Logaritmi - Dip. di Matematica Roma Tre
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Logaritmi - Dip. di Matematica Roma Tre
1 Università “Roma Tre” – L. Chierchia Logaritmi (13/11/2016) Vogliamo definire e discutere le principali proprietà dei logaritmi. Teorema 1 Sia a > 0 e a 6= 1. Per ogni x > 0 esiste un unico λ ∈ R tale che aλ = x; tale numero prende il nome di logaritmo in base a di x e si denota con1 λ := loga x. La funzione x ∈ (0, ∞) 7→ loga x ∈ R gode delle seguenti proprietà: (i) loga a = 1, loga 1 = 0. (ii) loga−1 x = − loga x. (iii) loga (xy) = loga x + loga y, ∀ x, y > 0. (iv) loga xt = t loga x, ∀ x > 0, ∀ t ∈ R. [In particolare, loga ax = x, ∀ x ∈ R]. (v) loga x = loga x − loga y, ∀ x, y > 0. y (vi) loga x = loga b logb x, ∀ x > 0, ∀ b > 0, b 6= 1. [“Cambio di base”] (vii) Se a > 1, x → loga x è strettamente crescente. Se a < 1, x → loga x è strettamente decrescente. (viii) Se a > 1, allora loga x > 0 se x > 1 e loga < 0 se 0 < x < 1. Se a < 1, allora loga x > 0 se 0 < x < 1 e loga > 0 se x > 1. (ix) Se a > 1, allora lim loga x = +∞, lim loga x = −∞. x→+∞ x→0 Se a < 1, allora lim loga x = −∞, lim loga x = +∞ x→+∞ x→0 Dimostrazione L’unicità è immediata: se aλ1 = x = aλ2 dall’iniettività della funzione esponenziale y → ay segue che λ1 = λ2 . Dimostriamo, ora, l’esistenza nel caso a > 1. Sia E := {t ∈ R| at < x}. Poiché a−n & 0, esiste un m ∈ N tale a−m < x e quindi t = −m ∈ E 6= ∅. Poiché an % +∞, esiste m ∈ N tale che am > x e quindi se t ∈ E, at < x < am e, poiché y → ay è strettamente crescente, deve essere t < m, ossia E è limitato superiormente. Sia λ := sup E. Supponiamo (per assurdo) 1 1 che aλ < x. Poiché aλ+ n = aλ a n & aλ , segue (dalla definizione di limite) che esiste un m 1 1 tale che aλ+ m < x; ma allora λ + m ∈ E, il che contraddice il fatto che λ è un maggiorante. 1 Supponiamo (per assurdo) che aλ > x. Poiché aλ− n % aλ , segue che esiste un m tale che 1 1 x < aλ− m < aλ , il che implica che λ − m è un maggiorante di E strettamente più piccolo di λ, contraddicendo il fatto che λ è il più piccolo dei maggioranti. Abbiamo dimostrato che aλ = x (e quindi l’esistenza del logaritmo nel caso a > 1). Se 0 < a < 1, poniamo per definizione λ := − loga−1 x , 1 Dunque, (1) la funzione x ∈ (0, +∞) 7→ loga x è la funzione inversa della funzione esponenziale λ ∈ R 7→ aλ . 2 Università “Roma Tre” – L. Chierchia (cosa che possiamo fare poiché a−1 > 1). Allora aλ = a− loga−1 x = 1 = (a−1 )loga−1 x = x , aloga−1 x dimostrando, anche in questo caso, l’esistenza di numero λ tale che aλ = x. Passiamo a dimostrare le proprietà del logaritmo2 . (i): a1 = a =⇒ loga a = 1; a0 = 1 =⇒ loga 1 = 0. (ii): Nel caso 0 < a < 1 la (ii) vale per definizione di loga x. Nel caso a > 1, si ha a−1 < 1 e quindi, di nuovo per definizione di logaritmo con base minore di 1, si ha che loga−1 x = − log(a−1 )−1 x = − loga x e quindi la (ii) vale anche in questo caso. (iii): aloga x+loga y = aloga x aloga y = xy =⇒ loga (xy) = loga x + loga y. t loga x loga x t t t (iv): a = a =x =⇒ loga x = t loga x. (v): Da (iii) e (iv) con t = −1 segue loga xy = loga (xy −1 ) = loga x+loga (y −1 ) = loga x−loga y. logb x (vi): a(loga b logb x) = aloga b = blogb x = x =⇒ loga x = loga b logb x. (vii): sia a > 1 e x < y; se, per assurdo, loga x ≥ loga y si avrebbe (poiché t → at è strettamente crescente) x = aloga x ≥ aloga y = y (contraddizione). Nel caso a < 1, da (vi) si ha che loga x = − loga−1 x e dunque loga x è decrescente essendo l’opposto della funzione crescente x → loga−1 x. (viii): segue da (vii) e da (i). (ix): segue facilmente3 dalla definizione di limite e da (vii). 2 Si noti che dall’unicità del logaritmo segue che se az = x (per un a > 0 e a 6= 1) allora log x = z e si a ricordino le proprietà fondamentali delle funzioni esponenziali y → ay . 3 Esercizio.