problemi sui moti rettilinei
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problemi sui moti rettilinei
ESERCIZI SVOLTI DI CINEMATICA 1. Un treno A parte da Valencia alle ore 12:00 diretto verso Barcellona, distante 350 πΎπ , viaggiando ad una velocità media costante di 100 πΎπ β . Un secondo treno B parte da Barcellona diretto verso Valencia alle ore 14:00 e viaggia ad una velocità media costante di 80 πΎπ β. A che ora e a quale distanza da Valencia i due treni si incontrano? 14: 50; β 283 πΎπ SOL. Dividiamo il problema in due fasi: a) Dalle 12:00 alle 14:00 si muove solo il treno A, mentre il treno B rimane fermo a Barcellona. b) Dalle 14:00 in poi si muovono entrambi i treni, lβuno verso lβaltro. FASE a) Fissiamo lβorigine degli spazi a Valencia, il verso positivo da Valencia a Barcellona e come unità di misura degli spazi il Km. Scegliamo come origine dei tempi lβistante in cui A parte da Valencia. Quindi lβequazione oraria di A è: π = 100 π‘ Quando parte il treno B da Barcellona, cioè quando π‘ = 2 β si ha che la posizione di A è π = π 2 β = 100 β 2 = 200 πΎπ . FASE b) Ora fissiamo una nuova origine degli spazi nel punto in cui si trova A alle 14:00 ( cioè come abbiamo appena visto a 200 Km da Valencia). Il verso positivo degli spazi è lo stesso di prima , ovvero da Valencia a Barcellona, e lβunità di misura ancora in Km. Fissiamo come nuova origine dei tempi lβistante in cui parte B da Barcellona. Con queste premesse le equazioni orarie dei due treni sono: π‘ππππ π΄: π‘ππππ π΅: π = 100 π‘ π = β80 π‘ + 350 β 200 Osserviamo che la velocità del treno B è negativa in quanto si muove in verso opposto al nostro verso positivo e inoltre la posizione iniziale del secondo treno è 350 β 200 = 150 πΎπ poiché nella prima fase del problema A si è avvicinato a Barcellona di 200 πΎπ (riducendo così la distanza iniziale tra i due treni che era di 350 πΎπ ). Per determinare lβistante e la posizione dellβincontro basta risolvere il sistema delle due leggi orarie precedentemente scritte, quindi: π = 100 π‘ π = β80 π‘ + 150 π = 100 π‘ 180 π‘ = 150 π = 100 π‘ 100 π‘ = β80 π‘ + 150 π = 100 π‘ π = 100 150 180 π‘ = 180 180 π = 100 π‘ 100π‘ + 80 π‘ = 150 πΎπ 5 β β = 83,3 πΎπ β 6 5 5 π‘ = β = β 60 min = 50 πππ 6 6 Ricordando che lβorigine dei tempi in questa FASE b) era fissata alle ore 14:00 e che lβorigine degli spazi era stata fissata a 200 Km da Valencia, interpretiamo il risultato del sistema dando la seguente risposta: β’ I due treni si incontrano alle 14:50 β’ In una località posta a circa 283 Km da Valencia. 2. Una Golf passa alla velocità costante di 108 πΎπ β davanti ad un autovelox della polizia in un tratto in cui il limite di velocità è di 80 πΎπ β. Lβauto della polizia parte allβinseguimento della Golf dopo 7,20 π con accelerazione costante di 2,00 π π ! . Calcola quanto tempo impiega la polizia per raggiungere la Golf, dallβistante in cui la Golf era passata davanti allβautovelox, la distanza che la polizia deve percorrere per raggiungerla e la velocità della polizia nellβistante del raggiungimento della Golf. 43,2 π ; β 1,30 πΎπ; β 259 πΎπ β SOL. Dividiamo il problema in due fasi: a) Da quando passa la Golf (che dβora in avanti indicheremo con G) passa davanti allβautovelox a quando parte lβauto della polizia (che dβora in avanti indicheremo con P) b) Da quando parte P a quando P raggiunge G. FASE a) Poniamo lβorigine degli spazi nel punto in cui è posizionato lβautovelox, il verso positivo degli spazi è quello in cui si muove G e lβunità di misura per gli spazi è il metro π. Lβorigine dei tempi è lβistante in cui la G passa davanti allβautovelox e lβunità di misura è il secondo π . Innanzitutto trasformiamo i dati del problema in modo coerente con le unità di misura scelte: π£! = 108 πΎπ 1000 π π = 108 β = 30 β 3600 π π Lβequazione oraria del moto della G è: π = π£! π‘ da cui segue che : π 7,20 π = 30 π β 7,20 π = 216 π π FASE b) Per quanto riguarda lβasse degli spazi tutto rimane come nella prima fase. La nuova origine del tempo è lβistante in cui parte P. Il moto dellβauto G è rettilineo uniforme con una posizione iniziale diversa da zero, mentre il moto dellβauto P è un moto rettilineo uniformemente accelerato con posizione iniziale nulla e velocità iniziale nulla. Pertanto, le leggi orarie delle due auto sono: ππ’π‘π πΊ: π = 30 π‘ + 216 ππ’π‘π π: 1 π = π π‘ ! 2 Per determinare lβistante in cui P raggiunge G e la posizione in cui il ricongiungimento avviene basta risolvere il seguente sistema : π = 30 π‘ + 216 1 π = π π‘ ! 2 1 π π‘ ! = 30 π‘ + 216 2 π = 30 π‘ + 216 lβequazione risolvente di secondo grado in t che si ottiene è la seguente: 1 2 π‘ ! β 30 π‘ β 216 = 0 2 π‘= ! π‘ β 30 π‘ β 216 = 0 βπ ± π ! β 4ππ π‘ = 2π 30 ± 900 + 864 30 ± 42 β6 πππ πππππ‘π‘πππππ = = 36 πππππ‘π‘πππππ 2 2 lβauto P raggiunge lβauto G dopo 36 secondi dallβistante in cui si è messa in moto P. Se aggiungiamo a questo tempo i 7,20 secondi di vantaggio di G allora troviamo la prima risposta al problema: π‘ = 36 + 7,20 = 43,20 = 43,2 π La distanza percorsa dalla P è esattamente la posizione di P corrispondente allβistante π‘ = 36 π 1 π 36 = β 2 β 36! = 1296 π β 1,30 πΎπ 2 Allo stesso risultato si giunge ovviamente anche con lβaltra equazione oraria del sistema (infatti allβistante π‘ = 36 π le due auto occupano la medesima posizione) π 36 = 30 β 36 + 216 = 1296 π β 1,30 πΎπ . Per calcolare la velocità di P nellβistante del sorpasso basta usare la legge oraria della velocità: π£ = π π‘ + π£! π£ 36 = 2 β 36 + 0 = 72 π π = 259,2 πΎπ ββ 260 πΎπ β . 3. Un ciclista sta finendo di riparare la gomma che si è bucata quando un amico passa ad una velocità costante di 3,5 π π . Due secondi dopo, il ciclista balza sulla sua bicicletta e accelera in modo costante con π = 2,4 π π ! , fino a raggiungere il suo amico. a) Quanto tempo impiega a raggiungere il suo amico (calcola il tempo che trascorre da quando si rimette in sella a quando raggiunge lβamico)? b) Quale distanza ha percorso in questo intervallo di tempo? c) Qual è la sua velocità quando lo raggiunge? β 4,3 π ; β 22 π; β 10 π π SOL. Il problema è molto simile a quello precedente. Chiamiamo il ciclista che inizialmente è fermo con C e lβamico che gli passa accanto con velocità costante A. Dividiamo il problema in due fasi: a) Da quando A passa accanto a C che sta riparando la gomma a quando riparte C . b) Da quando riparte C a quando C raggiunge A. FASE a) Poniamo lβorigine degli spazi nel punto in cui C sta riparando la gomma della sua bici, il verso positivo degli spazi è quello in cui si muove A e lβunità di misura per gli spazi è il metro π. Lβorigine dei tempi è lβistante in cui A passa accanto allβamico e lβunità di misura è il secondo π . Lβequazione oraria del moto della A è: π = π£! π‘ da cui segue che : π 2,0 π = 3,5 π β 2,0 π = 7,0 π π FASE b) Per quanto riguarda lβasse degli spazi tutto rimane come nella prima fase. La nuova origine del tempo è lβistante in cui parte C. Il moto di A è rettilineo uniforme con una posizione iniziale diversa da zero, mentre il moto dellβauto C è un moto rettilineo uniformemente accelerato con posizione iniziale nulla e velocità iniziale nulla. Pertanto, le leggi orarie dei due ciclisti sono: πππππ πππ ππππππ π‘π π΄: π = 3,5 π‘ + 7,0 ππππππ π‘π πΆ: 1 π = β 2,4 π‘ ! 2 Per determinare lβistante in cui C raggiunge A e la posizione in cui avviene il sorpasso basta risolvere il seguente sistema : π = 3,5 π‘ + 7,0 1 π = β 2,4 π‘ ! 2 1 β 2,4 π‘ ! = 3,5 π‘ + 7,0 2 π = 3,5 π‘ + 7,0 lβequazione risolvente di secondo grado in t che si ottiene è la seguente: 1 β 2,4 π‘ ! β 3,5 π‘ β 7,0 = 0 2 π‘= ! 1,2 π‘ β 3,5 π‘ β 7,0 = 0 βπ ± π ! β 4ππ π‘ = 2π 3,5 ± 12,25 + 33,60 3,5 ± 6,8 β1,4 πππ πππππ‘π‘πππππ β β 4,3 πππππ‘π‘πππππ 2,4 2,4 il ciclista C raggiunge lβamico A dopo circa 4,3 secondi dallβistante in cui si è rimesso in moto. Ed ecco la prima risposta al problema: π‘ β 4,3 π La distanza percorsa dalla C è esattamente la posizione di C corrispondente allβistante π‘ = 4,3 π 1 π 4,3 = β 2,4 β 4,3! β 22 π 2 Allo stesso risultato si giunge ovviamente anche con lβaltra equazione oraria del sistema (infatti allβistante π‘ = 4,3 π i due amici occupano la medesima posizione) π 4,3 = 3,5 β 4,3 + 7 β 22 π . Per calcolare la velocità di C nellβistante del sorpasso basta usare la legge oraria della velocità: π£ = π π‘ + π£! π£ 4,3 = 2,4 β 4,3 + 0 = 10,32 π π β 10 π π . 4. Durante una partita di pallavolo, lβalzatore alza una palla per lo schiacciatore. La palla, lanciata verso lβalto da unβaltezza di 1,8 π dal suolo, viene colpita dallo schiacciatore proprio nellβistante in cui, giunta ad unβaltezza di 2,5 π dal suolo, ha assunto velocità nulla. Qual è la velocità iniziale impressa alla palla dallβalzatore? Quanto tempo passa da quando la palla è lanciata dallβalzatore a quando è colpita dallo schiacciatore? β 3,7 π π ; β 0,38 π SOL. Il problema riguarda il moto di un grave con velocità iniziale non nulla. La prima cosa da fare è fissare come asse degli spazi una retta verticale e fissare lβorigine degli spazi nel punto da cui parte la palla. Poi una scelta conveniente è quella di orientare lβasse degli spazi dal basso verso lβalto, così la velocità iniziale risulterà positiva (perché concorde col verso positivo degli spazi) mentre lβaccelerazione gravitazionale risulterà negativa (perché discorde con il verso positivo degli spazi). Inoltre conviene fissare lβorigine dei tempi nellβistante in cui parte la palla dalle mani dellβalzatore. Da queste scelte segue che la posizione della palla nellβistante in cui viene colpita dallo schiacciatore è la differenza fra la quota a cui viene colpita dallo schiacciatore e la quota da cui viene lanciata dallβalzatore, cioè π = 2,5 β 1,8 = 0,7 π. Le leggi orarie dello spazio e della velocità sono dunque le seguenti: 1 πππππ ππππππ π πππ§ππ: π = β π π‘ ! + π£! π‘ 2 πππππ ππππππ π£ππππππ‘à: π£ = βπ π‘ + π£! Lβistante in cui la palla viene colpita dallo schiacciatore coincide con lβistante in cui la palla raggiunge la sua altezza massima, quindi con lβistante in cui la palla si ferma. Possiamo porre la velocità uguale a zero in questo istante: 0 = β9,8 π‘ + π£! π£! = 9,8 π‘ Se nellβequazione degli spazi inseriamo 0,7 π al posto di π e 9,8 π‘ al posto della velocità iniziale allora otteniamo: 1 0,7 = β β 9,8 π‘ ! + 9,8 π‘ β π‘ 2 0,7 = 4,9 π‘ ! π‘ = ± 0,7 β ±0,38 π 4,9 Ovviamente lβunica soluzione accettabile è quella positiva π‘ β 0,38 π . Sostituendo questo valore nellβequazione della velocità, riusciamo a determinare anche il valore della velocità iniziale: π π£! = 9,8 π‘ = 9,8 β 0,38 β 3, 7 π Con il seguente problema proviamo a complicare un poβ la situazione: ci sono ben tre palline che cadono o vengono lanciate verso il basso o verso lβalto. Vediamo come le solite equazioni delle leggi orarie se ben utilizzate riescono a βsbrogliare la matassaβ. 5. Tre palline A, B e C, poste ad una stessa altezza β dal suolo, iniziano a muoversi nello stesso istante π‘ = 0 . La pallina A viene lasciata cadere con velocità iniziale nulla; la pallina B viene lanciata verso il basso con velocità iniziale di modulo π£!! = π£! ; la pallina C viene lanciata verso lβalto con velocità iniziale di modulo π£!! = π£! . Sappiamo che nellβistante in cui la pallina C raggiunge lβaltezza massima, la B tocca terra, mentre contemporaneamente la pallina A si trova a 9,8 π dal suolo. a) Calcola il modulo della velocità iniziale π£! (comune alle palline B e C); b) Calcola il tempo che impiega la pallina B a giungere al suolo; c) Determina la misura dellβaltezza β dal suolo da cui partono le tre palline; d) Determina lβaltezza massima dal suolo raggiunta dalla pallina C; e) Dopo quanti secondi dallβinizio del moto, toccano terra anche le altre due palline A e C? Chi arriva per prima a terra fra la A e la C? π£! = 9,8 π ; π‘! = 1,00 π ; β = 14,7 π; π» = 19,6 π; π‘! β 1,73 π ; π‘! = 3,00 π SOL. La scelta che mi sembra più comoda in questo caso è la seguente: lβasse degli spazi è una retta verticale, il verso positivo è dal basso verso lβalto, lβorigine degli spazi è a livello del suolo (e non alla quota da cui partono le tre palline) ed infine lβunità di misura degli spazi è il metro. Per quanto riguarda il tempo la scelta è far partire i tempi dallβistante in cui tutte e tre le palline iniziano a muoversi. Le leggi orarie delle tre palline sono: πππππ π΄: πππππ π΅: πππππ πΆ: 1 π = β ππ‘ ! + β 2 1 ! π = β ππ‘ β π£! π‘ + β 2 1 π = β ππ‘ ! + π£! π‘ + β 2 Le leggi orarie delle velocità sono le seguenti: πππππ π΄: πππππ π΅: πππππ πΆ: π£ = βππ‘ π£ = βππ‘ β π£! π£ = βππ‘ + π£! Sappiamo che nellβistante in cui la pallina C raggiunge lβaltezza massima, la B tocca terra, mentre contemporaneamente la pallina A si trova a 9,8 π dal suolo. C raggiunge lβaltezza massima quando la sua velocità diventa nulla, quindi: 0 = βππ‘ + π£! ππ‘ = π£! # mentre in questo stesso istante B tocca terra, quindi: 1 0 = β ππ‘ ! β π£! π‘ + β 2 3 1 0 = β ππ‘ ! β ππ‘ β π‘ + β ππ‘ ! = β β 2 2 e ancora in questβistante A si trova a 9,8 π dal suolo, quindi: 1 9,8 = β ππ‘ ! + β 2 1 3 9,8 = β ππ‘ ! + ππ‘ ! 2 2 9,8 = ππ‘ ! ββ da questβultima equazione ricaviamo il valore di π‘ : π‘ ! = 9,8 π π‘ = ± 9,8 π π‘ = ± 1 π‘ = ±1 π ovviamente solo la soluzione positiva è accettabile, dunque π‘ = 1 π . Sostituendo questo valore nellβequazione # si ottiene il valore di π£! : π£! = π π‘ = 9,8 β 1 = 9,8 π π Mentre sostituendo lo stesso valore π‘ = 1 π nellβequazione β si ottiene il valore di β : 3 3 β = π π‘ ! = β 9,8 β 1! = 14,7 π 2 2 Infine sostituendo π‘ = 1 π nella legge oraria della pallina C ricaviamo qual è lβaltezza massima dal suolo raggiunta dalla pallina C. 1 1 π» = β ππ‘ ! + π£! π‘ + β = β β 9,8 β 1! + 9,8 β 1 + 14,7 = 19,6 π 2 2 Per rispondere allβultima domanda vediamo in che istante la pallina A tocca il suolo: 1 0 = β ππ‘ ! + β 2 1 ! ππ‘ = β 2 π‘ ! = 2 β π π‘ = ± 2 β 14,7 = ± 3 9,8 ovviamente solo la soluzione positiva è accettabile, quindi A tocca il suolo nellβistante π‘! = 3 π β 1,73 π . Analogamente per determinare lβistante in cui C tocca il suolo bisogna usare lβequazione oraria della pallina C: 1 0 = β ππ‘ ! + π£! π‘ + β 2 1 ! ππ‘ β π£! π‘ β β = 0 2 4,9 π‘ ! β 9,8 π‘ β 14,7 = 0 equazione di secondo grado completa che può essere semplificata dividendo tutti i coefficienti dellβequazione stessa per 4,9 ottenendo così: π‘ ! β 2 π‘ β 3 = 0 βπ ± π ! β 4ππ 2 ± 4 + 12 β1 πππ πππππ‘π‘πππππ π‘ = = = 3 πππππ‘π‘πππππ 2π 2 Dunque C tocca terra dopo tre secondi dal lancio. Le tre palline toccano il suolo in questβordine: πππππ π΄ è π ππππππ π π‘ππππππ ππ π π’πππ: πππππ π΅ è πππππ π π‘ππππππ ππ π π’πππ: πππππ πΆ è π‘πππ§π π π‘ππππππ ππ π π’πππ: π‘! β 1,73 π π‘! = 1,00 π π‘! = 3,00 π Ora prova tu a risolvere i prossimi problemi di cinematica sfruttando in modo opportuno le leggi orarie degli spazi e delle velocità: 6. Due trenini elettrici A e B si muovono lβuno contro lβaltro su un binario rettilineo con velocità costante di modulo π£! e π£! rispettivamente. Quando arrivano ad una distanza prefissata π , iniziano contemporaneamente a frenare ognuno con decelerazione costante, rispettivamente di modulo π! = 0,50 π π ! e π! = 0,20 π π ! . Il gioco consiste nel far fermare i due treni nello stesso istante, proprio quando sono quasi arrivati a contatto (supponiamo che nellβistante in cui i treni si fermano abbiano raggiunto la stessa posizione). Sappiamo che la velocità iniziale del treno A è π£! = 10 π π , a) Calcola la velocità iniziale π£! del treno B in modo che il gioco riesca; b) Determina la durata della frenata, ossia quanto tempo passa dallβinizio della decelerazione al momento dellβarresto dei due treni; c) Stabilisci a che distanza π si trovavano i due treni nellβistante in cui inizia la frenata; d) Quanto è lunga la frenata di A? e) Quanto è lunga la frenata di B? 7. Due ciclisti Alex e Bob sono inizialmente fermi a 130 π lβuno dallβaltro. Alex parte per primo e si muove verso Bob con velocità costante di modulo π£! = 5,0 π π . Dopo 2,0 π parte Bob che si muove verso Alex con velocità costante di modulo π£! = 3,0 π π . a) Dopo quanto tempo dalla partenza di Alex i due ciclisti si incontrano? b) Calcola lo spazio percorso da Alex e quello percorso da Bob. 8. Una pattuglia della polizia stradale è ferma lungo un viale in cui il limite di velocità è di 80 πΎπ β . Ad un certo punto sfreccia davanti alla pattuglia un βpirata della stradaβ che procede alla folle velocità di 144 πΎπ β . I poliziotti, dopo appena 1,0 π dal passaggio dellβauto, partono allβinseguimento del βpirataβ procedendo con accelerazione costante. a) Sapendo che dalla partenza della polizia allβistante in cui viene raggiunta lβauto pirata passano 20 π , calcola lβaccelerazione dellβauto dei militari. b) A che distanza dal posto di blocco viene raggiunta lβauto pirata? c) Che velocità ha la polizia al momento del ricongiungimento? 9. Una biglia di metallo viene lasciata cadere a terra da unβaltezza di 19,6 π. Trascurando la resistenza dellβaria ed ogni altro tipo di attrito, a) calcola dopo quanto tempo tocca terra; b) quale velocità iniziale, diretta verso il basso, bisogna imprimere alla biglia per farle raggiungere il suolo in metà tempo? c) Se la stessa velocità iniziale ottenuta nel punto b) viene diretta verso lβalto, dopo quanto tempo la biglia tocca il suolo?