Il metodo di esaustione - Euclide, Archimede, Apollonio File

LEIBNIZ, NEWTON E
IL CALCOLO INFINITESIMALE
nel XVII e XVIII sec.
Clara Silvia Roero
Problemi – calcolo infinitesimale
determinazione
della retta tangente
calcolo di aree e volumi
uguaglianza per equiscomposizione
criteri di inclusione
Grecia: Archimede, Euclide, Apollonio
1
IL METODO DI ESAUSTIONE
• per affrontare problemi di integrazione
• affonda le sue radici nelle considerazioni
infinitesimale dei filosofi del V secolo a.C.
di
tipo
• rigoroso, ma non euristico
doppia riduzione all’assurdo
A=B
A<B e A>B portano ad assurdi
si basa sul "postulato di Eudosso" e sulla Proposizione X. 1
degli Elementi di Euclide
Archimede
Area segmento di parabola
Approssimata con una poligonale
S-P < qualsiasi
area data
In termini moderni
2
Area segmento di parabola
S = 4/3 T
Metodo di esaustione
doppia riduzione all’assurdo
Sia S > 4/3 T
P < 4/3 T
S – P < S – 4/3 T
Volume della sfera
da cui P > 4/3 T
assurdo!
Prop. 2 del
Metodo sui teoremi meccanici
J. L. Heiberg 1906
AI2 = AC AS=d x
AI2 = AS2+SI2=x2+ y2
d
d
d x = x2+ y2
d
x y
d2 x = (x2+ y2) d
sez. cil.=sez.cono+
sez. sfera
Vol. cil. = Vol. cono+ vol. sfera
3
Periodo precedente la matematica infinitesimale del
XVII secolo
gli studi medioevali della scuola di Oxford
(Bradwardine) e della scuola di Parigi (Oresme)
portano alla meccanica del Rinascimento, caratterizzata
dal passaggio dalla statica alla dinamica;
vengono riscoperti, studiati, commentati e tradotti i
classici dell’antichità greca;
l’algebra si sviluppa e si risolvono le equazioni di 3° e
4° grado;
geometria e algebra si fondono a creare una nuova
geometria, più tardi chiamata ‘analitica’
Geometria degli indivisibili
1635
Italia, Francia, Olanda, Inghilterra
Geometria cartesiana
1637
Francia, Olanda
Calcolo differenziale e integrale
[1672-76] 1684 Acta Eruditorum
1686
Germania, Svizzera, Italia, Francia, Olanda, …
Calcolo delle fluenti e delle flussioni
Inghilterra [1665-66] 1704, 1711, 1736
4
Italia Scuola di Galileo
Galileo Galilei
B. Cavalieri
E. Torricelli
1564-1642
1598-1647
1608-1647
Gli indivisibili di Bonaventura Cavalieri 1635
Principio di Cavalieri, nel caso delle figure piane
“se due aree piane, tagliate da un
sistema di rette parallele
intercettano, sopra ognuna di
queste, due corde uguali le due
aree sono uguali; se le corde
corrispondenti hanno un rapporto
costante, lo stesso rapporto passa
tra le aree”.
B. Cavalieri, Geometria degli indivisibili, a cura di Lucio
Lombardo Radice, Classici della Scienza, UTET, 1966.
5
Evangelista Torricelli Opera Geometrica
Volume del solido iperbolico acutissimo
1644
0<x<a
O
a
La superficie laterale di un generico indivisibile:
2π x · y = 2π x ·1/x = 2π
totalità riempie un cilindro
V= 2π a
Francia
René Descartes
1596-1650
Pierre Fermat
1601-1665
6
Retta tangente
Géométrie 1637
normale
Retta tangente - FERMAT
Metodo dei massimi e minimi
funzione ƒ(x)
si voglia trovare il massimo o il minimo.
Nelle vicinanze di un massimo o di un minimo le variazioni
sono insensibili. Se a è il punto di massimo di ƒ si avrà
ƒ(a) ~ ƒ(a + E)
se E è molto piccola. L’uguaglianza approssimata o, come
dice Fermat, l’adaequatio, permette di determinare il max o
min. Raccogliendo i termini e dividendo per E Fermat ottiene
ƒ (a + E) – ƒ (a) ~ 0
E
e ponendo E=0 giunge al risultato, con un procedimento poco
rigoroso, che tuttavia anticipa il rapporto incrementale e
porterà dopo l’introduzione del limite alla derivata.
7
Gilles Personne de Roberval
1601-1675
retta tangente per via cinematica
P
"La direzione del movimento di un punto che descrive la curva è la
retta tangente della curva in ogni posizione di quel punto."
ISAAC BARROW (1630-1677)
Lectiones opticae et geometricae (1669-70)
Fornisce le regole per passare direttamente dall’equazione
della curva all’espressione della sua tangente in un punto,
considerando degli incrementi infinitesimi delle variabili e
trascurando gli infinitesimi di ordine superiore
Applicabile solo quando le variabili non sono separate
8
ISAAC BARROW (1630-1677)
Lectiones opticae et geometricae (1669-70)
Retta tangente
a, e infinitesimi
P
T
a
applicabile solo quando le
variabili sono separate
e
B
Barrow Teorema fondamentale del calcolo integrale
Y
P’
S
y
legame fra tangente e area
P
R
Q
T N
x
M
9
FRANCIA
Blaise Pascal 1623-1662
OLANDA
Christiaan Huygens 1629-1695
Gottfried Wilhelm Leibniz
Lipsia 1646 - Hannover 1716
1 luglio 1646
1661-1666 Lipsia, Jena
Filosofia, Diritto
1667 laurea Altdorf
1672-1676 Parigi
1687-1690 viaggi
1691 bibliotecario
consigliere storico …
1700 Accademia di
Berlino presidente
14 novembre 1716
10
Gottfried Wilhelm Leibniz
Lipsia 1646 - Hannover 1716
Matematico
• Calcolo infinitesimale
• Geometria differenziale
• Analysis situs
• Characteristica universalis,
Logica matematica
• Determinanti
• Macchine calcolatrici
• Aritmetica binaria
• ...
Parigi 1672-1676
Luigi XIV Académie des Sciences
11
Christiaan Huygens
1629-1695
Parigi 1672-1676
Trovare la somma dei
reciproci dei numeri
triangolari
NUMERI TRIANGOLARI
T1 T2
1 3
T3
6
T4
10
12
Trovare la somma dei reciproci dei numeri triangolari
Triangolo aritmetico
Misterioso legame fra somme e differenze !
13
Triangolo armonico
Somma dei primi n-1 quadrati
Operatore differenza
successioni aritmetiche
14
Traité du sinus du
quart de cercle 1658
Blaise Pascal
1623-1662
Triangolo caratteristico
Parigi 1672-1676
Calcolo differenziale
Retta tangente
Calcolo integrale
Aree, volumi, …
Equazioni differenziali Problema inverso delle tangenti
dy
y
St
dx
15
Acta Eruditorum
Lipsia
1684 il manifesto del calcolo differenziale
Nova methodus pro
maximis et minimis,
itemque tangentibus,
quae nec fractas, nec
irrationales quantitates
moratur, et singulare pro
illis calculi genus
ottobre 1684
E. W. von
Tschirnhaus
16
Difficoltà incontrate dai
contemporanei:
Eccessiva brevità e concisione
Errori tipografici
Nessuna dimostrazione delle
regole del calcolo differenziale
Uso nascosto degli infinitesimi
… recta aliqua pro arbitrio
assumta vocetur dx
Nessuna dimostrazione delle regole del calcolo differenziale
Uso nascosto degli infinitesimi
Differenziazione del prodotto ms. 1680
… et omissa quantitate quae infinite parva est
respectu reliquorum…
17
Esempi di applicazione del calcolo
differenziale Nova methodus ... 1684
1. Tangente alla curva di equazione
2. Rifrazione della luce
minimo
3. Tangente alla curva di equazione
Fermat-Descartes
Fermat-Descartes
4. Trovare la curva di sottotangente costante Descartes- de Beaune
1638-39
I PUNTI DI FLESSO
LEIBNIZ nella Nova Methodus 1684 dà due caratterizzazioni
1) Il punto di flesso è un punto di massimo o di minimo
dell’incremento dv
2) Il punto di flesso è un punto in cui la concavità e la convessità si
scambiano fra loro
(lapsus concavitas-convexitas)
dv > 0
x crescenti, v crescenti
dv < 0
x crescenti, v decrescenti
v crescenti
v decrescenti
dv > 0
dv < 0
non sempre vere
max, min
giustificazione
geometrica intuitiva
18
LEIBNIZ, Nova Methodus 1684
Convessità
Concavità
v crescenti
Concavità
Convessità
v decrescenti
dv crescenti
ddv > 0
dv decrescenti
ddv < 0
dv decrescenti
ddv < 0
dv crescenti
ddv > 0
minimo
massimo
LEIBNIZ, Nova Methodus 1684
Convessità
Concavità
v decrescenti
Concavità
Convessità
v crescenti
dv crescenti
ddv > 0
dv decrescenti
ddv < 0
dv decrescenti
ddv < 0
dv crescenti
ddv > 0
massimo
minimo
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Leibniz non considera nel 1684 i flessi a tangente orizzontale,
né i punti angolosi (cuspidi, ...) e inverte il teorema
“Itaque punctum flexus contrarii locum habet quando neque v
neque dv existente 0, tamen ddv est 0.”
flesso
esclusi nel 1684
massimo
minimo
Methodus Tangentium inversa, Agosto 1673
“Esto infinite parva EF = b = dx”
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Integrazione come “antidifferenziazione” in Leibniz
Leibniz concepisce
come “somma” di tutte le aree f(x)dx.
Partendo da f(x)dx si determina, se possibile, F(x) tale che
dF = f(x)dx, si pensi poi di dividere l’intervallo (a, b) in n parti
uguali e di considerare i punti x0 = a, x1, x2, …, xn-1, xn = b;
avremo i seguenti successivi dF:
F(x1) – F(a), F(x2) – F(x1), F(x3) – F(x2) …, F(b) – F(xn-1)
ISAAC NEWTON (1642-1727)
25 dicembre 1642 nasce a Woolstorp
1661
Trinity College di Cambridge
1663
segue le lezioni di I. Barrow
1665-66 biennium mirabilis
1687 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
1704
Tractatus de Quadratura curvarum
1711
De Analysi per Aequationes Numero
Terminorum Infinitas (1669)
1727 muore a Londra
1736 De Methodis serierum et fluxionum (1670-71)
21
Il fascino della ricerca matematica
"Non so come posso apparire al
mondo; ma ai miei occhi mi sembra
di essere stato solo come un
bambino assorto nei suoi giochi
sulla riva del mare e di essermi
divertito a trovare qua e là un
sassolino più liscio o una conchiglia
più graziosa del comune, mentre il
grande oceano della verità stava
tutto ancora da scoprire davanti a
me."
Isaac Newton
analisi fondata sulla cinematica
x fluente, grandezza matematica generata dal moto di un ente
flussione, velocità di accrescimento delle fluenti
Tractatus de quadratura curvarum (1704)
“Considero in questo lavoro le grandezze matematiche come
generate da un moto continuo. Le linee vengono descritte per
moto continuo di punti, le superfici per moto di linee,
chiamando flussioni queste velocità di accrescimento e fluenti
le quantità generate giunsi negli anni 1665-66 al metodo delle
flussioni”
22
Retta tangente
flussioni
F(x,y)=0
T
B
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
(1687)
“Per gli ultimi rapporti delle quantità evanescenti,
si deve intendere il rapporto … delle quantità non
prima di diventare nulle e non dopo, ma quello col
quale si annullano. […]
Gli ultimi rapporti con cui quelle quantità si
annullano non sono in realtà i rapporti delle ultime
quantità, ma i limiti ai quali i rapporti delle
quantità decrescenti si avvicinano sempre,
illimitatamente, e ai quali si possono avvicinare più
di qualunque differenza data e che però non
possono mai superare, né toccare, prima che le
quantità siano diminuite all’infinito.”
23
Teorema fondamentale del calcolo integrale –
metodo dei primi e ultimi rapporti
K
D
d
H
Bob
e viceversa, se y è la
curva, z sarà l’area ...
IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO
INTEGRALE – metodo delle flussioni
De quadratura…
“Poiché le aree ABC, ABED
sono descritte dalle ordinate
BC, EB, che si muovono con
moto uniforme lungo la base
AB, le flussioni di queste aree
staranno fra loro come le
ordinate BC, EB che le
descrivono e si possono
esprimere con quelle
ordinate, poiché quelle
ordinate sono nello stesso
rapporto degli accrescimenti
u, z
nascenti delle aree.”
aree
24
Serie
Nicolaus Mercator, James Gregory, ... , Isaac Newton
quadratura dell’iperbole
somma di
una serie
geometrica
integrando
termine a
termine
Newton riesce a ridurre a sviluppi in serie quasi tutte le espressioni
note: frazioni, radici, seno, cos, tang, loro funzioni inverse,...
calcolo di quadrature, integrazione di equazioni differenziali
Equazioni differenziali
y(0)=0
se si considerano a 2°membro solo i termini di grado zero, si ha
il 1° termine dello sviluppo sarà
introducendo questo nell’eqz e conservando solo i termini di 1° grado
introducendo questo y nell’eqz e conservando solo i termini di 2° grado
25
Leibniz e Newton a confronto
Newton, matematico con mentalità fisica:
– padre del concetto di “primitiva” di una funzione (si pone nell’ordine di
idee di trovare la funzione F(x) la cui “derivata” è la funzione f(x) data)
– La sua analisi infinitesimale è interpretazione del continuo generato dal
moto e le serie sono uno degli strumenti basilari del suo calcolo con cui
risolvere anche le equazioni differenziali
– 1665-66 “Biennium mirabilissimum” ideazione dei metodi infinitesimali
Leibniz, matematico con mentalità algebrica:
– padre del concetto di “differenziale” (differenza infinitesima) di una
funzione; gli operatori inversi d e ∫ sono gli strumenti basilari
– continuo generato dagli indivisibili: una superficie piana è concepita come
una totalità di ordinate dotate di spessore ydx. Il simbolo ∫ sta ad indicare la
‘somma’ di tali porzioni infinitesime che danno l’area.
– perviene all’integrale definito,
non passando attraverso una
primitiva F(x), ma concepisce l’area fornita da questo simbolo come una
“somma di infinite differenze”
– 1672-1676 ideazione del metodo differenziale
Huygens a Leibniz, 24.8.1690
«Ho visto di tanto in tanto qualcosa del Vostro
nuovo calcolo Algebrico negli Atti di Lipsia, ma
trovandovi delle oscurità, non l'ho
sufficientemente studiato per capirlo»
Huygens a Leibniz, 9.10.1690
«Ho cercato dopo la mia citata lettera di capire
il vostro calcolo differenziale e ho così insistito
che capisco ora, ma soltanto dopo due giorni, gli
esempi che ne avete dati, l'uno sulla Cicloide, che
si trova nella vostra lettera, l'altro nella ricerca
del Teorema del signor Fermat, che è nel
Giornale di Lipsia del 1684. E ho anche
riconosciuto i fondamenti di questo calcolo, e di
tutto il vostro metodo, che io stimo molto buono
e molto utile.»
26
Huygens a Leibniz, 17.9.1693
«Apprezzo sempre di più la bellezza della
geometria, per i nuovi progressi che si fanno
giornalmente, nei quali voi avete così grande
parte, Signore, se non altro grazie al vostro
meraviglioso calcolo. Eccomi ora mediocremente
addentro in quello, ma non capisco ancora nulla
del ddx, e vorrei sapere se avete incontrato dei
problemi importanti dove occorre usarlo, poichè
questo mi darebbe il desiderio di studiarlo.»
Matematici e Fisici
nella famiglia
BERNOULLI
17°-18° sec.
27
Jacob BERNOULLI
1654-1705
1687 professore di
matematica
all’Università Basilea
Johann Bernoulli
1667-1748
1695 professore di matematica
all’Università di Groninga
1705 Basilea
28
Bernoulli Jacob a Leibniz, 15.12.1687
«io penso, o Ill.mo, che tu tenga celate qui le tracce di una
matematica più sublime, che finora non sono ancora riuscito a
penetrare mediante la comune analisi cartesiana. Desidero
conoscere quella matematica, mediante la quale tu e il nobilissimo
Tschirnhaus avete trovato tante cose e tanto importanti sulla
quadratura del cerchio e sulle dimensioni di altre curve. Se mi
giudicherai degno di essere fatto partecipe di un raggio di luce di
questo vostro metodo (cosa che io desidero ardentemente), per
quanto ti sarà permesso dalle tue importantissime occupazioni,
farai sì che io, una volta messo al corrente delle tue scoperte,
diventerò non solo un loro ammiratore, ma anche un degno
estimatore e diffusore.»
VIAGGIO DI LEIBNIZ IN ITALIA
marzo 1687-marzo 1690
29
I pionieri
BERNOULLI
1705 prolusione di Johann a Basilea
… accadeva che non solo [mio fratello ed io]
comprendevamo chiaramente alcune cose molto oscure
e per primi afferravamo l'eleganza e l'utilità di questo
nuovo calcolo, ma in breve tempo lo rendevamo anche
così familiare, che senza grande sforzo rimuovevamo
gli scogli più impervi e le difficoltà che prima
sembravano insuperabili in questo profondo mare.
I pionieri BERNOULLI
Se è vero che questi approcci iniziali furono i
più felici, certo il progresso in questa direzione
non ci riuscì meno felicemente: tanto ci
struggevamo per una recente scoperta, tanto
eravamo in preda al suo fascino, che eccitati
da uno spirito di emulazione quasi frenetico, ci
esercitavamo a gara l'un con l'altro,
proponendoci a vicenda questioni di attualità,
difficili e sublimi, che prima di noi matematici
di prim'ordine a mala pena avevano osato
affrontare e noi ne trovavamo allora le
soluzioni come giocando.
30
I fratelli BERNOULLI
pionieri del calcolo leibniziano
Niente sembrava tanto difficile, né tanto intricato, che
muniti del nostro metodo non sperassimo di scioglierlo,
purché fossimo disposti a rivolgervi l’attenzione.
Un'immensa messe di nuove scoperte poi si dispiegava
abbondantemente sotto i nostri occhi; ci sembrava di
essere stati improvvisamente trasportati dall'angusto
golfo, nel quale prima nuotavamo, nel vastissimo oceano
in cui veleggiando velocemente, grazie allo spirare di un
vento favorevole, scoprivamo moltissime terre di verità
impenetrabili. Allora pensavamo di aver infine trovato la
chiave con cui poter aprire le serrature della natura e
penetrare in tutti i suoi arcani.
Acta Eruditorum
1690-1710
G. W. Leibniz
Jacob Bernoulli
Johann Bernoulli
31
curve trascendenti e problemi aperti
Cicloide
Isocrona
Spirale logaritmica
Catenaria
Elastica
Brachistocrona
Trattoria
Velaria
Lintearia
Curve che
Descartes
aveva escluso
dalla
geometria
equazioni differenziali
settembre 1687
ISOCRONA
Nouvelles de la Republique des Lettres
Leibniz ai Cartesiani: determinare la natura della curva lungo la
quale un corpo soggetto al suo peso discende uniformemente e si
avvicina ugualmente all’orizzonte in tempi uguali
velocità costante nella direzione verticale = -b
1687 Huygens
soluzione senza dimostrazione
1689 Leibniz
è la curva parabolica quadrato-cubica
1690 Jacob Bernoulli formulazione analitica col calcolo leibniziano
“Ergo et horum integralia aequantur”
32
trattoria
determinare la curva descritta su
un piano orizzontale da un
corpo pesante legato ad un
estremo di una corda il cui altro
estremo si muove lungo una
retta fissa situata in quel piano
settembre 1693
Leibniz
Catenaria 1690
Jacob Bernoulli
determinare la curva lungo la quale si
dispone una fune flessibile, soggetta al suo
peso, liberamente sospesa tra due punti
fissi
33
Acta Eruditorum 1691
CATENARIA
Leibniz i Bernoulli Huygens
Rettificazione
Evoluta
Baricentro
Quadratura di segmento
Raggio di curvatura
Superficie e volume del
catenoide
La sfida di Vincenzo Viviani 4 aprile 1692
Gottfried Wilhelm LEIBNIZ
Jacob BERNOULLI
L’HÔPITAL– Johann BERNOULLI
metodo degli indivisibili:
John WALLIS, David GREGORY
Guido GRANDI
34
“Compiaciuto
a tal punto di
questa meravigliosa spirale
per le sue proprietà così
singolari e stupefacenti che
non riesco a smettere di
contemplarla, ho pensato che
essa avrebbe potuto essere
abilmente utilizzata a
rappresentare in modo
simbolico varie cose.”
Jacob Bernoulli
Spirale logaritmica 1691
Poiché infatti è sempre simile a sé e, comunque la si evolva o
la si illumini con raggi di luce, genera la stessa spirale, la si
potrebbe considerare l’emblema della prole simile in tutto e
per tutto ai genitori, la figlia del tutto identica alla madre,
oppure (se non è proibito il confronto con i misteri dell’eterna
verità di fede) come simbolo della trinità, segno tangibile
dell’eterna generazione del Figlio, che del Padre è
l’Immagine, e da lui proviene come Luce che emana da Luce,
ed esiste con la sua stessa essenza.
O, se preferisci, poiché la nostra meravigliosa curva nella sua
mutazione resta sempre costantemente simile a sé stessa,
anche per numero, si potrebbe assumere come emblema di
fortezza e costanza nelle avversità, o anche come segno di
risurrezione, per un certo numero di volte, della nostra carne,
in seguito a varie alterazioni e infine alla morte stessa.
Perciò, volendo oggi imitare Archimede, volentieri gradirei
che questa spirale fosse incisa sulla mia tomba con l’epigrafe
Mutata di numero, risorgerà uguale a se stessa.”
35
Jacob Bernoulli e la Spirale logaritmica
Il patto fra i due
e le Lectiones di Johann
36
Primo trattato di
calcolo differenziale
Elastica 1691
Jacob Bernoulli
Galilei Discorsi
e dimostrazioni
1638
determinare la forma di una
trave uniforme ed elastica
sotto tensione supponendo
che essa sia fissata
verticalmente a un estremo e
che un peso sia attaccato
all’altro estremo in modo da
mantenerlo orizzontale
37
Elastica 1694
Jacob Bernoulli
a distanza orizzontale
fra i due estremi della
trave
Elastica 1694
Jacob Bernoulli
arco
Isocrona paracentrica
38
1697
brachistocrona
brachistocrona
cicloide
39
brachistocrona
Diffusione del calcolo
in Francia
Circolo di
Nicolas
Malebranche
Guillaume F. de
L’Hôpital 1661-1704
Pierre Varignon
1654-1722
40
Diffusione del calcolo
in Italia
Cattedra di Matematica
all’Università di Padova
1707-1713 Hermann
1716-1719 Nicolaus I Bernoulli
Jacob Hermann
Diffusione del calcolo in Italia
Jacopo Riccati
Gabriele Manfredi
Guido Grandi
1676-1754
1681-1761
1671-1742
41
Diffusione del calcolo
in Italia
Giulio Carlo Fagnani
1682-1766
Russia
Ramiro Rampinelli
Maria G. Agnesi
1697-1766
1718-1799
S. Pietroburgo
Jacob
Hermann
Leonhard Euler
1707-1783
Daniel Bernoulli
1678-1733
1700-1782
42
GUILLAUME FRANÇOIS DE L’HÔPITAL (1661-1704),
Analyse des infiniment petits (1696)
la principale e più accurata esposizione didattica del calcolo
differenziale,
in essa compaiono gli assiomi alla base del calcolo e le regole
di differenziazione,
sono sviluppati con molte esemplificazioni i temi della retta
tangente, dei massimi e minimi, dei punti di flesso e di
cuspide, delle evolute, delle caustiche e degli inviluppi.
PIERRE VARIGNON
Eclaircissemens sur l’analyse des infiniment petits (1725)
LEONHARD EULER: metodo degli zeri assoluti
Introductio in analysin infinitorum (1748),
Institutiones calculi differentialis (1755)
Institutiones calculi integralis (1768-1770)
JEAN LE ROND D’ALEMBERT: metodo dei limiti
Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des
arts et des métiers (1751-1780)
JOSEPH LOUIS LAGRANGE: algebrizzazione
dell’analisi
metodo delle funzioni derivate
Théorie des fonctions analytiques (1797)
Leçons sur le calcul des fonctions (1806)
43