
( )
Quindi dobbiamo recuperare una cifra pari a
n−1
v
vg
v−1
( )
12
Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
ma se tronchiamo la progressione questa è praticamente la cifra che abbiamo perso.
Calcoliamo esplicitamente il valore atteso dalle nostre giocate, che è dato dalla differenza tra
il possibile premio e la possibile perdita complessiva, considerati in rapporto alle loro
probabilità.
Ricordiamo che la probabilità di vincita per un estratto semplice è p = 1/18 e la probabilità
contraria è uno meno p , ovvero q = 1 – p , ovvero q = 17/18 . In caso di altri giochi
iniqui, p e q possono essere sostituiti dagli opportuni valori che regolano tali giochi (si pensi
alla puntata su “rosso” o “nero” alla roulette – in qui p e q sono entrambi poco meno di ½)
e la dimostrazione resta valida.
Poiché il gioco e' iniquo, si ha necessariamente 1 / p > v (ad esempio nell'estratto semplice,
18 > 11,232 , senza voler considerare la ritenuta immediata da parte dello Stato, che col 6% di
tassa si riduce a 10,558).
La probabilità di non vincere in un numero n di colpi, per la distribuzione di Bernoulli, è p
n
n
= q , mentre di vincere almeno una volta nello stesso numero di colpi è 1 – p = 1 – q .
(Nella tabella tali valori sono riportati rispettivamente nelle colonne C ed E).
Quindi la vincita, in termini probabilistici a cui converge la statistica se si ha un numero
elevato di prove (in base alla legge empirica del caso ovvero la cosiddetta legge dei grandi
numeri) sarà
n
(1 - q ) volte la nostra vincita, che sarà g (v – 1) .
Nota: -1 indica la giocata iniziale, che non sarà mai recuperata: nell'esempio descritto sopra,
corrisponderebbe alla posta dei 5 Euro iniziali.
n
Quindi in termini probabilistici, quando vinciamo, vinciamo g (v – 1) (1 – q ) ,
invece, quando perdiamo, perdiamo
n−1
v
vg
qn
v−1
.
Dopo un elevato numero n di puntate è lecito aspettarsi che o saremo già fuori dal gioco
(sbancati) o saremo ancora dentro, avendo vinto almeno una volta. Nel primo caso, abbiamo
perso. Nel secondo caso, abbiamo vinto un importo che alla prossima serie di giocate
probabilmente perderemo abbondantemente, poiché quando perdiamo, perdiamo più di
quanto vinciamo.
( )
Infatti il nostro metodo risulta vincente se:
VINCITE di quando ci va bene > PERDITE di quando dobbiamo troncare le progressioni;
ovvero:
n
g (v – 1) (1 – q ) >
vg
n−1
( )
v
v−1
qn
13
Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
Semplificando g e risistemando algebricamente il tutto, si ottiene:
n−1
v
v
qn
n
v−1
(v – 1) (1 – q ) >
vale a dire
n−1
v
v
qn
n
v−1
v−1
1–q >
ovvero
n
v
qn
n
v−1
1 >
+q .
( )
( )
( )
Ma poiché il gioco e' iniquo abbiamo inevitabilmente v < 1/ p
ovvero v < (1 - q) ovvero 1 – q < 1 / v ovvero q > 1 – 1 / v
ovvero (finalmente!)
v−1
q>
v
per cui il prodotto
v
q
v−1
sarà sempre maggiore di uno: chiamiamo A questo prodotto, per cui A > 1 .
Pertanto la nostra diseguaglianza di prima può essere scritta come
n
n
1>A +q
ovvero
n
n
A +q <1
che non è mai verificata , per nessun numero naturale n : infatti, se n cresce, qn tende a
n
zero ma A tende all'infinito (e non potrà mai essere minore di uno).
Poiché la diseguaglianza è sempre falsa , avremo sistematicamente VINCITE < PERDITE ,
ovvero il teorema è dimostrato e le progressioni non sono affatto un metodo “sicuro” che
prima o poi ci farà vincere con certezza (nota: peraltro, anche se fossimo fortunati e
vincessimo nonostante le probabilità contrarie, incasseremmo importi trascurabili rispetto a
quelli puntati).
Di fatto, le progressioni costituiscono un sistema probabilisticamente perdente.
Per la verità ciò era implicito fin dall'inizio, poiché se p > 1 / v come avviene nei giochi
iniqui, non può esistere alcun metodo, sistema o trucco, per quanto sofisticato, che possa
violare (stabilmente) tale statistica. Le probabilità svantaggiose che si hanno inizialmente non
possono essere cambiate da alcuna strategia o elaborazione, e si riproporranno inevitabilmente
sempre negli stessi termini. Però l'idea delle progressioni col loro recupero incorporato ci
aveva ipnotizzato e abbiamo voluto andare fino in fondo per verificare che alla fine vince pur
sempre il banco.
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Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
La matematica non si può aggirare, e chi viene abbagliato dall'ingegnoso metodo delle
progressioni, in realtà è destinato a perdere, poiché puntare cifre sempre più alte è come
stipulare una “assicurazione alla rovescia”, che quando verrà il momento del disastro, non
rimborserà nulla ma lascerà il giocatore in miseria. Paradossalmente, può essere meno
criticabile chi sostiene che i numeri vincetti del lotto li sogna (!), poiché si pone su un
presunto piano sovrarazionale (se non magico) che (per quanto poco verosimile) è differente
da quello regolato dalla matematica, contro la quale l'idea delle progressioni si infrange
sicuramente, sebbene pretenda erroneamente e invano di batterla.
VIII - Martingala e Labouchere nel gioco della roulette.
Il gioco della roulette permette diverse tipologie di puntate, di cui le più semplici sono quelle
su numero “pari” o “dispari”, oppure su numero “rosso” o “nero”. Come avevamo visto
all'inizio del paragrafo II, vi sono 18 numeri “rossi” e 18 “neri” più lo “zero”, che è “verde” e
in caso di uscita fa vincere il banco (invece che qualcuno dei giocatori). Poiché il totale dei
numeri (nella roulette europea) è 37 (in quella americana è 38, incluso lo doppio zero), la
probabilità di vincere puntando su rosso o nero è 18/37 (pari a 0,486 = 0,486486... = 48,6%
circa) ma il fattore di vincita v , che dovrebbe 37/18, ovvero 2,05, è soltanto 2. Se il gioco
fosse equo, con v = 2 la probabilità di vincere dovrebbe essere del 50%. Notiamo comunque
che la differenza tra 2,05 e 2 è piuttosto piccola, per cui il gioco della roulette
(sorprendentemente) è molto meno “iniquo” rispetto al gioco del lotto.
La cosiddetta Martingala è un metodo di progressioni che si applica a questo caso, che è
piuttosto semplice, dato il fattore di vincita: finché non vinciamo, occorre raddoppiare la
posta ad ogni colpo. Infatti il fattore moltiplicativo per la posta, che come avevamo trovato
nel paragrafo III è
v
v−1 ,
diventa (sostituendo v = 2 ) anch'esso uguale a 2.
La Martingala, col raddoppio della posta ad ogni puntata, ha una progressione vertiginosa Se
dovessimo perdere per 10 volte consecutive, eventualità rara ma non impossibile, la posta da
10
giocare diventerebbe 2 (ovvero 1024) volte la posta iniziale, sebbene il premio in gioco sia
miseramente il doppio della posta ( v = 2 ), e detratta la posta giocata, il guadagno netto sia
pari alla posta stessa. Rischiare 1024 volte un certo importo, nella speranza di guadagnare lo
stesso importo, non è propriamente un investimento intelligente.
Siccome poi non vi sono limiti alla sequenza di puntate perse, queste potrebbero superare
anche le 10 consecutive e qui, anche ammesso di avere il capitale per continuare a giocare, ci
si scontrerebbe con i regolamenti dei casinò, che prevedono una puntata massima oltre la
quale non è possibile giocare. Generalmente questo valore massimo si colloca tra 1000 e 5000
12
volte la puntata iniziale. Questo significa che qualora il nostro ritardo sia di 12 volte (2 =
13
4096) o 13 volte ( 2 = 8192) non saremmo più autorizzati a continuare la nostra
progressione, perfino nel caso avessimo il capitale rimanente per farlo.
15
Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
In pratica è sufficiente un ritardo di 6 o 7 giocate senza vincite per mettere in difficoltà un
tipico giocatore, poiché la posta da puntare si aggirerebbe già intorno a cento volte quella
6
7
iniziale (infatti 2 = 64 ; 2 = 128). Poiché la probabilità che ciò avvenga non è trascurabile, e
considerato soprattutto che abbiamo sempre le probabilità a sfavore, il baratro è sempre in
agguato.
Il metodo Labouchere è un ingegnoso ed affascinante metodo che intende evitare la
rapidissima crescita della posta che si ha nella Martingala e che addirittura permette (secondo
i suoi sostenitori) di programmare in anticipo l'importo che vogliamo vincere! Purtroppo
anche questo sistema è perdente.
Immaginiamo di voler vincere (per esempio) 23 Euro. Scriviamo una sequenza di numeri
naturali qualsiasi che sommati diano 23. Per esempio: 5; 3; 4; 5; 4; 2. Prendiamo gli estremi,
cioè il primo e l'ultimo numero, 5 e 2, sommiamoli, e giochiamo l'importo ottenuto, cioè 7
Euro. Se vinciamo, incassiamo 14 Euro, di cui 7 sono di guadagno netto, e cancelliamo i due
numeri estremi. La nostra sequenza quindi si accorcia e diventa 3; 4; 5; 4. Continuiamo poi
con lo stesso principio (giocando la somma degli estremi) finché tutti numeri si saranno
cancellati: ovviamente alla fine avremo guadagnato un importo totale pari alla somma dei
numeri, cioè 23 Euro, come prefissato.
Ma che cosa succede se non vinciamo? Torniamo alla prima giocata: se perdiamo, scriviamo
l'importo perso in coda alla nostra sequenza, che nel caso in esame diventa 5; 3; 4; 5; 4; 2; 7.
A questo punto ricominciamo seguendo le solite regole: giochiamo la somma nei nuovi
estremi, cioè 7 + 5 = 12. E così via. In caso di vincita, ciò ci permette anche di recuperare i 7
Euro persi nella prima giocata. Alla fine, se riusciamo a cancellare tutti i numeri, avremo
guadagnato comunque i 23 Euro prefissati. L'illusione sta sempre nella convinzione che
“prima o poi” il nostro colore (rosso o nero) uscirà e vinceremo sicuramente, il che fa
dimenticare che “prima o poi” potremmo rimanere senza soldi a disposizione per giocare,
evenienza quasi certa poiché le probabilità sono a nostro sfavore. Un altro elemento che
contribuisce alla nostra chimera è che quando vinciamo, cancelliamo due numeri, mentre
quando perdiamo, aggiungiamo un solo numero, per cui la sequenza tenderà ad accorciarsi più
che ad allungarsi. Purtroppo però il numero che aggiungiamo quando perdiamo è uguale alla
somma dei precedenti estremi, e va sommato all'altro estremo, per cui la puntata diventerà
sempre più grande, e in caso di una successione sfortunata di perdite, tale numero diventa
enorme, riportandoci alla triste realtà: la Labouchere è anch'esso un sistema perdente.
La Martingala (caso con fattore di vincita v = 2 ) è stata oggetto di numerosi studi
accademici, anche piuttosto approfonditi e complessi, da parte di vari autori. Tuttavia non
sembra esistere un articolo che dia una dimostrazione generale come la presente, esposta in
termini relativamente semplici, che valga per un qualsiasi fattore di vincita v generico.
Un'avvertenza. Tutto questo si applica ai cosiddetti giochi d'azzardo, basati sul caso, ma non
quelli dove il giocatore può far valere una propria conoscenza – ad esempio nelle scommesse
sportive, in borsa, o in altri giochi o mercati – conoscenza che potrebbe rendere le probabilità
di vincita a suo favore.
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Scientia - Vol. 124 – Dimostrazione del carattere perdente delle progressioni nel lotto
Appendice. Descrizione della tabella del paragrafo V.
Le colonne rappresentano:
A) Numero n di giocate (o colpi) effettuate nel tentativo di indovinare un estratto semplice.
B) Numero probabile di numeri ancora non usciti su una certa ruota. Per esempio dopo 15
colpi leggiamo 38,18: significa che dei 90 numeri della ruota, solo 38 circa non saranno
ancora stati estratti finora. Il valore si trova facendo applicando la percentuale della colonna C
al totale di 90 numeri.
C) Probabilità di zero vincite in n colpi, cioè di non aver indovinato il nostro numero fino a
quel momento.
D) Probabilità che il nostro numero sia uscito una sola volta negli n colpi.
E) Probabilità (complementare a quella indicata nella colonna C) che il nostro numero sia
uscito almeno una volta negli n colpi (potrebbe essere uscito anche due o più volte).
F) Probabilità che il nostro numero sia uscito due o più volte negli n colpi.
G) Fattore per il quale ad ogni colpo (se non vinciamo) dobbiamo moltiplicare la nostra
puntata, rendendola sempre più alta.
H) Posta effettiva in Euro, cioè 5 Euro per il fattore indicato nella colonna G.
I) Eventuale incasso che deriverebbe dall'eventuale vincita basata sulla posta indicata in H.
J) Spesa totale dovuta alle puntate effettuate fino a quel momento.
K) Eventuale guadagno netto in caso di vincita, che rimarrà 47,79 Euro in tutti i casi, anche
qualora la puntata raggiunga livelli altissimi.
La tabella procede di un'estrazione ad ogni riga tra 0 e 20, dopo di che, per brevità, non
procede più di una alla volta, ma salta a 24, 30, 36 eccetera, numeri che per questo motivo
sono indicati in corsivo.
17