Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo
Luciano Battaia
27 novembre 2008
L. Battaia - http://www.batmath.it
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 1 / 15
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
L. Battaia - http://www.batmath.it
Formula di Taylor
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 2 / 15
Derivate successive
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
Se una funzione è derivabile in un insieme A possiamo considerare
la funzione derivata f ′ : A → R e possiamo chiederci se questa
funzione è a sua volta derivabile (magari in un sottoinsieme di A).
Se si, diremo la nuova funzione che così si viene a costruire
derivata seconda e così via fin quando è possibile.
f ′′ , f ′′′ , f iv , . . . , f (n) .
Definizione. Una funzione si dice di classe C n se è derivabile
fino alla derivata n-esima e quest’ultima è continua (naturalmente
sono continue, in quanto derivabili, anche le precedenti). Se la
funzione è semplicemente continua si dice di classe C 0 .
L. Battaia - http://www.batmath.it
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 3 / 15
Approssimante lineare
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
Se una funzione è derivabile in un punto x0 allora esiste una
funzione ω(h) tale che
f (x0 + h) − f (x0 ) = f ′ (x0 )h + hω(h) ,
con
lim ω(h) = 0 .
h→0
Se scriviamo x − x0 al posto di h otteniamo
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )ω(x − x0 )
con
lim ω(x − x0 ) = 0 ,
x→x0
ovvero
(x − x0 )ω(x − x0 ) è infinitesima di ordine sup. a x − x0 in x0 .
L. Battaia - http://www.batmath.it
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 4 / 15
Approssimante lineare-2
f (x)
f (x0 )
|
f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 )
b
|
y
b
|
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
b
|
x0
L. Battaia - http://www.batmath.it
|
x
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 5 / 15
x
Approssimazioni migliori?
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
È possibile trovare approssimazioni “migliori” della funzione f ,
sempre nell’intorno di x0 , e considerando solo funzioni semplici
come i polinomi?
f (x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 .
f (x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
⇒
f (0) = a0 = 0!a0 ;
f ′ (x) = 4a4 x3 + 3a3 x2 + 2a2 x + a1
⇒
f ′ (0) = a1 = 1!a1 ;
f ′′ (x) = 12a4 x2 + 6a3 x + 2a2
f ′′′ (x) = 24a4 x + 6a3
⇒
⇒
f ′′ (0) = 2a2 = 2!a2 ;
f ′′′ (0) = 6a3 = 3!a3
f iv (x) = 24a4
⇒
f iv (0) = 24a4 = 4!a4 .
f (p) (0)
ap =
,
p!
L. Battaia - http://www.batmath.it
∀p ≤ n .
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 6 / 15
Approssimazioni migliori? - 2
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
f (x) = 2x3 + x e x0 = 1
2x3 + x = 2(x − 1)3 + 6(x − 1)2 + 7(x − 1) + 3 =
= a3 (x − 1)3 + a2 (x − 1)2 + a1 (x − 1) + a0 .
f ′′′ (1)
a3 =
,
3!
L. Battaia - http://www.batmath.it
f ′′ (1)
a2 =
,
2!
f ′ (1)
a1 =
,
1!
f (1)
a0 =
.
0!
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 7 / 15
Polinomio di Taylor
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
Cerchiamo un polinomio approssimante del tipo
f (x0 ) f ′ (x0 )
f ′′ (x0 )
f (n) (x0 )
2
+
(x−x0 )+
(x−x0 ) +· · ·+
(x−x0 )n
0!
1!
2!
n!
detto
Tn,x0 (x) ,
che differisca dalla funzione per
ω(x − x0 )
(x − x0 )n ,
n!
L. Battaia - http://www.batmath.it
con
lim ω(x − x0 ) = 0 .
x→x0
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 8 / 15
Taylor-Peano
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
Teorema (Formula di Taylor-Peano). Sia f una funzione definita
in un intervallo I =]a, b[ e sia x0 un punto di I. Supponiamo che
per ogni x ∈ I esista la derivata (n − 1)-esima di f , e che in x0
esista anche la derivata di ordine n. In queste ipotesi esiste una
funzione ω(x − x0 ) tale che per ogni x ∈ I si abbia
ω(x − x0 )
f (x)−Tn,x0 (x) =
(x−x0 )n
n!
con
lim ω(x−x0 ) = 0 .
x→x0
Dunque
f (x0 ) f ′ (x0 )
f (n) (x0 )
n ω(x − x0 )
f (x) =
+
(x−x0 )+· · ·+
(x−x0 ) +
(x−x0 )n
0!
1!
n!
n!
L. Battaia - http://www.batmath.it
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 9 / 15
Esempio - 1
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
sin x e T3,0 (x)
3
2
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
−2
−3
L. Battaia - http://www.batmath.it
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 10 / 15
Esempio - 1bis
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
sin x e T17,0 (x)
3
2
1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1
L. Battaia - http://www.batmath.it
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 11 / 15
Esempio - 2
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
f (x) =
(
−
e
0,
1
x2
, se x 6= 0 .
se x = 0
1.0
0.5
−1.5
L. Battaia - http://www.batmath.it
−1.0
−0.5
0.5
1.0
1.5
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 12 / 15
Esempio - 3
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
f (x) =
1
1 + x2
1.0
0.5
−1.5
−1.0
−0.5
0.5
1.0
1.5
−0.5
L. Battaia - http://www.batmath.it
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 13 / 15
Taylor-Lagrange
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
Teorema (Formula di Taylor-Lagrange). Sia f una funzione
definita in un intervallo I =]a, b[ e sia x0 un punto di I.
Supponiamo che per ogni x ∈ I esista la derivata di ordine n
continua e che almeno in tutti i punti di I \ {x0 } esista anche la
derivata di ordine n + 1 di f . Allora esiste almeno un punto c
compreso tra x0 e x o tra x e x0 tale che per ogni x ∈ I si abbia
f (n+1) (c)
(x − x0 )n+1 .
f (x) − Tn,x0 (x) =
(n + 1)!
Nelle ipotesi del teorema si può scrivere la seguente formula
(n+1)
f (x0 ) f ′ (x0 )
f (n) (x0 )
(c)
n f
f (x) =
+
(x−x0 )+· · ·+
(x−x0 ) +
(x−x0 )n+
0!
1!
n!
(n + 1)!
L. Battaia - http://www.batmath.it
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 14 / 15
Esempio
Formula di Taylor
Der.successive
Appross.lineare
Appross.lineare-2
Appr. migliori?
Appr. migliori?-2
Taylor
Taylor-Peano
Esempio - 1
Esempio - 1bis
Esempio - 2
Esempio - 3
Taylor-Lagrange
Esempio
x3 x5 cos c 7
sin x = x −
+
−
x .
3!
5!
7!
1
cos c
1
−
.
sin 1 = 1 − +
6 120
7!
Quindi
1
1
101
sin 1 ≃ 1 − +
=
,
6 120
120
con un errore minore di
1
5040 .
Controllo:
101
= 0.8416 ,
120
L. Battaia - http://www.batmath.it
sin 1 = 0.84147098480789650665 . . .
Mat. 1 - I mod. Lez. del 27/11/2008 – 15 / 15