Sviluppi di Mc Laurin - Dipartimento di Matematica
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Sviluppi di Mc Laurin - Dipartimento di Matematica
Analisi Matematica 1 Formule di McLaurin di Funzioni Elementari Supponiamo che x → 0. Allora • ex = 1 + x + x2 xk +···+ + o xk 2! k! • sin x = x − x2k+1 x3 x5 + + · · · + (−1)k + o x2k+2 3! 5! (2k + 1)! • cos x = 1 − x2 x4 x2k + + · · · + (−1)k + o x2k+1 2! 4! (2k)! • sinh x = x + x3 x5 x2k+1 + +···+ + o x2k+2 3! 5! (2k + 1)! • cosh x = 1 + x2k x2 x4 + +···+ + o x2k+1 2! 4! (2k)! x2 x3 xk + + · · · + (−1)k−1 + o xk 2 3 k α α 2 α k α • (1 + x) = 1 + x+ x +···+ x + o xk 1 2 k α dove, per α ∈ R e k ∈ N , è il coefficiente binomiale generalizzato cosı̀ definito k α α (α − 1) · · · (α − k + 1) = . k k! • log(1 + x) = x − In particolare, per α = −1 e α = 1 2 si ottiene 1 = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)k xk + o xk 1+x √ 1 3 5 4 1 + x = 1 + 12 x − 18 x2 + 16 x − 128 x + o x4 • arctan x = x − x3 x5 x2k+1 + + · · · + (−1)k + o x2k+2 3 5 2k + 1 • arcsin x = x + x3 3 + x5 + o x6 6 40 • tan x = x + x3 2 + x5 + o x6 3 15 1