Previsione della domanda

Impianti Industriali
La previsione della domanda
Metodi di estrapolazione
Ing. Lorenzo Tiacci
1
Le componenti della domanda
Tendenziali (trend)
Trend
Congiunturale
Stagionale
Casuale
a carattere generalmente crescente
e decrescente
Sistematiche
dovuta all’azione individuabile
e misurabile di forze e natura
determinata;
Cicliche (congiunturali)
oscillatoria con ciclo di ampiezza e periodo
variabili nel tempo
Componenti
Oscillatorie
Domanda
Es. congiuntura costo dollaro+ costo brent =
Casuali
tempo
dovuta all’insieme di tutte le altre
forze di natura non determinata
prezzo benzina
Stagionali
oscillatorie con ciclo di periodo costante nel
tempo
2
Possibili modelli di domanda
Modelli moltiplicativi:
componente sistematica=level × trend × fattore stagionale
Modelli addittivi:
componente sistematica=level + trend + fattore stagionale
Misto:
componente sistematico=(level + trend) × fattore stagionale
3
Stima delle componenti della domanda
Si considera sempre modello misto
Ft + l = [L + (t + l ) ⋅ T ]⋅ S t + l
•
•
•
•
•
L= stima del livello (domanda destagionalizzata)
T=stima del trend (incremento o decremento domanda)
St =stima del fattore stagionale periodo t
Dt=domanda effettiva osservata periodo t
Ft=previsione della domanda periodo t
4
Anno
Trimestre
Periodo t
Domanda Dt
2000
2
1
8000
2000
3
2
13000
2000
4
3
23000
2001
1
4
34000
2001
2
5
10000
2001
3
6
18000
2001
4
7
23000
30000
2002
1
8
38000
20000
2002
2
9
12000
2002
3
10
13000
2002
4
11
32000
2003
1
12
41000
Esempio
Domanda
50000
40000
10000
0
00-02 00-03 00-04 01-01 01-02 01-03 01-04 02-01 02-02 02-03 02-04 03-01
Trimestre
• Fattori stagionali e trend evidenti
• il livello, trend e le stagionalità possono essere stimati in due fasi
1) Destagionalizzazione e regressione lineare per stimare livello e trend
2) Stimare i fattori stagionali
5
Destagionalizzazione domanda
1) stima del livello L e del trend T
Bisogna eliminare dai dati di
domanda gli effetti stagionali
(destagionalizzazione)
si calcola per ogni periodo la
media centrata di un numero di
valori, uguali alla periodicità,
della domanda osservata
Se la periodicità è pari, si effettuano prima le medie mobili
primarie, e poi le si centrano
t −1+ ( p / 2 )


2 ⋅ Di  /( 2 p )
Dt =  Dt −( p / 2) + Dt + ( p / 2) +

i =t +1− ( p / 2 ) 

∑
Dt =
t + ( p /2) 
∑
i = t − ( p /2) 
Di / p
se p è pari
se p è dispari
6
I valori trovati attraverso le medie non coprono tutto
l’intervallo dei dati. Essi vengono estesi ai dati mancanti
attraverso una regressione lineare
Periodo t
Domanda Dt
Medie centrate
1
8000
2
13000
3
23000
19750
4
34000
20625
5
10000
21250
6
18000
21750
7
23000
22500
8
38000
22125
9
12000
22625
10
13000
24125
11
32000
12
41000
Effettiva
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
00-02 00-03 00-04 01-01 01-02 01-03 01-04 02-01 02-02 02-03 02-04 03-01
Trimestre
medie centrate
7
Si suppone che la componente destagionalizzata abbia un andamento
lineare del tipo:
Dt = L + Tt
ed attraverso una Regressione lineare si trovano il coefficiente angolare ed
il termine noto della retta che minimizza le distanze al quadrato dai punti
trovati con le medie centrate.
I punti della retta di regressione (estendibili a tutti i periodi)
rappresentano la domanda destagionalizzata
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
0
1
2
3
4
domanda osservata
5
6
7
8
medie centrate
9
10
11
12
13
destagionalizzata
8
Si suppone che la componente destagionalizzata abbia un andamento
lineare del tipo:
S
Minimizzando l’espressione: =
n
∑ ( xt −L − Tt )2
t =1
 n +1  n
∑ txt −  2  ∑ xt

t 1
=t 1 =
si ottengono:
T=
n(n 2 − 1) /12
n
Nell’esempio:
L=18439 (termine noto)
T=524 (coeff. Angolare)
ρ = 0,904
2
n
∑ xt / n − T (n + 1) / 2
L
=
t =1
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
0
1
2
3
4
domanda osservata
5
6
7
8
medie centrate
9
10
11
12
13
destagionalizzata
9
Stima dei fattori stagionali
Periodo t
Trimestre
Domanda
Dt
Destagionaliz
zata
Fattore
stagionale
1
2
8000
18963
0,42
2
3
13000
19487
0,67
3
4
23000
20010
1,15
4
1
34000
20534
1,66
5
2
10000
21058
0,47
6
3
18000
21582
0,83
7
4
23000
22106
1,04
8
1
38000
22629
1,68
9
2
12000
23153
0,52
10
3
13000
23677
0,55
11
4
32000
24201
1,32
12
1
41000
24725
1,66
Dt
St =
Dt
Nelle medie statiche i fattori
stagionali hanno un unico valore
per ciascun anno, che si prende
pari alla media dei fattori
stagionali calcolati nei periodi
corrispondenti
ad esempio, il fattore stagionale del primo
trimestre è dato dalla media dei tre fattori
stagionali trovati, e cioè:
(1,66+1,68+1,66)/3
10
Attraverso la formula:
Ft + l = [L + (t + l ) ⋅ T ]⋅ S t + l
si stima quindi la domanda futura
50000
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
s
0
1
2
3
4
5
6
7
domanda osservata
destagionalizzata
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
medie centrate
previsione
11
Serie temporali – Stime adattative
La stima del livello, del trend e della stagionalità sono aggiornate
dopo ogni osservazione.
Si considera sempre modello misto
Ft +l=
•
•
•
•
•
[ Lt + l ⋅ Tt ] ⋅ St +l
Lt = stima del livello a t=0 (domanda destagionalizzata)
Tt=stima del trend (incremento o decremento domanda)
St =stima del fattore stagionale periodo t
Dt=domanda effettiva osservata periodo t
Ft=previsione della domanda periodo t
12
Serie temporali – Stime adattative
4 fasi:
I. Inizializzazione
II. Previsione
III. Stima dell’errore
IV. Modifica delle stime
13
4 fasi
I.
Inizializzazione
- Stimare livello iniziale L0, trend T0 e fattori stagionali (S1,..,Sp) dai dati sperimentali
II.
Previsione
- Date le stime nel periodi t effettuare le stime per il periodo t+1 con il modello:
Ft +l = [Lt + (t + l ) ⋅ Tt ]⋅ St +l
- Prima previsione per modello 1 con i valori del periodo 0
III.
Stima dell’errore
- Nel periodo successivo si registra la domanda effettiva Dt+1 per il periodo t+1
- Si calcola l’errore Et+1 per la previsione t+1 come differenza tra domanda
effettiva e prevista:
t +1
t +1
t +1
E
= F −D
IV.
Correzione delle stime
- Si modifica il livello della stima Lt+1, il trend Tt+1 e il fattore stagionale St+p+1, dato
l’errore nella previsione
- Correzione tale che se la domanda è inferiore alle previsioni, le stime sono riviste
al ribasso, mentre se la domanda è alta, le stime sono riviste al rialzo. 14
Serie temporali – Stime adattative
Le stime riviste nel periodo t+1 sono utilizzate
per le previsioni nel periodo t+2 e i passi
2,3 e 4 sono ripetuti finche tutti i dati storici
fino al periodo n sono stati coperti
Le stime del periodo n sono quindi usate per
la previsione della domanda futura
15
I metodi di previsione adattativi
Media mobile
Smorzamento esponenziale semplice
Smorzamento esponenziale corretto per il trend
Smorzamento esponenziale corretto per il trend e la
stagionalità
La scelta del metodo più appropriato dipende dalle caratteristiche della domanda,
in particolar modo da come è strutturata la componente sistematica
16
Medie mobili
Utilizzabile se non vi è né trend né stagionalità, per cui:
componente sistematica = livello
•
Stima del livello al periodo t come stima degli N periodi più recenti:
 Dt + Dt −1 + ... + Dt − N +1 
Lt = 

N


•
Previsione al tempo t dipende solo da Lt:
Ft +1 = Lt
•
Ft + n = Lt
Dopo aver osservato la domanda al periodo t+1, si rivedono le stime così:
Lt +1
 Dt +1 + Dt + ... + Dt − N + 2 
=

N


Ft + 2 = Lt +1
e cioè per calcolare la nuova media mobile si aggiunge semplicemente
l’ultima osservazione e si scarta la prima
17
Smorzamento esponenziale semplice
Utilizzabile se non vi è né trend né stagionalità, per cui:
componente sistematica = livello
•
Il valore iniziale L0 è preso come la media di tutti i dati storici a
disposizione:
n
∑D
t
L0 =
•
i =1
n
Previsione al tempo t dipende solo da Lt:
Ft +1 = Lt
•
Ft + n = Lt
Dopo aver osservato la domanda al periodo t+1, si rivedono le stime così:
Lt +1 = α ⋅ Dt +1 + (1 − α ) ⋅ Lt
0 ≤α ≤1
α è la costante di smorzamento del livello.
Il valore rivisto del livello è una media pesata del valore osservato del livello nel periodo t+1
(Dt+1) e la previsione del livello fatta con i dati del periodo t (Lt)
18
Smorzamento esponenziale semplice
In questo modo la stima del livello è una media pesata di tutti le
osservazioni passate della domanda, con i pesi che decrescono
esponenzialmente quanto più il dato di domanda è lontano:
Lt +1 = α ⋅ Dt +1 + (1 − α ) ⋅ Lt
Lt = α ⋅ Dt + (1 − α ) ⋅ Lt −1
Lt +1 = α ⋅ Dt +1 + (1 − α ) ⋅ (α ⋅ Dt + (1 − α ) ⋅ Lt −1 )
Lt +1 = α ⋅ Dt +1 + (1 − α ) ⋅ α ⋅ Dt + (1 − α ) ⋅ α ⋅ Dt −1...
2
t +1
Lt +1 =
∑α (1 − α )
n
Dt +1− n
n =0
Valori maggiori di α corrispondono a previsioni più reattive rispetto
alle oscillazioni della domanda
19
Smorzamento esponenziale semplice
Valori maggiori di α corrispondono a previsioni più reattive
rispetto alle oscillazioni della domanda :
Lt =Lt −1 + α ( Dt − Lt −1 ) ⋅
Lt = α ⋅ Dt + (1 − α ) ⋅ Lt −1
Dt
Dt − Lt −1
Lt
α ( Dt − Lt −1 )
Lt −1
t-1
t
20
Smorzamento esponenziale
corretto per il trend (modello di Holt)
Utilizzabile se vi è trend ma non stagionalità, per cui:
componente sistematica = livello + trend
•
Si stima il livello al periodo 0, L0, ed il trend al periodo 0, T0, facendo la
regressione lineare dei dati di domanda Dt a disposizione (non c’è bisogno di
destagionalizzare visto che si suppone l’assenza della componente stagionale)
Dt = a ⋅ t + b
L0 = b
T0 = a
•
La previsione sarà pari a:
•
Dopo aver osservato la domanda al periodo t+1, si rivedono le stime così:
Ft +1 = Lt + Tt
Ft + n = Lt + nTt
Lt +1 = α ⋅ Dt +1 + (1 − α ) ⋅ (Lt + Tt )
0 ≤α ≤1
Tt +1 = β ⋅ (Lt +1 − Lt ) + (1 − β ) ⋅ Tt
0 ≤ β ≤1
α è la costante di smorazamento del livello.
Il valore rivisto del livello è una media pesata del valore osservato del livello nel periodo t+1 (Dt+1) e la
previsione del livello che si poteva fare con i dati del periodo t (Lt+Tt)
β è la costante di smorazamento del trend.
) e la
Il valore rivisto del trend è una media pesata del valore osservato del trend nel periodo t+1 (Lt+1-Lt21
previsione del trend che si poteva fare con i dati del periodo t (Tt)
Smorzamento esponenziale
corretto per trend e stagionalità (modello di Winter)
Utilizzabile se vi è sia trend che stagionalità, per cui:
componente sistematica = (livello + trend)*stagionalità
•
Si stima il livello iniziale, il trend iniziale ed i coefficienti di stagionalità iniziali
con procedimento analogo al metodo statico e cioè: destagionalizzando la
domanda, facendo la regressione lineare dei dati di domanda destagionalizzata
(trovando quindi livello e trend) e calcolando quindi i coefficienti stagionali.
•
La previsione sarà pari a:
Ft +1 = (Lt + Tt ) ⋅ S t +1
Ft + n =( Lt + nTt ) ⋅ St + n
22
Smorzamento esponenziale
corretto per trend e stagionalità (modello di Winter)
•
Dopo aver osservato la domanda al periodo t+1, si rivedono le stime così:
Lt +1
Dt +1
=α ⋅
+ (1 − α ) ⋅ (Lt + Tt )
S t +1
Tt +1 = β ⋅ (Lt +1 − Lt ) + (1 − β ) ⋅ Tt
S t + p +1
 Dt +1 
 + (1 − γ ) ⋅ S t +1
= γ ⋅ 

L
 t +1 
0 ≤α ≤1
0 ≤ β ≤1
0 ≤ γ ≤1
α è la costante di smorzamento del livello.
Il valore rivisto del livello è una media pesata del valore osservato del livello nel periodo t+1 (Dt+1/St+1) e
la previsione del livello che si poteva fare con i dati del periodo t (Lt+Tt)
β è la costante di smorzamento del trend.
Il valore rivisto del trend è una media pesata del valore osservato del trend nel periodo t+1 (Lt+1-Lt) e la
previsione del trend che si poteva fare con i dati del periodo t (Tt)
γ è la costante di smorzamento della stagionalità.
Il valore rivisto del coefficiente di stagionalità è una media pesata del valore osservato della stagionalità
23
nel periodo t+1 (Dt+1/Lt+1) e la previsione della stagionalità che si poteva fare con i dati del periodo t
(St+1)
Metodi di previsione adattativi – riassunto
Metodo Previsionale
Applicabilità
Media mobile
No tendenza no stagionalità
Smorzamento semplice
No tendenza No stagionalità
Modello di Holt
Tendenza no stagionalità
Modello di Winter
tendenza e stagionalità
24
Misure di Errore
Come abbiamo visto, nei metodi di previsione i riesce a modellare
solo la parte sistematica della domanda; la parte casuale si
evidenzia nell’errore
Et = Ft − Dt
• Usare l’errore per verificare se il metodo attuale di previsione è
accurato nel valutare la componente sistematica della domanda
•
Se gli errori che si manifestano sono in linea con quelli previsti da dati
storici il modello è valido. Nel caso siano più grandi rivedere il modello
•
L’orizzonte di valutazione dell’errore deve essere di un tempo
almeno uguale al LT dei fornitori
25
Errore quadratico medio
(Mean square error)
Deviazione Assoluta
Errore medio assoluto
(Mean absolute deviation)
1 n 2
MSEn = ∑ Et
n t =1
At = Et
1
MADn =
n
n
Errore assoluto percentuale
(Mean Absolute Percentage Error) MAPEn =
∑A
∑
t =1
n
t
t =1
Et
100
Dt
n
n
Errore medio (Bias = polarizzazione)
Tracking signal
Convenzionalmente se -6<TS<6 modello può
essere accettato
BIAS n = ∑ Et
t =1
BIAS n
TS n =
MADn
26
Alternativa per l’aggiornamento dell’errore
MSE=
t
MSEt
2
ω Et
+ (1 − ω ) MSEt −1
= Stima dell’MSE al periodo t
ω = costante di smorzamento, tra 0.01 e 0.1
Stesso concetto dello smorzamento esponenziale:
- Non si devono registrare lunghe serie di dati
- Si pesano gli errori rilevati smorzandone
esponenzialmente il peso all’aumentare della distanza nel
tempo
27