SVOLGI DA SOLO GLI ESERCIZI SEGUENTI PRIMA DI LEGGERE

SVOLGI DA SOLO GLI ESERCIZI SEGUENTI PRIMA DI LEGGERE LA RISOLUZIONE
PROPOSTA
1- Un uomo di massa 70Kg sta su una piccola barca in legno di massa 120Kg. La barca si muove
per inerzia lungo un corso d'acqua con una velocità di 1,8m/s. L'uomo salta giù dall'imbarcazione
per tuffarsi in acqua, lanciandosi nella stessa direzione di moto della barca ma nel verso opposto
(dal retro della barca). L'uomo saltando raggiunge una velocità orizzontale pari a 5,5 m/s.
a) Calcola la velocità finale della barca dopo il tuffo dell'uomo.
b) Calcola l'energia meccanica iniziale e finale del sistema e stabilisci se l'energia si è conservata.
c) Come ti spieghi la variazione di energia meccanica riscontrata? È possibile produrre energia
meccanica dal nulla?
Soluzione:
massa uomo
massa barca
mo=70 Kg
mb=120 Kg
Dati: velocità iniziale barca+uomo v i=1,8 m
s
m
velocitàiniziale uomo
v o =−5,5
s
a)
Si noti che nei dati la velocità finale dell'uomo è stata indicata con segno negativo. Questo è il
risultato di aver scelto come verso positivo quello del moto della barca.
La legge da utilizzare in questo caso è quella di conservazione della quantità di moto. Non è invece
assicurata la conservazione dell'energia meccanica, visto che intervengono forze (forza muscolare
dell'uomo) che non garantiscono la conservazione dell'energia meccanica.
Questo tuttavia non costituisce un problema, in quanto l'incognita da determinare è una sola, la
velocità finale della barca vb.
Quantità di moto iniziale: p i=(mo + mb )v i
Quantità di moto finale: p f =mo v o+ m b v b
Applichiamo la legge di conservazione:
p f = pi → mo v o+mb v b =(m o+mb)v i
mb v b =( mo+ mb )vi −mo v o
→
v b= v i +
→
mo
(v −v )
mb i o
il lettore si occupi dei calcoli numerici.
b) L'energia meccanica può essere valutata per la sola parte cinetica. Infatti l'unica energia
potenziale riscontrabile in tale problema è quella gravitazionale, ma visto che tutti i corpi coinvolti
si trovano e restano alla stessa quota costante la valutazione dell'energia potenziale è irrilevante.
Le energie iniziale e finale sono dunque:
1
1
1
( mo+ mb ) vi2
E f = mo v 2o + mb v 2b
2
2
2
Il lettore calcoli i valori numerici di queste energie
c)
E i=
Dal calcolo precedente, ti sarai accorto che l'energia finale risulta più alta di quella iniziale. Come si
spiega, visto che di solito ci aspettiamo per le forze non conservative una diminuzione progressiva
dell'energia meccanica?
La diminuzione è ciò che normalmente si osserva in un urto anelastico.
Il caso in esame somiglia ad un urto anelastico con “il tempo invertito”, infatti se in un urto
anelastico due corpi inizialmente separati si uniscono, qui due corpi inizialmente uniti si separano.
L'apparente assurdità si risolve se si tiene conto che l'uomo nella barca sta utilizzando l'energia
chimica contenuta nei propri muscoli. Questi ultimi sono in grado di trasformare l'energia chimica
derivante dal metabolismo in energia meccanica. Questo spiega perché alla fine del processo
l'energia meccanica risulta più alta di quella iniziale.
2- In un tavolo da biliardo, una pallina, lanciata con una velocità di 25 cm/s, ne urta una seconda,
inizialmente ferma, in modo non centrale. La seconda pallina, dopo l'urto perfettamente elastico
con la prima, parte con una direzione che forma un angolo di 450 rispetto alla direzione iniziale di
moto della prima pallina. Le due palle hanno la stessa massa.
a) Fai uno schema dei quantità di moto prima e dopo l'urto.
b) Fissa un opportuno sistema di riferimento cartesiano per scomporre il problema sui due assi.
c) Trova le componenti ed il modulo delle velocità finali delle due palline dopo l'urto.
d) Trova la direzione (angolo) di moto della prima pallina dopo l'urto.
Soluzione
a)
Il problema è bidimensionale e quindi la natura vettoriale della quantità di moto qui diventa
fondamentale. Uno schema della situazione, prima e dopo l'urto è riportato in figura.
p2
pi
pf
prima
dopo
p1
Da notare che, dovendosi conservare la quantità di moto, la somma vettoriale delle quantità di moto
delle due palline dopo l'urto deve restituire lo stesso vettore quantità di moto iniziale (vettore
orizzontale in figura).
b)
Un sistema di riferimento potrebbe essere fissato con asse x orientato come la quantità di moto
totale del sistema, pari anche alla quantità di moto iniziale della prima pallina. L'asse y di
conseguenza viene orientato in verticale, come riportato nella seconda figura.
c)
A questo punto possiamo passare al calcolo delle componenti delle velocità, sia iniziali che finali.
All'inizio c'è una sola pallina in movimento parallelamente all'asse x, quindi si ha:
cm
v 0y =0 ;
s
per la seconda pallina la velocità iniziale è nulla.
v 0x =25
py
p2
pi
pf
prima
dopo
p1
px
La determinazione delle componenti della velocità finale deve esser fatta usando le leggi di
conservazione, sia della quantità di moto, che dell'energia:
p i= p⃗f
⃗
→
m v⃗0 =m v⃗1+ m v⃗2
→
v⃗0= v⃗1+ v⃗2
(1)
1
1
2
2 1
2
m v 0= m v 1 + mv 2
2
2
2
→
2
2
2
v 0=v 1 + v 2
(2)
L'equazione (1) può essere scomposta nelle componenti x ed y tenendo conto del fatto che la
velocità v⃗2 forma un angolo di 450 con l'asse x, per cui si ha:
v
v 2x =v 2y = 2
( 3)
√2
Dalla (1) si ricavano quindi le seguenti due equazioni:
v
v 0=v 1x + 2
(4)
√2
v
0=v 1y + 2
(5)
√2
Le (4) e (5) sono due equazioni con 3 incognite, serve un'altra equazione. Tale equazione è la (2),
che possiamo riscrivere tenendo conto della (3):
2
2
2
2
v 0 =v 1x +v 1y + v 2
(2 ' )
Si devono mettere a sistema le (4) (5) e (2').
Si lascia la risoluzione dettagliata dell'esercizio al volenteroso lettore … per ottenere:
v
1
1
v 1x= v 0 ;
v 1y=− v 0 ;
v 2= 0
2
2
√2
A questo punto, visto che le componenti della velocità finale della prima pallina sono uguali in
valore assoluto, ma di segno opposto, detto α l'angolo che il vettore v⃗1 forma con l'asse delle
ascisse si ha:
cos α=
sen α=
v 1x
=
v1
v 1y
=
v1
v
√v
1x
2
1x
+v
v 1y
√v
2
1x
+v
2
1y
2
1y
=
= −
1
v
2 0
√
√
2
0
2
0
v v
+
4 4
1
v
2 0
=
√2 = 1
2
√2
2
1
= −√ = −
2
√2
v 20
v 20
+
4 4
l'angolo che ha questi valori di seno e coseno è 3150, ovvero 450 in senso orario a partire dal
semiasse positivo delle ascisse (quarto quadrante).