orologio a pendolo - Prof. PORFIDO Francesco

OROLOGIO A PENDOLO
La storia dell’orologio meccanico di precisione comincia dalle … oscillazioni
di un lampadario del Duomo di Pisa.
Circa 430 anni fa viveva nella città di Pisa un giovane di grande ingegno,
Galileo Galilei (1564-1642), colui che doveva diventare uno dei più grandi
scienziati dell’umanità.
Si racconta che un giorno del 1583, Galileo,
mentre stava ascoltando la Messa nel
Duomo della sua città, fosse distratto da
una grossa lampada, la quale era appesa
poco lontano da lui ad una lunga catena
fissata alla volta. Qualcuno l’aveva urtata e
perciò essa oscillava lentamente avanti e
indietro. Galileo, da acuto osservatore, si
accorse che le oscillazioni, dapprima ampie
poi via via più brevi, duravano sempre lo
stesso tempo,ovvero si accorse che il
periodo di oscillazione di un pendolo è
indipendente dalla sua ampiezza .
Galileo Galilei
1564 – 1642
Galileo nel Duomo di Pisa che osserva la lampada
In seguito Galileo completò le sue osservazioni con varie esperienze cercando di trovare le
relazioni tra la lunghezza e il peso del pendolo e il suo periodo. In realtà, notò che tutti i pendoli
della stessa lunghezza hanno oscillazioni della medesima durata; scoperse cioè che sono isòcrone
(dal greco “ isos”, uguale e “chronos”,tempo), ma un pendolo è strettamente isocrono soltanto se
le sue oscillazioni sono di piccola ampiezza, come fu scoperto da Huygens pochi decenni più tardi.
Nel corso dei secoli, l’uomo, per misurare il tempo, aveva escogitato
numerosi e vari sistemi: orologi solari, ad acqua, a sabbia, tutti ingegnosi
ma poco pratici e poco precisi. Nei secoli XIV e XV apparvero i primi
orologi meccanici da torre e poi anche portatili; erano però poco precisi e
dovevano essere regolati continuamente.
La scoperta delle leggi del pendolo permise invece di rendere sempre più
precisi gli orologi. Molti anni più tardi, nel 1641, Galileo propose l'utilizzo
del pendolo come meccanismo regolatore degli orologi, e ne abbozzò un
progetto. Tuttavia, ormai vecchio e cieco, non riuscì a realizzarlo, e
l'orologio a pendolo venne costruito solo nel 1656, dallo scienziato
olandese Christian Huygens.
Christian Huygens
1629-1695
Già dall'anno successivo le botteghe orologiaie di tutta l'Olanda esponevano in vetrina piccole
meraviglie ispirate al meccanismo ideato dallo studioso.
Questo primo modello però non soddisfaceva tutte le esigenze, a causa di un difetto
fondamentale: non poteva essere usato in movimento, per esempio in mare. Huygens ci mise
dieci anni a risolvere questo problema. Non perché la soluzione non fosse alla sua portata,
quanto perché appena completato il suo orologio, si era immediatamente immerso in altri studi.
Isosincronismo del pendolo
Galileo Galilei fu il primo ad accorgersi che la durata di ogni oscillazione di un pendolo
semplice (cioè una massa attaccata tramite un filo ad un supporto fisso) è indipendente
dall’ampiezza dell’oscillazione, purchè l’ampiezza angolare sia piccola, ossia in pratica finchè
l’angolo massimo che il filo forma con la verticale non supera qualche grado, cioè sia <10°.
Quando il pendolo viene allontanato dalla posizione verticale e poi lasciato andare inizia ad
oscillare perché la forza di gravità, agendo sulla massa appesa al filo, la richiama verso la
posizione verticale del filo.
Il moto di un pendolo semplice, nell'ipotesi di piccole oscillazioni, è armonico con periodo
indipendente dalla massa oscillante e dall'ampiezza delle oscillazioni. Quindi tutte le oscillazioni
di un pendolo semplice hanno la stesa durata.
Osservando la formula del periodo del pendolo
si ricava che:
è indipendente dall'angolo ß
Se facciamo oscillare un pendolo e misuriamo i
tempi necessari per compiere un certo numero
di oscillazioni complete, per esempio le prime
10, e poi il tempo per le successive 10,
nonostante
l'ampiezza
diminuisca
progressivamente, si trova che i due tempi
sono uguali.
è indipendente dalla massa
Se sospendiamo palline di materiale diverso,
per esempio una di ferro, una di legno, un'altra
ancora di materiale diverso, a parità di
lunghezza, si osserva che il periodo è sempre lo
stesso.
ß
è direttamente proporzionale alla radice
quadrata della lunghezza
Se facciamo oscillare alcuni pendoli di
lunghezze diverse: ad esempio L1 = 10 cm, L2 =
40 cm, L3 = 90 cm, cioè le lunghezze stanno tra
loro come 1:4:9, si trova che il periodo del
secondo pendolo è il doppio di quello del
primo, mentre quello del terzo è il triplo.
Quindi se si fanno oscillare simultaneamente i
tre pendoli, si osserva che mentre il primo
compie due oscillazioni complete, il secondo
ne compie una e che, mentre il primo compie
tre oscillazioni complete il terzo ne compie
una.
è inversamente proporzionale alla radice quadrata dell'accelerazione di gravità
Ad esempio, a parità di lunghezza, un pendolo sulla Luna, dove l'accelerazione di gravità è circa
1/6 di quella sulla Terra, ha un periodo che è circa 2,5 volte quello di un pendolo di uguale
lunghezza sulla Terra; sulla Luna cioè le oscillazioni sono più lente. Quindi se sulla Terra un
pendolo ha un periodo di 1 s, sulla Luna un pendolo della stessa lunghezza ha un periodo di
circa 2,5 secondi.
Parti essenziali di un pendolo e suo funzionamento
Il cuore dell'orologio è il pendolo, costituito da una barra di metallo o
legno incernierata su un fulcro e con una massa collocata all'estremità
libera. Poiché il periodo di oscillazione dipende dalla distanza tra il fulcro
ed il baricentro del pendolo, la massa è in genere scorrevole lungo la
barra, allo scopo di potere tarare lo strumento.
La figura ci mostra le parti essenziali del pendolo applicato all’orologio.
a
b
c
d
e
f
g
h
asta del pendolo
massa
perno regolatore della massa lungo l’asta
fulcro
asta della forchetta
forchetta
ruota di scappamento
ancora
Per convertire il moto alternato del pendolo in una rotazione regolare di
ingranaggi, necessaria per ruotare le lancette, e contemporaneamente
fornire al pendolo energia cinetica per compensare le perdite per attrito,
sono stati inventati diversi meccanismi, chiamati scappamenti.
Esistono vari tipi di scappamenti, ma in generale sono costituiti da una ruota dotata di speciali
denti su cui si inserisce un meccanismo solidale all'asse del pendolo. La ruota è sottoposta ad
una coppia di forze trasmessa da una molla oppure da un rullo con una corda avvolta cui sia
attaccato un peso. Il peso fa girare la ruota dentata (ruota di scappamento); sopra di essa oscilla
una piastrina curva, detta àncora, munita di un uncino a ciascuna estremità. L’àncora trattiene a
piccoli intervalli la ruota di scappamento impedendo che questa, trascinata dal peso, giri troppo in
fretta.
La figura mostra l’istante in cui l’uncino di destra dell’ancora è incastrato fra a i denti della ruota
di scappamento. Questa per un istante si ferma, ma il peso continua a fare il suo lavoro
costringendo così la ruota a respingere l’uncino che l’aveva bloccata. L’uncino si solleva e l’àncora
oscilla trascinando nel suo movimento l’asta del pendolo, alla quale è collegata per mezzo di una
forchetta. Per un breve periodo di tempo la ruota di scappamento, libera, gira, ma fa solo in
tempo aa far avanzare un dente, perché l’uncino di sinistra, abbassandosi, la blocca di nuovo.
La sequenza si ripete indefinitamente fino a quando è fornita energia dalla molla o dalla caduta del
peso. Intanto, il pendolo trascinato dall’àncora, continua a oscillare, ma ogni oscillazione del
pendolo ha la stessa durata, così che la ruota dentata si muove a scatti regolari, sempre uguali.
Il ruotismo dell’orologio a pendolo
Un misuratore meccanico del tempo è generalmente costituito
da un treno di ingranaggi mossi da una forza trascinante ( peso,
molla ecc. ), da un sistema di scappamento completo
dell’elemento di regolazione e da un congegno indicatore.
Il treno di ingranaggi serve a trasmettere allo scappamento la
forza necessaria a mantenere il regolatore in oscillazione, il
congegno indicatore è un meccanismo tramite il quale si può
“ leggere “ l’ora.
Cenno sulle ruote dentate
Le ruote dentate sono organi meccanici molto diffusi e utilizzati
per trasmettere il moto rotatorio tra alberi in modo da
garantire la costanza del rapporto di trasmissione. La
trasmissione del moto avviene tramite l’ingranamento di denti a profilo coniugato attraverso cui
viene trasmessa la coppia nominale da un albero all’altro. La ruota dentata che imprime il moto,
trascinando dietro di sé
l’altra, è detta motrice, o
pignone, la ruota che viene
trascinata, subendo l’azione
dell’altra, è detta condotta.
Le due principali categorie
di ruote dentate sono le
ruote dentate cilindriche a
denti diritti e cilindriche a
denti elicoidali (Figura 1).
Nel primo caso i denti sono Fig. 1 - Ruote dentate cilindriche a denti diritti e a denti elicoidali
paralleli all’asse di rotazione,
e la trattazione teorica risulta abbastanza semplice, nel secondo caso i denti risultano inclinati
rispetto all’asse e, rispetto alle prime, garantiscono una minore rumorosità, a causa
dell’ingranamento più graduale, e una minore usura da contatto dei denti per la maggiore
superficie di contatto offerta a parità di coppia scambiata.
Per proporzionare una ruota dentata si fa
riferimento ad una grandezza, detta
modulo (m), attraverso la quale è possibile
esprimere tutte le altre dimensioni
caratteristiche della ruota mediante. Per
quanto detto è evidente che la dimensione
del
modulo
è
una
lunghezza,
generalmente espressa in millimetri. La
normativa nazionale UNI 6773 fa proprio
riferimento
al
proporzionamento
modulare per descrivere la costruzione
geometrica di una ruota dentata. Il modulo
è definito dal rapporto tra il diametro
primitivo (dp ) e il numero di denti (z) della
ruota:
[mm]
E’ necessario, ai fini del corretto ingranamento tra due ruote dentate, che esse abbiano lo stesso
modulo. Solo in tale situazione è possibile ottenere denti ingrananti di dimensioni geometriche
perfettamente coniugate.
Questo rapporto ci fornisce anche indicazioni sulla robustezza del dente, infatti più è grande “ m “,
per uno stesso numero di denti, più è grande il diametro della ruota.
Ai fini pratici per costruire una ruota dentata con “ Z “ compreso fra 10 e 100 e quindi per
calcolarne il diametro, si usa questa formula:
Diametro( in mm ) = m(Z+1)
Per pignoni di 6 denti, l’esperienza consiglia di sostituire il fattore (Z+1) con (Z+2); per pignoni di 8
denti con (Z+1,5).
Nella costruzione di ruote dentate in legno è opportuno usare valori di “ m “ compresi tra 1,25 e 2
e uno spessore variabile da 5 a 10 mm, a seconda della qualità dell’essenza impiegata.
Il rapporto di trasmissione può pertanto essere espresso come il rapporto il rapporto fra la velocità
angolare della ruota condotta e quella della ruota motrice:
dove:
i termini con pedice 1 si riferiscono alla ruota conduttrice
i termini con pedice 2 alla ruota condotta
z numero di denti presenti sulla ruota
dp diametro primitivo della ruota v = ωRp → ω = v/Rp
ω velocità angolare della ruota ω = 2πn/60
Ruote dentate accoppiate
Accoppiando ovvero ingranando la ruota R 1 con la ruota R2 di uguale modulo, come indicato
nell’esempio della fig. 1 e trasmettendo il moto di rotazione dalla R 1 (ruota motrice) verso la R2
(ruota condotta), la ruota R2 si muoverà in senso contrario a quello della R1 ed il suo asse A2 farà
un numero di giri pari al rapporto fra il numero dei denti della ruota R 1 e il numero dei denti della
ruota R2, ovvero:
Numero di giri asse A2 = ZR1:ZR2
Se ad esempio ZR1 = 15 e ZR2 = 30
Numero di giri asse A2 sarà 1/2 del numero di giri di A1
Perciò se la ruota R1 fa un giro, la ruota R2 fa mezzo giro. Il discorso può essere fatto al contrario
muovendo la ruota R2: se la ruota R2 ( asse A2 ) fa un giro, la ruota R1 ( asse A1 ) farà 2 giri.
Ruote di quadratura e il treno del tempo
Fatte le dovute considerazioni dei paragrafi precedenti, per calcolare il treno di ruote necessario
ad azionare lo scappamento di un orologio, occorre porre una condizione ovvia quanto
indispensabile per procedere nel ragionamento: l’asse della lancetta indicatrice delle ore farà un
giro completo in 12 ore, mentre l’asse della lancetta dei minuti farà lo stesso itinerario in un’ora.
Questa condizione viene abitualmente definita “ Quadratura “ .
Tornando su quanto detto sulle ruote dentate accoppiate, cerchiamo di verificare se la condizione
di quadratura viene soddisfatta dalle ruote della fig.2 .
L’asse motore A1 ruotando in senso antiorario, trascina la ruota R1 di 15 denti e la ruota R1/2 di 4
denti. Per un giro completo dell’ asse A 1, anche la ruota R1 e R1/2 faranno un identico movimento;
ma R1 ingrana con R2, pertanto R2 (ruota trascinata) farà un numero di giri pari al rapporto tra il
numero dei denti della ruota R 1 e quello della R2 (15 : 30) = 0,5 ; ovvero mezzo giro in senso orario.
Poiché sull’asse A2 è calettata la lancetta dei minuti, affinché la stessa faccia un giro completo ( 60
minuti ), l’asse motore A1 dovrà farne due.
Vediamo ora cosa succede alla ruota R 3 sull’ asse A3 portante la lancetta delle ore.
R3 di 96 denti è trascinata da R 1/2 di 4 denti, per cui applicando quanto già detto si ottiene:
(4 : 96) = 0,041667 = 1/24
il che equivale a dire che la ruota R 3 si sposta di 1/24 di giro in senso orario per un giro completo di
R1/2. Dato che il quadrante delle ore è diviso in 12 parti e quindi ad ogni ora corrisponde 1/12 dello
stesso e poiché 1/12 è uguale a 2/24 . L’asse motore A1 nel fare 2 giri ogni ora , soddisfa la
condizione di quadratura, infatti fa compiere un giro completo alla lancetta dei minuti mentre a
quella delle ore 1/12 di giro.
Per far compiere nel modo più preciso possibile due giri ogni ora all’ asse A 1 bisogna dimensionare
il treno del tempo e lo scappamento.
Certamente la quadratura si può ottenere con rapporti di ruote diversi, ma la scelta fatta soddisfa
non solo condizioni puramente meccaniche; ma anche estetiche e dimensionali.
Non per nulla, per queste ruote, è stato scelto un modulo di 1,25 .
Per dare forma al treno del tempo, ovvero all’ insieme delle ruote necessario a fornire energia allo
scappamento, partiamo dall’ asse motore A 1 che come già detto nel nostro caso dovrà fare 2 giri
ogni ora. Applichiamo quindi su di esso la forza necessaria a farlo ruotare in senso antiorario.
Questa forza viene fornita al sistema mediante una corda che la trasmette per attrito al tamburo T
solidale con l’asse A1 e la ruota R1/3. La corda è tenuta in tensione dal peso motore P e dal
contropeso P1, come indicato nella fig.3 .
Concentriamo la nostra attenzione su R1/3 di 90 denti ed il pignone R4 di 6 denti, entrambi di
modulo 1,5 .
Ogni 2 giri di R1/3 la R4 ne compirà 30 ; di conseguenza la ruota di scappamento Rs farà 30 giri ogni
ora.
A questo punto , aggiungiamo una semplice considerazione : se in un’ ora ci sono 60 minuti la
ruota di scappamento Rs dovrà fare una rotazione completa ogni 2 minuti.
Il compito di regolare esattamente questo tempo di rotazione della Rs verrà affidato ad altri organi
oltre alla Rs stessa , dei quali parleremo diffusamente in seguito. Sarà invece opportuno disquisire
sul tempo di carica o di funzionamento e sugli elementi da cui è condizionato.
Considerando che l’orologio deve avere almeno 24 ore di autonomia di carica e poiché la corda a
cui è appesa la massa trascinante P (peso motore) muove per attrito il tamburo T agendo sulla sua
superficie esterna, la formula che esprime il tempo di funzionamento t f sarà la seguente:
dove L è l’altezza dell’asse del tamburo T dal piano di calpestio a cui è stato tolto l’ingombro del
peso motore P, DT è il diametro del tamburo T, nhr è il numero di ore di funzionamento per ogni
rotazione completa di T e/o di R1/3.
Scegliendo per DT il valore di 2 cm, nhr è noto, ovvero 0,5 ore per giro, l’altezza a cui in genere si
appende un orologio è di circa 210 cm per cui il centro del tamburo T viene a trovarsi 30 cm più in
basso.
L quindi, sarà di 180 cm. Sostituendo i valori sopraindicati nella formula precedente, t f risulterà di
circa 14 ore.
Con l’aiuto di due carrucole si raddoppia la lunghezza della corda, portando di conseguenza il
tempo di funzionamento a 24 ore, come ci si era prefissi.
Nella fig.4, compaiono altri due componenti: il tamburo T 1 e il cricco di arresto K.
Il tamburo T1 ha una funzione importantissima perché permette di caricare l’orologio senza
influenzare il treno del tempo, quindi senza turbare attraverso lo scappamento il moto del
pendolo, garantendo la massima precisione.
Infatti, poiché peso e contropeso sono applicati per mezzo delle carrucole Cp e Cp 1, tirando verso
il basso la corda come indicato nella fig.4, il tamburo T 1 ruota facendo salire il peso trascinante P,
lasciando inalterata la forza applicata sul tamburo T del treno del tempo. Il cricco di arresto K
funziona per gravità, sollevandosi quando si fa girare il tamburo T 1 mediante trazione della corda.
Quando la trazione per la carica cessa, il cricco ricade in posizione e blocca T1.
Lo scappamento
Il sistema di scappamento scelto è del tipo con ruota a caviglie o pioli e ancora a rinculo; il
regolatore è un pendolo sospeso. Il tutto è di semplice costruzione, di notevole precisione e
affidabilità.
L’elemento base nella costruzione del sistema scappamento è il regolatore del tempo, ovvero quel
componente che per le sue caratteristiche fisiche compie un moto periodico chiamato, nel caso
del pendolo, oscillazione. Questa oscillazione, se di piccola ampiezza, risulta costante; ma nel
tempo tende ad esaurirsi per gli attriti che il sistema pendolo (braccio, massa, punto di
sospensione) incontra durante il suo funzionamento. Quindi una volta fornito l’impulso, per
mantenere il pendolo in oscillazione, basterà fornire costantemente quel tanto di energia che il
sistema perde per attrito. Il compito di fornire questa energia è affidato alla ruota di scappamento
Rs che mossa dalla R1/3 a cui è applicato il peso motore, imprime alle palette dell’ancora A un
impulso trasmesso al pendolo mediante la leva L, come rappresentato dalla fig. 5.
Il pendolo è un regolatore eccellente perché il suo periodo è indipendente dalla massa M, dipende
esclusivamente dalla lunghezza del braccio l e dalla forza di gravità .
Infatti, il tempo espresso in secondi, che impiega il pendolo per compiere una oscillazione è dato
dalla seguente formula:
dove l è la lunghezza del braccio espressa in metri e g è l’accelerazione di gravità espressa in m/s².
A Roma, ma in genere in Italia g vale 9,804 m/s².
Tornando a quanto detto nel paragrafo “le ruote di quadratura e il treno del tempo” se la ruota di
scappamento Rs dovrà fare una rotazione completa ogni due minuti, possiamo stabilire il numero
di pioli o caviglie necessari a dare altrettanti impulsi al pendolo per mantenerlo in oscillazione. Di
conseguenza, conoscere il periodo t e calcolare la lunghezza del braccio l .
Se poniamo il numero di caviglie della ruota di scappamento nc Rs = 60 (in modo di avere un organo
di dimensioni contenute) e chiamiamo tRs il tempo impiegato da quest’ultima per compiere una
rotazione completa, il periodo di oscillazione del pendolo del Simplex Regulator sarà:
t = tRs/ncRs
dove tRs = 120 s e ncRs = 60; per cui t = 2 s.
Risolvendo rispetto ad l la formula sopra esposta che definisce il periodo t, si ha:
dove t = 2 s e g = 9,804 m/s² e π = 3,14.
Pertanto la lunghezza del nostro pendolo sarà di 0,994 m.
Questo è il calcolo, in pratica la regolazione fine del periodo di oscillazione si ottiene operando
piccoli spostamenti della massa M verso l’alto se l’orologio ritarda, verso il basso se anticipa.