The pendulum clock: a venerable dynamical system Il pendolo dell
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The pendulum clock: a venerable dynamical system Il pendolo dell
The pendulum clock: a venerable dynamical system Il pendolo dell’orologio: un venerabile sistema dinamico Mark Denny BAE Systems, Radar Systems Design Group, Crewe Toll, Ferry Road, Edinburgh EH5 2XS, UK Published 8 July 2002 EUROPEAN JOURNAL OF PHYSICS 23 (2002) 449–458 trad. It. Daniele L.R. Marini, ottobre 2006 – gennaio 2014 Riassunto Si dimostra che il moto stazionario di un orologio a pendolo con pesi è stabile con ciclo limite. Una soluzione esplicita si ottiene mediante le funzioni di Green. L’ampiezza dell’oscillazione del pendolo è una semplice funzione di parametri. Si discute inoltre il ruolo chiave giocato dallo scappamento ad ancora, e lo si colloca nel contesto storico. Un orologio a cassa lunga e a pesi è un sistema dinamico con un oscillatore costituito da un pendolo smorzato che agisce sotto una forza non lineare. La frequenza del termine forzante è la stessa del pendolo smorzato, pertanto questo è un esempio di un sistema oscillatorio auto-eccitato [1]. L’energia potenziale del peso è convertita in energia cinetica del pendolo attraverso il meccanismo di scappamento dell’orologio. La fisica di questo sistema è istruttiva, poiché lo studente impara i moti armonici smorzati, le oscillazioni auto-eccitate, la stabilità e i cicli limite, tutto a partire da un oggetto famigliare e storicamente importante. La storia dello sviluppo dell’orologio è molto interessante: nella sezione 2 ne riassumeremo gli aspetti più rilevanti, ponendoli nel contesto dello sviluppo dello scappamento ad ancora, che analizziamo più avanti. La prima analisi matematica dell’orologio a pendolo si deve ad Airy nel 1826. Il suo interesse per la registrazione del tempo deriva dalle sue ricerche in astronomia (Airy auspicava anche uno standard nazionale britannico per la definizione del tempo): la analisi di Airy è riassunta nella sezione 3. Gli orologi a cassa lunga sono alti a causa del pendolo e dei pesi. Spesso chiamato orologio “cassa da morto”, per la forma e per l’apertura frontale, vennero via via chiamati orologi “del nonno” a partire dal 1876 [2]. Il pendolo ha una lunghezza di circa 1 m e un periodo di 2 secondi. L’ancora impegna la ruota di scappamento due volte per ciclo (si veda la didascalia della figura 1), cioè una volta per secondo. Questo da origine al ticchettio dell’orologio. Pertanto il meccanismo dello scappamento svolge un ulteriore compito rispetto al mantenere il pendolo in oscillazione: ne regola il periodo. Lo scappamento, letteralmente, fa ticchettare l’orologio. L’oscillazione del pendolo viene mantenuta alla sua frequenza naturale ed è stabile rispetto a perturbazioni minor, Dimostreremo in questa nota che il moto di un pendolo, regolato da uno scappamento ad ancora, è un “ciclo limite” stabile, e deriveremo una soluzione esplicita usando le funzioni di Green (sezioni 4 e 5). L’analisi è confermata da risultati numerici (sezione 6). Concluderemo con una breve discussione sul problema della perdita di energia. Figura 1. (a) L’ancora è solidale con il pendolo ed oscilla con esso. La ruota dentata di scappamento è collegata tramite un treno di ingranaggi a un bariletto attorno al quale è avvolta una corda cui è legato un peso (non in figura), cosicché il bariletto e la ruota di scappamento ruoteranno in senso orario mentre il peso scende. Questo moto viene interrotto dai due denti dell’ancora che ingaggiano la ruota di scappamento. La forma dell’ancora è fatta in modo che, quando un dente libera la ruota il secondo dente impegna nuovamente la ruota dopo un tempo molto breve, in modo che la ruota di scappamento compie una rotazione di un angolo piccolo (e la lancetta dei minuti che è collegata a questa ruota compie una rotazione di circa 1/60 di circonferenza). Questa azione si compie due volte durante un ciclo del pendolo. L’effetto della ruota di scappamento sull’ancora è di imprimere un piccolo impulso al moto del pendolo, e produce il caratteristico suono tic-tac. Questo schema è grandemente semplificato per ragioni di chiarezza. b) Dettaglio dell’ancora e dello scappamento da una enciclopedia del 1832. 2. Prospettiva storica Le prime applicazione del pendolo per rilevare meccanicamente il tempo risale al 1583. In quest’anno il giovane Galileo postulò la natura isocrona (periodo costante indipendente dall’ampiezza) di una lampada oscillante nella cattedrale di Pisa. Nel 1641, ormai vecchio e cieco, si suppone che egli abbia descritto al figlio Vincenzo come si sarebbe potuto costruire un orologio con un pendolo di quel tipo [3]. Figura 2. Il pendolo di Huygens, visto di lato. Il quadrante dell’orologio a sinistra è collegato al treno ingranaggi con lo scappamento a corona K. Probabilmente un orologio secondo il progetto di Galileo è stato costruito, ma tutta la documentazione è stata distrutta da Vincenzo in un delirio di febbre nel 1649. Il primo progetto certo di un orologio a pendolo è di Huygens, ed è stato costruito da Coster nel 1656. Di orologi originali di Coster ne sopravvivono sette esemplari. L’interesse di Huygens nella registrazione del tempo lo ha condotto a dimostrare teoricamente che la cicloide è un tautocrono (struttura con proprietà di isocronismo N.d.T.) a gravità costante. Ciò significa che un corpo rigido discende lungo una curva cicloidale verso il fondo in un tempo fissato indipendente dalla sua posizione iniziale. Egli mostrò anche come modificare il moto di un pendolo in modo che tale proprietà valga per qualsiasi ampiezza dell’oscillazione, e quindi ogni oscillazione diventi isocrona, non soltanto nei casi di angoli piccoli come osservato da Galileo [4]. Huygens era interessato a risolvere il problema della longitudine, che creava gravi problemi ai naviganti [3, 5] e propose di risolverlo con un accurato orologio a pendolo1. Egli sviluppò uno scappamento a rinculo per regolare il pendolo e prevenirne l’arresto (vedi figura 2); con questo orologio condusse degli esperimenti nel 1662 e nel 1686, e lo brevettò nel 1664-5. Il suo orologio in mare non era accurato a sufficienza, a causa del rollio e del beccheggio della nave che interferivano con le oscillazioni del 1 Il problema della determinazione accurata della longitudine aveva interessato inizialmente gli Spagnoli e in seguito Olandesi, Francesi e Inglesi, i cui governi offrirono un grosso premio all’inventore di un pendolo. Si dovette attendere un altro secolo prima che fosse realizzato un cronometro marino sufficientemente preciso per permettere una stima accurata della longitudine (da parte di Harrison nel 1761 [5]). L’orologio di Huygens era accurato in terra ferma nel limite di un minuto al giorno. Modelli successivi migliorarono questa precisione a 10 secondi al giorno. Un miglioramento significativo giunse con l’invenzione di un nuovo scappamento ad ancora in Inghilterra [2]. Nell’arco di poche settimane dalla concessione del brevetto a Huygens, Ahasuerus Fromanteel si assicurò i diritti di produzione e questo evento diede inizio all’epoca dell’orologio inglese a cassa lunga, che dominò il mondo dell’orologeria per circa un secolo. La Francia, spronata anch’essa dal problema della longitudine, domava la produzione di orologi e della tecnica orologiaria nel periodo 1770-1840, stimolando a sua volta la nascita dell’industria orologiaria Svizzera. L’accuratezza dell’orologio a pendolo venne migliorata da Graham nel 1721 portandola ad 1 secondo per giorno. Questo risultato aveva richiesto un miglioramento nello scappamento [3, 6] e un metodo per compensare le variazioni di lunghezza del pendolo al variare della temperatura ambiente. (È facile dimostrare che un pendolo di acciaio perde 1 secondo per giorno se la temperatura cresce di circa 2°C). Ulteriori raffinamenti includono una grande quantità di nuovi tipi di scappamento, pendoli finemente lucidati che oscillano nel vuoto parziale, pendoli di quarzo fuso la cui lunghezza non subisce variazioni significative col variare della temperatura. Graham realizzò per Halley due orologi con carica mensile, che sono rimasti in uso fino all’inizio del XX secolo, che tuttora “… mantengono l’indicazione oraria all’Osservatorio Reale entro un errore di pochi secondi per settimana” [7]. Mediante tutti questi miglioramenti ed altri ancora, gli orologi meccanici a pendolo rimasero le macchine più accurate per registrare il tempo fino circa il 1930, data in cui si raggiunse il risultato di una precisione dell’ordine di pochi millisecondi per giorno. La sorgente di energia di un pendolo “del nonno” è un peso agganciato a un bariletto, che lentamente lascia scendere il peso trasferendo l’energia potenziale in energia cinetica del pendolo. Lo scappamento trasferisce sufficiente energia durante ciascun ciclo di oscillazione per compensare la perdita dovuta agli attriti. Con questo metodo, il pendolo oscillerà per una settimana, prima che i pesi debbano ritornare all’altezza originale, caricando l’orologio. Senza questo apporto di energia il pendolo oscillerà per poche ore soltanto. Hooke dichiarò di avere inventato lo scappamento ad ancora [3, 6]. Esso venne applicato al pendolo da William Clement nel 1671. Esso ha il vantaggio, rispetto ad altri meccanismi, di interferire molto poco con l’oscillazione del pendolo. (Il precedente sistema con ruota corona e scappamento a verga, illustrato in K nella figura 2, venne impiegato per più di 400 anni. Esso imponeva al pendolo oscillazioni molto ampio, in modo da impedir l’isocronismo. Questa deviazione dell’oscillazione del pendolo dalla cicloide isocrona è chiamata dagli orologiai errore circolare [5]). Con questo nuovo meccanismo per mantenere il pendolo in movimento era necessaria meno energia. Il nome ha origine dalla forma, come si vede in figura 1. Alcuni scappamenti richiedono la lubrificazione, ed altri no. Alcuni sono molto robusti, altri fragili 2. 2 Ci sono numerosi e interessanti siti web che contengono illustrazioni di diversi tipi di scappamento, alcuni dei quali sono perfino animati. Queste animazioni sono di grande aiuto per comprendere il meccanismo, che in alcuni casi (come nello scappamento “a cavalletta” – grasshopper – di Harrison) sono molto complicati. Consigliamo al lettore interessato, ad esempio, http://hohttp://home.talkcity.com/Terminus/mvhw/escapement.html.http://home.talkcity.com/Terminus/ mvhw/escapement.html. C’è anche una descrizione qualitativa di orologi a pendolo che comprendono 3. L’analisi di Airy L’articolo [8] è una delle prime analisi di orologi a pendolo e da tasca (presentata alla Società Filosofica di Cambridge nel 1926 e pubblicata quattro anni dopo) condotta da Airy, un fisico molto stimato, che ancora non conosceva le moderne idee relative ai sistemi non lineari. In questo paragrafo delineiamo le ipotesi di Airy e i sui calcoli molto chiari. Tralasceremo applicazioni dettagliate a casi particolari, e lasceremo il lettore interessato alle conclusioni di Airy sul progetto dello scappamento migliore (egli raccomandò un tipo a caviglie). Il nostro maggiore interesse in questo lavoro è l’esame delle differenze tra l’analisi di Airy “classica” rispetto al nostro approccio moderno che illustreremo più avanti, con tutti i vantaggi derivanti dalle conoscenze moderne sul ciclo limite ed altri aspetti della dinamica non lineare. L’approssimazione lineare di un pendolo oscillante senza attriti è descritta dall’equazione dell’oscillatore armonico (1): (1) dove θ è lo spostamento angolare del pendolo rispetto alla verticale, g è l’accelerazione di gravità ed l è la lunghezza del pendolo. Per denotare l’operazione di derivazione rispetto al tempo adottiamo la notazione con i punti. Le soluzioni per determinare spostamento e velocità angolare sono ben note: Si supponga ora che ci sia una piccola forza additiva f (dovuta all’attrito, allo scappamento o a un termine non lineare del pendolo), l’equazione (1) diventa: Airy ricerca soluzioni che mantengano la forma dell’equazione (2) ma ora l’ampiezza a e la fase φ dipendono dal tempo. Questo conduce alle equazioni accoppiate: Airy si aspetta che f sia piccolo, e questo semplifica grandemente le equazioni (4) assumendo che a e φ alla destra delle equazioni siano costanti, poiché la dipendenza dal tempo è dell’ordine di f2. Egli mette in luce che lo scappamento dipende realmente dallo spostamento angolare θ piuttosto che dal tempo (nel linguaggio contemporaneo diremmo che il sistema è autonomo), il che conduce a: Da queste equazioni Airy calcola l’incremento di ampiezza e la frazione di incremento nel periodo τ, in un ciclo: anche animazioni, in questo sito: http://www.howstuffworks.com/clock.htm. Una simulazione più dettagliata si trova qui: http://www.howstuffworks.com/clock.htm. Per ottenere oscillazioni regolari, necessarie in un orologio a pendolo o da tasca, vorremmo che queste due quantità siano le più piccole possibili. Notiamo nella (6) che il periodo è costante se la forza f è una funzione pari di θ mentre l’ampiezza è costante se f è una funzione dispari. In generale è quindi difficile ottenere che Δa e Δτ siano nulle. Airy esamina varie forme di f: errore circolare, differenti tipi di attrito e differenti azioni dello scappamento. Conclude, correttamente, che lo scappamento dead-beat sia il migliore. Questo tipo di scappamento è stato sviluppato da Graham nel 1721: i precedenti scappamenti ad ancora erano del tipo a rinculo, che ritardava l’oscillazione del pendolo per una metà del ciclo (causando un movimento retrogrado della lancetta), e ne esaltava l’oscillazione durante l’altra metà di ciclo. Lo scappamento senza rinculo (dead-beat) riduceva l’attrito e in particolare l’usura. Discuteremo la dinamica di queste varianti di scappamento più avanti. Figura 3. Diagramma di fase di un pendolo con scappamento a rinculo. Senza attrito il digramma sarebbe un’ellisse. L’attrito lo modifica in una spirale attorno all’origine. Lo scappamento lo riporta a un ciclo limite. Il meccanismo dell’ancora fornisce un piccolo impulso due volte per ciclo durante un breve intervallo di tempo Δt nel momento in cui il pendolo giunge al punto più basso. Un impulso k+ incrementa la velocità angolare del pendolo, mentre il secondo impulso k- provoca un rallentamento dovuto al rinculo. Se k+ supera k- Allora viene fornita al pendolo energia sufficiente a vincere gli attriti, e ne consegue l’emergere del ciclo limite. 4. L’azione dello scappamento e il ciclo limite Consideriamo ancora l’oscillatore armonico linearizzato, e questa volta esplicitiamo la presenza dell’attrito: dove b è il coefficiente di attrito. Per smorzamenti piccoli (b ≪ 2ω0) la soluzione [vedi 9] è: Da qui in poi imponiamo la fase ψ=0. Notiamo che la frequenza è un poco ridotta rispetto alla frequenza naturale del pendolo ω0 nell’equazione (1) e il diagramma di fase consiste in una spirale attorno all’origine. L’azione dello scappamento cambia tutto ciò come schematizzato in figura 3. La spirale viene spezzata da due piccoli impulsi k± forniti al pendolo nella posizione angolare θ=0 dovuti all’azione dello scappamento. Questi impulsi aggiungono l’energia sufficiente a superare gli effetti dello smorzamento per attrito, ne risulta appunto un ciclo limite 3. Verifichiamo ora quanto detto e dimostriamo che il ciclo limite è stabile: Consideriamo la fase θ=0 al tempo tn, dove ωtn = 2nπ con n intero. Il periodo è quindi τ = tn+1 – tn . Dall’equazione (8) vediamo che In una notazione più comoda l’equazione (9a) si può scrivere come: Se esiste un ciclo limite allora abbiamo: per n grande, nel qual caso dalla (9b) Consideriamo ora come ci si avvicina a questo limite. Dalla (9b) Qui abbiamo ipotizzato che una piccola perturbazione di grandezza ε abbia influito sul pendolo all’istante tm con m<n. Vediamo quindi che per grandi valori di n . Così la velocità angolare del pendolo è indipendente dal valore iniziale x0 , e il ciclo limite è stabile rispetto a perturbazioni irregolari ε. Poiché x deve essere positivo, la condizione per questa stabilità è k >0 , ovvero k+ > k- nell’equazione (10). L’equazione (10) ci dice anche che per attriti di valore piccolo (tali che ½ b τ ≪ 1) la velocità angolare massima è: Abbiamo così dimostrato che l’azione dello scappamento di un pendolo è un ciclo limite stabile. Questo metodo di dimostrazione è il più adatto a questo problema a causa delle forze impulsive. Il metodo usuale per determinare l’esistenza del ciclo limite è infatti differente [10, 11]. Esso dovuto a Poincaré, e si basa sull’idea dei cerchi tangenti. Lo spostamento viene rappresentato in coordinate polari Sostituendo questa forma nell’equazione (13) seguente, cerchiamo un raggio minimo e massimo per il diagramma di fase. Se questi raggi esistono allora esiste il ciclo limite. Questo approccio è però più adatto a sistemi con forze continue, ma può essere applicato con cautela anche al nostro problema e produce il medesimo risultato: un ciclo limite stabile con velocità angolare massima data dall’equazione (12). 3 L’approssimazione dell’impulso, e il diagramma di fase risultante, vengono discussi in [1]. Si noti che in [1] si indica che k- < k+, il che non è vero. 5. Soluzione dell’equazione del moto L’equazione linearizzata del moto del pendolo con scappamento è: Gli orologi a cassa lunga “del nonno” hanno pendolo con piccole oscillazioni (<5°), quindi l’approssimazione lineare è adeguata. rappresenta il momento angolare trasferito al pendolo dal meccanismo dello scappamento, durante il piccolo intervallo di tempo Δt . Esso può essere scritto nella forma (vedi [1]): per lo scappamento a rinculo, dove Abbiamo cioè ipotizzato che l’influenza dello scappamento sia una serie di piccoli impulsi ogni mezzo ciclo. Questi impulsi forniscono una accelerazione angolare L’azione dello scappamento può essere scritta con una funzione di Green scrivendo la soluzione dell’equazione (13) nel seguente modo: dove (vedi [9]) e le funzioni di Green per un oscillatore smorzato sono date da: Questa soluzione ha la forma richiesta per un pendolo smorzato (equazione 8) con impulsi kn = k± sommati alla velocità angolare all’istante tn. Questo consegue dal fatto che per l’equazione (15) vale e dall’equazione (16) abbiamo . Così gli impulsi kn vengono sommati negli istanti tn, come indicato in figura 3 e nell’equazione (14). La funzione G(t-tn) rappresenta la risposta del pendolo all’impulso unitario al tempo tn. In Fisica e nello studio dei sistemi dinamici è comodo rappresentare forze cicliche mediante una decomposizione spettrale, in particolare se c’è una frequenza particolare dominante. Per le forze che consideriamo nel caso in esame, impulsi netti e improvvisi, tuttavia non conviene usare il metodo della analisi di Fourier, in quanto ci troveremmo di fronte al contributo di numerose frequenze (come avviene ad esempio nel caso di segnali a onda quadra – N.d.T.). La fisica dello scappamento del pendolo è un esempio eccellente per illustrare l’efficacia delle funzioni di Green. Se esiste un ciclo limite, possiamo calcolare θ dalla equazione (16): Sostituendo questo nella (17) e (18) otteniamo, dopo un po’ di calcoli, Se ipotizziamo ancora attriti piccoli l’equazione si semplifica: Così esiste una soluzione per un oscillatore non smorzato, che ha la stessa frequenza del pendolo smorzato. L’ampiezza delle oscillazioni è indipendente dalla ampiezza iniziale, ed è anche indipendente da ω me nel caso del pendolo libero. Notare che l’ordine di grandezza della velocità angolare ottenuta derivando l’equazione (21) è la stessa trovata in precedenza e indicata nell’equazione (12). 6. Integrazione numerica L’equazione di moto (13) può essere integrata facilmente. Nella figura 4 vediamo il diagramma di fase che risulta da una integrazione numerica con parametri scelti volutamente in modo esagerato: (b,k) = (0.22, 0.1 s_1). Per semplicità abbiamo scelto uno scappamento senza rinculo (dead beat) con un singolo battito per ciclo, in modo da eliminare il contributo dell’impulso k_ dell’equazione (14). Durante l’integrazione il momento angolare p dell’equazione (14) viene sommato a in θ=0 , o altrimenti la forza p/Δt viene sommata a . In entrambi i casi otteniamo lo stesso risultato. Si noti che il sistema è stabile: la traiettoria di fase è una spirale entro il ciclo limite. Il valore di k+ è stato scelto molto grande in modo da rendere evidente l’impulso a θ=0. Dall’equazione (21) si può ricavare l’ampiezza del ciclo limite pari a 8.3°, un valore molto vicino a quello ottenuto con l’integrazione numerica. Si noti ancora l’asimmetria del ciclo limite: a causa dell’impulso l’ampiezza di picco è maggiore per valori positivi della fase (9.1°) che per valori negativi (8.2°). Questa simulazione numerica conferma l’analisi conferma dei paragrafi 4 e 5. Inoltre la simulazione numerica mostra che la condizione di stabilità si raggiunge anche per oscillazioni di maggiore ampiezza, per le quali la condizione di approssimazione lineare dell’equazione (13) non è valida, sebbene in questo caso l’ampiezza del ciclo limite dell’equazione (21) viene sottostimata. Figura 4. Diagramma di fase della soluzione numerica dell’equazione (13), assumendo un singolo impulso per ciclo di uno scappamento dead beat. I valori dei parametri sono l=1m, b= 0.22, k=0.1s-1. Le condizioni iniziali sono ( ,θ) = (10°, 0°). 7. Perdita di energia L’equazione (13) ha la forma con dove α = 1/Δt è l’accelerazione angolare. Il tasso con cui l’energia viene fornita al sistema descritto dall’equazione (22) è dato da (vedi [1]): Come ci aspettavamo, il pendolo perde energia salvo in θ = 0. (Ricordiamo che la stabilità richiede k>0, così che l’energia viene fornita al pendolo per θ = 0.) Esaminando nel modo seguente l’andamento dell’energia possiamo stimare i valori dei parametri k e b in funzione dei parametri generali. Consideriamo ancora il sistema di figura 4, in cui abbiamo un solo impulso per ciclo k. L’energia guadagnata dal pendolo in un ciclo è δE = ml2k2, mentre l’energia fornita al pendolo dai pesi in ogni ciclo è δE = εmgh/N. In questa equazione ε è un fattore di efficienza, che dipende dal tipo di scappamento e dall’efficienza complessiva del treno di ingranaggi; un valore tipico e realistico è ε = 25%. N è il numero di ciclo che compie il pendolo quando i pesi scendono di una altezza h che corrisponde a una completa ricarica. Si può stimare questo valore come N = εgh/(lk)2. L’orologio è attivo per un tempo Nτ tra due successive ricariche, con τ = 2π (l/g)1/2 periodo del pendolo. Con queste considerazioni possiamo esprimere il parametro k nella forma Se ora scegliamo come valori Nτ = 1 settimana, h = l = 1 m, troviamo k ≈ 0.003 s-1. Dall’equazione (21) ricaviamo l’ampiezza massima di θ0 = k / (πb) quindi θ0 = 3° che corrisponde a b ≈ 0.019 s-1. Pertanto il requisito che un orologio a cassa lunga che batte a intervalli di 1 secondo (periodo 2 s, quindi lunghezza del pendolo l = 1 m) e che la durata della carica duri una settimana, impone dei vincolo precisi per l’attrito massimo e per i valori dei parametri dello scappamento. Si può notare che esistono orologi a cassa lunga con durata di carica fino a un anno, la qual cosa suscita ammirazione per la qualità, la precisione e l’abilità del costruttore. 8. Conclusioni e discussione L’orologio a pendolo con energia fornita dai pesi costituisce un sistema dinamico molto interessante, pratico e di importanza storica per lo studioso dei sistemi dinamici. Lo strumento matematico naturale per esaminare questo sistema è costituito dalla funzione di Green. Le soluzioni ottenute indicano che l’ampiezza dell’oscillazione del pendolo dipende da due parametri: il coefficiente di attrito b del pendolo e il parametro di impulso dello scappamento k. É evidente che nella pratica sia desiderabile di avere un attrito più piccolo possibile al fine di ridurre l’usura e accresce la durata dell’orologio. Tuttavia l’attrito ha una funzione essenziale per mantenere la autoregolazione del sistema. Nel corso di 200 anni di sviluppi tecnici dall’invenzione del primo tipo di scappamento sono state sviluppate innumerevoli soluzioni (ben descritte ed illustrate ad esempio in [12]). Ciascuna di queste soluzioni è caratterizzata da specifici valori di k e b. Ciascuna ha proprie caratteristiche di efficienza, resistenza all’usura e modalità di azione. Lo scappamento pin-wheel assai ingegnoso usato molto in Francia era criticato in Inghilterra perché richiede frequenti lubrificazioni (questo mette bene in luce le due facce del problema, illustrato nella nostra analisi, di desiderare un poco di attrito ma non troppo). Il geniale scappamento grasshopper di Harrison era efficiente e non richiedeva manutenzione: il legno di cui è fatto fornisce una lubrificazione sufficiente al punto che uno di quelli costruiti da Harrison è tutt’oggi funzionante. Comprendere questi principi della fisica di queste macchine insegna agli studenti alcune caratteristiche dei sistemi dinamici (ciclo limite, stabilità) e presenta una applicazione pratica delle funzioni di Green. Per i fisici queste macchine accrescono la nostra ammirazione per l’abilità e la genialità dei primi costruttori di orologi. Ringraziamenti Ringrazio il prof. J. Lienhard per l’autorizzazione a riprodurre le figure 1 e 2. Riferimenti