Teorie di Gauge

Teorie di Gauge
Fenomenologia delle Interazioni Forti
Diego Bettoni
Anno Accademico 2008-09
Invarianza di Gauge
Invarianza di Gauge
•
•
Da dove derivano Lagrangiane o Hamiltoniane ?
Come sappiamo che una certa interazione descrive un sistema
fisico reale ?
• Perchè l’interazione elettromagnetica è dovuta allo scambio di una
particella di massa 0 e spin 1, il fotone ?
Queste domande trovano risposte adeguate nel contesto delle teorie
di gauge.
In queste teorie la struttura dell’interazione è determinata dalle
proprietà di invarianza sotto certe trasformazioni.
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Elettrodinamica Classica
r r r
B = ∇× A
r
r
r
∂A
E = −∇ V −
∂t
r
r r
A → A + ∇χ
∂χ
V →V −
∂t
r
A = (V ; A)
μ
Aμ → Aμ − ∂ μ χ
Trasformazioni di gauge
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Invarianza di Gauge in
Teoria Quantistica
Poichè le osservabili dipendono da Ψ 2 possiamo richiedere che la teoria
sia invariante sotto la trasformazione:
Ψ → Ψ ′ = e − iα Ψ
con α costante. Trasformazione di gauge globale.
r
r
r
r
− iχ ( x , t )
Ψ ( x , t ) → Ψ ′( x , t ) = e
Ψ(x, t )
Questa invece è una trasformazione di gauge locale.
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r
1 r2 r
∂Ψ ( x , t )
−
∇ Ψ(x, t ) = i
2m
∂t
L’equazione di Schrödinger non è invariante per trasformazioni di gauge locali
Per particelle cariche elettricamente in presenza di un campo elettromagnetico:
r2 r
r
1
(− i∇ + eA) Ψ( x, t ) = ⎛⎜ i ∂ + eV ⎟⎞Ψ(xr, t )
2m
⎠
⎝ ∂t
Questa equazione è invariante per le trasformazioni simultanee:
r
r
r
− iχ ( x ,t )
Ψ(x, t ) → Ψ′ = e
Ψ(x, t )
r
r
r 1r
A → A′ = A + ∇χ
e
1 ∂χ
V →V′ =V −
e ∂t
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•
•
•
•
•
•
•
L’invarianza di gauge locale richiede la presenza di un campo
vettoriale Aμ.
Poichè nell’espressione del campo compaiono operatori di
creazione e distruzione di particelle ci deve essere una particella
associata di spin 1 (perchè il campo è vettoriale).
Poichè lo stesso effetto si verifica per ogni particella carica
l’interazione di questa nuova particella (il fotone) è universale.
L’invarianza di gauge locale della teoria delle particelle cariche
richiede l’esistenza del fotone e dell’interazione elettromagnetica !
Questo fatto ci permetterà di scrivere la lagrangiana di interazione.
Tuttavia non sappiamo per quali trasformazioni di gauge la teoria
deve essere invariante.
Alternativamente: non possiamo distinguere tra l’effetto di un
cambiamento locale di fase e la presenza di un nuovo campo
vettoriale.
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Derivata Covariante
r
r
r
D = −∇ − ieA
∂
D0 = − ieV
∂t
r 2
1
iD Ψ = iD 0 Ψ
2m
( )
r
r r
r
− iD ′Ψ ′ = −i (−∇ − ieA − i∇χ )e −iχ Ψ
∂χ ⎞ −iχ
⎛∂
0′
′
i
D
i
ieV
i
−
Ψ
=
−
−
+
⎜
⎟e Ψ
r
r
− iχ
∂t ⎠
⎝ ∂t
= e (−∇ − ieA)Ψ
r
− iχ
0
− iχ
=
e
−
i
D
Ψ
=e
− iDΨ
r
μ
0
D = D ;D
Derivata Covariante
(
(
(
)
)
)
Dμψ si trasforma come una funzione d’onda. Ogni equazione scritta in
termini di Dμ è automaticamente gauge-invariante. Ripetute applicazioni
di Dμ mantengono l’invarianza di gauge.
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Caso Generale
Supponiamo di richiedere invarianza della teoria per una generica trasformazione U.
Ψ ′ = UΨ
D μ = ∂ μ − igA μ
(
)
D′μ Ψ′ = U D μ Ψ
⎛ μ
μ′ ⎞
μ
μ
⎜ ∂ − igA ⎟UΨ = U ∂ − igA Ψ
⎝
⎠
(
)
′
− igA μ UΨ = −∂ μ (UΨ ) + U∂ μ Ψ − igUA μ Ψ
(
)
= − ∂ μU Ψ − igUA μ Ψ
A
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μ′
=−
(
)
i μ
∂ U U −1 + UA μU −1
g
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Teorie di Gauge non Abeliane
Isospin Forte
mp = 938.27 MeV mn = 939.57 MeV
mp ≈ mn
Heisenberg (1932):
Protone e neutrone considerati come due stati di carica diversa di una
unica particella, il Nucleone.
Si introduce un numero quantico, l’isospin, conservato nelle interazioni
forti, non conservato nelle interazioni elettromagnetiche.
Al nucleone si assegna isospin
1
I=
D. Bettoni
I3 = +
1
2
p
I3 = −
1
2
n
2
L’interazione forte è invariante per
rotazioni nello spazio dell’isospin
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⎛ p⎞
N =⎜ ⎟
⎝n⎠
⎛ π1 ⎞
⎜ ⎟
π = ⎜π 2 ⎟
⎜π ⎟
⎝ 3⎠
π± =
− π 1 ± iπ 2
2
π 0 = π3
g
Scriviamo la lagrangiana per l’interazione forte πN.
Lint = g pn p † nπ + + g np n † pπ − + g pp p † pπ 0 + g nn n † nπ 0
p↔n
g pp = ± g nn
p† crea un protone o distrugge un antiprotone
π+ crea un π+ o distrugge un π-.
ecc.
Vogliamo che questa lagrangiana sia invariante per rotazioni nello spazio
dell’isospin. Per analogia
con lo spin utilizziamo le matrici di Pauli τ per
†r
costruire il vettore: N τ N
(
†r
)
r
Lint = g N τ N ⋅ π
τi (i=1,2,3) matrici di Pauli
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r r
τ ⋅ π = τ 1π 1 + τ 2π 2 + τ 3π 3
⎛1 0 ⎞
⎛0 1⎞
⎛0 − i⎞
=⎜
⎟π 3
⎟π 1 + ⎜
⎟π 2 + ⎜
⎝ 0 − 1⎠
⎝1 0⎠
⎝i 0 ⎠
π 1 − iπ 2 ⎞
⎛ π3
= ⎜⎜
⎟⎟
−π3 ⎠
⎝ π 1 + iπ 2
⎛ π0
− 2π + ⎞
⎟
= ⎜⎜
−
0 ⎟
−π ⎠
⎝ − 2π
0
− 2π + ⎞⎛ p ⎞
†r r
†
† ⎛ π
⎟⎜ ⎟
N τ ⋅ πN = p n ⎜⎜
−
0 ⎟ n
− π ⎠⎝ ⎠
⎝ − 2π
(
(
= p
)
†
⎛ π 0 p − 2π + n ⎞
⎟
n ⎜⎜
−
0 ⎟
⎝ − 2π p − π n ⎠
†
)
= p † pπ 0 − 2 p † nπ + − 2n † pπ − − n † nπ 0
(
Lint = g p † pπ 0 − 2 p † nπ + − 2n † pπ − − n † nπ 0
g pn : g np : g pp : g nn = 1 : 1 : −1
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2 :1
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)
2
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Scriviamo una trasformazione di fase nello spazio dell’isospin (SU(2)):
τ i2 = 1
[τ i ,τ j ] = 2iε ijkτ k
in SU(3)
•
•
•
rr
⎛ p′ ⎞
iθ ⋅τ / 2 ⎛ p ⎞
⎜ ⎟=e
⎜ ⎟
⎝ n′ ⎠
⎝n⎠
Trasformazioni non abeliane (non commutano)
⎛a ′ ⎞
⎛ a1 ⎞
⎜ 1 ⎟
r r ⎜
⎟
⎜ a2′ ⎟ = e iα ⋅λ / 2 ⎜ a2 ⎟
⎜ ′⎟
⎜a ⎟
⎜ a3 ⎟
⎝ 3⎠
⎝ ⎠
r
α = (α1 , α 2 ,K , α 8 )
Non c’è alcun principio teorico che ci dica a priori che spazio scegliere.
Ogni spazio interno nel quale le particelle hanno numeri quantici non
banali dà origine a un’interazione mediata da un nuovo set di bosoni di
gauge.
A momento SU(3)colore×[SU(2)×U(1)]elettrodebole.
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Trasformazioni di Gauge Locale non Abeliane
(teorie di Yang-Mills)
r
θi (x, t )
r
α i (x, t )
Come prima, per una particella libera non è possibile avere invarianza di gauge
locale. Anche in questo caso si deve definire una derivata covariante:
r r
isospin debole
θ ⋅τ SU(2)
r
χ (x, t )
r r
α ⋅ λ SU(3)
r
μ
τ
D μ = ∂ μ − ig 2 ⋅ W
2
• Il parametro g2 è una costante di accoppiamento arbitraria che rappresenta
l’intensità dell’interazione.
• L’invarianza per trasformazioni di gauge locale richiede l’introduzione dei
campi vettoriali Wi μ . Particella di spin 1.
• Equazione matriciale 2×2.
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Per determinare come si trasformano i Wi μ imponiamo che la derivata
covariante si trasformi come la funzione d’onda.
μ
D′ ψ ′ = e
r r r
iθ ( x )⋅τ 2
D μψ
Wi′ μ = Wi μ + δWi μ
δWi μ =
•
1 μ
∂ θ i − ε ijk θ jWkμ
g2
μ
Questa espressione per δWi contiene due termini:
1 μ
– il primo è l’analogo di ∂ χ per il caso abeliano (U(1)) (trasparenza 6)
e
– il secondo corrisponde alla trasformazione di un vettore per rotazione.
•
•
Abbiamo scritto queste equazioni (in particolare per la derivata
covariante) assumendo che agiscano sulla rappresentazione di
doppietto di SU(2). In effetti supponiamo di mettere i fermioni (lefthanded) del modello standard in doppietti di SU(2) di isospin debole.
Teoria invariante per trasformazioni in questo spazio di isospin
debole.
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Forma di D μ per una diversa rappresentazione di SU(2)
. Se ψ è uno
r
stato di isospin debole t con 2t+1 componenti, sia T la matrice (2t + 1) × (2t + 1)
rappresentazione di SU(2) in quella base. Si ha:
r μ
μ
μ
D = ∂ − ig 2T ⋅ W
r τr
Per spin ½ : T =
2
r
Forma di D μ per invarianza sotto SU(n). Siano F i generatori (vettore a
(n2-1) componenti).
[Fi , F j ] = icijk Fk
r μ
D = ∂ − ig n F ⋅ G
μ
μ
SU(3) colore
SU(2) isospin debole
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D μ = ∂ μ − ig1
τ
λ
Y μ
B − ig 2 i Wi μ − ig 3 a Gaμ
2
2
2
i = 1,2,3
a = 1,..,8
g1, g2, g3 numeri reali arbitrari (costanti di accoppiamento). Una volta
fissati in una rappresentazione sono gli stessi per tutte le altre
rappresentazioni: per es. misurare g2 per il decadimento del μ lo fissa
anche per le interazioni dei quark.
Y ipercarica U(1) “generatore” di U(1) (numero)
Il campo da introdurre per la simmetria abeliana U(1) è stato chiamato
Bμ e non Aμ perchè a priori non sappiamo che l’invarianza U(1)
corrisponda proprio all’elettromagnetismo.
∂μ è un quadrivettore, come tutti gli altri termini.
μ
Questa espressione per D garantisce l’invarianza di gauge nei tre spazi
U(1), SU(2), SU(3) ed implica l’esistenza dei bosoni di gauge di spin 1
corrispondenti ai campi B (1) , W (3) e G (8). Tutti questi bosoni sono
stati osservati sperimentalmente.
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