Gli insegnamenti di Emma Castelnuovo

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PROGETTO ALICE 2013 - II • vol. XIV • n° 41
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Riassunto
Questo lavoro intende presentare:
1) una biografia di Emma Castelnuovo con alcune informazioni
sull’ambiente in cui è vissuta,
2) le principali caratteristiche del suo insegnamento,
3) il suo impegno per una formazione innovativa degli insegnanti di
matematica
4) una bibliografia abbastanza completa delle pubblicazioni di Emma
Castelnuovo e di altri autori che hanno alcuni convincimenti analoghi
ai suoi.
Abstract
This paper want to present:
1) a biography of Emma Castelnuovo with some informations about the
environment in which she lived,
2) the main features of her teaching,
3) her task to an innovative training of mathematical teachers,
4) a nearly complete bibliography the publications of Emma Castelnuovo
and other authors who have some points of view similar to hers.
Mario Barra Dip. Mat. Fac. Scienze Università Sapienza Roma [email protected]
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1. I genitori di Guido Castelnuovo
Riporto principalmente alcune informazioni “meno” semplici da trovare su
internet o altrove, soffermandomi su quelle che ritengo abbiano contribuito
alla formazione psicologica, scientifica e didattica di Emma Castelnuovo.
Emma Levi Castelnuovo
Enrico Castelnuovo
Guido Castelnuovo (Venezia, 14/08/1865 – Roma, 27/04/1952) nasce da Enrico ed Emma Levi a Venezia, dove passa la sua infanzia. Il padre è direttore
della Scuola Superiore di Commercio e apprezzato autore di romanzi e racconti del diciannovesimo secolo. Castelnuovo completa il dottorato presso
l'Università di Padova nel 1886 sotto la direzione di Giuseppe Veronese,
uno dei principali geometri algebrici di quel periodo. Su consiglio del Veronese, Castelnuovo trascorre l'anno successivo a Roma con una borsa di studio post-laurea, sotto la guida di Luigi Cremona, fondatore e figura più eminente della scuola italiana di geometria. Castelnuovo trascorre i tre anni
successivi presso l'Università di Torino come assistente di geometra di Enrico D'Ovidio.
È un periodo decisivo per l'orientamento scientifico di Castelnuovo, anche grazie al rapporto di amicizia con Corrado Segre. Passeggiando sotto i
portici di Via Po i due discutono i lavori sulla teoria delle curve algebriche
che garantiranno loro in breve tempo una solida notorietà internazionale.
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Nel 1890 Castelnuovo vince un concorso nazionale per una cattedra all'Università di Roma. La cattedra viene poi ritirata dal Ministero della Pubblica
Istruzione che giudica le pubblicazioni di qualità superiore di quelle degli
altri concorrenti, ma afferma che non corrispondono alla materia prevista
dalla cattedra. Così, Castelnuovo rimane con D'Ovidio ancora un anno.
Nel 1891 Castelnuovo vince il successivo concorso all'età di 26 anni, ricoprendo la cattedra a Roma1 fino al suo pensionamento nel 1935, per 45 anni.
2. Guido Castelnuovo e Federico Enriques:
il ruolo dell’intuizione e delle “immagini mentali”
Un momento importante nella vita scientifica di Castelnuovo si verifica
all'inizio della sua permanenza a Roma, nel 1892, quando Federigo
Enriques (Livorno, 05/01/1871 - Roma, 14/06/1946), un geometra di talento che ha conseguito la laurea in Matematica presso la Scuola Normale di
Pisa, viene a Roma per frequentare il corso di geometria superiore insegnato da Luigi Cremona. Enriques e Castelnuovo, solo cinque anni e mezzo più
anziano, divengono presto amici, e diversi anni dopo, cognati, quando nel
luglio 1896 Castelnuovo sposa Elbina Enriques, sorella di Federico. Dal
matrimonio nasceranno i figli Mario (24/6/1897), Maria (15/7/1899), Gino
(27/9/1903), Gina (21/4/1908) ed Emma (12/12/1913), col nome della nonna.
1
Il 20/04/1303 Papa Bonifacio VIII fonda l’Università La Sapienza di Roma con la bolla
"In suprema praeminentia dignitatis". La città universitaria è stata inaugurata il 31/03/1935.
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Riguardo alcune caratteristiche di Federico Enriques così si esprime Guido
Castelnuovo:
Stavo per suggerirgli la lettura di libri e memorie ma mi accorsi
subito che (...) Federigo Enriques era un mediocre lettore. Nella
pagina che aveva sotto gli occhi egli non vedeva ciò che era scritto, ma quel che la sua mente vi proiettava. Adottai quindi un altro
metodo: la conversazione. Non già la conversazione davanti a un
tavolo col foglio e la penna, ma la conversazione peripatetica.
Cominciarono allora quelle interminabili passeggiate per le vie di
Roma, durante le quali la geometria algebrica fu il tema preferito
dei nostri discorsi. Assimilate in breve tempo le conquiste della
scuola italiana nel campo delle curve algebriche, l’Enriques si
accinse arditamente a trattare la geometria sopra una superficie
algebrica. Egli mi teneva quotidianamente al corrente dei progressi delle sue ricerche, che io sottoponevo ad una critica severa.
Non è esagerato affermare che in quelle conversazioni fu costruita
la teoria delle superficie algebriche secondo l’indirizzo italiano.
Castelnuovo G., 1947.
La collaborazione fra Castelnuovo e Enriques culmina nella loro classificazione delle superfici algebriche, che viene salutato come uno dei contributi
duraturi di matematica fatti dai geometri italiani di un secolo fa [Gray J.,
1999]. Dopo il 1906 Castelnuovo smette di lavorare attivamente in geometria algebrica e pubblica solo due lavori originali relativi al settore, tra cui il
suo notevole lavoro del 1921 sulle funzioni abeliane [Castelnuovo G., 1921].
Anche se è più noto fuori d’Italia per i suoi contributi al suo primo campo di
ricerca, Castelnuovo esplora altri campi, tra cui probabilità, didattica della
matematica, e le implicazioni filosofiche della teoria di Einstein della relatività speciale e generale (un interesse che condivideva con Enriques) insegnando, scrivendo, e pubblicando su tutti questi argomenti. Tuttavia, continua a
seguire con interesse le evoluzioni della geometria algebrica in patria e
all'estero, fornendo giudizi penetranti su tale argomento per tutta la vita.
Castelnuovo è un fermo assertore del ruolo dell'intuizione nel successo della
scuola algebrica italiana. Nel 1928, al Congresso Internazionale dei Matematici tenutosi a Bologna, presenta i principali indirizzi dei lavori in geometria algebrica prodotti non solo in Italia ma anche in Germania, Francia e
Stati Uniti. Alla fine del suo discorso in tale congresso, esprime il seguente
avvertimento per quanto riguarda il suo sviluppo futuro:
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Abbandonare l'intuizione geometrica, l'unico mezzo che finora ci ha
permesso di trovare la strada in questo territorio intricato, significherebbe lo spegnimento della fiamma flebile che ci può portare nella foresta oscura [Castelnuovo G., 1928]. Questa potrebbe essere una critica
alla "algebrizzazione della geometria algebrica", allora in corso da
Emmy Noether e BL van der Waerden . Schappacher N., 2007.
Nella prefazione al libro di Enriques, afferma: Enriques F., 1949. 245
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Sempre nel 1928, al Congresso Internazionale dei Matematici di Bologna,
Guido Castelnuovo parla delle “vetrine che aveva costruito” con Enriques,
che diverranno famose:
Avevamo costruito, in senso astratto s’intende, un gran numero di modelli di superficie del nostro spazio o di spazi superiori; e questi modelli avevamo distribuito per dir così in due vetrine. Una conteneva le
superficie regolari per le quali tutto procedeva come nel migliore dei
modi possibili; l’analogia permetteva di trasportare ad esse le proprietà più salienti delle curve piane. Ma quando cercavamo di verificare
queste proprietà sulle superficie dell’altra vetrina, le irregolari, cominciavano i guai, e si presentavano eccezioni di ogni specie. Alla fine
lo studio assiduo dei nostri modelli ci aveva condotto a divinare alcune
proprietà che dovevano sussistere, con modificazioni opportune, per le
superficie di ambedue le vetrine; mettevamo poi a cimento queste proprietà con la costruzione di nuovi modelli. Se resistevano alla prova,
ne cercavamo, ultima fase, la giustificazione logica”.
Castelnuovo G., 1928
Come osserva argutamente Campedelli, Castelnuovo parla di modelli e
di vetrine e quasi soltanto casualmente precisa che non si trattava di oggetti materiali, ma solo di costruzioni della mente, presenti allo spirito, e
vive dinanzi agli occhi come se avessero avuto un’esistenza fisica”. Ma, si
può aggiungere oggi, proprio l’uso metaforico suggerisce la familiarità
dell’autore con i modelli disposti in vere vetrine, come nelle wunderkammern [camere delle meraviglie] degli istituti universitari.
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3. Altre informazioni sintetiche su Guido Castelnuovo
- Nel 1895 Castelnuovo è insignito della medaglia d'oro della Società dei XL.
- Nel 1901, Castelnuovo ed Enriques presentano un lavoro congiunto per
il Premio Reale per la Matematica conferito dall'Accademia dei Lincei,
Premio che verrà assegnato nel 1905 a Castelnuovo e nel 1907 a Enriques.
- Nel 1901 Castelnuovo è Socio corrispondente dell'Accademia dei Lincei,
e nel 1918 sarà nominato Socio nazionale.
- Nel 1910 viene eletto presidente della Mathesis.
- Con la liberazione di Roma nel giugno del 1944 Castelnuovo riprende
l'attività pubblica: la sua autorevolezza di ricercatore e di uomo fanno di
lui una figura cui affidare la rinascita delle istituzioni culturali italiane,
prime fra tutte il C.N.R., di cui è nominato commissario nello stesso
1944, e l'Accademia dei Lincei, di cui segue la ricostituzione tra il 1944
e il 1946. Col ritorno dei Lincei alla normale attività istituzionale, nel
1946 viene eletto presidente dell'Accademia.
- Nel 1949 il Presidente della Repubblica Luigi Einaudi nomina Guido
Castelnuovo Senatore a vita per i suoi meriti scientifici.
Castelnuovo fu membro o socio delle seguenti Accademie e Società
scientifiche:
Istituto lombardo di Scienze e Lettere (dal 1906)
Istituto veneto di Scienze, Lettere ed Arti (dal 1910)
Accademia delle Scienze di Bologna (dal 1919)
Accademia di Scienze, Lettere ed Arti di Palermo (socio onorario, dal 1947)
London Mathematical Society (membro onorario dal 1907)
Gesellschaft der Wissenscaften zu Göttingen (dal 1923)
Académie des Sciences, Institut de France (dal 1929)
Académie Royale de Belgique (dal 1946)
Académie Polonaise des Sciences et des Lettres (dal 1948)
Oscar Zariski, studente di Castelnuovo, così descrive il suo maestro:
Castelnuovo è un tipo in qualche modo distante, ...
È molto dignitoso con la barba lunga. Sembra il Mosè di
Michelangelo. Quando sorride, il suo viso si trasforma.
Ma soprattutto è molto serio. Parikh C., 1991.
Beniamino Segre descrive la casa di Castelnuovo di Via Veneto di Roma come
"modesta ma accogliente", e come un luogo di ritrovo accademico:
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... un centro dove ogni Sabato per diversi anni i colleghi e studenti, italiani o stranieri visitatori, si sono riuniti per una conversazione amichevole su una vasta gamma di argomenti, la sua influenza su i presenti è stata
enorme, con la sua esposizione calma e saggia, il suo interesse per ogni
idea espressa, la sua offerta di opinioni serena e obiettiva e suoi consigli
riflessivi, la sua presenza cortese, la sua genuina modestia. Queste qualità, anche se pudicamente velate da una certa riserva, lo rendevano amato
e apprezzato da tutti: si può essere certi che egli non aveva nemici o detrattori. Segre B., 1954.
Ulteriori informazioni su Guido Castelnuovo e sulla sua famiglia si possono
trovare nei prossimi capitoli, dedicati ad Emma Castelnuovo.
Una fonte preziosa di notizie è disponibile sulla biografia ipertestuale di
Paola Gario, accessibile su:
http://archivi-matematici.lincei.it/Castelnuovo/Biografia/index.htm
Simposio in onore di G. Castelnuovo del 1965 (c’è L. Lombardo Radice, B. Segre, …)
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4. Alcune informazioni sul pensiero matematico della fine dell’ 800.
I “puristi”, Luigi Cremona e …
Credo sia importante considerare alcuni aspetti caratteristici del pensiero
matematico nel periodo a cavallo della fine del 1800.
Antonio Luigi Gaudenzio Giuseppe Cremona (Pavia, 07/12/1830 - Roma,
10/06/1903) è stato un matematico e politico italiano. Fu senatore del regno
d'Italia a partire dalla XIII legislatura ed ebbe un ruolo significativo nella riforma dell'istruzione italiana dopo l'Unità d'Italia.
Luigi Cremona
Sul piano scientifico, Cremona fu il massimo rappresentante italiano della corrente di ricerche geometriche nota sotto il nome di
"purismo", che ebbe come principali esponenti M. Chasles e E. de
Jonquières (in Francia), A. Möbius, J. Plücker e J. Steiner (in Germania), G. Salmon, A. Cayley e J. Sylvester (in Inghilterra). Questa
corrente tendeva a rivalutare l'importanza dell'approccio sintetico rispetto al metodo analitico nelle ricerche geometriche e a
proporre una visione della geometria indipendente dall'algebra e
dal calcolo infinitesimale e vicina all'approccio della geometria
pre-cartesiana, ovvero tendente a conseguire i suoi risultati a
partire da un insieme di proprietà ben definite per via deduttiva.
Di qui il termine "purismo" che tende a sottolineare l'indipendenza del pensiero geometrico da altri approcci come quelli suggeriti dall'algebra e dall'analisi e quindi la sua "purezza" rispetto ad essi. Non si trattava tuttavia di un approccio di tipo assiomatico: il metodo purista ricorreva largamente all'intuizione
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geometrica e si riferiva ai metodi dimostrativi della geometria
greca. Se si vuol comprendere la formazione di una delle correnti
di ricerca che più caratterizzano (tra la fine dell'Ottocento e gli
inizi del Novecento) l'apporto della scuola matematica romana, e
cioè gli studi di geometria algebrica sviluppati soprattutto da Guido Castelnuovo, Federigo Enriques e Francesco Severi, non si può
fare a meno di riandare al ruolo svolto da Luigi Cremona e dall'influsso da lui esercitato, anche se poi gli esponenti di quella scuola e, in particolare, Federigo Enriques - presero le distanze da quelli
che definirono gli eccessi del "purismo" e, in particolare, dalla sua
ostilità pregiudiziale ad ogni ricorso ai metodi analitici e algebrici.
Altre informazioni si possono trovare nel lavoro di Giorgio Israel,
da cui ho tratto il brano precedente, disponibile su:
http://www.mat.uniroma1.it/dipartimento/chi-siamo/storia
Quanto precede credo possa servire per comprendere meglio il pensiero
matematico del “fusionismo”, che si opporrà al “purismo” in particolare
per contrapporlo alle posizioni matematiche e didattiche di Bruno e Emma
Castelnuovo, di Federico Enriques e di Bruno de Finetti.
Di de Finetti anticipo alcune parole che riprenderò:
Ho sempre indicato nel fusionismo il principale concetto di base per il
miglioramento dell’insegnamento e della comprensione della matematica. Nel senso più specifico, in cui fu introdotto da Felix Klein, il fusionismo consiste nella fusione dello studio di geometria da una parte
e di aritmetica, analisi ecc. dall’altra; più in generale si tratta di fondere in modo unitario tutto ciò che si studia (anche interdisciplinarmente, tra matematica …), mentre le tendenze antiquate predicavano
il “purismo” di ogni ramo da coltivare isolato senza contaminazioni.
de Finetti B. 1974.
Sempre per cercare di comprendere meglio, anche da parte di chi scrive, il
pensiero matematico dei grandi maestri di cui ci stiamo occupando, credo
possa essere utile ricordare qualche informazione sul “bourbakismo”, che a
partire dal 1935, per circa 50 anni, ha avuto una influenza importante sulla
matematica e sulla sua didattica, introducendo nuovi obiettivi, concetti e
termini. Penso sia un modo fusionista di guardare l’argomento: si possono
confrontare i pensieri, analoghi o contrapposti, di alcuni autori importanti.
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5. Il bourbakismo e l’intuizione
Nel 1935 i membri fondatori del gruppo bourbakista sono Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt e André Weil, cui si aggiungono
in seguito altri matematici. La scelta del nome dato al gruppo, avvenuta per
scherzo, si pensa sia riconducibile al cognome di un generale francese dell'Ottocento di origine greca, Charles Denis Bourbaki, anche se il gruppo firma i
suoi lavori con il nome Nicolas Bourbaki. I bourbakisti si pongono l'obiettivo
di fondare l'intera matematica sulla teoria degli insiemi attraverso dei testi il più
possibile rigorosi e generali, dando enfasi all'assiomatica e al formalismo
e richiamandosi alla visione della matematica di David Hilbert. L'enfasi posta
nel rigore può ricondursi a una reazione al lavoro di Jules-Henri Poincaré
(Nancy, 29/04/1854 – Parigi, 17/07/1912), che sosteneva l'importanza del
libero fluire dell'intuizione matematica, del buon senso e della bellezza.
Ascoltiamo come Hadamard, un altro autore importante che ci potrebbe
interessare, ricorda alcuni aspetti del pensiero di Poincaré, al quale farà
riferimento spesso Bruno de Finetti:
Che un elemento affettivo sia parte essenziale di ogni invenzione
è sin troppo evidente, e molti pensatori vi hanno già insistito;
è chiaro che nessuna scoperta o invenzione significativa può aver
luogo senza la "volontà" di scoprire. Ma con Poincaré vediamo qualcosa d'altro, vediamo l'intervento del senso della bellezza come "mezzo" indispensabile alla scoperta. Abbiamo così raggiunto una doppia
conclusione: l'invenzione è scelta. Questa scelta è governata perentoriamente dal senso della bellezza scientifica. …
Hadamard J., 1993 (1945).
È importante ricordare alcuni risultati di questo grande matematico e fisico.
Poincaré introduce il moderno principio di relatività e fu il primo a presentare le trasformazioni di Lorentz nella loro moderna forma simmetrica.
Poincaré completa le trasformazioni concernenti la velocità relativistica e le
trascrive in una lettera a Lorentz nel 1905. Ottiene così la perfetta invarianza
delle equazioni di Maxwell, che costituisce un passo importante nella formulazione della teoria della relatività ristretta formulata da Albert Einstein nello
stesso anno. In essa il legame matematico fra le misure di spazio e tempo,
effettuate da due osservatori fra loro inerziali, è espresso dalle citate trasformazione di Lorentz, invece che da una trasformazione di Galileo.
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Alla base della matematica bourbakista c’è il metodo assiomatico, articolato
sullo schema assioma-definizione-teorema, come sostenuto nella prima pagina
degli Éléments, la cui foderina del libro è riprodotta in figura:
Dai greci, chi dice matematica dice dimostrazione. Alcuni dubitano che al
di fuori delle matematiche esistano dimostrazioni nel senso preciso e rigoroso che questo termine ha ricevuto dai greci e che si intende dare in questa opera. Si ha il diritto di dire che il significato del termine dimostrazione non è variato, poiché ciò che è stato una dimostrazione per Euclide, lo è
tuttora ai nostri occhi; ed in epoche nelle quali tale nozione ha rischiato di
perdersi e la matematica si è trovata in pericolo, è presso i greci che si è
ricercato il modello. Ma a questa venerabile eredità si sono aggiunte, da
un secolo, importanti scoperte. In effetti l'analisi del meccanismo di dimostrazione nei migliori testi di matematica ha permesso di liberare la struttura dal doppio punto di vista del vocabolario e della sintassi. Si arriva
quindi alla conclusione che un testo di matematica sufficientemente esplicito può essere espresso in un linguaggio convenzionale comprendente
solamente un piccolo numero di termini invariabili assemblati mediante
una sintassi che consisterà in un piccolo numero di regole inviolabili. Un
testo così concepito si dice formalizzato. La descrizione di una partita di
scacchi secondo la usuale notazione, una tavola di logaritmi sono testi
formalizzati; [...]. La verifica di un testo formalizzato non richiede che una
attenzione meccanica; le sole cause di errore saranno dovute alla lunghezza o alla complessità del testo [...]. Per contro, in un testo non formalizzato
si è esposti ad errori di ragionamento che rischiano, ad esempio, di causare un uso improprio dell'intuizione o del ragionamento per analogia.
Credo valga la pena di collegare le parole precedenti, al pensiero di uno dei
matematici più insigni della storia, considerandolo da vari punti di vista:
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L’induzione e l’analogia, sono i principali mezzi per raggiungere la verità.
de Laplace P.S., 1951 (1814).
Torniamo ai Bourbakisti. La loro influenza, massima nel periodo tra il 1950
e il 1960, diminuisce in parte perché alcune astrazioni si dimostrano meno
utili di quanto si era inizialmente previsto e in parte perché hanno ignorato
altre astrazioni considerate poi importanti. La loro filosofia ha perduto gradualmente la sua importanza perché: è vero che gli Éléments de mathématique hanno fornito un fondamento per tutta la matematica esistente, e tuttavia con una cornice così rigida è molto difficile incorporare nuovi sviluppi.2
6. Qualche citazione famosa su alcuni aspetti didattici
che possono interessare l’argomento che stiamo trattando
* "Degradazione" liberatrice
… chiunque intenda studiare con profitto dovrebbe prefiggersi, come
finalità, quella di organizzare la propria memoria "degradando"
a cose utili comprensibili famigliari divertenti appetibili ciò che viene
usualmente rivestito di forme pure solenni accademiche ed ermetiche.
(Suol dire spiritosamente un collega che quando il professore si accinge
a spiegare i numeri reali secondo la moda liceale sente l'obbligo di mettersi la cravatta nera).
Questa opera di degradazione - che è piuttosto di demistificazione contribuirà ad una spinta liberatrice necessarissima in tutta la cultura.
Per illustrare tale idea in forma adeguatamente non accademica, basti
riportare due passi felicissimi di una critica teatrale (sulla recita di
"Androclo e il leone" di Shaw a Ostia Antica) di Sandro de Feo (su
"L'Espresso", 25-VII-1965).
Egli depreca con ragione gli "scritti seriosi, musoni e corrucciati, di
quel profondismo tutto formale e scolastico che incredibilmente ancora
resiste in Europa e risale nientemeno alla retorica, dominante nel mondo antico, del "sermo sublimis" e del "sermo humilis", secondo cui nessuna storia, nessun dramma potevano essere presi sul serio e compresi
nel novero delle cose nobili e profonde se non erano rivestiti di nobili
forme e di discorsi e ragionamenti solenni".
2 Alcune parole vengono riprese dal giudizio del bourbakista Pierre Cartier, in: The Continuing
Silence of Bourbaki, The Mathematical Intelligencer, 20 (1998), n. 1, pp. 22-28.
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Occorre invece reagire, mischiare e scompigliare le carte. E infatti
"fu il sentimento e la poesia del cristianesimo a mischiare e scompigliare le carte della stanca, sussiegosa retorica degli antichi, rivestendo di "sermo humilis", di parole terra terra e, all'occorrenza, di
puerilità farsesche le passioni più alte e i pensieri sublimi; e fu un
grande santo cristiano, san Francesco, ad aggiungervi un grano di
folle allegrezza. E l'intuizione di Shaw, nelle molte sue commedie in
cui è questione esplicitamente o velatamente e allegoricamente di
santi, discende da questa tradizione e rivoluzione della poesia e del
realismo moderni.
de Finetti B., 1967.
*
LO STUDENTE
Però nella parola dev'esserci un concetto.
MEFISTOFELE
Certo! Ma senza farsene un tormento;
perché là dove mancano i concetti
s'offre, al momento giusto, una parola.
A parole si litiga meravigliosamente,
a parole si tracciano i sistemi,
alle parole è un piacere credere,
alle parole non si ruba un iota.
Goethe J. W. Faust, 1831. 3
* In genere, l'uomo, mentre ascolta soltanto parole, ritiene vi sia
sotto anche qualcosa da dover pensare.
Goethe, Faust, (citato da Bruno de Finetti, in La probabilità: guardarsi
dalle contraffazioni! Testo dell' 'ultima lezione' tenuta in occasione del collocamento 'fuori ruolo' all'Istituto Matematico G. Castelnuovo il 29 Novembre 1996, Scientia, Anno LXX, v. n. 111, 1976, p. 258).
* Se mancano i concetti, ecco pronta, al momento giusto, una parola.
Goethe, Faust, citato da Jacques Hadamard, 1993 (1945), La psicologia
dell'invenzione in campo matematico, Raffaello Cortina, p. 86.
* La nostra geometria si serve dell'intuizione spaziale, ma più
3
Johann Wolfgang von Goethe lavorò al suo Faust per sessant'anni, dal 1772 al 1831. Faust è
l’opera più famosa scritta da Goethe e una delle più importanti della letteratura europea e mondiale.
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che altro come di un potere magico per dar corpo e rappresentazione a concetti, situazioni, problemi, di carattere generalmente
non per se stesso geometrico, ma statistico, economico ecc.; è insomma, per così dire, la dottrina dello schema mentale adatto per
afferrare intuitivamente tutti i problemi pratici la cui impostazione scientifica richiede lo strumento matematico.
de Finetti B., 1959.
* La creatività si identifica in gran parte con il coraggio di ragionare. A. Einstein
* Io ti ricordo, che tu facci le tue proposizioni, e che tu alleghi le
soprascritte cose per esempi e non per proposizioni, che sarebbe troppo semplice; e dirai così: esperienza.
da Vinci L., a cura di Augusto Marinoni, Rizzoli, 1974.
* La matematica in generale e la geometria in particolare debbono
la propria esistenza al nostro bisogno di conoscere qualche cosa sulla
maniera di essere degli oggetti reali. La parola geometria, che significa misura del terreno, ne è la conferma.
Einstein A., discorso pronunziato all’Accademia di Berlino, 1921
* Le idee dovrebbero essere generate nella mente dello studente
e l'insegnante dovrebbe operare come una levatrice.
Socrate 4
* The pupil must, on the one hand, reinvent learnt truths, and on
the other hand "learn to invent", to be creative.
Fischbein E. 5
* prima regola, tu non mi annoi;
seconda regola, io non annoio te;
terza regola, se qualcuno si annoia ha il diritto di protestare;
... L’educazione per funzionare deve essere seduttrice.
Enzensberger H. M. 6
4
Socrate (469-399 a.C.) aveva “già inventato” il Problem Solving e il Problem Posing.
E. Fischbein, The Intuitive Sources of Probabilistic Thinking in Children, Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1975, p. 5.
6 Hans Magnus Enzensberger in una intervista a Pordenone del 13 marzo 2010.
5
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7. Emma Castelnuovo: premessa
Inizio a parlare di Emma Castelnuovo cercando di individuare e riassumere
quelle che penso siano alcune caratteristiche generali importanti del suo
modo di intendere la matematica e il suo insegnamento.
- Emma non si limita a insegnare. L’ambiente nel quale è vissuta, la sua
cultura, il suo carisma, la sua grande esperienza condotta con lo spirito
della ricercatrice, …, e quel suo modo di concludere gli argomenti che
considera importanti: con piccoli silenzi, guardando in alto con una lieve
inspirazione, serrando impercettibilmente le labbra e accennando un
minimo assenso con il capo, interessa e convince anzi, ammalia e seduce.
- Emma è un’artista che non improvvisa, ma anzi dedica moltissima
attenzione alla traduzione della sua arte nella sua professione.
- Emma Castelnuovo sa bene che le parole sono spesso vaghe e che,
nel suo caso, costituiscono un’astrazione di quanto è racchiuso in tutto
il suo insegnamento. Quindi, coerentemente alle sue idee sull’astrazione,
preferisce far comprendere al suo interlocutore le sue posizioni,
associando gli esempi alle considerazioni generali.
- In particolare Emma prepara con grande cura le sue lezioni, definendo
tutti gli aspetti del suo insegnamento attraverso lo studio e mediante un
confronto intenso con le idee di tutti quelli che ritiene abbiano delle
posizioni didattiche soprattutto simili, ma anche opposte, alle sue.
- In questo modo Emma può riassume in se, in modo più o meno cosciente,
il pensiero di alcuni grandi matematici e pedagogisti che si sono occupati
molto intensamente di didattica della matematica.
- In particolare, sebbene Emma nel parlare di chi ha influenzato in modo
maggiore le sue idee faccia riferimento a Clairaut, alla scuola attiva di
Maria Montessori e Decroly, a Comenius e a Piaget, e poi anche a
Pestalozzi, a Libois, che ha studiato anche a Roma con Guido e Federico,
Atiyah, a Campedelli che è stato assistente di Guido, a Pellerey, Lina Mancini
Proia, Liliana Ragusa Gilli, Ugo Pampallona, Lucio Lombardo Radice
e ad altri, ritengo che le persone che hanno influenzato maggiormente
Emma, ripeto più o meno direttamente e inconsciamente, siano altre.
La sua didattica, il suo comportamento, le sue preferenze in particolare
per la geometria, il linguaggio molto corretto ma semplice, amichevole,
stringato e comprensibile, il suo modo di studiare e di organizzare
il confronto con gli amici e con altri autori, di interessare, di appagare
e a volte, stupire e divertire, penso siano collegabili principalmente
a Guido Castelnuovo, Federico Enriques e “poi” a Bruno de Finetti.
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Poiché questa ultima affermazione, che ritengo possa aumentare molto
l’importanza degli insegnamenti di Emma, è però diversa da quanto troviamo negli articoli sull’argomento, tento subito di argomentarla brevemente.
Nelle ultime numerose interviste e filmati di Emma, presenti in gran
numero anche su internet, organizzate dalla Treccani e da molti autori,
che sembrano essersi occupati in alcuni casi della Castelnuovo soltanto
all’aumentare della sua fama, Emma fa riferimento alle idee di Clairaut,
un matematico francese del 1700, espresse nel suo volumetto Les éléments
de géométrie. Lo stesso nome è presente in alcuni suoi articoli. Ma nel suo
libro Didattica della matematica, che penso sia il lavoro dove Emma ha cercato di precisare maggiormente il suo pensiero, vengono ripresi soltanto due
esempi da questo matematico francese: disegnare in scala un terreno e dividere un cubo in 6 piramidi uguali aventi per base una faccia del cubo e per
vertice il centro del cubo. Ben poca cosa rispetto alla quasi completa
identità con le vedute e il comportamento, torno a ripetere, di Guido Castelnuovo, Federico Enriques e Bruno de Finetti (in particolare di de Finetti
Emma mi ha parlato spesso, mentre non mi ha comunicato nulla di Clairaut).
Di alcuni collegamenti fra questi autori parlerò più diffusamente in
un altro articolo, e poiché le mie parole sono poca cosa, riporto anche il pensiero
di altri grandi artisti e scienziati che mi sono venuti in mente pensando ad Emma.
Spero così di invogliare alla lettura più completa degli originali.
La segnalazione del loro nome molto noto e del loro modo di intendere la
matematica e la didattica, distribuito in modo pervasivo in tutte le loro opere, può forse scusare la mancanza di alcuni dettagli nei riferimenti bibliografici, che, in alcuni casi derivano da altri riferimenti poco precisi.
Spero che gli accostamenti che farò non vengano considerati esagerati.
L’insegnamento è la professione più difficile che esista, e le eccellenze
assolute presenti in ogni campo debbono essere apprezzate allo stesso modo.
* Quando sto bene e sono di buon umore, o quando vado in giro in
carrozza oppure passeggio dopo un buon pranzo, o la notte, quando
non riesco a dormire, i pensieri mi si affollano alla mente con tutta la
facilità che si può desiderare. Da dove arrivano, e come? Non lo so, e
non ci ho niente a che fare. Quelli che mi piacciono, li tengo a mente e
li canticchio a bocca chiusa (almeno altri mi hanno detto che lo faccio).
Quando ho il mio tema, ecco arrivare un'altra melodia, che si concatena
alla prima, in accordo con le necessità dell'intera composizione: il contrappunto, le parti di ciascuno strumento, e tutti questi frammenti melodici
producono infine l'intera opera.
258
Mario Barra
E' allora che la mia anima s'infiamma d'ispirazione, sempre che non
accada nel frattempo qualcosa che distragga la mia attenzione.
L'opera cresce: io la sviluppo concependola sempre più chiaramente,
fino ad avere l'intera composizione completata in testa, per quanto sia
lunga. Poi la mia mente la afferra così come fa uno sguardo con una
splendida immagine o una bella ragazza. Ma non mi accade in successione, con le varie parti lavorate nei dettagli, come sarà più avanti, la
mia immaginazione me la fa sentire nella sua interezza.
W.A. Mozart, Letters, Hans Hersmann (Ed.), Dover,1972, p. VII.
* A Mathematician who is not also ‘a poet’ is not a good
Mathematician. Karl Weierstrass
* Nutre la mente ciò che la rallegra. S. Agostino.
* Gli artisti sono come i sonnambuli, percorrono ad occhi chiusi
una strada fragile e sconosciuta, se li svegli di colpo e gli chiedi dove
stanno andando e per quale motivo ci vanno, paiono spaesati.
Federico Fellini, frase ripetuta da Roberto Benigni, viene ripresa in Fate
l’amore non fate la guerra, di Michele Serra, Il Venerdì di La Repubblica,
14, ottobre, 2005 p. 29.
* Il vero viaggio di scoperta non consiste nel cercare nuove terre,
ma nell’avere nuovi occhi.
Marcel Proust, Alla ricerca del tempo perduto, 1913/27.
* La matematica in generale e la geometria in particolare debbono
la propria esistenza al nostro bisogno di conoscere qualche cosa sulla
maniera di essere degli oggetti reali. La parola geometria, che significa misura del terreno, ne è la conferma.
Albert Einstein, discorso pronunziato all’Accademia di Berlino, 1921
*
- E i suoi studi, signorina, se posso informarmene?
Matematica, a quanto so. Non la stanca? Non è terribilmente
faticoso per il cervello?
- Niente affatto - ella rispose - non conosco nulla di più carino,
è un gioco nell’aria, per dir così, o addirittura fuori dell’aria,
in regioni senza polvere, comunque.
Thomas Mann, 2004, Altezza reale, Garzanti.
Mario Barra
259
8. Emma Castelnuovo e la scuola romana di didattica della matematica
Emma Castelnuovo nasce a Roma il 12 dicembre 1913, quinta e ultima figlia di Guido Castelnuovo e di Elbina Enriques (che ricordo è sorella del
matematico Federigo Enriques).
A Roma frequenta il corso di laurea in matematica, seguendo i corsi di
Federico Enriques, Guido Castelnuovo, Gaetano Scorza e Tullio Levi-Civita.
Nel 1936 si laurea in matematica presso l’Università di Roma discutendo
una tesi di geometria algebrica (Castelnuovo, 1936) sotto la guida di un
collaboratore di Enriques.
Racconta Emma:
Nel 1932 mi iscrivo all'università, matematica e fisica. Ero
sempre andata male in matematica, ho avuto per gli otto anni
di scuola secondaria un insegnamento formale e ripetitivo.
260
Mario Barra
Andavo invece bene in fisica, con un altro professore. Ed io
mi iscrivo a matematica e fisica con l'idea di passare a fisica: e invece, dopo un anno, sono passata a matematica. Nel
1934-35 al 3° anno seguo il corso di Federico Enriques. Ho
ancora i quaderni di appunti, anche se era impossibile prendere appunti. Il nostro era un continuo esercizio a vedere
con la mente.
Da Michele Emmer, Emma Castelnuovo, la matematica nel Dna, L’Unità,
Edizione Nazionale nella sezione "Cultura, 23 luglio 2008, p. 25.
9. Il primo lavoro e le prime esperienze d’insegnamento di Emma
Nel 1935 la “Scuola di Matematica” di San Pietro in Vincoli a Roma si
trasferisce all’Istituto Matematico della Città Universitaria di Roma (che dal
1953 ad oggi è intitolato a Guido Castelnuovo).
Per due anni dopo la laurea, Emma si occupa con Lina Mancini Proia - sua
compagna di studi - di riordinare la nuova biblioteca.
Nel 1938 Emma deve lasciare l’Istituto Matematico a causa delle leggi
razziali, e, pur avendo vinto nello stesso anno il concorso per insegnare nelle scuole medie, non ottiene la cattedra.
Dal 1939 al 1943 insegna nel ginnasio e nei licei della Scuola Israelitica,
frequentata dagli studenti ebrei che erano stati espulsi dalle scuole pubbliche
a seguito della legislazione razziale.
Racconta Emma:
Nel 1938 fu proibito in Italia, ai bambini, ai ragazzi, ai giovani ebrei di frequentare le scuole pubbliche e l'università. E fu
proibito, naturalmente, ai professori ebrei di insegnare. Nelle
grandi città come Roma, Milano ... fu organizzata una scuola
ebraica elementare e secondaria. Gli insegnanti erano di ruolo, allontanati dalle scuole pubbliche, io ero fra questi: avevo
vinto il concorso nell'agosto del '38, e avevo perso il posto
pochi giorni dopo.
Da Michele Emmer, Emma Castelnuovo, la matematica nel Dna, L’Unità,
Edizione Nazionale nella sezione "Cultura, 23 luglio 2008, p. 25.
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10. Il fascismo e i matematici
Il 5 settembre 1938 il fascismo promulga i "Provvedimenti per la difesa della razza nella scuola fascista", con i quali i cittadini ebrei vengono espulsi
dalle scuole italiane. Sulla base di questa legge, viene imposto
l’allontanamento dall'università di Beppo Levi, Beniamino Segre 7 e Cesare Rimini a Bologna, Guido Ascoli a Milano, Arturo Maroni a Pavia, Federigo Enriques e Tullio Levi-Civita a Roma, Gino Fano, Alessandro
Terracini e Guido Fubini a Torino, Ettore Del Vacchio a Trieste, Eugenio
Curiel a Padova, nonché i liberi docenti Alberto Mario Bedarida, Giulio
Bemporad, Bonaparte Colombo e Bruno Tedeschi. Gli stessi matematici,
oltre a Guido Castelnuovo, Gino Loria e Giulio Vivanti, che erano in
pensione, e Vito Volterra, vengono espulsi da tutte le Accademie e
dall'Unione Matematica Italiana. Non soltanto viene loro proibito
l’insegnamento, non possono neppure entrare nelle biblioteche.
Fra i matematici di spicco che aderiscono alle leggi raziali c’è Francesco Severi che dal 1921 tiene a Roma la cattedra di Geometria algebrica e
viene eletto Rettore nel 1923. Lascia la carica nel 1925 in seguito al delitto
Matteotti, ma rimane dichiaratamente fascista, accettando le leggi raziali.
Il fascismo segna il trionfo delle parole vuote e della propaganda a scapito della cultura e “quindi” non pensa di coinvolgere gli scienziati nei programmi militari, come stava avvenendo negli Stati Uniti e in Inghilterra,
dove matematici come John Von Neumann, Richard Courant, Garrett Birkhoff e Alan Turing contribuiscono in modo decisivo allo sforzo bellico.
Con la disfatta militare e l'arrivo degli anglo-americani si pone il problema di una scelta di campo. Jacopo Barsotti passa le linee e combatte contro i
tedeschi, Mario Fiorentini è uno dei protagonisti dei Gap romani con Giulio
Cortini e prosegue poi l'attività antifascista, paracadutato nei territori controllati dai tedeschi. Carlo Pucci partecipa come volontario alla battaglia del
Senio (tra Ferrara e Ravenna) a fianco degli anglo-americani. In questo stesso settore opera nella Resistenza Angelo Pescarini. Giovanni Prodi si sottrae
all'arruolamento dell'esercito di Salò dandosi alla macchia; Enrico Magenes,
entrato nelle formazioni partigiane, è arrestato e deportato. Ugo Morin,
Eugenio Curiel, Giuseppe Zwirner, Gabriele Darbo si impegnano nella
Resistenza nell'Università di Padova, dove Concetto Marchesi, rettore nel
1943, assume forti posizioni antifasciste. Ludovico Geymonat è attivo nella
Resistenza in Piemonte. Lucio Lombardo radice, iscritto clandestinamente al
7
Beniamino Segre si trasferisce con la famiglia in Inghilterra dove insegna nelle università
di Londra, Cambridge e Manchester.
262
Mario Barra
PCI, non può prendere servizio come assistente alla cattedra di geometria
analitica, perché nel 1939 viene arrestato e condannato a quattro anni
di reclusione in quanto oppositore al regime fascista; liberato nel 1941,
fu arrestato di nuovo e poi scarcerato dopo pochi mesi. Partecipa attivamente alla resistenza romana, curando sempre i contatti con oppositori e partigiani di area liberal-socialista e cattolica.
11. I Castelnuovo e il fascismo
Le leggi razziali impongono che “la razza ebrea impura” non possa iscriversi alle scuole pubbliche italiane. Agli studenti ebrei è permesso di frequentare le scuole private, create appositamente per loro e riconosciute dal Ministero.
Ma agli ebrei è proibito iscriversi all’Università e non esiste la possibilità
di fondare Università private con titoli legalmente riconosciuti.
Mussolini inaugura la città universitaria. 8 Severi è al suo fianco sulla destra.
8
Per un film su Mussolini a La Sapienza: http://www.youtube.com/watch?v=JC22i-ajVDQ
Mario Barra
263
Guido Castelnuovo, come racconta Emma, cerca di risolvere il problema,
ma non riesce a trovare nessuna soluzione. Finalmente, nell’estate del 1941,
leggendo sul giornale che in Svizzera l’Università di Friburgo non richiede la
frequenza che è obbligatoria in Italia, Castelnuovo ha l’idea di fondare una
sezione romana dell’Università di Friburgo. Gli studenti italiani possono iscriversi a tale università e frequentare i “Corsi integrativi di cultura matematica”, in cui insegnano diversi docenti fra i quali alcuni coraggiosi professori
ariani, solidali con i colleghi ebrei, con lo stesso programma dei primi due anni
di Ingegneria e Matematica (i primi due anni si svolgono a classi unite, sostanzialmente sullo stesso programma). Le lezioni e gli esami si svolgono a Roma,
ma sono convalidati dall’Università di Friburgo. Gli insegnamenti proseguono
per soli due anni, interrotti nel 1943 dall’occupazione tedesca, e Guido Castelnuovo deve nascondersi con la famiglia sotto il falso nome di Guido Cafiero.
Foto di Guido Castelnuovo sotto il falso nome di Guido Cafiero
Nell’ottobre ’43 la famiglia Castelnuovo sfugge ad una retata aiutata da un
commissario di polizia. Si rifugiano prima nella casa di Tullio Viola, allora
assistente di Matematica presso l’Istituto Matematico di Roma, e poi presso
ospedali, istituti religiosi e piccole pensioni.
In questo periodo Emma pubblica, su richiesta di Marcello Puma, un libro di
testo di geometria in due volumi, assumendo il nome di Marcello Puma:
Puma M., 1941/42. 9
9
Emma racconta: “Il fratello Marcello, un matematico che si era laureato ai suoi tempi con mio
padre, dirigeva quella scuola privata, Galileo Ferrarsis, che prima era vicino a piazza di Spagna
264
Mario Barra
12. Dopo la fine della guerra
Alla fine della guerra, con la liberazione di Roma nel 1944, con un provvedimento del Ministro della Pubblica Istruzione per le zone libere d’Italia,
Guido De Ruggiero, gli studenti dell’Università clandestina vengono
ammessi al 3° anno dei relativi corsi di laurea dell’università pubblica.
perdiamo letteralmente la testa, vogliamo fare qualcosa,
sappiamo che l'insegnamento della matematica è selettivo,
non deve essere così, che fare? Castelnuovo E., 2007.
Nel 1944, Emma, Tullio Viola e Liliana Ragusa Gilli fondano
un’associazione denominata Istituto Romano di Cultura Matematica.
Inizialmente nell’Istituto si possono seguire corsi universitari di recupero per i
reduci di guerra, e dopo poco tempo vengono organizzate delle conferenze,
tenute da matematici, fisici, pedagogisti e filosofi, che si svolgono ogni sabato
pomeriggio alle 15.30, seguite da circa un centinaio di insegnanti.
È proprio Emma in bicicletta, a consegnare gli avvisi alle scuole romane.
Le riunioni proseguono fino al 1949. Emma stessa tiene una conferenza su
“Un metodo attivo per l’insegnamento della geometria intuitiva” poi pubblicata sul Periodico di Matematiche. Castelnuovo E., 1946.
Sta nascendo quella che verrà chiamata la Scuola Romana di Didattica della
Matematica.
Nel 1945 Emma viene reintegrata nella scuola come titolare della cattedra di
matematica della scuola media statale “Torquato Tasso” di Roma,
dove insegna, secondo le sue preferenze, agli studenti fra gli 11 e i 14 anni,
preoccupandosi sempre di adeguare l’insegnamento alle esigenze della società:
La società scolastica è cambiata; larghe masse di giovanetti che
fino a pochi anni fa terminavano gli studi con il corso elementare, proseguono oggi nei vari rami delle scuole secondarie.
L’istruzione non è più un bene solamente di una “elite”, ma il
figlio dell’operaio come quello del contadino hanno diritto a
farsi una cultura sui banche della scuola secondaria accanto al
e dopo in via Piave, angolo via Flavia. Questo Marcello Puma mi aveva allora chiamato per
domandarmi se potevo scrivere (sotto altro nome) qualche libro di testo per la scuola secondaria. Così l’abbiamo scritto con Garzanti. Lui aveva fatto quelli di Algebra e di Trigonometria,
io quelli di Geometria. Questi libri, di cui ho ancora una copia, sparirono del tutto perché una
delle bombe lanciate su Milano ha colpito in pieno la Garzanti e la tipografia.”
Mario Barra
265
figlio del medico e dell’ingegnere .. Mi preoccupo soprattutto di
quei ragazzetti di 13-14 anni che terminano i loro studi con il
triennio medio portando in sé l’impressione che l’aritmetica
consiste nella risoluzione di una impalcatura di espressioni o di
problemi inesistenti e la geometria si riduce qualche volta a un
elenco di definizioni imparate a memoria e allo studio di figure
che si conoscono tanto bene che, nella vita, non si sanno riconoscere. Ragazzi fortemente attirati dalle sensazionali scoperte di
ogni ramo della scienza, non hanno assolutamente il senso della
potenza dell’intelletto umano, non avendo mai provato che cosa
significhi la passione per la ricerca e la gioia della scoperta.
Castelnuovo E., 1948.
Nel 1948 Emma pubblica il libro Geometria intuitiva, che verrà tradotto in
spagnolo nel 1963.
Un libro “pazzesco”, come lo definisce Emma stessa. Castelnuovo E., 2008.
La novità delle sue idee appare dalla prefazione della prima edizione:
obiettivo principale del corso di Geometria intuitiva è suscitare,
attraverso l'osservazione dei fatti riguardanti la tecnica, l'arte e
la natura, l'interesse dell'alunno per le proprietà fondamentali
delle figure geometriche e, con esso, il gusto e l'entusiasmo per la
ricerca. Questo gusto non può nascere, credo, se non facendo partecipare l'alunno nel lavoro creativo.
266
Mario Barra
È necessario animare la naturale e istintiva curiosità che hanno i
ragazzi dagli 11 ai 14 anni accompagnandoli nella scoperta delle
verità matematiche, trasmettendo l'idea di averlo fatto per se stessi e, dall'altra parte, far sentire progressivamente la necessità di
un ragionamento logico.
Disegni, figure, applicazioni, riferimenti alle scienze, alla tecnologia,
all’architettura e all’arte in generale, materiale didattico concreto, domande
agli studenti sollecitati a scoprire delle proprietà su alcuni esempi, da comprendere e ricordare meglio attraverso alcuni controesempi e casi limite.
Molto della sua didattica farà scuola e verrà riscoperta anche ultimamente.
La tradizione parte dalla matematica e rispettando le sue caratteristiche,
cerca di insegnarla al meglio allo studente. Emma, che pure ama molto la
matematica, parte dallo studente e cerca di capire quale matematica può
essergli più utile per la sua crescita cognitiva, comportamentale e sociale.
A partire dal 1950, seguono altre esperienze importanti per Emma:
- Nel 1951 Emma incontra Jean Piaget per parlargli dei problemi e delle
soluzioni nell’insegnamento degli “angoli”.
- Emma fa parte della CIEAEM (Commission Internationale pour l’Etude
et l’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques), nata nel 1950, ma
fondata ufficialmente solo nel 1952. Emma è membro fondatore.
- Alla CIEAEM Emma incontra Caleb Gattegno, Piaget, Ferdinand Gonseth, Gustave Choquet, Jean Dieudonné, Hans Freudenthal, André Lichnerowicz, Lucienne Félix e Willy Servais, Pedro Puig Adam, …
- Nell’incontro della CIEAEM del 1957 Emma, utilizzando del materiale
didattico, parla degli angoli agli studenti di una prima classe di scuola media
annessa al liceo italiano di Madrid.
- Nel 1959 l'O.E.C.E. (Organisation Européenne de Coopération Economique, oggi O.C.S.E.) organizza a Royaumont (Parigi) un convegno sull'insegnamento della matematica. Emma e Luigi Campedelli rappresentano l’Italia.
Gli interventi del francese Dieudonné e del belga Servais si collegano al
Bourbakismo. Dieudonné si oppone alla geometria euclidea. Alla sua nota
esclamazione “A bas Euclide! A bas le triangle”, Emma osserva che la scrivania dei relatori è stabile grazie ad un sistema di triangoli. Sembra anche
che abbia detto che senza i triangoli, non ci sarebbe la Torre Eiffel.
Contro l’impostazione francese Gattegno lascia la CIEAEM nel 1960.
Anche Piaget ne esce nel 1960.
- Nel 1965 Emma fonda il Premio Guido Castelnuovo che dura fino al 1974.
Mario Barra
267
Si tratta di una borsa di studio che finanzia ogni anno il viaggio e la permanenza di una settimana a una decina di docenti di matematica a Bruxelles,
in particolare per visitare L’Ecole Décroly, dove collabora Paul Libois.10
- Dal 1975 al 1978 Emma è membro at large, dell’ICMI (International
Commission on Mathematical Instruction) (Furinghetti & Giacardi, sito web).
- Negli anni ’70 e ’80, la CIEAEM, sotto la presidenza della Krygowska,
di Gaulin, di Emma stessa, e di Michele Pellerey, i temi degli incontri della
CIEAEM vengono formulati sempre di più in termini di interdisciplinarità e
di “matematica per tutti”.11
- Emma è Presidente della CIEAEM dal 1979 al 1981. Sotto la sua presidenza si svolgono le Rencontres di Oaxtepec (Messico) e di Pallanza in Italia.
CIEAEM-1976 a Louvain-la-Neuve: da sinistra Stefan Turnau, Anna Sofia
Krygowska, Emma Castelnuovo, Claude Gaulin, Willy Servais, Guy Brousseau.
10 L’Ecole Décroly nasce nel 1907: un gruppo di amici affidano l’educazione dei propri figli al
pedagogista Ovide Décroly per la scuola dell’infanzia e primaria. Il gruppo dal 1930 copre tutto
il ciclo scolastico, fino alla scuola secondaria superiore, scegliendo ogni anno un tema (es.
l’energia) sul quale “centrare” tutto l’insegnamento (http://www.ecoledecroly.be/hist-his.htm).
Le idee di Paul Libois sono molto probabilmente influenzate da Guido Castelnuovo e Federico
Enriques di cui è stato allievo a Roma.
11 Nel 1974, partecipo alla CIEAEM di Bordeaux, organizzata da Guy Brousseau sull'insegnamento della probabilità, portando un intervento scritto consegnatomi da Bruno de Finetti.
Successivamente vengo nominato membro della Commissione della CIEAEM.
268
Mario Barra
- La fama internazionale di Emma si consolida soprattutto in paesi di lingua spagnola (Messico, Argentina, Spagna, Repubblica Dominicana …),
dove, in perfetto spagnolo, 12 tiene numerosi corsi di formazione per insegnanti
e stabilisce varie collaborazioni, lavorando in particolare con Puig Adam.
- Nel 1971 Emma organizza la prima delle sue molte Esposizione di Matematica, di cui ho parlato in un altro articolo su questo stesso numero della rivista.
- Emma fa parte della commissione che redige i programmi di matematica
della scuola media del ‘79. Molti dei contenuti e della filosofia d’insegnamento
di questi programmi sono già presenti nei suoi libri: l’insegnamento degli
argomenti per “temi” da distribuire con una certa libertà nei vari anni,
la “Matematica del certo e del probabile”, le “Trasformazioni geometriche”,
… e tanto altro, sono idee di Emma. Questi programmi vengono presentati
nell’Esposizione dell’Accademia dei Lincei del ‘79, dove le personalità che
si occupano di didattica della matematica provenienti da tutto il mondo,
fra cui: Freudenthal, Howson, Krygowska, Libois, Sauvy e Servais, li
giudicano i “migliori di tutto il mondo”. I programmi, però, non hanno
molto successo, perché il Ministero non li appoggia attraverso corsi di aggiornamento per insegnanti, e perché presuppongono una delle caratteristiche più importanti di Emma Castelnuovo: un notevole impegno richiesto
per insegnare con un metodo rivoluzionario.
Emma, ti rendi conto del successo che abbiamo avuto? dice Lucio Lombardo Radice ad Emma nell’ultima riunione della Commissione per i Programmi, sono le nostre idee, è il nostro pensiero! (Castelnuovo, 1983, p.23).
Ho voluto molto bene al “grande” Lucio, ma quello che dice non è molto vero.
Come ho già detto, le nuove idee contenute nella riforma sono soprattutto
di Emma, che spesso si impone su tutti i commissari della commissione
che redige i programmi: matematici, pedagogisti, ispettori ministeriali,
credo fossero 45. I programmi contengono la traduzione delle sue posizioni
sulla necessità della presenza nell’insegnamento della “bellezza”, sulla valorizzazione della geometria, sul valore dell’intuizione, sul problem solving,
e quindi sull’importanza del ragionamento induttivo, sull’opportunità che
gli studenti esprimano verbalmente le loro “scoperte, sulla libertà di insegnamento del docente, sull’insegnamento democratico … (vedi oltre).
- Nel 1979 Emma conclude la sua carriera scolastica.
- Nel 1978 e 1980 Emma è inviata dall’UNESCO a Niamei nel Niger per
insegnare ad alunni corrispondenti a quelli della nostra III media, con i quali
organizza una Esposizione di matematica, apprezzata molto dagli studenti.
12
Emma, oltre alla spagnolo, conosce perfettamente il francese e parla bene l’inglese.
Mario Barra
269
- In Spagna nel 1991 viene fondata la Sociedad Madrileña de Profesores
de Matemáticas (SMPM) "Emma Castelnuovo", tutt’ora molto attiva
(http://www.smpm.es).
Nel 1978 a Caracas, in Venezuela, si tiene la Conférence Interaméricaine d’Amérique du Sud dove vengono invitati tre membri della CIEAEM:
Emma, Dieudonnè e Servais.
Emma partecipa nel 1997 a un convegno a Cuba, e conosce Fidel Castro.
- Recentemente, con Nicoletta Lanciano e ad altri allievi di Emma, insegna
ne L’Officina matematica di Emma Castelnuovo e collabora al Progetto Internazionale Globolocal su un uso democratico e didattico del mappamondo.
- Pochi anni fa Emma si ferisce abbastanza seriamente ad una gamba,
ma, nascondendo gli effetti dell’incidente, continua i suoi viaggi nel mondo.
Ho già detto che evidentemente è meglio evitare di scrivere dei duplicati
di altri articoli. Così, nelle ultime pagine mi sono limitato a dare molto velocemente delle informazioni che possono aiutare ad approfondire gli argomenti sia su internet, da dove ho tratto molte informazioni, sia altrove.
In occasione del prossimo XXXI convegno UMI-CIIM, che si terrà
a Salerno, dal 17 al 19 ottobre 2013, dedicato a Emma Castelnuovo,
la stessa UMI-CIIM, renderà disponibile una pubblicazione su Emma
Castelnuovo, a cura di Livia Giacardi e Rosetta Zan, dove, in particolare,
sarà presente un ottimo articolo molto lungo di Marta Menghini,13 dal quale
ho tratto alcune informazioni e al quale rimando chi vuole approfondire
l’argomento. Nello stesso libro ci sarà un contributo molto interessante scritto da Nicoletta Lanciano, un altro membro del gruppo di Roma che ha lavorato molto con Emma Castelnuovo negli ultimi anni. Sarà presente anche
una parte di un mio articolo pubblicato dalla Mathesis sull’Esposizione del
1974 a Roma, che ripresento con qualche ampliamento in questo stesso
numero di Progetto Alice. Il libro contiene anche degli articoli di Paola
Gario, Ferdinando Arzarello, Luciana Bazzini e Mariolina Bartolini Bussi,
Carla degli Esposti, Paola Gori e di Claudio Fontanari che intervista Enrico
Arbarello,14 e di Roberto Natalini che intervista Emma Castelnuovo.
Egualmente segnalo il pur ottimo PowerPoint di Paola Gario reperibile su:
https://docs.google.com/file/d/0B3WMbieTf6Nna3huNUJXeVlwNzQ/edit?pli=1
Inoltre sulla metodologia di Emma Castelnuovo troverete in quanto segue
molti riferimenti bibliografici, raggruppati per argomenti.
13 Marta Menghini, Emma Castelnuovo: la nascita di una scuola. Con la collaborazione di
M. Barra, R. Bolletta, L. Cannizzaro, N. Lanciano, M. Pellerey e D. Valenti.
14 Enrico Arbarello è un matematico del Dipartimento di Matematica dell'Università La
Sapienza di Roma considerato tra i maggiori esperti mondiali in varietà algebriche.
270
Mario Barra
13. Alcuni riconoscimenti importanti ricevuti da Emma Castelnuovo
Consideriamo innanzi tutto che Emma è stata un’insegnante della scuola
secondaria di primo grado - precedentemente della scuola media - e teniamo
presente la scarsa considerazione che ha l’insegnamento e in generale la
cultura in particolare in Italia. Quindi i premi che Emma ha ricevuto vanno
valutati con una notevole considerazione.
Quale altro insegnante di scuola secondaria ha ricevuto dei riconoscimenti
importanti?
Così, in modo scherzoso, potremmo dire che il premio più importante
dovrebbe essere assegnato ad Emma per aver ottenuto tanti riconoscimenti
prestigiosi in un settore dove nessun altro ne ha ricevuti.
-
-
Segue un elenco di alcuni premi assegnati a Emma:
Nel 1964 Emma ottiene il Premio dell’Accademia Nazionale dei Lincei
per il suo libro Didattica della Matematica che viene tradotto in molte
lingue.
Nel 1974 l’Ente Nazionale per le Biblioteche Popolari assegna un premio
al libro di Emma Documenti di una Esposizione Matematica, pubblicato
da Boringhieri.
L’Accademia dei Lincei ospita il convegno in occasione del suo
pensionamento nel 1979.
Nel 2007 Emma tiene una lectio magistralis al Festival della Matematica
di Roma.
Il 10 marzo 2009 Emma viene insignita dell’onorificenza di Grande
Ufficiale dell'Ordine al Merito della Repubblica Italiana:
Per la passione e l’impegno profusi nel suo lavoro, che le hanno
permesso di elaborare proposte didattiche profondamente innovative.
Per avere contribuito alla comprensione e all’apprendimento della
matematica, stimolando l’interesse e la creatività degli alunni …
Emma Castelnuovo rappresenta e ci ricorda la resistenza al fascismo,
che oltre a privare le donne di fondamentali ed elementari diritti le
costrinse, se ebree, con le infami leggi razziali, ad abbandonare con i
loro colleghi e studenti le scuole pubbliche rifugiandosi con coraggio
in un esperimento di scuola privata esclusivamente ebraica.
Nel 2013 Emma riceve il Premio della Fondazione Nesi:
per aver dedicato la sua vita e la sua intelligenza alla teoria e alla
pratica dell'insegnamento attivo della matematica, come componente
imprescindibile della formazione culturale del cittadino consapevole.
Mario Barra
271
14. I 90 anni di Emma festeggiati in Campidoglio e qualche ricordo
Per festeggiare i 90 anni di Emma Castelnuovo, inizia a parlare il sindaco di
Roma.
Walter Veltroni: Se oggi sono il sindaco di Roma è perché sono stato
allievo di Emma Castelnuovo.15
Segue un lungo applauso.
È il 12 dicembre 2003. Siamo a Roma, nella Sala Protomoteca del Campidoglio.
E' un salone molto grande pieno zeppo di ex studenti, di amici, di insegnanti, di persone di cultura, ..., pochissimi i matematici e i politici.
La festeggiata è Emma Castelnuovo a cui tutti vogliono mostrare la loro
riconoscenza. Domani compie 90 anni.
Di nuovo un grande applauso: entra Emma, accende la lavagna luminosa
e sul vetro di questa muove e proietta il suo piccolo spago annodato ad
anello.
Parte subito un terzo applauso: moltissimi conoscono il piccolo spago annodato. Con lo spago tenuto fra i suoi pollici ed indici, mostra dei rettangoli
isoperimetrici e le loro proprietà, parla degli errori frequenti nella storia,
delle parole di Galileo Galilei e della cinta muraria di una città, ...
C'è il piacere di ascoltare una sinfonia famigliare. Le parole sono semplici e
la comprensione è alla portata di tutti. Nessuno si annoia. Ansi c'è tensione
fra il pubblico, che in grande silenzio non perde una parola.
Emma parla lentamente, senza alzare la voce. C'è consapevolezza,
bellezza ed amore...
Le emozioni sono il collante della memoria e risvegliano i ricordi.
15
Altri allievi: Enrico Arbarello, Massimo Campanino, Franco Lorenzoni, Paolo Mieli, Nanni Moretti, …
272
Mario Barra
Ho già detto che dopo la laurea sono stato seduto per un anno sui banchi
della scuola Media Tasso di Roma di Emma Castelnuovo. Avevo programmato un tempo inferiore ad un anno; anzi avevo iniziato solo per curiosità,
perché la borsa di studio che avevo allora, prevedeva come direttore di ricerca Bruno de Finetti, che mi aveva già chiesto di svolgere le esercitazioni
per il suo corso! Consigliato dallo stesso de Finetti, ho fatto in modo di conoscere Emma e sono stato affascinato da questa specie di Mary Poppins
praticamente perfetta che ogni giorno tirava fuori dai suoi tre armadi del
materiale didattico nuovo.
Così, occupandomi di didattica, potevo sentirmi socialmente impegnato ...
“Stecchette ed angoli” nella scatola prodotta nel 1964 da La Nuova Italia
Al primo incontro con gli studenti della prima classe, Emma ha distribuito a
tutti i bambini di 12 anni delle stecchette di plastica, facilmente attaccabili
agli estremi, che ha fatto produrre dalla casa editrice La Nuova Italia.
Gli studenti dovevano costruire dei triangoli e fare delle osservazioni.
Sconcerto, timore, silenzio ...
Mario Barra
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Poi gradualmente, con qualche sollecitazione:
- ... Una stecchetta non può essere troppo lunga rispetto alle altre due
- ... no, rispetto alla somma delle altre due
- ... sì, alla somma delle lunghezze di quelle più piccole
- ... di fronte all'angolo maggiore c'è il lato maggiore
- ... di fronte al lato minore c'è l'angolo minore
- ... se raddoppio i lati, la forma è la stessa ...
- ... se giro un triangolo "sotto di sopra" il nuovo triangolo non si può
sovrapporre al precedente.
Per la miseria! Fammi un po' controllare!
Ascoltiamo Emma:
Paul Libois che ci ha insegnato a rispettare le opinioni dei giovani, a non
interrompere le loro intuizioni, a non soffocare i loro dialoghi con
un’affermazione troppo precisa. (Castelnuovo, 1978a).
Le affinità con le ombre del sole: chi non conosce il gatto al sole di Emma?
Fra poco saranno gli studenti di terza media a parlare di affinità.
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Mario Barra
Come molti sanno dai libri di Emma, le proprietà delle affinità possono essere scoperte dai ragazzi attraverso delle esperienze con una tela elastica,
oppure con una grata di legno, quadrata, quadrettata e articolabile e attraverso le sue ombre proiettate dai raggi del sole. Questi raggi possono proiettare
anche il disegno su plexiglass di un gatto seduto di fronte ai rettangoli di
vetro uniti col piombo di una finestra inglese. Se la testa del gatto ha area
metà di quella del resto del corpo, questo capita anche nelle ombre e le ombre dei rettangoli ci possono aiutare, ..., le linee parallele rimangono tali,
..., se un segmento è il doppio di un altro parallelo, le ombre modificano le
loro misure, ma i rapporti rimangono inalterati ...
Emma si informava dal bollettino meteorologico per programmare il periodo migliore per svolgere l'esperienza del gatto alla finestra. Il materiale
che occorre è semplice; ma se il bollettino sbagliava, veniva usata con attenzione una grande lente per trasformare in paralleli, i raggi di luce divergenti
provenienti da una lampadina.
Io, laureato bene in matematica, ho capito pienamente le affinità soltanto
con gli studenti di terza media delle classi di Emma.
L'università, con il suo purismo, schizofrenico, almeno dal punto di vista
didattico, evita di fornire un collegamento fra realtà e teoria, utile per costruire un'immagine e collegarci a quanto già conosciamo.
… La grata e la sua ombra in generale non sono simili nel senso della
geometria, ma si somigliano: sono affini. Che cosa si mantiene? Che cosa
non si mantiene? Se c’è una dilatazione sia in verticale che in orizzontale,
quand’è che si ottiene una fotografia della figura iniziale?
E i ragazzi impazienti, zompettavano con il sedere sulla sedia.
Prima di cercare di approfondire alcuni aspetti delle metodologie didattiche
di Emma Castelnuovo, torniamo alle sue Esposizioni di Matematica e ai moltissimi cartelloni che illustrano argomenti interessanti, disegnati e presentati da
studenti fra i 12 e i 14 anni. Che cosa hanno curato maggiormente questi studenti?
- Nel titolo assume maggiore rilievo ogni lettera, usando il rosso, con dietro
un bordo arancio e poi uno giallo,...i bimbi spostano le masse, curano la
grandezza e lo spessore delle lettere, delle immagini e del messaggio: lo rendono conciso, efficace e convincente, curando l'estetica della grafica e del
linguaggio.
Provano, verificano, si confrontano e prendono decisioni per affermare la
loro idea di bellezza. Prendono decisioni. Ciascuno vuole ritrovare se stesso
con le proprie scelte all’interno del cartellone che illustra il suo argomento;
non vuole subirlo, anzi gradualmente se ne appropria e almeno in parte diviene una sua creazione …
Mario Barra
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Max Müller osserva che il verbo latino “cogito”, “pensare” significa etimologicamente “mischiare insieme”. Ciò era già stato notato da S. Agostino,
il quale aveva anche osservato che “intelligo” significa “scegliere tra”.
* Vedrete che voi stessi sarete condotti a porvi delle questioni, a pensare
degli altri problemi; e il pensare un problema, il porsi delle questioni e dei
perché è ancor più difficile che saperli risolvere, ed è più bello. E’ in questo
che consiste la matematica. E’ quanto ho cercato di farvi capire nelle pagine del libro.
Castelnuovo E., La via della matematica, La Nuova Italia ed., 1966.
La citazione è tratta dalla ”Prefazione ai ragazzi”, pp. V-VI.
* Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal
poeta, devono essere "belle", le idee, come i colori e le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale … E' senza
dubbio molto difficile "definire" la bellezza matematica, ma questo è altrettanto vero per qualsiasi genere di bellezza. Possiamo anche non sapere che
cosa intendiamo per "bella poesia", ma questo non ci impedisce di riconoscerne una quando la leggiamo.
Hardy G. H., 1989, Apologia di un matematico, Garzanti, Milano, p. 67.
* la matematica, giustamente considerata non contiene soltanto la verità, ma la bellezza suprema…
Russell B., 1964 (1918), Lo studio della matematica, in Misticismo e logica e altri scritti, Longanesi, Milano, p. 81.
* Egli [il padre di Fichera] preferiva insegnarmi passeggiando … Il suo
insegnamento, anche di questioni matematiche, specie di geometria, avveniva senza che né lui che io avessimo un foglio di carta ove scrivere. Egli voleva che io immaginassi da me le configurazioni geometriche, a volte anche
assai complicate, di cui egli veniva a parlarmi. Ciò perché io sviluppassi al
massimo la mia intuizione geometrica. E voleva che io cogliessi la bellezza
dei risultati che egli mi esponeva, assicurandosi così che io avessi compreso
appieno il significato.
Fichera G., Alcuni ricordi (Lettura registrata alla Discoteca di Stato il
22/V/1972).
* Emma conclude il suo libro Didattica della Matematica citando
Gaetano Scorza: La matematica è bella e tanto basta.
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Mario Barra
15. Alcuni aspetti didattici dell’insegnamento di Emma
Di alcuni aspetti della metodologia didattica di Emma abbiamo già parlato e
molti altri possono essere ricavati da quanto abbiamo detto, seguendo il metodo di Emma che preferisce che le opinioni nascano personalmente sulla
base di alcune informazioni. Successivamente cercherò di riordinare le idee.
Ascoltiamo Emma:
* Il lettore non troverà in questo articolo nessun consiglio, nessuna regola per meglio insegnare o per meglio farsi capire, né gli verrà indicata
una strada precisa per un primo corso di geometria nella scuola secondaria. Troverà solo qualche cosa che già conosce: le difficoltà che
s’incontrano per introdurre questo o quel concetto, questo o quella operazione, gli errori più frequenti che si verificano da parte degli allievi. …
Si parlerà di materiale, di modelli, di dispositivi: non si aspetti il lettore
che si apra davanti a lui la cassetta delle meraviglie! Ci auguriamo
soltanto che qualche idea che ci è venuta al contatto degli allievi possa maturarsi al contatto di altri allievi; possa quindi estendersi e dar adito ad
altre esperienze, ad altre idee.
Si accorgerà il lettore che il problema è appena accennato in questo articolo e proverà certamente l’impressione che in ogni argomento che viene
toccato il campo di lavoro è vastissimo.
Queste pagine non hanno altro scopo che di condurlo a concludere con
noi che:
1) fra il metodo descrittivo e il metodo costruttivo che si può
seguire per insegnare la geometria intuitiva, il costruttivo è quello che è
formativo nel vero senso della parola;
2) se si vuole seguire un metodo costruttivo si è obbligati a
ricorrere a delle basi concrete.
Castelnuovo E., 1965c, pp. 41-42.
* Mi sono sempre chiesta, infatti, se anche un solo suggerimento, una
sola indicazione non possano influenzare le idee didattiche che ognuno si
fa con il suo insegnamento, idee che, essendo frutto della propria esperienza, sono sempre le migliori.
Castelnuovo E., Guida a La via della Matematica, 1966.
Continuiamo ad ascoltare Emma e le persone che lei stima o che hanno dei
convincimenti analoghi, raggruppando le loro considerazioni per argomento.
Mario Barra
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16. Come è nata ad Emma l’idea di una esposizione di Matematica.
* Un’esposizione di Matematica, da parte degli allievi, deve avere i due
significati. Ora, perché questo sia possibile, l’allievo deve aver fatto suo il
concetto; deve aver creato lui il concreto e l’astratto, e cioè il materiale da
esporre e l’argomento da spiegare verbalmente.
Devo dire qualcosa su come mi è nata l’idea di un’esposizione di Matematica, molti anni fa.
Nel settembre del 1949 sono stata invitata a Sèvres (Parigi) dove si teneva un
Convegno su “Les classes nouvelles”, una luce didattica “attiva” dopo gli anni
di guerra; si discuteva sull’insegnamento attivo riguardante varie discipline.
L’invito era venuto su proposta di alcuni Professori di Matematica che
erano stati “colpiti” dai miei lavori sull’insegnamento della geometria intuitiva, così lontani dalle rigide idee francesi.
Rischio, al primo intervento (che è stato anche l’ultimo), di essere linciata;
si dichiara che io facevo un insegnamento “par les mains sales”(con le mani
sporche). Sono stata salvata da un gruppo di giovani insegnanti belgi: erano
allievi e amici di Paul Libois. Avevo conosciuto Libois a Roma, prima della
guerra, come studioso di geometria algebrica: aveva passato più di un anno a
Roma per lavorare con mio padre e con Enriques. Ma, ora, i colleghi belgi di
scuola secondaria mi presentavano un altro Paul Libois; mi invitarono ad andare a Bruxelles per rendermene conto.
E’ così che dal 1950 mi sono legata alle attività di Bruxelles dell’Ecole Decroly
e dell’Université Libre. E’ allora che ho capito l’importanza che può avere
l’Esposizione di matematica per tutti: bambini, ragazzi, studenti universitari.
Un’importanza che riguarda sia il punto di vista psicologico che quello sociale.
E devo dire che in tal senso un forte aiuto mi è stato dato da Jean Piaget e dalla
sua Scuola. Ma lasciamo tutto questo per tornare alle Esposizioni di matematica.
Sull’esempio di Bruxelles ero sollecitata ad organizzare qualcosa nella mia
scuola media. Ma, come fare con tanti allievi? erano circa 180 (due sezioni
parallele); no, non potevo. Poi, alla fine degli anni “60, Lucio Lombardo Radice e Bruno De Finetti hanno cominciato a mandare a me, a Lina, a Liliana, a
Ugo degli studenti universitari dell’ultimo anno, particolarmente interessati
alla didattica della matematica. Non c’era un permesso ufficiale, anzi il permesso di “ospitare” per un anno qualche studente universitario era stato negato, ma … prima uno, poi due, poi quattro e anche più, erano lì in classe,
come fratelli maggiori dei ragazzini della Media. Ed è proprio basandosi sulle
Osservazioni di questi ragazzini che gli studenti universitari scrivevano la loro
tesi di laurea. Da http://www.brunodefinetti.it/Link/Centro.htm
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17. Astratto, concreto, immagini, occhi, mani, mente, parole
* Ritengo senz’altro che si possa affermare che quanto più tempo i
nostri ragazzi avranno dato allo studio del concreto, quanto più tempo
avranno perduto nell’osservare, tanto meglio passeranno dopo alla
comprensione delle forme astratte.
Castelnuovo E., 1963, p. 75.
* Ascoltiamo ancora una volta Comenius: La conoscenza deve necessariamente cominciare attraverso i sensi (se è vero che niente può essere oggetto di comprensione se non è stato prima oggetto di sensazione). Perché
dunque cominciare l’insegnamento con una esposizione verbale delle cose e
non con una osservazione reale di queste cose? È solamente quando questa
osservazione delle cose sarà stata fatta che la parola potrà intervenire per
spiegarla con efficacia. Castelnuovo E., 1963, p. 11.
* Se un concetto è chiaro per me, ciò non significa che, con le parole, io
lo possa rendere chiaro anche per te. Castelnuovo E., 1963, p. 66.
* Si obietterà ancora: “Voi vi opponete a far imparare a memoria le
definizioni, ma allora, come potrete mai insegnare ad esporre bene?”. Parlar bene significa parlare a ragion veduta; se il bambino impara a memoria
una definizione, il più delle volte ripete una bella frase senza rendersi conto
di quanto va dicendo: è solo, il suo parlare, un “verbalizzare”. A esprimersi egli imparerà più scrivendo che parlando, più osservando che ripetendo.
… i loro temi saranno spesso commoventi, e sovente accadrà che il più
timido, il più chiuso, “si aprirà” in una relazione matematica.
* … “il materiale ha per scopo di attirare l’attenzione”, di far osservare, e, osservando, di condurre alla scoperta… il materiale sostituisce la
parola del maestro, ... non costringe entro dati limiti l’osservazione del ragazzo. Castelnuovo E., 1965c, p. 58.
* Il bambino non comprende … perché egli è certo – a priori – che quei
triangoli sono uguali dato che li “vede” uguali… I criteri d’uguaglianza,
trattati in questo modo, ci sembra non abbiano altro scopo che quello di
condurre l’allievo ad un vuoto verbalismo.
Castelnuovo E., 1965c, pp. 42-43.
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* E, nel Niger, che è considerato ancora una colonia, la matematica è
presentata in modo particolarmente astratto per “schiacciare” delle intelligenze. Castelnuovo E., 2003, p. 143.
* Attenti, attentissimi, ma non osano parlare; e io continuo perché “sento” il
loro interesse.
* Le vie della scoperta sono più importanti della scoperta stessa.
Leibniz G.W., in Castelnuovo E., 1993, p. 154.
*… bisogna che nei primi gradi delle scuole (scuole elementari e scuole
medie) l'insegnamento della matematica sia “esclusivamente” intuitivo. Col
taglio della carta, coi modelli e con mille altri accorgimenti di cui si trovano esempi nei libri di testo inglesi, bisogna suscitare la "curiosità" degli
allievi. Specialmente la geometria si dovrà considerarla, in questa fase,
come una vera e propria scienza fisica. Vi sono esperienze graziosissime
che inducono spontaneamente il ragazzo a domandare il perché del loro
successo. E allora, senza che egli se ne accorga, si può cominciare a fargli
seguire un ragionamento, che riconduca nel dominio immediato dei sensi la
proprietà più riposta, conseguita prima sperimentalmente.
Nessuna definizione nei primordi dell'insegnamento: suscitare l'idea
coll'immagine concreta dell'oggetto e andare avanti. Lo so che queste sono
norme pedagogiche che hanno tanto di barba; ma io mi domando quand'è
che le abbiamo seguite sul serio nell'insegnamento della matematica. E anche nelle scuole superiori andare cauti, cauti, cauti colle disquisizioni sui
principi. …
Ci sarà un altro vantaggio. Questa parte critica non potrà sempre esser
seguita in tutti i suoi dettagli dalla maggioranza degli allievi. Ebbene resterà quel che resterà; ma intanto il grosso della scolaresca non sarà stato
ributtato da difficoltà insormontabili fin dalle prime lezioni ed avrà almeno
imparato quel tanto che era possibile, data la sua capacità media. …
Severi F., 1919, La matematica, pubblicato in Energie Nove, Serie II, n. 9.
* Sul piano accademico alligna in genere la civetteria di voler separare e
collocare su uno sgabello più onorifico o certe speciali cose o certi linguaggi più pomposi per trattare di comuni cose, in modo da riservare a ciò
che si colloca sullo sgabello, e negare a ciò che si lascia sul pavimento, la
qualifica di scienza. Molti dei criteri di separazione adottati a questo scopo
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Mario Barra
e delle discussioni cui conducono hanno indubbiamente valore e interesse
da qualche punto di vista, ... ma ogni erezione di una qualunque siffatta
distinzione a criterio di discriminazione accademica costituisce una mutilazione suicida: si uccide la scienza che è vita cui nulla è precluso, collocando al suo posto un feticcio imbalsamato e gonfio di cattedratica boria.
de Finetti B., 1969, Un matematico e l’economia, F. Angeli, p. 94.
* Uno dei più insidiosi pregiudizi del nostro secolo è quello che un concetto debba essere definito con precisione per aver senso, o che un ragionamento debba essere comunque presentato a rigor di logica matematica. ...
Persino dal punto di vista del buon senso, l'ideale della precisione ci appare
assurdo. I nostri ragionamenti quotidiani non sono affatto precisi, ma raggiungono il loro scopo.
La natura stessa, dall'universo al gene, è approssimata e imprecisa.
Rota Gian-Carlo, 1999, Lezioni napoletane, Ed. La città del Sole, p. 44.
* Nessun articolo di matematica contemporaneo può essere capito e apprezzato senza un sostanziale sforzo addizionale che si aggiunge a quello
della semplice lettura. La chiarezza è stata sacrificata sull’altare di certe
frivolezze come la consistenza della notazione, la brevità dell’argomentazione, e la pulizia del ragionamento inferenziale. Alcuni matematici arriverebbero addirittura a sostenere che la matematica sia rappresentata dal
metodo assiomatico.
Rota Gian-Carlo, 1999, Lezioni napoletane, Ed. La città del Sole, p. 64.
* Educare l'abito a riconoscere l'astratto nelle particolari esemplificazioni concrete.
Federico E. su: http://digilander.libero.it/moses/enriques7.html
* In effetti, devo ammettere che provo un senso di profondo disturbo
quando alcuni colleghi usano troppi termini tecnici: sono stati educati a
credere che ogni loro affermazione, debba essere precisa e corretta, come
gli avvocati. Per quanto mi riguarda preferisco usare parole che siano patrimonio dell'intera comunità scientifica, e non necessariamente dei soli
matematici. Se spiegassimo le nostre idee senza usare un'inutile quantità di
gergo tecnico e di formalismi, anche Newton, Gauss e Abel potrebbero capirci. In fondo, erano ragazzi piuttosto svegli!
M. F. Atiyah, Siamo tutti matematici, Di Renzo, 2007 p. 40.
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* Non mi sembra che il linguaggio, scritto o parlato, abbia alcun ruolo
nel meccanismo del mio pensiero. Le entità psichiche che sembrano servire
da elementi del pensiero sono piuttosto alcuni segni e immagini più o meno
chiari che possono essere riprodotti e combinati "volontariamente". Ovviamente, sussiste una relazione di un qualche tipo fra questi elementi e i concetti logici pertinenti. E' anche chiaro come alla base del gioco piuttosto
vago di tali elementi si trovi il desiderio di arrivare infine a concetti logicamente connessi tra loro. Ma da un punto di vista psicologico, questo gioco combinatorio sembra essere il tratto caratteristico del pensiero produttivo - prima che ci sia alcuna connessione con la costruzione logica in parole
o in altri segni che si possano comunicare ad altri. Gli elementi sopra menzionati sono, nel mio caso, di tipo visivo, e a volte muscolare …
Eistein A., In Hadamard J., 1993 (1945), p. 129.
Quando io uso una parola,
disse Humpty Dumpty in tono non privo di
disprezzo,
la parola significa quello che io voglio farla significare, né più né meno…
La questione è, ripeté Humpty Dumpty,
chi è che comanda … ecco tutto.
Carroll L., 1865, Attraverso lo specchio e quel
che Alice vi trovò. Illustrazione di John Tenniel.
p. 152
18. Fusionismo e importanza della geometria
* Allow me to make a last general remark, in order to avoid a misunderstanding
which might arise from the nominal separation of this "geometric" part of my lectures from the first arithmetic part. In spite of this separation, I advocate here, as
always in such general lectures, a tendency which I like best to designate by the
phrase "fusion of arithmetic and geometry" - meaning by arithmetic, as is usual in
the schools, the field which includes not merely the theory of integers, but also the
whole of algebra and analysis. ... I shall now, from the very beginning, accompany
space perception, which, of course, will hold first place, with analytic formulas,
which facilitate in the highest degree the precise formulation of geometric facts.
Klein F., 1932 (1925), first pages.
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* Ho sempre indicato nel fusionismo il principale concetto di base per il
miglioramento dell’insegnamento e della comprensione della matematica.
Nel senso più specifico, in cui fu introdotto da Felix Klein, il fusionismo
consiste nella fusione dello studio di geometria da una parte e di aritmetica,
analisi ecc. dall’altra; più in generale si tratta di fondere in modo unitario
tutto ciò che si studia… mentre le tendenze antiquate predicavano il “purismo” di ogni ramo da coltivare isolato senza contaminazioni.
de Finetti B., 1974, pp. 95-123.
* La nostra geometria si serve dell’intuizione spaziale, ma più che altro come di un potere magico per dar corpo e rappresentazione a concetti, situazioni, problemi, di carattere generalmente non per se stesso geometrico, ma statistico, economico ecc.; è insomma, per così dire, la dottrina dello schema mentale adatto per afferrare intuitivamente tutti i
problemi pratici la cui impostazione scientifica richiede lo strumento
matematico.
de Finetti B., 1959, Matematica logico intuitiva, Cremonese, p. 256.
* … la concretezza delle immagini concorrono allo scopo di persuadere
che la matematica non è un meccanismo a sé da sostituire al ragionamento, ma è la ragionevole base e prosecuzione dell'ordinario ragionamento.
de Finetti B., 1959, Matematica Logico Intuitiva, Cremonese, p. XII.
* La distinzione tra arte, filosofia, scienza, non la conoscevano Empedocle, Dante, Leonardo, Galileo, Cartesio, Goethe, Einstein, né gli anonimi costruttori della cattedrali gotiche, né Michelangelo; né la conoscono
i buoni artigiani di oggi, né i fisici esitanti sull’orlo del conoscibile.
Primo Levi, citato da Bruno Arpaia, L’energia del vuoto, 2011, Guanda.
* L’aritmetica e la geometria sono scienze collegate che si sostengono
reciprocamente, non può essere insegnata la dottrina del numero, senza
intersezioni con una certa geometria, anche i numeri operano riferiti alla
geometria …16
Leonardo Pisano, 1202, Liber Abaci.
16
Et que arismetica et geometria scientia sunt connexe et suffragatorie sibi ad invicem,
non potest de numero plena tradi doctrina, nisi intersecantur geometrica quedam, vel ad
geometriam spectantia que hic tantum juxta modum numeri operantur; qui modus et sumptus ex multis probationibus et demostrationibus, que figuris geometricis fiunt.
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19. Il movimento e i casi limite
Poligoni dinamici. Disegni e cartone animato che ho realizzato con Cabri II Plus
Vogliamo che gli allievi fissino l’attenzione
sugli angoli di un triangolo, osservino i tre
angoli, e che questa osservazione nasca spontaneamente. Ora, gli angoli, come i lati, come
qualunque elemento di una figura, non vengono
osservati se la figura è statica; l’osservazione
nasce non appena c’è una variazione. Il confronto di due triangoli o di alcuni triangoli
potrà far dire che questo angolo è maggiore di
quello o che alcuni angoli sono uguali, ma è
un’osservazione che non dice nulla, che non
porta a nulla. Per far sì che l’osservazione sia
costruttiva nel senso matematico del termine
occorre considerare infiniti casi, occorre vedere un caso insieme ai precedenti e a quelli che
lo seguono; in breve, occorre far muovere la
figura per gradi insensibili. Questo si potrebbe
naturalmente realizzare con un film (cartone
animato), ma si può anche ottenere molto semplicemente con un dispositivo che ogni bambino può costruire da se …
284
Mario Barra
Dite ai bambini di osservare tutti questi triangoli e di scrivere le loro
impressioni ... Vi diranno che quando un angolo diminuisce, gli altri
aumentano e che - si è sempre portati, anche con una certa leggerezza,
a vedere un qualche cosa di costante - quello che si perde in un angolo
viene compensato da quello che si guadagna negli altri. Non è forse
questa un’intuizione della proprietà sulla somma degli angoli del triangolo? La somma degli angoli è dunque costante; ma, qual è questo valore costante? I casi limite conducono a intuire questo valore …
È certo che questa esperienza, come del resto tutte quelle realizzate
con procedimenti di continuità, ha un pericolo, il pericolo del caso limite, quello cioè di generalizzare la proprietà che si legge nel caso limite.
Sarà sempre vero che la somma degli angoli è un angolo piatto, dato che
nel caso limite è un angolo piatto?
Ma perché dobbiamo chiamarla pericolosa questa intuizione del caso
limite? Se condurrà a un errore (e non mancano esempi anche elementari
dove si mette in evidenza come la continuità conduca a un errore), sia
benedetto questo errore! Sarà fonte di osservazioni, di nuovi problemi, di
nuove prese di coscienza. Castelnuovo E., 1965c, pp. 41-50.
*… Emma Castelnuovo dimostra che il rendimento è migliore, per la
maggior parte degli allievi, se si introduce una concezione dinamica
dell’apprendimento e si dà all’attività degli allievi un posto più grande.
Ciò non comporta alcuna perdita di tempo, né di rigore; al contrario.
Se gli allievi sanno chiaramente di cosa si tratta, si esprimono in modo più
soddisfacente per loro stessi e i loro professori.
(firmato CIEAEM) Castelnuovo E., 1965c, p. X.
* Si pensava fino a pochi anni fa che il concetto di funzione, portando il
pensiero su ciò che varia, sullo studio delle operazioni e delle trasformazioni,
potesse turbare la coscienza del giovinetto a cui si preferiva presentare un
mondo platonico. Mi sembra che tali idee debbano oggi cadere in modo decisivo davanti a varie considerazioni. La prima è che la stretta collaborazione che
si desidera giustamente fra il corso di matematica e quello di osservazioni
scientifiche, finalmente introdotto in Italia nella scuola media inferiore, porta
con sé a un giudizio quantitativo, oltre che qualitativo, dei fenomeni della natura, e in questi non vi è modo, evidentemente, di fermare cicli e mutamenti, irrigidendo la vita in un sistema di schemi fissi. La seconda considerazione verte
sulla tecnica: la tecnica moderna è – come abbiamo avuto più volte occasione
di osservare – così strettamente unita alla matematica più pura da trascinarla
Mario Barra
285
talvolta, assieme al suo simbolismo e alle sue strutture, in campi apparentemente lontani, mutando il volto di teorie che sembravano rigidamente immobili. Ma la considerazione principale si riferisce alla matematica in sé: se si vuole che le nostre lezioni si ispirino alle matematiche moderne, non possiamo
chiudere gli occhi del bambino davanti a quello che è il primo, fondamentale
concetto di queste matematiche: il concetto di funzione. Primo e fondamentale
perché segna l’inizio della matematica moderna “classica”, che in esso ha
trovato le radici e la linfa per svilupparsi… Si chiederà: quando trattare questo
argomento? come introdurre il concetto di funzione? Sono forse troppo decisa
e rivoluzionaria se a questa domanda rispondo “da sempre”? Non è che intendo si debba svolgere un corso sul concetto di funzione, non è che a questo argomento si debba dedicare un certo numero di lezioni, ma esso deve essere
introdotto così, insensibilmente, a proposito di una questione o dell’altra, perché esso entra in ogni questione. Castelnuovo E., 1963, p. 158.
* “Posizioni delle rette nello spazio”. Nelle considerazioni seguenti il
materiale è veramente essenziale; il disegno non dice niente…
Teniamo presente che a una definizione si arriva dopo una osservazione
e che non si è condotti ad osservare se prima non si sperimenta.
Castelnuovo E., 1965c, p. 53.
* … il disegno è insufficiente per dare al corso di geometria intuitiva un
carattere costruttivo, e ciò per le seguenti ragioni:
1) il disegno non suggerisce dei problemi perché offre un numero finito
di casi, e vincola così la libertà di pensiero del bambino;
2) non conduce all’osservazione, e quindi non può portare poi
all’intuizione della verità, per il fatto che è statico.
* Le diverse parti del cervello umano funzionano a velocità differenti e gli
oggetti vengono riconosciuti da una parte del cervello, mentre il moto viene rilevato da un'altra. Ciò significa che quando vediamo una persona in movimento, le
due sezioni del cervello riconoscono separatamente moto e persona, mentre una
terza parte unisce i due segnali…L'aspetto interessante e che le due zone del
cervello funzionano a velocità sensibilmente diverse, e quella che riconosce il
moto è molto più rapida. Immagino che l'origine di questa caratteristica sia
sempre di carattere evolutivo: per un umano nella giungla è più importante riconoscere rapidamente se qualcuno si muove, piuttosto che riconoscere chi si
muove - che sia una tigre, un leone o un serpente. Atiyah M. F., 2007, p.13.
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* Emma ha sempre insegnato matematica cercando corrispondenze a
partire dalla più antica ed elementare: quella che lega la mano al cervello, il ragionare al costruire… Nella scuola il corpo sembra costretto
ad un forzato letargo, così l’usare la mani per approfondire un concetto
è cosa purtroppo rarissima… Ricordo ad esempio che un nostro compagno che non andava bene in italiano, una volta che Emma ci diede da
fare un tema di matematica, fu l’unico a prendere dieci: Dieci era un
voto che Emma non aveva mai dato e ricordo quanto era soddisfatta ne
mostrare quel tema all’incredula collega di lettere … Se guardate i cartelloni degli allievi di Emma Castelnuovo troverete sempre un ponte che
collega matematica, arte e natura… È proprio vero, come dice Emma,
che si può ragionare bene su un disegno fatto male … Non sapevamo
come darci una spiegazione … quando mi sono giunti in soccorso quelli
che, per me, sono stati due capisaldi dell’insegnamento di Emma: lo studio dei casi limite e il ragionare per assurdo.
Lorenzoni F., 2008, p. 118.
20. Le origini di una frase celebre
La frase: la geometria è l’arte di ragionare bene su un disegno fatto male,
pronunciata in varie occasioni da Emma ed attribuita a Enriques, è stata
pronunciata anche, forse per la prima volta, da Poincaré, che rivolgendosi
però più propriamente alla topologia dice che è «l'arte di ragionare bene su
figure disegnate male». Ancor oggi, a oltre un secolo di distanza, gli esempi
costruiti nella memoria Analysis situs (1895) di Poincaré, lasciano stupefatti
per la sua prodigiosa forza immaginativa che con destrezza quasi da prestigiatore, manipola e deforma poliedri nello spazio tridimensionale.
La stessa cosa, in modo più articolato, l’aveva detta Platone:
* Sai dunque pure che [coloro che si occupano di geometria] si servono
di figure visibili e ragionano su di esse, ma non ad esse pensando, bensì
a ciò di cui quelle sono le immagini, ragionando sul quadrato in sé e
sulla diagonale in sé, e non su quella che disegnano. Lo stesso si dica
per tutte le figure che essi modellano e disegnano, di cui si servono come
immagini (...) cercando di vedere i veri enti, che non si possono vedere
se non col pensiero.
Platone, Repubblica, 510d,e-511a.
Mario Barra
287
21. Ancora su Emma e i “potenti”
* Nel settembre del 1949 sono stata invitata a Sèvres (Parigi) … Rischio,
al primo intervento (che è stato anche l’ultimo), di essere linciata;
si dichiara che io facevo un insegnamento “par les mains sales” (con le mani
sporche). Da http://www.brunodefinetti.it/Link/Centro.htm
Forse, senza volerlo, hanno fatto un complimento ad Emma. Infatti
"Les mains sales" è un dramma teatrale tra i più noti di Jean-Paul Sartre
(1905-1980).17 In questa pièce, scritta nel 1948, Sartre contrappone attraverso i due personaggi principali: Hugo e Hoederer, due visioni del mondo
e della vita: l'idealismo puritano del primo e il pragmatismo umanista del
secondo. Certamente Emma non è una idealista puritana.
*… Poi, dopo tre giorni la situazione si sblocca. Ecco cosa succede: colgo un ispettore che, sottovoce, dice ad un ragazzo: “tanto te non capisci
niente”. Dopo qualche minuto passo vicino a quel banco, a quell’ispettore,
a quel ragazzo, e “bravo – dico – hai fatto il grafico benissimo”. Dopo quel
giorno non viene più nessuna autorità francese, e la classe è “mia”: diventano espansivi, sono come i miei allievi di Roma, degli amici.
* … dopo aver preso accordi col Preside di Niamey sul periodo più opportuno, vado [torno] a Niamey ai primi di gennaio del 1980, per una ventina di giorni. Trovo un ambiente del tutto diverso: il Rettore mandato via e
sostituito da un professore molto legato a Parigi; il Preside duro e freddo,
scontento di vedermi. Mi dice che ho scelto un periodo non adatto, e che
anche gli allievi non sono contenti. Questo colloquio avviene in presidenza,
e … suona la campanella. Uno dei miei ex-allievi scopre, attraverso la porta socchiusa che “è tornata la nostra professoressa!” Senza curarsi delle
rigide direttive scolastiche, la porta della presidenza si spalanca e vengo
circondata dai miei 40 allievi.
Ma le cose non cambiano, in una riunione ristretta di autorità [a Niamey
(Niger) 1980]: Rettore, Preside, qualche consulente francese – dichiara a
me, lì presente, che “non sono gradita”. Rispondo: “parto subito, ma siccome devo fare un rapporto all’Unesco, dichiarerò per scritto quanto sta
accadendo e farò i vostri nomi e cognomi”.
La situazione cambia: “va bene, sì – dice il Rettore – sarà dato un quaderno nuovo. Castelnuovo E., 2006a, p. 144 e p. 151.
17
Secondo Sartre, l'uomo deve affermare la libertà, e per questa è obbligato ad agire
e a compiere delle scelte.
288
Mario Barra
22. Le nostre conoscenze e il rigore in matematica
* Ciò che si sa dal professore o dall’allievo – mi fu detto -, sia pur limitato, ma deve sapersi perfettamente. Orbene, io sono uno spirito mite e tollerante; ma tutte le volte che questa frase mi fu obiettata, un maligno pensiero mi ha attraversata la mente: Oh, se potessi prendere in parola il mio
interlocutore, e con magico potere riuscissi a spegnere per un istante nel
suo cervello tutte le cognizioni vaghe per lasciar sussistere soltanto ciò che
egli sa perfettamente! Voi non immaginate mai quale miserando spettacolo
potrei presentarvi! Ammesso pure che dopo una così crudele mutilazione
qualche barlume rimanesse ancor nel suo intelletto; e di ciò fortemente dubito, somiglierebbe questo ad un gioco di fuochi folletti sperduti in tenebre
profonde e sconfinate.
La verità è che noi nulla sappiamo perfettamente, o se di qualche conoscenza assoluta ci osiamo vantare, è questa sterile e vana nei nostri rapporti col mondo esterno. La nostra sapienza non è che un cumulo di approssimazioni, ma queste approssimazioni ci son bastate per estendere il nostro
dominio sulla natura. Le conoscenze di cui siamo giustamente così fieri, le
leggi della fisica, della chimica, della biologia sono tutte approssimate, talune in modo grossolano; eppure le applicazioni che noi ne abbiamo tratte
rispondono ai nostri bisogni in guisa da soddisfare le maggiori esigenze.
È questo il torto precipuo dello spirito dottrinario che invade la nostra
scuola. Noi vi insegniamo a diffidare dell'approssimazione, che è realtà, per
adottare l'idolo di una perfezione che è illusoria. Noi vi rappresentiamo
l’universo come un edificio le cui line hanno una perfezione geometrica e ci
sembrano sfigurate e annebbiate a causa del carattere grossolano dei nostri
sensi, mentre dovremmo far comprendere che le forme incerte rivelateci dai
nostri sensi costituiscono la sola realtà accessibile, alla quale sostituiamo,
per rispondere a certe esigenze del nostro spirito, una precisione ideale. Ma
dovere di lealtà ci impone di far notare in ogni occasione, ai discepoli, questa artificiale sostituzione di una esattezza fittizia ad una approssimazione
reale. Castelnuovo G., 1912,
* Se le matematiche vengono così spesso riguardate come inutile peso
dagli allievi, dipende in parte almeno dal carattere troppo formale che tende a prendere quell’insegnamento, da un falso concetto del rigore tutto intento a soddisfare certe minute esigenze di parole, da una critica analitica
eccessiva e fuori di posto... Ma queste tendenze si riattaccano ad una causa
più generale; cioè al fatto che le matematiche siano state studiate come un
Mario Barra
289
organismo a sé, riguardandone piuttosto la sistemazione astratta conseguita
dopo uno sviluppo secolare, che non l’intima ragione storica. Si dimenticano per tal modo i problemi concreti che conferiscono interesse alle teorie, e
sotto la formula o lo sviluppo del ragionamento non si vedono più i fatti
ormai da lungo tempo acquisiti, ma soltanto la concatenazione in cui noi
artificialmente li abbiamo stretti. Enriques F., 1906.
23. Didattica della matematica
* Lo scopo della matematica è di risolvere i problemi che si incontrano
nella vita pratica. Questi problemi interessano gli allievi molto più che i
calcoli su numeri astratti, o su lettere, dei quali calcoli gli allievi non
veggono alcuna applicazione, perché spesso non ne hanno … La differenza
fra noi e gli allievi affidati alle nostre cure sta solo in ciò, che noi abbiamo
percorso un più lungo tratto della parabola della vita. Se gli allievi non capiscono, il torto è dell’insegnante che non sa spiegare. Né vale addossare la
responsabilità alle scuole inferiori. Dobbiamo prendere gli allievi come sono, e richiamare ciò che essi hanno dimenticato, o studiato sotto altra nomenclatura. Se l’insegnante tormenta i suoi alunni, e invece di cattivarsi il
loro amore, eccita odio contro sé e la scienza che insegna, non solo il suo
insegnamento sarà negativo ma il dover convivere con tanti piccoli nemici
sarà per lui un continuo tormento.
Peano G., 1924, Giochi aritmetici e problemi interessanti, Paravia.18
* Con gli occhi della mente, Faraday vedeva linee di forza che attraversavano lo spazio nella sua totalità, laddove i matematici vedevano centri di
forza che si attiravano a distanza; Faraday vedeva un 'campo' là dove gli
altri non vedevano che la distanza.
Maxwell J.C., Trattato di Elettricità e magnetismo, 1873.
* Si possono facilmente dare più esempi, dove enunciando la congettura
primitiva, presentando la dimostrazione e i controesempi, e seguendo l'ordine euristico fino al teorema e alla definizione generata dalla dimostrazione si dissiperebbe il misticismo autoritario della matematica astratta e
18 Il libro è rivolto in particolare agli insegnanti delle scuole elementari ma il suo intento
è di rendere lo studio della Matematica più interessante e meno noioso per tutti.
290
Mario Barra
si metterebbe un freno a tale degenerazione.
Lo studio di un paio di casi esemplari di questa degenerazione farebbe
molto bene alla matematica. Sfortunatamente lo stile deduttivista e l'atomizzazione della conoscenza matematica proteggono articoli che sono "regressivi" a un grado notevolissimo.
Lakatos I. 1979, p. 196.
* Noi pensiamo in termini geometrici ... L’intuizione geometrica guida i
nostri pensieri e suggerisce nuovi risultati. La geometria è sempre stata una
sorgente fertile di nuove idee e da lei sono nate discipline matematiche
complete ... usiamo la geometria ... come un modo di pensare. Noi dipendiamo in modo determinante dai nostri occhi e spunti importanti riusciamo
a trasformarli in diagrammi geometrici …
Engel A.,1972, pp. 53-110.
* Intervista a Emma Castelnuovo nel dicembre 2009.
Intervistatore: Più volte ha detto che il professore non deve stare in
cattedra, si deve mettere al livello degli allievi e non deve avere paura di
mostrare le difficoltà che anche lui incontra.
Emma: Si, perché in generale chi insegna non vuole mostrare le sue
difficoltà, e invece spesso trova le stesse difficoltà dei suoi allievi.
L’importante è non pensare di fare tutto alla perfezione.
Su: http://chiaraballardini.wordpress.com/2009/12/14/genio-matematico/
24. Dalla parte dello studente considerando le esigenze della società
* A mio parere l’impostazione del corso [descrittivo e non costruttivo] è
errata, è – oserei dire - addirittura poco onesta: si costruiscono delle figure
in una data maniera enunciando delle proprietà che sembrano cadute dal
cielo, come se i bambini, opportunamente guidati, non fossero in grado di
scoprire quelle proprietà.
Castelnuovo E., 1965c, p. 46, segue con p. 51.
* Come sempre giravo fra i banchi per vedere come i bambini lavoravano, pronta a rispondere ai loro dubbi, ad indirizzare il più incerto, a riprendere il distratto, ad incoraggiare il timido. Il lavoro con un materiale
individuale esige che l’insegnante segua ogni allievo, e, per seguirlo, deve
parlagli personalmente; avrà modo così di considerarlo anche sul come si
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291
tiene il quaderno, di indirizzarlo a un ordine “matematico” e di instradarlo
a un metodo di studio. La lezione di tutti diventa allora la lezione di ciascuno. L’osservazione di questo semplice dispositivo ha condotto i ragazzi a
scoprire una delle proprietà fondamentali della geometria piana.
Castelnuovo E., 1963, pp. 180-181.
* L'educazione non deve limitarsi a perpetuare da una generazione
all'altra l'ordine esistente, deve invece elaborare modelli di vita nuovi e
alternativi.
Rousseau J.J., 1762, Contratto sociale.
* Si vorrebbe sapere in poche e chiare parole che cosa è questo Metodo
Montessori. Se si abolisse non solo il nome, ma anche il concetto comune di
‘metodo’ per sostituirvi un’altra indicazione, se parlassimo di un ‘aiuto
affinché la personalità umana possa conquistare la sua indipendenza, di un
mezzo per liberarla dall’oppressione dei pregiudizi antichi sull’educazione’,
allora tutto si farebbe chiaro. E’ la personalità umana e non un metodo di
educazione che bisogna considerare: è la difesa del bambino, il riconoscimento scientifico della sua natura, la proclamazione sociale dei suoi diritti
che deve sostituire gli spezzettati modi di concepire l’educazione ...”
Montessori M., La formazione dell’uomo, Garzanti, Milano, 1968. p. 11.
* L'indifferenza è il peso morto della storia. E' la palla di piombo per il
novatore, è la materia inerte in cui affogano spesso gli entusiasmi più splendenti, è la palude che recinge la vecchia città e la difende meglio delle mura
più salde, meglio dei petti dei suoi guerrieri, perché inghiottisce nei suoi gorghi limosi gli assalitori, e li decima e li scora e qualche volta li fa desistere
dall'impresa eroica.
Gramsci A., Indifferenti, La città futura, numero unico, 11 febbraio 1917.
* Come sempre giravo fra i banchi per vedere come i bambini lavoravano,
pronta a rispondere ai loro dubbi, ad indirizzare il più incerto, a riprendere
il distratto, ad incoraggiare il timido. Il lavoro con un materiale individuale
esige che l’insegnante segua ogni allievo, e, per seguirlo, deve parlagli personalmente; avrà modo così di considerarlo anche sul come si tiene il quaderno, di indirizzarlo a un ordine “matematico” e di instradarlo a un metodo
di studio. La lezione di tutti diventa allora la lezione di ciascuno.
Castelnuovo E., 1963, pp. 180-181.
292
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* L'ansia per l'insegnamento della matematica in modo euristico o creativo non risale al recente passato. Deriva direttamente dalla pedagogia del
Rousseau e si potrebbe dire, senza esagerare, che gli educatori moderni
potrebbero ancora ispirarsi alla pedagogia euristica esposta nella lezione
che Socrate dà ad un giovane schiavo di Menone.
Sitia C., 1979.
* è "cattiva" filosofia quella che sommerge fatti e idee in nuvole di parole e
superfetazioni irrilevanti; è "buona filosofia" quella che cerca di eliminare
tutto ciò che di troppo e di illusorio viene già aggiunto dal linguaggio comune per ridursi al minimo veramente essenziale … l'esigenza cui deve rispondere è di semplificare, di chiarire, non di gravare il discorso di significati astrusi ... le considerazioni "filosofiche" sono intese non ad aggiungere
sovrastrutture e fronzoli bensì (come ritengo utile) a scarnificare di quanto
rimane di troppo anche nelle concezioni scientifiche.
de Finetti B., 1967, Atti della tavola rotonda tenuta a Poppi, 11-12 Giugno 1966, Scuola di Statistica dell'Università, Firenze, pp. 146 e 203- 204.
* [i principi di Comenius e Pestalozzi] si riassumono oggi in due parole:
scuola attiva; scuola attiva che poggia su due idee fondamentali, espresse
con chiarezza, per la prima volta, dai due grandi dell’educazione: “metodo
insegnamento per cicli e metodo intuitivo-costruttivo”.
* In Pestalozzi … la parola “intuizione” acquista il significato di costruzione.
* Non è diverso quanto sostiene Pestalozzi: Ogni studio scientifico le cui
definizioni sono state evocate nell’anima dei fanciulli come un “deus ex machina” o gli sono state soffiate nelle orecchie come da un suggeritore di teatro, non ha maggior valore dello studio destinato a produrre dei miseri commedianti. Quando le forze fondamentali dello spirito umano sono addormentate e sul loro sonno non sono versate che vuote parole, non si possono formare che dei sognatori, i quali sognano ombre tanto più vane quanto erano
più grandi e pretenziose le parole che furono versate sulla miseria e sulla
noia dell’anima loro … Le descrizioni devono precedere le definizioni. Se
qualcosa è chiaro per me, ciò non significa che io lo possa descrivere; io
posso cioè dire con precisione come è fatto ma non che cosa è.
Castelnuovo E., 1963, pp. 11- 12.
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293
* [parlando di Pestalozzi] Abbandonate ben presto le scuole, finì col dedicarsi con passione all’agricoltura. Il contatto con la povera gente, in un
momento particolarmente difficile per la Svizzera, lo convinse che la salvezza del suo paese si poteva raggiungere solo con una riorganizzazione
civile della società, fondata sull’elevazione economica delle classi inferiori.
“Io [Pestalozzi] vissi per parecchio tempo nella compagnia di più di cinquanta bambini accattoni, divisi con loro, nella povertà, il mio pane, vissi
anch’io come un mendicante per insegnare a far vivere i mendicanti come
uomini.”
Castelnuovo E., 1963, pp. 13.
* Un insieme di questioni può essere più semplice da risolvere che una
sola questione. Un nuovo e più ambizioso problema può risultare più maneggevole del problema originariamente considerato. Un problema ristretto, … si può spesso risolvere soltanto risolvendo il problema essenziale, che
è più largo.
Lakatos I., 1979, p. 72.
25. Conclusione che trae Emma alla fine di un suo importante articolo
* È necessario ricorrere all’oggetto e all’azione se si vuole che
l’insegnamento della geometria intuitiva abbia un carattere costruttivo
e che sia quindi formativo: ecco la conclusione a cui vorremmo aver condotto il lettore.
Oggetto e azione che non devono seguire uno schema prestabilito,
ma lasciarsi ispirare ogni volta dalle esigenze della classe che l’insegnante
avrà la sensibilità di saper cogliere: è proprio da queste esigenze che sono
sorti gli esempi che abbiamo dato.
* I mezzi pratici per la realizzazione delle esperienze non hanno nessuna
importanza: si tratterà di un modello, di un dispositivo, di una esperienza
realizzata con l’aiuto di un materiale o solamente immaginata, delle variazioni di una luce o del mutarsi di un’ombra.
Ed è proprio forse questa libertà di ideare e di interpretare, ugualmente
alla portata del maestro e dell’allievo, che costituisce una delle caratteristiche del metodo costruttivo.
Castelnuovo E., 1965c, L’oggetto e l’azione nell’insegnamento della
geometria intuitiva, in AA.VV. Il materiale per l’insegnamento
della matematica, La Nuova Italia.
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26. Alcune conclusioni
Purtroppo non è rimasto spazio nella rivista per trarre alcune conclusioni
personali e soprattutto per inserire molti esempi, come avrei preferito.
Rimando ad @42 e mi limito ad alcune espressioni decisamente sintetiche.
27. Un po’ di storia della didattica
Un modo vecchio di insegnare
Un modo “meno” vecchio di insegnare
La mente non ha bisogno, come un vaso, di essere riempita, ma piuttosto,
come legna, di una scintilla che l’accenda e v’infonda l’impulso della ricerca e un amore ardente per la verità.
Plutarco, L’arte di ascoltare. L'arte di ascoltare, 47 F - 48 C.
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295
28. Aspetti “rivoluzionari” nell’insegnamento di Emma
Krygowska e Freudenthal ascoltano gli studenti di Emma
In poco spazio e estremizzando in prima approssimazione, si può
caratterizzare l’insegnamento di Emma Castelnuovo [EC], oltre che
al grande impegno con il quale si dedica alla sua professione, nel
passaggio dalla minore alla maggiore presenza di:
insegnamento deduttivo
impostazione assiomatica
“ambiente” astratto
insegnamento statico
insegnamento descrittivo
routine
ripetizione
“più” Aritmetica e Algebra
molti calcoli
parole, simboli
“bruttezza” e mancanza di colore
argomenti noiosi
finalità poco chiare
calcolo infinitesimale
perfezione che è illusoria
freddezza, “distanza”
19
insegnamento induttivo
impostazione “naturale”
“ambiente” concreto
insegnamento dinamico
insegnamento costruttivo
ragionamento
partecipazione, scoperta
“più” Geometria
pochi calcoli
disegni, materiale [nessuno come EC]
bellezza e colore
argomenti interessanti
applicazioni importanti
ragionamento infinitesimale
approssimazione, che è realtà19
affetto, empatia, seduzione, abduzione.
Castelnuovo G., La scuola nei suoi rapporti con la vita e con la scienza moderna,
(conferenza tenuta al III Congresso Mathesis, Genova, 1912, Archimede, n. 2-3, 1962.
296
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Riassumo i due insiemi di “caratterizzazioni”:
- Partire dalla matematica e cercare di insegnarla allo studente, rispettando le
esigenze della materia. - Partire dallo studente rispettando le sue esigenze e vedere
quale matematica può essergli più utile, tendendo ad un insegnamento efficace,
efficiente, convincente, e cercando di tenere presenti i mutamenti della società.
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Molti riferimenti derivano dall’elenco di: Pubblicazioni di Emma Castelnuovo, a cura di Marta
Menghini con la collaborazione di Mario Barra, Lucilla Cannizzaro, Nicoletta lanciano, Daniela Valenti,
che verrà pubblicata dall’UMI-CIIM.
Un buon numero di articoli di Emma Castelnuovo sono reperibili in PDF nel sito di
C. Fontanari: http://www.science.unitn.it/~fontanar/EMMA/emma.htm .
Altri articoli sono reperibili nel sito della rivista Educational Studies in Mathematics:
http://link.springer.com/journal/10649
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Gli insegnamenti di Emma Castelnuovo

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