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ESERCITAZIONE DI ENERGETICA 1 N°1 CONDUZIONE IN REGIME STAZIONARIO Esercizio N°1 Valutare il flusso termico specifico trasmesso da una parete piana multistrato composta da cinque strati come indicato in figura. I coefficienti di scambio termico effettivi valgono rispettivamente h’=8 W/m2K e h’’=20 W/m2K. Si assumano inoltre i seguenti dati: Temperatura fluido interno T’= 20 °C; Temperatura fluido esterno T’’ = 0 °C; Strato N°1 (intonaco): s1=2 cm; k1=0.72 W/m K; Strato N°2 (mattoni forati): s2=12 cm; k2=0.6 W/m K; Strato N°3 (lana vetro in pannelli): s3=10 cm; k3=0.045 W/m K; Strato N°4 (mattoni forati): s4=8 cm; k4=0.6 W/m K; Strato N°5 (intonaco): s5=2 cm; k5=0.72 W/m K; T ’=20 °C 1 2 h’=8 W/m2K q 3 4 5 h’’=20 W/m2K T’’=0 °C SOLUZIONE q= T ' −T ' ' = K ⋅ A ⋅ (T ' −T ' ' ) s3 s5 s1 s2 s4 1 1 + + + + + + h' ⋅ A k1 ⋅ A k 2 ⋅ A k 3 ⋅ A k 4 ⋅ A k 5 ⋅ A h' ' ⋅ A q 1 = K ⋅ (T ' −T ' ' ); K = s 1 1 A +∑ i + h' i k i h' ' K= 1 1 = = 0.359 W / m 2 K 0.125 + 0.02777 + 0.2 + 2.2222 + 0.13333 + 0.02777 + 0.05 2.786 q = 0 .359 ⋅ (20 − 0 ) = 7 . 18 W / m 2 A Esercizio N° 2 Valutare il flusso termico disperso per unità di lunghezza da una tubazione coibentata immersa in aria ambiente alla temperatura Ta=20 °C. La tubazione, in acciaio inox, ha un diametro interno di 2 cm ed uno spessore di 3 mm. La coibentazione, aderente alla superficie esterna del tubo in acciaio inox, ha uno spessore di 1 cm ed è realizzata in lana di vetro. All’interno del tubo d’acciaio, defluisce acqua in convezione forzata, alla temperatura media TH2O=82 °C. Assumere inoltre i seguenti dati: Conduttività termica acciao inox: k=20 W/m K; Conduttività termica lana di vetro: k= 0.045 W/m K; Coefficiente di scambio termico lato H2O: h’= 5300 W/m2 K; Fouling factor lato H2O: F=0.0002 m2 K/W; Coefficiente di scambio termico lato aria: h’’= 8 W/m2 K; r1 h’, T’ h’’, T’’ r2 r3 SOLUZIONE TH 2 O = 82 °C = 355.15 K ; q= (T' −T' ' ) r2 r ln 3 FH 2 O 1 1 r1 r2 + + + + 2π ⋅ r1 L ⋅ h' 2π ⋅ r1 L 2π ⋅ k1 L 2π ⋅ k2 L 2π ⋅ r3 L ⋅ h' ' ln q= ∆T = R ∑ 82− 20 0.013 0.023 ln ln 1 0.0002 1 0.013 + + + 0.01 + 2π ⋅ 0.01⋅ L ⋅ 5300 2π ⋅ 0.01⋅ L 2π ⋅ 20⋅ L 2π ⋅ 0.045⋅ L 2π ⋅ 0.023⋅ L ⋅ 8 q 62 62 = = = 21.444 W / m L 0.003 + 0.003183 + 0.002088 + 2.01795 + 0.865 2.89122 q = U ⋅ Ae ⋅ (T ' − T ' ' ) U = r3 1 r3 ⋅ + ⋅ FH 2 O r1 h' r1 U = 1 r r2 ln 3 ln r1 r2 + r3 + k1 k2 + 1 h' ' 1 1 = = 2.39 W / m 2 K 0.0004339 + 0.00046 + 0.29191 + 0.125 0.4178 Esercizio N° 3 Valutare la resistenza termica complessiva di un pannello prefabbricato per l’edilizia. Il pannello ha le seguenti dimensioni: cemento 200 500 50 1400 mm 100 polistirolo h' = 8 W / m 2 K ; h' ' = 20 W / m 2 K k cemento = 1.68 W / m K ; k polistirolo = 0.037 W / m K ; Prima schematizzazione R2 R’ R1 R3 R1 R’’ R2 T1 T’’ T’ R’ R1 R1 R3 R’’ R' = 1 1 = 0.1785 K / W ; R' ' = = 0.0714 K / W ; 8 ⋅ 0.7 ⋅ 1 20 ⋅ 0.7 ⋅ 1 R1 = 0.5 = 0.0425 K / W 1.68 ⋅ 0.7 ⋅ 1 R2 = 0.10 = 0.2976 K / W 1.68 ⋅ 0.2 ⋅ 1 R3 = 0.10 = 5.405 K / W 0.037 ⋅ 0.5 ⋅ 1 Requ = R' + R1 + q= (T' −T' ' ) = Req 1 + R1 + R' ' = 0.617 K / W 1 1 + R2 R3 1 = K ⋅ A = 1.62 W / K Requ 20 = 32.41 W ; T1 = T ' − q ⋅ R' = 20 − 32.41 ⋅ 0.1785 = 14.2 °C 0.617 Seconda schematizzazione R1 R’ R2 R3 R2 R’ R1 R’’ R’’ T1A T’ T’’ T1B R’1 R2 R3 R2 R’’1 R' = 0.625 K / W ; R' ' = 0.25 K / W ; R1' = 0.25 K / W ; R1' ' = 0.1 K / W ; 0.2 0.05 = 0.5952 K / W ; R2 = = 0.05952 1.68 ⋅ 0.2 ⋅ 1 1.68 ⋅ 0.5 ⋅ 1 0.1 R3 = = 5.4054 K / W ; 0.5 ⋅ 1 ⋅ 0.037 R1 = RA = R' + R1 + R' ' = 1.47 K / W RB = R1' + R2 + R3 + R2 + R1' ' = 5.874 K / W Requ = 1 = 1.17K / W ; 1 = K ⋅ A = 0.85 W / K ; Requ 1 1 + RA RB Nell’ipotesi che (T’-T’’)=20 °C si ha: (T' −T' ' ) = 20 = 3.4048 W ; 20 = 13.605 W ; qB = RA 1.47 RB 5.874 = T ' − q A ⋅ R' = 20 − 13.605 ⋅ 0.625 = 11.5 °C qA = T1 A (T' −T' ' ) = T1 B = T ' −qB ⋅ R'1 = 20 − 3.4048 ⋅ 0.25 = 19.15 °C Con la prima schematizzazione, si impone una temperatura uniforme sulla superficie del pannello, il che significa ipotizzare una conduttività laterale infinitamente grande, esaltando al massimo possibile gli effetti del ponte termico. Ne consegue una trasmittanza globale valutata per eccesso: 1 = K ⋅ A = 1.62 W / K Requ Con la seconda schematizzazione, si impongono due temperature diverse per le due parti della superficie, il che significa limitare l’effetto del ponte termico al solo spessore dello stesso (k laterale tendente a zero). La trasmittanza globale risulta pertanto, in questo caso, calcolata per difetto: 1 = K ⋅ A = 0.85 W / K ; Requ Eseguendo il calcolo tenendo conto che, in realtà, il problema termico è tridimensionale e non mono-dimensionale si trova che la trasmittanza KA ha un valore intermedio a quelli estremi, trovati con le due schematizzazioni. K effettivo ⋅ A ≈ 1.2 W / K ; Esercizio N° 4 Un cavo elettrico di alluminio molto lungo del diametro D=0.5 mm è posto in aria stagnante ed il coefficiente di scambio termico complessivo (convezione ed irraggiamento) tra la superficie esterna del cavo e l’ambiente vale h=35 W/m2K. Nel conduttore elettrico viene fatta passare una corrente costante e, per effetto Joule, viene dissipato un flusso termico per unità di volume q’’’ anch’esso costante nel tempo. Valutare: la temperatura massima raggiunta dal filo di alluminio. Valutare la temperatura della superficie del cavo all’interfaccia con l’aria. Valutare inoltre la temperatura all’interfaccia con l’aria dello stesso cavo, nell’ipotesi di coibentarlo con uno spessore s di isolante. Valutare infine, sempre nel caso di cavo coibentato, la temperatura all’interfaccia alluminio-isolante. Si assumano i seguenti dati: Conduttività termica alluminio: Conduttività termica isolante: Flusso termico generato nel conduttore elettrico: Temperatura dell’aria ambiente: Spessore dell’isolante Kal=180 W/m K; Kis=0.12 W/m K; q’’’=107 W/m3; T∞ =25 ° C ; s=0.3 mm; Alluminio Isolante s q’’’ h, T∞ SOLUZIONE Caso del cavo nudo T (r ) = T∞ + Tmax q' ' ' ⋅R 1 2h q' ' ' ⋅R 1 + 4k 2 r 2 1 − R ( q' ' ' R1 q' ' ' R12 10 7 ⋅ 0.25 ⋅ 10 −3 10 7 ⋅ 0.25 ⋅ 10 −3 = T∞ + + = 25 + + 2h 4 k al 2 ⋅ 35 4 ⋅ 180 ) 2 = = 25 + 35.7 + 0.00087 = 60.700087 ° C T1 = T∞ + q' ' ' ⋅R1 = 25 + 35.7 = 60.7 ° C 2⋅h Caso del cavo coibentato q' ' ' ⋅π ⋅ R12 ⋅ L = 2 ⋅ π ⋅ R2 ⋅ h ⋅ (T2 − T∞ ) ( ) 2 q' ' ' ⋅R12 10 7 ⋅ 0.25 ⋅ 10 −3 T2 = T∞ + = 25 + 16.230 = 41.23 °C = 25 + 2 ⋅ R2 ⋅ h 2 ⋅ 0.55 ⋅ 10 −3 ⋅ 35 ∆T q= = π ⋅ R12 ⋅ q' ' ' ⋅L; R ln 2 R1 2 ⋅ π ⋅ k is ⋅ L ∆T = T1 − T2 (0.25 ⋅10 ) = −3 2 2 ⋅ 0.12 ⋅ 10 7 R12 ⋅ q' ' ' R ∆T = ⋅ ln 2 ; 2 ⋅ k is R1 ⋅ ln 0.55 = 2.604 ⋅ 0.788457 = 2.05314; 0.25 T1 = T2 + 2.05 = 41.23 + 2.053 = 43.283 °C ESERCITAZIONE DI ENERGETICA 1 N°2 CONDUZIONE IN REGIME STAZIONARIO ESERCIZIO N° 1 Si consideri il problema dell’isolamento di un cavo elettrico che dissipa calore per effetto Joule. Determinare lo spessore critico dell’isolante (se esiste) che massimizza il flusso termico disperso nell’ambiente. RA+RB T0 R R0 RA h, T8 RB T0 RA RB T8 1 R R0 1 RA = ; RB = ; 2πk L 2πR L h ln q= T0 − T∞ 2πk L ⋅ (T0 − T∞ ) 2πk L ⋅ (T0 = = R k ⋅ R0 R ln ln + R R0 1 R0 R ⋅ h ⋅ R0 ln + + R0 2πk L 2πR L h avendo definito il numero di Biot Bi = h R0 k − T∞ ) 1 Bi R R0 (R/R0)c 2 R/R0 1 1 1 − 2πkL ⋅ − ⋅ 2 R / R Bi ( ) R / R dq 0 0 =0 = 2 d ( R / R0 ) (.........) 1 1 1 − ⋅ =0 ⇒ (R / R0 )c Bi (R / R0 )c2 q max = q(1 / Bi ) = (R / R0 )c = 1 / Bi ; 2πk L(T0 − T∞ ) 1 ln + 1 Bi q 2 πkL(T0 − T∞ ) 1 <1, l’aggiunta di isolante sulla superficie esterna del tubo determina Bi sempre una riduzione del flusso termico dissipato rispetto al caso di tubo nudo. 1 >1, l’aggiunta di uno spessore di isolante comporta, dapprima, un Se Bi aumento del flusso termico scambiato con il fluido. Dopo aver raggiunto un valore massimo (in corrispondenza dello spessore critico dell’isolante) il flusso termico tende poi a diminuire. Se Esercizio N°2 Una lastra indefinita di combustibile nucleare ha uno spessore s=3 cm ed una conduttività termica media k=5 W/m K . Per effetto della fissione nucleare, all’interno della lastra vi è una generazione di flusso termico per unità di volume 6 uniforme e costante pari a q' ' ' = 2 ⋅ 10 W/m3 . La lastra è refrigerata simmetricamente da acqua in pressione alla temperatura T∞ = 250 °C ed il coefficiente di scambio termico convettivo vale h=1500 W/m2 K. Calcolare la temperatura massima della lastra e la temperatura all’interfaccia con il refrigerante. Assumendo che la temperatura critica per la lastra sia Tc = 1500 °C , fino a che valore può diminuire il coefficiente di scambio termico convettivo h , a parità di ogni altra condizione, se non si vuole raggiungere tale condizione di criticità ? s h , T∞ h , T∞ k q' ' ' SOLUZIONE 2 q' ' ' ⋅L q' ' ' ⋅L2 x T ( x ) = T∞ + + ⋅ 1 − h 2 ⋅ k L 2 ⋅ 10 6 ⋅ 0.015 2 ⋅ 10 6 ⋅ (0.015) = 250 + + = 250 + 20 + 45 = 315 °C 1500 2⋅5 2 Tmax T (L ) = Tw = T∞ + q' ' ' ⋅L h 2 ⋅ 10 6 ⋅ 0.015 q' ' ' ⋅L Tw = T∞ + = 250 + = 250 + 20 = 270 °C 1500 h hmin = hmin = q' ' ' ⋅L q' ' ' ⋅L2 Tmax − T∞ − 2 k ⋅ = 2 ⋅ 10 6 ⋅ 0.015 2 2 ⋅ 10 6 ⋅ (0.015) 1500 − 250 − 2 5 ⋅ 30000 = 24.9 ≅ 25 W / m 2 K (1250 − 45) Esercizio N°3 Le estremità di una barretta metallica cilindrica, sono brasate simmetricamente a due pareti, anch’esse metalliche, come rappresentato in figura. La temperatura a cui sono mantenute le due pareti è la stessa e vale Tw=160 °C mentre la temperatura dell’aria ambiente vale Ta=30 °C . Valutare il flusso termico complessivamente scambiato dalla barretta all’ambiente circostante nell’ipotesi di considerare un coefficiente di scambio termico globale (convettivo + radiativo) pari a h=25 W/m2 K. Calcolare inoltre la temperatura nella mezzeria della barretta. Si assumano i seguenti dati per la barretta metallica cilindrica: Lunghezza Diametro Conduttività termica L=20 cm D=10 mm k=180 W/m K L D Ta Tw Tw TL/2 Ta SOLUZIONE h D 25 ⋅ 0.01 = = 0.00139 << 0.1 k 180 L q = 2 ⋅ θ 0 ⋅ h p k A ⋅ tanh m 2 Bi = θ 0 = Tw − Ta = 160 − 30 = 130 °C h=25 W/m2 K; m= p = π ⋅ D = 0.031415 m ; A=πD2/4=0.000078537 m2 hp 25 ⋅ 0.031415 = = 55.55591 = 7.45358 kA 180 ⋅ 0.000078537 tanh m L = tanh 0.745358 = 0.6323714 2 q = 2 ⋅130 ⋅ 25 ⋅ 0.031415 ⋅180 ⋅ 0.000078537 ⋅ 0.6323714 = 17.32 W θ = θ0 ⋅ cosh m 0 1 = 130 ⋅ = 130 ⋅ 0.7751409 = 100.77 °C ; cosh mL / 2 1.290880026 T=T0+100.77=130.77 °C Esercizio N°4 Valutare di quanto aumenta il flusso termico scambiato da una parete verticale dotandola di una aletta a spillo per ogni 4 cm2 di superficie. Le dimensioni della parete sono: a= 0.20 m; b=0.20 m. L’aletta a spillo ha un diametro D=0.5 cm ed una lunghezza L=4 cm ed è realizzata con un materiale avente una conduttività termica pari a k=180 W/m K. La temperatura di base della parete è Tw=80 °C. Eseguire i calcoli nei seguenti due casi: il fluido refrigerante è aria alla temperatura Ta=20 °C ed il coefficiente di scambio termico convettivo medio vale h=8 W/m2 K ovvero acqua, sempre alla temperatura TH2O=20 °C, ma con un coefficiente di scambio convettivo h=350 W/m2 K. Valutare per entrambi i casi l’efficacia e l’efficienza dell’aletta. Assumere che, in prima approssimazione, in entrambi i casi il coefficiente di scambio termico convettivo h abbia lo stesso valore per la parete nuda e per quella alettata. a b D L SOLUZIONE q = ϑ0 h p k A ⋅ tanh mL∗ dove p = π ⋅ D = 0.01571 m A = π ⋅ D 2 / 4 = 0.000019634 m 2 At 20 ⋅ 20 N alette = = = 100 alette 2 4 4 cm At = a ⋅ b = 0.2 ⋅ 0.2 = 0.04 m 2 ; Anuda = At − N ⋅ Aaletta = 0.04 − 100 ⋅ 0.000019634 = 0.0380366 L∗ = L + 0.5 ⋅ 0.005 = 0.04 + 0.0025 = 0.0425 m Caso dell’aria h=8 W/m2 K m= hp 8 ⋅ 0.01571 = = 5.9634 kA 180 ⋅ 0.000019634 q senza alette = h ⋅ At ⋅ (Tw − T∞ ) = 8 ⋅ 0.2 ⋅ 0.2 ⋅ 60 = 19.2 W q aletta = 1.2645 ⋅ 0.25 = 0.316 W q 0.316 ε = aletta = = 33.5 hϑ0 A 8 ⋅ 60 ⋅ 0.000019634 tanh mL• 0.25 = = 0.986 • 5.9634 ⋅ 0.0425 mL q nuda = 8 ⋅ Anuda ⋅ 60 = 8 ⋅ 0.0380366 ⋅ 60 = 18.26 W q sup . alettata = q nuda + N ⋅ q aletta = 18.26 + 100 ⋅ 0.316 = 49.86 W η= Caso dell’acqua h=350 W/m2 K m= hp 350 ⋅ 0.01571 = = 39.44 kA 180 ⋅ 0.000019634 q senza alette = h ⋅ At ⋅ (Tw − T∞ ) = 350 ⋅ 0.2 ⋅ 0.2 ⋅ 60 = 840 W ( ) q aletta = 8.36 ⋅ tanh 39.44 ⋅ L∗ = 8.36 ⋅ tanh 1.676 = 8.36 ⋅ 0.9321 = 7.79 W q 7.79 ε = aletta = = 18.9 hϑ0 A 350 ⋅ 60 ⋅ 0.000019634 tanh mL• 0.9321 η= = = 0.556 • 39.44 ⋅ 0.0425 mL q nuda = 350 ⋅ Anuda ⋅ 60 = 350 ⋅ 0.0380366 ⋅ 60 = 798 W q sup . alettata = q nuda + N ⋅ q aletta = 798 + 100 ⋅ 7.79 = 1577 W Esercizio N°5 L’estremità di un filo di rame del diametro D=2 mm è brasata ad una parete metallica la cui temperatura, costante, è T0=200 °C . Il filo, molto lungo, è mantenuto teso in posizione orizzontale, ed è immerso in aria alla temperatura Taria=20 °C. Se il valore medio del coefficiente di scambio termico liminare per convezione ed irraggiamento tra il filo e l’ambiente, è pari a h=25 W/m2 K, valutare a quale distanza limite, dalla parete, si può cominciare a toccare il filo con le mani senza problemi. Si scelga, convenientemente, un valore di temperatura sopportabile a lungo senza danni. Valutare inoltre il flusso termico scambiato dal filo con l’ambiente tra la parete e quella distanza. Parete T0=200 °C Aria ambiente Taria=20 °C ∞ Filo di rame molto lungo Assumere la conduttività termica del rame pari a krame=400 W/m K. SOLUZIONE Il filo è assimilabile ad una aletta sottile infinitamente lunga, la cui distribuzione di temperatura è governata dalla relazione. ϑ = ϑ0 e − mx ; T − Taria T0 − Taria = e − mx dove m = hP = kA 25 ⋅ 3.14 ⋅ 0.002 = 11.18 m −1 3.14 ⋅ 0.002 2 400 ⋅ 4 Assumendo Tmax=40 °C la temperatura massima sopportabile dalla pelle umana, ed invertendo si ha: ln L=− (Tmax − Taria ) (T0 − Taria ) m =− ln 0.11111 ≈ 0.197 m = 19.7 cm 11.18 L q = ∫ hPϑ0 e − mx dx 0 L h P ϑ0 1 q = h Pϑ0 ⋅ − e − mx = ⋅ 1 − e − mL m m 0 q= [ ] 25 ⋅ 3.14 ⋅ 0.002 ⋅ 180 ⋅ [1 − 0.1105] = 2.25 W 11.18 ESERCITAZIONE DI ENERGETICA 1 N°3 CONDUZIONE IN REGIME TERMICO VARIABILE ESERCIZIO N° 1 Una resistenza elettrica inguainata in acciaio inossidabile è immersa in un grande recipiente riempito di acqua alla temperatura costante di 20 °C . La resistenza, inizialmente in equilibrio termico con l’acqua, dissipa una potenza di 250 W . Valutare la temperatura di regime della resistenza, la temperatura raggiunta dopo che è trascorso un tempo pari alla costante di tempo ed il calore smaltito dalla resistenza all’acqua dopo che è trascorso un tempo pari a 3 minuti. . Si assuma di poter considerare, in prima approssimazione, la resistenza inguainata come un filo omogeneo di acciaio inox. Assumere inoltre i seguenti dati: Diametro e lunghezza della resistenza rispettivamente D=1 cm; L=0.5 m; Conduttività termica dell’acciaio inox : k=25 W/mK Densità dell’acciaio inox ρ=7900 kg/m3 Calore specifico dell’acciaio inox c=480 J/kg K Coefficiente di scambio termico medio: h=150 W/m2 K Soluzione A = π D L = 3.14 ⋅ 0.01 ⋅ 0.5 = 0.0157 m 2 ; V = π D 2 L / 4 = 3.14 ⋅ 0.012 ⋅ 0.5 / 4 = 3.93 ⋅ 10−5 m3 Bi = h ⋅ D 150 ⋅ 0.01 = = 0.06 < 0.1 25 k L’analisi lumped è consentita − ⋅τ P ρcv T = Ta + 1 e − h ⋅ A hA Ta sin t = 20 + τ0 = T = 20 + 250 = 20 + 106.2 = 126.2 °C 150 ⋅ 0.0157 ρ cV hA = 7900 ⋅ 480 ⋅ 3.93 ⋅ 10−5 = 63.2 s 150 ⋅ 0.015707 250 1 1 − = 20 + 106.2 ⋅ 0.632 = 87.1 °C 150 ⋅ 0.0157 e τ• τ• 0 0 Q = ∫ h ⋅ A ⋅ (T − Ta ) dτ = ∫ h ⋅ A ⋅ ( ) [ ( • P 1 − e −τ / τ 0 dτ = P τ • − τ 0 1 − e −τ / τ 0 h⋅ A Q = 250 ⋅ (180 − 63.2 ⋅ (1 − 0.05795)) ≅ 30.11 kJ Q = 250 ⋅ (180 − 59.537 ) ≅ 30.11 kj )] ESERCIZIO N° 2 Un piccolo trasformatore elettrico dissipa per effetto Joule un flusso termico pari a 5 W. Il trasformatore ha, approssimativamente, le dimensioni di un cubo di 5 cm di lato ed una massa pari a 700 g ed opera in aria alla temperatura Ta=40 °C. Se il valore medio del coefficiente di scambio termico, inclusivo di convezione ed irraggiamento, è h=8 W/m2 K, valutare la temperatura massima di regime del trasformatore e la costante di tempo del sistema. Valutare inoltre la temperatura del trasformatore dopo che sono passati 10 minuti dall’inizio del suo funzionamento e considerando la temperatura iniziale del trasformatore uguale a quella ambiente. Si assumano inoltre i seguenti dati: valore medio della conduttività termica del trasformatore k=50 W/m K; valore medio del calore specifico c=450 J/kg K. P=5 W h, T8 SOLUZIONE Bi = 8 0.05 ⋅ 0.05 ⋅ 0.05 h V = 0.16 ⋅ 0.0013333 = 0.001333 << 0.1 ⋅ = ⋅ k A 50 6 ⋅ 0.05 ⋅ 0.05 Tmax = Ta + τ0 = ρV ⋅c h⋅ A T = Ta + 5 5 P = 40 + = 40 + = 40 + 41.666 ≅ 81.7 0.12 8 ⋅ 6 ⋅ 0.05 ⋅ 0.05 h⋅ A = 0.7 ⋅ 450 315 = = 2625 s ≈ 44' 8 ⋅ 6 ⋅ 0.05 ⋅ 0.05 0.12 [ ] 600 − • P 5 2625 1 − e −τ / τ 0 = 40 + 1 − e = 40 + 41.666 ⋅ [1 − 0.795669] h⋅ A 8 ⋅ 6 ⋅ 0.05 ⋅ 0.05 T = 40 + 8.5138 ≅ 48.5 °C ESERCIZIO N° 3 Una barretta cilindrica massiccia di acciaio inossidabile avente un diametro De=0.5 cm e lunghezza L=20 cm ha la temperatura iniziale T0=90 °C. La barretta viene refrigerata immergendola, in posizione orizzontale, in un fluido stagnante, con temperatura costante pari a Tf=17 °C. Confrontare le costanti di tempo del transitorio di refrigerazione della barretta nel caso in cui il fluido refrigerante sia aria ovvero acqua, nell’ipotesi di poter adottare, in entrambi i casi, la trattazione semplificata “lumped”. Valutare inoltre, nei due casi, il tempo necessario perché la barretta raggiunga la temperatura di 40 °C. T0=90 °C T0=90 °C DeL L Aria Tf=300 K Acqua Tf=300 K Assumere i seguenti dati, costanti, per l’acciaio inox: ρ = 8230 Kg / m 3 ; c = 520 j / Kg K ; k = 20 W / m K Assumere per i coefficienti di scambio termico i seguenti valori: h=11 W/m2 K nel caso di aria e h=200 W/m2 K per l’acqua. SOLUZIONE A = π De L =3.1415 0.005 0.20+2 3.14 0.0052 /4 = 0.0031415+0.00003927= =0.003181 m2 V = π De2 / 4 ⋅ L =3.926 10-6 m3 T − T∞ T − T∞ = e −τ / τ 0 ; τ = −τ 0 ⋅ ln T0 − T∞ T0 − T∞ Costanti di tempo: Aria Bi = hD 11⋅ 0.005 = = 0.00275 << 0.1 k 20 ρ cV 8230 ⋅ 520 ⋅ 3.926 ⋅10 −6 = τ0 = = 480.2 s ; 11 ⋅ 0.003181 hA τ = − 480 ⋅ ln 40 − 17 = −480 ⋅ ln 0.315 = −480 ⋅ (− 1.15497 ) = 554.4 s 90 − 17 Acqua Bi = hD 200 ⋅ 0.005 = = 0.05 < 0.1 k 20 ρ cV 8230 ⋅ 520 ⋅ 3.926 ⋅10 −6 = τ0 = = 26.4 s ; 200 ⋅ 0.003181 hA τ = − 26.4 ⋅ ln 40 − 17 = −26.4 ⋅ ln 0.315 = −26.4 ⋅ (− 1.15497 ) = 30.5 s 90 − 17 ESERCITAZIONE DI ENERGETICA 1 N°4 SCAMBIO TERMICO CONVETTIVO ESERCIZIO N° 1 Una tubazione della lunghezza L=2 m e del diametro interno D=2 cm è percorsa da acqua alla velocità media u =5 cm/s. Valutare di quanto aumenta il flusso termico scambiato dal tubo all’acqua se si aumenta la velocità media al valore u =2 m/s a parità di ogni altra condizione. Assumere le seguenti correlazioni: Re⋅ Pr Nu = 1.86 ⋅ L/ D 1/ 3 µ ⋅ µw Nu = 0.023 ⋅ Re 0.8 Pr n 0.14 200 < Re < 2100 ; 0.48 < Pr < 16700 n = 0.4 for heating ; n = 0.3 for cooling ; 10 4 < Re < 10 6 Assumere inoltre la temperatura di parete del tubo uniforme e pari a Tw=340 K e la temperatura media dell’acqua pari a Tm= 300 K. L u D Soluzione Proprietà termofisiche alla Tf = 320 K 3 ρ = 989.12 kg/m µ = 0.5833 ⋅ 10 −6 m2/s ρ inoltre alla Tm=300 K µ=0.695 10-3 N s/m2 Tw=340 K µ=0.420 10-3 N s/m2 k=0.64 W/m K Pr=3.77 cp=4180 J/kg K µ = 577 10 -6 N s/m2 ; Caso u =5 cm/s Re = u ⋅D ν = 0.05 ⋅ 0.02 = 1714.4 0.5833 ⋅ 10 −6 Re⋅ Pr Nu = 1.86 ⋅ L/ D h = 8⋅ 1/ 3 µ ⋅ µ w 0.14 1714.4 ⋅ 3.77 = 1.86 ⋅ 2 / 0.02 1/ 3 0.695 ⋅ 0.420 0.14 = 1.86 ⋅ 4.013 ⋅ 1.073 = 8 k 0.64 = 8⋅ = 256 W/m2 K D 0.02 =2 m/s Caso u Re = ν= u ⋅D ν = 2.0 ⋅ 0.02 = 68575.3 0.5833 ⋅ 10 −6 n=0.4 for heating Nu = 0.023 ⋅ Re 0.8 Pr 0.4 = 0.023 ⋅ 68575 .3 0.8 ⋅ 3.77 0.4 = 0.023 ⋅ 7394 .9 ⋅ 1.7 = 289.14 h = 289.14 ⋅ k 0.64 = 289.14 ⋅ = 9252.5 W/m2 K D 0.02 q u =5cm / s hu =5 cm / s 256 = = = 0.028 qu =2 m / s hu = 2 m / s 9252.5 ESERCIZIO N° 2 Confrontare il flusso termico trasmesso per convezione da una lastra quadrata di dimensioni 0.25 m x 0.25 m , posta verticalmente ed orizzontalmente in un grande ambiente in cui è presente aria stagnante alla temperatura Ta=300 K. La temperatura uniforme della lastra è, in entrambi i casi Tw=400 K . Ta=300 K Ta=300 K Tw=400 K Tw=400 K SOLUZIONE Alla temperatura media del film Tf=350 K Pr = 0.7 Gr = 9.81 ⋅ 0.253 ⋅ (400 − 300) ( 350 ⋅ 20.92 ⋅ 10 ) −6 2 = 1.0 ⋅ 108 Ra = Gr ⋅ Pr = 1.0 ⋅ 10 8 ⋅ 0.72 = 7.2 ⋅ 10 7 k = 0.03 W / m K Vertical laminar: ( Nu = 0.54 Ra 0.25 = 0.54 ⋅ 7.2 ⋅ 10 7 k = 5.96 W / m 2 K L q = h ⋅ A(Tw − T∞ ) = 5.96 ⋅ 0.0625 ⋅ 100 = 37.25 W h = 49.74 ⋅ 1/ 3 Horizontal turbulent: Nu = 0.15 Ra ( ) 1/ 3 Nu = 0.15 ⋅ 7.2 ⋅ 10 7 = 62.36 k h = 62.36 ⋅ = 7.48 W / m 2 K L q = h ⋅ A(Tw − T∞ ) = 7.48 ⋅ 0.0625 ⋅100 = 46.75 W ) 0.25 = 49.74 ESERCIZIO N° 3 Un tubo a serpentina è immerso in un grande recipiente di acqua alla temperatura costante e uniforme di 20 °C. All’interno del tubo fluisce acqua alla temperatura media Tm =52 °C e con una portata massica pari a GH2O = 750 Kg/h. Le dimensioni interne ed esterne del tubo sono: Di =2.1 cm , De =2.5 cm e la sua lunghezza è L= 10 m. Il tubo è costituito da una lega di rame avente una conduttività termica k=200 W/m K. Valutare la potenza termica ceduta all’acqua del recipiente nell’ipotesi di considerare il coefficiente di scambio termico convettivo tra la superficie esterna del tubo e l’acqua del recipiente pari a he =750 W/m2 K. Calcolare inoltre la differenza di temperatura ingresso-uscita dell’acqua che fluisce all’interno del tubo. SOLUZIONE Alla Tm =52 °C=325 K le proprietà termofisiche dell’acqua sono: kg J ρ = 987 3 ; c = 4182 m kg K µ = 528 ⋅ 10 −6 Pa ⋅ s k = 0.645 W mK Pr=3.42 Calcolo coefficiente di scambio termico interno hi. Re = 4⋅G 4 ⋅ 750 = = 23935 π ⋅ Di ⋅ µ 3600 ⋅ 3.14 ⋅ 0.021 ⋅ 528 ⋅ 10 −6 Il regime è completamente turbolento e quindi si può usare la correlazione di Dittus-Boelter Nu = 0.023 Re 0.8 Pr n = 0.023 ⋅ 239350.83.420.3 = 106 n=0.4 for heating e 0.3 for cooling hi = U = k W 0.645 ⋅ 106 = ⋅ 106 = 3255 2 Di 0.021 m K 1 De D D 1 + e ⋅ ln e + 2⋅k Di he Di ⋅ h = 1 W = 584 .8 2 0.00036574 + 0.00001087 + 0.0013333 m K ∆Tm ≡ 52 − 20 = 32 °C q = U ⋅ Ae ∆Tm = 584.8 ⋅ 0.7854 ⋅ 32 = 14698 W = 14.7 kW q = G H 2O ⋅ c ⋅ ∆Ti ,o 14.7 ⋅103 ∆Ti ,o = = = 16.9 °C GH 2O ⋅ c 0.20833 ⋅ 4182 q ESERCIZIO N° 4 Un lungo filo nudo di rame è percorso da corrente elettrica ed è refrigerato per convezione naturale in aria stagnante e per irraggiamento. Il filo, disposto orizzontalmente, ha un diametro D= 1.0 mm e la sua temperatura superficiale costante è Tw =127 °C. La temperatura dell’aria è Taria =27 °C ed anche la temperatura delle pareti del locale in cui è situato il filo è Tamb =27 °C. Valutare: il coefficiente di scambio termico convettivo e la potenza termica specifica complessivamente dissipata dal filo. Domanda facoltativa: valutare la temperatura interna sull’asse del filo di rame. Assumere i seguenti dati: Emissività del rame. ε=0.8 Per lo scambio termico in convezione naturale utilizzare la correlazione di Morgan: Nu = hD = C Ra Dn k dove i valori dei coefficienti C ed n, in funzione del numero di Rayleigh, sono riportati nella successiva tabella: RaD 10 - 10-2 10-2-102 102-104 104-107 -10 Dove βg D 3 ∆T ν Ra D = GrD Pr = ⋅ a ν2 C 0.675 1.02 0.850 0.480 n 0.058 0.148 0.188 0.250 Soluzione: Tw + Taria 400 + 300 = = 350 K 2 2 Per l’aria a 350 K si ha: k=0.03 W/m K, Pr=0.7, 1 3 ⋅ 9.81⋅ (0.001) (400 − 300 ) Ra D = 350 ⋅ 0.7 = 4.483 (20.92 ⋅10 −6 )2 La temperatura media del film è T f = Dalla tabella si ricava che C=1.02 ed n=0.148. h= k 0.03 W ⋅ CRa Dn = ⋅ 1.02 ⋅ 4.483 0.148 ≈ 38.21 2 0.001 D m K ( ) ( ) q " = h ⋅ (400 − 300 ) + εσ 400 4 − 300 4 = 38.21 ⋅ 100 + 0.8 ⋅ 5.67 ⋅ 10 −8 ⋅ 400 4 − 300 4 = W = 3821 + 793.8 = 4614.8 2 m ESERCITAZIONE DI ENERGETICA 1 N°5 SCAMBIO TERMICO RADIATIVO Esercizio N° 1 Una lastra quadrata sottile orizzontale, di dimensioni 0.20 m x 0.20 m, è refrigerata in aria stagnante. La temperatura costante dell’aria è Ta=27 °C ed anche le pareti dell’ambiente circostante si trovano alla stessa temperatura dell’aria mentre la temperatura della piastra è mantenuta al valore Tp =127 °C. Valutare il flusso termico complessivo scambiato tra la piastra e l’ambiente. Assumere le superfici della piastra grigie, con emissività pari a Tp=127 °C Ta=27 °C ε =0.8. Soluzione Temperatura media del film Tf=(300+400)/2=350 K Pr=0.7 ν=20.92 10-6 m2/s 1 1 = K −1 T 350 9.81⋅ 0.20 3 ⋅100 Ra = Gr ⋅ Pr = ⋅ Pr = 5.12 ⋅10 7 ⋅ 0.7 = 3.584 ⋅10 7 2 350 ⋅ (20.92 ⋅10 −6 ) β= Per lastre orizzontali riscaldate facing up e riscaldate facing down valgono rispettivamente le seguenti correlazioni: Nu = 0.15 Ra1L/ 3 ; 107 ≤ Ra ≤ 1011 Nu = 0.27 Ra1L/ 4 ; 105 ≤ Ra ≤ 1010 hup = hdown ( ) 0.3333 0.03 K W ⋅ 0.15 ⋅ Ra1L/ 3 = 0.15 ⋅ ⋅ 3.584 ⋅ 10 7 = 7.4 2 0.20 L m K 0.25 0.03 K W = 0.27 ⋅ Ra1L/ 3 = 0.27 ⋅ ⋅ 3.584 ⋅ 10 7 = 3.1 2 0.20 L m K ( ) ( ) q = (hup + hdown ) ⋅ (TW − Ta ) A + 2 ε ⋅ σ ⋅ TW4 − Tp4 ⋅ A ( ) q = (7.4 + 3.1) ⋅ 100 ⋅ 0.2 2 + 2 ⋅ 0.8 ⋅ 5.67 ⋅ 10 −8 ⋅ 400 4 − 300 4 ⋅ 0.2 2 = 42.12 + 63.5 W = 105.62 W Esercizio N° 2 Una lastra sottile metallica è appesa ad un filo in posizione verticale ed è completamente circondata dalle pareti di un forno, riscaldate elettricamente e tutte alla stessa temperatura, come schematizzato in figura. La lastra si trova in condizioni di regime termico stazionario ed ha una temperatura di Ts=90 °C mentre la temperatura media dell’aria contenuta nel forno è pari a Ta=64 °C . Determinare la temperatura Tp delle pareti del forno. Tp Ts Ta L Si assumano i seguenti dati: lato della lastra (quadrata) L=10 cm; emissività della lastra, assunta grigia, ε=0.8; Utilizzare per lo scambio termico in convezione naturale le correlazioni: Nu=0.59 Ra1/4 valida per Ra<109 Nu=0.10 Ra1/3 valida per Ra>109 Soluzione In condizioni di regime termico stazionario: ( q c = h A Ts − Ta qr - qc=0; ) A = 2 ⋅ 0.1 m ⋅ 0.1 m = 0.02 m 2 ; La temperatura media del film vale Ts + Ta 90 + 64 = = 77 °C = 350 K 2 2 2 1 1 −1 −6 m Pr = 0.7; β = = K ; ν = 20.92 ⋅ 10 ; T 350 s Tf = Gr = 9.81 ⋅ 0.13 ⋅ (90 − 64 ) 350 ⋅ (20.92 ⋅ 10 ) −6 2 = 1.665 ⋅ 10 6 ; Pr = 0.7 ; Ra = 1.665 ⋅ 10 6 ⋅ 0.7 = 1.1655 ⋅ 10 6 < 10 9 k 1/ 4 h = 0.59 ⋅ ⋅ (Gr ⋅ Pr ) L h = 0.59 ⋅ ( 0.03 ⋅ 1.1655 ⋅ 10 6 0.1 ) 1/ 4 = 5.8 W / m 2 K qc = 5.8 ⋅ (2 ⋅ 0.1⋅ 0.1) ⋅ (90 − 64) = 3 W ( ) q r = qc = σ ⋅ ε ⋅ A ⋅ T p4 − Ts4 ; 3 T p = 363.15 4 + −8 5.67 ⋅ 10 ⋅ 0.8 ⋅ 0.02 (1.73918 ⋅ 10 10 + 3.33994 ⋅ 10 9 ) 0.25 0.25 = = 379.45 K = 106.3 °C Esercizio N° 3 Valutare il flusso termico specifico (per unità di lunghezza) dissipato nell’ambiente da un sistema composto da un lungo cilindro di diametro D1=2 cm, contenuto all’interno di un tubo coassiale di diametro interno D2=3 cm ed avente uno spessore s=3 cm. Nell’intercapedine tra il cilindro ed il tubo coassiale vi è il vuoto mentre la temperatura superficiale del cilindro è mantenuta ad un valore costante ed uniforme pari a T1=135 °C e quella interna del tubo, anch’essa costante ed uniforme vale T2=95 °C. Si assumano inoltre i seguenti dati: conduttività termica del materiale di cui è composto il tubo k=0.35 W/mK; emissività delle due superfici affacciate del cilindro e del tubo coassiale rispettivamente ε1=0.8 ; ε2=0.45; Valutare infine la temperatura T3 del tubo all’interfaccia con l’aria ambiente. ∞ D2 T1 =135 °C D1 s k T2=95 °C Ambiente T3 vuoto SOLUZIONE F 1−2 = 1 1 ε1 −1+ D 1 1 + 1 − 1 F1−2 D2 ε 2 ( = 1 1 2 1 −1+1+ + − 1 0.8 3 0.45 ) ( = 1 = 0.4843 2.06481 q = σ F1−2 ⋅ A1 T1 − T2 = 5.67 ⋅ 10 −8 ⋅ 0.4843 ⋅ πD1 ⋅ L ⋅ 408.154 − 368.154 q' = q= 4 4 q W = 16.2 L m T2 − T3 D ln 3 / 2πLk D2 D3 D2 q ; T3 = T2 − ⋅ L 2πk ln D3 = D2 + 2 ⋅ s = 0.03 + 2 ⋅ 0.03 = 0.09 m 9 3 = 86.6 °C T3 = 95 − 16.19 ⋅ 2π ⋅ 0.35 ln ) Esercizio N° 4 Una lastra piana verticale delle dimensioni X=0.7 m e Y=0.30 m , mantenuta alla temperatura T1= 134 °C, scambia calore per convezione con aria stagnante alla temperatura Ta= 20 °C e, per irraggiamento, con un’altra piastra verticale di dimensioni identiche, parallela ed allineata alla precedente, posta alla distanza L=0.20 m ed avente una temperatura T2= 30 °C . Assumendo le due piastre perfettamente diffuse e grigie con emissività rispettivamente ε 1 =0.4 e ε 2 =0.9 confrontare il flusso termico convettivo qc scambiato con l’aria dalla prima piastra con quello radiante qr scambiato tra le due piastre. Y qr T1 T2 ε1 ε2 X qc Ta L Per il calcolo del coefficiente di scambio termico convettivo utilizzare le seguenti correlazioni: Nu = 0.59 ⋅ Ra1 / 4 per Ra ≤ 10 9 Nu = 0.10 ⋅ Ra1 / 3 per Ra > 10 9 SOLUZIONE Flusso termico radiante X Y = 3 .5; = 1 .5; F1− 2 = 0 .45 ; L L Soluzione ( ) ( ) A σ ⋅ T14 − T24 226.64 0.3 ⋅ 0.7 ⋅ 5.67 ⋅ 10 −8 ⋅ 407.15 4 − 303.15 4 = = = 59.1 W qr = 1 1 1 1 1 1 3.8333 −1+ + −1 −1+ + −1 ε1 F1− 2 ε 2 0.45 0.9 0.4 Proprietà termofisiche dell’aria alla temperatura media del film (Tf=350 K): T1 + Ta = 77 °C = 350.15 K ; Pr = 0.7; ν = 20.92 ⋅ 10 −6 m 2 / s ; k = 0.03 W / m K ; 2 βgX 3 (T1 − T2 ) Gr = = 2.5 ⋅ 10 9 ; Ra = Gr ⋅ Pr = 1.75 ⋅ 10 9 ; 2 Tf = ν Il regime è turbolento: ( Nu = 0.10 ⋅ 1.75 ⋅ 10 9 ) 1/ 3 = 0.10 ⋅ 1205 = 120.5; h = qc = h ⋅ A ⋅ (T1 − Ta ) = 5.2 ⋅ 0.7 ⋅ 0.3 ⋅ 114 = 123.5 W Risulta quindi qr 59.1 = ≈ 47.9 % qc 123.5 Nu ⋅ k = 5.2 W / m 2 K X ESERCITAZIONE DI ENERGETICA 1 N°6 SCAMBIATORI DI CALORE Esercizio N° 1 Uno scambiatore di calore a tubi concentrici operante in controcorrente viene usato per refrigerare olio di lubrificazione di un grande impianto di turbina a gas. La portata dell’acqua di raffreddamento che scorre nel tubo interno è 0.2 kg/s (Di=21 mm, De=25 mm, k=100 W/m K), mentre la portata dell’olio che fluisce nello spazio anulare (Do=45 mm) è 0.1 kg/s. L’olio e l’acqua entrano alla temperatura di 100 °C e 30 °C rispettivamente. Dimensionare la lunghezza dell tubo se si vuole avere una temperatura in uscita dell’olio pari a 60 °C. Olio Acqua Di Olio De Do Th, i=100 °C Gh=0.1 kg/s Th, o=60 °C Tc,o Gc=0.2 kg/s Tc,i =30 °C Ipotesi: - Calore disperso trascurabile Variazioni energie cinetiche e potenziali trascurabili Proprietà termofisiche costanti Scambio termico convettivo completamente sviluppato per l’acqua e l’olio (U indipendente da x). Proprietà termofisiche: olio lubrificante alla temperatura media Tm=(Th, i +Th, o )/2 =80 °C=353 K cp,h=2131 J/kg K; µ=3.25 10-2 N s/m2 ; k=0.138 W/m K; Acqua alla temperatura media Tm=(Tc, i +Tc, o )/2 =35 °C=308 K cp,c =4178 J/kg K; µ=725 10-6 N s/m2 ; k=0.625 W/m K; Pr=4.85 Il carico termico dello scambiatore può essere ottenuto dal bilancio termico per il fluido caldo: q = G h ⋅ c p ,h ⋅ (Th .i − Th ,o ) = 0.1 ⋅ 2131 ⋅ (100 − 60 ) = 8524 W q = Gc ⋅ c p , c ⋅ (Tc , o − Tc ,i ); Tc , o = Tc ,i + Tc ,o = 30 + q Gc ⋅ c p ,c 8524 = 40.2 °C 0.2 ⋅ 4178 L’uso di una temperatura media per l’acqua pari a 35 °C risulta quindi appropriata. La lunghezza dello scambiatore di calore può essere ottenuta dalla equazione di scambio: q = U ⋅ Ae ⋅ ∆TLMTD = U ⋅ π De L ⋅ ∆TLM T D dove: ∆TLMTD = (T h ,i − Tc , o ) − (Th , o − Tc , i ) (100 − 40.2 ) − (60 − 30 ) 59.8 − 30 29.8 = = = = 43.2 °C ( ( Th , i − Tc , o ) 100 − 40.2 ) 59.8 ln 1 . 9933 ln ln ln (60 − 30) 30 (Th, o − Tc, i ) ed il coefficiente globale U è definito: 1 U= Ae A + e ⋅ R f ,i Ai ⋅ hi Ai De Di 1 + Ae ⋅ + R f ,e + 2π k L he ln R f ,i = 0.0002 m 2 K / W ; R f , o = 0.0009 m 2 K / W ; De = 2.5 cm; Di = 2.1 cm; k = 100 W / m K Per il calcolo del coefficiente di scambio termico convettivo interno hi si può procedere nel modo consueto: Re = 4 ⋅ Gc 4 ⋅ 0.2 = = 16726 π Di µ π ⋅ 0.021⋅ 725 ⋅10 −6 Il regime di moto è completamente turbolento ed il coefficiente hi può essere calcolato con la correlazione: Nu = 0.023 Re 0.8 ⋅ Pr n n=0.4 for heating Nu = 0.023 ⋅ 16726 0.8 ⋅ 4.85 0.4 = 103.4 hi = Nu ⋅ k 103 ⋅ 0.625 W = = 3065 2 Di 0.021 m K Mentre per il flusso di olio attraverso il condotto anulare, il diametro idraulico vale Dh = Do − De = 0.02 m ed il numero di Reynolds vale Re = Re = Gh ρ u m ⋅ Dh ρ (Do − De ) = ⋅ µ µ ρ π (Do2 − De2 ) / 4 4 ⋅ Gh 4 ⋅ 0.1 = = 56 π ⋅ (Di + Do ) ⋅ µ π ⋅ (0.045 + 0.025) ⋅ 3.25 ⋅ 10 − 2 Il regime di moto dell’olio all’interno del condotto anulare è laminare. Assumendo il tubo interno a temperatura imposta uniforme e quello esterno perfettamente isolato, il coefficiente di scambio termico convettivo he può essere dedotto dalla Tabella 1. De/Do 0 0.05 0.10 0.25 0.50 1.00 Per Nui 17.46 1156 7.37 5.74 4.86 Nuo 3.66 4.06 4.11 4.23 4.43 4.86 Condotto cilindrico Pareti piane parallele De = 0.56 si ottiene (con una interpolazione): Do Nu = 5.56 he = 5.56 ⋅ U= 0.138 k W = 5.56 ⋅ = 38.4 2 0.02 Dh m K 1 ; 1 0.025 ⋅ ln 1.19 1.19 + 1.19 ⋅ 0.0002 + + 0.0009 + 38.4 100 3065 U= W 1 1 = = 36.3 2 m K 0.0003882 + 0.000238 + 0.0000221 + 0.0009 + 0.026 0.27548 q = U ⋅ Ae ⋅ ∆TLMTD = U ⋅ π De L ⋅ ∆TLMTD L= q 8524 = = 69.25 m U ⋅ π De ⋅ ∆TLMTD 36.3 ⋅ 3.14 ⋅ 0.025 ⋅ 43.2 Commenti: Il coefficiente convettivo lato olio controlla il flusso termico trasmesso tra i due fluidi e il piccolo valore di he è responsabile dell’elevato valore di L . Naturalmente è necessario predisporre un tubo a spirale. Poiché hi>>he , la temperatura di parete seguirà strettamente quella dell’H2O. Ne consegue che l’ipotesi di assumere una temperatura uniforme di parete, pari a quella dell’acqua per ottenere he è ragionevole. Esercizio N° 2 Uno scambiatore di calore a fascio tubiero e mantello, deve essere progettato per riscaldare una portata di 2.5 kg/s di H2O da 15 °C a 85 °C. Il riscaldamento è ottenuto facendo passare dal lato mantello olio caldo, disponibile alla temperatura di 160 °C. Si suppone che il coefficiente di scambio termico lato olio sia he=400 W/m2 K. I tubi all’interno dei quali passa l’acqua sono 10. Ciascun tubo in parete sottile, (diametro interno Di=25 mm ed esterno De=27 mm) percorre 8 passaggi attraverso il mantello. Se l’olio lascia lo scambiatore a 100 °C, quale deve esserne la portata ? Quanto lunghi devono essere i tubi per ottenere l’effetto desiderato di riscaldamento? Olio Acqua Th, i Gh Tc, o Th, o Gc Tc, i SOLUZIONE Proprietà termofisiche Olio 160 + 100 = 130 °C = 283 .15 K 2 = 2350 J / kg K Tm = c p ,h ACQUA 15 + 85 Tm = = 50 °C = 323 .15 K 2 c p ,c = 4181 J / kg K ; µ = 548 ⋅ 10 −6 N s / m 2 ; k = 0.643 W / m K ; Pr = 3.56 ; Dall’equazione di bilancio termico per il fluido freddo si ha: q = Gc ⋅ c p c ⋅ (Tc ,o − Tc ,i ) = 2.5 ⋅ 4181⋅ (85 − 15) = 7.317 ⋅ 10 5 W da cui: Gh = q c p , h (Th , i − Th , o ) = 7.317 ⋅ 10 5 = 5.19 kg / s 2350 ⋅ (160 − 100 ) La lunghezza del tubo richiesto può essere ottenuta dall’equazione di scambio: q = U ⋅ Ae ⋅ ∆TLMTD dove: U= 1 Ae A 1 + e R f ,i + R f , e + Ai ⋅ hi Ai he I fouling factors si assumono R f , i m2 K = 0.0002 ; W Rf ,o m2 K = 0.0009 ; W Il coefficiente di scambio lato olio vale he=400 W/m2K, mentre per il calcolo di hi si può procedere nel seguente modo. La portata massica dell’acqua viene ripartita in 10 tubi: Gc 1 = Re = 4 ⋅ Gc 1 πDi ⋅ µ Gc 2.5 = = 0.25 kg / s 10 10 = 4 ⋅ 0.25 = 23234 π ⋅ 0.025 ⋅ 548 ⋅ 10 −6 Il flusso è completamente turbolento. Si può utilizzare la correlazione di DittusBoelter: Nu = 0.023 ⋅ Re 0.8 ⋅ Pr n n=0.4 for heating Nu = 0.023 ⋅ 23234 0.8 ⋅ 3.56 0.4 = 119 hi = U= k 0.643 ⋅ Nu = ⋅ 119 = 3061 W / m 2 K 0.025 Di 1 De D 1 + e R f ,i + R f ,e + Di hi Di he U= = 1 0.027 0.027 1 + ⋅ 0.0002 + 0.0009 + 0.025 ⋅ 3061 0.025 400 1 W = 252 2 0.000353 + 0.000216 + 0.0009 + 0.0025 m K q = U ⋅ Ae ⋅ F ⋅ ∆TLMTD , cf = U ⋅ π De L N ⋅ F ⋅ ∆TLMTD , cf Fig. 1- Fattore di correzione per uno scambiatore di calore a fascio tubiero ad un passaggio lato mantello e per ogni multiplo di due passaggi lato tubi (due, quattro, sei, etc.) Il fattore correttivo può essere ottenuto dalla Fig. 1 Si ha: R= 160 − 100 85 − 15 = 0.86 ; P = = 0.48; F ≅ 0.87 85 − 15 160 − 15 ∆TLMTD , cf = L= (T h, i − Tc , o ) − (Th , o − Tc , i ) 75 − 85 = = 79.9 °C ( Th , i − Tc , o ) 160 − 15 ln (Th, o − Tc, i ) q 7.317 ⋅10 5 = 49.25 m = U ⋅ N ⋅ π De ⋅ F ⋅ ∆Tm , cf 252 ⋅10 ⋅ π 0.027 ⋅ 0.87 ⋅ 79.9 Con 8 passaggi la lunghezza del mantello risulta approssimativamente: L 49.25 = = 6.15 m 8 8 Commenti: Con una lunghezza dei tubi pari a L 49.25 = = 1970 l’ipotesi di convezione Di 0.025 completamente sviluppata attraverso il tubo è giustificata. Qualora si trascurassero le resistenze termiche dovute ai Fouling Factors, si avrebbe: U= L= 1 De 1 + Di hi he = 1 1 W = = 350.5 2 0.027 1 0.000353 + 0.0025 m K + 0.025 ⋅ 3061 400 q 7.317 ⋅ 10 5 = 35.4 m = U ⋅ N ⋅ π ⋅ De ⋅ F ⋅ ∆TLMTD , cf 350.5 ⋅ 10 ⋅ π ⋅ 0.027 ⋅ 0.87 ⋅ 79.9 Si avrebbe pertanto una lunghezza dei tubi inferiore del 40 % circa.