x - Dipartimento di Matematica e Informatica

Il "matematicamente certo"
da Euclide a Hilbert ed oltre
Il seminario propone alcune riflessioni sull'evoluzione
della delicata nozione di “verità matematica"
e suggerisce qualche spunto per la pratica didattica in classe.
Università della Calabria, 19 aprile 2007
Sergio Invernizzi
Dipartimento di Matematica e Informatica
Università di Trieste
[email protected]
http://www.labmat.it
Teorema di Pitagora
• Il teorema è vero?
• Cosa significa che è vero?
Matematica “intuitiva”
• Teorema, gr. THEOREMA, la cosa guardata, esaminata, da
THEOREO, riguardo, considero.
• Teatro, gr. THEATRON, da THEA, il guardare, vista.
• “ … è facile vedere che …”, “… we will show that …”,
• “ The David Letterman Show ”
• Rappresentazione ridotta e codificata della realtà
• Teoremi ~ misure indirette: Pitagora, Eupalino, Eratostene
• Teoremi ~ profezie (si avverano, o si avvererebbero se…)
• Postulati: problemi di evidenza sperimentale empirica
• Ambito del simbolico-ricostruttivo (Antinucci)
Pitagora,
Samo, 560 ca.- 480 ca. a.C.
(Partenone, 447 a.C. - 438/432 a.C.)
1112 + 2512 = 75322 = 274 e rotti
1112 + 2512 = 75322 = 274 e rotti
Eupalino di Megara,
Samo, VI secolo a. C.
(Erodoto, Storie, III, 60)
qanat?
Tecnologia dei qanat persiani
Eratostene
Cirene, Libia, 276 a.C. - Alessandria, Egitto, 194 a.C.
Evandro Agazzi, Dario Palladino,
Le geometrie non euclidee e i
fondamenti della geometria, La
Scuola, 1998
(in particolare le Considerazioni
conclusive, p. 303 segg.)
Evandro Agazzi, Dario Palladino,
Le geometrie non euclidee e i
fondamenti della geometria, La
Scuola, 1998
(in particolare le Considerazioni
conclusive, p. 303 segg.)
Illusione di Zöllner
(gestaltisti et al.)
Karl Friedrich Gauss
• Gauss scoprì nei primi anni dell'Ottocento le geometrie non
euclidee, ma non pubblicò nulla in proposito "per paura delle 'strida
dei beoti', come ebbe a dire in una lettera a Bessel del 1829, ossia
per tema della reazione che l'allora imperante teoria kantiana dello
spazio avrebbe determinato contro chi avesse osato mettere in
dubbio la natura a priori, necessaria, della geometria euclidea.”
• C. Mangione, Logica e fondamenti della matematica nella prima
metà dell'Ottocento, in: L. Geymonat, Storia del pensiero filosofico
e scientifico, vol. VI, p. 146, Garzanti, 1971.
• Lettera ad H.C. Schumacher (1/11/1844) “Osserverete la stessa
cosa (l'incompetenza matematica) nei filosofi contemporanei
Schelling, Hegel, … Ed anche con lo stesso Kant spesso le cose non
vanno molto meglio; secondo me, la sua distinzione fra proposizioni
analitiche e sintetiche è una di quelle cose che cadono nella
banalità o sono false.”
K. F. Gauss, 1820-1830
• Ernst Breitenberger, Gauss's geodesy and the axiom of parallels,
Arch. Hist. Exact Sci. 31 (3) (1984), 273-289
• Arthur Miller, The Myth of Gauss's Experiment on the Euclidean
Nature of Physical Space, Isis, 63 (1972), 345-348.
• Comments on Miller's "The Myth of Gauss' Experiment on the
Euclidean Nature of Physical Space" George Goe, B. L. van der
Waerden, Arthur I. Miller, Isis, Vol. 65, No. 1 (Mar., 1974), pp.
83-87
Gauss's geodesy and the axiom of parallels
Ernst Breitenberger
Department of Physics and Astronomy, Ohio University, Athens, Ohio
Abstract It is a myth that Gauss measured a certain large triangle
specifically to determine its angle sum; he did so in order to link his
triangulation of Hanover with contiguous ones. The sum of the
angles differed from 180° by less than two thirds of a second; he is
known to have mentioned in conversation that this constituted an
approximate verification of the axiom of parallels (which he
regarded as an empirical matter because his studies of hyperbolic
trigonometry had led him to recognize the possibility of logical
alternatives to Kant and Euclid). However, he never doubted
Euclidean geometry in his geodetic work. On the contrary, he
continually used 180° angle sums as a powerful check for
observational errors, which helped him to achieve standards of
precision equivalent to today's. Nor did he ever plan an empirical
investigation of the geometrical structure of space.
Arch. Hist. Exact Sci. 31 (3) (1984), 273-289
Received: 23 September 1983 Communicated by M. Kline
Immanuel Kant, 1781
Secondo Kant, i dati relativi
allo spazio reale in cui viviamo
ci giungono attraverso i sensi,
la vista e il tatto, e vengono
organizzati dal nostro intelletto.
Quando giungono alla nostra coscienza sono stati già rielaborati.
La nostra idea di spazio non si riferisce allo spazio reale esterno
a noi ma a uno spazio di natura intellettiva che filtra e organizza
le nostre esperienze.
Secondo Kant, i principi di Euclide descrivono, quindi, non uno
spazio esterno ma questa struttura mentale che ci permette di
cogliere e organizzare la percezione che abbiamo degli oggetti.
Essi sono infallibili e indiscutibili proprio perché si riferiscono non
all'esperienza, ma al modo in cui la nostra mente dà una
struttura all'esperienza.
Più esplicitamente, la Critica della ragion pura afferma che il
carattere dello spazio geometrico può essere conosciuto senza
osservazioni empiriche. La geometria euclidea (“intuitiva”) è
l’unico modo possibile in cui la mente può organizzare
l’informazione sulle relazioni spaziali estrinseche.
Ricordiamo anche Platone e tutti gli aprioristi.
David Hilbert
• Hilbert nelle Grundlagen der Geometrie del 1900, afferma
l'idea che le costruzioni matematiche sono sistemi ipoteticodeduttivi.
• La “verità” dei teoremi è confermata dalla sintassi, ossia
solo dall’osservanza delle regole di deduzione.
• Nessun collegamento empirico.
• Ambito del simbolico-ricostruttivo (Antinucci)
• Postulati: non più problemi di evidenza ma logici, di
consistenza, decidibilità, ecc.
• Mario Pieri (1860-1913)
Émile Borel, 1922
• "La possibilité de ramener la géométrie à une théorie
analytique et algébrique purement abstraite ne doit
cependant pas nous faire oublier l'origine concrète des
concepts géométriques. Lorsque M. Hilbert nous dit : (*)
pensons trois systèmes de choses que nous appellerons
poins, droites et plans, ces choses ayant par définition des
propriétés telles que la suivante : par deux points on peut
faire passer une droiteet une seule, nous savons très bien
que M. Hilbert n'aurait point pensé à ces choses si Euclide
n'avait pas vécu avant lui.”
• É. Borel, L'Espace et le Temps, Librairie Félix Alcan, Paris,
1922, p. 6.
• (*) Inizio del Cap. 1 dei Grundlagen der Geometrie
H. Poincaré, 1922
• Le geometrie non euclidee hanno messo in discussione la
natura degli assiomi geometrici. La conclusione di Poincaré
è che gli assiomi della geometria non sono “giudizi sintetici
a priori” (Kant), né fatti sperimentali, ma solo convenzioni.
Inoltre una geometria non può essere piú vera di un’altra,
ma solo piú comoda.
• H. Poincaré, La scienza e l’ipotesi, trad. it. di F. Albergamo,
La Nuova Italia, Firenze, 1949, pagg. 57-59
• Novecento filosofico e scientifico, a cura di A. Negri,
Marzorati, Milano, 1991, vol. II, pagg. 748-749
Richard Courant, 1927
"Es ist mein Bestreben, dem Leser eine deutliche Einsicht in die
enge Verbundenheit der Analysis mit den Anwendungen zu
vermitteln und --- bei aller Wahrung mathematischer Strenge und
Präzision --- der Anschauung als dem Urquell mathematischer
Wahrheiten volle Gerechtigkeit widerfahren zu lassen. Gewiß, die
Darstellung der Wissenschaft als geschlossenes System in sich
ruhender Wahrheiten ohne eine Erinnerung an Herkunft und Ziel
hat einen ästhetischen Reiz und bedeutet die Erfüllung eines
tiefen philosophischen Erkennntntisdranges. Aber als
ausschlißliche grund-sätzliche Einstellung oder als didaktisches
Prinzip gegenüber Anfängern ist der Standpunkt der abstrakt
logischen, in sich gekehrten Wissenschaft eine große Gefahr. ...
Es scheint mir eine überaus wichtige Aufgabe, den Lernen-den
von Anfang an vor einem dünkelhaften allzu bequemen Purismus
zu bewahren;...“
• Il mio scopo è di mostrare le strette connessioni fra l'analisi
e le sue applicazioni e, senza perdere di rigore o di
precisione, dare il dovuto riconoscimento all'intuizione come
sorgente della verità matematica. La presentazione della
scienza come un sistema chiuso di verità senza riferimenti
alle loro origini e scopi ha un indubbio fascino estetico e
soddisfa profonde esigenze filosofiche. Ma il punto di vista di
una scienza logica astratta e chiusa in sé, come unica base
per la formulazione dei fondamenti o come principio
didattico per i principianti, è un grave pericolo. ... Mi sembra
estremamente importante che lo studente sia messo in
guardia fin dall'inizio nei confronti di un purismo oscuro per
quanto comodo;
• Richard Courant, Vorlesungen über Differential- und
Integralrechnung, 1934.
• Felix Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der
Mathematik im 19.Jahrhundert, 1927.
Bourbaki, 1939/1950/1970
• Bourbaki non prefisse per il suo trattato finalità né didattiche
né applicative, bensì con esso intese "donner des fondations
solides à tout l'ensemble de mathématiques modernes.“
• Infatti il trattato si rivolge esplicitamente
"à des lecteurs possédant au moins une bonne connessaince
des matières enseignées dans la première ou les deux
premières années de l'Université"
ed esplicitamente riconosce che
"L'utilité de certaines considérations n'apparaîtra donc au
lecteur que s'il posséde déjà des connaissances assez
étendues"
• N. Bourbaki, "Mode d'emploi de ce traitè“, Éléments de
mathématiques, Hermann, Paris, 1939. Cf. pure N. Bourbaki,
"The Architecture of Mathematics", in American Mathematical
Monthly 57, 1950, pp. 221-232.
V. I. Arnold,1995
• "At the beginning of this century a self-destructive
democratic principle was advanced in mahematics
(especially by Hilbert), according to which all axiom
systems have equal right to be analyzed, and the value of a
mathematical achievement is determined not by its
significance and usefulness as in other sciences, but by its
difficult alone, as in mountaineering. This principle quickly
led mathematicians to break from physics and to separate
from all other sciences."
• V. I. Arnold, Will Mathematics Survive?, The Mathematical
Intelligencer, Vol. 17, n. 3, 1995, pp. 6-10
Thomas Kuhn, 1962
• "... ricordiamo ancora una volta che né gli scienziati né i
profani imparano a vedere il mondo in modo frammentario
e pezzo a pezzo. Fatta eccezione per il caso in cui tutte le
categorie concettuali e manipolative sono già pronte in
principio - come quando si tratta di scoprire un nuovo
elemento transuranico o di visitare una casa nuova - sia gli
scienziati che i profani traggono ampie informazioni dal
flusso dell'esperienza."
• T. Kuhn: vedi The Structure of Scientific Revolutions, The
University of Chicago, 1962 e 1970. Traduzione italiana da
Giulio Einaudi ed., La struttura delle rivoluzioni scientifiche,
Torino, 1995.
oltre
• George Lakoff, Rafael Nuñez, Where mathematics come
from, Basic Books, N.Y., 2000.
?
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•
•
•
Matematica intuitiva per la didattica
“intuitiva” non contrasta “rigorosa” !!!
“intuitiva” si riferisce al significato della “verità”
Matematica ipotetico-deduttiva per i professionisti.
In classe:
Esempio 1: le coordinate cartesiane, il perimetro, le
simmetrie.
• Esempio 2: l’equazione della retta.
• Esempio 3: le progressioni geometriche, il logaritmo e
l’esponenziale
• Conclusione.
Esempio 1
Esempio 1, cont.
(x, y)  (−x, y)
(x, y)  (x, y)
(x, y)  (−x, −y)
(x, y)  (x, −y)
Esempio 2
Esempio 3
Scheda di lavoro dedicata agli studenti della scuola
superiore dall’indirizzo
http://www.dsm.units.it/~borelli/adt/lambert/scheda.zip
Grazie per l’attenzione
Sergio Invernizzi
Dipartimento di Matematica e Informatica
Università di Trieste
[email protected]
http://www.labmat.it
(coda, prestissimo)
Intuitivamente:
La retta tangente al grafico di una funzione f in un suo punto P
è quella retta che, in una visione microscopica centrata nel punto P,
è praticamente indistinguibile dal grafico della funzione.
2d
f (x0 )
x0 − d
x0
x0 + d
}
In una finestra:
(2d)/L = ε d
L pixel
• Hw/Sw: L × L “pixel”
• Risoluzione: ε = 2/L
• Finestra quadrata (2d) × (2d)
• “Grafici indistinguibili” : |f(x) − r (x) | ≤ ε d
In ogni sottofinestra:
= 2 x − x0 / L = ε x − x0
f (x0 )
Grafici indistinguibili:
f (x) − r(x) ≤ ε x − x0
x0 − d
x0
x
x0 + d
= x − x0 = h
derivata di f in x0
La retta r(x) = ax + b è tangente al grafico di f(x)
nel punto di ascissa x0 se:
• In ogni computer (ossia: per ogni ε > 0)
• si trova una finestra quadrata centrata in (x0, f(x0))
di ampiezza 2d tale che
(ossia: si trova un d > 0 tale che)
• in ogni sottofinestra centrata in (x0, f(x0)) di ampiezza 2h
(quindi: in ogni x dell’intervallo [x0 − d, x0 + d] )
• sono graficamente indistinguibili
il grafico di f e quello di r
(ossia: si ha f (x) − r(x) ≤ ε x − x0 )
In ogni computer
si trova una finestra
il grafico della
funzione non si
distingue dalla retta
tale che in quella e in
ogni sottofinestra
( ∀ε > 0 ) ( ∃δ > 0 ) ( ∀x : x − x0
)
≤δ)
≤δ
( ∀ε > 0 ) ( ∃δ > 0 ) ( ∀x : x − x0
f (x) − [ f (x0 ) + a(x − x0 )] ≤ ε x − x0
:
( f (x) − f (x0 )) − a(x − x0 ) ≤ ε x − x0
Per x ≠ x0 :
( f (x) − f (x0 )) − a(x − x0 )
x − x0
≤ε
Nota per matematici
( f (x) − f (x0 )) − a(x − x0 )
≤ε
x − x0
f (x) − f (x0 )
−a ≤ε
x − x0
⇔
lim
x→ x0
f (x) − f (x0 )
=a
x − x0
derivata di f in x0